2013年新知杯上海市高中数学竞赛
2009年新知杯上海市高中数学竞赛试卷及解析
2009年新知杯上海市高中数学竞赛试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题）一、解答题1.设函数f (x )定义于闭区间[0,1]，满足f (0)=0,f (1)=1，且对任意x 、y ∈[0,1](x ≤y )，都有f (x+y 2)=(1−a 2)f (x )+a 2f (y )，其中，常数a 满足0<a <1.求a 的值.2.如图，A 是双曲线x 24−y 2=1的右顶点，过A 的两条互相垂直的直线分别与双曲线的右支交于点M 、N .问：直线MN 是否一定过x 轴上一定点？如果不存在这样的定点，请说明理由；如果存在这样的定点P ，试求出这个定点P 的坐标.3.设A 、B 是集合{a 1,a 2,a 3,a 4,a 5}的两个不同子集，使得A 不是B 的子集，B 也不是A 的子集.求不同的有序集合对(A,B )的组数.4.设正整数构成的数列{a n }使得a 10k−9+a 10k−8+⋅⋅⋅+a 10k ≤19对一切k ∈N 恒成立.记该数列若干连续项的和∑a p j p=i+1为S (i,j )，其中i 、j ∈N +，且i <j .求证：所有S (i,j )构成的集合等于N +.二、填空题5.设a 1,a 2,⋅⋅⋅,a 10∈(1,+∞).则log a 12009+log a 22009+⋅⋅⋅+log a 102009log a 1a 2⋅⋅⋅a 102009的最小值是______.6.已知,*x y N ∈，且2112341999x y -+++++=+++++，当2x =时, y = ；若把y 表示成x 的函数，其解析式是y = . 7.已知函数f (x )=|x 2−2|.若f (a )=f (b )，且0<a <b ，则ab 的取值范围是______.]=−y2+y+34的所有实数对(x,y)=______.8.满足方程log2[2cos2(xy)+12cos2(xy)9.若表示[a]不超过实数a的最大整数，则方程[tanx]=2sin2x的解是______.10.不等式22x≤3×2x+√x+4×2√2x的解集是______.11.设A是由不超过2009的所有正整数构成的集合，即A={1,2,⋅⋅⋅,2009}，集合L⊆A，且L中任意两个不同元素之差都不等于4.则集合L元素个数的最大可能值是______.12.平面内给出一个凸十边形及其所有对角线，在这样的图中至少有两个顶点是该凸十边形顶点的三角形有______个（用数字作答）.参考答案1.a =√22【解析】1. 易知f (12)=f (0+12)=(1−a 2)f (0)+a 2f (1)=a 2，f (14)=f (0+122)=(1−a 2)f (0)+a 2f (12)=a 4， f (34)=f (12+12)=(1−a 2)f (12)+a 2f (1)=2a 2−a 4.故f (12)=f (14+342)=(1−a 2)f (14)+a 2f (34)=−2a 6+3a 4.由此得a 2=−2a 6+3a 4.而0<a <1，故a 2=12，得a =√22.故答案为:a =√222.P (103,0)【解析】2.显然，右顶点A (2,0).将y 轴向右平移2个单位，使A 成为新直角坐标系的原点.在新坐标系下，双曲线的方程为(x ′+2)24−y 2=1，即4y 2−x ′2−4x ′=0.① 若MN⊥x 轴，则AM 的斜率为1，即l AM :y =x ′.代入式①得M (43,43).进而，N (43,−43).所以，MN 与x 轴的交点P (43,0).若MN 不垂直x 轴，设l MN :y =kx ′+t (t ≠0).则y−kx ′t=1.于是，式①可改写成4y 2−x′2−4x ′⋅y−kx ′t=0，即4t (y x′)2−4(y x′)+4k −t =0. 上面以yx ′为未知数的一元二次方程的两个根k 1、k 2即是AM 、AN 的斜率. 因为AM⊥AN ，所以，k 1k 2=4k−t 4t=−1.解得t=−43k .故l MN :y =kx −43，它也过点P (43,0).综上，在新坐标系中，直线MN 过x 轴上一定点P (43,0)，即在原坐标系中，直线MN 过x轴上的定点P (103,0).3.570【解析】3.集合{a 1,a 2,a 3,a 4,a 5}有25个子集，不同的有序集合对(A,B )有25(25−1)组.若A⊂B ，并设B 含有k (1≤k ≤5)个元素.则满足A ⊂B 的有序集合对(A,B )的组数为∑C 3k 5i=1(2k−1)=∑C 3k 5i=0(2k−1)=∑C 3k 5i=02k−∑C 3k 5k=0=35−25.同理，满足B⊂A 的有序集合对(A,B )也有35−25组.所以，满足条件的有序集合对(A,B )的组数为25(25−1)−2(35−25)=570.4.见解析【解析】4. 显然，S (i,j )∈N +.接下来证明：对于任意的n 0∈N +，存在S (i,j )=n 0.用S n 表示数列{a n }的前n 项和，考虑10n 0+10个前n 项和S 1<S 2<⋅⋅⋅<S 10n 0+10.①由题设知S 10n 0+10=∑∑a 10i+j 10j=1n 0i=1≤19(n 0+1).另外，再考虑如下10n 0+10个正整数：S 1+n 0<S 2+n 0<⋅⋅⋅<S 10n 0+10+n 0.②显然，S 10n 0+10+n 0≤20n 0+19.这样，不等式①、②中出现20n 0+20个正整数，都不超过20n 0+19.由抽屉原理知，其中必有两个相等.由于不等式①中各数两两不等，不等式②中各数也两两不等，故存在i 、j∈N ，使得S j =S i +n 0，即j >i ，且n 0=S j −S i =S (i,j ).故所有S (i,j )构成的集合等于N . 5.100【解析】5.原式=(∑lg2009lga i 10i=1)lg (∏a i 10i=1)lg2009=(∑1lga i10i=1)(∑lga i 10i=1) ≥102，当且仅当a 1=a 2=⋅⋅⋅=a 10时，上式等号成立.故原式的最小值是100. 故答案为:1006.4； 213-=x y【解析】6.试题由()119219x y y +-=-得：()()()2223131x x y y +=+-又 ,*x y N ∈ 因此 2231,231xxy y +=+=-213-=⇒x y 。
2013上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷
2013上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空题（本题满分60分，前4题每小题7分，后4小题每小题8分）1．若在区间2,3][上，函数c bx x x f ++=2)(与x x x g 6)(+=在同一点取相同的最小值，则函数)(x f 在2,3][上的最大值是 ．2．若d c b a ,,,为整数，且20137lg 5lg 3lg 2lg =+++d c b a ，则有序数组),,,(d c b a = ．3．已知函数222222)3()5()2(x x x x y +-+-+-=，则该函数的最小值是 ．4．已知线段9=+y x （0,0≥≥y x ）分别与y 轴，指数函数x a y =的图像，对数函数x y a log =的图像，x 轴交于点D C B A ,,,，其中1,0≠>a a ，若中间两点恰好三等分线段AD ，则a 的值是 ．5．如图，已知椭圆C ：12522=+y x 和⊙O ：122=+y x ，在椭圆内，且在⊙O 外的区域内（包括边界）所含圆的最大半径是 ．6．关于n m ,的方程431112=-+mn n m 的整数解),(n m = ． 7．袋中有6 只红球与8 只白球, 任意抓5 只放入一个A 盒中，其余9 只球放入一个B 盒中，则A 盒中白球个数加B 盒中红球个数之和不是质数的概率是 (用数字作答)．8．若在集合},100!,99!,,3!,2!{1! 中删去一个元素后，余下元素的乘积恰好是一个完全平方数，则删去的这个元素是 ．二、解答题9．（本题满分12分）正整数列}{n a 的前n 项和为n b ，数列}{n b 的前n 项积为n c ，且12=+n n c b （*N n ∈），求数列}1{n a 中最接近2013 的数．10．（本题满分12分）已知正数p 及抛物线C ：px y 22=（0>p ），)0,6(p A 为抛物线C 对称轴上一点，O 为抛物线C 的顶点，M 为抛物线C 上任意一点，求||||AM OM 的最大值．11．（本题满分18分）已知不等式)()(5)(222*++>++ c b a ca bc ab k（1）若存在正数c b a ,,，使不等式)(*成立，求证：5>k ；（2）求所有满足下列条件的整数k ：存在正数c b a ,,使不等式)(*成立，且凡使不等式)(*成立的任意一组正数c b a ,,都是某个三角形的三边长．12．（本题满分18分）已知棱长为1 的正方体ABCDEFGH （如图），P 为它的8 个顶点构成的集合，对*N n ∈规定12+n 个有序顶点组)(2210n A A A A 满足A A =0，且对每个}12,,2,1,0{-∈n i ，1+i A 与i A 是P 中的相邻顶点．（1）求顶点n A 2所有可能的位置；（2）设n S 2表示C A n =2的所有12+n 个有序顶点组)(2210n A A A A 的个数, 求n S 2．。
上海市中学生数学知识应用竞赛获奖名单
上海市中学生数学知识应用竞赛获奖名单（高中组）团体奖第一名：嘉定一中第二名：上外附中第三名：上师大附中第四名：位育中学第五名：育才中学第六名：市西中学第七名：民立中学第八名：闵行中学一等奖姚烨嘉定一中谢恺上海中学朱嘉珉格致中学郭浩民立中学陈濡青育才中学郑钢上外附中二等奖朱远骋大同中学吴源旻市西中学屠天惟交大附中陈俊彦格致中学顾文强南汇中学沈仁豪格致中学李亦承上师大附中倪庆洋上外附中韩笑纯上师大附中王明圣育才中学张尚骏位育中学宋晨华师大二附中张灏上师大附中吴源昊民立中学黄海上师大附中付博上师大附中邓彦桢上外附中李庚上师大附中胡嘉裕杨浦高级中学朱弘邑市西中学邵禹铭大境中学周斯桐交大附中李梅昕嘉定一中祁祺上师大附中陆冰嘉定一中钱昊向明中学李景上外附中孙彦潇嘉定一中顾理一上外附中姜宇龙上师大附中桑佳骏上外附中吴洁琼位育中学三等奖陆瑶崇明中学陈政晓杨浦高级中学陈天蛟交大附中李萌嘉定一中黄龙隆民立中学杨伟宁南模中学曹睿闵行中学郑龙七宝中学陈杰上外附中王辰杰七宝中学黄天怿上外附中樊菁华上师大附中李尔盛市西中学唐梦上外附中赵旖漪向明中学林佳昀上外附中姜凌霄育才中学王能市西中学汪杰华师大二附中潘力萌位育中学曹超阳上师大附中刘竹珺位育中学吴维阳位育中学陈鲁君育才中学王朱辰杨浦高级中学张钱奉贤中学金哲凡育才中学叶畋宇华师大二附中陈阵上外附中顾侃华师大二附中周天厦建平中学林玮嘉定一中盛浙湘交大附中刘紫辉嘉定一中林云翔七宝中学吕敏之建平中学江鋆晨上海中学王超建平中学龚鸣上外附中莫品西交大附中王幸一嘉定一中杨念禾进才中学强文华嘉定一中张天进才中学钱浩祺七宝中学朱惠进才中学董全位育中学程一舟晋元中学韩楚育才中学李赟闵行中学昌利圆华师大二附中丁晓峰南汇中学张琦嘉定一中周笛南汇中学万祎杰敬业中学陆风峰青浦高级中学应思缘位育中学杨威上大附中王睿博新中中学徐萍萍上南中学吴笑萦大同中学明捷上外附中李意天嘉定一中丁梦婕上外附中徐晨交大附中李天原市北中学武亦文上海中学徐楚市三女中刘晓勇上师大附中田纪原松江二中沈俊彦市西中学唐伊纳位育中学李佩易位育中学王云程吴淞中学盛文钦南模中学孙正弘西南位育丁霄云上师大附中吕睿杨浦高级中学林航向明中学王易育才中学严国辰中国中学2006年上海市中学生数学知识应用竞赛夏令营获奖名单最佳论文奖交大附中唐晓瞳孙峥诸玄麟华师大二附中毛亦鸥尤逸之昌利圆上外附中王骏旻张卓骏邓彦桢优秀论文奖晋元中学张颖斐程一舟江凌冰大境中学邵禹铭曹阳沈博文交大附中徐晨隋少龙唐希凡上师大附中付博王庶张灏南模中学刘翊杨伟宁盛文钦闵行中学曹睿陈枭扬赵辰新中中学华伟栋王睿博陈晓华民立中学黄龙隆王子卿顾远上外附中过昕怡林澍坤吕舒婷进才中学张鑫冯汇杰陈妍盼嘉定一中姚烨宋伟华杭炎菲论文奖中国中学严国辰李华蔡悯恺南汇中学顾文强曹纯灵金丽丽上师大附中祁祺薛雨辰邹天一上师大附中竺斌全庄咏文姚璐上师大附中吴梦佳蔡霖腾暴一鸣上大附中徐晓承杨威成磊育才中学姜凌霄刘家瑞黄文莹闵行中学李赟钱威邵已航市西中学黄永兴宋坤骏吴源旻杨浦高级中学陈政晓胡嘉裕张英华新中中学庄旭邹亚光吴磊七宝中学林云翔郑龙王辰杰民立中学周桢郭浩胡怡童位育中学唐伊纳张茜茜沈忱忱位育中学董全吴洁琼刘竹珺上外附中丁梦婕明捷郑敏峰上外附中唐梦陈维扬进才中学袁野倪崇智李睿哲嘉定一中马陆郁悦朱晓燕2006年上海市中学生数学知识应用小论文竞赛获奖名单优秀论文奖关于小区探头安装的最优化研究（嘉定一中：姚烨）（指导教师：谢锡林、方云萍）何时服药问题（闵行中学：李赟、王敏）数学与金鱼（嘉定一中：王云嘉、林玮）（指导教师：方云萍、曹慧莉）关于再生纸的废纸回收率的研究（上外附中：丁梦婕、明捷）大型停车规划的研究（嘉定一中：孙彦潇）（指导教师：徐李叶）公交车线路重复循环（进才中学：朱惠）信息传播与市场预测（上海中学：谢恺）（指导教师：柯新立）化学中的多面体结构（大同中学：郁飞、周嘉琳）论文奖随机儿童歌曲旋律生成器的研究（上师大附中：祁祺）（指导教师：胡志敏）电梯对重最优质量与节能问题（嘉定一中：姚雍飞）应用数学解析太空移民的可行性（市北中学：李天原）（指导教师：周晓东）客运铁路沿线设站的讨论（育才中学：王易）斐波那契和鲁卡斯数列（华师大二附中：顾侃）关于季节性商品问题的研究（建平中学：吕敏之）（指导教师：杨建华）关于控制疾病与安排措施的简单研究（上师大附中：姜宇龙）（指导教师：胡志敏）空调+电扇=价廉物美度过夏季（闵行中学：徐若愚）世博地图（闵行中学：杨霄）便利店选址问题（位育中学：唐伊纳）（指导教师：左双奇）关于电脑组装机最省时的组装顺序（市西中学：吴源旻、胡宇航、黄永兴）（指导教师：李文璋、苏华）上海市中学生数学知识应用竞赛获奖名单（初中组）市区组一等奖阮史玮市西初级刘章章位育初级中学李泱市西初级张宸元立达陈浩进华中学奚方舟立达赵冠澜卢湾中学赵玮泽延安初中吴圣融进华中学田子俊位育初级中学王恺上海市实验学校张扬上外附中二等奖姜贇烨市西初级严箴劼立达卫佳文立达朱建坤兰生复旦谈平平立达丁淑艳华初赵沛舟立达曹晋其华初陈明悦上海市实验学校吴殷哲华育中学邓予安建平西校戴碧玥世外中学陆昕清进华中学徐乾炜华育中学管扬明珠黄粟立达吴天齐中远实验学校程智浩进华中学朱元明向明中学柯雨田立达乐嘉文晋元附校李韵青华初沈怡昕进华中学周士杰西延安何笑添华初何立博进华中学卢金原进华中学汪之洲格致初级虞博雅东格致吴翔宇华初姚磊东格致三等奖张易文市西初级陈秉杰曹杨二中附校王祖元市西初级陶威华初胡家唯曹杨中学樊上华中远实验学校郭婧怡位育初级中学张思嫄复兴初级中学徐昊鹏风华初级中学周旖旎新北郊学校陈前进才实验李志强建平实验吴佳俊延安初中朱震华上海市实验学校罗亦文中远实验学校葛彦彬卢湾中学王云占上外附中邵朕君向明中学乔桑羽上海市实验学校杨晨凯复旦初中金冲复旦初中何译民办梅陇中学林之雨延安初中余俊豪久隆模范中学顾昱昊进华中学王佳玮久隆模范中学夏嘉程明珠蒋书奇闸北实验中学钱瀛卿明珠王逸宁东光明中学许翔华初何润泽复旦二附中方颖依华初胡冰吟沪东外国语施展翔位育初级中学顾佳琦教科院附中分校黄梦元位育初级中学傅天叶上外双语学校包一川浦华中学刘音翔华初陆逸波立达陈志炜世外中学郑俊洋华初李柯岑位育初级中学桑容延安初中卫毅超西南模（汇成）阮丰延安初中姚克成西南位育中学徐慧文民办梅陇中学高毅安建平西校严奕立达邬欣雷上海市实验学校洪文琍华初施天健竹园中学房屹东位育初级中学姜浩建平西校张泽宇位育初级中学赵思轶建平实验卢涛位育初级中学王斯捷建平实验冯仕立培佳双语奚晓君华夏西校董轶婷存志中学王翔凯慧中学程霖上外双语学校罗嘉玺五四中学郊区组一等奖王昊伟行知二中蔡怡磊行知二中高云天第一少年宫王朱彦桃李园实验唐卓开南汇二中谈静金盟中学顾申尧大公中学韩方航上宝中学二等奖王睿和衷中学郭伟健宝山实验学校张硕平行知二中石恺师大实验中学赵震行知二中杨钦元第一少年宫胡英杰行知二中徐佳豪和衷中学王渊上宝中学张立诚和衷中学柴逸飞金盟中学罗冠骅七宝二中王利博上宝中学王袆桃李园实验张任佶文绮中学钟容南汇二中黄逸凌文来中学成启昀金盟中学孙彬平乐中学龚驿梨民一中学三等奖寿时通和衷中学沈冠华怀少学校俞嘉卿和衷中学严天吉南汇二中沙朦和衷中学韩硕南汇一中徐灏金盟中学金唯一罗星中学谢超培师大实验中学袁陆罗星中学董杨交大二附中沈佚斐罗星中学张逸峰文来中学顾敏杰金盟中学王纬臻文来中学张忆玲平乐中学冯云平文来中学王瑜琼东门中学徐珂昂宝山实验学校蔡龚丹民一中学马丞砾凇谊中学茅宇杰民一中学沈依伟金盟中学顾明源复旦万科魏智勇航华中学高文庆闵行三中王家欣和衷中学施维舟七宝二中胡安妮虎林中学黄呈昱文来中学汪立健金盟中学朱鹏雄万祥学校程聪磊嘉一联中郁彦青南汇二中王珏和衷中学黄美凤亭新中学许昊文师大实验中学张皓枫泾中学黄佳宸堡镇中学沈欣颖中华中学冯家乐实验中学范嘉伟东门中学徐靓上宝中学倪春桦新河中学陆佳琦上宝中学陆秋宇民一中学刘心华师大实验中学金少也中华中学钱思瑶桃李园实验余欢莘松中学优秀组织奖黄浦区青少年活动中心宝山区青少年科技指导站闵行区青少年科技指导站五四中学优秀组织教师奖徐汇区青少年活动中心周平普陀区青少年中心叶仪琳浦东新区中小学科技指导站杨卫红宝山区青少年科技指导站周卫平崇明县青少年活动中心刘建平闵行区青少年科技指导站胡艳杨浦区青少年科技指导站周建军。
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ODCBA2012上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空题（本题满分60分，前4题每小题7分，后4小题每小题8分）1．如图，正六边形111111A B C D E F 的边长为1，它的6条对角线又围成一个正六边 形222222A B C D E F ，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是 ．2．已知正整数1210,,,a a a 满足：3,1102>≤<≤ji a i j a ，则10a 的最小可能值是 ． 3．若17tan tan tan 6αβγ++=，4cot cot cot 5αβγ++=-，cot cot αβγβcot cot +αγcot cot +517-=，则()tan αβγ++= ．4．已知关于x 的方程()()lg 2lg 1=+kx x 仅有一个实数解，则实数k 的取值范围是 ．5．如图，∆AEF 是边长为x 的正方形ABCD 的内接三角形，已知90∠=︒AEF ， ,,==>AE a EF b a b ，则=x ． 6．方程1233213+⋅-+=mnn m 的非负整数解(),=m n ．7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 ．（用数字作答） 8．数列{}n a 定义如下：()1221211,2,,1,2,22+++===-=++n n n n na a a a a n n n .若201122012>+m a ，则正整数m 的最小值为 ． 二、解答题 9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB x =，1BC =， 对角线AC 与BD 的夹角45BOC ∠=︒，记直线AB 与CD 的距离为()h x ． 求()h x 的表达式，并写出x 的取值范围．10．（本题满分14分）给定实数1a >，求函数(sin )(4sin )()1sin a x x f x x++=+的最小值．11．（本题满分16分）正实数,,x y z 满足94xyz xy yz zx +++=； 求证：（1）43xy yz zx ++≥；（2）2x y z ++≥．12．（本题满分16分）给定整数(3)n ≥，记()f n 为集合{}1,2,,21n -的满足如下两个条件的子集A 的元素个数的最小值：①1,21nA A ∈-∈；②A 中的元素（除1外）均为A 中的另两个（可以相同）元素的和．（1）求(3)f 的值；（2）求证：(100)108f ≤．2012上海市高中数学竞赛（新知杯）参考答案12、923、114、(){},04-∞ 52 6、()()3,0,2,2 7、25 8、40259．解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得2222211()(1)22OB OC AB BC x +=+=+． ① …………………（2分）在△OBC 中，由余弦定理2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅∠，所以221OB OC OC +⋅=， ②由①，②得2OB OC ⋅= ③ …………………（5分）所以：144sin 2ABCD OBC S S OB OC BOC ∆==⋅⋅∠OC =⋅212x -=，故：()AB h x ⋅212x -=， 所以 ：21()2x h x x -=． …………………（10分）由③可得，210x ->，故1x >．因为222OB OC OB OC +≥⋅，结合②，③可得：221(1)22x +≥解得（结合1x >）11x <≤．综上所述，21()2x h x x-=，11x <≤． …………………（14分）10．解 (sin )(4sin )3(1)()1sin 21sin 1sin a x x a f x x a x x ++-==++++++．当71a <≤时，02≤，此时：3(1)()1sin 221sin a f x x a a x-=++++≥++，且当(]()sin 11,1x =∈-时不等式等号成立，故min ()2f x a =+． ………（6分）当73a >2>，此时“耐克”函数3(1)a y t t-=+在(内是递减，故此时min 3(1)5(1)()(1)2222a a f x f a -+==+++=．综上所述，min 72,1;3()5(1)7,.23a a f x a a ⎧+<≤⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎩ …………………（14分） 11．证 （1）记t =33223xy yz zx xyz ++⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭．…………………（4分）于是 324993xyz xy yz zx t t =+++≤+， 所以 ()()2323320t t t -++≥，而23320t t ++>，所以320t -≥，即23t ≥，从而43xy yz zx ++≥． …………………（10分） （2）又因为：2()3()x y z xy yz zx ++≥++，所以 2()4x y z ++≥，故 2x y z ++≥． …………………（16分） 12．解 （1）设集合{}31,2,,21A ⊆-，且A 满足（a ），（b ）．则1,7A A ∈∈．由于{}()1,,72,3,,6m m =不满足（b ），故3A >．又 {}{}{}{}{}{}{}1,2,3,7,1,2,4,7,1,2,5,7,1,2,6,7,1,3,4,7,1,3,5,7,1,3,6,7, {}{}{}1,4,5,7,1,4,6,7,1,5,6,7都不满足 （b ），故4A >．而集合{}1,2,4,6,7满足（a ），（b ），所以(3)5f =． …………………（6分） （2）首先证明：(1)()2,3,4,f n f n n +≤+=． ①事实上，若{}1,2,,21n A ⊆-，满足（a ），（b ），且A 的元素个数为()f n ． 令{}1122,21n n B A ++=--，由于12221n n +->-，故()2B f n =+．又111222(21),211(22)n n n n +++-=--=+-，所以，集合{}11,2,,21n B +⊆-，且B 满足（a ），（b ）．从而：(1)()2f n B f n +≤=+． …………………（10分）其次证明： (2)()1,3,4,f n f n n n ≤++=． ②事实上，设{}1,2,,21n A ⊆-满足（a ），（b ），且A 的元素个数为()f n ． 令{}222(21),2(21),,2(21),21nn n n n B A=----，由于 222(21)2(21)2(21)21nnn n n -<-<<-<-，所以{}21,2,,21n B ⊆-，且()1B f n n =++．而12(21)2(21)2(21),0,1,,1k nknknk n +-=-+-=-， 2212(21)(21)nnnn-=-+-，从而B 满足（a ），（b ），于是：(2)()1f n B f n n ≤=++． …………………（14分）由①，②得 (21)()3f n f n n +≤++． ③反复利用②，③可得(100)(50)501(25)25151f f f ≤++≤+++(12)12377(6)6192f f ≤+++≤+++(3)3199108f ≤+++=． …………………（16分）。
新知杯获奖名单
序号姓名学校年级性别成绩1路震宇市北初级中学初三男150 2李星伦市北初级中学初三男150 3刘畅市北初级中学初三男150 4夏天翊市北初级中学初三男150 5朱浩然立达中学初三男150 6谷嵘立达中学初三男150 7柳何园格致初级中学初三男150 8桥本优延安初级中学初三男150 9宋杰傲华育中学初三男150 10张耿宇华育中学初二男150 11王飞聘市北初级中学初二男150 12戴健圣市北初级中学初二男149 13张大可延安初级中学初三男148 14张沁瀚兰生复旦中学初三男148 15徐炜杰兰生复旦中学初三男148 16朱逸庭立达中学初三男148二等奖获奖名单：序号姓名学校年级性别成绩1 顾超格致初级中学初三男1472 陆斯成市北初级中学初三男1473 郑志皓兰生复旦中学初三男1464 陈昱东兰生复旦中学初三男1455 刘从优格致初级中学初三男1456 董方宏复旦大学二附中初三男1447 毕予晟进化中学初三男1448 刘泽霖兰生复旦中学初三男1429 董予泽上外附中初三男14110 秦璐市北初级中学初三女14011 丁梦媛市北初级中学初三女14012 郑婵媛市北初级中学初三女14013 徐志伟市北初级中学初三男14014 郑宜霖立达中学初三男14015 刘畅位育初级中学初三男14016 李大为复旦大学二附中初三男13917 顾奕伟格致初级中学初三男13918 马康伟华育中学初三男13919 刘宇韬华育中学初三男13920 叶圣豪兰生复旦中学初三男13921 黄诗园立达中学初三女13822 周佳星市北初级中学初三男13723 钱英杰上外附中初三男13624 黄云凯市北初级中学初三男13525 朱荟融延安初级中学初三女13526 李天宇华育中学初三男13527 吴非进华中学初三男13528 秦天承进华中学初二男13529 袁一帆市北初级中学初二男13530 明模市北初级中学初三女13431 尉亦然市北初级中学初三男13432 刘儒峰格致初级中学初三男13433 宋正新华初级中学初三男13434 陆丹宁华育中学初三男13435 杜冰凌华育中学初三男13336 洪雁书华育中学初三男13337 杨宜军立达中学初三女13338 徐文祚格致初级中学初三男13239 丁允梓延安初级中学初二男13240 王沁煜格致初级中学初三男13141 姜伊昇复旦大学二附中初三男13142 徐铖市北初级中学初二男13143 刘易市北初级中学初三男13044 王峻逸市北初级中学初二男13045 冯轩宇市西初级中学初三男13046 凌超延安初级中学初三男12947 李晓玥延安初级中学初三女12948 王斐彦立达中学初三女12949 魏亦成兰生复旦中学初三男12950 竺旭亮建平西校初二男12951 徐之麟杨波中学初三男12752 包佳齐市北初级中学初三男12753 马天行市北初级中学初三男12654 陆思轶华育中学初三男12655 王抒阳进华中学初三男12656 刘昌立上外双语初三男12657 陈宫喆兰生复旦中学初三男12658 徐舜兰生复旦中学初三男12559 曹核威兰生复旦中学初三男12560 朱晶泽立达中学初三男12561 陆恺佶格致初级中学初三男12562 许润韬市北初级中学初三男12463 张博伦延安初级中学初三男12464 黄泽凡进华中学初三男12465 刁亦杰华育中学初三男12466 桥本聪上外附中初三男12467 陈博凡上外附中初三男12468 章怡雪上外附中初三女12469 刘斌上外附中初三男12470 刘立立达中学初三男12471 钟山立达中学初二女12472 高晓耕立达中学初二男12473 宋杰铭格致初级中学初三男12374 刘衒哲杨波中学初三男12375 胡逸平华育中学初三男12376 张立诚市北初级中学初二男12377 姜欣怡上外附中初三女12378 盛思远上外附中初三男12279 袁行方华育中学初二男12280 束逸宸静安区教院附属学校初三男12281 谷峥立达中学初三男12182 汤成皓立达中学初三男12183 闾涵加新华初级中学初三男12184 陆嘉辉市西初级中学初三男12185 董炳佑进华中学初三男12086 黄怿豪进化中学初三男12087 陈云枫兰生复旦中学初三男12088 王泽裔上外附中初三男12089 骆上宝中学初二男12090 黄佳雯立达中学初二女12091 魏静怡华育中学初二女120三等奖获奖名单：序号姓名学校年级性别成绩1 张月眉进华中学初三女1192 蔡畅嘉复旦大学二附中初三男1193 徐安冉宝钢第三中学初三男1194 蔡逸伦新华初级中学初三男1195 陈雨兰华育中学初三女1196 赵宇飞华育中学初二男1197 龚翊廷兰生复旦中学初三男1198 张彧兰生复旦中学初三男1179 李斯林文来中学初三男11710 周子堃市北初级中学初二男11711 宫佳辰上外附中初三男11612 韩思聪华育中学初三男11613 赵常盛进华中学初三男11614 周子疌立达中学初三男11615 陈琦宇延安初级中学初二男11616 邵之昱延安初级中学初三女11517 卞羽佳杨波中学初三男11518 李嘉瑞立达中学初三男11419 蔡文隽立达初级中学初二女11420 刘周泽蕊市西初级中学初二女11421 仲敬宜市西初级中学初三女11422 王亦凡格致初级中学初三男11423 孙佳婷复兴初级中学初三女11424 王诗圣张江集团学校初三男11425 李心雨市北初级中学初二女11426 王一帆市北初级中学初二男11427 丁羽市北初级中学初三女11428 金添市北初级中学初三男11329 潘斐然尚德实验学校初三男11330 郭嘉庚华育中学初二男11331 吴邦彦延安初级中学初三男11232 周丰原格致初级中学初三男11233 沈源市北初级中学初三女11134 王昊天兰生复旦中学初三男11135 刘潜翔市西初级中学初三男11136 周郁城建平实验学校初三男11137 李佳颖兰生复旦中学初二女11138 曹馨元华育中学初二女11140 徐辉延安初级中学初二男11141 宫澄光延安初级中学初三男11042 洪劲舟兰生复旦中学初三男11043 郑壮上宝中学初三男11044 陈宇田市西初级中学初三男11045 吴成栋复兴初级中学初三男11046 韦成浩市北初级中学初三男11047 刘正奇市北初级中学初二男11048 童兰轩市北初级中学初三女10949 罗毅诚市北初级中学初二男10950 吴之晨延安初级中学初三男10951 宋艾伦华育中学初三男10952 谢悦华育中学初三男10953 丁瑞华育中学初三男10934 任智健华育中学初三男10935 宋嘉俊华育中学初二男10936 施宇哲上海外国语大学附属中学初三男10957 肖珸上宝中学初三男10958 陈霄宇兰生复旦中学初三男10959 李岳融新华初级中学初二男10960 李睿杰市西初级中学初二男10961 张文浩杨波中学初二男10962 胡宸章立达中学初三男10863 郑重市北初级中学初二男10864 徐言炘市北初级中学初三男10865 周立东市北初级中学初二男10866 方旭旸进华中学初三男10767 李世民进华中学初三男10769 丁宁格致初级中学初三男10670 张家俊金盟中学初三男10671 钱列兰生复旦中学初二男10672 吴文翔青浦实验中学初三男10673 刘志健延安初级中学初二男10674 王海闻新华初级中学初三男10675 陈健鸿世界外国语中学初三男10676 周凝存志中学初三女10677 邱煜卿兰生复旦中学初三男10578 王维一兰生复旦中学初二男10579 张泽轩和衷中学初三男10580 李昂市北初级中学初三男10581 崔羽琪进华中学初二女10482 薛宋恺进华中学初三男10483 郝晨杰市北初级中学初三男10484 阎家源西南位育中学初三男10485 钱朱昊呈延安初级中学初三男10486 王泱延安初级中学初三男10387 王林涛永昌中学初三男10388 潘润彤行知第二中学初三男10389 叶学军杨波中学初三男10390 时辰奕上海外国语大学附属中学初三女10391 包佳立格致初级中学初三男10292 盛皓哲格致初级中学初三男10293 周宇皓兰生复旦中学初二男10294 周颖璨兰生复旦中学初三女10295 李天宇上海外国语大学附属中学初三男10296 王腾霄进华中学初三男10297 吴家威进华中学初三男10198 姚远进华中学初三男10199 张力曼进华中学初三女101100 施毅喆延安初级中学初三男101 101 潘舜达延安初级中学初三男101 102 文洁雅扬波中学初三女101 103 张盛伟立达中学初三男101 104 李欣怡立达中学初三女101 105 于馨宁立达中学初三女101 106 顾文渊华育中学初三男101 107 杨志坚华育中学初二男101 108 顾超逸兰生复旦中学初三男100 109 宋一恬兰生复旦中学初三女100 110 李逢双金盟中学初三男100 111 毛书南新华初级中学初三男100 112 徐贤哲延安初级中学初三男100 113 胡泽欧延安初级中学初二男100 114 祝震予延安初级中学初三男99 115 冯恺睿华育中学初三男99116 王予铭华育中学初二男99117 余海林进华中学初二男99118 李焱立达中学初三男99119 张雨婷立达中学初三女99120 施文婷兰生复旦中学初三男99 121 宋彦帆市北初级中学初三女99 122 陈佳欣市北初级中学初三女99 123 刘行新华初级中学初二女99 124 朱嘉宁复兴初级中学初三女99 125 陶一章市西初级中学初三男98126 姚理焜市西初级中学初三男98 127 王庭翰延安初级中学初三男98 128 项一男延安初级中学初三男98 129 王诗伟育才初级中学初三男98。
2010年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题3月28日
2010年上海市高中数学竞赛（新知杯）试题一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1．函数y =的定义域是 ，值域是 . 2.．若n 个正实数12,,,n x x x 使等式1222111lg lg lg lg lg lg n nx x x x x x +++++++ 12lg lg lg n x x x =+++成立，则12,,,n x x x 的值分别是 .3．平面直角坐标系内有ABC ∆，顶点坐标为(3,0),(0,2),(0,1)A B C -.两平行直线,(02t x t x ==＜t ≤3)之间与ABC ∆公共部分的面积记为S （t ），则当t 变化时，S （t ） 的最大值是 .4．设甲袋中有4只白球，5只红球，6只黑球；乙袋中有7只白球，6只红球，2只黑球. 若从两袋中各取一球，则两球颜色不同的概率是 （用最简分数作答）.5．已知1F 、2F 是双曲线221x y -=的两个焦点，M 是该双曲线的右支上的点，O 为坐标原点.若 12MF MF MO+=M 的坐标为. 6．已知n ≥2，*n N ∈，则满足0＜1a ＜2a ＜＜1n a -＜n a 的21n - 位十进制正整数 121121n n n a a a a a a a -- 共有 个（用数值作答）.7．设f （x ）是整系数多项式，f （0）=11，又存在n 个不同整数12,x x ，，n x ，使 12()()()2010,n f x f x f x ====则n 的最大值是 .8.5,8,ABC AB BC ∆==中, 7.AC P =动点、Q AB 分别在、AC 上，使APQ BC ∆的外接圆与相切， 则线段PQ 长的最小值为 .二、解答题9．（本题满分14分）如图，走廊宽为3米，夹角为1200，地面是水平的，走廊两端足够长.问保持水平位置通过走廊的木棒（不计粗细）的最大长度是多少？10．（本题满分14分）已知由1，2，,10001000这个正整数构成的集合A ，先从集合A 中随机取一个数a ，取出后把a 放回集合A ；然后再从集合A 中随机取一个数,b 求a b ＞1.3的概率11．（本题满分16分）⑴已知1x 、2x 、3x ∈R ，求证：222123x x x ++1223)x x x x +，并说明等号成立的条件；⑵已知实数a 使得对于任意实数1x 、2x 、3x 、4x ，不等式222123x x x +++24x ≥122334()a x x x x x x ++都成立，求a 的最大值.12．（本题满分16分）正整数n 满足如下条件：对开区间（0，2009）内的每个正整数m ，总存在正整数k ， 使得2009m ＜k n ＜12010m +，求这种n 的最小值.2010年上海高中数学竞赛（新知杯）试题解答及评分参考意见一．填空题（7＇× 4 + 8＇× 4=60＇）1．[-2，6] （3＇）； [2,33ππ] （4＇）. 2. 121n x x x ====. 3. 32. 4. 3145.5. ±.6. 502 .7. 3 .8. 307. 二．解答题（14＇× 2+ 16＇× 2=60＇）9．解：过走廊转角内顶点P任作水平直线交走廊外侧于点A 、B （如图），则在水平位置通过走廊的木棒长度≤AB .设BAP α∠=，则060,ABP α∠=-033sin sin(60)AB AP PB αα=+=+-. (4’) 当α变化时，上式的最小值即是在水 平位置通过走廊的木棒的最大长度.由平均不等式及积化和差得12AB ≥=≥=， （9’） 且当030α=时，AB =12.∴在水平位置能通过走廓的木棒的最大长度是12米. （14’）10. 解：(a P b >11)1()33a P b =-≤. 111333a a b a b b ⎡⎤≤⇔≤⇔≤⎢⎥⎣⎦. （5’） 100033211221333333313333()3100010002000b k b k a P b ==⎡⎤++⎢⎥⎣⎦∴≤===∑∑. （10’） 故13331667()1320002000a Pb >=-=. （14’） 另解：当 a =1时，b =1或2，有2种取法.当 a =2时，b 的取值增加3，4，5，有2+3种取法.当 a =3时，b 的取值增加6，7，8，有2+2×3种取法.……当 a =333时，b 有2+332×3种取法.当 334≤ a ≤1000时，b 都有1000种取法. （5’） (a P b ∴＞212(23)(223)(23323)6671000)31000++++⨯+++⨯+⨯= （10’） 2332(21663)66710001000⨯+⨯+⨯==16672000. (14’) B P 3 α 3A Q11. (1)证：22222222212313()()22x x x x x x x ++=+++12231223)x x x x x x x x ≥=+. 等号当且仅当123x x x ==时成立. （6’） (2) 解：设k 为待定常数，且0＜k ＜1, 则2222222221234122334()(1)()()x x x x x kx k x x kx x +++=++-+++1223342(1)x k x x x ≥+-+.1,k =-解得32k =. 12=.∴不等式 222212*********)()x x x x x x x x x x +++≥++.对任意实数1x 、2x 、3x 、4x 都成立. （11’）另一方面，取1412x x ==，231x x ==，由已知不等式得55a ≥，1a ∴≤. 综上，max 1a =. （16’）12．解：2009m ＜k n ＜2009120102010mn k m mn n k<⎧+⇒⎨+>⎩， 1200912010mn k mn n k+≤⎧⇒⎨+-≥⎩，2009(1)200920102010(1)mn n k mn ⇒+-≥≥+， 20092009200920102010mn n mn ⇒+-≥+，40192009n m⇒≥-. （5’） 上式对区间（0,2009）中的每个正整数m 都成立，4019401920092008n ∴≥=-. （10’） 另一方面，根据不等式，“,a c a a c c a b d b b d d++∈<⇒<<+、b 、c 、d R ”知 (1)1,2009200920102010m m m m +++<<+即211200940192010m m m ++<< 对区间（0，2009）中的每个正整数m 的都成立.∴n 的最小值为4019. （16’）4。
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2013上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空题（本题满分60分，前4题每小题7分，后4小题每小题8分）1．若在区间2,3][上，函数c bx x x f ++=2)(与xx x g 6)(+=在同一点取相同的最小值，则函数)(x f 在2,3][上的最大值是 ．2．若d c b a ,,,为整数，且20137lg 5lg 3lg 2lg =+++d c b a ，则有序数组),,,(d c b a = ．3．已知函数222222)3()5()2(x x x x y +-+-+-=，则该函数的最小值是 ．4．已知线段9=+y x （0,0≥≥y x ）分别与y 轴，指数函数x a y =的图像，对数函数x y a log =的图像，x 轴交于点D C B A ,,,，其中1,0≠>a a ，若中间两点恰好三等分线段AD ，则a 的值是 ．5．如图，已知椭圆C ：12522=+y x 和⊙O ：122=+y x ，在椭圆内，且在⊙O 外的区域内（包括边界）所含圆的最大半径是 ．6．关于n m ,的方程431112=-+mn n m 的整数解),(n m = ．7．袋中有6 只红球与8 只白球, 任意抓5 只放入一个A 盒中，其余9 只球放入一个B 盒中，则A 盒中白球个数加B 盒中红球个数之和不是质数的概率是 (用数字作答)．8．若在集合},100!,99!,,3!,2!{1! 中删去一个元素后，余下元素的乘积恰好是一个完全平方数，则删去的这个元素是 ．二、解答题9．（本题满分12分）正整数列}{n a 的前n 项和为n b ，数列}{n b 的前n 项积为n c ，且12=+n n c b （*N n ∈），求数列}1{n a 中最接近2013 的数．10．（本题满分12分）已知正数p 及抛物线C ：px y 22=（0>p ），)0,6(p A 为抛物线C 对称轴上一点，O 为抛物线C 的顶点，M 为抛物线C 上任意一点，求||||AM OM 的最大值．11．（本题满分18分）已知不等式)()(5)(222*++>++ c b a ca bc ab k（1）若存在正数c b a ,,，使不等式)(*成立，求证：5>k ；（2）求所有满足下列条件的整数k ：存在正数c b a ,,使不等式)(*成立，且凡使不等式)(*成立的任意一组正数c b a ,,都是某个三角形的三边长．12．（本题满分18分）已知棱长为1 的正方体ABCDEFGH （如图），P 为它的8 个顶点构成的集合，对*N n ∈规定12+n 个有序顶点组)(2210n A A A A 满足A A =0，且对每个}12,,2,1,0{-∈n i ，1+i A 与i A 是P 中的相邻顶点．（1）求顶点n A 2所有可能的位置；（2）设n S 2表示C A n =2的所有12+n 个有序顶点组)(2210n A A A A 的个数, 求n S 2．。
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