水力压裂的天然裂缝延伸简单模型
水力压裂法
或许所有的美国人都在受益于“水力压裂法”，尽管半数以上的人可能没有听说过这个名词。
在今时今日，美国各级政府、企业对页岩油产业的发展寄予了厚望。
美国页岩油资源极其丰富，在科罗拉多州、犹他州和怀俄明州，被锁在页岩之中的油存量达上万亿桶以上，而正是凭借“水力压裂法”，以前根本不可能企及的大量页岩油正在被开采。
这种技术方法，在测量时首先取一段基岩裸露的钻孔，用封隔器将上下两端密封起来；然后注入液体，加压直到孔壁破裂，随之记录压力随时间的变化，并用印模器或井下电视观测破裂方位。
根据记录的破裂压力、关泵压力和破裂方位，利用相应的公式算出原地应力的大小和方向。
该方法于20世纪50年代就被科学家在理论上进行论证，60年代加以完善，在分析了压裂液渗入的影响后，开始作出大量野外和室内实验工作。
由于水力压裂法操作简便，且无须水力压裂法知道岩石的弹性参量，而得到广泛应用。
由于页岩油在美国的战略资源地位和自身需求，美国已进行很多水力压裂法地应力测量，德国、日本和中国现在也已相继开展此项工作。
资料显示，目前利用此法已能在5000米深处进行测量。
[1]页岩气开发过程中所采用的水力压裂法要加入化学物质，在每次压裂完成后，要对水进行获取和重新利用。
水力压裂法向来存在争议，但是这种页岩气开采技术在争议中却得到迅速发展。
当越来越多水体污染案例同水力压裂法相关联时，美国众议院能源和商业委员会出手了。
2010年7月19日，能源和商业委员会主席亨利·韦克斯曼联手该机构下属的能源和环境小组组长爱德华·马基联名致信给美国10个主要页岩气开发商，要求它们提交水力压裂法应用全程中涉及到的化学物质细节。
8月6日，限期“交卷”。
这个要求出台的背景是，全球天然气需求旺盛，美国引领页岩气开发技术并努力让页岩气开采遍地开花。
/a4_50_59_01300000955595129844599646376_jpg.html?prd=zhengwenye_ left_neirong_tupian美国宾夕法尼亚州一页岩气开采现场取水处当前，美国页岩气开采的热门地点是纽约州和宾夕法尼亚州，这两个地方也是美国马塞卢斯页岩（Marcellus shale）的集中区域。
湖相页岩水力压裂裂缝穿层扩展规律物理模拟
湖相页岩水力压裂裂缝穿层扩展规律物理模
拟
水力压裂裂缝穿层扩展规律物理模拟是一种研究岩石裂缝通道及
水力压裂机理的重要方法。
江湖相页岩水力压裂裂缝穿层扩展机理模
拟的应用研究是江湖相页岩水力压裂研究的重要方向。
实验室研究发现：当压差达到一定程度时，岩石经受水力压裂会
出现裂缝穿层扩展现象。
为了更有效、准确地研究江湖相页岩水力压
裂裂缝穿层扩展机理，研究者采用了一种基于物理模拟的实验室模拟
方法。
这种模拟方法模拟了表面驱动的压裂过程，通过对破裂表面的
实时处理，研究者可以研究并模拟江湖相页岩水力压裂中的裂缝扩展
过程。
在实验过程中，研究者采用离散元素技术来描述岩石裂隙的结构
特征，并分析裂隙扩展的动力学机制。
首先，根据压裂模型，建立模
拟结构模型，然后比较和分析实验和模拟的结果；其次，测量并记录
江湖相页岩水力压裂时各参数的值，如岩石强度、岩性特征等；最后，研究者还利用数值模拟、离散元素模拟和统计分析等手段研究江湖相
页岩水力压裂过程中的裂缝穿层扩展行为。
结论是，江湖相页岩水力压裂裂缝穿层扩展规律物理模拟是一种
重要的研究方法，可以有效地了解岩石裂缝穿层扩展的机理，揭示水
力压裂过程中的复杂机理过程。
它有助于改进石油开采和储储的技术
参数，提高储层开发利用率，使石油资源的有效利用。
水力压裂造缝及增产机理
52
1.4 水力压裂增产机理
由流体流动的连续性 q1 = q2 = q
pe
−
ps
=
qBμ ln re / rs 2π kh
ps
− pwf
=
qBμ ln rs / rw 2π ksh
pe
−
pwf
=
qBμ ln re / rw 2π kh
伤害 距离
k=
ln re / rw
1 k
ln
re
/
rs
+
1 ks
ε
xx
=
Δl l
ε
yy
=
ΔD D
D
σ
xx
=
F A
E = σ xx , v = ε yy
ΔD/2
ε xx
ε xx
E
'
=
1
E −v
2
39
1.3 水力压裂造缝机理及裂缝形态
（σz
>σx
>
σ
垂直缝
y
Vertical Fracture）
σz
σz
(σz >σy >σx垂直缝）
σy
σy
σx σz
σx
最小主应力（Least Principal Stress）
32
1.2 水力压裂施工概述
压裂工程设计软件：
z油藏模拟与压裂设计分析系统 z水平缝脱砂压裂设计软件 zWINQSW全三维压裂设计软件 zFracproPT压裂设计软件 zStimPlan全三维压裂设计软件包 z裂缝性储层测试压裂诊断系统 z综合柱状地应力剖面分析系统 z井筒崩落及横波各向异性地应力方位分析系统
油层水力压裂微裂缝演化模型研究
｛
｝
・ ’ 一
（
（ １ １ ）
。 。
一
；
ｌ 、 ： 儿 Ｊ ｊ
裂纹 的阻 力 。 因为 裂纹 将 向阻力 最 小 的方 向扩 展 ， 即
ｗ 极 小 的方 向扩展 。ｗ 可 以当 作度 量抗 裂纹 能力
和标志材料断裂韧性 的参量。孵 值可 以从标准裂
作者筒介 ： 张晶明（ １ ９ ８ ６ 一） ， 男， 见习助理 工程师 。 现主要从事方案设 计工作 。
２ ０ １ ３ 年第 ６ 期
张晶明 油层水力压裂微裂缝演化模型研究
将（ ８ ） 、 （ ９ ） 代人 （ １ Ｏ ） 可得 ：
１ ５ ３
预 测 裂纹 沿 原 裂纹 面 方 向扩 展 ， 这 与 实 验 结果 及 其 它 理论 是一 致 的 。
沿 着通过 裂纹顶 端 的半径 方 向 。在塑 性 区内半径方
向的应变 能可 以反 映 出材 料 的抵抗断 裂 的能力 。在
石油储 层 一 般为 均 质 砂岩 ， 以前 看作 各 向同性 材料， 其 内生 裂隙相 对较 少 ， 起 裂时在 高 压水 的作 用 下 沿 着最 大 主应 力方 向产 生新 的 裂缝 ， 实际 为各 向 异性 材料 。在 水力 压裂 时 ， 一般 不 会产生 新 的裂隙 ，
纹 试 样 的断裂韧 性 确定 。 根据 Ａｔ ｈ ｉ ｎ ｓ ｏ ｎ和 Ｓ ｅ ｇ ａ ｌ ｌ的岩 石断 裂 实 验可 得 ： 在 裂 纹 的稳 定 扩 展 阶段 ， 裂 缝扩 展 阻力 随裂 缝扩 展 增 大 的关 系为 ：
２ 油 层微裂 缝演 化模型 建 立
其 中 ｗ 称 为 塑性 区内方 向应 变 能 。根 据 此概
念， 基 于 ２个基 本假 设预 测裂纹 扩展 条件嘲。
页岩储层水力压裂裂缝扩展模拟进展
页岩储层水力压裂裂缝扩展模拟进展一、本文概述随着全球能源需求的持续增长，页岩气作为一种重要的清洁能源，其开发与应用日益受到人们的关注。
页岩储层水力压裂裂缝扩展是页岩气开发过程中的关键技术，其模拟研究对于优化压裂工艺、提高页岩气采收率具有重要的指导意义。
本文旨在全面综述页岩储层水力压裂裂缝扩展模拟的最新研究进展，以期为相关领域的研究人员和技术人员提供有益的参考。
本文首先介绍了页岩储层水力压裂裂缝扩展模拟的研究背景和意义，阐述了水力压裂技术在页岩气开发中的重要作用。
接着，文章回顾了国内外在该领域的研究现状，包括裂缝扩展模型的建立、数值模拟方法的发展以及实际应用案例的分析等方面。
在此基础上，文章重点分析了当前研究中存在的问题和挑战，如裂缝扩展过程中的多场耦合作用、裂缝形态的复杂性以及模型参数的确定等。
为了推动页岩储层水力压裂裂缝扩展模拟研究的发展，本文提出了一些建议和展望。
应加强基础理论研究，深入探究裂缝扩展的物理机制和影响因素，为模型的建立提供更为坚实的理论基础。
应发展更为先进、高效的数值模拟方法，以更好地模拟裂缝扩展的复杂过程。
还应加强实验研究和现场应用，以验证和完善模拟模型，推动水力压裂技术的不断进步。
通过本文的综述和分析，相信能够为页岩储层水力压裂裂缝扩展模拟研究提供新的思路和方向，为页岩气的高效开发提供有力的技术支持。
二、页岩储层特性分析页岩储层作为一种典型的低孔低渗储层，其独特的物理和化学特性对水力压裂裂缝的扩展具有显著影响。
页岩储层通常具有较高的脆性，这是由于页岩中的矿物成分（如石英、长石等）和微观结构（如层理、微裂缝等）所决定的。
脆性高的页岩在受到水力压裂作用时，更容易形成复杂的裂缝网络，从而提高储层的改造效果。
页岩储层中的天然裂缝和层理结构对水力压裂裂缝的扩展具有重要影响。
这些天然裂缝和层理结构可以作为裂缝扩展的潜在通道，使得水力压裂裂缝能够沿着这些路径进行扩展，从而提高裂缝的复杂性和连通性。
水力压裂效果评价技术PPT课件
第一部分 压裂压力分析
一、闭合压力确定方法 二、泵注期间的压力分析 三、压裂压力递减分析 四、微裂缝储层滤失问题
第13页/共185页
一、闭合压力（Pc）确定方法
定义： 使已存在的裂缝张开的最小缝内压力（已有
裂缝闭合时的流体压力）
理想的情况下（地层均质），pc= σmin（最小 就地主应力）
SV : 上覆应力，Pa Shi : 初始水平应力，Pa
: 毕奥特常数
pi : 地层内孔隙压力, Pa
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二、泵注期间的压力分析
压
破裂
加砂
力
F 前置液
携砂液
停泵 裂缝闭合
a b
排量不变，提高砂比，压力升高 E 反映了正常的裂缝延伸
a—致密岩石 b—微缝高渗岩石
管内摩阻
裂缝延伸压力（静）
1、施工压力与时间的关系
三个方程： ➢ 裂缝宽度方程 ➢ 裂缝内压力方程 ➢ 连续性方程 三维模型多一个方程： 缝高方程
第32页/共185页
裂缝宽度方程
第33页/共185页
压力方程
缝内压力梯度取决于压裂液的流变性、液体流速、缝宽 沿缝长的压力梯度：
n
dp dx
K w 12 n
q i
h f
牛顿液(n 1, K ,压裂液粘度) :
第29页/共185页
Cater模型假设
(1)在缝长和缝高方向，缝宽度相等且不随时间变化 (2)压裂液从裂缝壁面线性地渗入地层 (3)裂缝内某点的滤失速度取决于该点接触液体的时间：
v(x,t)
C (x,t) t
t (x)
(4)裂缝内各点压力相同，且等于井底延伸压力
第30页/共185页
天然裂缝如何影响水力裂缝的形态
天然裂缝如何影响水力裂缝的形态Arash Dahi Taleghani, Jon E.Olson摘要：水力压裂是公认的在致密裂隙储层中提高采收率的主要增产技术。
压裂作业常由震源诱导的微震事件绘制而成。
在某些情况下，微震描绘很好地显示了相对于注入井诱导裂缝的几何形态的不对称性。
此外，传统理论是沿着垂直于原位压应力的方向来预测裂缝传播路径的，但是在一些情况下，微地震数据表明裂缝是平行于最小压应力方向传播的。
在本文中，我们提出了一种扩展有限元模型法（XFEM），该模型可以模拟非对称裂缝翼的生长以及沿着天然裂缝发生的裂缝生长路径的转折。
模拟结果表明了裂缝形态对差异应力以及对相对于原位最大压应力的天然裂缝方位的灵敏度。
我们研究了在地层（如巴内特页岩）中常见的封闭天然裂缝的特性，发现它们仍然可能作为水力压裂的裂缝开始或转折的薄弱路径。
本文提出的模型预测出裂缝在构造应力方向与天然裂缝方位一致的地层中传播得更快。
1 引言水力压裂是提高油气产量、开采地热能源和危险固体废物处理的一种常用技术。
自其第一次在堪萨斯西部的雨果顿气田使用后（Howard和Fast，1970），水力压裂技术已广泛应用于石油工业。
近年来其应用领域包括非常规页岩气藏，其中福特沃斯盆地巴内特页岩地层是一个值得注意的例子。
巴内特页岩是一套层状硅质泥岩夹碳酸盐岩结核的地层（Loucks和Ruppel，2007），天然裂缝在地层中发育良好。
天然裂缝具有很小开度（小于0.05毫米），一般由方解石充填封闭（Gale 等，2007）。
那些开启的裂缝可能是构造古应力、差异压实、褶皱局部效应或大断层以及与地下岩溶相关联的凹陷导致的。
在大多数情况下，页岩气的成功开采需要水力压裂技术连通天然裂缝系统，增加井筒的有效表面积，用更高效的线性流来支配径向流。
水力裂缝与天然裂缝的相互作用的课题在油田现场、实验室以及数值模拟中都进行了研究。
Warpinski和Teufel（1987）描述了矿物支撑实验，其中水力裂缝沿节理凝灰岩传播。
裂缝性地层水力裂缝非平面延伸模拟
裂缝性地层水力裂缝非平面延伸模拟赵金洲;任岚;胡永全;裴钰【摘要】Complex propagation system of multi-branched, non-planar fractures in naturally fractured formations commonly occurs due to the effect of natural fractures, which greatly differs from bi-wing, symmetric and planar fracture generated in the homogeneous formations. Therefore, the conventional hydraulic fracture extending model is no longer adaptable, and there's an urgent need to develop a new model to simulate the propagation pattern and geometry of induced fracture in naturally fractured formations when hydraulic fracture extends along natural fractures. Based on the equivalent planar fracture of propagation pathway of hydraulic fracture re-orientating along natural fractures, this paper established the mathematical model of hydraulic fracture non-planar re-orientation propagation and provided corresponding numerical solution. The calculation results show that the induced fracture width at re-orientation propagation section reduces apparently and the treating pressure increases when hydraulic fracture extends along natural fractures. Analysis of influence factors shows that the larger differential horizontal stress and approaching angles are, the more the fracture width at re-orientation propagation section reduces; the higher volumetric rate and fracturing fluid viscosity are, the larger the whole extension fracture width including re-orientation propagation section is. It is clear that differential horizontal stress and approaching angles are negative factors butvolumetric rate and fracturing fluid viscosity are positive factors for that proppant transports along hydraulic induced fracture. For this purpose, raising volumetric rate and fracturing fluid viscosity can reduce fracturing risk in naturally fractured formations. This research in this paper realizes non-planar extending features of hydraulic fracture and offers a theoretical basis for fracturing design in naturally fractured formations. Therefore, it has importantly theoretical value and practical significance.%受天然裂缝作用影响,裂缝性地层的水力裂缝可能延伸为多分支、非平面的复杂裂缝体系,这与均质地层压裂产生的对称双翼平面裂缝具有巨大的差异.由于常规水力裂缝延伸模型无法用于模拟裂缝性地层中水力裂缝非平面延伸的裂缝形态和裂缝几何,为此,基于水力裂缝相交天然裂缝转向延伸路径的等效平面裂缝思想,建立了水力裂缝非平面转向延伸的数学模型,并推导了相应的数值求解方法.模拟计算表明,当水力裂缝沿天然裂缝转向延伸时,水力裂缝缝宽在延伸路径上表现为非连续分布,在转向延伸段突变减小,受缝宽减小节流效应影响,井底流体压力升高.影响因素分析表明,水平地应力差和逼近角越大,转向延伸段缝宽越小,对支撑剂输送限制越大；施工排量和压裂液黏度越高,包括转向延伸段在内,整个延伸裂缝段的缝宽越大,支撑剂在裂缝内的运移越容易,压裂施工风险越低.研究为认识裂缝性地层水力裂缝非平面延伸特征提供了思路和方法,为裂缝性地层压裂设计提供了理论依据,具有重要的理论价值和现实意义.【期刊名称】《西南石油大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(034)004【总页数】7页(P174-180)【关键词】裂缝性地层;水力裂缝;非平面延伸;天然裂缝;水平地应力差;逼近角【作者】赵金洲;任岚;胡永全;裴钰【作者单位】“油气藏地质及开发工程”国家重点实验室西南石油大学,四川成都610500;“油气藏地质及开发工程”国家重点实验室西南石油大学,四川成都610500;“油气藏地质及开发工程”国家重点实验室西南石油大学,四川成都610500;中国石油川庆钻探工程有限公司地质勘探开发研究院,四川成都610000【正文语种】中文【中图分类】TE331赵金洲，任岚，胡永全，等．裂缝性地层水力裂缝非平面延伸模拟[J]．西南石油大学学报：自然科学版，2012，34（4）：174-180．多种手段研究表明，天然裂缝可能会改变水力裂缝延伸路径，在地层形成多分支、非平面的复杂裂缝延伸系统。
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参 数
Ｌ／ｍ
Ｗ，／ｍｍ
取 值 范 围 ０．１１～Ｏ．２５
１～１０
０．０１～５．００
ａ 长 度
２ 计 算 结 果 及 分 析
不 同条件 下天 然裂 缝延 伸长 度 与人 口压力 的计 算 结 果 见 图 ２— ７
１）天然 裂缝 入 口初始 压力 的影 响如 图 ２所 示 。 由 图 ２ａ可 以看 出 。天然 裂缝 延 伸 长度增 长 速度 随注入 时 间 的变化 而 变化 ，当注 入 时间大 于一 定值 后 ．延 伸长 度 与时 间呈 线性 关 系 ；天 然裂缝 入 口初 始流 体压 力 越 大 ， 相 同时 间条 件下 ，则 天 然裂 缝延 伸 长 度越 长 。 由图 ２ｂ 可 以看 出 ：天然 裂缝 入 口处 压力 开始 下降 迅速 ，然 后 呈 线 性增 长 ；天然 裂缝 入 １３初始 压 力越 大 ，则 曲线转 折 点 越 靠右 ，转 折 点值 与天 然裂缝 渗 透能 力 和初 始人 口压 力 有 关
时 间／ｓ ａ 长 度
６０
时 间，ｓ ａ 长 度
已＿
出
口
一＜
时 间 ／ｓ ｂ 入 口压力
图 ２ 不 同初 始压 力 时 天然 裂缝 长 度 和 入 口压 力 的 变 化
２）弹性模 量 的影 响如 图 ３所 示 。由图可 以看 出 ，压
苣
备４０
口
＜
２０
时 间／ｓ
１．Ｏ
裂 时 间相 同条件 下 ，储 层 弹性模 量 越大 ，则 天然 裂缝 延 伸长 度越 长 ，天然 裂缝 人 口压力 也越 大 。
罢
表 １ 页 岩 储 层 压 裂 模 型 参 数
参 数 Ｑ／（ｍ３．ｓ一 ）
（ｍＰａ·Ｓ）
１／ＧＰａ
取 值 范 围 Ｏ．ＯｌＮＯ．２５
１～１ ０００
ｂ 入 口压 力
图 ４ 不 同裂缝 间距时天 然裂缝长 度和入 口压力 的变化
４）注 人流 量 的影 响如 图 ５所 示 。由图可 以看 出 ．注 人流量 越 大 ，天 然裂 缝延 伸越 迅速 ，天 然裂 缝 入 口压力
第 ２３卷 第 ４期
山，
也 越 大 ，其 增 长速度 越 明显 。
图 ７ 天 然 裂 缝 宽 度不 同 时天 然 裂 缝 长 度 和 入 口压 力 的 变 化
３ 结 论
时 间 ，ｓ ａ 长度
１）天然 裂 缝 人 口压 力 是 否存 在 先 降 后 升现 象 ，与 天然 裂 缝渗 透 能 力 （本 文 通过 裂 缝 宽 度 和流 体 黏 度来 体现 ）和初 始 流体人 口压 力有 关 。
参 考 文 献
李 中 锋 ，何 顺 利 ，门 成 全 ，等 ．低 渗 透 储 层 垂 直 缝 延 伸 规 律 研 究 ［Ｊ］． 大 庆 石 油 地 质 与 开 发 ，２００５，２４（５）：２４—２６． 贾 利 春 ，陈 勉 ，孙 良 田 ，等．结 合 ＣＴ技 术 的火 山 岩 水 力 裂 缝 延 伸 实 验 ［Ｊ］．石 油 勘 探 与 开 发 ，２０１３，４０（３）：３７７—３８０． 张 旭 ，蒋 廷 学 ，贾 长 贵 ，等 ．页 岩 气 储 层 水 力 压 裂 物 理 模 拟 试 验 研 究 ［Ｊ］．石 油 钻 探 技 术 ，２０１３，４１（２）：７０—７４． 周 健 ，陈 勉 ，金 衍 ，等 ．裂 缝 性 储 层 水 力 裂 缝 扩 展 机 理 试 验 研 究 ［Ｊ］． 石 油 学 报 ，２００７，２８（５）：１０９—１１３． 姚 飞 ，陈 勉 ，吴 晓 东 ，等 ．天 然 裂 缝 性 地 层 水 力 裂 缝 延 伸 物 理 模 拟 研 究 ［Ｊ］．石 油 钻 采 工 艺 ，２００８，３０（３）：８３—８６．
刘 顺 ．等 ．水 力 压 裂 的 天 然 裂 缝 延 伸 简 单模 型
４９１
与时 间呈线 性增 长 。 由图 ７ｂ可 以看 出 ：天 然 裂缝 宽度 越 大 ，其 裂缝 入 口压力 越 小 ；天然 裂 缝 人 口压 力 ，最 后 都 呈线 性增 长 。
z z z PsgiolePfrp
时 间，ｓ ａ 长 度
０－２ Biblioteka Ｏ－４ ０．６ 时 间 ／ｓ
ａ 长 度
０．８
１．０
Ⅱ
一＜
时 间 ，８
Ｏ ｂ８ 入 ６口 压 ４力 ２
Ｏ
善
出
口
一＜
图 ５ 不 同注 入 流量 时 天 然裂 缝长 度 和入 口压 力的 变化
ｂ 人 口压 力
５）注入 流体 黏度 的影响 如 图 ６所 示 。 由图可 以看 出 ，注 入 流体 黏 度 越 大 ，天 然裂 缝 延 伸 越 短 ，天 然 裂缝 人 口压力 越 大 。
出
Ⅱ
＜
ｂ 人 口压 力
图 ６ 注入 流 体 黏 度 不 同 时天 然 裂 缝 长 度 和 入 口压 力 的 变 化
６）天 然裂缝 宽 度 的影 响如 图 ７所示 。由图 ７ａ可 以 看 出 ：注入 时 间小 于某值 时 ．天然 裂缝 延 伸长 度增 长 速 度 快 ；当 注入 时间 大于该 特定 值 时 ，天 然裂 缝延 伸 长 度
２）注 入流 量越 大 ，距 离水 力裂 缝越 近 ，天然 裂 缝越 宽 ，注入 流 体 黏度 越小 ，则 天然 裂 缝 延 伸 长度 越 长 ，且 延 伸长 度最 终 与注入 时 间呈线 性增 长 。
３）天然 裂缝 入 口压力 随储 层 弹性模 量 、注入 流 量 、 注 人流体 黏 度 的增大 而变 大 ，随着 天然 裂缝 宽度 、裂缝 间距 离 的增 大而减 小 。
出
Ⅱ
一＜
ｂ 人 口压 力
图 ３ 不 同弹 性模 量 时天 然 裂缝 长 度 和入 口压 力 的 变化
３）水 力裂缝 与 天然 裂缝 距离 的影 响 如 图 ４所 示 。 由图可 以看 出 ，水 力 裂缝距 天 然裂缝 越 近 ，天然 裂缝 延 伸 长度越 长 ，天然 裂缝 入 ＶＩ压力 也越 大 。
z z z PsgiolePfrp
z z z PsgiolePfrp
z z z PsgiolePfrp
断 块 油 气 田
２０１６年 ７月
代 入初 始 条件值 后 ，由式 （１６）得 到天 然裂 缝 长度 。 再 回代 人式 （１４），得 到压 力 随时 间 的分 布 。
无 因次 方程 组解 法 与有 因次解 法 过程 一致 ，各参 数 的取值 范 围见 表 １。