含两个忆阻器混沌电路的动力学分析
基于忆阻器的混沌系统原理及应用
（3）
状态方程中
中 vC 和 iL 分别为经过电容
的电压和经过电感的电流。其中参数选择 k=1，c=0.5，L=1，
C=1，初始条件为（0，0.1，0），利亚诺普指数存在一个或多
个大于 0，且利亚诺普指数之和小于 0，维数也为分数维度，
那么说明系统进入的混沌。那么给出如下的归一化方程。
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中国新技术新产品 2018 NO.8（下）
新技术开发
图 2 混沌图
[3] 许碧荣 . 一种最简的并行忆阻器混沌系统 [J]. 物理学报，
2013，62（19）：91-98.
（4） [4] 胡柏林，王丽丹，黄艺文，等 . 忆阻器 Simulink 建模和图 形用户界面设计 [J]. 西南大学学报（自然科学版），2011，33
新技术开发
2018 NO.8（下） 中国新技术新产品
基于忆阻器的混沌系统原理及应用
申可迪 （浙江省杭州第二中学，浙江 杭州 310000）
摘 要 ：本文在蝴蝶效应理论中引出的混沌系统的基础上，提出了一种串行忆阻器的混沌系统，通过建立混沌系
统的电路图，给出电路的关系式，再通过仿真器去模拟基于此电路的混沌系统。在密码学的发展过程中，密码变
[6] 方清 . 基于忆阻器的混沌电路设计 [D]. 湖南 ：湘潭大学， 2013. [7] 闵富红，王珠林，王恩荣，等 . 新型忆阻器混沌电路及其 在图像加密中的应用 [J]. 电子与信息学报，2016，38（10）： 2681-2688. [8]Chua L O.Memristor-The missing circuit element[J].IEEE Trans Circuit Theory，1971，18（5）：507-519. [9]Chua L O，Kang S M.Memristive devices and systems[J].Proc IEEE，1976，64（2）：209-223.
分数阶忆阻器及其在混沌系统中的应用
分数阶忆阻器及其在混沌系统中的应用摘要分数阶计算在最近几十年来逐渐被广泛应用于各种工程领域中，例如：自动控制、信号处理、图像处理、力学系统等等。
分数阶方程相较于传统的整数阶方程，可以更好地模拟一些非典型的实际问题，并且具有更广泛的运用范围。
而分数阶系统与混沌系统之间则存在着密切的联系，在这些领域中逐渐成为研究的热点。
本文将介绍分数阶的理论基础和分数阶忆阻器的基本性质，探讨分数阶忆阻器在混沌系统中的应用，以期为混沌系统理论的研究提供新的思路。
关键词：分数阶计算、忆阻器、混沌系统、应用研究一、引言混沌是指一种非线性动力学行为，表现为相空间中的随机、无法预测、非周期性的运动，在不同的物理学领域中被广泛应用于信号加密、图像压缩、随机数产生等。
而分数阶计算则是一种近年来兴起的研究领域，其在描述复杂动力学过程和非线性时变系统中具有很好的应用前景。
在分数阶系统理论研究中，分数阶计算和混沌系统的结合则成为了一个重要的研究方向。
本文主要介绍分数阶忆阻器及其在混沌系统中的应用，首先从分数阶计算的理论基础出发，介绍分数阶运算法和分数阶微积分；然后介绍忆阻器的概念及其基本性质；接下来，探讨分数阶忆阻器在混沌系统中的应用，包括基于分数阶忆阻器的混沌电路、分数阶忆阻器混沌振荡器等，最后对当前研究的不足和未来发展方向做出简要总结。
二、分数阶计算的理论基础2.1 分数阶运算法分数阶微积分是研究分数阶导数和积分的一门学科，他的产生和发展源于控制理论和力学系统的研究。
他的引入可以更好的描述一些复杂动力学过程和非线性时变系统的行为。
设 $f(x)$ 是定义在区间 $[a,b]$ 上的函数，其 $s$ 阶导数定义为：$$D^s f(x)=\frac{1}{\Gamma(n-s)}\frac{\mathrm{d^n}}{\mathrm{d}x^n}\int_a^x\frac{f(t )\mathrm{d}t}{(x-t)^{s-n+1}}$$其中 $n$ 为大于等于 $s$ 的最小整数， $\Gamma(s)$ 为欧拉$\Gamma$ 函数。
一种含有磁控忆阻器的四阶混沌电路的特征分析
一种含有磁控忆阻器的四阶混沌电路的特征分析作者：耿运博邹剑飞来源：《科技资讯》2020年第17期摘 ;要：该文提出了一种简单的磁控忆阻器模型，并利用它设计了一个混沌电路。
通过数值模拟计算得到了一个三维带状混沌吸引子，且此时忆阻器的伏安特性曲线不是传统的“8”字形。
通过计算系统的相图、分岔图和Lyapunov指数谱，发现调节电容参数或忆阻器初始状态可以实现电路系统在混沌态和各周期态之间的转变，发现调节磁通能使系统出现二周期到四周期再回到二周期的奇特分岔现象。
该研究工作对利用忆阻器设计混沌电路并应用于密码通信具有积极的参考价值。
关键词：忆阻器 ;混沌电路 ;Lyapunov指数中图分类号：TN701 ; 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2020）06（b）-0027-04电阻器、电容器和电感器是电路中最基本的两端无源电子元件。
1971年，美籍华裔科学家Leon Chua（蔡少棠）教授根据电路理论的完备性在理论上预言了第四种无源电子元件——忆阻器[1]。
忆阻器的特征物理量忆阻定义为穿过元件的磁通与电荷量之比。
这里的磁通不一定需要是外加磁场产生的，根据法拉第电磁感应定律，它可以是元件两端电压对时间的积分。
而流经忆阻器的电荷量是电流对时间的积分。
因此，忆阻一般来说是时间的函数，它的量纲与电阻相同。
因此可以说，忆阻器是具有记忆功能的电阻器。
根据这一特点，人们期望发明具有实用价值的忆阻器，用于存储信息。
这样它可以在电路断电的情况下，记住当前信息。
因此忆阻器具有诱人的应用前景。
然而直到2008年，惠普（HP）实验室的Strukov及其合作者才在实验上第一次用TiO2纳米结构制备出了真实的忆阻器元器件[2]。
在此之后忆阻器的实验和理论研究得到了蓬勃的发展。
实验上陆续报道了更多种类忆阻器的物理实现[3，4]。
Ventra和Biolek等研究人员把忆阻器的理论拓展到了其他记忆元件，如忆容器和忆感器[5，6]。
电路混沌效应
电路混沌效应一、实验目的1、用RLC 串联谐振电路，测量仪器提供的铁氧体介质电感在通过不同电流时的电感量。
解释电感量变化的原因。
2、用示波器观测LC 振荡器产生的波形及经RC 移相后的波形。
3、用双踪示波器观测上述两个波形组成的相图(李萨如图)。
4、改变RC 移相器中可调电阻R 的值，观察相图周期变化。
记录倍周期分岔、阵发混沌、三倍周期、吸引子(周期混沌)和双吸引子(周期混沌)相图。
5、测量由TL072双运放构成的有源非线性负阻“元件”的伏安特性，结合非线性电路的动力学方程，解释混沌产生的原因。
二、实验设备名称 数量 型号 1、示波器 1台 自备 2、四位半数字万用表 2台 自备 3、放大器 1只 TL072 4、电阻 6只 220Ω×2 Ω×1Ω×1 22k Ω×25、可调电感 1只 18mH~22mH 可调6、电容 2只 µF ×1 ×17、电位器 2只 Ω，220Ω8、电阻箱 1个 0~Ω (自备)9、桥形跨连线和连接导线 若干 SJ-009、SJ-301、SJ-302 10、9孔插件方板 1块 SJ-010 三、实验原理与说明1、非线性电路与非线性动力学实验电路如图1所示，图1中R2是一个有源非线性负阻器件；电感器L1电容器C 1一个损耗可以忽略的谐振回路；可变电阻R 1电容器C 2联将振荡器产生的正弦信号移相输出。
图2所示的是该电阻的伏安特性曲线，可以看出加在此非线性元件上电压与通过它的电流极性是相反的。
由于加在此元件上的电压增加时，通过它的电流却减小，因而将此元件称为非线性负阻元件。
图1 图2图1电路的非线性动力学方程为：C 2dtdUc 2=G(U C1- U C2)-gU c2 (5-1)C 1dtdUc 1=G(U c2-U c1)+i L (5-2) Ldtdi L=-U C1 (5-3) 式中，U C1、U C2是C 1、、C 2上的电压，ｉL 是电感L1上的电流，G=1/R 1电导，ｇ为U 的函数。
基于忆阻器的四阶混沌震荡电路研究
基于忆阻器的四阶混沌震荡电路研究采用忆阻器替换蔡氏混沌电路中的蔡氏二极管，导出了一个四阶忆阻型混沌振荡电路。
利用常规的分立元件设计了一种新的分段线性有源磁控忆阻器模拟器，借助模拟器进行了忆阻型混沌振荡电路的Pspice仿真，结果表明与Matlab 数值仿真分析结果非常吻合。
标签：混沌电路；忆阻器；忆阻器模拟器1 概述1971年，Chua根据电压、电流、电荷和磁通四个电路变量间关系的对称性和完备性，从理论上预测了描述电荷和磁通关系的元件-忆阻器[1]。
憶阻器作为一种具有记忆功能的非线性元件，由其构成的混沌电路能够产生丰富的混沌动力学行为[2]，因此在保密通信[3]和图像加密[4]中潜在着应用价值。
针对忆阻器在混沌电路中的研究，Itoh和蔡少棠[5]采用一个单调上升分段线性函数描述的忆阻器替换蔡氏振荡器中的蔡氏二极管，实现了一个基于忆阻器的类正弦振荡电路；包伯成等[6]人采用一个单调递增三次光滑函数描述的忆阻器替换蔡氏振荡器中的蔡氏二极管，实现了一个基于忆阻器的光滑振荡电路，但是上述忆阻器混沌电路都未能电路实现，因此设计一类可电路实现的忆阻器混沌电路很有必要。
因此文章首先设计了一种新的分段线性有源磁控忆阻器模拟器，该模拟器电路结构简单、工作频率很高而且能很好的模拟忆阻器的功能，利用模拟器实现了忆阻器混沌电路的Pspice仿真分析，结果与数值仿真分析基本吻合。
2 忆阻混沌电路通过采用一个分段线性函数描述的有源磁控忆阻器替换蔡氏振荡电路中的蔡氏二极管，导出了一个忆阻型四阶混沌振荡电路，如图1所示。
运用基尔霍夫电压、电流定律，可得图1所示系统的状态方程组为：选择电路参数使α=108，β=107，γ=0.56*10-3，δ=58.82，a=0.8*10-3，b=0.2*10-3，对于合适的初始条件，系统（3）生成了一个双涡卷混沌吸引子，它在相平面上的投影如图2所示，通过计算，该系统的Lyapunov指数为：L1=0.2206，L2=0，L3=-0.0702，L4=-0.8520，Lyapunov维数为dL=3.1542，可知其产生了混沌特性。
基于忆阻器的混沌电路研究
基于忆阻器的混沌电路研究吴迪;胡岩【摘要】忆阻器被认为是除电阻、电感、电容外的第四种基本电路元件,是一种有记忆功能的非线性电阻.用simulink软件对其VI特性进行仿真.混沌现象是一种确定性的非线性运动,在非线性控制领域,混沌电路的设计则是混沌技术研究和应用的基础,采用一种新型的非线性元件(忆阻器)对一种典型的产生混沌现象的电路--蔡氏混沌电路进行分析研究,并且与原蔡氏电路波形进行比较,观察其变化.【期刊名称】《电气开关》【年(卷),期】2013(051)006【总页数】4页(P63-65,68)【关键词】忆阻器;simulink;蔡氏电路;pspice【作者】吴迪;胡岩【作者单位】沈阳工业大学电气学院,辽宁沈阳 110870;沈阳工业大学电气学院,辽宁沈阳 110870【正文语种】中文【中图分类】TM13基本电路理论中，常见的基本电路元件有：电阻、电感、电容。
这些元件的特性是用电压、电流、磁通和电荷这4个物理量来表示。
1971年，蔡少棠(L.Chua)先生指出应该有六个数学关系来联接这四个基本的物理量[1]。
但现在只有五个确定的关系，从对称的观点看，推测出有第四种基本元件存在，称之为忆阻器，用来反映电荷和磁通之间的函数关系。
2008年惠普实验室的成员成功地实现纳米级电子元件，已有文献报道了一些记忆器件的建模成果，例如文献[2]中只是综述了忆阻器和忆阻系统概念的产生与发展过程，实现忆阻功能的几种模型与机理。
阐述了忆阻器和忆阻系统在模型分析、生物记忆行为仿真、基础电路和器件设计方面的应用前景。
文献[3]是对忆阻器的应用及其未来的展望做出论述。
Strukov [4]等最早提出边界迁移模型用于实现忆阻器具有的电路特性，认为电极间的半导体薄膜(厚度D)由于基体中载流子浓度不同而分为低电阻的高掺杂浓度区和高电阻的低掺杂浓度区，结构两端加载的偏电压驱使高、低掺杂浓度区间的边界发生迁移，致使结构对外呈现随外加电压时间作用而变化的电阻[5，6]，这部分理论认为，外偏压的施加影响了载流子迁移过程，从而改变了迁移几率，导致材料电阻状态发生变化而产生忆阻性。
忆阻Sprott-R混沌系统的复杂动态分析与电路实现
忆阻Sprott-R混沌系统的复杂动态分析与电路实现
曾繁鹏;赖强;赖聪
【期刊名称】《量子电子学报》
【年(卷),期】2024(41)1
【摘要】基于Sprott-R三维混沌系统,提出了一个具有多稳态和调幅特性的简单四维忆阻混沌系统。
首先分析了系统的稳定性,发现该系统具有无穷多个不稳定平衡点。
进而利用Lyapunov指数谱、分岔图及相平面图,研究了该忆阻混沌系统的复杂动力学行为特性。
研究结果表明,当系统参数发生变化时,系统会经反倍周期分岔由混沌态进入周期态;在不同初始条件下,系统能产生三种共存吸引子,分别为双混沌吸引子共存、周期极限环与混沌吸引子共存、双周期极限环共存;当初始条件变化时,系统输出四维混沌信号的幅度均发生变化。
最后,对该系统进行了电路设计与仿真,验证了该忆阻混沌系统的存在性。
【总页数】14页(P170-183)
【作者】曾繁鹏;赖强;赖聪
【作者单位】华东交通大学电气与自动化工程学院
【正文语种】中文
【中图分类】O415.5
【相关文献】
1.基于忆阻器反馈的Lorenz超混沌系统及其电路实现∗
2.一种新型双忆阻混沌系统动力学及其电路实现研究
3.基于忆阻器的Sprott-B超混沌系统的动力学分析与电
路实现4.五维洛伦兹型忆阻混沌系统及其电路实现5.基于广义忆阻器的超混沌系统的研究与电路实现
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忆阻器混沌振荡器的分支分析
忆阻器混沌振荡器的分支分析刘双;刘建国【摘要】The fold and Hopf bifurcations of memristor chaotic oscillator were investigated in this paper by using the high-dimensional theory and symbolic computation.By choosing an appropriate bifurcation pa-rameter,we proved that memristor chaotic oscillator displays a Hopf bifurcation under certain conditions. Some numerical examples were given to support the analytic results.%研究忆阻器混沌振荡器系统的动力性态，通过高维理论和符号运算分析了这类系统的分支性质，并得到在一定的条件下，系统会发生折分支和 Hopf分支。
通过分析发现系统存在平衡点，并将平衡点平移到原点后，并运用规范形研究分析，在一定的分支参数范围内，系统的平衡点原点附近会发生折分支和 Hopf分支，再利用 Lya-punov系数方法，具体讨论在一定情况下发生亚临界和超临界 Hopf分支。
数值模拟也验证了分析结论。
【期刊名称】《南昌大学学报（理科版）》【年(卷),期】2016(040)003【总页数】4页(P229-232)【关键词】折分支;Hopf分支;忆阻器混沌振子【作者】刘双;刘建国【作者单位】重庆工业职业技术学院基础教学部，重庆 401120;江西中医药大学计算机学院，江西南昌 330004【正文语种】中文【中图分类】O193近来，在《自然》[1]中，Hewlett-Packd公司一支团队研制了一种新型基础电子装置制造品，用于记忆电阻器，被叫记忆电阻器，忆阻器在1971年LEON.O.CHUA[2]曾提出。
忆阻器混沌振荡器的分支分析
忆阻器混沌振荡器的分支分析刘双;刘建国【期刊名称】《南昌大学学报（理科版）》【年(卷),期】2016(040)003【摘要】The fold and Hopf bifurcations of memristor chaotic oscillator were investigated in this paper by using the high-dimensional theory and symbolic computation.By choosing an appropriate bifurcation pa-rameter,we proved that memristor chaotic oscillator displays a Hopf bifurcation under certain conditions. Some numerical examples were given to support the analytic results.%研究忆阻器混沌振荡器系统的动力性态，通过高维理论和符号运算分析了这类系统的分支性质，并得到在一定的条件下，系统会发生折分支和 Hopf分支。
通过分析发现系统存在平衡点，并将平衡点平移到原点后，并运用规范形研究分析，在一定的分支参数范围内，系统的平衡点原点附近会发生折分支和 Hopf分支，再利用 Lya-punov系数方法，具体讨论在一定情况下发生亚临界和超临界 Hopf分支。
数值模拟也验证了分析结论。
【总页数】4页(P229-232)【作者】刘双;刘建国【作者单位】重庆工业职业技术学院基础教学部，重庆 401120;江西中医药大学计算机学院，江西南昌 330004【正文语种】中文【中图分类】O193【相关文献】1.基于磁控忆阻器的混沌振荡器研究 [J], 杨汝;李斌华;冯焯辉2.含忆阻器的并联混沌电路动力学分析 [J], 方淼;谢苗苗;方鸣3.一种含有磁控忆阻器的四阶混沌电路的特征分析 [J], 耿运博;邹剑飞4.一类具有忆阻器的Lorenz型混沌系统余维二分岔及无穷远处动力学分析 [J], 黄俊;陈玉明5.基于忆阻器的Sprott-B超混沌系统的动力学分析与电路实现 [J], 李晓霞;王雪;冯志新;张启宇因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
一种忆阻器离散混沌映射的设计及FPGA实现
一种忆阻器离散混沌映射的设计及FPGA实现白丹丹;王光义【摘要】Memristors are two-terminal passive circuit elements , and expected to have a great potential in non-linear electric circuits .It is a good candidate for using in chaos , because of its distinguish voltage-current characteristic .The paper provided a novel memristor chaos according to changing the equation of Cubic .Its behavior of chaotic dynamics are studied and analyzed . The one-dimensional discrete chaotic mapping designed in DSP Buider and implemented by FPGA .%忆阻器是一个无源二端口电子器件，在非线性应用领域具有巨大潜力。
忆阻器具有的非线性电压电流特性，可以应用在混沌领域。
Cubic映射是一个比较简单的混沌映射，该文使用忆阻器的非线性特性对Cubic映射进行修改，得到一个新的忆阻器混沌映射，使用DSP Builder 对其进行图形化设计，并研究该混沌映射的基本性能，用FPGA实现该混沌映射。
【期刊名称】《杭州电子科技大学学报》【年(卷),期】2013(000)006【总页数】4页(P9-12)【关键词】忆阻器;忆阻器混沌;现场可编程门阵列【作者】白丹丹;王光义【作者单位】杭州电子科技大学电子信息学院，浙江杭州310018;杭州电子科技大学电子信息学院，浙江杭州310018【正文语种】中文【中图分类】TN4010 引言记忆电阻简称忆阻器，是具有记忆性的第4种基本电路元件［1］。