忆阻混沌电路的分析与实现
一种忆阻器混沌电路实现
一种忆阻器混沌电路实现混沌电路是一类非线性电路，具有高度复杂的动态行为。
它可以产生看似随机的、无法预测的电信号，具有广泛的应用领域，如密码学、混沌通信等。
本文将介绍一种基于忆阻器的混沌电路实现方法。
忆阻器是一种特殊的电阻器，它的电阻值取决于过去的电流或电压历史。
与传统的电阻器不同，忆阻器可以记忆之前的状态，这使得它在电路中具有特殊的功能。
在混沌电路中，忆阻器的引入可以增加电路的非线性，从而产生复杂的动态行为。
忆阻器混沌电路的实现主要包括三个部分：忆阻器、放大器和反馈回路。
我们需要选择一个合适的忆阻器。
忆阻器的工作原理是基于磁性材料的磁滞回线特性。
当电流通过忆阻器时，会在磁性材料中产生磁场，导致磁滞回线的形成。
这种磁滞回线的形状会影响忆阻器的电阻值。
因此，通过调节电流或电压的大小和方向，可以改变忆阻器的电阻值。
接下来，我们需要将忆阻器与放大器连接起来。
放大器的作用是放大忆阻器的输出信号，以使其能够驱动其他电子元件。
选择合适的放大器对于实现稳定的混沌电路非常重要。
常用的放大器包括运算放大器和差分放大器。
通过调节放大倍数和偏置电压，我们可以获得理想的放大效果。
我们需要将放大器的输出信号通过反馈回路送回忆阻器。
反馈回路的作用是将电路的输出信号反馈到输入端，形成正反馈。
这种正反馈会增强电路的非线性特性，从而产生混沌行为。
在反馈回路中，我们可以通过调节反馈增益和相位来控制电路的动态行为。
通过以上三个步骤，我们可以成功实现一种基于忆阻器的混沌电路。
这种电路具有复杂的动态行为和随机性质，可以用于产生高质量的随机信号。
此外，该电路还可以应用于密码学领域，用于生成加密密钥或进行加密传输。
同时，它还可以应用于混沌通信领域，用于提高通信系统的抗干扰能力。
忆阻器混沌电路是一种基于忆阻器的非线性电路，具有复杂的动态行为和随机性质。
通过合理选择忆阻器、放大器和反馈回路，我们可以成功实现这种电路。
该电路在密码学和混沌通信等领域具有广泛的应用前景。
一个磁控忆阻器混沌电路及其FPGA实现
引子等 肯定存在缺陷 。 文献［— ］ ７ ９研究 了暂态混沌和稳定 的周期轨 ，并提 出这种暂态混沌 与忆 阻器对初
值 的 高度 敏 感 有 关 。文 献 ［］ 出 的忆 阻器 混 沌 电路较 为简 单 ，并提 出 了模 拟 电路 的 一种 实 现 方 法 ，但 ６提 未 对其 动 力 学特 性 和 暂 态 混沌 进 行 分 析 ，而 且 用模 拟 电路 实 现 忆 阻器 混沌 其 参 数 漂 移 、 难 以同 步等 诸
＝
１Ｌ 。 ／
当 ００ ＝ ０ ９ ｘ ０ ， ＝ ． １ｘ ０ ，Ｒ＝ ． ｋ ，Ｃ ＝ ． Ｆ，Ｃ ＝ ８Ｆ， ＝ ８ ￣［， ＝ １０ ， 一 ． ９ １一 ０ ２８ １～ ５ ０ １ ８． ９ Ｑ １ ６ｎ ８ ２ ６ｎ Ｌ １ｍＨ ６ 】
即 ７＝ ． ７ × ０ ， ／＝１ ７６ １。 ＝７ ２２ １一， ＝ ． ０ × ０ ， ＝ ５５５ ，初 始 值 为 （ ， ．， ．， ７ ７４ ２ １ ａ ． ０ × ０ ， ２ ４ ． ７ Ｘ ０ １ ７６ １ ５ ． ６ ４ ４ ５ ０． １０１ ０
问题 。
２ 忆 阻 器 混 沌 电路 的 动 力学 分 析
文 献 ［］ 出 的忆 阻器 混 沌பைடு நூலகம்电路如 图 １ 示 ， 为 一个 忆 ６提 所
ｉ
图 １ 磁 控 忆 阻 器 替 换 蔡 氏二 极管 的蔡 氏振荡 电路
一个新的基于忆阻器的超混沌系统及其电路实现资料
一个新的基于忆阻器的超混沌系统及其电路实现尹玮宏1 ,王丽丹1,*, 段书凯11西南大学物理科学与技术学院电子信息工程学院重庆中国400715摘要忆阻器被认为是第四个基本电路元件，它除了是下一代非易失性存储中有竞争力的候选器件外，由于拥有超越其它元件的超级性能，还能构建具有复杂动力学的非线性电路。
特别地，新的基于忆阻器的混沌振荡器的实现已成为非线性电路设计的范例。
本文首先推导两个基于磁控忆阻器模型的串联忆阻器的特性及磁通电荷关系。
然后通过使用这个忆阻系统获得一个新颖的四维超混沌系统，它有两个正的李雅普诺夫指数。
通过观察各种混沌吸引子、功率谱和分岔图可看到丰富的动力学现象。
最后，建立了模拟该系统的SPICE电路。
SPICE 仿真结果与数值分析一致，这进一步显示了该超混沌系统的混沌产生能力。
关键词:忆阻器,超混沌系统,混沌吸引子,电路实现1 引言忆阻器（Memristor）是一种非线性无源元件，具有非线性和非易失性。
几年来的研究工作取得了可喜的进展，各种基于忆阻器的应用成为了研究的热点。
2008 年，惠普实验室的科学家在《Nature》上发表论文宣称，成功制成了第一个物理实现的忆阻器[1]，证实了37 年前加州大学蔡少棠（Leon O. Chua）教授的推测[2]。
此后，忆阻器受到了广泛的关注和研究。
忆阻器的体积小，功耗低，因此忆阻器是混沌中非线性电路部分的理想选择[3]，各种基于忆阻器的混沌系统得到了研究人员的密切关注[4-7]。
基于忆阻器的混沌系统应当具有以本项目受到新世纪优秀人才支持计划（教技函［2013］47号）, 国家自然科学基金(61372139, 61101233, 60972155)，教育部“春晖计划”科研项目（z2011148）,留学人员科技活动项目择优资助经费（国家级, 优秀类, 渝人社办〔2012〕186号）, 重庆市高等学校优秀人才支持计划（渝教人〔2011〕65号）,重庆市高等学校青年骨干教师资助计划（渝教人〔2011〕65号）,中央高校基本科研业务费专项资金(XDJK2014A009, XDJK2013B011）的资助。
基于忆阻器的非线性电路分析及图像加密应用
摘要忆阻器作为一种具有电荷记忆特性的非线性二端口元件，在电路中极易产生混沌振荡信号，它的出现为电工电子、人工智能及非线性系统等领域的发展提供了全新的方向。
其中，基于忆阻器的混沌电路构建及应用，受到研究者的广泛关注，成为非线性领域及电工电子领域的研究热点之一。
本文设计两种忆阻混沌振荡电路，分析电路中特殊的非线性动力学行为，并结合数字电路技术与模拟电路技术实现所构电路。
后利用电路产生的混沌序列实现数字图像加密。
具体研究工作总结如下：（1）构建含单个绝对值忆阻模型的非线性电路，分析系统复杂动力学行为并完成硬件电路实验。
将绝对值型忆阻器引入改进型蔡氏电路，构建新型四维忆阻电路，在其伏安模型的基础上讨论系统动力学特性。
发现所构系统存在，不同于改进型蔡氏电路的特殊对称共存分岔现象及对称域内多稳态现象，为忆阻混沌序列的加密应用打下基础。
最后，采用电路分立元件完成所构电路的硬件实验，证实理论分析的正确性及电路的物理可实现性。
（2）建立异构双忆阻电路的常规模型与降维模型，比较两者动力学特性的异同，并基于降维模型设计数字电路实现方案，物理调控系统多稳态行为。
在单忆阻电路基础上增加一个三次非线性磁控忆阻器，设计含有两个不同忆阻器的双忆阻非线性电路。
随后，分别基于基尔霍夫定律与磁通-电荷分析法，建立系统伏安模型与韦库模型，采用常规非线性动力学分析方法讨论两种模型对应的运动行为，明确系统不同运动状态对应的参数域或初值域。
此外，证明磁通-电荷分析法应用在异构双忆阻混沌电路中的可行性与有效性，为类似的非线性系统分析提供理论参考。
最后，利用数字电路实现技术，基于韦库模型物理实现双忆阻混沌振荡电路，并完成特殊多稳态现象的精准物理控制。
（3）提出一种结合优化置乱算法与扩散算法的掩盖性加密算法，设计新型忆阻混沌数字图像密码系统。
首先，对三个忆阻模型产生的混沌序列进行随机性测试，选定伪随机特性优良的序列作为混沌加密密码。
随后，优化常规行、列置乱算法，得到二维矩阵转为一维向量后的无重复置乱算法。
基于忆阻器的混沌系统原理及应用
（3）
状态方程中
中 vC 和 iL 分别为经过电容
的电压和经过电感的电流。其中参数选择 k=1，c=0.5，L=1，
C=1，初始条件为（0，0.1，0），利亚诺普指数存在一个或多
个大于 0，且利亚诺普指数之和小于 0，维数也为分数维度，
那么说明系统进入的混沌。那么给出如下的归一化方程。
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中国新技术新产品 2018 NO.8（下）
新技术开发
图 2 混沌图
[3] 许碧荣 . 一种最简的并行忆阻器混沌系统 [J]. 物理学报，
2013，62（19）：91-98.
（4） [4] 胡柏林，王丽丹，黄艺文，等 . 忆阻器 Simulink 建模和图 形用户界面设计 [J]. 西南大学学报（自然科学版），2011，33
新技术开发
2018 NO.8（下） 中国新技术新产品
基于忆阻器的混沌系统原理及应用
申可迪 （浙江省杭州第二中学，浙江 杭州 310000）
摘 要 ：本文在蝴蝶效应理论中引出的混沌系统的基础上，提出了一种串行忆阻器的混沌系统，通过建立混沌系
统的电路图，给出电路的关系式，再通过仿真器去模拟基于此电路的混沌系统。在密码学的发展过程中，密码变
[6] 方清 . 基于忆阻器的混沌电路设计 [D]. 湖南 ：湘潭大学， 2013. [7] 闵富红，王珠林，王恩荣，等 . 新型忆阻器混沌电路及其 在图像加密中的应用 [J]. 电子与信息学报，2016，38（10）： 2681-2688. [8]Chua L O.Memristor-The missing circuit element[J].IEEE Trans Circuit Theory，1971，18（5）：507-519. [9]Chua L O，Kang S M.Memristive devices and systems[J].Proc IEEE，1976，64（2）：209-223.
忆阻器电学特性的模拟及在混沌系统中的应用研究
结论与展望
本次演示通过对忆阻器电学特性的模拟及在混沌系统中的应用研究，取得了 一些有意义的成果。首先，我们建立了一种简单、准确的忆阻器数学模型，该模 型能够较好地模拟忆阻器的电学特性；其次，我们将忆阻器应用于混沌系统的模 拟和分析中，实现了混沌电路的稳定性和动态行为的调控；最后，我们还探讨了 忆阻器在混沌加密和安全通信领域的应用前景，为未来的研究提供了一定的思路 和方向。
接着，本次演示提出了模拟忆阻器电学特性的实验设计和实施方法，并详细 阐述了混沌系统中忆阻器的应用研究。最后，本次演示对实验结果进行了分析和 总结，并指出了未来研究中需要进一步探讨的问题。
引言
忆阻器作为一种新型的电子元件，自2008年被发现以来，已引起了广泛的和 研究。忆阻器具有独特的电学特性，如非线性、非对称性和记忆效应等，这些特 性使得忆阻器在模拟神经网络、混沌系统、基因电路等领域具有广泛的应用前景。 本次演示将重点探讨忆阻器电学特性的模拟方法及其在混沌系统中的应用。
在混沌系统中，忆阻器的应用研究还处于起步阶段。已有研究表明，忆阻器 可以用于混沌系统的建模和控制。例如，利用忆阻器构建混沌电路，可以实现对 混沌系统的复杂行为进行模拟和分析。此外，忆阻器还可以用于混沌系统的反控 制，例如利用忆阻器实现混沌加密和安全通信。
研究方法
本次演示采用实验研究和理论分析相结合的方法，首先通过实验测试忆阻器 的电学特性，建立相应的数学模型，并使用该模型对混沌系统进行分析和设计。 具体来说，本次演示的实验设计包括以下几个方面：
最简荷控型忆阻器混沌电路的设计及实现
证 电路 的 正 确 性 ， 利用 Ｐ ｓ ｐ ｉ ｃ ｅ进行 相 应 电 路 仿 真 ， 仿 真 结果 与 理 论 分 析 、 数 值 计 算 基 本 一致 ．
关键 词 ： 忆 阻 器 ；混 沌 ；串联 中图分类号 ： Ｏ ４ １ ５ ． ５ ，０ ５ ４ ５ 文献 标 志码 ： Ａ
蔡 氏电路进 行 的设计 ， 电路结 构 比较复 杂 ， 硬 件实 现 比较 困难 ； 其 次 采用 的分 段线 性 函数 和光 滑 函数 描 述 的 忆 阻器 与 惠普实 物模 型有 一定 差异 ． 因此采 用 惠普模 型忆 阻器 ， 设计 电路 结构 简单 的混 沌 电路成 为研 究 的新
方 向， ２ ０ １ ２年 Ｂ ｕ ｓ ｃ ａ ｒ ｉ ｎ ｏ等人根 据 惠普忆 阻器 实 物 模 型设 计 了 一类 新 型 忆 阻 器 混沌 电路 ， 但 是 所 设 计 的混 沌 电路只进 行 了数值 仿 真． 同年 ， Ｃ ｈ ｕ ａ ｔ ６ ］ 利 用数 学模 型化 的 惠普 磁 控 忆 阻器 设 计 并 实现 了只 有 三个 电
阻值 和全部 掺杂 时 的最小 电阻值 ， 同 时用 Ｄ表示 忆 阻器 的 总长 度 ， 伽表 示 忆 阻器 掺 杂部 分 随时 间 变化 的长 度， 从 而忆 阻器 的忆 阻值 可 以表示 为
） ＝ Ｒ 。
收 稿 日期 ：２ ０ １ ４— ０ ６—３ ０；修 回 日期 ： ２ ０ １ ４— ０ ９— ２ ８
＋ Ｒ ｏ ｒ ｒ １ 一 ） ，
（ １ ）
基 金项 目 ：国 家 自然 科 学 基 金 （ ６ １ ２ ３ ３ ０ １ ０， ６ １ １ ７ ６ ０ ３ ２ ） 及 湖 南 省 研 究 生 创 新 项 目（ Ｃ Ｘ ２ ０ １ ４ Ｂ ２ ６ １ ） 资 助 作 者简 介 ：谭 志 平 （ １ ９ ８ ９一） ，男 ，湖 南 郴 州 ， 研 究生 ， 从 事 混 沌 电路 及 系 统 设 计 ， Ｅ — ｍａ ｉ ｌ ： ｔ ｚ ｐ ２ ０ ０ ８ ｏ ｋ ＠１ ６ ３ ． ｃ ｏ ｎ ｒ
忆阻混沌电路
6期
包伯成等： 忆阻混沌振荡器的动力学分析
3787
选择电路参数使得 α = 16. 4 ，β = 15 ，γ = 0. 5 ， ξ = 1. 4 ， a = 0. 2 和 b = 0. 4 ， 对 于 初 始 条 件 （ 0， － 10 10 ， 0， 0） ， 系统（ 5 ） 生成了一个双涡卷混沌吸引 它在相空间或相平面上的投影如图 2 所示. 图 2 子， （ d） 显示的是忆阻振荡电路中忆阻器的端电压与流 i 平面上的混沌吸引子， 过的电流在 v它反映了忆阻 器元件的非线性动力学特性. 利用 Jacobi 方法计算 Lyapunov 指 数 得 L1 = 0. 3542 ，L2 = 0. 0008 ，L3 = － 0. 0007 ，L4 = － 7. 8311 ， Lyapunov 维 数 为 d L = 2. 0452. 在 y = 0 截面上三维 Poincaré 映射轨线在 xz平面上的投影如图 3 （ a） 所示， 三个状态变量的时 域波形如图 3 （ b ） 所示， 它们是非周期性的， 貌似随 Poincaré 映射、 机的. 因此， 从忆阻振荡器的相轨图、 时域波形以及相应的 Lyapunov 指数和维数可知， 该 振荡器是混沌振荡的.
3 2 2 λ［ λ + （ 1. 2 αc － 0. 2 α + 1. 5 ） λ
+ （1. 8αc2 － 1. 3α + 15. 5） λ + 18. 6αc2 － 3. 6α］ = 0. （8） （ 8 ） 式方括号中的三次多项式方程的系数均为非零 Hurwitz 稳定条件， 实常数. 根据 Routh该三次多项 式方程的根的实部为负的充分必要条件是 1. 2 αc2 － 0. 2 α + 1. 5 > 0 ， 1. 8 αc2 － 1. 3 α + 15 . 5 > 0 ， 18 . 6 αc2 － 3 . 6 α > 0 ， （ 1. 2 αc － 0. 2 α + 1. 5 ） （ 1. 8 αc － 1. 3 α + 15 . 5 ） － （ 18 . 6 αc2 － 3 . 6 α） > 0 ， 式 中 α 为 正 常 数， 即 有 α > 11. 9231 ， c 0. 4399 ， 以及 2. 16 α2 c4 + （ 2. 7 α － 1. 92 α2 ） c2 + 0. 26 α2 － 1. 45 α + 23 . 25 > 0. 若选择 α = 12 —18 ， c （ 10 ） = 0 —1 ，则满足（ 9 ） 式的参 >
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d i3 r 1 = － v2 － i3 ， dt L L dφ = v1 ． dt （ 6）
代替蔡氏混沌电
路中的蔡氏二极管来实现的 ． 图 3 电路由四个动态 元件组成， 分别是 两 个 电 容 、 一 个 电 感 和 一 个 忆 阻， 它们所对应的四个状态变量分 别 是 v 1 ，v 2 ，i 3 和 φ ， 这里 φ 是忆阻内部状态变量 ． 图 3 中 AA' 端的右边 电 路 构 成 了 一 个 有 源 忆 阻 从端口 A 流 进 的 电 流 i m 与 AA' 端 的 电 压 v 之 间 器， 的伏安关系为 im = （ W （ φ） － G） v = （ a － G + 3 bφ2 ） v ． 电路的状态方程为四个联立的一阶微分方程组 （ 5）
· · · ·
需要说明的是， 忆阻混沌电路的稳定性不能简 单地由平衡点集 E 的 三 个 非 零 特 征 根 λ i （ i = 1 ，2 ， 3 ） 的稳定性来确 定， 在一定的电路参数下零特征根 （ λ4 = 0 ） 对 忆 阻 混 沌 电 路 的 稳 定 性 也 有 很 大 的 影响 ．
－ 10 对于初始条件（ 0 ，10 ，0 ，0 ） ， 光滑忆阻混沌
电路生成 的 吸 引 子 在 相 平 面 上 的 投 影 及 其 时 域 波 形如图 4 所示 ． 图 4 （ a ） 和（ b ） 分别给出了混沌吸引 （ 7） 图 4 （ a） 是 一 个 单 涡 子在 x-y 和 x-w 平面 上 的 投 影， 卷混沌吸 引 子， 而 图 4 （ b） 是 一 个 双 涡 卷 混 沌 吸 引 子； 图 4 （ c ） 是电路中忆阻器的端电压与流过的电流 在 v-i 平面上的相轨， 它反映了忆阻器的非线性动力 （ 8） 学特性 ． 变量 x 和 w 的时域波形如图 4 （ d ） 所示， 它 们是非周期性 的， 貌 似 随 机 的． 光 滑 忆 阻 混 沌 电 路 的 Lyapunov 指数 L 1 = 0. 2567 ，L 2 = 0 ，L 3 = 0 ，L 4 = Lyapunov 维数 d L = 2. 055． 因 此， － 4. 6638 ， 从相轨 时域波形以及 Lyapunov 指数和维 数 可 知 该 电 路 图、 是混沌振荡的 ． 一般的混 沌 系 统 都 对 初 始 条 件 具 有 敏 感 依 赖 性， 在不同的初始条 件 下 系 统 轨 线 随 时 间 的 演 化 是 不可预测的， 但它的 运 动 轨 迹 始 终 局 限 于 一 个 确 定 无论混沌系统内部状态多么不稳 的混沌吸引域内， 定， 它的轨 迹 都 不 会 离 开 混 沌 吸 引 域， 即混沌是有 界的
图1
忆阻器
（ a ） 荷控忆阻器，（ b ） 磁控忆阻器
定义 一 个 磁 控 忆 阻 元 件 具 有 光 滑 的 三 次 单 调 上升的非线性特性曲线
［11 — 13］
（ 1） 式描述的是一 进一步， 当 a = 1 和 b = 1 时， 个归一化磁控忆阻器 ． 在如图 1 （ a ） 所 示 的 归 一 化 磁 控 忆 阻 器 的 两 端 施加一个单位幅度的正弦电压 sin （ 2 π ft ） 激励， 设忆 流过的电流为 i ， 于是有 阻器端电压为 v ， v = sin （ 2 π ft ） ， i = W （ φ） v = （ 1 + 3 φ2 ） v， dφ / dt = v ． 利用 ODE45 算法， 可得到归一化磁控忆阻器在 v-i 平 面上的伏安特性曲线如图 2 （ c ） 所示， 激励频率 f = 0. 5 Hz 时对应的电压和电流的时域波形如图 2 （ d ） 所示． 图 2 （ c） 给 出 了 两 个 不 同 的 频 率 激 励 时 归 一 化 磁控忆阻器的伏安 特 性 曲 线， 表明忆阻器的性能受 激励频率的影 响 很 大 ． 另 外， 磁控忆阻器的伏安特 性具有一个 斜“8 ” 字 形 的 类 紧 磁 滞 回 线 的 形 状， 除 原点外， 电 压 和 电 流 互 为 彼 此 的 双 值 函 数， 该特性 与惠普忆阻器和蔡氏忆阻器所描述的一致 ．
* 国家自然科学基金（ 批准号： 60971090 ） 、 江 苏 省 自 然 科 学 基 金 （ 批 准 号： BK2009105 ） 和 航 空 科 学 基 金 （ 批 准 号： 2009ZC52038 ） 资 助 的 课题 ． E-mail ： mervinbao@ 126． com
2011 中国物理学会 Chinese Physical Society 120502-1
120502
图2
光滑磁控忆阻器的特性
（ a ） φ -q 关系曲线，（ b ） 忆导曲线，（ c ） 伏安特性，（ d ） 时域波形
3. 忆阻混沌电路
一个 包 含 有 源 忆 阻 器 的 混 沌 电 路 如 图 3 所 示 ． 该电路是 通 过 采 用 无 源 二 端 口 光 滑 磁 控 忆 阻 和 一 个负电导构 成 的 有 源 忆 阻 器
2. 光滑忆阻器
忆阻器是一个 基 本 的 无 源 二 端 元 件， 它的磁链 φ 与累积的电荷 q 之间的关系可以用 φ -q 或 q-φ 平面 上的一条曲线 f （ φ ，q ） = 0 来 确 定 ． 忆 阻 器 分 为 荷
即电荷随磁链的变化率 W （ φ ） =
流过的电 流 和 两 端 的 电 压 之 间 的 伏 安 特 性 可 以 描 述 为 i = W （ φ ） v． 这里 M （ q ） 和 W （ φ ） 均是非线性函 且取决于忆阻器内部状态变量 q 或 φ ． 数，
［1］
连续分段线性忆导函数的含源忆阻器替 换 蔡 氏 混 沌电路或类 蔡 氏 混 沌 电 路
［12 ， 13］
中 的 蔡 氏 二 极 管，
导出了一些新 的 忆 阻 混 沌 电 路． 这 些 混 沌 电 路 在 一定的电路参数条件下可生成不同形状 的 混 沌 吸 9， 10］中 所 采 用 的 忆 阻 器 特 性 曲 线 均 引 子 ． 文 献［ 是非光滑 的 分 段 线 性 函 数， 导致它的忆阻或忆导 均是不连 续 的 非 线 性 函 数， 在物理上实现这类器 10］几 乎 没 有 对 其 文 献［9 ， 件是不现实的． 此 外， 所提出的忆阻 混 沌 电 路 进 行 动 力 学 特 性 分 析． 其 实， 由于忆阻器在电路中的介入， 使得新构建的电 路存 在 一 个 分 布 于 某 一 坐 标 轴 上 的 平 衡 点 集
213164 ） 210016 ） 610031 ） 210094 ）
2 ） （ 南京航空航天大学电子信息工程学院， 南京
（ 2010 年 10 月 5 日收到； 2011 年 4 月 18 日收到修改稿）
具有记忆功能的忆阻器是除电阻器 、 电容器和电感 器 之 外 的 第 四 种 基 本 二 端 电 路 元 件 ． 提 出 了 由 φ -q 平 面 上 的一条三次单调上升的非线性曲线来确定的光滑磁控忆阻器， 它有着斜“8 ” 字形的类紧磁滞回线的伏 安 特 性 曲 线 ． 采用此忆阻器和负电导构成的有源忆阻器替换蔡氏混沌电路中的蔡氏二极管， 导出了 一 个 基 于 忆 阻 器 的 混 沌 振 荡 电路 ． 此外， 利用常规的运算放大器和乘法器等元器件给出了有源忆阻器的等效电路实现形式 ． 理论 分 析 、 数值仿 真和电路仿真结果一致， 均表明忆阻混沌电路的动力学 行 为 依 赖 于 忆 阻 器 的 初 始 状 态 ， 在不同初始状态下存在混 周期振荡或稳定的汇等不同的运行轨道 ． 沌振荡 、
控忆阻器和磁 控 忆 阻 器 两 种
， 如 图 1 所 示． 图
1 （ a ） 中的荷控忆阻器可以用 q-φ 平面上一条通过原 其斜率即磁链随电 点的特性曲线 φ = φ （ q ） 来表征， 荷的变化率 M （ q ） = dφ（ q） 称 为 忆 阻， 流过的电流 dq
与两端 的 电 压 之 间 的 伏 安 特 性 可 以 描 述 为 v = M （ q ） i． 图 1 （ b ） 中的磁控忆阻器可以用 φ -q 平面上 其斜率 一条通过原点的特性曲线 q = q （ φ ） 来表征， dq（ φ） 称为忆导， dφ
［3］
于 2008 年 5 月首次报道了忆阻器的实现性， 其
［4］
， 有着与一般 混 沌 电 路 或 系 统 完 全 不 同 的
［14 — 16］
研究引起人们 的 极 大 兴 趣
． 忆 阻 元 件 的 存 在， 使
非线性物理现象
．
电容和电感增加到了 电路设计的基础元 件 由 电 阻 、 四个， 忆阻器为电路 设 计 及 其 忆 阻 电 路 应 用 提 供 了 全新的发展空间
x = v1 ， y = v2 ， z = i3 ， w = φ，
பைடு நூலகம்
物 理 学 报
Acta Phys． Sin．
Vol． 60 ，No． 12 （ 2011 ）
120502
α = 1 / C1 ， β = 1 / L， γ = r / L， ξ = G， C2 = 1 ， R = 1， 并定义非线性函数 W （ w ） 为 dq（ w） W（ w） = dw = a + 3 bw 2 ， （ 6 ） 式的状态方程可以重写为
关键词： 忆阻器，混沌电路，初始状态，等效电路
PACS ： 05． 45． － a
升且分段线性的忆阻器替换蔡氏混沌电 路 中 的 蔡
1. 引
言
导出了基于忆阻器的类正弦振荡或混 氏二极管， Muthuswamy 沌振荡 电 路． 类 似 地，
［10］
采用一个不
在电路基本理 论 中， 电路和元件特性是由四个 电压 、 电 荷 和 磁 通 ） 来 描 述 的， 其中 基本变量（ 电流 、 描述电压与 电 流 关 系 、 电 压 与 电 荷 关 系、 电流与磁 电 容 器 和 电 感 器， 它们 通关系的元 件 即 为 电 阻 器 、 是目前实现电路的基本组成元件 ． 根据变量组合完 备性原理， 加州大学 伯 克 利 分 校 的 华 裔 科 学 家 蔡 少 棠