第五章 大数定律和中心极限定理
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概率论与数理统计第五章大数定律及中心极限定理
概率论与数理统计第五章大数定律及中心极限定理课前导读概率论是研究大量试验后呈现出的统计规律性的一门理论。
数学中研究大量的工具是极限。
因此这一章学习概率论中的极限定理。
第一节大数定律随着试验次数的增大，事件的频率逐步稳定到事件的概率。
意味着随着试验次数的增多，在其中一种收敛意义下，频率的极限是概率。
大数定律解释了这一结论。
首先介绍切比雪夫不等式。
一、切比雪夫(Chebyshev)不等式随机变量X的取值总是围绕着其期望变动，若X的分布已知时，可以计算事件\{，X-E(X)，\geq \epsilon \}的概率。
切比雪夫不等式：对切比雪夫不等式的直观理解：方差越小，X在其期望附近取值的密集程度越高，原理期望的区域的概率上加越小。
进一步说明了方差的概率意义，方差时随机变量取值与其中心位置的偏离程度的一种度量指标。
当随机变量X的分布未知时，可由X的观测数据估计得到X的期望和方差，然后使用切比雪夫不等式估计X关于E(X)的偏离程度。
二、依概率收敛随机变量序列即由随机变量构成的一个序列。
不能用类似定义数列极限的方式定义随机变量序列的极限，因为序列中的每一个元素X_n是随机变量，取值不确定，不可能和一个常数c的距离任意小。
只能说一些事件A发生的频率f_n(A)收敛到A的概率P(A)。
依概率收敛的定义：定理2：三、大数定律三个大数定律：切比雪夫大数定律、辛钦大数定律和伯努利大数定律。
注意这三个大数定律的条件有何异同。
定理3 切比雪夫大数定律：若随机变量序列相互不相关，方差存在且一致有上界，当n充分大时，随机序列的前n项的算术平均值和自身的期望充分接近几乎总是发生的。
定理4 相互独立同分布的大数定律（辛钦大数定律）：辛钦大数定律为算术平均值法则提供了理论依据。
伯努利大数定律：伯努利大数定律是相互独立同分布大数定律的特例，限定分布为两点分布。
伯努利大数定律体现了：随着试验次数的增大，事件的频率逐步稳定到时间的概率，这里的稳定即为依概率收敛。
第五章大数定律及中心极限定理第节
令
Yn
1 n
n
X
k 1
k
则序列 Y1,Y2,,Yn, 依概率收敛于 a。
定理二: (伯努利大数定理)
设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生 的次数，p 是事件 A 在每次试验中发生的概率，
则对于任意正数 0，有
lim
n
P
nA n
p
1
或
lim
n
P
nA n
p
0.
伯努利大数定理表明事件发生的频率 nA n
解： 令
Xk
1 0
第 k 个人在未来一年里死亡 第 k 个人在未来一年里未死亡
(k 1,2,,10000)
则 Xk
0
1
p 0.995 0.005
10000
10000个这类人中死亡人数 X Xk ~ b(10000, 0.005)
k 1
10000
10000个这类人中死亡人数 X Xk ~ b(10000, 0.005)
下，这一要求可以去掉 。
为此，我们有以下结论 ：
定理三： (辛钦定理)
设随机变量 X1, X2,, Xn, 相互独立，
服从同一分布，且具有数学期望 E( Xk ) , (k 1,2,). 则对于任一正数 , 有
lim
n
P
1 n
n
X
k 1
k
1
第二节 中心极限定理
正态分布在随机变量的各种分布中，占有特别 重要的位置。在某些条件下，即使原来并不服从正 态分布的一些独立的随机变量，它们的和的分布， 当随机变量的个数无限增多时，也是趋于正态分布 的。在概率论中，把研究在什么条件下，大量独立 的随机变量的和的分布以正态分布为极限分布的这 一类定理称为中心极限定理。
5大数定律与中心极限定理 课件(共31张PPT)- 《概率论与数理统计(第2版)》同步教学(人民邮电
三、大数定律
第5章 大数定律及中心极限定理 12
定理4（独立同散布大数定律）
设随机变量序列X1, X2, , Xn, 独立同分布，若E Xi ，D Xi = 2 ，
i 1, 2, 。则对任意 0，有
lim P n
1 n
n i 1
Xi
1.
这里随机变量序列X1, X2, , Xn , 独立同分布指随机变量序列相互独立， 且序列中随机变量的分布类型及参数均相同。
例2 设X ~ N (, 2，) 用切比雪夫不等式估计概率P( X 3 ) 。
解
因为 =3 ，由切比雪夫不等式得
P X EX DX 2
P
X
3
D(X )
3 2
=
1 9
一、切比雪夫不等式
第5章 大数定律及中心极限定理 7
例3
设随机变量 X 的方差 D X 0，求证，X 服从参数为 c 的退化散布。
n
n i 1
X
2 i
P 1 n
n i 1
E
X
2 i
E
X
2 i
D Xi
E2
Xi
三、大数定律
第5章 大数定律及中心极限定理 17
例4续
01 当Xi B(m, p)时，E Xi =mp, E
X
2 i
=mp 1 p m2 p2, 有
OPTION
X P mp,
1 n
n i 1
X
2 i
P mp 1
p
m2 p2
02 OPTION
当X i
E 时，E
Xi
=
1
,
E
X
2 i
=
2
大数定律及中心极限定理
则 g(X n, Yn ) P g(a, b)
定理1 （切比雪夫定理旳特殊情况）设随机变量序
列 X1,X2,…,Xn, ...相互独立，且具有相同旳数学期望
和方差： E(Xk)=，D(Xk)=2 (k=1,2,...) , 则对任意
旳
> 0，有
lim P n
1 n
n
Xi
i 1
1
即
X
1 n
第五章 大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理
§5.1 大数定律
定义1 设Y1, Y2 …,Yn ,...为一随机变量序列，a是常数， 若对任意正数，有
lim
则称随机变量序列Y1, Y2 ,…,Yn , ... 依概率收敛于a ，
记为: Yn P a
性质：设 Xn P a, Yn P b , g(x, y)在点(a, b)连续,
100
于是, 一盒螺丝钉旳重量为 X Xi i 1
且 E( X i ) 100, D( X i ) 10, n 100
由中心极限定理
100
P{ X 10200} P{ i 1
Xi
10200}
P
100
Xi
i 1
n
n
10200 n n
P
X
1000 100
10200 1000
Φ
k 120 48
Φ
120 48
0.999
k 141.48,
至少供电142千瓦,才干确保以不不大于99.9%旳概率正常工作.
例3 在人寿保险企业里,有3000个同一年龄旳人参加保险.设在
一年内这些人旳死亡率为0.1%, 参加保险旳人在一年旳头一天 交付保险费10元，死亡时，家眷可从保险企业领取2023元． 求 （1）保险企业一年中获利不不大于10000元旳概率；
定理1 （切比雪夫定理旳特殊情况）设随机变量序
列 X1,X2,…,Xn, ...相互独立，且具有相同旳数学期望
和方差： E(Xk)=，D(Xk)=2 (k=1,2,...) , 则对任意
旳
> 0，有
lim P n
1 n
n
Xi
i 1
1
即
X
1 n
第五章 大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理
§5.1 大数定律
定义1 设Y1, Y2 …,Yn ,...为一随机变量序列，a是常数， 若对任意正数，有
lim
则称随机变量序列Y1, Y2 ,…,Yn , ... 依概率收敛于a ，
记为: Yn P a
性质：设 Xn P a, Yn P b , g(x, y)在点(a, b)连续,
100
于是, 一盒螺丝钉旳重量为 X Xi i 1
且 E( X i ) 100, D( X i ) 10, n 100
由中心极限定理
100
P{ X 10200} P{ i 1
Xi
10200}
P
100
Xi
i 1
n
n
10200 n n
P
X
1000 100
10200 1000
Φ
k 120 48
Φ
120 48
0.999
k 141.48,
至少供电142千瓦,才干确保以不不大于99.9%旳概率正常工作.
例3 在人寿保险企业里,有3000个同一年龄旳人参加保险.设在
一年内这些人旳死亡率为0.1%, 参加保险旳人在一年旳头一天 交付保险费10元，死亡时，家眷可从保险企业领取2023元． 求 （1）保险企业一年中获利不不大于10000元旳概率；
第五章--大数定律与中心极限定理
P{ X
μ
ε
}
1
σ2 ε2
.
第一节 大数定律
大数定律— 概率论中有关阐明大量随机现象平 均结果的稳定性的一系列定理。
迄今为止,人们已发现很多大数定律(laws of large numbers)所谓大数定律，简单地说，就是大 量数目的随机变量所呈现出的规律，这种规律一般 用随机变量序列的某种收敛性来刻画。
i 1
100
P{380 Xi 420}
i 1
100
P{380 400 i1 Xi 400 420 400}
225
225
225
(4) ( 4)
3
3
2(1.333) 1 0.8164.
例 某车间有同型号机床200台,它们独立地工作着.每台开工的 概率为0.7,开工时每台耗电15kw.问供电部门最少要供应该车间 多少电能,才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.
X n P a
1.伯努利大数定理
定理2 设试验E可重复进行，事件A在每次实验中出现的
概率为p，将试验进行n次，nA表示事件A发生的次数,则
对任意 0,有
lim P{| nA p | } 1
n
n
证明:
因为n A
~
b(n,
p),
故E(nA )
np,
D(nA )
np(1
p)
从而E(nA ) n
(2) " n很大"是一个较为模糊的概念, 经验告诉我们, 如果取 n 50(有时可放宽到n 30),则近似程度便可以满足一般 要求.当然,n越大精度越好.
德莫佛---拉普拉斯定理:
设随机变量Xn ~ B(n, p), (n 1, 2 ),则对 任意x R,有 lim P{ X n np x} (x)
第五章 大数定理与中心极限定理
说明
1 n 1、定理中{| X i | }是指一个随机事件， n i 1 当n 时，这个事件的概率趋于1.
2、 定理以数学形式证明了随机变量X 1 , X n 1 n 的算术平均X X i 接近数学期望E（X k） n i 1 （k 1,2, n），这种接近说明其具有的稳定性 .
第五章 大数定律与中心极限定理
第五章 大数定律与中心极限定理
§1 大数定律
1.1 切比雪夫不等式 1.2 依概率收敛 1.3 大数定律
§2 中心极限定理
HaiNan University
1
第五章 大数定律与中心极限定理
大数定律的客观背景
事件发生的频率稳定于某一常数 大量随机试验中 测量值的算术平均值具有稳定性
证明 取连续型随机变量的情况来证明.
设 X 的概率密度为 f ( x ), 则有
HaiNan University3第五章 大数定律 Nhomakorabea中心极限定理
P{ X μ ε }
2 x μ ε
x μ ε
f ( x)d x
x μ f ( x)d x 2 ε
1 1 2 2 2 ( x μ) f ( x ) d x 2 σ . ε ε
定理2 (契比雪夫大数定律)
1 nM M 1 D( X i ) 2 D( X i ) 2 . n i 1 n n n i 1 由契比雪夫不等式得: M 1 n 1 n P{ X i E ( X i ) } 1 n n i 1 n i 1 2
HaiNan University
10
第五章 大数定律与中心极限定理
1.3 大数定律
问题 : 设nA是n重贝努利试验中事件A发生 的次数，p是事件A发生的概率，
第5章大数定律与中心极限定理
越小，则事
件{|X - E(X)|<
}的概率越大，即随机变量 X 集中
在期望附近的可能性越大. 也说明方差大小反映随机变量 取值的分散程度。
例1. 已知正常男性成人血液中,每毫升白细胞数平均是 7300,均方差是700 .利用契比雪夫不等式估计每毫升白 细胞数在 5200 ~ 9400 之间的概率
k 1 n
n
D( X k )
k 1
的分布函数的极限.
一、独立同分布的中心极限定理
定理1 设 任意实数 有
为一列相互独立相同分布
的随机变量，且具有数学期望和方差， 则对于
其中
为标准正态分布的分布函数。
若一随机变量可以表示成数量很多的相互独立相 同分布的随机变量的和，则该随机变量可近似服从 正态分布，标准化后就服从标准正态分布。
的概率 求200个仓内老鼠总数超过350只的概率 则 解: 设第i个粮仓内老鼠数目为 独立且同分布
得
例4：有一批电子元件装箱运往外地,正品率为80%， 若要95%以上的概率使箱内正品数多于1000只,问箱内
至少要装多少只元件？
解：设装n只元件， 记X为n只元件中正品的件数， 则 利用定理得
由于当
这个定理表明，二项分布的极限分布是正态分布
当
很大时，我们便可以利用定理 2 来近似计算二
项分布的概率。
例1. 设一个系统由100个相互独立起作用的部件组成， 每个部件的损坏率为0.1。为了使整个系统正常工作， 至少必须有85个部件正常工作，求整个系统正常工作 的概率。
解：设 X 是损坏的部件数，则 X ~ B100, 0.1 则整个系统能正常工作当且仅当 X 15. 由德莫佛-拉普拉斯定理有 15 100 0.1 X 100 0.1 P{ X 15} P 100 0.1 0.9 100 0.1 0.9
《概率论与数理统计》课件第五章大数定律及中心极限定理
有极其重要的地位？
4.大样本统计推断的理论基础
是什么？
大数定律中心极限定理
随机现象中平均结果的稳定性
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币正面出现频率
字母使用频率
生产过程中的废品率
§5.1 大数定律
背景：1. 频率稳定性2. 大量测量结果算术平均值的稳定性
回顾
随机现象的主要研究方法
概率分布
01
证：_x001A__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B_,⋯, _x001A__x001B__x001B_, ⋯相互独立同分布，则_x001A__x001B__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯也相互独立同分布,由辛钦大数定律得证.
第五章 大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律§5.2 中心极限定理
要点：用切比雪夫不等式估算概率独立同分布,用中心极限定理计算对于二项分布，当n很大时，计算
本章要解决的问题
1.为何能以某事件发生的频率
作为该事件的概率的估计？
2.为何能以样本均值作为总体
期望的估计？
3.为何正态分布在概率论中占
解：(1)设X表示一年内死亡的人数，则~(, )，其中=，=.%. 设Y表示保险公司一年的利润，=×−.需要求的是_x001A_<_x001B_.
由中心极限定理
_x001A_<_x001B_=_x001A_×−<_x001B_ =_x001A_>_x001B_=−_x001A_≤_x001B_
且，
由中心极限定理
解：设为第i个螺丝钉的重量， 相互独立同分布. 于是，一盒螺丝钉的重量为
4.大样本统计推断的理论基础
是什么？
大数定律中心极限定理
随机现象中平均结果的稳定性
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币正面出现频率
字母使用频率
生产过程中的废品率
§5.1 大数定律
背景：1. 频率稳定性2. 大量测量结果算术平均值的稳定性
回顾
随机现象的主要研究方法
概率分布
01
证：_x001A__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B_,⋯, _x001A__x001B__x001B_, ⋯相互独立同分布，则_x001A__x001B__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯也相互独立同分布,由辛钦大数定律得证.
第五章 大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律§5.2 中心极限定理
要点：用切比雪夫不等式估算概率独立同分布,用中心极限定理计算对于二项分布，当n很大时，计算
本章要解决的问题
1.为何能以某事件发生的频率
作为该事件的概率的估计？
2.为何能以样本均值作为总体
期望的估计？
3.为何正态分布在概率论中占
解：(1)设X表示一年内死亡的人数，则~(, )，其中=，=.%. 设Y表示保险公司一年的利润，=×−.需要求的是_x001A_<_x001B_.
由中心极限定理
_x001A_<_x001B_=_x001A_×−<_x001B_ =_x001A_>_x001B_=−_x001A_≤_x001B_
且，
由中心极限定理
解：设为第i个螺丝钉的重量， 相互独立同分布. 于是，一盒螺丝钉的重量为
第五章 大数定律与中心极限定理
( ) = ∑ X − nµ n ⋅σ D (∑ X )
n n i =1 i
lim FYn ( x) = lim P{Yn ≤ x} = Φ ( x) ,
n→∞ n →∞
(5.6)
其中 Φ ( x) 为标准正态分布函数. 由列维-林德贝格中心极限定理可得计算有关独立同分布随机变量和 的事件概率的近似 ．．．．．．．．．． 公式:
X ~ B(3000,0.001) ,E(X)=np=3,D(X)=np(1-p)=2.997.
由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理得保险公司一年获利不小于 10000 元的概率为
P{10000 ≤ 30000 − 2000 X ≤ 30000} = P{0 ≤ X ≤ 10}
10 − 3 0−3 ≈ Φ − Φ 2.997 2.997
n x − nµ x − nµ P ∑ X i ≤ x = P Yn ≤ ≈ Φ . i =1 n ⋅σ n ⋅σ
{
}
(5.7)
例 1 设一加法器同时收到 20 个噪声电压 Vk ( k = 1,2, " ,20) ,它们是相互独立的随机变量, 且都服从区间(0,10)上的均匀分布,试求 P ∑ Vk > 105 .
第2 页 共6 页
概率论与数理统计
第五章 大数定律 与中心极限定理
定理 3 (辛钦大数定律) 设随机变量 X 1 , X 2 , " , X n , " 相互独立,服从同一分布且存在 相同的期望 E(Xi)=μ(i=1,2,…),则对任意正数ε有
1 n lim P X i − µ < ε = 1. ∑ n→∞ = 1 i n §5.2 中心极限定理
第五章 大数定律与中心极限定理
X
i 1
n
i
n
，
P{| Yn a | } 1 如果满足 lim n
称
Yn
依概率收敛于数a，记为
Yn a.
P
大数定律讨论的是依概率收敛的问题。
大数定律以严格的数学形式表达了随 机现象最根本的性质之一： 平均结果的稳定性 它是随机现象统计规律的具体表现. 大数定律在理论和实际中都有广泛的应用.
下面给出的独立同分布随机变量序列 的中心极限定理, 也称列维一林德伯格 （Levy－Lindberg）定理.
定理1（独立同分布下的中心极限定理） 设X1,X2, …,Xn是独立同分布的随机 变量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= 2 ， i=1,2,…,n，则
lim P{
n
X
i 1
下面我们再举一例说明大数定律的 应用.
定积分的概率计算法 求 I g ( x )dx 的值
0 1
求 I g ( x )dx 的值
0
1
我们介绍均值法，步骤是
1) 产生在(0,1)上均匀分布的随机数rn, n=1,2,…,N 2) 计算g(rn)， n=1,2,…,N
3) 用平均值近似积分值
0 1 解: X k ~ , 0.1 0.9
E(Xk)=0.1, k=1,2, …,n
诸Xk 独立同分布，且期望存在，故能 使用大数定律.
0 1 解: X k ~ , 0.1 0.9
E(Xk)=0.1, k=1,2, …,n
诸Xk 独立同分布，且期望存在，故能使用 大数定律.
n
D ( X k )
k 1
的分布函数的极限.
考虑 Z n
X
k 1
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p
20 May 2013
概率论与数理统计
理学院数学系
第五章 大数定律与中心极限定理
第14页
意义：随着n的增大，依概率意义讲，频率pn越来越 接近概率p，而pn不接近p的可能性越来越小。 不能说： lim pn p ，因为不管n有多大，仍可能有 pn n 偏离p 的情形出现(虽然这些例外情形出现的概率 趋于0)。
第五章 大数定律与中心极限定理
第21页
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第五章 大数定律与中心极限定理
第22页
独立同分布的中心极限定理
定理5.2.1 林德伯格—莱维中心极限定理 设 {Xn} 为独立同分布随机变量序列，数学期 望为, 方差为 2>0，则{Xn}服从中心极限定 理，即
设有随机变量序列X1, X2,…, Xn和随机变量Y
lim P X n Y 0 若对任意的 >0，有 n
则称随机变量序列{Xn}依概率收敛于Y, 记为
Xn
P
Y
弱大数定律讨论的就是依概率收敛.
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第五章 大数定律与中心极限定理
注意点
(1) 伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例.
(2) 伯努利大数定律是辛钦大数定律的特例.
(3) 各大数定律的条件是不同的，使用时注意甄别.
20 May 2013 概率论与数理统计 理学院数学系
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第15页
5.1.3 强大数定律
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证明用到切比雪夫不等式.
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第10页
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第五章 大数定律与中心极限定理
第11页
切比雪夫弱大数定律的证明
证明：由X 1 , X 2 ,，的独立性有 X1 X 2 X n X1 X 2 X n E ,Var n n 所以，由（5.1.4）有 X1 X 2 X n C P 2 0 n n 证毕.
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5.1.1 大数定律问题的提法
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第5页
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依概率收敛
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第30页
注 意 点 (1)
二项分布是离散分布，而正态分布是连续分布， 所以用正态分布作为二项分布的近似时，可作 如下修正：
第五章 大数定律与中心极限定理
第1页
第五章 大数定律与中心极限定理
§5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理
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第2页
§5.1
给出几种大数定律：
大数定律
切比雪夫弱大数定律、辛钦弱大数定律
科尔莫哥洛夫强大数定律、博雷尔强大数定律 讨论 “概率是频率的稳定值”（伯努利大数定律） 的确切含义.
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第五章 大数定律与中心极限定理
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伯努利大数定律 推论5.1.1（伯努利大数定律（频率收敛于概率））
设 vn 是n重伯努利试验中事件A出现的次数，每
次试验中 P(A) = p, 则对任意的 > 0，有
v lim P n n n 0
补充例1 每袋味精的净重为随机变量，平均重量 为 100克，标准差为10克. 一箱内装200袋味精，求 一箱味精的净重大于20500克的概率? 解: 设箱中第 i 袋味精的净重为 Xi, 则Xi 独立同分布， 且 E[Xi]=100，Var[Xi] =100， 由中心极限定理得，所求概率为：
200 20500 200 100 P X i 20500 1 200 100 i 1
Var[ X ]
i 1 i
n
n2
C n
n .
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第五章 大数定律与中心极限定理
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辛钦弱大数定律
定理5.1.2
若随机变量序列{Xn}独立同分布，且Xn的 数学期望存在，则 {Xn}服从大数定律.
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第五章 大数定律与中心极限定理
第20页
§5.2 中心极限定理
内容提要：
设 {Xn} 为独立随机变量序列，记其和为
Yn X i
i 1 n
讨论独立随机变量和的极限分布,
本节指出极限分布为正态分布.
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对大数定律的直观认识
学校有10000个学生，平均身高为a；
若随意观察1个学生的身高X1，则X1与a可能相差较大。 随意观察10个学生的身高X1, X2 ,…, X10 ，则10个数据的均值 (X1+X2+…+X10 )/10与a较接近； 若随意观察100个学生的身高X1, X2 ,…, X100 ，则100个数据 的均值(X1+X2+…+X100 )/100与a更接近； 若随意观察n个学生的身高X1, X2 ,…, Xn ，则当n为很大数时， 个数据的均值(X1+X2+…+Xn ) / n （样本均值） 与a（总体平均 值）充分接近.
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推论5.1.2 就是博雷尔（Borel强大数定律）.
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有关大数定律习题选讲
5.5 设{ X n }是独立同分布的随机变量序列，且假设E[ X n ] 2, Var[ X n ] 6, 证明：
2 Yk X 12 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 32n 2 X 3n 1 X 3n k 1 n
E[Yk ] E[ X 32k 2 X 3k 1 X 3k ] E[ X 32k 2 ] E[ X 3k 1 X 3k ] Var[ X 3k 2 ] ( E[ X 3k 2 ]) 2 E[ X 3k 1 ]E[ X 3k ] 6 4 4 14 k 1, 2, , n {Yn }满足辛钦大数定律条件，所以
解： 依题意，显然有， n }是一个独立同分布的随机变量序列，只要存在 {X 有限的公共数学期望，则{X n }的算术平均值依概率收敛于其公共数学期 望，由于X i 服从[5,53]上的均匀分布，所以E[ X i ] (53 5) / 2 24, i 1, 2,, n
1 n 所以，当n 时，n 次服务时间的算术平均值 X i以概率1收敛于24 分钟）. （ n i 1
则称{Xn} 服从大数定律.
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切比雪夫大数定律
定理5.1.1 （切比雪夫弱大数定律）设X 1 , X 2 , , 为独立随机变量， Var[ X i ] C , i 1, 2, , 则对任意 0有 X1 X 2 X n lim P 0. n n (5.1.5)
2 X 12 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 32n 2 X 3n 1 X 3n P a, n , n 并确定常数a之值.
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解：设Yk =X 32k 2 X 3k 1 X 3k ,由于{ X n }是独立同分布的随机变量序列 所以， n }也是独立同分布的随机变量序列，且 {Y
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以概率1收敛
设有随机变量序列X1, X2,…, Xn和随机变量Y 如果
P( : lim X n ( ) Y ( )) 1 x
则称随机变量序列{Xn}以概率1收敛于Y, 记为
Xn
可以证明，若 X n
a.s a.s
Y Y 则 Xn
P
Y
强大数定律讨论的就是以概率1收敛.
且 E[Xi] =9.62，Var[Xi] =0.82，故
100 930 100 9.62 900 100 9.62 P 900 X i 930 100 0.82 100 0.82 i 1
Y
k 1
n
k
n a 14
2 X 12 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 32n 2 X 3n 1 X 3n P a, n n
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