第6章 机械波

由此可得
x x π 所以 2 π ( t ) 2 π ( t ) u u 3 1 由此得 x x 6
t t
T 6
表明计时起点应向前移六分之一周期.
[例题2] 有一列向 x 轴正方向传播的平面简谐波，它在t = 0时刻的 波形如图所示,其波速为u =600 m/s.试写出波动方程. y/m A = 5m [解] = 24m u π 0 2 u 600 1 . s 25s 1 O 12 24
波线（或波射线)--波的传播方向称之为波射线或波线。 波面（或相面）--某时刻介质内振动相位相同的点组成的面称 为波面。 波前(波阵面)--某时刻处在最前面的波面。
球面波
波线
平面波
波线
波面 波面
球面波、平面波在各向同性均匀介质中，波线与波阵面垂直.
5.波长、周期、波速和频率
波长—波射线上，相位差2的两点间的距离称为波长。 是波源完成一次全振动，波前进的距离,用 表示。
2 波动方程的物理意义
位移 y 既是 t 的函数，又是 x 的函数 (1)、当 x 一定时，令 x = x0
x0 y( t ) A cos ( t 0 ) u
y A O -A T
表达式变成 y - t 关系，是 x0 点的振动方程.
x0 x0相位比 x=0 点落后 u x0 y( x0 , t ) A cos ( t ) 0 u
(3) x、t 均变
x y( x , t ) A cos t 0 u
具有波动意义
即: ① 各质点各自振动 ; y t 时刻 y1 x1 x2 x
② 波形向前传播. t +t 时刻
x
行波
Δx uΔt
x ut y( x ut , t t ) A cos t t 0 u x A cos t 0 y( x , t ) u
纵波——振动方向与传播方向相同。
一般复杂波 = 横波 + 纵波。
水面波
水面波是由于表面张力和重力作用的结果，并非弹性波.
O
水面平 衡位置
y
机械波向外传播的是波源的振动状态(相位)和能量。
· · · · · · · · · · · · ·t = 0 · · · · · · · · · ··· ·· ·· · · · · · · · ·· · · t = T/4 · · · · · · · · ·· · ·· · ·· · · · ·· · · · · · · t = T/2 · · · · · ·· · · · · · · · · ·· · ·· · · · · · · ·· · · t = 3T/4 ·· · ··· · · · · · ·· ·t = T · ·· ·· ···· · ·· · ·
x y A cos ( t ) v
介质元的动能
dE k
x u A sin ( t ) v
2
1 1 y u 2 dm dSdx 2 2 t
1 x 2 2 2 A sin ( t )dV 2 v
介质元的弹性势能
1 x 2 2 2 dE p A sin ( t )dV 2 v

三、平面简谐波的波动方程
简谐波:简谐振动在空间传播所形成的波叫简谐波。
平面简谐波：波面是平面的简谐波。(一维简谐波） 1.平面简谐波的波动方程 一维波动方程的一般表示：
y yt , x
波函数
位移y 是时间和空间的函数
若波速为恒量，则从整体上看，整个波以该速度向前推 进，所以又称这种波为行波。 下面以横波为例说明平面简谐波的波函数：

2 T
v
x ) 时刻的位移,则 v

T
y( x , t ) A cos( t
2x

x
)
)
2
y( x , t ) A cos 2 (t

这就是右行波的波动方程。
左行波的波函数：
x v P点运动传到O点需用时间： t v P x 2x 0 P点的相位超前于O点相位： x v 则P点的运动方程，也就是左行波的波方程为：
5 x/m
2π 50π rad s-1
原点处质点的振动方程为 波动方程为

0
O
π y0 5 cos( 50 πt ) 2
y
x π y 5 cos50π t 600 2
四、波的能量和能流
波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振动能 量的传播。
介质元的总能量 dE dE k dE p
x A sin ( t )dV v
2 2 2
•
物理意义
Байду номын сангаасEp Ek
(1) 固定 x dEk 、dEp均随t周期变化 dEk = dEp (2) 固定t dEk 、dEp均随x周期变化 y= 0 dEk 、dEp 最大 y最大dEk 、dEp 为0
T u
u

2π k u
波数、波矢
x y( x , t ) A cos ( t ) 0 u
y( x , t ) A cos[t kx 0 ]
t x y( x , t ) A cos 2π( ) 0 T x y( x , t ) A cos 2π(t ) 0
1 --表示波在空间中的周期性 --表示波在时间上的周期性 T 由于波源作一次全振动，波前进一个波长的距离，所以波 v
的频率等于波源振动频率。
6.物体的弹性和波速 机械波的传播速度完全取决于介质的弹性性质和惯 性性质。即介质的弹性模量和介质的密度。 ① 对于柔软的绳索和弦线中横波波速为: T 为绳索或弦线中张力; 为质量线密度。 ② 细长的棒状介质中纵波波速为:
u 就是波形向前传播的速度，也是相位的传播速度，所以也 称u为相速.
——波在空间的周期性
——波在时间上的周期性
通过波速v 联系起来
18
[例题1] 平面简谐波方程为
y A cos[2π ( t x / u) π / 3]
如何将此方程化成为最简形式. [解] 移动坐标原点或改变计时起点都可使原点初始相位为零. （1）移动坐标原点 选择计时起点瞬时相位为零的一个体元为新的坐标原点.
t
上式反映了介质中各点的运动规律.
同一波线上两质点之间的相位差为 x2 x1 2 t 0 t 0 ( x2 x1 ) u u
(2)、 t一定（统观波线上所有质点） 这时, y 仅为 x 的周期函数.当 t = t0 时
0
4
8
12
16
20
结论：
(1) 质元并未“随波逐流” ,波的传播不是介质质元的传播。 (2) “上游”的质元依次带动“下游”的质元振动。 (3) 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游”某 处出现---波是振动状态的传播。
(4) 同相点----质元的振动状态相同。
3.波是相位的传播。 沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。
如图：
y(t , x1 ) y(t Δt , x2 )
因振动频率不变，所以这两点相位相同.即
x1 x2 t ( t Δt ) u u
整理得：
y y1
t 时刻 x1 x2 x
t +t 时刻
x2 x1 u Δt
x
Δx uΔt
机 械 波
第6章 机械波
一、机械波的形成和传播
1.波的定义
振动在空间中的传播过程叫做波动，简称波。 2.波的分类 (1)机械振动在弹性介质中的传播过程，叫做机械波。 如：水面波、声波等。 (2)电磁场的变化在空间中的传播过程，叫做电磁波。 如：无线电波、光波等。 这两类波本质不同，但有许多共同特征，如能产生折 射、反射、衍射和干涉等现象，且都伴随着能量的传播。
对新原点平衡位置为x 的某体元在t时刻的相位为
x 2 π ( t ) u
此体元对旧坐标原点其平衡位置坐标为x，在t 时刻的相位为
x π 2π ( t ) u 3
1 表明坐标原点应沿x轴正向移动 6 （2）改变计时起点 x x π 2 π ( t ) 2 π ( t ) v v 3
1.波的能量 振动动能 + 形变势能 = 波的能量
0
x x dx dx
x
x 有一平面简谐波： y A cos ( t ) v 在x处取一体积元 dV dSdx , 质量为 dm dV dSdx
质元的振动速度
y x u A sin ( t ) t v
表达式变成 y – x 关系，表达了 t = t0 时刻空间各点的位移分 布——波形图. y t 时刻的波形曲线
x y A cos t 0 0 u
同一质点在相邻两个 时刻的振动相位差为
O
x

x x 2 t 2 0 t1 0 ( t 2 t1 ) u u T
波的周期T -- 波传过一个波长所需要的时间，或一个完 整的波通过波线上某一点所需要的时间叫做波的周期T。
波速--某一定的振动状态(或振动相位)在单位时间内所传 播的距离,称为波的相速，简称波速,用 v 表示。 频率—波在单位时间内前进的距离中所含完整波的数目， 或单位时间内，通过波射线上一点整波的数目。
设原点振动表达式为: y 0 A cos t