微积分(二)模拟题(开卷)

《微积分(二)》模拟题（补）
一． 计算题
1. 求定积分:
解:
2. 分别绕x 轴与y 轴旋转产生的旋转体的体积。

解:作椭圆图形，由于图形与坐标轴对称，故只考虑第一象限内的曲边梯形绕坐标轴旋转 所产生的旋转体的体积.
椭圆绕 x 轴旋转产生的旋转体的体积
3． 解：
4． 求y
x y x z 2422)3(++=的偏导数。

解：
.
ln 5
1
⎰xdx 45ln 5ln ln 1ln )'(ln ln ln )'(ln 5151515151515
1
5
15
15
1
-=-=-=⋅--=⎰
⎰⎰⎰⎰
x x x dx x x dx x x x x dx
x x x x xdx x xdx ＝＝例1 求椭圆
12222
=+b
y a x
2
0322202
2220234)3(2)(22ab x x a a
b dx x a a b dx y V a a a x ππππ=-=-==⎰
⎰椭圆绕 y 轴旋转产生的旋转体的体积
b a dy y b b
a dy x V b
b
y 20
2
222
2
34)(22ππ
π
=-==⎰
⎰
的收敛半径和收敛域。

求级数
∑∞
=--1
21
3)
1(n n
n n n
x ].
31
,31[,1
)1(31).3
1
,31(3131
,1331,13313lim lim 1
122221--±=-=>><<∴=⋅+=∑
∞
=-∞→+∞→径为因此，原级数的收敛半是收敛的交错级数，
时，原级数当，收敛区间为径因此，原级数的收敛半时，原级数发散。

即时，原级数收敛；当即当直接利用比值判别法：n x R x x x x x x n n
u u n n n n n n
2ln 2)
3ln()3(4)3)(24(64ln 62426ln 24,31222422124221122u u y vu v z u z z y x y x y x y x x u u x vu x
v v z x u u z x z y
v x v y y u
x x u u u v z u v u z
u z y x v y x u v v y x y x v v v v v ⋅⋅∂⋅∂+∂⋅∂=∂+++++⋅⋅∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂⋅=∂∂⋅=∂∂=+=+=-+-+--＋＝＝＋＝则，可得
，则设
5．计算 ， 其中区域D 是 所围成的区域。

解：
6. 求定积分:
解：
7. 求不定积分
解: 令,arctan x u =
8. 判定 -p 级数的 敛散性. 解：(1)当p ≤1时， 由 发散， 所以级数 发散
当p >1时，
⎰⎰
D dxdy xy 22
x y x y ==与},10|),{(2x y x x y x D ≤≤≤≤=⎰
⎰⎰
⎰⎰
=
-=
=
1
631
22
1
)(31
2
dx x x x dy y dx dxdy xy D
x x
2
2
1
.dx a
x
-⎰dx x a ⎰-221dx x a x a ⎰-+=))((1⎰-++=dx x a x a a ]11[21C x a x a a +--+=|]|ln ||[ln 21C
x a x a a +-+=||ln 21dv x d xdx ==2
2
⎰xdx x arctan )(arctan 2arctan 222x d x x x ⎰-=dx x x x x 222112arctan 2+⋅-=⎰dx x x x )111(21arctan 2
22
+-⋅-=⎰.)arctan (2
1arctan 22
C x x x x +--= +++++=∑∞
=p p p n p n n 13121111
,11n
n p ≥∑
∞=11n n ∑∞
=11
n p
n +⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∑∞
=p p p p p p p p n p n 15181716151413121111.
arctan ⎰xdx x
它的各项均不大于级数
的对应项，而后一级数是几何级数，公比 所以收敛，因此，级数 收敛. 9. 判定级数
的敛散性.
解：
故：当|x |<1时，级数绝对收敛； 当|x |>1时，级数发散；
当x =1, -1时，一般项不趋于0, 发散。

10.计算函数xy e z =在点)1,2(处的全微分. 解:
所求全微分
11．求微分方程
x y
dx dy -=的通解. 解: 分离变量得
两边积分 得
即
( C 为任意常数 )
+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++p p p p p p p p 818141414141212111
211<=-p q ∑
∞
=11
n p
n ∑
∞
=-11n n nx ()()，由于x n x n x n x n u u n n n
n n n n =+=+=∞→-∞→+∞→1lim 1lim lim 11
,
xy
ye x z =∂∂,xy xe y
z
=∂∂,2)
1,2(e x z
=∂∂,22)
1,2(e y z
=∂∂.
222dy e dx e dz +=x
dx
y y -=d x x y y d )1
(d ⎰⎰-=)(ln ln 11为任意常数其中C C x y +-=1
C e
1
C e C ±=C xy =
二. 证明题 1. 证明 不存在．
证: 取 其值随k 的不同而变化，故极限不存在． 2 证明调和级数 是发散的。

证：
它的各项均大于级数
的对应项，而后一个级数是发散的，所以，由比较判别法可知：调和级数发散.
3. 求证
证:
2
630
0lim y x y x y x +→→,
3kx y =26300lim y x y x y x +→→6263303
lim x k x kx x kx y x +⋅==→
,
12k k +=5)3(lim )
2,1(),(=+→y x y x ,0>∀ε
εδ<-+<-+-<-+-≤--+-≤
--+-≤-+-=-+5)3()2()1(0)2()1(2)2()1(12
13)2()33(5)3(222
22
2y x y x y x y y x x y x y x y x 5
)3(lim )2,1(),(=+→y x y x ...1 (3121)
11
1
+++++=∑
∞
=n
n n
+⎪⎭
⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=++++=∑∞
=817
1615
141312114
1312
1111
n n
+++=+⎪⎭
⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛21
2121818181814141
21。