初一数学_13.2(1)垂线习题
完整版)七年级数学下册垂线练习题
完整版)七年级数学下册垂线练习题七年级数学下册《垂线》练1一、选择题：（每小题3分，共18分）1.如图1所示，下列说法不正确的是（）A.点B到AC的垂线段是线段AB；B.点C到AB的垂线段是线段AC；C.线段AD是点D到BC的垂线段；D.线段BD是点B到AD的垂线段。
答案：A2.如图1所示，能表示点到直线（线段）的距离的线段有（）A.2条；B.3条；C.4条；D.5条。
答案：B3.下列说法正确的有（）①在平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；②在平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③在平面内，过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线；④在平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线。
答案：A4.如图2所示，AD⊥BD，BC⊥CD，AB=acm，BC=bcm，则BD的范围是（）A.大于acm；B.小于bcm；C.大于acm或小于bcm；D.大于bcm且小于acm。
答案：C5.到直线L的距离等于2cm的点有（）A.0个；B.1个；C.无数个；D.无法确定。
答案：B6.点P为直线m外一点，点A、B、C为直线m上三点，PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm，则点P到直线m的距离为（）A.4cm；B.2cm；C.小于2cm；D.不大于2cm。
答案：D二、填空题：（每小题3分，共12分）1.如图3所示，直线AB与直线CD的位置关系是相交，记作O，此时，∠AOD=∠BOC=∠COA=∠DOB=90°。
2.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
3.画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线。
4.直线外一点到这条直线的距离，叫做点到直线的距离。
三、训练平台：（共15分）如上图4所示，直线AB、CD、EF交于点O，OG平分∠BOF，且CD⊥EF，∠AOE=70°，求∠DOG的度数。
解法：由∠AOE=70°，可得∠EOF=110°，∠COE=90°-∠EOF/2=35°，∠COD=90°-∠COE=55°，∠BOF=∠COD=55°，因为OG平分∠BOF，所以∠DOG=∠COG=27.5°。
沪教版上海 (五四制)七年级第二学期 第十三章 13.2垂线同步测试(有答案)
沪教版七年级下第十三章垂线一、单选题1．如图,测量运动员跳远成绩选取的是AB的长度,其依据是（）A．两点确定一条直线B．垂线段最短C．两点之间线段最短D．两点之间直线最短答案：B2．如图，在立定跳远中，体育老师是这样测量运动员的成绩的，用一块直角三角板的一边附在起跳线上，另一边与拉直的皮尺重合，这样做的理由（）A．垂线段最短B．过两点有且只有一条直线C．过一点可以作无数条直线D．两点之间线段最短答案：A3．如图，同位角是（）A．∠1和∠2B．∠3和∠4C．∠2和∠4D．∠1和∠4答案：D4．如图，直线AB、CD相交于点O，下列条件中，不能说明AB⊥CD的是()B．∠AOC＝∠BOCC．∠BOC＋∠BOD＝180°D．∠AOC＋∠BOD＝180°答案：C5．如图,想在河堤两岸搭建一座桥,图中搭建方式中,最短的是( )A．PA B．PB C．PC D．PD答案：B6．如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD，下列说法错误的是（）A．∠AOD＝∠BOC B．∠AOE＋∠BOD＝90°C．∠AOC＝∠AOE D．∠AOD＋∠BOD＝180°答案：C7．两条直线相交所构成的四个角中：①有三个角都相等；②有一对对顶角互补；③有一个角是直角；④有一对邻补角相等．其中能判定这两条直线垂直的有() A．1个B．2个C．3个D．4个答案：D9．如图，点O在直线AB上，点M，N在直线AB外，若MO⊥AB，NO⊥AB，垂足均为O，则可得点N在直线MO上，其理由是()A．经过两点有且只有一条直线B．在同一平面上，一条直角只有一条垂线C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短D．经过直线上或直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直答案：D10．在同一平面内，下列说法中，错误的是( )B．过一点有无数条直线与已知直线平行C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直答案：B11．下列说法正确的是()A．平面内过直线l上一点作l的垂线不只有一条B．直线l的垂线段有无数多条C．如果两条线段不相交，那么这两条线段就不能互相垂直D．过直线l上一点A和直线l外一点B可画一条直线和直线l垂直答案：B12．如图，已知OA⊥OB，直线CD经过顶点O，若∠BOD∶∠AOC＝5∶2，则∠BOC等于()A．28°B．30°C．32°D．35°答案：B13．如图，OB⊥CD于点O，∠1＝∠2，则∠2与∠3的关系是( )A．∠2＝∠3B．∠2与∠3互补C．∠2与∠3互余D．不能确定答案：C二、填空题14．如图,OA⊥OB,OD⊥OC,O为垂足,若∠AOC=35°,则∠BOD=________.答案：145°15．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，∠EOD=30°，则∠AOC=_______答案：60°16．如图所示，AB∥CD，EF与AB，CD相交，EF与AB交于点_____，EF与CD交于______．【答案：M N17．如图，直线AB，CD 相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠AOC：∠COE=3：2，则∠AOD=___.答案：126º18．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥OF，OC平分∠AOE，且∠BOF＝2∠BOE，则∠BOD＝__________°.答案：75交最多有6个交点，……，二十条直线相交最多有________个交点.…答案：190三、解答题20．如图,AB、CD、EF交于O点，AB⊥CD,OG平分∠AOE,∠COE=28°求∠AOG的度数.答案：∠AOG=59°.21．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．（1）若∠1=∠2，求∠NOD．（2）若∠1=13∠BOC，求∠AOC与∠MOD．答案：（1）∠NOD=90°；（2）∠AOC=45°，∠MOD=135°.22．如图，直线AB，CD相交于点O，OE是∠COB的平分线，∠FOE＝90°，若∠AOD＝70°.(1)求∠BOE的度数；答案：（1）35°；（2）OF 是∠AOC 的平分线，23．如图，已知O 为直线AB 上的一点，CD ⊥AB 于点O ，PO ⊥OE 于点O ，OM 平分∠COE ，点F 在OE 的反向延长线上．(1)当OP 在∠BOC 内，OE 在∠BOD 内时，如图①所示，直接写出∠POM 和∠COF 之间的数量关系；(2)当OP 在∠AOC 内且OE 在∠BOC 内时，如图②所示，试问(1)中∠POM 和∠COF 之间的数量关系是否发生变化？并说明理由．答案：（1）∠POM ＝12∠COF ；（2）∠POM ＝12∠COF ，24．如图，已知DO⊥CO，∠1＝36°，∠3＝36°.(1)求∠2的度数；(2)AO与BO垂直吗？说明理由．答案：(1)∠2＝54°.(2)AO⊥BO..25．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝120°，FO⊥OD，OE平分∠BOD．（1）求∠EOF的度数；（2）试说明OB平分∠EOF．答案：(1)60°;26．如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OE AB ⊥，OF CD ⊥.(1)图中AOF ∠的余角有哪些.(把符合条件的角都写出来)；(2)图中除直角相等外，还有相等的角，请写出三对；(3)(i)如果AOD 160∠=︒，那么根据什么可得BOC ∠的度数；(ii)如果AOD 4EOF ∠∠=，求EOF ∠的度数.答案：(1)AOF ∠的余角有AOC ∠，EOF ∠，DOB ∠；(2)答案不唯一，如AOF EOD ∠=∠，AOC EOF ∠=∠，EOF DOB ∠=∠(提示：同角的余角相等)；(3)(i)对顶角相等；160︒，(ii)36EOF ∠=︒.。
13.2(1)垂线课堂学习单+回家作业单
A13.2（1）垂线与斜线 一 目标：1、了解两条直线互相垂直的概念.2、知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.3、了解中垂线的概念，并会用尺规作线段的中垂线.二、重点、难点：两直线互相垂直的有关概念，用尺规作线段的中垂线 过直线上（外）一点作已知直线的垂线三：学习新知● 1.两条直线相交形成四个小于平角的角，其中 的角叫做两条直线的夹角。
两条直线的夹角 。
如图(1)，直线AB 和CD 相交，交点为点O ，有四个小于平角的角，其中______________叫做两条直线的夹角.（1）如果∠AOC =40°，那么∠____是直线AB 和CD 的夹角，他们的夹角大小是____°.请问还有什么角也是直线AB 和CD 的夹角？______________ （2）如果∠AOD =150°，那么直线AB 和CD 的夹角是几度?_____________● 2.如果两条直线的夹角为________，那么就说这两条直线互相斜交，其中一条直线叫做另一条直线的____________● 3.如果两条直线的夹角为 ，那么就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的 ,它们的交点叫做 .4. 用几何语言表述图2:5.画一画:ACDO图1图2CB 图3 ABP图4(1)如图3，在平面内经过直线上一点P作已知直线l的垂线，这样的垂线能作几条？(2)如图4，经过直线外一点P作已知直线l的垂线，这样的垂线能作几条？通过操作实践，所得到的结果说明垂线有这样的基本性质：●在平面内经过直线上或直线外的一点作已知直线的垂线可以作条，并且。
简单地说，。
6.已知线段AB，用直尺、圆规作出它的中点。
解：(1)以点为圆心、的长为半径作弧，以、为半径作弧，两弧分别相交于点；(2)作 .所以，就是所作的线段AB的垂直平分线。
A B●直线EF与线段AB的位置关系？●过线段且于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称。
华东师大版七年级数学上《垂线》同步练习含答案
5.1 2. 垂线一、选择题1．在同一平面内，经过一点能作几条直线与已知直线垂直()A．0条B．1条C．2条D．无数条2．如图K－47－1，OA⊥OB，若∠1＝35°，则∠2的度数是()图K－47－1A．35°B．45°C．55°D．70°3．下列说法中错误的是()A．两直线相交，若有一组邻补角相等，则这两条直线垂直B．两直线相交，若有两个角相等，则这两条直线垂直C．两直线相交，若有一组对顶角互补，则这两条直线垂直D．两直线相交，若有三个角相等，则这两条直线垂直4．如图K－47－2，直线l1与l2相交于点O，OM⊥l1.若∠α＝44°，则∠β等于()图K－47－2A．56°B．46°C．45°D．44°5．如图K－47－3，已知直线AB，CD互相垂直，垂足为O，直线EF过点O，∠DOF∶∠BOF＝2∶3，则∠AOE的度数为()图K－47－3A．36°B．54° C. 48°D．42°6．如图K－47－4所示，P为直线l外一点，A，B，C三点均在直线l上，并且PB⊥l，有下列说法：①P A，PB，PC三条线段中，PB最短；②线段PB的长度叫做点P到直线l的距离；③线段AB的长度是点A到PB的距离；④线段AC的长度是点A到PC的距离．图K－47－4其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个7．P为直线m外一点，A，B，C为直线m上三点，P A＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线m 的距离()A．等于4 cm B．等于2 cmC．小于2 cm D．不大于2 cm二、填空题8．如图K－47－5所示，OA⊥OC，∠1＝∠2，则OB与OD的位置关系是____________．图K－47－59．如图K－47－6，OA是北偏东30°方向的一条射线，若射线OB与射线OA垂直，则OB的方向是__________________．图K－47－610．如图K－47－7，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别是C，D.(1)点C到直线AB的距离是线段________的长度；(2)点B到直线AC的距离是线段________的长度．图K－47－711．如图K－47－8，运动会上，甲、乙两名同学测得小明的跳远成绩分别为DA＝4.5米，DB＝4.15米，则小明的跳远成绩实际应该为________．图K－47－8三、解答题12．如图K－47－9所示，在这些图形中，分别过点C画直线AB的垂线，垂足为O.图K－47－913．如图K－47－10，已知AO⊥CO，∠COD＝40°，∠BOC＝∠AOD.试说明OB⊥OD.请完善解答过程，并在括号内填上相应的依据：图K－47－10解：因为AO⊥CO，所以∠AOC＝__________(________________________)．又因为∠COD＝40°(已知)，所以∠AOD＝________．又因为∠BOC＝∠AOD(已知)，所以∠BOC＝________(__________)，所以∠BOD＝________，所以________⊥________(____________)．14．(1)如图K－47－11甲，小刚准备从C处牵牛到河边AB处饮水，请用三角尺作出小刚的最短路线(不考虑其他因素)，并说明理由；(2)如图K－47－11乙，若小刚从C处牵牛到河边AB处饮水，并且必须先到河边D处观察河的水质情况，请作出小刚行走的最短路线，并说明理由.甲乙图K－47－1115．如图K －47－12，直线AB ，CD 相交于点O ，OM ⊥AB ，NO ⊥CD . (1)若∠1＝∠2，求∠AOD 的度数；(2)若∠1＝14∠BOC ，求∠2和∠MOD 的度数．图K －47－1216．如图K －47－13，射线OC 的端点O 在直线AB 上，OE 平分∠COB ，OD 平分∠AOC ，DO 是否垂直于OE ？请说明理由．图K －47－131．B 2.C 3.B 4.B 5．B 6．C7． D 8．OB ⊥OD 9．北偏西60° 10．(1)CD (2)BC11．4.15米 12．解：如图所示．13. 90° 垂直的定义 50° 50° 等量代换 90° OB OD 垂直的定义14．解：(1)过点C 作AB 的垂线段．理由：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短(画图略)．(2)连结CD ，过点D 作AB 的垂线段．理由：两点之间，线段最短；直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短(画图略)．15．解：∵OM ⊥AB ，NO ⊥CD ，∴∠BOM ＝∠AOM ＝∠NOD ＝∠CON ＝90°. (1)∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠2＝45°，∴∠AOD ＝180°－∠2＝180°－45°＝135°， 即∠AOD 的度数是135°.(2)∵∠1＋∠BOM ＝∠BOC ，∠1＝14∠BOC ，∴∠1＝13∠BOM ＝30°，∴∠2＝90°－∠1＝60°.∵∠1＋∠MOD ＝∠COD ＝180°， ∴∠MOD ＝180°－∠1＝150°. 16．解：DO ⊥OE.理由： 因为OE 平分∠COB ， 所以∠COE ＝12∠COB.因为OD 平分∠AOC ， 所以∠DOC ＝12∠AOC ，所以∠DOE ＝∠COE ＋∠DOC ＝12∠COB ＋12∠AOC ＝12(∠COB ＋∠AOC)＝12∠AOB.因为∠AOB 是平角，所以∠DOE ＝12×180°＝90°，所以DO ⊥OE.。
七下练习册垂线答案
七下练习册垂线答案在数学中，垂线是一个重要的概念，它是指在平面上与给定直线相交且交角为90度的直线。
以下是七年级下册数学练习册中关于垂线的习题及答案。
习题一：判断题1. 垂直于同一条直线的两条直线一定平行。
（错误）2. 垂线段是最短的。
（正确）习题二：选择题1. 在平面直角坐标系中，直线y=2x+3与x轴的交点处的垂线方程是什么？A. y=3B. y=-2x+3C. y=2x-3D. y=-2x+2答案：D2. 如果直线AB与直线CD垂直，那么AB和CD的斜率之间有什么关系？A. 斜率相等B. 斜率互为相反数C. 斜率互为倒数D. 斜率互为倒数的相反数答案：D习题三：填空题1. 在直角三角形ABC中，如果∠A=90°，那么BC是AB的______。
答案：垂线2. 如果直线l1的方程为x-2y+4=0，直线l2的方程为y=3x-1，那么l1和l2的交点处的垂线方程是______。
答案：x-3y+2=0习题四：解答题1. 在平面直角坐标系中，已知点A(-2,3)和点B(4,-1)，求直线AB的垂线方程，并求出垂线与x轴的交点。
解答：首先求出直线AB的斜率，斜率k_AB = (-1-3)/(4-(-2)) = -4/6 = -2/3。
由于垂线的斜率是原直线斜率的倒数的相反数，所以垂线的斜率k_perp = 3/2。
使用点斜式方程，以点A(-2,3)为例，垂线方程为y-3 = (3/2)(x+2)。
化简得3x-2y+9=0。
令y=0，解得x=-3，所以垂线与x轴的交点坐标为(-3,0)。
习题五：应用题1. 在一个直角三角形的花园中，花园的一边是墙，且已知墙的长度为10米，花园的另一边长为6米，求花园的面积。
解答：由于是直角三角形，我们可以使用勾股定理求出第三边的长度。
设第三边长为h，则h^2 + 6^2 = 10^2，解得h^2 = 100 - 36 = 64，所以h = 8。
三角形的面积为底乘高除以2，即面积 = 6 * 8 / 2= 24平方米。
垂线的练习题
垂线的练习题垂线是几何学中常见的概念之一，它是与一条线段或直线相交且与其所交线段或直线的斜率相乘得到-1的线段或直线。
垂线在几何学中具有重要的意义，常被用于解决与直角三角形、平行线、垂直线相关的问题。
本文将介绍垂线的基本性质，并给出一些垂线的练习题，以帮助读者更好地理解和应用垂线概念。
1. 垂线的定义垂线是指与一条线段或直线相交的另一条线段或直线，且它们的斜率之积为-1。
斜率是指直线上两点之间的纵坐标差与横坐标差的比值。
当两条线段或直线的斜率之积为-1时，它们相互垂直。
2. 垂线的特点根据垂线的定义，我们可以总结出以下几个垂线的特点：- 两条垂线相交于一点，这个点称为垂足。
- 垂线与所交线段或直线之间的夹角为直角，即90度。
- 垂线的长度可以根据勾股定理求解。
3. 解决垂线问题的一般步骤解决与垂线相关的问题时，可以按照以下步骤进行：a) 首先，明确问题中涉及的线段或直线，并判断是否需要构造垂线；b) 根据垂线性质，确定垂线与所交线段或直线之间的关系；c) 利用已知条件和垂线性质，应用几何知识进行推导和计算；d) 最后，根据题目的要求得出结论。
4. 垂线的练习题以下是一些垂线的练习题，供读者加深理解和练习应用：题目1：已知直线L上有两个点A(2, 3)和B(5, -1)，求过点B且与直线L垂直的直线方程。
题目2：已知平面上三个点A(1, 2)，B(4, 5)，C(7, 8)，判断线段AB 和线段BC是否垂直，并说明理由。
题目3：已知线段AB的长度为10，垂线AC的长度为6，求直线AC的长度。
解答1：首先计算直线L的斜率k1：k1 = (y2 - y1) / (x2 - x1)= (-1 - 3) / (5 - 2)= -4 / 3由于直线与所交直线的斜率之积为-1，所以过点B且与直线L垂直的直线的斜率为 k2 = 3 / 4。
直线通过点B(5, -1)，代入直线方程 y - y1 = k2(x - x1)：y + 1 = (3 / 4)(x - 5)y + 1 = (3 / 4)x - 15 / 4y = (3 / 4)x - 15 / 4 - 4 / 4y = (3 / 4)x - 19 / 4所以过点B且与直线L垂直的直线方程为 y = (3 / 4)x - 19 / 4。
七年级数学下册《垂线》练习题及答案
七年级数学下册《垂线》练习题及答案一、选择题1．下面说法中错误的是（）A．两条直线相交，有一个角是直角，则这两条直线互相垂直B．若两对顶角之和为1800，则两条直线互相垂直C．两条直线相交，所构成的四个角中，若有两个角相等，则两条直线互相垂直D．两条直线相交，所构成的四个角中，若有三个角相等，则两条直线互相垂直2．如图所示，AB⊥CD，垂足为D，AC⊥BC，垂足为C，那么图中的直角一共有（）A．2个B．3个C．4个D．1个3．如图所示，直线EO⊥CD，垂足为点O，AB平分⊥EOD，则⊥BOD的度数为（）A．120°B．130°C．135°D．1404．点P为直线外一点，点A、B、C为直线上三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则点P 到直线的距离为（）A．4cm B．5cm C．小于2cm D．不大于2cm5．如图所示，OA⊥OC，OB⊥OD，下面结论中，其中说法正确的是（）①⊥AOB＝⊥COD；②⊥AOB＋⊥COD＝90°；③⊥BOC＋⊥AOD＝180°；④⊥AOC－⊥COD＝⊥BOC.A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④6．如图所示，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若⊥1＝26°，则⊥2的度数是（⊥）．A．26°B．64°C．54°D．以上答案都不对7．在下列语句中，正确的是（）．A．在平面上，一条直线只有一条垂线;B．过直线上一点的直线只有一条;C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条;D．垂线段的长度就是点到直线的距离8．如图所示，⊥BAC＝90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数为（）．①AB⊥AC; ②AD与AC互相垂直; ③点C到AB的垂线段是线段AB; ④点D到BC的距离是线段AD的长度; ⑤线段AB的长度是点B到AC的距离; ⑥线段AB是点B到AC的距离;⑦AD>BD.A．2个B．4个C．7个D．0个9．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分⊥AOC，ON⊥OM，若⊥AOM=35°，则⊥CON的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°10．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A和B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C⊥为顶点的三角形的面积为1个平方单位，则C 点的个数为（）．A．3个B．4个C．5个D．6个11．已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是（）A．B．C．D．12．下列语句正确的是（）A．两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线互相垂直B．两条直线相交成四个角，如果有两对角相等，那么这两条直线互相垂直C．两条直线相交成四个角，如果有三个角相等，那么这两条直线互相垂直D．两条直线相交成四个角，如果有两个角互补，那么这两条直线互相垂直13．过线段外一点画这条线段的垂线，垂足一定在（）A．线段上B．线段的端点上C．线段的延长线上D．以上情况都有可能14．如图，直线AD⊥BD，垂足为D，则点B到线段AC的距离是（）A．线段AC的长B．线段AD的长C．线段BC的长D．线段BD的长15．如图，OM⊥NP，ON⊥NP，所以OM和ON重合，理由是（）A．两点确定一条直线B．经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直C．过一点只能作一条垂线D．垂线段最短16．当两条直线相交所成的四个角中，叫做这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫，它们的交点叫．17．过直线上或直线外一点，与已知直线垂直．18．如图所示，若AB⊥CD于O，则⊥AOD＝；若⊥BOD＝90°，则AB CD．19．如图所示，已知AO⊥BC于O，那么⊥1与⊥2．20．如果CD⊥AB于D，自CD上任一点向AB作垂线，那么所画垂线均与CD重合，这是因为．21．如图，已知A，O，E三点在一条直线上，OB平分⊥AOC，⊥AOB＋⊥DOE＝90°，试问：⊥COD 与⊥DOE之间有怎样的关系?说明理由.－com22．如图，⊥1＝30°，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O．求⊥2、⊥3的度数．23．如图，直线AB与CD相交于点O，OP是⊥BOC的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD（1）图中除直角外，还有相等的角吗？请写出两对：①；②．（2）如果⊥AOD＝40°，则①⊥BOC＝；②OP是⊥BOC的平分线，所以⊥COP＝度；③求⊥BOF的度数．24．如图，已知⊥AOB，OE平分⊥AOC，OF平分⊥BOC.（1）若⊥AOB是直角，⊥BOC＝60°，求⊥EOF的度数；（2）猜想⊥EOF与⊥AOB的数量关系；（3）若⊥AOB＋⊥EOF＝156°，则⊥EOF是多少度？25．直线AB、CD相交于点O.OE、OF分别是⊥AOC、⊥BOD的平分线.（1）画出这个图形.（2）射线OE、OF在同一条直线上吗?（3）画⊥AOD的平分线OG.OE与OG有什么位置关系?并说明理由.参考答案1．【答案】C2．【答案】B3．【答案】C4．【答案】D5．【答案】C6．【答案】B7．【答案】D8．【答案】B9．【答案】C10．【答案】D11．【答案】C12．【答案】C13．【答案】D14．【答案】D15．【答案】B16．【答案】有一个直角；另一条直线的垂线；垂足17．【答案】有且只有一条直线18．【答案】90°；⊥19．【答案】互余20．【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直21．【答案】相等，理由：⊥AOB＋⊥DOE＝90°，且A、O、E三点共线，所以⊥BOC＋⊥COD＝90°．因为OB平分⊥AOC，所以⊥AOB＝⊥BOC，通过等量代换，可以得知⊥COD与⊥DOE相等．22．【答案】∵⊥1与⊥3是对顶角∴⊥1＝⊥3，因为⊥1＝30°∴⊥3＝30°．∵AB⊥CD∴⊥BOD＝90°∵⊥2＋⊥3＝⊥BOD∴⊥2＝90°－⊥3＝60°．23．【答案】（1）⊥AOD＝⊥BOC；⊥BOP＝⊥COP（2）40°；20°；50°24．【答案】（1）∵⊥AOC＝⊥AOB＋⊥BOC，∴⊥AOC＝90°＋60°＝150°.∵OE平分⊥AOC，∴⊥EOC ＝150°÷2＝75°.∵OF平分⊥BOC，∴⊥COF＝60°÷2＝30°.∵⊥EOC＝⊥EOF＋⊥COF,∴⊥EOF＝75°－30°＝45°.（2）∵OE平分⊥AOC，OF平分⊥BOC．∴⊥COE＝⊥AOC，⊥COF＝⊥BOC∵⊥AOB＝⊥AOC－⊥BOC∴⊥EOF＝⊥COE－⊥COF＝⊥AOC－⊥BOC＝（⊥AOC－⊥BOC）＝⊥AOB（3）∵OE平分⊥AOC，OF平分⊥BOC，∴⊥COE＝⊥AOC，⊥COF＝⊥BOC∴⊥EOF＝⊥AOC－⊥BOC＝（⊥AOC－⊥BOC）＝⊥AOB．又∵⊥AOB＋⊥EOF＝156°∴⊥EOF＝52°．25．【答案】（1）如图：（2）射线OE、射线OF在同一条直线上．理由如下：∵直线AB、CD相交于点O，∴⊥AOC=⊥BOD，⊥AOC+⊥AOD=180°，∵OE、OF分别是⊥AOC、⊥BOD的平分线，∴⊥AOE=12⊥AOC，⊥DOF=12⊥BOD ∴⊥AOE=⊥DOF，∴⊥AOE+⊥DOF=⊥AOC，∴⊥AOE+⊥DOF+⊥AOD=180°，∴射线OE、射线OF在同一条直线上；（3）如图OE⊥OG．理由如下：∵OG平分⊥AOD，∴⊥AOG=⊥DOG，∵⊥AOE=⊥DOF，⊥AOE+⊥DOF+⊥AOD=180°，∴⊥AOE+⊥AOG=90°，∴OG⊥OE．。
初一数学下册：垂线(含知识点、练习和答案)
初一数学下册：垂线（含知识点、练习和答案）知识点总结一、定义1、垂直：两条直线相交所成的四个角中，如果如果有一个角为90度，那么这两条直线互相垂直。
2、垂线：垂直是相交的一种特殊情形，如果两条直线垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
3、垂足：两条垂线的交点叫垂足。
4、垂直三要素：垂直关系，垂直记号，垂足。
5、垂线特点：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
二、三角形的高1、做直角三角形的高：两条直角边即是钝角三角形的高，只要做出斜边上的高即可。
2、做钝角三角形的高：最长的边上的高只要向最长边引垂线即可，另外两条边上的高过边所对的顶点向该边的延长线做垂线。
三、垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
四、垂线段最短；点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
五、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
同步练习1、如图，OA⊥OB，若∠1=55°，则∠2的度数是( )A、35°B、40°C、45°D、60°2、如图,直线AB与直线CD相交于点O,已知OE⊥AB,∠BOD=45°,则∠COE的度数是( )A、125°B、135°C、145°D、155°3、过线段外一点,画这条线段的垂线,垂足在( )A、这条线段上B、这条线段的端点4、在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为( )A、1个B、2个C、3个D、4个5、下列说法正确的有( )①在平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;②在平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;③在平面内，可以过任意一点画一条直线垂直于已知直线;④在平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线。
垂线的专项练习30题有答案ok
垂线专项练习30题（有答案）1．如图，①过点Q作QD⊥AB，垂足为D，②过点P作PE⊥AB，垂足为E，③过点Q作QF⊥AC，垂足为F，④连P、Q两点，⑤P、Q两点间的距离是线段_________的长度，⑥点Q到直线AB的距离是线段_________的长度，⑦点Q到直线AC的距离是线段_________的长度，⑧点P到直线AB的距离是线段_________的长度．2．如图，点P是∠AOB的边OB上的一点过点P画OB的垂线，交OA于点C；（1）过点P画OA的垂线，垂足为H；（2）线段PH的长度是点P到_________的距离，_________是点C到直线OB的距离．线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是_________（用“＜”号连接）3．（1）画出表示点B到直线CD的距离的线段，结论：_________（2）A、C两点之间的距离为线段_________的长；（3）画出表示两条平行线AD、BC之间的距离的线段，结论：_________．4．如图，DE∥BC，AF⊥DE于G，DH⊥BC于H，且AG=4cm，DH=4cm，试求点A到BC的距离．5．如图，过点A作BC的垂线，并指出那条线的长度是表示点A到BC的距离？6．如图，∠C=90°，AB=5，AC=4，BC=3，则点A到直线BC的距离为_________，点B到直线AC的距离为_________，A、B间的距离为_________，AC+BC＞AB，其依据是_________，AB＞AC，其依据是_________．7．如图所示，村庄A、村庄B分别要从河流L引水入庄，各需修筑一水渠，请你画出修筑水渠的路线图．8．如图，要把水渠中的水引到C点，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由．9．如图，王林和李明同学骑自行车同时从各自的家中出发去学校．如果他们的骑车速度相同，那么谁先到达学校？为什么？10．如图，是一条河，C是河边AB外一点：（1）过点C要修一条与河平行的绿化带，请作出正确的示意图．（2）现欲用水管从河边AB，将水引到C处，请在图上测量并计算出水管至少要多少？（本图比例尺为1：2000）11．如图所示，火车站、码头分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流．（1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；（2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；（3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由．12．如图，计划在河边建一水厂，可过C点引CD⊥AB于D，在D点建水厂，可使水厂到村庄C的路程最短，这种设计的依据是_________．13．如图，点P处有一个工厂，现拟修一条通往大路口a的公路，应如何修才能使所修之路最短，试说明理由．14．如图，直线AD和BE相交于点O，∠COD=90°，∠COE=60°，求∠AOB的度数．15．如图，OF平分∠AOC，OE⊥OF，AB与CD相交于O，∠BOD=130°，求∠EOB的度数．16．如图所示，已知∠AOB=∠COD=90°，（1）若∠BOC=45°，求∠AOC与∠BOD的度数；（2）若∠BOC=25°，求∠AOC与∠BOD的度数；（3）由（1）、（2）你能得出什么结论？说说其中的道理．17．如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，OE平分∠BON，若∠EON=20°，求∠AOM的度数．18．如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠AOD的平分线，OF⊥CD，如果∠BOD=30°．求：（1）∠AOF的度数；（2）∠POF的度数．19．如图所示，OA丄OB，OC丄OD，OE为∠BOD的平分线，∠BOE=15°，求∠BOD和∠AOC的度数．20．已知：如图，直线AB、CD、EF相交于点0，∠1=20°，∠BOC=90°．求∠2的度数．21．说出日常生活现象中的数学原理：日常生活现象相应数学原理有人和你打招呼，你笔直向他走过去两点之间直线段最短要用两个钉子把毛巾架安装在墙上桥建造的方向通常是垂直于河两岸人去河边打水总是垂直于河边方向走22．如图所示，修一条路将A，B两村庄与公路MN连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由．23．如图，点P是∠AOB的边OB上的一点．（1）过点P画OB的垂线，交OA于点C，（2）过点P画OA的垂线，垂足为H，（3）线段PH的长度是点P到_________的距离，线段_________是点C到直线OB的距离．（4）因为直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短，所以线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是_________（用“＜”号连接）24．已知：如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，GF⊥AB于G点，那么CD与AB是否互相垂直？试判断并说明理由．25．如图，已知OA⊥OB，∠1与∠2互补，求证：OC⊥OD．26．你能用折纸的方法过一点作已知直线的垂线吗？27．先拿一张长方形的白纸，按如图所示的方式将∠A、∠E折叠，使A′B与BE′重合，则BC与BD有什么关系？说明理由．28．分别过点P作线段MN的垂线．29．如图，∠AOE与∠BOF互余，那么AO与BO是否垂直？试说明理由．30．对于平面上垂直的两条直线a和b，称（a，b）为一个“垂直对”，而a和b都是属于这个“垂直对”的直线．那么当平面上有二十条直线时最多可组成多少个“垂直对”？参考答案：1．①②③④作图如图所示：⑤根据两点之间距离即可得出P、Q两点间的距离是线段PQ的长度，⑥根据点到直线的距离可得出点Q到直线AB的距离是线段QD的长度，⑦根据点到直线的距离可得出点Q到直线AC的距离是线段QF的长度，⑧根据点到直线的距离可得出点P到直线AB的距离是线段PE的长度，故答案为PQ，QD，QF，PE．2．（1）如图：（2）线段PH的长度是点P到直线OA的距离，线段CP的长度是点C到直线OB的距离，根据垂线段最短可得：PH＜PC＜OC，故答案为：OA，线段CP，PH＜PC＜OC3．（1）过B点作DC的垂线，交CD的延长线于E点，如，则线段BE的长为点B到直线CD的距离；所以过直线外一点作直线的垂线，垂线段长就是这个点到直线的距离；（2）A、C两点之间的距离为线段AC的长；（3）过C点作AD的垂线，垂足为F点，如图，则线段CF的长即为两条平行线AD、BC之间的距离．故答案为过直线外一点作直线的垂线，垂线段的长就是这个点到直线的距离；AC；两条平行线之间的距离就是一条直线上任意一点到另一条直线的距离．4．∵AF⊥DE，DE∥BC，∴AF⊥BC，∵DE∥BC，∴四边形DHFG是平行四边形，∴DH=GF=4cm，∴AF=AG+GF=4cm+4cm=8cm，即点A到BC的距离是8cm．5．过点A作BC的垂线，交CB的延长线于E，根据点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫点到直线的距离．可得AE的长度即为点A到BC的距离．答：AE的长度即为点A到BC的距离．6．∵∠C=90°，AB=5，AC=4，BC=3，∴点A到直线BC的距离为4，点B到直线AC的距离为3，A、B间的距离为5，AC+BC＞AB，其依据是三角形任意两边之和大于第三边长度，AB＞AC，其依据是直角三角形中斜边长度大于直角边长度．7．如图所示，AE、BF就是村庄A、村庄B修筑水渠的路线图．8．如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，在D处开沟，则沟最短．因为直线外一点与直线上各点连线的所有线段中，垂线段最短．9．根据垂线段定理，可知王林先到达学校．因为从他家到学校是垂线段，路程最短．10．如图：（1）过点C画一平行线平行于AB．（2）过点C作CD垂直于AB交AB于点D．然后用尺子量CD的长度，再按1：2000的比例求得实际距离即可．11．如图所示（1）沿AB走，两点之间线段最短；（2）沿BD走，垂线段最短；（3）沿AC走，垂线段最短．12．∵CD⊥AB，∴线段CD的长度就是点C到直线AB的最短距离．故答案为：垂线段最短．13．如图，过点P作PD⊥a于D，则由点P沿着PD修路，能使所修之路最短．14．∵已知∠COD=90°，∠COE=60°，∴∠DOE=90°﹣60°=30°，又∵∠AOB与∠DOE是对顶角，∴∠AOB=∠DOE=30°．15．∵∠AOC=∠BOD，∠BOD=130°，∴∠AOC=130°．∵OF平分∠AOC，∴∠AOF=∠FOC=65°．∵OE⊥OF，∴∠EOF=90°．∴∠BOE=180°﹣∠AOF﹣∠EOF=180°﹣65°﹣90°=25°16．（1）∵∠AOB=∠COD=90°，且∠BOC=45°，∴∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=45°，∠BOD=∠COD﹣∠BOC=45°；（2）∵∠AOB=∠COD=90°，且∠BOC=25°，∴∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=65°，∠BOD=∠COD﹣∠BOC=65°；（3）∠AOC=∠BOD，等角的余角相等．17．∵OE平分∠BON，∴∠BON=2∠EON=40°，∴∠COM=∠BON=40°，∴∠AOM=90°﹣∠COM=90°﹣40°=50°．18．（1）∵∠AOC=∠BOD=30°，OF⊥CD，∴∠AOF=90°﹣30°=60°；（2）∵OP是∠AOD的平分线，∴∠AOP=∠AOP=（180°﹣∠BOD）=（180°﹣30°）=75°，∴∠POF=∠AOP﹣∠AOF=75°﹣60°=15°19．∵OE为∠BOD的平分线，∴∠BOE=∠BOC，即∠BOD=2∠BOE=2×15°=30°；∵OA丄OB，OC丄OD，∴∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=360°﹣90°﹣90°﹣30°=150°．20．∵∠1=20°，∠BOC=90°，∴∠BOE=∠BOC﹣∠1=90°﹣20°=70°，∴∠2=∠BOE=70°．21．这几种实际问题用数学原理解释分别是：两点确定一条直线；夹在两平行线间的线段中，垂线段最短；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．22．连接AB，作BC⊥MN，C是垂足，线段AB和BC 就是符合题意的线路图．因为从A到B，线段AB最短，从B到MN，垂线段BC最短，所以AB+BC最短．23．（1）如图（2）如图，（3）直线0A、PC的长．（4）PH＜PC＜OC．24．相互垂直．理由：∵GF⊥AB，∴∠2+∠4=90°，而∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠3=90°，∴∠1+∠2=180°，∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∴∠COD=360°﹣（∠1+∠2）﹣∠AOB=360°﹣180°﹣90°=90°，∴OC⊥OD26．先沿已知直线折一下，再在已知点处对折即可．27．垂直；根据题意可得∠ABC=∠A′BC，∠FBE=∠FBE′，∵∠ABC+∠A′BC+∠E′BF+∠FBE=180°，∴∠A′BC+∠E′BF=90°，∴BC⊥FB28．①延长NM，过点P作NM所在直线的垂线．②延长NM，过点P作NM所在直线的垂线．③过点P作NM所在直线的垂线．④延长NM，过点P作NM所在直线的垂线．29．AO与BO垂直．理由如下：∵∠AOE与∠BOF互余，∴∠AOE+∠BOF=90°，又∵∠AOE+∠AOB+∠BOF=180°，∴∠AOB=90°，∴AO⊥BO，即AO与BO垂直30．当二十条直线有10条互相平行；另10条不仅互相平行而且与前10条垂直时垂直对最多．答案是100对．。
七年级数学下册垂线练习题
七年级数学下册垂线练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________一、单选题1．如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，⊥1＝60°，则⊥2的度数是（）A．30°B．35°C．45°D．50°2．入射光线和平面镜的夹角为40︒，转动平面镜，使入射角减小10︒，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（）A．减小40︒B．减小10︒C．减小20︒D．不变3．下列语句中，正确的有（）⊥一条直线的垂线只有一条；⊥在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；⊥两直线相交，则交点叫垂足；⊥互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角．A．0个B．1个C．2个D．3个4．过点P画AB的垂线，三角尺的放法正确的是（）A．B．C．D．5．下列四种基本尺规作图分别表示：⊥作一个角等于已知角；⊥作一个角的平分线；⊥过直线外一点作已知直线的垂线；⊥作一条线段的垂直平分线，则对应作法错误的是（）．A ．⊥B ．⊥C ．⊥D ．⊥6．已知40AOB ∠=︒，70BOC ∠=︒，30AOC ∠=︒，那么（ ）．A ．射线OB 在AOC ∠内B ．射线OB 在AOC ∠外 C ．射线OB 与射线OA 重合D ．射线OB 与射线OC 重合7．下列说法中，正确的是（ ）A ．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离B ．平面内，互相垂直的两条直线不一定相交C ．直线AB 外一点P 与直线上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是7cm ，则点P 到直线AB 的距离是7cmD ．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线8．能用三角形的稳定性解释的生活现象是（ ） A ． B ．C ．D ．9．在平面直角坐标系中把点(1,2)A -向右平移5个单位长度得点B ，若点C 到直线AB 的距离为2，且ABC 是直角三角形，则满足条件的点C 有（ ）A ．8个B ．6个C ．4个D ．2个10．在Rt ABC 中，90C =∠，ABC ∠的平分线BD 交AC 于D ，若3CD cm =，则点D 到AB 的距离是（ ） A ．2cm B ．3cm C ．4cm D ．5cm11．如图，OD 平分AOB ∠，DE AO ⊥于点E ，5DE =，点F 是射线OB 上的任意一点，则DF 的长度不可能是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．712．如图，在Rt ABC ∆中，090,5,12BAC AB AC ∠===，点D 是BC 上的一个动点，过点D 分别作DM AB ⊥于点M ，DN AC ⊥于点N ，连接MN ，则线段MN 的最小值为（ ）A ．132B ．13C ．6013D ．3013二、填空题13．点O 在直线AB 上，过点O 作射线OC 、OD ，使得OC ⊥OD ，若⊥AOC ＝20°，则⊥BOD 的度数是______． 14．由O 点引出的7条射线如图，若OA OE ⊥，OC OG ⊥，BOC FOG ∠>∠，则图中以O 为顶角的锐角共有________个．15．如图：已知直线AB 、CD 交于点O ，EO ⊥CD ，⊥DOB ＝35°，则⊥EOA ＝__°．16．如图，已知CF AB ⊥于C ，DC CE ⊥，则ACD ∠的余角是__．17．如图，AB 和CD 交于点O ，则AOC ∠的邻补角是___；AOC ∠的对顶角是___；若40AOC ∠=︒，则BOD ∠=___，AOD ∠=___，BOC ∠=___．18．如图所示，直线a ，b 被c 所截，⊥1＝30°，⊥2:⊥3＝1:5，则直线a 与b 的位置关系是________．三、解答题19．作图题：（只保留作图痕迹）如图，在方格纸中，有两条线段AB 、BC ．利用方格纸完成以下操作： （1）过点A 作BC 的平行线；（2）过点C 作AB 的平行线，与（1）中的平行线交于点D ；（3）过点B 作AB 的垂线．20．如图，已知1BDC ∠=∠，23180∠+∠=︒．(1)请你判断DA 与CE 的位置关系，并说明理由；(2)若DA 平分BDC ∠，CE AE ⊥于点E ，170∠=︒，求FAB ∠的度数．21．如图，CE 是ABC 的外角ACD ∠的平分线，且CE 交BA 的延长线于点E ．(1)求证：2BAC B E ∠=∠+∠．(2)若CA BE ⊥，30ECD ACB ∠-∠=︒时，求E ∠的度数．22．【定义】如图1，OM 平分⊥AOB ，则称射线OB ，OA 关于OM 对称．(1)【理解题意】如图1，射线OB ，OA 关于OM 对称且⊥AOB ＝45°，则⊥AOM ＝ 度；(2)【应用实际】如图2，若⊥AOB ＝45°，OP 在⊥AOB 内部，OP ，OP 1关于OB 对称，OP ，OP 2关于OA 对称，求⊥P 1OP 2的度数；(3)如图3，若⊥AOB ＝45°，OP 在⊥AOB 外部，且0°＜⊥AOP ＜45°，OP ，OP 1关于OB 对称，OP ，OP 2关于OA 对称，求⊥P 1OP 2的度数；(4)【拓展提升】如图4，若⊥AOB ＝45°，OP ，OP 1关于⊥AOB 的OB 边对称，⊥AOP 1＝4⊥BOP 1，求⊥AOP （直接写出答案）．23．如图，三角形ABC 中，90C ∠=︒．（1）分别指出点A 到直线BC ，点B 到直线AC 的距离是哪些线段的长；（2）三条边AB ，AC ，BC 中哪条边最长？为什么？24．已知，如图，点M 在锐角AOB ∠的内部，在OB 边上求作一点P ，使得点P 到点M 的距离与点P 到OA边的距离之和最小．参考答案：1．A【分析】根据三角形的内角和得190B ∠+∠=︒，求出⊥B 得度数，再利用平行线的性质即可求解．【详解】解：⊥AC AB ⊥，⊥90BAC ， ⊥11809090B， ⊥ 1 60⊥906030B ∠=︒-︒=︒，⊥a b ∥，⊥230B ∠=∠=︒，故选：A ．【点睛】本题考查三角形内角和定理以及平行线的性质，掌握三角形内角和为180°是解题的关键． 2．C【分析】要知道入射角和反射角的概念：入射光线与法线的夹角，反射角是反射光线与法线的夹角，在光反射时，反射角等于入射角．【详解】解：入射光线与平面镜的夹角是40︒，所以入射角为904050︒-︒=︒．根据光的反射定律，反射角等于入射角，反射角也为50︒，所以入射光线与反射光线的夹角是100︒． 入射角减小10︒，变为501040︒-︒=︒，所以反射角也变为40︒，此时入射光线与法线的夹角为80︒．则反射光线与入射光线间的夹角和原来比较将减小20︒．故选：C ．【点睛】本题考查了有关角的计算，首先要熟记光的反射定律的内容，搞清反射角与入射角的关系，特别要掌握反射角与入射角的概念，它们都是反射光线和入射光线与法线的夹角．3．C【分析】根据垂线的性质和定义进行分析即可．【详解】解：⊥一条直线的垂线只有一条，说法错误；⊥在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，说法正确；⊥两条直线相交，则交点叫垂足，说法错误；⊥互相垂直的两条直线形成的四个角一定是直角，说法正确．正确的共有2个；故选：C ．【点睛】此题主要考查垂线的性质和定义以及真假命题的判断．4．C【分析】根据垂线的定义判断即可．【详解】根据垂线的定义，选项C 符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了作图-基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．5．D【分析】根据尺规作图的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】⊥作一个角等于已知角的方法正确；⊥作一个角的平分线的作法正确；⊥过直线外一点作已知直线的垂线的作法正确；⊥作一条线段的垂直平分线，两弧缺少另一个交点，作法错误；故答案为：D ．【点睛】本题考查了尺规作图的知识；解题的关键是熟练掌握角、角平分线、垂线、垂直平分线的作图方法，从而完成求解．6．B【分析】先根据题意可得AOB AOC BOC ∠+∠=∠，由此可判断出射线OB 在AOC ∠外，由此可得答案．【详解】解：⊥40AOB ∠=︒，70BOC ∠=︒，30AOC ∠=︒，⊥AOB AOC BOC∠+∠=∠，故画出图形如图所示：⊥射线OB在AOC∠外，故选：B．【点睛】本题考查了角的计算，根据已知条件中给出的各个角的度数，正确画出图形是解题的关键．7．C【分析】根据点到直线距离的定义分析，可判断选项A和C；根据相交线的定义分析，可判断选项B，根据垂线的定义分析，可判断选项D，从而完成求解．【详解】从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，即选项A错误；在同一平面内，互相垂直的两条直线一定相交，即选项B错误；直线AB外一点P与直线上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是7cm，则点P到直线AB的距离是7cm，即选项C正确；在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，即选项D错误；故选：C．【点睛】本题考查了点和直线的知识；解题的关键是熟练掌握点到直线距离、相交线、垂线的性质，从而完成求解．8．C【分析】根据各图所用到的直线、线段有关知识，即可一一判定【详解】解：A、利用的是“两点确定一条直线”，故该选项不符合题意；B、利用的是“两点之间线段最短”，故该选项不符合题意；C、窗户的支架是三角形，利用的是“三角形的稳定性”，故该选项符合题意；D、利用的是“垂线段最短”，故该选项不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了两点确定一条直线、两点之间线段最短、三角形的稳定性、垂线段最短的应用，结合题意和图形准确确定所用到的知识是解决本题的关键．9．A【分析】先求出点B 的坐标及AB 的长度，然后分三种情况：A ∠是直角，B 是直角，C ∠是直角进行讨论即可．【详解】根据题意，得点B 的坐标为(4,2),5AB =，且点C 到直线AB 的距离为2，ABC 是直角三角形若A ∠是直角，则C 的坐标有(1,4)-和(1,0)-两种情况；若B 是直角，则C 的坐标有(4,4)和(4,0)两种情况；若C ∠是直角，则C 的坐标在AB 线段上方和下方各两种情况，共有四种情况．故满足条件的点C 有8个．故选：A ．【点睛】本题主要考查满足条件的点的坐标，能够分情况讨论，不重不漏是解题的关键．10．B【分析】根据角平分线上的点到角两边距离相等可得到DC=DE ，再根据点到线段的距离的定义解答．【详解】解：如图所示，作DE ⊥AB 于点E ，⊥90C =∠，BD 是ABC ∠的角平分线，⊥DE =DC ，⊥3CD cm =，⊥3DE cm =，⊥点D 到AB 的距离是3cm ．故选：B ．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及点到线段的距离的定义，熟记性质概念是解题的关键． 11．A【分析】根据角平分线的性质，可知点D 到OB 和OA 的距离相等，并且点到直线的线段中，垂线段最短，最短距离为5，即可判断．【详解】⊥OD 平分AOB ∠，DE AO ⊥于点E ，5DE =，⊥D 到OB 的距离等于5，⊥5DF ≥故DF 的长度不可能为4，故选A ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，点到直线的线段中，垂线段最短，熟练掌握性质是本题的关键． 12．C【分析】先证四边形AMDN 是矩形，连接AD ，则MN =AD ，当AD 最短时，MN 取最小值．【详解】解：如图，连接AD ，在Rt ABC ∆中，090,5,12BAC AB AC ∠===，13BC ∴=，DM AB ⊥于点M ，DN AC ⊥于点N ，90DMN DNA ∴∠=∠=︒，∴ 四边形MDNA 是矩形，MN AD ∴=，当AD BC ⊥时，AD 最短， 1122S ABC AB AB BC AD ∆==， 512601313AB AC AD BC ⨯∴===， ⊥线段MN 的最小值为6013， 故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的判定和性质，垂线段最短，做辅助线AD 是解本题的关键． 13．70︒或110︒【分析】根据题意可知，射线OC 、OD 可能在直线AB 的同侧，也可能在直线AB 的异侧，分两种情况进行讨论即可．【详解】如图，当OC ，OD 在直线AB 同侧时，⊥OC ⊥OD ，⊥AOC ＝20°，⊥180180209070BOD AOC COD ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒；如图，当OC ，OD 在直线AB 异侧时，⊥180180()180(9020)110BOD AOD COD AOC ∠=︒-∠=︒-∠-=︒-︒-︒=︒．综上可知，⊥BOD 的度数是70︒或110︒．【点睛】本题主要考查了垂线的定义，解决问题的关键是根据题意画出图形，解题时注意分类讨论思想的运用．14．15【分析】分别以OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF 为一边，数出所有角，找出其中的非锐角，相减即可得答案．【详解】解：以OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF 为始边，分别有角6个，5个，4个，3个，2个，1个，图中共有角21个，OA OE ⊥，所以以OA 为边的非锐角有3个，分别为,,AOG AOF AOE ，,OC OG ,BOC FOG⊥⊥COF +⊥BOC ＞90°，⊥⊥FOB ＞90°．所以以OB 为边的非锐角有2个，分别为,BOG BOF ，以OC 为边的非锐角有1个，为COG ∠．于是图中共有锐角21-（3+2+1）=15个．故答案为15．【点睛】此题考查了角的数法，要以每条边为始边，数出所有角，要注意，不能漏数，也不能多数，要注意去掉非锐角．15．55°【分析】根据对顶角相等求出⊥BOD ＝⊥AOC ＝35°，根据垂直定义求出⊥EOC ＝90°，代入⊥AOE ＝⊥EOC ﹣⊥AOC 求出即可．【详解】解：⊥⊥DOB ＝35°，⊥⊥BOD ＝⊥AOC ＝35°，⊥EO ⊥CD ，⊥⊥EOC ＝90°，⊥⊥AOE ＝⊥EOC ﹣⊥AOC ＝90°﹣35°＝55°，故答案为：55°．【点睛】此题考查角的和差倍分，掌握余角的性质是解题的关键．16．DCF ∠，ECB ∠【分析】根据垂直的定义和余角的定义，找和ACD ∠相加得90°的角即可．【详解】解：CF AB ⊥于C ，DC CE ⊥，90ACF BCF DCE ∴∠=∠=∠=︒，90ACD DCF ∴∠+∠=︒，18090ACD BCE DCE ∠+∠=︒-∠=︒ACD ∴∠的余角是：DCF ∠，ECB ∠．答案：DCF ∠，ECB ∠．【点睛】本题考查了垂直的定义和余角的定义，解题关键是准确识图，找出图中90°角，准确进行推理判断． 17． AOD ∠和BOC ∠ BOD ∠ 40° 140° 140°【分析】根据邻补角定义可得AOD ∠和BOC ∠，根据对顶角定义可得BOD ∠，利用对顶角性质可求40BOD AOC ∠=∠=︒，利用邻补角性质可求140AOD ∠=︒，利用对顶角性质可求140BOC AOD ∠=∠=︒即可．【详解】解：AB 和CD 交于点O ，则AOC ∠的邻补角是AOD ∠和BOC ∠；AOC ∠的对顶角是BOD ∠，40∠=︒AOC ，40BOD AOC ∴∠=∠=︒，180********AOD AOC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，140BOC AOD ∴∠=∠=︒．故答案为：AOD ∠和BOC ∠；BOD ∠；40︒；140︒；140︒．【点睛】本题考查邻补角的定义与性质，对顶角定义与性质，掌握邻补角的定义与性质，对顶角定义与性质是解题关键．18．平行【分析】根据⊥2:⊥3＝1:5，求出2∠的度数，然后根据同位角相等两直线平行进行解答即可．【详解】解：⊥⊥2:⊥3＝1:5，23180∠+∠=︒⊥⊥2＝30°，⊥⊥1＝⊥2，⊥a ⊥b ，故答案为：平行．【点睛】本题考查了角的和差倍分求角度以及平行的判定，根据题意求出⊥2＝30°是解本题的关键． 19．（1）见解析（2）见解析（3）见解析【分析】（1）点A 所在的横线就是满足条件的直线；（2）在A 所在的横线上，在A 点的右边取AD=BC ，连结CD 即可．（3）在AE 上的点D 右边1个格点处取点F ，过B ，F 的直线即为所求．【详解】（1）点A 所在的横线就是满足条件的直线，即AE 就是所求；（2）在A 所在的横线中A 点的右边取AD=BC ，连结CD ，则直线CD 即为所求；（3）在AE 上的点D 右边1个格点处取点F ，过B ，F 作直线，即为所求．【点睛】本题主要考查了尺规作图，作图的依据是等腰直角三角形的判定，以及平行四边形的判定． 20．(1)AD CE ∥，证明见解析(2)55°【分析】（1）利用平行线的判定和性质得出3180ADC ∠+∠=︒，然后再由同旁内角互补，两直线平行即可证明；（2）根据平行直线的性质和角平分线的性质得到35ADC ∠=︒，再证明90FAD AEC ∠=∠=︒，即可得到FAB ∠．（1）解：//AD EC ，理由：⊥1BDC ∠=∠，⊥AB CD ∥．⊥2ADC ∠=∠．⊥23180∠+∠=︒，⊥3180ADC ∠+∠=︒．⊥//AD EC ；（2）⊥1BDC ∠=∠，170∠=︒，⊥70∠=︒BDC ．⊥DA 平分BDC ∠， ⊥1352ADC BDC ∠=∠=︒． ⊥235ADC ∠=∠=︒．⊥CE AE ⊥，⊥90AEC ∠=︒．⊥AD CE ∥，⊥90FAD AEC ∠=∠=︒．⊥2903555FAB FAD ∠=∠-∠=︒-︒=︒．【点睛】本题考查平行直线、角平分线、垂线的性质，解题的关键是熟练掌握平行直线、角平分线、垂线的相关知识．21．(1)见解析(2)20︒【分析】（1）利用外角的性质，BAC E ACE ∠=∠+∠，ECD E B ∠=∠+∠，再利用角平分线的定义推出ACE ECD ∠=∠，通过等量代换即可求证；（2）先利用30ECD ACB ∠-∠=︒，180ACD ACB ∠+∠=︒，求出40ACB ∠=︒，进而求出B ，再代入（1）中结论即可求解．（1）证明：⊥BAC ∠是ACE ∆的外角，⊥BAC E ACE ∠=∠+∠，⊥ECD ∠是BCE ∆的外角，⊥ECD E B ∠=∠+∠，⊥CE 是ACD ∠的平分线，⊥ACE ECD E B ∠=∠=∠+∠，⊥2BAC E ACE E B E B E ∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠； （2）解：⊥30ECD ACB ∠-∠=︒，⊥30ECD ACB ∠=∠+︒，⊥2260ACD ECD ACB ∠=∠=∠+︒，⊥180ACD ACB ∠+∠=︒，⊥260180ACB ACB ∠+︒+∠=︒，解得40ACB ∠=︒．⊥CA BE ⊥，⊥90BAC ∠=︒，⊥18050B BAC ACB ∠=︒-∠-∠=︒，由（1）知2BAC B E ∠=∠+∠，⊥90502E ︒=︒+∠，解得20E ∠=︒．【点睛】本题考查三角形外角的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，角平分线的定义等，牢固掌握上述知识并灵活运用是解题的关键．22．(1)22.5°；(2)90︒；(3)90︒；(4)⊥AOP =30°或54°；【分析】（1）根据轴对称的性质即可得到结论；（2）根据OP 和1OP 关于OB 对称，得到12POP BOP ∠=∠，根据OP 和2OP 关于OA 对称，得到22POP AOP ∠=∠，根据角的和差即可得到结论；（3）根据OP 和1OP 关于OB 对称，得到 12POP BOP ∠=∠，根据OP 和2OP 关 OA 对称，求得22POP AOP ∠=∠，根据角的和差即可得到结论；（4）⊥OP 在⊥AOB 内部，如图4，⊥当OP 在⊥AOB 外部，根据轴对称的性质即可得到结论． （1）解：⊥射线OB ，OA 关于OM 对称且⊥AOB =45°，⊥⊥AOМ=12⊥АОВ=12×45°=22.5°， 故答案为：22.5°；（2）解：⊥OP 和1OP 关于OB 对称，⊥12POP BOP ∠∠=，又⊥OP 和2OP 关于OA 对称，⊥22POP AOP ∠=∠，⊥1212POP POP POP ∠=∠+∠，⊥1222290POP BOP AOP AOB ∠=∠+∠=∠=︒；（3）解：OP 和1OP 关于OB 对称，⊥12POP BOP ∠=∠，又OP 和2OP 关于 OA 对称，⊥22POP AOP ∠=∠，⊥1212POP POP POP ∠=∠-∠，⊥1222290POP BOP AOP AOB ∠=∠-∠=∠=︒；（4）解：⊥OP 在⊥AOB 内部，如图4，⊥OP ，1OP 关于OB 对称，⊥1BOP BOP ∠=∠，⊥114AOP BOP ∠=∠，⊥1345AOB BOP ∠=∠=︒，⊥115BOP BOP ∠=∠=︒，⊥30AOP ∠=︒，⊥当OP 在⊥AOB 外部，114AOP BOP ∠=∠，⊥射线 OP 在射线 OB 的上面，如图5，⊥ OP ，1OP 关于⊥AOB 的OB 边对称，⊥1BOP BOP ∠=∠，⊥114AOP BOP ∠=∠，⊥111545AOB BOP AOP BOP ∠=∠+∠=∠=︒，⊥19BOP ∠=︒，⊥19BOP BOP ∠=∠=︒，⊥45954AOP ∠=︒+︒=︒，综上所述，⊥AOP =30或54°．【点睛】本题考查了轴对称的性质，角的和差，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．23．(1)点A 到直线BC 的距离为线段AC 的长，点B 到直线AC 的距离为线段BC 的长；(2)根据“垂线段最短”，可知线段AB 最长．【分析】(1)根据点到直线的距离是指“该点到该直线的垂线段的长度”即可求解；(2)根据垂线段最短即可求解．【详解】解：(1)⊥90C ∠=︒，⊥AC BC ⊥，⊥点A 到直线BC 的距离为线段AC 的长，点B 到直线AC 的距离为线段BC 的长；(2)由点到直线的距离，垂线段的长度最短可知：AB AC >，AB BC >，⊥三条边AB ，AC ，BC 中最长的边为AB ．【点睛】本题考查了点到直线距离垂线段的含义、垂线段最短等知识点，属于基本概念题，熟练掌握点到直线垂线段的概念是解题的关键．24．见解析【分析】先作出M 关系OB 的对称点C ，然后根据垂线段最短作出CH 垂直OA ，则CH 与OB 的交点即为所求．【详解】解：如图所示，以M为圆心，以一定的长为半径画弧与OB交于E，F，再以E，F为圆心，以MF的长为半径画弧，两者交于C，同理以C为圆心，以一定的长为半径画弧与直线AO交于D、G，再分别以D、G为圆心，以CD 的长为半径画弧，两者交于点H，连接CH与OB交于P，即为所求．【点睛】本题主要考查了作点关于直线的对称点，点到直线的距离，垂线段最短，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．。
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垂线
1、如图（1），OA⊥OB于O，直线CD经过点O，∠AOD＝35°，则∠BOC=__________.
（1）（2）
2、如图（2），直线AB与CD相交于O，EO⊥AB于O，则图中∠AOC，∠EOD的关系是__________.
3、如图（3），若OE⊥AB，∠EOD=70°，则∠AOC=__________,∠BOC=__________.
4、互为邻补角的两个角的平分线____________互相垂直。
（一定、不一定、一定不)
5.到直线L的距离等于2cm的点有( )
A.0个
B.1个;
C.无数个
D.无法确定
6.点P为直线m外一点,点A,B,C为直线m上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到直线 m 的距离为( )
A.4 cm
B.2 cm;
C.小于2 cm
D.不大于2 cm
7.如图3所示,直线AB与直线CD的位置关系是_______,记作_______,此时,•∠AO D=∠_______=∠_______=∠_______=90°.
O D
C
A
8.过一点有且只有________直线与已知直线垂直.
9.画一条线段或射线的垂线,就是画它们________的垂线.
10.直线外一点到这条直线的_________,叫做点到直线的距离.
11、如图所示,一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶,M,N•分别是位于公路AB 两侧的村庄,设汽车行驶到P点位置时,离村庄M最近,行驶到Q点位置时,•离村庄N最近,请你在AB上分别画出P,Q两点的位置.
N
B
A
12.如图所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=a cm, BC=b cm,则BD的范围是( )
A.大于a cm
B.小于b cm
C.大于a cm或小于b cm
D.大于b cm且小于a cm
B
D
D
C
B
A
（1）两直线相交所成四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直；（ ） （2）两条直线相交所成的四个角相等，则这两条直线互相垂直；（ ） （3）两条直线相交，若有一组邻补角相等，则这两条直线间互相垂直；（ ） （4）两条直线相交，若一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直。
（ ） （5） 在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;（ ） （6） 在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;（ ） （7）在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;（ ） （8） 在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.（ ）
6、如图，过三角形ABC 的三个顶点A,B,C 分别作BC ，AC ，AB 的垂线，并用“⊥”符号来表示。
13.如图,直线AB,CD,EF 交于点O,OG 平分∠BOF,且CD ⊥EF,∠AOE=70°,•求∠DOG 的度数.
G
O
F
E D C
B
A
14、(15分)
如图所示,村庄A 要从河流L 引水入庄, 需修筑一水渠,请你画出修筑水渠的路线图.
15、如图，O 为直线AB 上一点，∠AOC=
1
3
∠BOC ，OC 是∠AOD 的平分线。
（1）求∠COD 的度数；（2）判断OD 与AB 的位置关系，并说出理由。
O
D
C B
A
l
A。