高三数学 第5章第3节三角函数的综合应用复习 理 新人教版
高三数学二轮复习 高考小题专攻练 3 三角函数及解三角形 理 新人教版(2021年整理)
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高考小题专攻练 3.三角函数及解三角形小题强化练,练就速度和技能,掌握高考得分点！一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知α∈R，sinα+2cosα=，则tan2α等于（）A. B.C。
— D.-【解析】选C。
因为sinα+2cosα=,所以sin2α+4sinα·cosα+4cos2α=.用降幂公式化简得:4sin2α=—3cos2α,所以tan2α==—。
2。
在△ABC中，a，b,c分别是角A,B，C的对边，若A=,b=1，△ABC的面积为，则a的值为（）A.1B.2C.D.【解析】选D。
因为A=，b=1,S△ABC=，所以bcsinA=,所以c=2.所以a2=b2+c2—2bccosA=3,所以a=。
3。
已知sin2α=-，α∈，则sinα+cosα=（)A。
-B。
C。
— D.【解析】选B。
因为α∈，所以cosα〉0>sinα且cosα〉|sinα|,则sinα+cosα===。
4.在△ABC中，若sin(A-B)=1+2cos(B+C）sin(A+C)，则△ABC的形状一定是( )A.等边三角形B。
不含60°的等腰三角形C.钝角三角形D.直角三角形【解析】选D.sin(A-B）=1+2cos（B+C）sin（A+C）=1-2cosAsinB，所以sinAcosB-cosAsinB=1-2cosA·sinB，所以sinAcosB+cosAsinB=1，即sin(A+B)=1，则有A+B=，故△ABC为直角三角形。
高三数学复习第三章 三角函数、解三角形
提 升 学 科 素 养
突 破 热 点 题 型
演 练 知 能 检 测
5 答案：2
数学(6省专版)
第一节
任意角和弧度制及任意角的三角函数
回 扣 主 干 知 识
2π 5．若点 P 在角 3 的终边上，且|OP|＝2，则点 P 的坐标是 ________．
2 解析：∵角3π 的终边落在第二象限， ∴可设 P(x，y)，其中 x＜0，y＞0，
第一节
任意角和弧度制及任意角的三角函数
π (1)∵在(0， π)内终边在直线 y＝ 3x 上的角是3，
π 上的角的集合为α|α＝3＋kπ，k∈Z.
[自主解答]
回 扣 主 干 知 识
∴终边在直线 y＝ 3x
6π (2)∵θ＝ 7 ＋2kπ(k∈Z)， θ 2π 2kπ ∴3＝ 7 ＋ 3 (k∈Z)． 2π 2kπ 3 18 依题意 0≤ 7 ＋ 3 ＜2π⇒－7≤k＜ 7 ，k∈Z. θ 2π 20π 34π ∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与3相同的角为 7 ， 21 ， 21 .
数学(6省专版)
提 升 学 科 素 养
突 破 热 点 题 型
演 练 知 能 检 测
第一节
任意角和弧度制及任意角的三角函数
回 扣 主 干 知 识
————— ———————————— α 1．由 α 所在的象限，确定n所在象限的方法
α (1)由角 α 的范围，求出n所在的范围；
(2)通过分类讨论把角写成 θ＋k· (k∈Z)的形式，然后判 360° α 断n所在象限．
第三章
第一节
第二节 第三节
目 三角函数、解三角形 录 任意角和弧度制及任意角的三角函数
同角三角函数的基本关系与诱导公式 三角函数的图象与性质
超实用新高考数学重难点专题复习：专题五 三角函数与解三角形 第六讲 解三角形及其综合应用
此思想方法在解答题中越来越体现出其重要地位，在解题中应明确分类原 则：标准要统一，不重不漏。
同时考生在此阶段的复习过程中一定要重视教材的作用，我们有很大一部 分考生不重视课本，甚至在高考这一年中从来没翻过课本，这是非常危险的。 因为高考试题有一部分都是从书上的例题和练习里引申变形而来的，对于我们 基础比较薄弱的同学来讲，就更应该仔细阅读教材，认真琢磨书上的例题，体 会其中包含的数学思想和数学方法。这对于我们提高数学能力是非常有帮助的 ！ 对于课外参考书的选择我认为选择一到两本适合自己的参考书，把里面的精髓 学懂学会就足够了，不必弄的太多，弄的太多，反而对自己是一个很大的包袱 。
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图 c）. a.北偏东 ：指北方向顺时针旋转 到达目标方向. b.东北方向：指北偏东 45 方向.
（4）坡角：坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角 （如图 d,角 为坡角）. 坡度：坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度
（或坡比）（如图 d,i 为坡比.）
养成良好的答题习惯，是决定高考数学成败的决定性因素之一。做题前， 要认真阅读题目要求、题干和选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌 跟着感觉走，最好按照题目序号来做，不会的或存在疑问的，要做好标记，要 善于发现，找到题目的题眼所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检 查，查漏补缺，纠正错误。总之，在最后的复习阶段，学生们不要加大练习量。 在这个时候，学生要尽快找到适合自己的答题方式，最重要的是以平常心去面 对考试。数学最后的复习要树立信心，考试的时候遇到难题要想“别人也难”， 遇到容易的则要想“细心审题”。越到最后，考生越要回归基础，单词最好再 梳理一遍，这样有利于提高阅读理解的效率。另附高考复习方法和考前30天冲 刺复习方法。
高考数学第三篇三角函数、解三角形(、)第5节函数yasin(ωxφ)的图象及应用理高三数学
12/12/2021
第二十一页，共四十五页。
考点二 求函数 y=Asin (ωx+ )+B 的解析式 【例 2】 (1)函数 y=Asin(ωx+ )的部分图象如图所示,则( ) (A)y=sin(x- π )
3 (B)y=sin( 2 x- 2π )
39 (C)y=cos(4x+ π )
6 (D)y=sin(2x+ π )
12/12/2021
第二十九页，共四十五页。
解析:(2)显然 A=3, T =7-3=4,得ω= π ,
2
4
所以 f(x)=3sin( π x+ ),又 f(5)=3sin( 5π + )=-3,得 = π ,
4
4
4
所以 f(x)=3sin( π x+ π ),所以 g(x)=3sin[ π (2x-1)+ π ]=3sin πx ,
所以 y=sin(2x+ π ),故选 D. 3
12/12/2021
第二十三页，共四十五页。
(2)设函数 f(x)=Asin(ωx+ )(A>0,ω>0,| |< π )的部分图象如图所示,则 f(0) 2
等于( ) (A) 3 (B) 3
2 (C) 2 (D)1
12/12/2021
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12/12/2021
第二页，共四十五页。
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知识(zhī shi)链条完善
考点 专项突 (kǎo diǎn) 破
第三页，共四十五页。
知识链条(liàntiáo)完善
知识(zhī shi)梳理
把散落的知识连起来
新高考数学(理)之三角函数与解三角形 专题07 三角函数的最值与综合应用(解析版)
新高考数学（理）三角函数与平面向量07 三角函数的最值与综合应用一、 具体目标：会求正弦函数、正弦型函数的值域与最值，会求余弦函数、余弦型函数的值域与最值，会求正切函数的值域与最值，会利用三角函数的性质与最值求待定参数的值域. 二、知识概述：1.正弦函数的图象与性质： 性质sin y x =图象定义域 R值域 []1,1-最值 当()22x k k Z ππ=+∈时，max 1y =；当()22x k k Z ππ=-∈时，min 1y =-．周期性 2π奇偶性()sin sin x x -=-,奇函数单调性在()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上是增函数；在()32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦上是减函数．对称性对称中心()(),0k k Z π∈对称轴()2x k k Z ππ=+∈，既是中心对称又是轴对称图形。
余弦函数的图象与性质： 性质cos y x =【考点讲解】图象定义域 R值域 []1,1-最值 当()2x k k Z π=∈时，max 1y =；当()2x k k Z ππ=+∈时，min 1y =-．周期性 2π奇偶性 ()cos cos x x -=偶函数单调性在[]()2,2k k k Z πππ-∈上是增函数；在π[]()2,2k k k Z πππ+∈上是减函数． 对称性 对称中心(),02k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.对称轴()x k k Z π=∈，既是中心对称又是轴对称图形。
正切函数： 性质 tan y x =图象定义域 ,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域 R最值 既无最大值，也无最小值周期性 π奇偶性()tan tan x x -=-奇函数单调性在(),22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭上是增函数． 对称性 对称中心(),02k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形。
(适用于新高考新教材)高考数学一轮总复习第五章三角函数课时规范练24三角恒等变换
课时规范练24 三角恒等变换基础巩固组1.已知sinα+=,α∈,0,则sin 2α=()A. B.C. D.2.(2022山东聊城三模)已知sinα+=,则sin2α+的值为()A. B.C. D.3.化简:sin2+αsin2α=()A.cos2α+B.sin2α+C.cos2αD.sin2α4.(2022湖北黄冈中学模拟)公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割约为0.618,这一数值也可以表示为m=2sin 18°,若m2+n=4,则=()A.4B.2C.2D.45.(2022湖南衡阳模拟)已知α,β都是锐角,且cosα+=,sinβ=,则cos(αβ)=()A. B.C. D.6.(多选)已知≤α≤π,π≤β≤,sin 2α=,cos(α+β)=,则()A.cos α=B.sin αcos α=C.βα=D.cos αcos β=7.= .8.已知α为锐角,且sin α(tan 10°)=1,则α= .9.(2022江西南昌高三检测)在①tan 2α=,②sin α=这两个条件中任选一个,补充到下面的问题中,并解答.已知角α是第一象限角,且.(1)求tan α的值;(2)求sin2α++cos(α+π)cosα+的值.注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分.10.已知=cos(α+β),求证:tan β=.综合提升组11.函数f(x)=sin 2x4sin3x cos x(x∈R) 的最小正周期为()A. B. C.D.π12.已知角α,β满足cos 2α+cos α=sin+βsinβ+sin2β,且α∈(0,π),则α等于()A. B. C. D.13.(多选)设sinβ++sin β=,则sinβ=()A. B.C. D.14.(2022山东潍坊模拟)在平面直角坐标系中,角α与角β的始边均与x轴非负半轴重合,它们的终边关于直线y=x对称.若sin α=,则sin(αβ)= .15.(2022清华附中高三检测)已知函数f(x)=cos x(2sin x+cos x)sin2x.(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;(2)若f(x)在区间[0,m]上的值域为[1,2],求实数m的取值范围.创新应用组16.若▲表示一个整数,该整数使得等式=4成立,这个整数▲为()A.1B.1C.2D.317.已知α,β∈(0,π),cos α=,若sin(2α+β)=sin β,则α+β=()A. B.C. D.课时规范练24三角恒等变换1.B解析:因为sinα+=,所以cosα=.因为α∈,0,所以sinα===,所以sin2α=2sinαcosα=2××=.故选B.2.A解析:sin2α+=sin2α+=cos2α+=2sin2α+1=2×1=.3.B解析:由题意可知,sin2+αsin2α=sin2+αcos2+α=cos2+α=cos+2α=cos2α=sin2α+,故选B.4.B解析:=2.5.B解析:因为α,β都是锐角,所以<α+,<β,又cosα+>0,sinβ>0,所以<α+,0<β,所以sinα+=,cosβ=,所以sinα+β=sinα+cosβcosα+sinβ==,所以sinαβ+=,所以cos(αβ)=.6.BC解析:对于A,因为≤α≤π,所以≤2α≤2π.又sin2α=>0,故有≤2α≤π,≤α≤,则cos2α=.又cos2α=2cos2α1,则cos2α=,故cosα=,故A错误;对于B,因为(sinαcosα)2=1sin2α=≤α≤,所以sinα>cosα,所以sinαcosα=,故B正确;对于C,因为π≤β≤,所以≤α+β≤2π.又cos(α+β)=<0,所以≤α+β≤,解得sin(α+β)=,所以cos(βα)=cos[(α+β)2α]=×+×=.又因为≤α+β≤,π≤2α≤,所以≤βα≤π,有βα=,故C正确;对于D,cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ=,cos(βα)=cosαcosβ+sinαsinβ=,两式联立得cosαcosβ=,故D错误.故选BC.7.2解析:=2.8.40°解析:由已知得sinα==sin40°.由于α为锐角,所以α=40°.9.解 (1)选①:因为tan2α=,所以,所以2tan2α+3tanα2=0,即(2tanα1)(tanα+2)=0,解得tanα=或tanα=2.因为角α是第一象限角,所以tanα=.选②:因为sinα=,所以cos2α=1sin2α=,即cosα=±.因为角α是第一象限角,所以cosα=,则tanα=.(2)sin2α++cos(α+π)cosα+=cos2αcosαsinα==,因为tanα=,所以,即sin2α++cos(α+π)cosα+=.10.证明因为=cos(α+β),所以sinβ=sinα(cosαcosβsinαsinβ),即sinβ(1+sin2α)=sin2αcosβ,因此tanβ=,故tanβ=成立.11.C解析:f(x)=sin2x4sin3x cos x=2sin x cos x4sin3x cos x=2sin x cos x(12sin2x)=sin2x cos2x=sin4x,所以函数的最小正周期T=,故选C.12.C解析:由于sin+βsinβ+sin2β=cosβ+sinβcosβsinβ+sin2β=cos2βsin2β+sin2β= cos2β+sin2β=,因此cos2α+cosα=,即2cos2α1+cosα=,解得cosα=.又因为α∈(0,π),故α=,故选C.13.AC解析:依题意sinβ++sinβ=,sinβ+sinβ=,所以cosβ+sinβ+cosβ=sinβ+cosβ=,因此sinβ+(+2)cosβ=+1,所以cosβ=.代入sin2β+cos2β=1,得sin2β+2=1,化简得(8+4)sin2β(2+2)sinβ(3+2)=0,两边除以+2,可得4sin2β+(22)sinβ=0,2sinβ+12sinβ=0,解得sinβ=或sinβ=,故选AC.14.解析:由题意可得α+β=2kπ+,k∈Z,即β=2kπ+α,k∈Z,而sinα=,所以sin(αβ)=sin2α2kπ=cos2α=1+2sin2α=.15.解 (1)f(x)=cos x(2sin x+cos x)sin2x=2cos x sin x+cos2x sin2x=sin2x+cos2x=2sin2x+,故函数f(x)的最小正周期为T==π,由2x+=kπ+(k∈Z),得图象的对称轴方程为x=(k∈Z).(2)由0≤x≤m,得≤2x+≤2m+,又值域为[1,2],故只需要≤2m+,解得≤m≤.所以m的取值范围为.16.B解析:因为=4,所以▲sin40°+cos40°=2sin80°,则▲sin40°+cos40°=2cos10°,因此▲sin40°+cos40°=2cos(40°30°),即▲sin40°+cos40°=2cos40°cos30°+2sin40°sin30°,所以▲sin40°+cos40°=2×co s40°+2×sin40°,即▲sin40°+cos40°=sin40°+cos40°,所以▲=1,故选B.17.A解析:由题意可知,sin(2α+β)=sinβ,可化为sin[α+(α+β)]=sin[(α+β)α],展开得sinαcos(α+β)+cosαsin(α+β)=cosαsin(α+β)sinαcos(α+β),则cosαsin(α+β)+3sinαcos(α+β)=0,因为α,β∈(0,π),且cosα=,所以sinα=,则sin(α+β)+3×cos(α+β)=0,且α∈,π,所以sin(α+β)=cos(α+β).当cos(α+β)=0时, 不满足题意,所以tan(α+β)=1.因为α∈,π,β∈(0,π),所以α+β∈,2π,则α+β=π,故选A.。
[精]高三第一轮复习全套课件4三角函数：三角函数的最值及综合应用
2 2 新疆 源头学子小屋 /wxc/
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新疆 源头学子小屋
x1 +y1 =1 它表示单位圆，则所给函数 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@
y 就是经过定点 P（2，2）以及该圆上的动点 M（cosx，sinx）的直线 PM 的
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/wxc/
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(2)∵ f (x) 2sin 2x 2 3 cos2x 4sin(2x ) ， f () f ( ) 0 ，
3
4sin(2 ) 4sin(2 ) ，
解：∵ f x a cos 2x 3a sin 2x 2a b ，
2a cos 2x 2a b ． 3
∵ 0 x ，∴ 2x 2 ，∴ 1 cos 2x 1．
2
3
33
2 3
当 a > 0 时，b ≤ f ( x ) ≤ 3a + b，
∴
3a b 1 ， b 5 .
分析：先将切函数化成弦函数，再通过配方转化成求二次函数的最值问
解：y= 1 cos x
·sinx+ cos x
·2sinxcosx=2（cosx+ 1
）2+ 7
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斜率
k，故只需求此直线的斜率
k
的最值即可新疆 源头学子小屋 /wxc/
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由 | 2 2k | =1，得 k= 4
2023最新人教版高中数学必修一第五章《三角函数》单元测试(附答案解析)
试卷第 4 页，共 4 页
1．C
参考答案：
【解析】运用诱导公式，结合特殊角的三角函数值即可化简求解.．
【详解】 cos
150
cos150 cos(1800 300 ) cos 300
3， 2
故选：C．
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关三角函数化简求值问题，正确解题的关键是熟练应 用诱导公式以及熟记特殊角三角函数值. 2．A
答案第 2 页，共 12 页
【详解】 f (x) sin x cos
2
sin( x
π 4
)
，因为
x
a
,
b
，所以
x
π 4
a
π 4
,
b
π 4
，因
为 1
2
sin( x
π 4
)
2 ，所以
2 2
sin( x
π 4
)
1.
正弦函数
y
sin
x
在一个周期
π 2
,
3π 2
内，要满足上式，则
x
π 4
π 4
f
x
sin x
的图象过点
1 3
,1
，若
f
x 在2, a 内有
5
个
零点，则 a 的取值范围为______.
四、解答题
17．在① sin
6 3
，②
tan 2
2 tan 4 0 这两个条件中任选一个，补充到下面的
问题中，并解答.
已知角 a 是第一象限角，且___________.
(1)求 tan 的值；
S1 S2
2
1 2
可求得
高考数学一轮复习专题五三角函数与解三角形4解三角形及其综合应用综合篇课件新人教A版
2
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形,故选D. 解法二:(同解法一)可得2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A.
由正弦、余弦定理,可得a2·b2 c2 a2 ·b=b2·a2 c2 b2 ·a.∴a2(b2+c2-a2)=b2(a
(1)A+B+C=π; (2)在△ABC中,大角对大边,大边对大角,如:a>b⇔A>B⇔sin A>sin B; (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边;
(4)在锐角三角形ABC中,sin A>cos B⇔A+B> ;
2
(5)在斜△ABC中,tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C; (6)有关三角形内角的常用三角恒等式:sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C;
由①②解得c=4或c=-6(不合题意,舍去).∴c=4.故选C.
答案 C
例 (2018北京朝阳二模,2)在△ABC中,AB=1,AC= 2,∠C= ,则∠B=
6
()
A. B. 或 C. 3 D. 或 3
4
42
4
44
解析
由正弦定理得 AB
sin C
= AC
sin B
,即
1 sin
= 2,
sin B
B,C的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),则△ABC的形状为 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
高考数学总复习教案：3.9三角函数的综合应用[ 高考]
第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第9课时 三角函数的综合应用(对应学生用书(文)、(理)57～59页)1. (必修5P 9例题4题改编)设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且a cosA ＝c sinC，则A ＝________．答案：π4解析：由a cosA ＝c sinC ，a sinA ＝c sinC ，得a sinA ＝acosA ，即sinA ＝cosA ，所以A ＝π4.2. (必修4P 45习题1.3第8题改编)将函数y ＝sinx 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，则φ＝________．答案：116π解析：将函数y ＝sinx 向左平移φ(0≤φ<2π)个单位得到函数y ＝sin(x ＋φ)．只有φ＝116π时有y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋116π＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6. 3. (必修4P 109习题3.3第6(2)题改编)tan π12－1tan π12＝________．答案：－23解析：原式＝sinπ12cos π12－cosπ12sin π12＝－⎝⎛⎭⎫cos 2π12－sin 2π12sin π12cos π12＝－cosπ612sin π6＝－2 3. 4. (必修4P 115复习题第13题改编)已知函数f(x)＝3sinxcosx －cos 2x ＋12(x ∈R )，则f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的值域是________．答案：⎣⎡⎦⎤－12，32解析：f(x)＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，故值域为⎣⎡⎦⎤－12，32.5. 在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则边BC 上的高为________． 答案：332解析：由余弦定理，得7＝c 2＋4－2c ，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝3，所以边BC 上的高h ＝3sin60°＝332.1. 同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α.2. 两角和与差的正弦余弦和正切公式：sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β，cos (α±β)＝cos αcos βsinαsin β，tan (α±β)＝tan α±tan β1tan αtan β.3. 二倍角公式：sin2α＝2sin αcos α，cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，tan2α＝2tan α1－tan 2α.4. 三角函数的图象和性质5. 正弦定理和余弦定理：(1) 正弦定理：a sinA ＝b sinB ＝csinC＝2R(R 为三角形外接圆的半径)．(2) 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc.题型1 三角恒等变换例1 已知sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝7210，A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2.(1) 求cosA 的值；(2) 求函数f(x)＝cos2x ＋52sinAsinx 的值域．解：(1) 因为π4<A<π2，且sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝7210，所以π2<A ＋π4<3π4，cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－210.所以cosA ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫A ＋π4－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin π4＝－210·22＋7210·22＝35. (2) 由(1)可得sinA ＝45.所以f(x)＝cos2x ＋52sinAsinx＝1－2sin 2x ＋2sinx ＝－2⎝⎛⎭⎫sinx －122＋32，x ∈R .因为sinx ∈[－1，1]，所以，当sinx ＝12时，f(x)取最大值32；当sinx ＝－1时，f(x)取最小值－3. 所以函数f(x)的值域为⎣⎡⎦⎤－3，32. 备选变式（教师专享）(2013·上海卷)若cosxcosy ＋sinxsiny ＝12，sin2x ＋sin2y ＝23，则sin(x ＋y)＝________．答案：23解析：由题意得cos(x －y)＝12，sin2x ＋sin2y ＝sin[(x ＋y)＋(x －y)]＋sin[(x ＋y)－(x －y)]＝2sin(x ＋y)cos(x－y)＝23sin(x ＋y)＝23.题型2 三角函数的图象与性质 例2 已知函数f(x)＝Asin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ，x ∈R ，A>0，0<φ<π2，y ＝f(x)的部分图象如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A)．(1) 求f(x)的最小正周期及φ的值；(2) 若点R 的坐标为(1，0)，∠PRQ ＝2π3，求A 的值．解：(1) 由题意得T ＝2ππ3＝6.因为P(1，A)在y ＝Asin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ的图象上，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1.因为0<φ<π2，所以φ＝π6.(2) 设点Q 的坐标为(x 0，－A)． 由题意可知π3x 0＋π6＝3π2，得x 0＝4，所以Q(4，－A)．连结PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ ＝2π3，由余弦定理得cos ∠PRQ ＝RP 2＋RQ 2－PQ 22RP ·RQ ＝A 2＋9＋A 2－（9＋4A 2）2A·9＋A 2＝－12，解得A 2＝3.又A>0，所以A ＝ 3. 备选变式（教师专享）已知函数f(x)＝sin (ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之间的距离为π. (1) 求函数f(x)的表达式；(2) 若sin α＋f(α)＝23，求2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＋11＋tan α的值．解：(1) ∵ f(x)为偶函数，∴ sin(－ωx ＋φ)＝sin (ωx ＋φ)，即2sin ωxcos φ＝0恒成立， ∴ cos φ＝0，又∵ 0≤φ≤π，∴ φ＝π2. 又其图象上相邻对称轴之间的距离为π，∴ T ＝2π，∴ ω＝1，∴f(x)＝cosx. (2) ∵ 原式＝sin2α－cos2α＋11＋tan α＝2sin αcos α，又∵ sin α＋cos α＝23，∴ 1＋2sin αcos α＝49， 即2sin αcos α＝－59，故原式＝－59.题型3 正弦定理、余弦定理的综合应用例3 (2013·浙江)在锐角△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2asinB ＝3b.(1) 求角A 的大小；(2) 若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积．解：(1) 由2asinB ＝3b 及正弦定理a sinA ＝b sinB ，得sinA ＝32.因为A 是锐角，所以A ＝π3.(2) 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，得b 2＋c 2－bc ＝36.又b ＋c ＝8，所以bc ＝283. 由三角形面积公式S ＝12bcsinA ，得△ABC 的面积为733.备选变式（教师专享）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，C ＝π3，a ＝5，△ABC 的面积为10 3.(1) 求b ，c 的值； (2) 求cos ⎝⎛⎭⎫B －π3的值．解：(1) 由已知，C ＝π3，a ＝5，因为S △ABC ＝12absinC ，即103＝12b ·5sin π3，解得b ＝8.由余弦定理可得：c 2＝25＋64－80cos π3＝49, 所以c ＝7.(2) 由(1)有cosB ＝25＋49－6470＝17，由于B 是三角形的内角，易知sinB ＝1－cos 2B ＝437，所以cos ⎝⎛⎭⎫B －π3＝cosBcos π3＋sinBsin π3＝17×12＋437×32＝1314.题型4 三角函数、平面向量、解三角形的综合应用例4 已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫sinA ，12与n ＝(3，sinA ＋3cosA)共线，其中A 是△ABC 的内角． (1) 求角A 的大小；(2) 若BC ＝2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状． 解：(1) 因为m ∥n ，所以sinA ·(sinA ＋3cosA)－32＝0.所以1－cos2A 2＋32sin2A －32＝0，即32sin2A －12cos2A ＝1， 即sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝1.因为A ∈(0，π)，所以2A －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，11π6. 故2A －π6＝π2，A ＝π3.(2) 由余弦定理，得4＝b 2＋c 2－bc. 又S △ABC ＝12bcsinA ＝34bc ，而b 2＋c 2≥2bcbc ＋4≥2bcbc ≤4(当且仅当b ＝c 时等号成立)，所以S △ABC ＝12bcsinA ＝34bc ≤34×4＝ 3.当△ABC 的面积取最大值时，b ＝c. 又A ＝π3，故此时△ABC 为等边三角形．备选变式（教师专享）已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b)，n ＝(sin B ，sin A)，p ＝(b －2，a －2)．(1) 若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2) 若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．(1) 证明：∵ m ∥n ，∴ asin A ＝bsin B ，即a·a 2R ＝b·b2R ，其中R 是△ABC 外接圆半径，∴ a ＝b.∴ △ABC为等腰三角形．(2) 解：由题意可知m·p ＝0，即a(b －2)＋b(a －2)＝0.∴ a ＋b ＝ab.由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b)2－3ab ，即(ab)2－3ab －4＝0，∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)，∴ S ＝12absin C ＝12×4×sin π3＝ 3.在已知值求角中，应合理选择三角函数形式进行求解，避免增根． 【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分14分) 若sin α＝55，sin β＝1010，且α、β均为锐角，求α＋β的值． 学生错解：解： ∵ α为锐角，∴ cos α＝1－sin 2α＝255.又β为锐角，∴ cos β＝1－sin 2β＝31010. ∵ sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝22， 由于0°<α<90°，0°<β<90°， ∴ 0°<α＋β<180°， 故α＋β＝45°或135°.审题引导： 在已知值求角中，角的范围常常被忽略或不能发现隐含的角的大小关系而出现增根不能排除．要避免上述情况的发生，应合理选择三角函数形式进行求解，根据计算结果，估算出角的较精确的取值范围，并不断缩小角的范围，在选择三角函数公式时，一般已知正切函数值，选正切函数，已知正余弦函数值时，若角在(0，π)时，一般选余弦函数，若是⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则一般选正弦函数．规范解答： 解： ∵ α为锐角，∴ cos α＝1－sin 2α＝255.(2分) 又β为锐角，∴ cos β＝1－sin 2β＝31010.(4分) 且cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22，(10分) 由于0<α<π2，0<β<π2，所以0<α＋β<π，因为y ＝cosx 在[]0，π上是单调递减函数，故α＋β＝π4.(14分)错因分析： 没有注意挖掘题目中的隐含条件，忽视了对角的范围的限制，造成出错． 事实上，仅由sin (α＋β)＝22，0°<α＋β<180°而得到α＋β＝45°或135°是正确的，但题设中sin α＝55<12，sin β＝1010<12，使得0°<α<30°，0°<β<30°从而0°<α＋β<60°，故上述结论是错误的．在已知值求角中，应合理选择三角函数形式进行求解，避免增根．本题中0<α＋β<π，因为y ＝cosx 在[]0，π上是单调函数，所以本题先求cos (α＋β)不易出错．1. (2013·常州期末)函数f(x)＝cos πx 2cos π（x －1）2的最小正周期为________．答案：2解析：f(x)＝cos πx 2cos π（x －1）2＝cos πx 2·sin πx 2＝12sin πx ，最小正周期为T ＝2ππ＝2.2. (2013·北京期末)已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f(x)的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则a 的取值范围是________．答案：⎣⎡⎦⎤π3，π 解析：若－π3≤x ≤a ，则－π6≤x ＋π6≤a ＋π6，因为当x ＋π6＝－π6或x ＋π6＝7π6时，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝12，所以要使f(x)的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则有π2≤a ＋π6≤7π6，即π3≤a ≤π，即a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤π3，π. 3. (2013·北京期末)已知△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，sinC ＝3cosC ，则△ABC 的面积为________． 答案：32解析：由sinC ＝3cosC ，得tanC ＝3>0，所以C ＝π3.根据正弦定理可得BC sinA ＝ABsinC ，即1sinA ＝332＝2，所以sinA ＝12.因为AB>BC ，所以A<C ，所以A ＝π6，即B ＝π2，所以三角形为直角三角形，所以S △ABC ＝12×3×1＝32.4. (2013·新课标Ⅰ卷)设当x ＝θ时，函数f(x)＝sinx －2cosx 取得最大值，则cos θ＝________． 答案：－255解析：∵ f(x)＝sinx －2cosx ＝5⎝⎛⎭⎫55sinx －255cosx .令cos φ＝55，sin φ＝－255，则f(x)＝ 5(sinxcos φ＋sin φcosx)＝5sin(x ＋φ)， 当x ＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝2k π＋π2－φ，k ∈Z 时，f(x)取最大值，此时θ＝2k π＋π2－φ，k ∈Z ，∴ cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫2k π＋π2－φ＝sin φ＝－255.1. (2014·扬州期末)在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c.向量m ＝(1，cosB)，n ＝(sinB ，－3)，且m ⊥n .(1) 求角B 的大小；(2) 若△ABC 面积为103，b ＝7，求此三角形周长． 解：(1) m·n ＝sinB －3cosB ，∵ m ⊥n ，∴ m ·n ＝0， ∴ sinB －3cosB ＝0.∵ △ABC 为锐角三角形，∴ cosB ≠0， ∴ tanB ＝ 3.∵ 0<B<π2，∴ B ＝π3.(2) ∵ S △ABC ＝12acsinB ＝34ac ，由题设34ac ＝103，得ac ＝40.由72＝a 2＋c 2－2accosB ，得49＝a 2＋c 2－ac ，∴ (a ＋c)2＝(a 2＋c 2－ac)＋3ac ＝49＋120＝169.∴ a ＋c ＝13，∴ 三角形周长是20.2. 在△ABC 中， a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，△ABC 的周长为2＋2，且sinA ＋sinB ＝2sinC. (1) 求边c 的长；(2) 若△ABC 的面积为13sinC ，求角C 的度数．解：(1) 在△ABC 中， ∵ sinA ＋sinB ＝2sinC ，由正弦定理，得a ＋b ＝2c ，∴ a ＋b ＋c ＝2c ＋c ＝(2＋1)c ＝2＋2.∴ a ＋b ＝2，c ＝ 2.(2) 在△ABC 中， S △ABC ＝12absinC ＝13sinC ，∴ 12ab ＝13 ，即ab ＝23. 又a ＋b ＝2，在△ABC 中，由余弦定理，得cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝（a ＋b ）2－2ab －22ab ＝12，又在△ABC中∠C ∈(0，π)，∴ ∠C ＝60°.3. (2013·湖北卷)在△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别是a 、b 、c.已知cos2A －3cos(B ＋C)＝1. (1) 求角A 的大小；(2) 若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sinBsinC 的值．解：(1) 由已知条件得：cos2A ＋3cosA ＝1，∴ 2cos 2A ＋3cosA －2＝0，解得cosA ＝12，∴ ∠A ＝60°.(2) S ＝12bcsinA ＝53c ＝4，由余弦定理，得a 2＝21，(2R)2＝a 2sin 2A ＝28，∴ sinBsinC ＝bc 4R 2＝57.4. (2013·北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A. (1) 求cosA 的值； (2) 求c 的值．解：(1) 因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A.所以在△ABC 中，由正弦定理得3sinA ＝26sin2A .所以2sinAcosAsinA ＝263.故cosA ＝63. (2) 由(1)知cosA ＝63，所以sinA ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B ＝2∠A ，所以cosB ＝2cos 2A －1＝13.所以sinB ＝1－cos 2B ＝223.在△ABC 中，sinC ＝sin(A ＋B)＝sinAcosB ＋cosAsinB ＝539.所以c ＝sin sin a CA＝5.1. 三角变换的基本策略是化异为同，即将函数名称、角、次数等化异为同．2. 对于函数y ＝Asin (ωx ＋φ)＋B ，常用“五点法”画图象，运用整体思想研究性质．3. 求三角函数的单调区间、周期，及判断函数的奇偶性，要注意化归思想的运用，通过恒等变换转化为基本三角函数类型，注意变形前后的等价性．4. 解三角函数的综合题时应注意：(1) 与已知基本函数对应求解，即将ωx＋φ视为一个整体X；(2) 将已知三角函数化为同一个角的一种三角函数，如y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝asin2x＋bsinx＋c；(3) 换元方法在解题中的运用．请使用课时训练(B)第9课时(见活页)．[备课札记]。
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1求和的值； 2求gx f xf(x)的单调递增区间．
4
精选课件
解析：1由f x 是偶函数，得f x f x ，
即sin( x ) sin( x )对任意x R都成立， 且 0，化简得2sin xcos 0. 此式对任意x都成立，且 0，所以cos 0. 由于0 ，所以 .
2
4
44
精选课件
2 y f x f x 2
2sin ( x ) 2sin ( x )
44
4 24
2sin ( x ) 2cos( x )
44
44
2 2sin ( x ) 2 2cos x.
42
4
所 以 y f x f x 2的 最 大 值 为 2 2,
最 小 值 为 2 2.
精选课件
三角恒等变换
例3： 已知a(cosxsinx,sinx),bcosxsinx,2cosx， 设f xab. 1求函数f x的最小正周期； 2当x[0， ]时，求函数f x的最大值及最小值．
精选课件
拓展练习2：已知函数f xAsin(x)(A0,0，
||,xR)的图象的一部分如下图所示．
2
1求函数f x的解析式； 2求函数yf xf x2的最大值与最小值．
精选课件
解析：1由图象知A2，周期T 8.
因为T 2 8，所以 .
4
又图象经过点1,0，所以2sin( ) 0.
4
因为|| ，所以 ，所以f x 2sin( x)．
4
最 小 值 是 1 2 2
.
解析：f x cos2x sinx
sin2 x sinx 1 (sinx 1)2 5 . 24
由 x ，得sinx [ 2 ， 2 ]．
4
22
故当sinx 2 时，f x的最小值为1 2 .
2
精选课件
2
三角函数的图象与性质
例1：已知函数f xsinx 3cosx.
3
3
3
因 为 函 数 f x是 偶 函 数 ，
所 以 f ( ) f ( ) sin 3 ，
3
3
32
所 以 f (5 ) 3 . 32
精选课件
4.观 察 下 列 结 论 ：sin x sin 3 x sin 2 2 x ； sin x
sin x sin 3x sin 5x sin 2 3x ； sin x
sin x
的是B
A.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值 C.有最大值且有最小值 D.既无最大值又无最小值
解析：令t sinx,t 0,1,
则函数f x sin x1(0 x )的值域转化为函数
sin x
y 11，t 0,1的值域．
t
因为函数y 11,t 0,1是精选一课件个减函数,所以选B.
4
所 以 k 5 x k (k Z )．
8
8
所 以 函 数 g x 的 单 调 递 增 区 间 为[k 5 ,k ](k Z )．
精选课件
8
8
反 思 小 结 ： 本 题 在 求 出 三 角 函 数 的 解 析 式 后 在 第 二 问 考 查 了 三 角 恒 等 变 换 及 三 角 函 数 的 性 质 ．
1求f x的周期和振幅；
2用"五点作图法"作出f x在一个周期内的图象；
3写出函数f x的单调递减区间．
解析： 1y2(1sinx 3cosx)2(sinxcoscosxsin)
2
2
3
3
2sin(x)．故函数f x的周期为T2，振幅为2.
3
2列表：
精选课件
x
3
x 3
0
y 2sin(x )
3
0
2
7
6
3
6
3
3
2
2
2
2
0
2
0
函数f(x)在一个周期内的图象如下．
精选课件
3由2k x 2k 3 (k Z)，
2
3
2
解得2k x 2k 7 (k Z)．
6
6
所以函数f x的单调递减区间为[2k ，2k 7 ](k Z)．
6
6
精选课件
反思小结：欲求函数的最小正周期，需将函数化成 只含一个角的一种三角函数，且函数为一次方的形式． 用“五点法”作图，列表、描点、连线三步缺一不可．
1 2sin(2x)．
4
所以函数f x的最小正周期为，最大值为1 2. 2由1知可列表如下：精选课件
x
3
8
8
8
3
5
8
8
y
1
1 2
1
1 2 1
故 函 数 y fx 在 区 间 [， ] 上 的 图 象 如 下 ． 22
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三角函数的解析式与性质
例2：已知函数f xsin(x)(0,0)
2
又最小正周期为，所以 2 ，所以 2.
精选课件
2由 1 得 g x f x f (x )
4
sin(2x ) sin[2(x ) ]
2
42
cos2x sin2x 2cos(2x )．
4
依 题 意 ， 知 2k 2x 2k (k Z )，
对于函数y Asin(x)，在列表中，x一般要 取0，，，3， 2这五个值．
22
精选课件
拓展练习1：已知函数f x2sinxsinxcosx． 1求函数f x的最小正周期和最大值； 2在直角坐标系中，画出函数yf x在区间[， ]
22 上的图象．
解析： 1 f x2sin2x2sinxcosx1cos2xsin2x
t
3.定义在R上的函数f x既是偶函数又是周期函数．
若f x的最小正周期是 ,且当x [0， ]时,f x sinx，
2
则f (5 )的值为 D
3
A． 1
B. 1
2
2
C． 3 2
D. 3 2
精选课件
解 析 ： 因 为 f x的 最 小 正 周 期 是 ，
所 以 f ( 5 ) f ( 5 2 ) f ( )．
精选课件
1 .函 数 ycos2x2sinxcosx的 最 小 正 周 期 TB
A ． 2 B . C .
2
D .
3
解 析 ： co s2 x2 sin xco sxco s2 x sin 2 x2 sin (2 x)，
4
故 最 小 正 周 期 T.
精选课件
2.对于函数f xsinx1(0x)，下列结论中正确
sin x sin 3 x sin 5 x sin 7 x sin 2 4 x ； sin x
则 sin x sin 3x sin 5x sin 7 x sin 2n 1 x
sin2 nx (n N*)
应 等 于 sin x
.
精选课件
5.如 果x,那 么 函 数 fxcos2xsinx的