07-2015山东高考数学数列大题
2015年高考数学真题分类汇编：专题(06)数列(理科)及答案
专题六 数列1.【2015高考重庆，理2】在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （ ） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、6 【答案】B【解析】由等差数列的性质得64222240a a a =-=⨯-=，选B .【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式与等差数列的性质.【名师点晴】本题可以直接利用等差数列的通项公式求解，也可应用等差数列的性质求解，主要考查学生灵活应用基础知识的能力.是基础题.2.【2015高考福建，理8】若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】D【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4b a=．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1a =，4b =；当4a是等差中项时，82a a=-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=，选D ． 【考点定位】等差中项和等比中项．【名师点睛】本题以零点为载体考查等比中项和等差中项，其中分类讨论和逻辑推理是解题核心．三个数成等差数列或等比数列，项与项之间是有顺序的，但是等差中项或等比中项是唯一的，故可以利用中项进行讨论，属于难题．3.【2015高考北京，理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a >D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】C【解析】先分析四个答案支，A 举一反例1232,1,4a a a ==-=-，120a a +>而230+<a a ，A 错误，B 举同样反例1232,1,4a a a ==-=-，130a a +<，而120+>a a ，B 错误，下面针对C 进行研究，{}n a 是等差数列，若120a a <<，则10,a >设公差为d ，则0d >，数列各项均为正，由于22215111()(2)a a a a d a a d -=+-+22221111220a a d d a a d d =++--=>，则2113a a a >1a ⇒>C.考点定位：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重 点是对知识本质的考查.【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和比较法，本题属于基础题，由于前两个选项无法使用公式直接做出判断，因此学生可以利用举反例的方法进行排除，这需要学生不能死套公式，要灵活应对，作差法是比较大小常规方法，对判断第三个选择只很有效.4.【2015高考浙江，理3】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（ ）A.140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D.140,0a d dS <>【答案】B.【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列的概念等知识点，同时考查了学生的运算求解能力，属于容易题，将1a d ，4dS 表示为只与公差d 有关的表达式，即可求解，在解题过程中要注意等等差数列与等比数列概念以及相关公式的灵活运用.5.【2015高考安徽，理14】已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .【答案】21n-【解析】由题意，14231498a a a a a a +=⎧⎨⋅=⋅=⎩，解得141,8a a ==或者148,1a a ==，而数列{}n a 是递增的等比数列，所以141,8a a ==，即3418a q a ==，所以2q =，因而数列{}n a 的前n 项和1(1)1221112n nn n a q S q --===---. 【考点定位】1.等比数列的性质；2.等比数列的前n 项和公式.【名师点睛】对于等差数列与等比数列综合考查的问题，要做到：①熟练掌握等差或等比数列的性质，尤其是m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+（等差数列），m n p q a a a a ⋅=⋅（等比数列）；②注意题目给定的限制条件，如本题中“递增”，说明1q >；③要熟练掌握数列中相关的通项公式，前n 项和公式等.6.【2015高考新课标2，理16】设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________． 【答案】1n-【解析】由已知得111n n n n n a S S S S +++=-=⋅，两边同时除以1n n S S +⋅，得1111n nS S +=--，故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为首项，1-为公差的等差数列，则11(1)nS n n =---=-，所以1n S n =-． 【考点定位】等差数列和递推关系．【名师点睛】本题考查数列递推式和等差数列通项公式，要搞清楚项n a 与n S 的关系，从而转化为1n S +与n S 的递推式，并根据等差数列的定义判断1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，属于中档题．7.【2015高考广东，理10】在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a += .【答案】10． 【解析】因为{}n a 是等差数列，所以37462852a a a a a a a +=+=+=，345675525a a a a a a ++++==即55a =，所以285210a a a +==，故应填入10．【考点定位】等差数列的性质．【名师点睛】本题主要考查等差数列性质及其简单运算和运算求解能力，属于容易题，解答此题关键在于熟记()*,,,m n p q a a a a m n p q N m n p q +=+∈+=+且，()*2,,2m n p a a a m n p N m n p +=∈+=且及其熟练运用．8.【2015高考陕西，理13】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ． 【答案】5【解析】设数列的首项为1a ，则12015210102020a +=⨯=，所以15a =，故该数列的首项为5，所以答案应填：5． 【考点定位】等差中项．【名师点晴】本题主要考查的是等差中项，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“中位数”和“等差数列”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是等差中项的概念，即若a ，A ，b 成等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项，即2a b A =+．9.【2015江苏高考，11】数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为 【答案】2011【考点定位】数列通项，裂项求和【名师点晴】由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝f (n )·a n ，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，转化为特殊数列求通项．数列求和的常用方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，并项求和法等，可根据通项特点进行选用.10.【2015江苏高考，20】（本小题满分16分）设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列（1）证明：31242,2,2,2a a a a依次成等比数列；（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列，并说明理由；（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得kn k n k n n a a a a 342321,,,+++依次成等比数列，并说 明理由.【答案】（1）详见解析（2）不存在（3）不存在 【解析】试题分析（1）根据等比数列定义只需验证每一项与前一项的比值都为同一个不为零的常数即可（2）本题列式简单，变形较难，首先令1dt a =将二元问题转化为一元，再分别求解两个高次方程，利用消最高次的方法得到方程：27+430t t +=，无解，所以不存在（3）同（2）先令1dt a =将二元问题转化为一元，为降次，所以两边取对数，消去n,k 得到关于t 的一元方程4ln(13)ln(1)ln(13)ln(12)3ln(12)ln(1)0t t t t t t ++-++-++=，从而将方程的解转化为研究函数()4ln(13)ln(1)ln(13)ln(12)3ln(12)ln(1)g t t t t t t t =++-++-++零点情况，这个函数需要利用二次求导才可确定其在(0,)+∞上无零点试题解析：（1）证明：因为112222n n n na a a d a ++-==（1n =，2，3）是同一个常数，所以12a ，22a ，32a ，42a 依次构成等比数列．（2）令1a d a +=，则1a ，2a ，3a ，4a 分别为a d -，a ，a d +，2a d +（a d >，2a d >-，0d ≠）． 假设存在1a ，d ，使得1a ，22a ，33a ，44a 依次构成等比数列， 则()()34a a d a d =-+，且()()6422a d aa d +=+．令d t a =，则()()3111t t =-+，且()()64112t t +=+（112t -<<，0t ≠）， 化简得32220t t +-=（*），且21t t =+．将21t t =+代入（*）式，()()21212313410t t t t t t t t +++-=+=++=+=，则14t =-．显然14t =-不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在1a ，d ，使得1a ，22a ，33a ，44a 依次构成等比数列． （3）假设存在1a ，d 及正整数n ，k ，使得1na ，2n ka +，23n ka +，34n ka +依次构成等比数列，则()()()221112n kn k n a a d a d +++=+，且()()()()32211132n kn kn k a d a d a d +++++=+．分别在两个等式的两边同除以()21n k a +及()221n k a +，并令1d t a =（13t >-，0t ≠）， 则()()()22121n kn k t t +++=+，且()()()()32211312n kn kn k t t t +++++=+．将上述两个等式两边取对数，得()()()()2ln 122ln 1n k t n k t ++=++， 且()()()()()()ln 13ln 1322ln 12n k t n k t n k t +++++=++． 化简得()()()()2ln 12ln 12ln 1ln 12k t t n t t +-+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 且()()()()3ln 13ln 13ln 1ln 13k t t n t t +-+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．令()()21t t ϕϕ'=，则()()()()212011213t t t t ϕ'=>+++．由()()()()1200000g ϕϕϕ====，()20t ϕ'>， 知()2t ϕ，()1t ϕ，()t ϕ，()g t 在1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭和()0,+∞上均单调． 故()g t 只有唯一零点0t =，即方程（**）只有唯一解0t =，故假设不成立． 所以不存在1a ，d 及正整数n ，k ，使得1na ，2n ka +，23n ka +，34n ka +依次构成等比数列．【考点定位】等差、等比数列的定义及性质，函数与方程【名师点晴】解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．11.【2015高考浙江，理20】已知数列{}n a 满足1a =12且1n a +=n a -2n a （n ∈*N ） （1）证明：112nn a a +≤≤（n ∈*N ）； （2）设数列{}2n a 的前n 项和为n S ，证明112(2)2(1)n S n n n ≤≤++（n ∈*N ）. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 试题分析：（1）首先根据递推公式可得12n a ≤，再由递推公式变形可知 211[1,2]1n n n n n n a a a a a a +==∈--，从而得证；（2）由1111=n n n n a a a a ++-和112n n a a +≤≤得，11112n na a +≤-≤，从而可得*111()2(1)2n a n N n n +≤≤∈++，即可得证. 试题解析：（1）由题意得，210n n n a a a +-=-≤，即1n n a a +≤，12n a ≤，由11(1)n n n a a a --=- 得1211(1)(1)(1)0n n n a a a a a --=--⋅⋅⋅->，由102n a <≤得， 211[1,2]1n n n n n n a a a a a a +==∈--，即112n n a a +≤≤；（2）由题意得21n n n a a a +=-， ∴11n n S a a +=-①，由1111=n n n n a a a a ++-和112n n a a +≤≤得，11112n na a +≤-≤， ∴11112n n n a a +≤-≤，因此*111()2(1)2n a n N n n +≤≤∈++②，由①②得 112(2)2(1)n S n n n ≤≤++. 【考点定位】数列与不等式结合综合题.【名师点睛】本题主要考查了数列的递推公式，不等式的证明等知识点，属于较难题，第一小问易证，利用条件中的递推公式作等价变形，即可得到2111n n n n n na a a a a a +==--，再结合已知条件即可得证，第二小问具有较强的技巧性，首先根据递推公式将n S 转化为只与1+n a 有关的表达式，再结合已知条件得到1+n a 的取值范围即可得证，此次数列自2008年之后作为解答题压轴题重出江湖，算是一个不大不小的冷门（之前浙江各地的模考解答题压轴题基本都是以二次函数为背景的函数综合题），由于数列综合题常与不等式，函数的最值，归纳猜想，分类讨论等数学思想相结合，技巧性比较强，需要平时一定量的训练与积累，在 后续复习时应予以关注.12.【2015高考山东，理18】设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233n n S =+. （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（I ）13,1,3,1,n n n a n -=⎧=⎨>⎩; （II ）13631243n nn T +=+⨯.所以1113T b ==当1n > 时，()()12112311323133n n n T b b b b n ---=++++=+⨯+⨯++-所以()()01231132313n n T n --=+⨯+⨯++-两式相减，得()()012122333133n nn T n ---=+++--⋅ ()11121313313n n n ----=+--⋅- 1363623nn +=-⨯ 所以13631243n n n T +=+⨯ 经检验，1n = 时也适合， 综上可得：13631243n nn T +=+⨯ 【考点定位】1、数列前n 项和n S 与通项n a 的关系；2、特殊数列的求和问题.【名师点睛】本题考查了数列的基本概念与运算，意在考查学生的逻辑思维能力与运算求解能力，思维的严密性和运算的准确性，在利用n S 与通项n a 的关系求n a 的过程中，一定要注意1n = 的情况，错位相减不法虽然思路成熟但也对学生的运算能力提出了较高的要求. 13. 【2015高考安徽，理18】设*n N ∈，n x 是曲线221n y x +=+在点(12)，处的切线与x 轴交点的横坐标.（Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式；（Ⅱ）记2221321n n T x x x -=，证明14n T n≥. 【答案】（Ⅰ）1n n x n =+；（Ⅱ）14n T n≥. 【解析】试题分析：（Ⅰ）对题中所给曲线的解析式进行求导，得出曲线221n y x+=+在点(12)，处的切线斜率为22n +.从而可以写出切线方程为2(22)(1)y n x -=+-.令0y =.解得切线与x 轴交点的横坐标1111n nx n n =-=++. （Ⅱ）要证14n T n≥，需考虑通项221n x -，通过适当放缩能够使得每项相消即可证明.思路如下：先表示出22222213211321()()()242n n n T x x x n--==，求出初始条件当1n =时，114T =.当2n ≥时，单独考虑221n x -，并放缩得222222122221(21)(21)1441()2(2)(2)(2)n n n n n n n xn n n n n-------==>==，所以 211211()2234n n T n n ->⨯⨯⨯⨯=，综上可得对任意的*n N ∈，均有14n T n≥. 试题解析：（Ⅰ）解：2221'(1)'(22)n n y x n x ++=+=+，曲线221n y x +=+在点(12)，处的切线斜率为22n +.从而切线方程为2(22)(1)y n x -=+-.令0y =，解得切线与x 轴交点的横坐标1111n n x n n =-=++. （Ⅱ）证：由题设和（Ⅰ）中的计算结果知22222213211321()()()242n n n T x x x n--==. 当1n =时，114T =.当2n ≥时，因为222222122221(21)(21)1441()2(2)(2)(2)n n n n n n n x n n n n n-------==>==，所以211211()2234n n T n n->⨯⨯⨯⨯=. 综上可得对任意的*n N ∈，均有14n T n≥.【考点定位】1.曲线的切线方程；2.数列的通项公式；3.放缩法证明不等式.【名师点睛】数列是特殊的函数，不等式是深刻认识函数与数列的重要工具，三者的综合是近几年高考命题的新热点，且数列的重心已经偏移到不等式的证明与求解中，而不再是以前的递推求通项，此类问题在2010年、2012年、2013年安徽高考解答题中都曾考过.对于数列问题中求和类（或求积类）不等式证明，如果是通过放缩的方法进行证明的，一般有两种类型：一种是能够直接求和（或求积），再放缩；一种是不能直接求和（或求积），需要放缩后才能求和（或求积），求和（或求积）后再进行放缩.在后一种类型中，一定要注意放缩的尺度，二是要注意从哪一项开始放缩. 14.【2015高考天津，理18】（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足212()*,1,2n n a qa q q n N a a +=≠∈==为实数，且1，，且233445,,a a a a a a +++成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式； (II)设*2221log ,nn n a b n N a -=∈，求数列{}n b 的前n 项和. 【答案】(I) 1222,2,.n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数,为偶数; (II) 1242n n n S -+=-.(II) 由(I)得22121log 2n n n n a nb a --==，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则012111111232222n n S n -=⨯+⨯+⨯++⨯， 1231111112322222n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯ 两式相减得2311111111*********2222212n n n n n n n n n n S --=+++++-=-=---， 整理得1242n n n S -+=-所以数列{}n b 的前n 项和为124,*2n n n N -+-∈. 【考点定位】等差数列定义、等比数列及前n 项和公式、错位相减法求和.【名师点睛】本题主要考查等差、等比数列定义与性质，求和公式以及错位相减法求和的问题，通过等差数列定义、等比数列性质，分n 为奇偶数讨论求通项公式，并用错位相减法基本思想求和.是中档题.15.【2015高考重庆，理22】在数列{}n a 中，()21113,0n n n n a a a a a n N λμ+++=++=∈（1）若0,2,λμ==-求数列{}n a 的通项公式； （2）若()0001,2,1,k N k k λμ+=∈≥=-证明：010011223121k a k k ++<<+++ 【答案】（1）132n n a -=⋅；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）由于0,2λμ==-，因此把已知等式具体化得212n n n a a a +=，显然由于13a =，则0n a ≠（否则会得出10a =），从而12n n a a +=，所以{}n a 是等比数列，由其通项公式可得结论；（2）本小题是数列与不等式的综合性问题，数列的递推关系是211010,n n n n a a a a k +++-=可变形为2101n n n a a a k +⎛⎫+= ⎪⎝⎭()N n +∈, 由于00k >，因此11nn a a k <+，于是可得1n n a a +<，即有12130n n a a a a +=>>>>>>，又2222001000011111111n n n n n n n a a k k a a k k k a a a k k +-+===-+?+++，于是有()()00011211k k k a a a a a a ++=+-++-010000102011111111k a k k k k a k a k a ⎛⎫=-⋅+⋅+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭000011112313131k k k k ⎛⎫>+⋅+++⎪+++⎝⎭01231k =++，这里应用了累加求和的思想方法，由这个结论可知2(*)n a n N >∈，因此01k a +=010000102011111111k a k k k k a k a k a ⎛⎫=-⋅+⋅+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭000011112212121k k k k ⎛⎫<+⋅+++⎪+++⎝⎭01221k =++，这样结论得证，本题不等式的证明应用了放缩法.(1)由02λμ==-，,有212,(n N )n n n a a a ++=∈若存在某个0n N +∈，使得0n 0a =，则由上述递推公式易得0n 10a +=，重复上述过程可得10a =，此与13a =矛盾，所以对任意N n +∈,0n a ≠.从而12n na a +=()N n +∈，即{}n a 是一个公比q 2=的等比数列. 故11132n n n a a q --==?.求和得()()00011211k k k a a a a a a ++=+-++-01000010200000011111111111112231313131k a k k k k a k a k a k k k k k ⎛⎫=-⋅+⋅+++ ⎪⎪+++⎝⎭⎛⎫>+⋅+++=+ ⎪++++⎝⎭另一方面，由上已证的不等式知001212k k a a a a +>>>>>得00110000102011111111k k a a k k k k a k a k a +⎛⎫=-⋅+⋅+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭00000111112221212121k k k k k ⎛⎫<+⋅+++=+ ⎪++++⎝⎭ 综上：010011223121k a k k ++<<+++【考点定位】等比数列的通项公式，数列的递推公式，不等式的证明，放缩法.，考查探究能力和推理论证能力，考查创新意识．【名师点晴】数列是考查考生创新意识与实践精神的最好素材．从近些年的高考试题来看，一些构思精巧、新颖别致、极富思考性和挑战性的数列与方程、函数(包括三角函数)、不等式以及导数等的综合性试题不断涌现，这部分试题往往以压轴题的形式出现，考查综合运用知识的能力，突出知识的融会贯通．数列的问题难度大，往往表现在与递推数列有关，递推含义趋广，不仅有数列前后项的递推，更有关联数列的递推，更甚的是数列间的“复制”式递推；从递推形式上看，既有常规的线性递推，还有分式、三角、分段、积(幂)等形式．在考查通性通法的同时，突出考查思维能力、代数推理能力、分析问题解决问题的能力． 本题第（1）小题通过递推式证明数列是等比数列，从而应用等比数列的通项公式求得通项，第（2）小题把数列与不等式结合起来，利用数列的递推式证明数列是单调数列，利用放缩法证明不等式，难度很大．16.【2015高考四川，理16】设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1{}na 的前n 项和n T ，求得1|1|1000n T -<成立的n 的最小值. 【答案】（1）2n n a =；（2）10.【解析】（1）由已知12n n S a a =-，有1122(1)n n n n n a S S a a n --=-=->， 即12(1)n n a a n -=>. 从而21312,4a a a a ==.又因为123,1,a a a +成等差数列，即1322(1)a a a +=+. 所以11142(21)a a a +=+，解得12a =.所以，数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列. 故2n n a =. （2）由（1）得112n n a =.所以2311[1()]1111122112222212n n n nT -=++++==--. 由1|1|1000n T -<，得11|11|21000n --<，即21000n>. 因为9102512100010242=<<=， 所以10n ≥. 于是，使1|1|1000n T -<成立的n 的最小值为10. 【考点定位】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力.【名师点睛】凡是有n S 与n a 间的关系，都是考虑消去n S 或n a （多数时候是消去n S ，得n a 与1n a -间的递推关系）.在本题中，得到n a 与1n a -间的递推关系式后，便知道这是一个等比数列，利用等比数列的相关公式即可求解.等差数列与等比数列是高考中的必考内容，多属容易题，考生应立足得满分.17.【2015高考湖北，理18】设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）当1d >时，记nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】（Ⅰ）121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n an b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩；（Ⅱ）12362n n -+-. 2345113579212222222n n n T -=++++++. ② ①-②可得221111212323222222n n nnn n T --+=++++-=-，故n T 12362n n -+=-. 【考点定位】等差数列、等比数列通项公式，错位相减法求数列的前n 项和.【名师点睛】错位相减法适合于一个由等差数列}{n a 及一个等比数列}{n b 对应项之积组成的数列．考生在解决这类问题时，都知道利用错位相减法求解，也都能写出此题的解题过程，但由于步骤繁琐、计算量大导致了漏项或添项以及符号出错等．两边乘公比后，对应项的幂指数会发生变化，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两项相减，除第一项和最后一项外，剩下的1-n 项是一个等比数列． 18.【2015高考陕西，理21】（本小题满分12分）设()n f x 是等比数列1，x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的各项和，其中0x >，n ∈N ，2n ≥． （I ）证明：函数()()F 2n n x f x =-在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点（记为n x ），且11122n n n x x +=+； （II ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为()n g x ，比较()n f x与()n g x 的大小，并加以证明．【答案】（I ）证明见解析；（II ）当1x =时， ()()n n f x g x =，当1x ≠时，()()n n f x g x <，证明见解析． 【解析】试题分析：（I ）先利用零点定理可证()F n x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个零点，再利用函数的单调性可证()F n x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点，进而利用n x 是()F n x 的零点可证11122n n n x x +=+；（II ）先设()()()n n h x f x g x =-，再对x 的取值范围进行讨论来判断()h x 与0的大小，进而可得()n f x 和()n g x 的大小． 试题解析：（I ）2()()212n n n F x f x x x x =-=++++-，则(1)10,n F n =->1211111112()1220,12222212n nn nF +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++++-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- 所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个零点n x . 又1()120n n F x x nx -'=+++>，故在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点n x . 因为n x 是()n F x 的零点，所以()=0n n F x ，即11201n n n x x +--=-，故111=+22n n n x x +.(II)解法一：由题设，()()11().2nnn x g x ++=所以()(1)0h x h <=，即()()n n f x g x <.综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x <解法二 由题设，()()211()1,(),0.2n n n n n x f x x x x g x x ++=++++=>当1x =时, ()()n n f x g x =当1x ≠时, 用数学归纳法可以证明()()n n f x g x <. 当2n =时, 2221()()(1)0,2f xg x x -=--<所以22()()f x g x <成立. 假设(2)n k k =≥时，不等式成立，即()()k k f x g x <. 那么，当+1n k =时，()()111k+1k 11()()()2kk k k k k x f x f x xg x xx+++++=+<+=+()12112k k x k x k +++++=.又()()11k+121111()22k k k k x k x k kx k x g x ++++++-++-=令()1()11(0)k k k h x kx k x x +=-++>，则()()11()(1)11(1)k k k k h x k k x k k x k k x x --'=+-+=+- 所以当01x <<,()0kh x '<,()k h x 在(0,1)上递减； 当1x >,()0kh x '>,()k h x 在(1,)+∞上递增. 所以()(1)0k k h x h >=，从而()1k+1211()2k k x k x k g x +++++>故11()()k k f x g x ++<.即+1n k =，不等式也成立. 所以，对于一切2n ≥的整数，都有()()n n f x g x <.解法三:由已知，记等差数列为{}k a ,等比数列为{}k b ,1,2,, 1.k n =+则111a b ==，11n n n a b x ++==，所以()11+1(2n)n k x a k k n-=-⋅≤≤,1(2),k k b x k n -=≤≤令()()111(x)1,0(2).n k k k k k x m a b x x k n n---=-=+->≤≤当1x =时, =k k a b ,所以()()n n f x g x =. 当1x ≠时, ()()12211()(k 1)11n k k n k k k m x nx x k x x n----+-'=--=-- 而2k n ≤≤，所以10k ->，11n k -+≥. 若01x <<，11n k x -+<，()0k m x '<，当1x >，11n k x -+>，()0km x '>， 从而()k m x 在(0,1)上递减，()k m x 在(1,)+∞上递增.所以()(1)0k k m x m >=， 所以当01(2),k k x x a b k n >≠>≤≤且时,又11a b =，11n n a b ++=，故()()n n f x g x < 综上所述，当1x =时，()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x <.考点：1、等比数列的前n 项和公式；2、零点定理；3、等差数列的前n 项和公式；4、利用导数研究函数的单调性.【名师点晴】本题主要考查的是等比数列的前n 项和公式、零点定理、等差数列的前n 项和公式和利用导数研究函数的单调性，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“有且仅有一个”，否则很容易出现错误．证明函数仅有一个零点的步骤：①用零点存在性定理证明函数零点的存在性；②用函数的单调性证明函数零点的唯一性．有关函数的不等式，一般是先构造新函数，再求出新函数在定义域范围内的值域即可．19.【2015高考新课标1，理17】n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2n n a a +=43n S +.（Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=,求数列{n b }的前n 项和. 【答案】（Ⅰ）21n +（Ⅱ）11646n -+所以n a =21n +； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，n b =1111()(21)(23)22123n n n n =-++++，所以数列{n b }前n 项和为12n b b b +++=1111111[()()()]235572123n n -+-++-++=11646n -+. 【考点定位】数列前n 项和与第n 项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法 【名师点睛】已知数列前n 项和与第n 项关系，求数列通项公式，常用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩将所给条件化为关于前n 项和的递推关系或是关于第n 项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式.20.【2015高考广东，理21】数列{}n a 满足()*1212242n n n a a na n N -+++=-∈， (1) 求3a 的值；(2) 求数列{}n a 前n 项和n T ；(3) 令11b a =，()11111223n n n T b a n n n -⎛⎫=++++⋅⋅⋅+≥ ⎪⎝⎭，证明：数列{}n b 的前n 项和n S 满足n S n ln 22+<．【答案】（1）14；（2）1122n -⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）见解析．【解析】（1）依题()()312312312132223323244224a a a a a a --++⎛⎫=++-+=---= ⎪⎝⎭， ∴ 314a =； （2）依题当1n >时，()()121211212122144222n n n n n n n n nna a a na a a n a ----++⎛⎫=++-++-=---=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， ∴ 112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，又1012412a +=-=也适合此式， ∴ 112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴ 数列{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，故1111221212nn n T -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭-；（3）依题由1211112n n n a a a b a n n -+++⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭知11b a =，1221122a b a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，1233111323a a b a +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，【考点定位】前n 项和关系求项值及通项公式，等比数列前n 项和，不等式放缩．【名师点睛】本题主要考查前n 项和关系求项值及通项公式，等比数列前n 项和，不等式放缩等，转化与化归思想的应用和运算求解能力，属于高档题，此题（1）（2）问难度不大，但第（3）问难度较大，首先应能求得11111222n n S n -⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，并由11222n --<得到11212n S n ⎛⎫<⨯+++ ⎪⎝⎭，再用构造函数（()()1ln 11f x x x x =+->）结合不等（1ln 1k k k >-）放缩方法或用数学归纳法证明11111ln 23n n++++<+． 【2015高考上海，理22】已知数列{}n a 与{}n b 满足()112n n n n a a b b ++-=-，n *∈N . （1）若35n b n =+，且11a =，求数列{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0n n a a >（n *∈N ），求证：数列{}n b 的第0n 项是最大项； （3）设10a λ=<，n n b λ=（n *∈N ），求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 与最小值m ，且()2,2mM∈-. 【答案】（1）65n a n =-（2）详见解析（3）1,02⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】解：（1）由13n n b b +-=，得16n n a a +-=， 所以{}n a 是首项为1，公差为6的等差数列， 故{}n a 的通项公式为65n a n =-，n *∈N .证明：（2）由()112n n n n a a b b ++-=-，得1122n n n n a b a b ++-=-. 所以{}2n n a b -为常数列，1122n n a b a b -=-，即1122n n a b a b =+-. 因为0n n a a ≥，n *∈N ，所以011112222n n b a b b a b +-≥+-，即0n n b b ≥. 故{}n b 的第0n 项是最大项.解：（3）因为n n b λ=，所以()112n n n n a a λλ++-=-， 当2n ≥时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋅⋅⋅+-+ ()()()1122222n n n n λλλλλλλ---=-+-+⋅⋅⋅+-+ 2n λλ=-. 当1n =时，1a λ=，符合上式. 所以2n n a λλ=-. 因为0λ>，所以222nn a λλλ=->-，21212n n a λλλ--=-<-.①当1λ<-时，由指数函数的单调性知，{}n a 不存在最大、最小值； ②当1λ=-时，{}n a 的最大值为3，最小值为1-，而()32,21∉--； ③当10λ-<<时，由指数函数的单调性知，{}n a 的最大值222a λλM ==-，最小值1m a λ==，由2222λλλ--<<及10λ-<<，得102λ-<<.综上，λ的取值范围是1,02⎛⎫-⎪⎝⎭. 【考点定位】等差数列，数列单调性【名师点睛】1.等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n＋1－a n＝d(d是常数)⇔{a n}是等差数列．(2)等差中项法：2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)⇔{a n}是等差数列．(3)通项公式：a n＝pn＋q(p，q为常数)⇔{a n}是等差数列．(4)前n项和公式：S n＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{a n}是等差数列．2.数列作为特殊的函数，其单调性的判断与研究也是特别的，只需研究相邻两项之间关系即可.。
2015届高考数学总复习 第五章 第五节数列的求和课时精练试题 文(含解析)
1.(2012·佛山二模)设等差数列{a n }的前n 项和是S n ，且a 1＝10，a 2＝9，那么下列不等式中不成立的是( )A ．a 10＋a 11>0B ．S 21<0C ．a 11＋a 12<0D ．n ＝10时，S n 最大解析：依题意可得d ＝－1，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝11－n ，所以a 10＝1，a 11＝0，a 12＝－1，a 10＋a 11>0，S 21＝21a 11＝0，a 11＋a 12＝－1<0，n ＝10或11时，S n 最大．故选D.答案：D 2．(2013·皖北模拟)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 4＝10，则S 6等于( ) A ．12 B ．18 C ．24 D ．42解析：∵{a n }成等差数列，∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也成等差数列． ∴2(S 4－S 2)＝S 2＋(S 6－S 4)．即2×(10－2)＝2＋S 6－10.∴S 6＝24. 故选C. 答案：C3．(2013·江南十校联考)若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为( )A ．1－14nB ．1－12nC.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14nD.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n解析：a n ＝2n －1，设b n ＝1a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n .故选C.答案：C4．(2013·浙江省五校联盟下学期第一次联考)已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10＝( )A ．85B ．135C ．95D ．23解析：由a 2＋a 4＝4得a 3＝2，由a 3＋a 5＝10，得a 4＝5，设公差为d ，则d ＝a 4－a 3＝3，所以a 5＝8，a 6＝11，所以S 10＝a 1＋a 102＝a 5＋a 62＝95.故选C.答案：C5．(2012·北京海淀区模拟)已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5a 2n －5＝22n(n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2解析：由a 5a 2n －5＝22n (n ≥3)，得a 2n ＝22n ，a n >0，则a n ＝2n.所以log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n－1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2.故选C.答案：C6．(2013·西安模拟)数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…的前n 项和S n >1 020，那么n 的最小值是( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：∵1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n1－2＝2n－1，∴S n ＝(2＋22＋…＋2n )－n ＝2－2n ＋11－2－n ＝2n ＋1－2－n .若S n >1 020，则2n ＋1－2－n >1 020，∴n ≥10. 故选D. 答案：D7．(2013·福州质检)在正项等比数列{a n }中，已知a 3·a 5＝64，则a 1＋a 7的最小值为( )A ．64B ．32C ．16D ．8解析：a 1＋a 7≥2a 1a 7＝2a 3a 5＝264＝16，当且仅当a 3＝a 5＝8时，a 1＋a 7取得最小值16，此时数列{a n }是常数列．答案：C8．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2，且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A.n 24＋7n 4B.n 23＋5n 3C.n 22＋3n 4D ．n 2＋n解析：设数列的公差为d ，则根据题意得()2＋2d 2＝2()2＋5d ，解得d ＝12或d ＝0(舍去)，所以数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋n n －2×12＝n 24＋7n4.故选A.答案：A9．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数为________．解析：∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝n ＋1－1＝10，∴n ＝120.答案：12010．观察下表： 12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10 …则第________行的各数之和等于2 0092.答案：1 00511．(2012·汕头模拟)一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如图所示．若按照这种规律依次增加一定数量的宝石，则第5件工艺品所用的宝石数为______颗；第n 件工艺品所用的宝石数为______________颗(结果用n 表示)．答案：66 2n 2＋3n ＋112．(2013·苏州模拟)定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，若数列{a n }满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 122 1＝1且⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 3a n a n ＋1＝12(n ∈N *)，则a 3＝________，数列{a n }的通项公式为a n ＝________.解析：由题意得a 1－1＝1,3a n ＋1－3a n ＝12即a 1＝2，a n ＋1－a n ＝4. ∴{a n }是以2为首项，4为公差的等差数列， ∴a n ＝2＋4(n －1)＝4n －2，a 3＝4×3－2＝10. 答案：10 4n －213．(2013·佛山一模)数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n ＋1－2，数列{b n }是首项为a 1，公差为d (d ≠0)的等差数列，且b 1，b 3，b 11成等比数列．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c n ＝b na n，求数列{c n }的前n 项和T n .解析：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝2n，又a 1＝S 1＝21＋1－2＝2，也满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n.b 1＝a 1＝2，设公差为d ，由b 1，b 3，b 11成等比数列，得(2＋2d )2＝2×(2＋10d )，化为d 2－3d ＝0. 解得d ＝0(舍去)或d ＝3，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝3n －1(n ∈N *)．(2)由(1)可得C n ＝b n a n ＝3n －12n ，则T n ＝221＋522＋823＋…＋3n －12n ，∴2T n ＝2＋521＋822＋…＋3n －12n －1，两式相减得T n ＝2＋321＋322＋…＋32n －1－3n －12n ，＝2＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－3n －12n ＝5－3n ＋52n .14．(2013·河南六市第二次联考文改编)在公差不为0的等差数列{a n }中，a 1，a 4，a 8成等比数列．(1)已知数列{a n }的前6项和为23，求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n a n ＋1，且数列{b n }的前n 项和为T n ，若T n ＝19－1n ＋9，求数列{a n }的公差．解析：设数列{a n }的公差为d ，由a 1，a 4，a 8成等比数列可得a 24＝a 1a 8，即(a 1＋3d )2＝a 1(a 1＋7d )，所以a 21＋6a 1d ＋9d 2＝a 21＋7a 1d ，而d ≠0， 所以a 1＝9d .(1)由数列{a n }的前6项和为23，可得S 6＝6a 1＋6×52d ＝23，即6a 1＋15d ＝23，故d ＝13，a 1＝3，故数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)×13＝13(n ＋8)(n ∈N *)．(2)b n ＝1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和为T n ＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫19d －19d ＋nd ＝1d 219－1n ＋9＝19－1n ＋9， 所以d 2＝1，即d ＝1或d ＝－1. 15．(2012·东莞一模)已知函数f (x )＝log 3(ax ＋b )的图象经过点A (2,1)和B (5,2)，记a n ＝3f (n )(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n2n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若T n ＜m (m ∈Z )对n ∈N *恒成立，求m 的最小值．解析：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ log 3a ＋b ＝1，log 3a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1， 所以f (x )＝log 3(2x －1)，a n ＝3log 3(2n －1) ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)得b n ＝2n －12n ，所以T n ＝121＋322＋523＋…＋2n －32n －1＋2n －12n ，①12T n ＝122＋323＋…＋2n －52n －1＋2n －32n ＋2n －12n ＋1.② ①－②得 12T n ＝121＋222＋223＋…＋22n －1＋22n －2n －12n ＋1＝121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋122＋…＋12n －2＋12n －1－2n －12n ＋1＝32－12n －1－2n －12n ＋1. 所以T n ＝3－12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，设f (n )＝2n ＋32n (n ∈N *)，则由f n ＋fn ＝2n ＋52n ＋12n ＋32n ＝2n ＋5n ＋＝12＋12n ＋3≤12＋15＜1，得f (n )＝2n ＋32n (n ∈N *)随n 的增大而减小，T n 随n 的增大而增大． 所以当n →＋∞时，T n →3，又T n ＜m (m ∈Z )恒成立，所以m 的最小值为3.。
2015山东省春季高考数学试题和答案
机密☆启用前山东省2015年普通高校招生（春季）考试数学试题注意事项：1.本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分.满分120分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
2.本次考试允许使用函数型计算机，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01.卷一（选择题，共60分）一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题．．卡．上）1．若集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3}，则A∩B等于（）（A）{1，2，3} （B）{1，3} （C）{1，2} （D）{2}2．不等式|x－1|＜5的解集是（A）(－6，4) （B）（－4，6）（C） (－∞,－6)∪(4,＋∞) （D）(－∞,－4 )∪（6，＋∞)3．函数y＝x+1 +1x的定义域为（）（A）{x| x≥－1且x≠0} （B）{x|x≥－1}（C）{x|x＞－1且x≠0} （D）{x|x＞－1}4.“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件5．在等比数列{a n}中，a2＝1，a4＝3，则a6等于（）（A）-5 （B）5 （C）-9 （D）96.如图所示，M 是线段OB 的中点，设向量→OA ＝→a ，→OB ＝→b ，则→AM 可以表示为（ （A ）→a + 12→b（B ） －→a + 12→b（C ）→a － 12→b （D ）－→a － 12→b7．终边在y 轴的正半轴上的角的集合是（ ） （A ）{x |x ＝p2＋2k ，k Z }（B ）{x |x ＝p2＋k}（C ）{x |x ＝－p2＋2k ，k Z }（D ）{x |x ＝－p2＋k ，k Z }8．关于函数y ＝－x 2+2x ，下列叙述错误的是（ ） （A ）函数的最大值是1（B ）函数图象的对称轴是直线x =1 （C ）函数的单调递减区间是[－1，＋∞)（D ）函数图象过点（2，0）9．某值日小组共有5名同学，若任意安排3名同学负责教室内的地面卫生，其余2名同学负责教室外的走廊卫生，则不同的安排方法种数是（ ） （A ）10（B ）20（C ）60（D ）10010．如图所示，直线l 的方程是（ ） （A ）3x －y －3＝0 （B ）3x －2y －3＝0（C ）3x －3y －1＝0（D ）x －3y －1＝011．对于命题p ，q ，若p ∧q 为假命题”，且p ∨q 为真命题，则（ ） （A ）p ，q 都是真命题（B ）p ，q 都是假命题（C ）p ，q 一个是真命题一个是假命题 （D ）无法判断12．已知函数f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2＋2，则f (－1)的值是（ ） （A ）－3（B ）－1（C ）1（D ）313．已知点P （m ，－2）在函数y ＝log 13x 的图象上，点A 的坐标是（4，3），则︱→AP ︱的值是（ ） （A ）10（B ）210（C ）6 2 （D ）5214．关于x ,y 的方程x 2+m y 2＝1，给出下列命题：①当m ＜0时，方程表示双曲线；②当m ＝0时，方程表示抛物线；③当0＜m ＜1时，方程表示椭圆；④当m ＝1时，方程表示等轴双曲线；⑤当m ＞1时，方程表示椭圆。
2015届高考数学总复习 第五章 第一节数列的概念与简单表示法课时精练试题 文(含解析)
1.设数列2，5，22，11，…，则25是这个数列的( ) A ．第六项 B ．第七项 C ．第八项 D ．第九项答案：B2．(2012·衡水中学调研)观察下列数：1,3,2,6,5,15,14，x ，y ，z ，…则x ，y ，z 的值依次为( )A ．13,39,123B ．42,41,123C ．24,23,123D ．28,27,123解析：观察各项可以发现：x 为前一项的3倍即42，y 为前一项减1即41，z 为前一项的3倍即123.故选B.答案：B3．若数列{a n }满足关系：a n ＋1＝1＋1a n ，a 8＝3421，则a 5＝( )A.32B.53C.85D.138解析：由递推关系，由a 8逆推依次得到a 7＝2113，a 6＝138，a 5＝85，故选C.答案：C4．(2012·石家庄二模)设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A.163 B.133C ．4D ．0 解析：因为a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，且n ∈Z ，所以当n ＝2或n ＝3时，a n 取最大值，即最大值为a 2＝a 3＝0.故选D.答案：D5．(2013·惠州一模)在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…中，第25项为( ) A ．2 B ．6 C ．7 D ．8解析：数字共有n 个，当数字n ＝6时，有1＋2＋3＋4＋5＋6＝21项，所以第25项是7，故选C.答案：C6．(2013·济宁质检)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＋S n ＋1＝a n ＋1(n ∈N *)，则此数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列解析：∵S n ＋S n ＋1＝a n ＋1，∴当n ≥2时，S n －1＋S n ＝a n . 两式相减得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1－a n ，∴a n ＝0(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＋(a 1＋a 2)＝a 2，∴a 1＝0，∴a n ＝0 (n ∈N *)，故选C. 答案： C7．(2013·赤峰模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫78n，则当a n 取得最大值时，n 等于( )A ．5B ．6C ．5或6D ．7解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78nn ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78n －1，n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78n n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ＋1.∴⎩⎪⎨⎪⎧n ≤6，n ≥5.∴n ＝5或6.答案：C8．(2013·海口质检)如图是同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第23个图案中需用黑色瓷砖________块．解析：用a n 表示第n 个图的黑色瓷砖块数，则a 1＝12，a 2＝16，a 3＝20，…，由此可得{a n }是以12为首项，以4为公差的等差数列．∴a 23＝a 1＋(23－1)×4＝12＋22×4＝100. 答案：1009．(2013·吉林省实验中学二模)已知数列{a n }中a n ＝n 2－kn (n ∈N *)，且单调递增，则k 的取值范围是 ____________.解析：因为{a n }是单调递增数列，所以对n ∈N *，不等式a n ＜a n ＋1恒成立，即n 2－kn ＜(n ＋1)2－k (n ＋1)恒成立，化简得k ＜2n ＋1恒成立，所以k ＜3.答案：(－∞，3)10. (2013·唐山模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2n ＋1，则数列的通项a n ＝________.解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ＋1.∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝(2n －1)＋(2n －3)＋…＋5＋3＋1＝n 2(n ≥2)．当n ＝1时，也适用a n ＝n 2(n ∈N *)．答案：n 2(n ∈N *)11．(2013·安徽合肥二模)数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋b n，若对任意的n ∈N *都有a n ≥a 5，则实数b 的取值范围是__________．解析：由题意可得b ＞0，因为对所有n ∈N *，不等式a n ≥a 5恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 4≥a 5，a 6≥a 5，即⎩⎪⎨⎪⎧4＋b 4≥5＋b5，6＋b 6≥5＋b 5，解得20≤b ≤30，经验证，数列在(1,4)上递减，在(5，＋∞)上递增，或在(1,5)上递减，在(6，＋∞)上递增，符合题意．所以b ∈[20,30]． 答案：[20,30]12．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求{a n }的通项公式．解析：由题意，得S n ＝2n ＋1－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，不适合上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.13．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．解析：(1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3；由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1.当n >1时有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1.于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝n n －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n ＝n n ＋2.综上，{a n }的通项公式a n ＝n n ＋2(n ∈N *)．14．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n －1a n －1(n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若a n ＝2013，求n .解析：(1)∵a 1＝1，且a n ＝a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n －1a n －1(n >1)．∴a 2＝a 1＝1，a n ＋1＝a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n －1a n －1＋1na n (n ≥1)．∴a n ＋1－a n ＝1na n (n ≥2)．∴a n ＋1＝n ＋1n a n ， ∴a n ＋1n ＋1＝a n n (n ≥2)． ∴a n n ＝a n －1n －1＝…＝a 22＝12， ∴a n ＝n2(n ≥2)．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n2，n ≥2.(2)∵a n ＝n2＝2 013，∴n ＝4 026.。
2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全( 数列)
试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题
的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用等差数列的通项公式，将 a1, a2 , a3, a4 转化成 a1 和 d，解 方程得到 a1 和 d 的值，直接写出等差数列的通项公式即可；第二问，先利用第一问的结论得到 b2 和 b3 的值，再利用等比数列的通项公式，将 b2 和 b3 转化为 b1 和 q，解出 b1 和 q 的值，得到 b6 的值，再代
a1
n
n
1
2
1
n(n 1) 2
所以
1 an
2( 1 n
n
1
), 1
Sn
2(1
n
1
) 1
2n n 1
,
S10
20 11
考点：数列通项，裂项求和
9、(2015 全国新课标Ⅰ卷文)数列an 中 a1 2, an1 2an , Sn 为an 的前 n 项和，若 Sn 126 ，则
n
.
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【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式与等差数列的性质.
二、填空题：
1.（2015
安徽文）已知数列 {an } 中，
a1
1，
an
an1
1 2
（n
2
），则数列 {an } 的前
9
项和等
于
.
2.（2015 安徽理）已知数列{an}是递增的等比数列， a1 a4 9, a2a3 8 ，则数列{an} 的前 n 项和
4．（2015 广东理）在等 差数列an 中，若 a3 a4 a5 a6 a7 25 ，则 a2 a8 =
2015高考数学(文)一轮方法测评练：必考解答题——模板成形练5 数列
必考解答题——模板成形练(五)数 列(建议用时：60分钟)1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝1－a n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证∑k ＝1n1T k＜2. (1)解 当n ＝1时，2S 1＝1－a 1,2a 1＝1－a 1，∴a 1＝13；当n ≥2时，⎩⎨⎧2S n ＝1－a n ，2S n －1＝1－a n －1， 两式相减得2a n ＝a n －1－a n (n ≥2)，即3a n ＝a n －1(n ≥2)，又a n －1≠0，∴a n a n －1＝13(n ≥2)， ∴数列{a n }是以13为首项，13为公比的等比数列．∴a n ＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n . (2)证明 由(1)知b n＝ ＝n ， ∴T n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n 2＋n 2，∑k ＝1n1T k ＝21×2＋22×3＋…＋2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＜2. 2．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，且S n ＝S n －1＋2n (n ≥2，n ∈N *)．(1)求S n ；(2)是否存在等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 2＝a 3，b 3＝a 9？若存在，求出数列{b n }的通项公式；若不存在，说明理由．解 (1)因为S n ＝S n －1＋2n ，所以有S n －S n －1＝2n 对n ≥2，n ∈N *成立，即a n ＝2n 对n ≥2成立，又a 1＝2·1.所以a n ＝2n 对n ∈N *成立．所以a n ＋1－a n ＝2对n ∈N *成立，所以{a n }是等差数列，所以有S n ＝a 1＋a n 2·n ＝n 2＋n ，n ∈N *.(2)存在．由(1)，得a n ＝2n ，n ∈N *成立，所以有a 3＝6，a 9＝18，又a 1＝2，所以由b 1＝a 1，b 2＝a 3，b 3＝a 9，则b 2b 1＝b 3b 2＝3. 所以存在以b 1＝2为首项，公比为3的等比数列{b n }， 其通项公式为b n ＝2·3n －1.3．已知数列{a n }是首项a 1＝1的等差数列，其前n 项和为S n ，数列{b n }是首项b 1＝2的等比数列，且b 2S 2＝16，b 1b 3＝b 4.(1)求a n 和b n ；(2)令c 1＝1，c 2k ＝a 2k －1，c 2k ＋1＝a 2k ＋k b k (k ＝1,2,3，…)，求数列{c n }的前2n ＋1项和T 2n ＋1.解 (1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，则a n ＝1＋(n －1)d ，b n ＝2q n －1.由b 1b 3＝b 4，得q ＝b 4b 3＝b 1＝2， 由b 2S 2＝2q (2＋d )＝16，解得d ＝2.∴a n ＝2n －1，b n ＝2n .(2)∵T 2n ＋1＝c 1＋a 1＋(a 2＋b 1)＋a 3＋(a 4＋2·b 2)＋…＋a 2n －1＋(a 2n ＋nb n )＝1＋S 2n ＋(b 1＋2b 2＋…＋nb n )．令A ＝b 1＋2b 2＋…＋nb n ，则A ＝2＋2·22＋…＋n ·2n ，∴2A ＝22＋2·23＋…＋(n －1)2n ＋n ·2n ＋1，∴－A ＝2＋22＋…＋2n －n ·2n ＋1，∴A ＝n ·2n ＋1－2n ＋1＋2.又S 2n ＝2n (1＋a 2n )2＝4n 2， ∴T 2n ＋1＝1＋4n 2＋n ·2n ＋1－2n ＋1＋2＝3＋4n 2＋(n －1)2n ＋1.4．已知数列{a n }满足：a n ≠±1，a 1＝12，3(1－a 2n ＋1)＝2(1－a 2n )，b n ＝1－a 2n ，c n ＝a 2n ＋1－a 2n (n ∈N *)．(1)证明数列{b n }是等比数列，并求数列{b n }、{c n }的通项公式．(2)是否存在数列{c n }的不同项c i ，c j ，c k (i ＜j ＜k )使之成为等差数列？若存在，请求出这样的不同项c i ，c j ，c k (i ＜j ＜k )；若不存在，请说明理由．(3)是否存在最小的自然数M ，对一切n ∈N *都有(n －2)c n ＜M 恒成立？若存在，求出M 的值，若不存在，说明理由．(1)证明 因为a n ≠±1，a 1＝12，3(1－a 2n ＋1)＝2(1－a 2n )，b n ＝1－a 2n ，所以b n ＋1b n＝1－a 2n ＋11－a 2n ＝23(n ∈N *)，b 1＝1－a 21＝34，所以{b n }是以34为首项，23为公比的等比数列，所以b n ＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1(n ∈N *)，所以a 2n ＝1－b n ＝1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1(n ∈N *)．所以c n ＝a 2n ＋1－a 2n ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1(n ∈N *) (2)解 假设存在c j ，c j ，c k (i ＜j ＜k )满足题意，则有2c j ＝c i ＋c k 代入得 2×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23j －1＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23i －1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23k －1化简得2j －i ＋1＝3j －1＋2k ＋j －i ， 即2j －i ＋1－2k ＋j －i ＝3j －1，左边为偶数，右边为奇数不可能相等． 所以假设不成立，这样的三项不存在．(3)解 ∵(n －2)c n －(n －1)c n ＋1＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1×n －43， ∴(1－2)c 1＜(2－2)c 2＜(3－2)c 3＜(4－2)c 4，(4－2)c 4＝(5－2)c 5，(5－2)c 5＞(6－2)c 6＞(7－2)c 7＞……即在数列{(n －2)c n }中，第4项和第5项是最大项，当n ＝4时(n －2)c n ＝2×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝427，所以存在最小自然数M＝1符合题意．。
2015届高考数学(理)一轮讲义：第28讲 数列经典回顾 课后练习
第28讲 数列经典回顾主讲教师：丁益祥 北京陈经纶中学数学特级教师题一：已知等比数列{}n a 中，n a ＜0，1n a +＞n a ，则公比q 的取值范围( )． A ．01q << B ．1q > C ．0q < D ．1q <题二：设}{n a 是等比数列，则“321a a a <<”是“数列}{n a 是递增数列”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件题三：设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1188,S =则378a a a ++= 。
题四：已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n 项和为286，则项数n 为多少？题五： 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．题六：已知数列{a n }的前三项与数列{b n }的前三项对应相同，且a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋12n -a n ＝8n 对任意的n ∈N *都成立，数列{b n ＋1－b n }是等差数列． (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)问是否存在k ∈N *，使得(b k －a k )∈(0,1)？请说明理由．题七：在等差数列{}n a 中，前12项的和为354，前12项中奇数的和与偶数项的和的比为27∶32，求公差d.题八：设某个等差数列共有12项，其中奇数项的和为78，偶数项的和为96，求这个数列的后五项的和.题九：设数列}{n a 的前n 项和为22n S n =，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-=（Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（Ⅱ）设nn na c =b ，求数列}{nc 的前n 项和T n 。
2015年高考数学理真题分类汇编：专题06 数列
2015年高考数学专题汇编 数列1.【2015高考重庆，理2】在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （ ） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、62.【2015高考福建，理8】若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．93.【2015高考北京，理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a > D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 4.【2015高考浙江，理3】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（ ）A.140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D. 140,0a d dS <> 5.【2015高考安徽，理14】已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .6.【新课标2，理16】设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．7.【广东，理10】在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a += .8.【陕西，理13】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ．9.【江苏，11】数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{n a 的前10项和为10.【2015江苏高考，20】（本小题满分16分）设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列 （1）证明：31242,2,2,2aaaa依次成等比数列；（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列，并说明理由；（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得kn k n k n n a a a a 342321,,,+++依次成等比数列，并说 明理由.11.【2015高考浙江，理20】已知数列{}n a 满足1a =12且1n a +=n a -2n a （n ∈*N ） （1）证明：112nn a a +≤≤（n ∈*N ）； （2）设数列{}2n a 的前n 项和为n S ，证明112(2)2(1)n S n n n ≤≤++（n ∈*N ）.12.【2015高考山东，理18】设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233n n S =+. （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .13.【2015高考天津，理18】（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足212()*,1,2n n a qa q q n N a a +=≠∈==为实数，且1，，且 233445,,a a a a a a +++成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式； (II)设*2221log ,nn n a b n N a -=∈，求数列{}n b 的前n 项和.14.【2015高考重庆，理22】在数列{}n a 中，()21113,0n n n n a a a a a n N λμ+++=++=∈（1）若0,2,λμ==-求数列{}n a 的通项公式； （2）若()0001,2,1,k N k k λμ+=∈≥=-证明：010011223121k a k k ++<<+++15.【2015高考四川，理16】设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1{}na 的前n 项和n T ，求得1|1|1000n T -<成立的n 的最小值.16.【2015高考湖北，理18】设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．17.【2015高考新课标1，理17】n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2n n a a +=4S n ＋3.（Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=,求数列{n b }的前n 项和.18.【2015高考广东，理21节选】数列{}n a 满足()*1212242n n n a a na n N -+++=-∈L ， (1) 求3a 的值；(2) 求数列{}n a 前n 项和n T ；19.【2015高考上海，理22节选】已知数列{}n a 与{}n b 满足()112n n n n a a b b ++-=-，n *∈N . （1）若35n b n =+，且11a =，求数列{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0n n a a >（n *∈N ），求证：数列{}n b 的第0n 项是最大项；。
2015届高考数学一轮总复习 阶段性测试题6(数 列)
阶段性测试题六(数 列)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0则有( ) A ．a 1＋a 101>0 B ．a 2＋a 100<0 C ．a 3＋a 99＝0 D ．a 51＝51[答案] C[解析] 由条件知，a 51＝0，∴a 3＋a 99＝2a 51＝0，a 1＋a 101＝2a 51＝0，a 2＋a 100＝2a 51＝0，故选C.(理)(2014·浙江台州中学期中)公差不为0的等差数列{a n }的前21项的和等于前8项的和．若a 8＋a k ＝0，则k ＝( )A ．20B ．21C ．22D ．23[答案] C[解析] 由条件知S 21＝S 8，∴a 9＋a 10＋…＋a 21＝0， ∴a 15＝0，∵a 8＋a k ＝2a 15＝0，∴k ＝22.2．(2014·浙江杜桥中学期中)已知等比数列{a n }中，a 3＝16，a 4＝8，则a 8＝( ) A ．128 B ．64 C.14 D.12[答案] D[解析] ∵a 4＝a 3q ，∴q ＝12，∴a 8＝a 4q 4＝8×(12)4＝12.3．(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)已知{a n }是等比数列，对任意n ∈N *，a n >0恒成立，且a 1a 3＋2a 2a 5＋a 4a 6＝36，则a 2＋a 5等于( )A ．36B ．±6C ．－6D ．6[答案] D[解析] ∵{a n }是等比数列，∴a 1a 3＝a 22，a 4a 6＝a 25， ∴a 22＋2a 2a 5＋a 25＝36，∴(a 2＋a 5)2＝36，∵a n >0，∴a 2＋a 5＝6.4．(2014·抚顺市六校联合体期中)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 8＝6＋a 11，则S 9的值等于( )A ．54B ．45C ．36D ．27[答案] A[解析] ∵2a 8＝a 5＋a 11,2a 8＝6＋a 11，∴a 5＝6， ∴S 9＝9a 5＝54.5．(2014·哈六中期中)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13＝2563，1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 13＝83，则log 2(a 6a 8)的值为( ) A ．4 B ．5 C ．16 D ．32[答案] B[解析] ∵1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 13＝1a 1·(1＋1q ＋1q 2＋…＋1q 12)＝1a 1·1－(1q )131－1q＝1a 1·q 13－1q 12(q －1)＝1a 21q12·a 1(1－q 13)1－q ＝1a 27·S 13， ∴1a 27×2563＝83，∴a 27＝32，∴log 2(a 6a 8)＝log 2a 27＝5. 6．(2014·山东省德州市期中)已知{a n }是首项为1的等差数列，S n 是{a n }的前n 项和，且S 5＝a 13，则数列{1a n a n ＋1}的前五项和为( )A.1011B.511C.45D.25[答案] B[解析] ∵a 1＝1，S 5＝a 13＝5a 3，∴5(1＋2d )＝1＋12d ， ∴d ＝2.∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1， ∴1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)， 故所求和为12(1－13)＋12(13－15)＋12(15－17)＋12(17－19)＋12(19－111)＝12(1－111)＝511.7．(2014·北京海淀期中)已知数列{a n }的通项公式a n ＝2n (3n －13)，则数列的前n 项和S n 的最小值是( )A ．S 3B ．S 4C ．S 5D ．S 6[答案] B[解析] 观察a n ＝2n (3n －13)可知，随n 的增大，a n ＝2n (3n －13)由负数增大为正数，其中，a 1，a 2，a 3，a 4为负数，a 5开始以后各项均为正数，所以，数列的前n 项和S n 的最小值是S 4，选B.8．设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，a 2＝1，前6项的方差为353，则a 3S 3的值为( )A ．－9B ．3C ．±9D ．9[答案] D[解析] ∵数列{a n }的前6项为1－d,1,1＋d,1＋2d,1＋3d,1＋4d ，∴x －＝1＋32d ，由条件知，S 2＝16[(1－d －x －)2＋(1－x －)2＋(1＋d －x －)2＋(1＋2d －x －)2＋(1＋3d －x －)2＋(1＋4d －x －)2]＝3512d 2＝353，∴d 2＝4，∴d ＝±2， ∵a 2＝1，∴当d ＝2时，a 1＝－1，a 3＝3，S 3＝3，∴a 3S 3＝9， 当d ＝－2时，a 1＝3，a 3＝－1，S 3＝3，∴a 3S 3＝9，故选D.9．(2014·浙江台州中学期中)已知数列{a n }是1为首项、2为公差的等差数列，{b n }是1为首项、2为公比的等比数列．设c n ＝ab n ，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n (n ∈N *)，则当T n ＞2013时，n 的最小值是( )A ．7B ．9C ．10D ．11[答案] C[解析] a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，c n ＝ab n ＝2b n －1＝2n－1，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝2(2n －1)2－1－n ＝2n＋1－n －2，当n ＝9时，T 9＝210－11＝1013，当n ＝10时，T 10＝211－12＝2036>2013，∴使T n >2013的最小n 值为10.10．(文)(2014·宝鸡市质检)已知一次函数f (x )＝kx ＋b 的图象经过点P (1,2)和Q (－2，－4)，令a n＝f (n )f (n ＋1)，n ∈N *，记数列{1a n }的前n 项和为S n ，当S n ＝625时，n 的值等于( )A ．24B ．25C ．23D ．26[答案] A[解析] ∵一次函数f (x )＝kx ＋b 的图象经过点P (1,2)和Q (－2，－4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝k ＋b ，－4＝－2k ＋b .解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝0.所以f (x )＝2x ，a n ＝f (n )f (n ＋1)＝2n ×2(n ＋1)＝4n (n ＋1)，1a n ＝14n (n ＋1)＝14(1n －1n ＋1)，S n ＝14(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝14(1－1n ＋1)＝n 4(n ＋1)＝625，得n ＝24.(理)(2014·成都七中模拟)已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n＝4a 1，则1m ＋9n的最小值为( )A.83B.114 C.145 D.176[答案] A[解析] 由a 7＝a 6＋2a 5得：q 2＝q ＋2，∴q ＝－1(舍)或q ＝2. 由a m a n ＝4a 1得，a 1q m －1a 1q n －1＝16a 21，∴m ＋n ＝6.所以1m ＋9n ＝16(1m ＋9n )(m ＋n )＝16(1＋9＋n m ＋9m n )≥16(10＋6)＝83.等号成立时，⎩⎪⎨⎪⎧n m ＝9m n ，m ＋n ＝6，∴m ＝32，n ＝92，故选A.11．(文)(2014·山西曲沃中学期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(4－a 2)x ＋4(x ≤6)，a x －5(x >6).(a >0，a ≠1)，数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)且{a n }是单调递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．[7,8)B ．(1,8)C ．(4,8)D ．(4,7)[答案] A[解析] ∵a n ＝f (n )，且{a n }是单调递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－a2>0，a >1，(4－a 2)×6＋4≤a6－5，∴7≤a <8.(理)(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10等于( )A ．24B ．32C ．48D ．64[答案] D[解析] 由条件知，a n ＋a n ＋1＝b n ，a n a n ＋1＝2n ，a 1＝1，a 2＝a 3＝2，a 4＝a 5＝22；a 6＝a 7＝23；a 8＝a 9＝24，…，∴b 10＝a 10＋a 11＝25＋25＝64.12．(2014·海南省文昌市检测)已知函数f (x )＝x 2＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线l 与直线3x －y ＋2＝0平行，若数列{1f (n )}的前n 项和为S n ，则S 2011的值为( )A.20102011B.20092010C.20112012D.20122013[答案] C[解析] f ′(x )＝2x ＋b ，由条件知f ′(1)＝2＋b ＝3， ∴b ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ，∴1f (n )＝1n 2＋n ＝1n －1n ＋1，∴S n ＝1f (1)＋1f (2)＋…＋1f (n )＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝n n ＋1，∴S 2011＝20112012.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(2014·北京海淀期中)已知数列{a n }为等比数列，若a 1＋a 3＝5，a 2＋a 4＝10，则公比q ＝________.[答案] 2[解析] 因为数列{a n }为等比数列，且a 1＋a 3＝5，a 2＋a 4＝10，所以，由等比数列的通项公式可得，a 2＋a 4＝(a 1＋a 3)q ，即10＝5q ，∴q ＝2.14．(2014·北京市海淀区期末)已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－2，a 2＝b 2＝4，则满足a n ＝b n 的n 的所有取值构成的集合是________．[答案] {1,2,4}[解析] 设等差数列{a n }公差为d ，设等比数列{b n }公比为q ，所以d ＝a 2－a 1＝6，q ＝b 2b 1＝－2，所以a n ＝－2＋6(n －1)＝6n －8，b n ＝－2(－2)n －1＝(－2)n ，因为等差数列{a n }首项为负，从第二项起均为正数，等比数列{b n }奇数项为负、偶数项为正，所以除首项外当a n ＝b n 时n 为偶数，n ＝4时，a 4＝16，b 4＝(－2)4＝16，n ＝6时，a 6＝28<b 6＝(－2)6＝64，因为n 为偶数时，数列{a n }、数列{b n }均递增，所以当n ≥2k (k ＝3,4,5，…)时，a n <b n .综上可得满足a n ＝b n 的n 的所有取值为1,2,4.15．(文)(2014·三亚市一中月考)设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2＝________.[答案]152[解析] S 4a 2＝a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)a 1q ＝152.(理)(2014·浙江省五校联考)在等比数列{a n }中，若a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝158，a 6a 7＝－98，则1a 5＋1a 6＋1a 7＋1a 8＝________.[答案] －53[解析] 由等比数列的性质知a 5a 8＝a 6a 7，∴1a 5＋1a 6＋1a 7＋1a 8＝a 5＋a 8a 5a 8＋a 6＋a 7a 6a 7＝a 5＋a 6＋a 7＋a 8a 6a 7＝158－98＝－53. 16．(文)(2014·浙北名校联盟联考)已知等差数列{a n }的前n 项的和为S n ，且a 1>0，S 7＝S 10，则使S n 取到最大值的n 为________．[答案] 8或9[解析] ∵S 7＝S 10，∴a 8＋a 9＋a 10＝0，∴a 9＝0， 又a 1>0，∴当n ＝8或9时，S n 取到最大值．(理)(2014·鄂南高中、孝感高中联考)已知数列{a n }，若点(n ，a n )(n ∈N *)在直线y －3＝k (x －6)上，则数列{a n }的前11项和S 11＝________.[答案] 33[解析] ∵点(n ，a n )在直线y －3＝k (x －6)上，∴a n ＝3＋k (n －6)． ∴a n ＋a 12－n ＝[3＋k (n －6)]＋[3＋k (6－n )]＝6，n ＝1,2,3，…，6， ∴S 11＝a 1＋a 2＋…＋a 11＝5(a 1＋a 11)＋a 6＝5×6＋3＝33.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(文)(2014·三亚市一中月考)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n . [解析] (1)设{a n }的公比为q ， 由已知得16＝2q 3，解得q ＝2. ∴a n ＝2×2n －1＝2n .(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32，设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16，d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28.所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－16＋12n －28)2＝6n 2－22n .(理)(2014·北京东城区联考)在公差不为0的等差数列{a n }中，a 4＝10，且a 3，a 6，a 10成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和． [解析] (1)设数列{a n }的公差为d ，又a 4＝10， 可得a 3＝10－d ，a 6＝10＋2d ，a 10＝10＋6d . 由a 3，a 6，a 10成等比数列得a 3a 10＝a 26，即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2，整理得10d 2－10d ＝0，解得d ＝0或d ＝1. 由d ≠0，可得d ＝1. a 1＝a 4－3d ＝10－3×1＝7， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋6.(2)由b n ＝2a n (n ∈N *)，a n ＝n ＋6，可得b n ＝2n ＋6.所以b 1＝21＋6＝128.因为b n ＋1b n ＝2n ＋72n ＋6＝2，所以数列{b n }是首项为128，公比为2的等比数列． 所以{b n }的前n 项和为S n ＝128(1－2n )1－2＝2n ＋7－128.18．(本小题满分12分)(文)(2014·北京朝阳区期中)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，且a 3＋a 6＝4，S 5＝－5.(1)求a n ；(2)若T n ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |，求T 5的值和T n 的表达式． [解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＋a 1＋5d ＝4，5a 1＋5(5－1)2d ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝2. 则a n ＝2n －7，n ∈N . (2)当n ≥4时，a n ＝2n －7>0， 当n ≤3时，a n ＝2n －7<0.则T 5＝－(a 1＋a 2＋a 3)＋a 4＋a 5＝13，S n ＝n 2－6n ， 当n ≤3时，T n ＝－S n ＝6n －n 2； 当n ≥4时，T n ＝S n －2S 3＝n 2－6n ＋18.即T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2， n ≤3，n 2－6n ＋18， n ≥4，n ∈N *.(理)(2014·安徽程集中学期中)S n 表示等差数列{a n }的前n 项的和，且S 4＝S 9，a 1＝－12. (1)求数列的通项a n 及S n ； (2)求和T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |. [解析] (1)∵S 4＝S 9，a 1＝－12，∴4×(－12)＋6d ＝9×(－12)＋36d ，∴d ＝2， ∴a n ＝－12＋2(n －1)＝2n －14， S n ＝－12n ＋n (n －1)＝n 2－13n . (2)令a n ＝2n －14≤0，得n ≤7，当n ≤7时，T n ＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝－S n ＝13n －n 2， 当n ≥8时a n >0，T n ＝－(a 1＋a 2＋…＋a 7)＋(a 8＋…＋a n )＝S n －2S 7＝n 2－13n ＋84.19．(本小题满分12分)(文)(2014·山东省德州市期中)已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列(b n >0)，且a 1＝b 1＝2，a 3＋b 3＝16，S 4＋b 3＝34.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式； (2)记T n 为数列{a n b n }的前n 项和，求T n .[解析] (1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋2d ＋2q 2＝16，8＋6d ＋2q 2＝34，⇒⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝2.因此a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋3(n －1)＝3n －1，b n ＝b 1q n －1＝2n .(2)T n ＝2×2＋5×22＋…＋(3n －1)×2n ， 2T n ＝2×22＋5×23＋…＋(3n －1)×2n ＋1，两式相减得－T n ＝4＋3×22＋…＋3×2n －(3n －1)×2n ＋1＝4＋12(1－2n －1)1－2－(3n －1)×2n ＋1＝－8－(3n －4)2n ＋1，故T n ＝(3n －4)2n ＋1＋8.(理)(2014·辽宁师大附中期中)已知等比数列{a n }中，公比q ∈(0,1)，a 2＋a 4＝54，a 1a 5＝14，设b n＝12na n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和S n .[解析] (1)由题意知：a 2·a 4＝a 1·a 5＝14，联立方程得：⎩⎨⎧a 2＋a 4＝54a 2·a 4＝14.∵q ∈(0,1)，∴a 2>a 4，∴解方程组得a 2＝1，a 4＝14，∴q ＝12，a 1＝2，∴a n ＝2×(12)n －1＝(12)n －2.(2)由(1)知：a n ＝(12)n －2，所以b n ＝n (12)n －1.∴S n ＝1×(12)0＋2×(12)1＋3×(12)2＋…＋(n －1)·(12)n －2＋n (12)n －1，①12S n ＝1×(12)1＋2×(12)2＋…＋(n －2)(12)n －2＋(n －1)·(12)n －1＋n (12)n ，② ∴①－②得：12S n ＝(12)0＋(12)1＋(12)2＋…＋(12)n －2＋(12)n －1－n (12)n＝1×[1－(12)n ]1－12－n (12)n ＝2－(12)n －1－n ·(12)n ，∴S n ＝4－(12)n －2－n (12)n －1＝4－(n ＋2)(12)n －1.20．(本小题满分12分)(2014·浙北名校联盟联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ·log 2a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . [解析] (1)当n ＝1时，a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2－(2a n －1－2)＝2a n －2a n －1， 即a na n －1＝2，∴数列{a n }为以2为公比的等比数列， ∴a n ＝2n .(2)b n ＝2n ·log 22n ＋1＝(n ＋1)·2n ，∴T n ＝2×2＋3×22＋…＋n ·2n －1＋(n ＋1)·2n ，∴2T n ＝2×22＋3×23＋…＋n ·2n ＋(n ＋1)·2n ＋1，两式相减得，－T n ＝4＋22＋23＋…＋2n －(n ＋1)2n ＋1＝－n ·2n ＋1，∴T n ＝n ·2n ＋1.21．(本小题满分12分)(文)(2014·华安、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中六校联考)现在市面上有普通型汽车(以汽油为燃料)和电动型汽车两种．某品牌普通型汽车车价为12万元，第一年汽油的消费为6000元，随着汽油价格的不断上升，汽油的消费每年以20%的速度增长．其他费用(保险及维修费用等)第一年为5000元，以后每年递增2000元．而电动汽车由于节能环保，越来越受到社会认可．某品牌电动车在某市上市，车价为25万元，购买时一次性享受国家补贴价6万元和该市市政府补贴价4万元．电动汽车动力不靠燃油，而靠电池．电动车使用的普通锂电池平均使用寿命大约两年(也即两年需更换电池一次)，电池价格为1万元，电动汽车的其他费用每年约为5000元．(1)求使用n 年，普通型汽车的总耗资费S n (万元)的表达式(总耗资费＝车价＋汽油费＋其他费用)；(2)比较两种汽车各使用10年的总耗资费用．(参考数据：(1.24≈2.1 1.25≈2.5 1.29≈5.2 1.210≈6.2)[解析] (1)依题意，普通型每年的汽油费用为一个首项为0.6万元，公比为1.2的等比数列， ∴使用n 年，汽油费用共计0．6(1＋1.2＋1.22＋…＋1.2n －1)＝0.6(1－1.2n )1－1.2＝3(1.2n －1)，其他费用为一个首项为0.5万元，公差为0.2万元的等差数列，故使用n 年其他费用共计0.5＋(0.5＋0.2)＋…＋[0.5＋0.2(n －1)]＝0.5n ＋n (n －1)2×0.2＝0.1n 2＋0.4n ，∴S n ＝12＋3×1.2n －3＋0.1n 2＋0.4n ＝3×1.2n ＋0.1n 2＋0.4n ＋9(万元)． (2)由(1)知S n ＝3×1.2n ＋0.1n 2＋0.4n ＋9，∴S 10＝3×1.210＋0.1×102＋0.4×10＋9≈3×6.2＋10＋13＝41.6(万元)， 又设T 10为电动型汽车使用10年的总耗资费用， 则T 10＝25－6－4＋102×1＋0.5×10＝25(万元)，41．6－25＝16.6(万元)，∴使用10年，普通汽车比电动型汽车多花费16.6万元．答：(1)使用n 年，普通型汽车的总耗资费用S n ＝3×1.2n ＋0.1n 2＋0.4n ＋9， (2)使用10年，普通型汽车比电动型汽车多花费16.6万元．(理)(2014·湖南省五市十校联考)学校餐厅每天有500名学生就餐，每星期一有A ，B 两种套餐可选，每个学生任选一种，其中A 是本校的传统套餐，B 是从外校引人的套餐．调查资料表明，若在这星期一选A 套餐的学生，下星期一会有15的学生改选B 套餐；而选B 套餐的学生，下周星期一会有r (0<r <45)的学生改选A 套餐，用a n ，b n 分别表示在第n 个星期选A 套餐的人数和选B 套餐的人数．(1)用a n －1表示a n ；(2)若r ＝310，且选A 套餐的学生人数保持不变，求a 1；(3)根据调查，存在一个常数k ，使得数列{a n －k }为等比数列，且k ∈[250,300]，求r 的取值范围． [解析] (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝45a n －1＋rb n －1，a n －1＋b n －1＝500，∴a n ＝45a n －1＋r (500－a n －1)，得a n ＝(45－r )a n －1＋500r .(2)∵r ＝310，∴a n ＝12a n －1＋150＝a n －1，∴a n －1＝300，∴a 1＝300. (3)∵{a n －k }是等比数列， ∴a n －k ＝(45－r )(a n －1－k )，得a n ＝(45－r )a n －1＋(15＋r )k ，∴(15＋r )k ＝500r ，得k ＝2500r 5r ＋1， ∵k ∈[250,300]，∴250≤2500r 5r ＋1≤300， ∴15≤r ≤310. 22．(本小题满分14分)(文)(2014·长安一中质检)已知{a n }为等比数列，a 1＝2，a 3＝18，{b n }是等差数列，b 1＝2，b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝a 1＋a 2＋a 3>20.(1)求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)设P n ＝b 1＋b 4＋b 7＋…＋b 3n －2，Q n ＝b 10＋b 12＋b 14＋…＋b 2n ＋8，其中n ∈N ＋，试比较P n 与Q n 的大小，并加以证明．[解析] (1)设{a n }的公比为q ，由a 3＝a 1q 2得，q 2＝a 3a 1＝9，∴q ＝±3. 当q ＝－3时，a 1＋a 2＋a 3＝2－6＋18＝14<20，这与a 1＋a 2＋a 3>20矛盾．当q ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝2＋6＋18＝26>20，符合题意．设{b n }的公差为d ，由b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝26得，4b 1＋4×32d ＝26， 又b 1＝2，∴d ＝3，∴b n ＝3n －1.∴S n ＝n (b 1＋b n )2＝32n 2＋12n . (2)∵b 1、b 4、b 7，…，b 3n －2组成公差为3d 的等差数列，∴P n ＝nb 1＋n (n －1)2·3d ＝92n 2－52n . ∵b 10，b 12，b 14，b 2n ＋8组成公差为2d 的等差数列，∴Q n ＝nb 10＋n (n －1)2·2d ＝3n 2＋26n ， ∴P n －Q n ＝32n (n －19)， 故当n ≥20时，P n >Q n ；当n ＝19时，P n ＝Q n ；当n ≤18时，P n <Q n .(理)(2014·北京朝阳区期中)如果项数均为n (n ≥2，n ∈N *)的两个数列{a n }，{b n }满足a k －b k ＝k (k ＝1,2，…，n )，且集合{a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n }＝{1,2,3，…，2n }，则称数列{a n }，{b n }是一对“n 项相关数列”．(1)设{a n }，{b n }是一对“4项相关数列”，求a 1＋a 2＋a 3＋a 4和b 1＋b 2＋b 3＋b 4的值，并写出一对“4项相关数列”{a n }，{b n }；(2)是否存在“15项相关数列”{a n }，{b n }？若存在，试写出一对{a n }，{b n }；若不存在，请说明理由；(3)对于确定的n ，若存在“n 项相关数列”，试证明符合条件的“n 项相关数列”有偶数对．[解析] (1)依题意，a 1－b 1＝1，a 2－b 2＝2，a 3－b 3＝3，a 4－b 4＝4，相加得，a 1＋a 2＋a 3＋a 4－(b 1＋b 2＋b 3＋b 4)＝10，又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝36，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝23，b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝13.“4项相关数列”{a n }：8,4,6,5；{b n }：7,2,3,1(不唯一)．(2)不存在．假设存在“15项相关数列”{a n }，{b n }，则a 1－b 1＝1，a 2－b 2＝2，…，a 15－b 15＝15，各式相加得，(a 1＋a 2＋…＋a 15)－(b 1＋b 2＋…＋b 15)＝120，又由已知a 1＋a 2＋…＋a 15＋b 1＋b 2＋…＋b 15＝1＋2＋…＋30＝465，两式相加得，2(a 1＋a 2＋…＋a 15)＝585，显然不可能，所以假设不成立， 从而不存在“15项相关数列”{a n }，{b n }．(3)对于确定的n ，任取一对“n 项相关数列”{a n }，{b n }，令c k ＝2n ＋1－b k ，d k ＝2n ＋1－a k (k ＝1,2，…，n )，先证{c n }，{d n }也必为“n 项相关数列”．因为c k －d k ＝(2n ＋1－b k )－(2n ＋1－a k )＝a k －b k ＝k (k ＝1,2，…，n )， 又因为{a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n }＝{1,2,3,4，…，2n }，很显然有： {(2n ＋1)－a 1，(2n ＋1)－a 2，…，(2n ＋1)－a n ，(2n ＋1)－b 1，(2n ＋1)－b 2，…，(2n ＋1)－b n |＝{1,2,3，…，2n }，所以{c n }，{d n }也必为“n 项相关数列”．再证数列{c n }与{a n }是不同的数列．假设{c n }与{a n }相同，则{c n }的第二项c 2＝2n ＋1－b 2＝a 2，又a 2－b 2＝2，则2b 2＝2n －1，即b 2＝2n －12，显然矛盾． 从而，符合条件的“n 项相关数列”有偶数对．。
2015山东省春季高考数学试题和答案
）
7．终边在 y 轴的正半轴上的角的集合是（ （A）{x|x＝ ＋2k，kZ } 2
O
（B）{x|x＝ ＋k} 2
（C）{x|x＝－ ＋2k，kZ } 2
（D）{x|x＝－ ＋k，kZ } 2 ） （B）函数图象的对称轴是直线 x=1 （D）函数图象过点（2，0）
8．关于函数 y＝－x2+2x，下列叙述错误的是（ （A）函数的最大值是 1 （C）函数的单调递减区间是[－1，＋∞)
27. （本小题 8 分）已知函数 y ＝2sin(2x+φ)，xR, 0＜φ＜ ，函数的部分图象如图所示，求 2 （1）函数的最小正周期 T 及 φ 的值； （2）函数的单调递增区间。 1 y
O
x
28． （本小题 8 分）已知函数 f (x)＝ax（a＞0 且 a≠1）在区间[－2，4]上的最大值是 16， （1）求实数 a 的值； （2）若函数 g (x)＝log2(x2－3x＋2a)的定义域是 R，求满足不等式 log2(1－2t)≤1 的实数 t 的取 值范围．
{1，2}
2．不等式|x－1|＜5 的解集是 （A）(－6，4) （C） (－∞, －6)∪(4, ＋∞) ） （B）{x|x≥－1} （D）{x|x＞－1} （B） （－4，6） （D）(－∞, －4 )∪（6，＋∞)
1 3．函数 y＝ x+1 +x的定义域为（ （A）{x| x≥－1 且 x≠0} （C）{x|x＞－1 且 x≠0}
29． （本小题 9 分）如图所示，在四棱锥 S－ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，平面 SAD⊥平面 S
C
ABCD，SA＝SD＝2，AB＝3. （1）求 SA 与 BC 所成角的余弦值； （2）求证：AB⊥SD．
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2015（19）（本小题满分12分） 已知数列na是首项为正数的等差数列，数列11nnaa的前n项和为
21nn． (I)求数列na的通项公式；21nan (II)设12nannba，求数列nb的前n项和nT．4nnbn
2014（19）（本小题满分12分） 已知等差数列{}na的公差为2，前n项和为nS，且124,,SSS成等比数列. （Ⅰ）求数列{}na的通项公式；
（Ⅱ）令114(1)nnnnnbaa，求数列{}nb的前n项和nT. （19）（本小题满分12分） 在等差数列na中，已知2d，2a是1a与4a等比中项.
（Ⅰ）求数列na的通项公式； （Ⅱ）设12,nnnba记1231nnnTbbbb，求nT.
2013 20．（本小题满分12分）设等差数列na的前n项和为nS，且424SS，221nnaa. （Ⅰ）求数列na的通项公式； （Ⅱ）设数列nb前n项和为nT，且 12nnnaT（为常数）.令2nn
cb*()nN.
求数列nc的前n项和nR。
20．(2013山东，文20)(本小题满分12分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n
＝2an＋1.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足1212112nnnbbbaaa，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn. 2012 （20）（本小题满分12分） 在等差数列{an}中，a3+a4+a5=84，a9=73. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）对任意m∈N﹡，将数列{an}中落入区间（9m，92m）内的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Sm。
(20) (本小题满分12分) 已知等差数列{}na的前5项和为105，且2052aa.
(Ⅰ)求数列{}na的通项公式； (Ⅱ)对任意*mN，将数列{}na中不大于27m的项的个数记为mb.求数列{}mb的前m项和mS.
201120. （本小题满分12分）等比数列na中，123,,aaa分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,aaa中的任何两个数不在下表的同一列． 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14
第三行 9 8 18
（Ⅰ）求数列na的通项公式； （Ⅱ）若数列nb满足：1lnnnnnbaa，求数列nb的前n项和nS． 2010 （18）（本小题满分12分） 已知等差数列na满足：3577,26aaa．na的前n 项和为nS
。
（Ⅰ）求na及nS；
（Ⅱ）令21()1nnbnNa，求数列na的前n项和Tn．
20. （2009山东理20）等比数列{}的前项和为，已知对任意的，点，均在函数的图像上. （Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，记
(19)(本小题满分12分) 将数列｛an｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： a1
a2 a3
a4 a5 a6
a7 a8 a9 a10
…… 记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为｛bn｝,b1=a1=1. Sn为数列｛bn｝的前n项
和，且满足＝nNnnSSbb221=（n≥2）.
(Ⅰ)证明数列｛nS1｝成等差数列，并求数列｛bn｝的通项公式； （Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当91481a时，求上表中第k(k≥3)行所有项和的和. （17）（本小题满分12分） 设数列na满足211233333nnnaaaa…，a*N．
（Ⅰ）求数列na的通项；
（Ⅱ）设nnnba，求数列nb的前n项和nS．
已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，… （1） 证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列； （2） 设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；
（3） 记bn=211nnaa，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+132nT=1.
2010 （18）本小题主要考察等差数列的基本知识，考查逻辑推理、等价变形和运算能力。 解：（Ⅰ）设等差数列｛an｝的首项为a1，公差为d， 由于a3=7，a5+ a7=26， 所以 a1+2d=7，2a1+10d=26， 解得 a1=3，d=2.
由于 an= a1+（n-1）d，Sn= 12[n(a1+ an), 所以an=2n-1, Sn=n2+n, （Ⅱ）因为an=2n-1， 所以 an2-1=4n（n+1）， 因此 Tn=b1+ b2+…+ bn
= 14(1- 12+ 12- 12+…+1n-11n)
=14(1-11n)
=4(1)nn
所以数列nb的前n项和nT=4(1)nn 。 2011 20.【解析】考查数列概念和性质，求通项公式和数列求和的有关方法，中档题。 （Ⅰ）由题意知1232,6,18aaa,因为na是等比数列,所以公比为3,所以数列na的通项公式123nna. （Ⅱ）因为(1)lnnnnbaa=123n1(1)ln23n, 所以12nnSbbb
1212()(lnlnln)nnaaaaaa=2(13)13n-12lnnaaa=31n-
121ln(21333)nn=
31n-(1)2ln(23)nnn,所以2nS=231n-2(21)22ln(23)nnn=91n-22ln2(2)ln3nnn.
2012(20)(I)由已知得：111510105,92(4),adadad 解得17,7ad, 所以通项公式为7(1)77nann. (II)由277mnan，得217mn， 即217mmb.
∵211217497mkmkbb， ∴{}mb是公比为49的等比数列， ∴7(149)7(491)14948mmmS. 2013 20． 解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 由S4＝4S2，a2n＝2an＋1得：
1111
4684,212211,adadandand
解得a1＝1，d＝2. 因此an＝2n－1，n∈N*.
(2)由已知1212112nnnbbbaaa，n∈N*，
当n＝1时，1112ba； 当n≥2时，111111222nnnnnba. 所以12nnnba，n∈N*. 由(1)知an＝2n－1，n∈N*， 所以bn＝212nn，n∈N*.
又Tn＝23135212222nn，
231113232122222nnnnnT，
两式相减得
2311122221222222nnnnT
113121222nnn，
所以Tn＝2332nn.
2014【解析】： （Ⅰ）由题意知： na为等差数列，设dnaan11，2a为1a与4a的等比中项
4122aaa且01a，即daada31121，2d 解得：21a
nnan22)1(2 （Ⅱ）由 （Ⅰ）知：nan2，)1(2)1(nnabnnn
①当n为偶数时：
222222642222624221153431214332212nnnnnnnnnnnTn
②当n为奇数时：
212122
112211642212126242212153431214332212nnnnnn
nnnnnnnnnnnnnTn
综上：为偶数为奇数，nnnnnnTn,2221222