动态电路的时域分析
《电路分析》——动态电路时域分析
注意:
（1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。 （2）换路定律反映了能量不能跃变。
《电路分析》——动态电路时域分 析
LC
L iL(0)
+
C uC(0)
-
LC
(a) 稳态时 的L和C
(b) 换路前有储能 的L和C
(c) 换路前无 储能的L和C
第5章 动态电路的时域分析
重点
1. 动态电路方程的建立及初始条件的确定； 2. 一阶电路的零输入响应、零状态响应和
全响应求解； 3. 稳态分量、暂态分量求解； 4. 一阶电路的阶跃响应和冲激响应。
《电路分析》——动态电路时域分 析
由电源和电阻器构成的电阻性网络，是用代 数方程来描述的，求解过程不涉及微分方程。
0
t
零输入响应
《电路分析》——动态电路时域分 析
5.3.2 一阶RC电路的零输入响应
换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能所 产生的电压和电流。
已知 uC (0－)=U0 ; uS =0
t
uc (t) U0e RC t 0
ic (t)
U0 R
e
t RC
t0
《电路分析》——动态电路时域分
a1
df (t) dt
a0
f
(t)
e(t)
t0
(3)高阶电路
电路中有多个动态元件，描述电路 的方程是高阶微分方程。
an
d
n f (t) dt n
an1
d
n1 f (t) dt n1
a1
df (t) dt
a0
f
(t)
第八章动态电路的时域分析(教案).docx
第8章动态电路的时域分析重点1.动态电路关于解变量的输入一输出方程的列写、换路定律及初始值的确定；2.一阶电路的零输入响应、零状态响应、全响应、概念和求法；3.二阶电路的零输入响应及解的三种形式。
难点1.通过实验理解一阶电路的动态过程；2.通过典型例题和练习掌握冇关计算。
8. 1电路的暂态过程与换路定则含有动态元件（储能元件L、C）的电路叫做动态电路。
一、电路的暂态过程电路从一种稳定状态变化到另一种稳定状态的中间过程叫做电路的过渡过程。
称为电路的暂态过程，简称暂态。
暂态产生的原因是电感、电容等储能元件储存的能量发生了变化。
暂态产生的必要条件是动态电路发生了换路。
屯路中屯源的接人与切除、支路的接通和切断、元件参数的改变等统称为换路。
二、换路定则1、定理内容：电容电压（电荷）不能跃变，而只能连续地变化，否则，电流：将为无限大。
电感电流（磁链）也不能跃变，而只能连续地变化，否则，电压u将为无限大。
数学表达式为%c（0+）=况c（°J ] 江（0 亠）=ZL（O-））换路定则的实质是能量不能跃变。
需要指出：理想屯压源的屯压不受外部条件的影响，理想电流源的电流不受外部条件的影响，它们都不能因换路而跃变。
但是，理想电压源的电流、理想电流源的电压，却是可能跃变的。
三、初始值的确定电路中各元件的电压与电流在换路后的最初一憐间『 =（）+时的值，称为电路的初始值。
1、确定原则：1）电容兀件的初始电丿卡• ”c（0 ）及电感兀件的初始电流匚（0 ）为独立初始值，按换路定则确定。
2）换路时可能跃变的初始量，则需根据电容电压々（o’）及电感电流匚（0+）应用KCL、KVL和VCR來确定。
3）在较复杂的情况T, 40替代定理。
将电容元件用电压为々（0」收超獰电压源等效替代（若匚矽）,则代之以短路）;将电感元件用电流为的理想电流源等效替代（若=0 ,则代之以开路）。
例：如图所示的电路中，电压源的电压U S=12V,电阻&二40，& =80，开关S接通前电路已达稳定状态，且电容C未充电。
电路分析基础第4章 动态电路的时域分析
第4章 动态电路的时域分析 解 (1) 先计算电容电压uC(0－)和电感电流iL(0－)。开关
开启前电路已处于直流稳定状态，这时电容相当于开路，电 感相当于短路，t=0－时的等效电路如图4.2-5(a)所示。由图(a) 可得
图4.2-5 例4.2-2用图(二)
第4章 动态电路的时域分析
第4章 动态电路的时域分析
(2) 根据换路定律，有
iL(0+)=iL(0－)=1 A (3) 画出换路后瞬间t=0+时的等效电路，计算其他支路 电压、电流的初始值。根据置换定理，用一个电流值等于
iL(0+)=1 A的理想电流源代替电感元件，画出t=0+时的等效电 路如图(b)所示。对图(b)中右边一个回路应用KVL，得
第4章 动态电路的时域分析 图4.2-1 动态电路过渡过程说明用图
第4章 动态电路的时域分析
4.2.2 换路定律 如果电容电流iC和电感电压uL在无穷小区间［t0－，t0+］
为有限值，则上面两式中等号右边第二项积分为零，于是有
uC (t0 iL (t0
) uC (t0 ) iL (t0 )
4.2.1 动态电路的过渡过程 当动态电路的结构或元件参数发生变化时，电路将从一
个稳定状态变化到另一个稳定状态，这种变化一般需要经历 一个过程，这个过程称为过渡过程。通常把电路中电源的接 入或断开，以及元件参数或电路结构的突然改变，统称为 “换路”。下面以图4.2-1(a)所示的动态电路为例来说明过 渡过程的概念。
第4章 动态电路的时域分析
4.1 电容元件和电感元件
4.1.1 电容元件 1. 电容元件的定义 电容元件是从实际电容器中抽象出来的理想化模型。实
动态电路瞬态过程的时域分析与复频域分析
动态电路瞬态过程的时域分析与复频域分析动态电路瞬态过程的时域分析与复频域分析动态电路是现代电子技术中的重要内容之一，它涉及到大量的瞬态过程。
对于这些瞬态过程的分析，常使用时域分析和复频域分析两种方法。
本文将分别对这两种方法进行介绍和分析。
一、时域分析时域分析是指对电路的时间响应进行分析。
在分析中，假设电路中的各种参数以及输入信号都是时间函数，因此需要将它们表示为某种数学形式，然后通过对这些数学形式的运算进行分析。
其中，最基本的数学工具是微积分，因为微积分可以表示出电路中的各种参数以及输入信号的变化规律。
对于时域分析来说，最常用的工具是拉普拉斯变换和傅里叶变换。
其中，拉普拉斯变换是把时间域函数转变为复频域函数的一种数学方法，它可以方便地求出电路的瞬态响应和稳态响应。
而傅里叶变换是把一个周期信号转化为谱函数的一种数学方法，它可以对电路中的各种波形进行分析和处理。
在进行时域分析时，需要注意以下几点：1.需要对电路进行合理简化：电路越简单，分析就越容易。
2.需要根据电路的性质选择合适的求解方法：对于不同的电路，可以采用不同的求解方法，例如微积分、拉普拉斯变换或傅里叶变换等。
3.需要进行量化分析：对于电路中的各种参数和信号，需要进行量化分析，例如幅度、相位角、频率等。
二、复频域分析复频域分析是指对电路的复频特性进行分析。
在分析中，假设电路中的各种参数都是复数函数，因此需要对这些复数函数进行分析。
其中，最常用的工具是复数函数的运算和分析。
与时域分析相比，复频域分析更注重电路的频率响应特性，例如幅频特性、相频特性、群延迟特性等。
而复频域分析最重要的工具是频谱分析和极坐标分析。
在进行复频域分析时，需要注意以下几点：1.需要正确理解电路的频域特性：对于不同的电路，具有不同的频域特性，例如低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等。
2.需要正确分析电路的复频域函数：对于电路中的各种复数函数，需要进行运算和分析，例如求导、求积、傅里叶变换等。
04 第4章 动态电路时域分析 学习指导及习题解答
第4章动态电路的时域分析学习指导与题解一、基本要求1．明确过渡过程的含义，电路中发生过渡过程的原因及其实。
2．熟练掌握换路定律及电路中电压和电流初始值的计算。
3．能熟练地运用经典分析RC和RL电路接通或断开直流电源时过渡过程中的电压和电流。
明确RC和RL电路放电和充电时的物理过程与过渡过程中电压电流随时间的规律。
4．明确时间常数、零输入与零状态、暂态与稳态、自由分量与强制分量的概念，电路过渡过程中的暂态响应与稳态响应。
5．熟练掌握直流激励RC和RL一阶电路过渡过程分析的三要素法。
能分析含受控源一阶电路的过渡过程。
6．明确叠加定理在电路过渡过程分析中的应用，完全响应中零输入响应与零状态响应的分解方式。
掌握阶跃函数和RC，RL电路阶跃响应的计算。
7．明确RLC电路发生过渡过程的物理过程，掌握RLC串联二阶电路固有频率的计算和固有响应与固有频率的关系，以及振荡与非振荡的概念。
会建立RLC二阶电路描述过渡过程特性的微分方程。
明确初始条件与电路初始状态的关系和微分方程的解法。
会计算RLC 串联二阶电路在断开直流电源时过渡过程中的电压和电流。
了解它在接通直流电源时电压和电流的计算方法。
二、学习指导电路中过渡过程的分析，是本课程的重要内容。
教学内容可分如下四部分：1．过渡过程的概念；2．换路定律；3．典型电路中的过渡过程，包括RC和RL一阶电路和RLC串联二阶电路过渡过程的分析；4．叠加定理在电路过渡过程分析中的应用。
着重讨论电路过渡过程的概念，换路定律，RC和RL一阶电路过渡过程中暂态响应与稳态响应和时间常数的概念，计算一阶电路过渡过程的三要素法，完全响应是的零输入响应和零状态响应，阶跃响应，以及RLC串联二阶电路过渡过程的分析方法。
现就教学内容中的几个问题分述如下。
（一） 关于过渡过程的概念与换路定律1． 关于过渡过程的概念电路从一种稳定状态转变到另一种稳定状态所经历的过程，称为过渡过程。
电路过渡过程中的电压和电流，是随时间从初始值按一定的规律过渡到最终的稳态值。
电路分析基础实验四：动态电路的时域仿真实验报告
电路分析基础实验四：动态电路的时域仿真实验报告实验四：动态电路的时域仿真一.实验内容及要求1．使用Multisim仿真测试动态电路中常用的换路元件功能。
2．利用Multisim仿真分析动态电路。
二.实验要求1．掌握动态电路的工作原理和常用的换路元件功能。
2．掌握Multisim仿真分析动态电路的方法。
三.实验设备PC机、Multisim软件四.实验步骤1．使用Multisim编辑动态电路中的储能元件和换路元件：从元器件库中选择储能元件电容和电感，设置储能元件的参数；从元器件库中选择常用的换路元件，包括单刀单掷开关、单刀双掷开关、电流控制开关、电压控制开关、时间延迟开关，设置换路元件的参数。
（1）储能元件电容和电感的添加（2）放置开关1）单刀单掷开关2）单刀双掷开关3）电流控制开关4）电压控制开关5）时间延迟开关2．仿真测试时间延迟开关的功能：用Multisim绘制电路原理图1，使用菜单栏中的Simulate→Analyses→Transi ent analysis命令进行仿真，设置Starttime(TSTART)=0s和End time(TSTOP)=0.005s，观察并记录V(2)的变化曲线。
图1延迟开关功能测试仿真电路原理图（1）绘制电路原理图1如下：（2）设置Start time(TSTART)=0s和End time(TSTOP)=0.005s，观察并记录V(2)的变化曲线如下：3．仿真测试电压控制单刀双掷开关的功能：用Multisim 绘制电路原理图2，打开示波器，设置参数Timebase→Scale=50ms/Div，使用菜单栏中的Simulate→Run 命令进行仿真，使用菜单栏中的Simulate→Stop命令停止仿真，观察并记录示波器显示的信号波形。
图2电压控制单刀双掷开关功能测试仿真电路原理图（1）绘制电路原理图2如下图：（2）示波器设置参数XXX→Scale=50ms/Div，使用菜单栏中的Simulate→Run命令进行仿真，使用菜单栏中的Simulate→Stop命令停止仿真，观察并记录示波器显示的信号波形下图：4．动态电路的时域仿真：用Multisim绘制电路原理图3，使用菜单栏中的Simulate→Analyses→Transientanalysis命令进行仿真，设置Starttime(TSTART)=0s和Endtime(TSTOP)=0.01s，观察并记录V(3)的变化曲线；设置电容初值电压为5V，设置Transient analysis→XXX→User defined，进行仿真分析，观察并记录V(3)的变化曲线。
(电路理论)第八章-线性动态电路的时域分析
运算放大器使用注意事项
在使用运算放大器时，应注意其输入、输出范围以及共模抑制比等参数，避免信号失真或误差过大。
复杂电路时域响应求解技巧
初始值计算 列写微分方程 求解微分方程 分析响应特性 根据电路初始状态，计算各元件的初始值，如电容电压、电感电流等。 根据电路元件的伏安关系，列写电路的时域微分方程。 利用数学方法求解微分方程，得到电路的时域响应表达式。 根据时域响应表达式，分析电路的响应特性，如稳态值、时间常数等。
实验结果与仿真结果对比分析
观察实验测得的波形与仿真软件得到的波形是否一致，分析可能存在的误差原因。
对比实验波形与仿真波形
将实验测量得到的数据与仿真软件计算得到的数据进行对比，分析数据的准确性和可靠性。
对比实验数据与仿真数据
根据实验结果与仿真结果的对比情况，评估所建立的仿真模型的准确性，为后续的优化和改进提供依据。
初始条件与动态元件
第一章
初始条件概念及确定方法
在电路发生换路或动态过程开始的瞬间，电路中各独立电源及储能元件已存在的状态。 初始条件定义 通过电路换路前的稳态或上一状态的电路分析，利用基尔霍夫定律和元件的电压、电流关系来确定。 确定方法
动态元件特性与分类
在电路中，其电压或电流会随时间发生变化的元件，如电容、电感等。 电容元件的电压不能突变，其电流取决于电压的变化率。 电感元件的电流不能突变，其电压取决于电流的变化率。 根据动态元件在电路中的作用和特性，可将其分为储能元件和换能元件。 动态元件定义 电容元件特性 电感元件特性 分类
观察电路响应曲线随时间的变化趋势，若响应逐渐趋于稳定值，则系统稳定；若响应持续发散或振荡，则系统不稳定。
动态电路的时域分析法
t RC
放电过程的快慢是由时间常数τ决定。 τ越 大，在电容电压的初始值U0一定的情况下， C越大，电容存储的电荷越多，放电所需 的时间越长；而R越大，则放电电流就越 小，放电所需的时间也就越长。相反，τ越 小，电容放电越快，放电过程所需的时间 就越短。
uC 0
U o R
t iC
t
RL电路暂态过程的快慢也是由时 间常数τ来决定的。τ越大，暂态 过程所需的时间越长。相反，τ越 小，暂态过程所需的时间就越短。 且经过t=(3~5)τ的时间，iL已 经衰减到可以忽略不计的程度。 这时，可以认为暂态过程已经基 本结束，电路到达稳定状态。
iL ，uL US US R iL uL 0 t
从理论上讲，需要经历无限长的时间，电容电压uC才衰减到零，电路到达 稳态。但实际上，uC开始时衰减得较快，随着时间的增加，衰减得越来越 慢。经过t=(3~5)τ的时间，uC已经衰减到可以忽略不计的程度。这时， 可以认为暂态过程已经基本结束，电路到达稳定状态。
一阶电路的三要素法
2．RL电路的零输入响应
一阶电路的三要素法
1．RC电路的零状态响应 图示电路，换路前开关S置于位置1，电路已处于稳态，电容没有初始储 能。t=0时开关S从位置1拨到位置2，RC电路接通电压源US。根据换 路定理，电容电压不能突变。于是US通过R对C充电，产生充电电流iC。 随着时间增长，电容电压uC逐渐升高，充电电流iC逐渐减小。最后电路 到达稳态时，电容电压等于US，充电电流等于零。可见电路换路后的初 始储能为零，响应仅由外加电源所引起，故为零状态响应。
一阶电路的三要素法
将一阶RC电路中电容电压uC随时间变化的规律改写为：
t RC t RC )
电路基础与实践 第4版 第3章 动态电路的时域分析
第3章动态电路的时域分析
1.线性电容
i
线性电容极板上储存的电荷量和其端电压成正比：
q C
+
C
u
u－
C为电容量，单位：法拉（F）；常用单位：μF、pF
2.电容元件的电压电流关系（关联参考方向）
i dq C du dt dt
（电容元件的VCR）
u 1
t
i dt u(0)
开关闭合后：I=0,Uc=10V,新的 稳定状态
是否S闭合，UC就立即由0V升至10V呢
闭合前：
WC
1 CU 2 2
0
闭合后：
WC
1 CU 2 1 1102 50(J )
2
2
？
电路基础与实践
第3章动态电路的时域分析
闭合前：
WC
1 CU 2 2
0(J )
闭合后：
WC
1 CU 2 2
1 1102 2
1
t
i dt
C0
C0
u(0) — t = 0 时电压u的值，若u(0) = 0
电路基础与实践
3.电容元件储存的能量
第3章动态电路的时域分析
（关联参考方向）
电容 C 在任一瞬间吸收的功率：
p u i u C du P > 0 吸收能量 dt P < 0 释放能量
电容 C 在 dt 时间内吸收的能量：
3)熟练掌握三要素法求解一
析。 4)能够按照要求搭建动态电路，
阶电路。
会对电路进行测量、对测量数据
4)了解阶跃函数和阶跃响应。 进行分析处理，并形成报告。
2024年8月31日11时50分
5)会对动态电路进行仿真。
动态电路的时域分析
动态电路的时域分析 第一节 换路及其初始条件一、电路的两种工作状态（稳态、动态） 1、稳态电路： （1）定义当电路在直流电源的作用下，各条支路的响应也是直流；当电路在正弦交流电源的作用下，各条支路的响应也是正弦交流，这种类型的电路称为稳态电路。
（2）特征：稳态电路中不存在换路现象，描述稳态电路的方程是代数方程。
2、动态电路： （1）定义当电路中含有储能元件或称动态元件（如电容或电感），电路中的开关在打开或闭合的过程中参数发生变化时，可使电路改变原来的工作状态，转变到另一个工作状态。
电路从一种稳态到达另一种稳态的中间过程称为动态过程或过渡过程。
过渡过程中的电路称为动态电路。
（2）待征：动态电路中存在动态元件且有换路现象，描述动态电路的方程是微分方程。
一阶电路：能够用一阶微分方程描述的电路； 二阶电路：能够用二阶微分方程描述的电路； n 阶电路：能够用n 阶微分方程描述的电路。
（3）存在原因：1）含有动态元件电感或电容 ::di L u L dtdu C i Cdt ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2）存在换路：电路结构或参数发生变化 二、换路 1、定义：电路中含有储能元件，且电路中开关的突然接通或断开、元件参数的变化、激励形式的改变等引起的电路变化统称为“换路”。
（1）换路是在0t =时刻进行的（2）换路前一瞬间定义为：0t -=；换路后一瞬间定义为：0t +=； （3）换路后达到新的稳态表示为：t =∞。
2、换路定律：在换路时电容电流和电感电压为有限值的条件下，换路前后瞬间电容电压和电感电流不能跃变。
即：(0)(0),(0)(0)c c L L u u i i +-+-==。
注意：00()()C C i t i t +-≠，00()()L L u t u t +-≠，00()()R R i t i t +-≠，00()()R R t u t +-≠ 三、独立初始条件 1、定义：一个动态电路的电容电压(0)C u +和电感电流(0)L i +称为独立初始条件，其余的称为非独立初始条件，非独立初始条件需通过已知的独立初始条件来求得。
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第二篇动态电路第五章动态电路的时域分析第六章动态电路的复频域分析第七章动态电路的状态变量分析第五章动态电路的时域分析5.1 动态元件5.2 动态电路方程5.3 动态电路的初始状态和变量初始值5.4 一阶动态电路的零输入响应5.5 一阶动态电路的零状态响应5.6 一阶动态电路的全响应5.7 二阶动态电路的响应5.8 高阶电路的响应或00()()()()()tt tt u S i d S i d S i d u t S i d t t ττττττττ-∞-∞==+=+⎰⎰⎰⎰S =1/C ，称为倒电容(inverse capacitance) 单位为倒法[拉]（F -1）记忆特性：上式表明，线性非时变电容元件在t 时刻的电压值取决于从–∞ 到t 时刻的电流值。
即电容电压u 与电容元件的电流i 历史有关;电容元件具有“记忆”电流的性质，是一种记忆元件(memory element)。
当t<0时，电流的积累可以用初始电容电压来反映。
电容电压的连续性：⎰+=tt d i Ct u u 0)(1)(0ττ当t 0=0时，在t 时刻有在t+△t 时刻有⎰∆++=∆+t t d i C u t t u 0)(1)0()(ττ⎰+=td i Cu t u 0)(1)0()(ττ1()()()t ttu u t t u t i d C ττ+∆∆=+∆-=⎰如果在时间区间[t ，t+∆t ]内，电流i 均为有限值，即()i t M ≤（M 为有限常数）那么当∆t →0时，就有∆u →0。
表明只要电容电流是有非零初始电压电容元件的等效电路具有初始电压的电容可以等效成无初始电压的电容与电压源的串联。
i 1C u 1i 2C 2i n C n i ieq C u若干个没有初始储能的电容并联00()C u t U =CuCu 1212()n n eq q q q q C C C u C u=+++=+++=C0()0C u t =00()S u U t ε=uCu若干个没有初始储能的电容串联ieqC uu1u nu 2u 2C in C 1C 121212111()()()1111()()()t ttn n t tn equ u u u i d i d i d C C C i d i d C C C C ττττττττττ-∞-∞-∞-∞-∞=+++=+++=+++=⎰⎰⎰⎰⎰121111eq nC C C C =+++或12eq nS S S S =+++二、线性时变电容元件线性时变电容元件：如果电容元件的库伏特性曲线是随时间变化，通过原点的直线。
quO1t 2t 3t u i q1.特性方程为()q C t u =或1()()u q S t qC t ==2.伏安关系()()dq du dC t i C t udt dt dt==+三、非线性电容元件非线性电容元件:电容元件如果其库伏特性不是线性。
ui q符号1.特性方程为()0f q u t =，；非线性电容也可按其库伏关系的性质:荷控电容压控电容单调型电容既非荷控又非压控电容()u h q =()q f u =1()()u h q f q -==四、电容元件的能量1.瞬时功率(instantaneous power)C p ui=若电容电流和电压取一致参考方向，当p C >0时，电容吸收功率；当p C <0时，电容发出功率。
在时间间隔[t 0，t ]内，电容元件吸收的能量为0()0()(,)()ttq t C C t t q t w t t p dt uidt f q dq===⎰⎰⎰若q (t 0)=0,则0()qC w f q dq=⎰u()u t 电容元件中储存的能量如q()q t Ou ()u t 如果电容元件的库伏特性曲线通过原点位于第一或第三象限，它所储存的能量总是正的，这种电容元件称为无源电容元件。
若为线性非时变电容元件，则有2012qC q w dq Cu C ==⎰上式表明，当电压一定时，电场能与电容C 成正比，电容C 的大小反映电容储存电场能的能力。
电场能的大小只取决于电容端电压的瞬时值。
与电压的建立过程无关；也与电容中的电流无关。
例5.1.1如图(a)所示电路中电容与电压源连接，已知电压源电压波形如图(b)所示，试求电容电流及电容的储能。
2u (V)10.5Ot (s)10.250.75ui C1F(a) (b)解由图(b)所示波形曲线，可求得电压源电压的表达式为4 (00.25s)1 (0.25s 0.5s)4 1 (0.5s 0.75s)t t t u t t ≤<⎧⎪≤<⎪=⎨-≤<⎪⎪则电容电流为：4 (00.25s)0 (0.25s 0.5s)4 (0.5s 0.75s)8 (0.75s 1s)t t du i C t dt t ≤<⎧⎪≤<⎪==⎨≤<⎪⎪-≤≤⎩4i (A)10.5O t (s)-80.250.75电容电流随时间变化的波形曲线则电容的储能为：22228 (00.25s)0.5 (0.25s 0.5s)12840.5 (0.5s 0.75s)326432 (0.75s 1s)C t t t w Cu t t t t t t ⎧≤<⎪≤<⎪==⎨-+≤<⎪⎪-+≤≤⎩2w C (J)10.5Ot (s)0.50.250.75电容储能随时间变化的波形曲线例5.1.2如图(a)所示电路中电容与电流源连接，已知电流源电流波形如图(b)所示，试求电容电压及电容吸收的功率。
假设u (0)=0V 。
ui1FC1i (A)10.5Ot (s)解：由图(b)所示波形曲线，可求得电流的表达式为2 (00.5s)2 1 (0.5s 1s)t t i t t ≤<⎧=⎨-≤≤⎩当0≤t <0.5s 时201(0)()2t t u u i d d tC ττττ=+==⎰⎰当0.5s≤t ≤1s 时220.50.51(0.5)()0.5(21)0.5t t u u i d d t t C ττττ=+=+-=-+⎰⎰0.5u (V), p (W)10.5O0.25up t (s)电容电压随时间变化的曲线如图中实线所示3222)()()(tt t t i t u t p =⨯==电容吸收的功率为当0≤t <0.5s 时当0.5s≤t ≤1s 时5.0232)12()5.0()(232-+-=-⨯+-=t t t t t t t p 0.5u (V), p (W)10.5O0.25up t (s)电容吸收的功率随时间变化的曲线如图中虚线所示5.1.2电感元件定义：一个二端元件，如果在任一时刻t，它的磁通(flux)ψ与流过它的电流i之间的关系是由ψ-i平面（或i-ψ平面）上的一条曲线所确定，则此二端元件称为电感元件(inductor)。
这条曲线称韦安特性曲线。
一、线性非时变电感元件1.特性方程Liψ=或1iLψ=OuiψLiψ=iLL是与磁通和电流无关的电路参数。
2.伏安关系d di u Ldt dtψ==uiL电流i 和电压u 取一致参考方向动态特性：上式表明，t 时刻的电感电压i 取决于该时刻电感电流i 随时间t 的变化率，称为动态元件。
线性非时变电感元件中的u 和i 之间的关系也可用积分形式表示00001111()()()()()t t t ti u d u d u d i t u d t t L L L L ττττττττ-∞-∞==+=+⎰⎰⎰⎰或00()()()()()tt t ti u d u d u d i t u d t t ΓττΓττΓττΓττ-∞-∞==+=+⎰⎰⎰⎰记忆特性：线性非时变电感元件在t 时刻的电流值取决于从–∞ 到t 时刻的电压值。
即电感电流i 与电感元件的使用历史有关，可通过电感电压在时刻t 以前的全部历程来反映。
电感元件具有“记忆”电压的性质，是一种记忆元件。
电感电流的连续性：当t 0=0时01()(0)()t i t i u d L ττ=+⎰1()()()t tti i t t i t u d L ττ+∆∆=+∆-=⎰如果在时间区间[t ，t+∆t ]内，u 均为有限值，即()u t M≤那么当∆t →0时，就有∆i →0。
即只要电感电压是有界函非零初始电流电感元件的等效电路具有初始电流的电感可以等效成无初始电流的电感与电流源的并联。
L00()L i t I =uiLi 00()S i I t ε=Lui0()0L i t =Li若干个没有初始储能的电感串联eqL ui1L 2L iunL nu 2u 1u 1212()n n eq L L L i L iψψψψ=+++=+++=2L 1i un i nL i2i 1L uieqL若干个没有初始储能的电感并联121212111()()()1111()()()t ttn n t tn eqi i i i u d u d u d L L L u d u d L L L L ττττττττττ-∞-∞-∞-∞-∞=+++=+++=+++=⎰⎰⎰⎰⎰121111eq nL L L L =+++或12eq nΓΓΓΓ=+++二、线性时变电感元件线性电感元件的韦安特性曲线是随时间变化，通过原点的直线。
O1t 2t 3t iψ()L t ui1.特性方程()L t iψ=1()()i t L t ψΓψ==或2.伏安关系()()d di dL t u L t idt dt dtψ==+“十一五”国家级规划教材—电路基础三、非线性电感元件电感元件如果其韦安特性不是线性的就称为非线性电感元件。
uiψ符号()0f i t ψ=，；1.特性方程1()()i h f ψψ-==非线性电感也可按其韦安关系的性质:磁控电感流控电感()f i ψ=()i h ψ=单调型电感1()()i h f ψψ-==四、电感元件的能量1.瞬时功率L p ui=电流和电压取一致参考方向当p L >0时，电感吸收功率；当p L <0时，电感发出功率。
在[t 0，t]内，电感元件吸收的能量为0()0()()()t t t L L t t t w t t p dt iudt f d ψψψψ===⎰⎰⎰，若ψ(t 0)=0，则0()L w f d ψψψ=⎰Oψ()t ψi()i t 如果电感元件的韦安特性曲线通过原点位于第一或第三象限，这种电线性非时变电感元件212L w d Li L ψψψ==⎰上式表明，当电流一定时，电感元件中储存的磁场能与电感L 成正比，电感L 的大小反映了电感储能的能力；电感储能的大小只取决于电感电流的瞬时值，与电流的建立过程无关，也与电感中的电压无关。