2018版高中数学第三章导数及其应用3.3.1单调性课件苏教版

f′(x)＝0
题型探究
类型一 求函数的单调区间 命题角度1 求不含参数的函数的单调区间 例1 求f(x)＝3x2－2ln x的单调区间． 解答
反思与感悟
求函数y＝f(x)的单调区间的步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求导数y′＝f′(x)； (3)解不等式f′(x)>0，函数在定义域内的解集上为增函数； (4)解不等式f′(x)<0，函数在定义域内的解集上为减函数．
跟踪训练 1 求函数 f(x)＝x－ex 2的单调区间． 解答
函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
f′(x)＝exxx－－22－2 ex＝exx－x－232.
因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0. 由f′(x)>0，得x>3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)； 由f′(x)<0，得x<3. 又函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．
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3.函数f(x)＝ln x－ax(a>0)的单调增区间为__0_，__1a_ __. 答案 解析 f(x)的定义域为{x|x>0}， 由 f′(x)＝1x－a>0，得 0<x<1a.
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4. 若 函 数 y ＝ x3 － ax2 ＋ 4 在 (0,2) 上 单 调 递 减 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 为 __[_3_，__＋__∞__) __. 答案 解析 y′＝3x2－2ax＝x(3x－2a)， 由题意知x∈(0,2)，y′≤0， 即 x(3x－2a)≤0，得 0≤x≤23a， 则23a≥2，即 a≥3.
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5.求函数f(x)＝(x－k)ex的单调区间. 解答 f′(x)＝ex＋(x－k)ex＝(x－k＋1)ex， 当x<k－1时，f′(x)<0； 当x>k－1时，f′(x)>0， 所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)，单调递增区间为(k－1，＋∞).
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规律与方法
1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小 反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度. 2.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)； (3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0； (4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.
跟踪训练 4 已知函数 f(x)＝13x3－12ax2－(a＋1)x＋2 在区间[1,2]上为减 函数，求实数 a 的取值范围． 解答
当堂训练
1.关于函数f(x)＝1－x－sin x，下列说法正确的是__②___.(填序号)
①在(0,2π)上是增函数；
答案 解析
②在(0,2π)上是减函数；
③在(0，π)上是增函数，在(π，2π)上是减函数；
第3章 §3.3 导数在研究函数中的应用
3.3.1 单调性
学习目标
1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明
一些简单的不等式. 3.会求函数的单调区间．
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点 函数的单调性与导函数正负的关系
思考1
观察下正负 导数正负
单调性
正
正 [1，＋∞)上单 调 递增
正
正
R上单调 递增
(0，＋∞)上单调
负
负 递减
负
负 (0，＋∞)上单调
递减
负
负 (－∞，0)上单调
递减
思考2
依据上述分析，可得出什么结论？ 答案
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上， ①如果f′(x)>0，则f(x)在该区间上单调递增； ②如果f′(x)<0，则f(x)在该区间上单调递减．
命题角度2 求含参数的函数的单调区间 例2 讨论函数f(x)＝x2－aln x(a≥0)的单调性． 解答
引申探究 若将本例改为f(x)＝ax2－ln x(a∈R)呢？ 解答
反思与感悟
(1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围， 而且要结合函数的定义域来确定f′(x)的符号，否则会产生错误． (2)分类讨论是把整个问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题 中，原先的不确定因素就变成了确定性因素，当这些局部问题都解决 了，整个问题就解决了．
则cos x<0，sin x>0，∴xcos x－sin x<0， ∴f′(x)<0，
∴f(x)在π2，π上是减函数．
反思与感悟
关于利用导数证明函数单调性的问题： (1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域 内这个前提下进行． (2)f′(x)>(或<)0，则f(x)为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f(x) 为单调递增(或递减)函数，则f′(x)≥(或≤)0.
④在(0，π)上是减函数，在(π，2π)上是增函数.
当x∈(0,2π)时，f′(x)＝－1－cos x≤0， 所以f(x)在(0,2π)上是减函数.
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2.设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所 示，则导函数f′(x)的图象可能是___④_____.
答案 解析
原函数的单调性是当x<0时，f(x)单调递增； 当x>0时，f(x)的单调性变化依次为增、减、增， 故当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)的符号变化依次为＋，－，＋.
跟踪训练2 已知函数f(x)＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，其中x∈R，t∈R.当 t≠0时，求f(x)的单调区间． 解答
类型二 证明函数的单调性问题
例 3 证明：函数 f(x)＝sinx x在区间π2，π上单调递减． 解答
f′(x)＝xcos
x－sin x2
x ，又
x∈π2，π，
梳理 (1)
导数值 切线的斜率 倾斜角 曲线的变化趋势 函数的单调性
>0
>0
锐角
上升
单调 递增
<0
<0
钝角
下降
单调 递减
(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：
函数的单调性
导数
单调递_增__ 单调递_减__
常函数
f′(x) ≥0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间上都不 恒为零 f′(x)≤0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间上都不 恒为零
跟踪训练3 证明：函数f(x)＝ ln x 在区间(0，e)上是增函数． 证明 x
∵f(x)＝lnx
x，∴f′(x)＝x·1x－x2ln
x 1－ln ＝ x2
x .
又0<x<e，∴ln x<ln e＝1.
1－ln x ∴f′(x)＝ x2 >0，故 f(x)在区间(0，e)上是增函数．
类型三 已知函数的单调性求参数范围
例 4 已知函数 f(x)＝x2＋ax(x≠0，常数 a∈R)．若函数 f(x)在 x∈[2，＋∞) 上单调递增，求 a 的取值范围． 解答
反思与感悟
已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，可转化为不等 式恒成立问题，一般地，函数f(x)在区间I上单调递增(或减)，转化为不 等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间I上恒成立，再用有关方法可求出参数的 取值范围．
本课结束