AGSM光束在自由空间中的传输

第16卷　第4期强激光与粒子束Vol.16No.4　2004年4月HIGH POWER LASER AND PARTIC LE BE AMS Apr.,2004文章编号:100124322(2004)0420417204AG SM 光束在自由空间中的传输Ξ彭愿洁1,　吕百达1,2(1.四川大学激光物理与化学研究所,四川成都610064;　2.华中科技大学激光技术国家重点实验室,湖北武汉430074) 摘　要:　用矩阵方法研究了有扭曲的各向异性高斯2尔模型(AG S M )光束通过自由空间的传输。

给出了光束参数的解析传输公式和详细数值计算结果,说明AG S M 光束的传输特性以及扭曲因子和空间相关长度的影响。

关键词:　AG S M 光束;　自由空间传输;　扭曲;　空间相关长度 中图分类号:O437 文献标识码:A 实际的激光,特别是高功率激光常是部分相干、有位相畸变和振幅调制[1],并有像散特性,在位相中还可能含有扭曲项[2],与理想的高斯光束模型有很大差异,在数学处理上也有不同,对此国内外已作了广泛的研究。

理论研究表明,有扭曲的各向异性高斯2谢尔模型光束(AG S M )是描述光束的一般模型[3,4],它既反映了光束的一般像散性质又反映了光束的部分空间相干性。

AG S M 光束共有10个独立的光束参数。

AG S M 光束通过一阶光学系统的传输变换规律可以通过二阶矩矩阵的变换公式描述,然而文献中对这些变换多表示为抽象的、一般化的数学公式,实际工作中更关心的是光束参数,例如束宽、远场发散角和等相面曲率半径,以及光强分布的变化规律。

本文用矩阵方法研究了AG S M 光束在自由空间中的传输规律,说明了扭曲参数和空间相关长度对光束传输特性的影响,以及AG S M 光束参数和光强分布在自由空间中的变化规律。

所得结果对研究有扭曲部分相干光的传输特性有应用意义。

1　AG SM 光束通过自由空间的传输公式 AG S M 光束的交叉谱密度函数可表示为[5]Γ(r 1,r 2)=A 4π2det w 2exp {-14[r 1(w 2)-1r T 1+r 2(w 2)-1r T 2]-12(r 1-r 2)(σ2)-1(r 1-r 2)T -i k 2(r 1R -1r T 1+r 2R -1r T 2)-i k μr 1J r T 2}(1)式中:r i =[x i y i ],(i =1,2);J =1 1-1　0;w 2=w 2x w 2xy w 2xy w 2y ,σ2=σ2x σ2xy σ2xy σ2y ,R =R x R xyR xy R y 分别为与光束束宽、空间相关长度和位相有关的实对称矩阵;μ是扭曲参数;k =2π/λ;为光波波长;上标T 表示矩阵转置。

为保证光束交叉谱密度函数的半正定性,μ应满足|μ|≤1/(k det σ2)(2) AG S M 光束通过一阶光学系统传输变换的矩阵方程为[6]V out =SV in S T ,V =W M M T U ,　S =A BC D (3)式中:V out ,V in 分别为光束输入与输出面上的4×4二阶矩矩阵;W ,M ,U 为2×2分矩阵。

S 为一阶光学系统的4×4ABCD 矩阵;,B ,C ,D 均为2×2矩阵。

二阶矩矩阵元与光束参数w 2,(σ2)-1,R -1,μ之间的关系为w 2=W ,(σ2)-1=k 2(U -M T W -1M )-14W -1,R -1=12(M T W -1+W -1M ),μJ =-12(M T W -1-W -1M )(4) 为简单起见,令束腰处z =0并考虑在束腰处R -10=0,w 2xy 0=σ2xy 0=0的情形(下标0表示束腰处的参数,下同)。

由(3)式,光束通过传输距离为z 的自由空间后,有Ξ收稿日期:2003208204;　修订日期:2003210229基金项目:华中科技大学激光技术国家重点实验室资助课题作者简介:彭愿洁(1980—),女,硕士研究生,现从事激光光学的研究工作;E 2mail :hairip @s 。

V (z )=S (z )V (0)S T (z )=w 2x 0(1+z 2/z 2x 0) z μ0(w 2x 0-w 2y 0) w 2x 0z/z 2x 0μ0w 2x 0z μ0(w 2x 0-w 2y 0) w 2y 0(1+z 2/z 2y 0) -μ0w 2y 0 w 2y 0z/z 2y0 w 2x 0z/z 20 -μ0w 2y 0 w 2x 0/z 2x 00 μ0w 2x 0 w 2y 0z/z 200w 2y 0/z 2y 0(5)式中:z -2x 0=w 2y 0w 2x 0μ20+1k 2w 2x 0(14w 2x 0+σ-2x 0),z -2y 0=w 2x 0w 2y 0μ20+1k 2w 2y 0(14w 2y 0+σ-2y 0),分别为x ,y 方向的瑞利长度。

将(5)式代入(4)式,得实验室坐标系下各光束参数w 2,(σ2)-1,R -1,μ随传输距离z 变化的公式为w 2x (z )=w 2x 0(1+z 2/z 2x 0)w 2y (z )=w 2y 0(1+z 2/z 2y 0)w 2xy (z )=z μ0(w 2x 0-w 2y 0)(6a )σ-2x (z )=14G (z )[w 2y 0(z 2+z 2y 0)(4k 2w 4x 0-z 2x 0)-4k 2μ20w 2x 0z 2y 0(z 2w 4x 0+w 4y 0z 2x 0)]σ-2y (z )=14G (z )[w 2x 0(z 2+z 2x 0)(4k 4w 4y 0-z 2y 0)-4k 2μ20w 2y 0z 2x 0(z 2w 4y 0+w 4x 0z 2y 0)]σ-2xy (z )=z μ04G (z ){[(w 2x 0-w 2y 0)z 2x 0z 2y 0+4k 2w 2x 0w 2y 0[w 2y 0z 2x 0-w 2x 0z 2y 0+(w 2y 0-w 2x 0)z 2x 0z 2y 0μ20]}(6b )R -1x (z )=zw 2y 0G (z )[w 2x 0(z 2+z 2x 0)+μ20(w 2x 0-w 2y 0)z 2x 0z 2y 0]R -1y (z )=zw 2x 0G (z )[w 2y 0(z 2+z 2x 0)-μ20(w 2x 0-w 2y 0)z 2x 0z 2y 0]R -1xy (z )=1G (z )[z 2μ0(z 2x 0w 4y 0-w 4x 0z 2y 0)](6c )μ(z )=μ02G (z )[z 2(w 4x 0z 2y 0+w 4y 0z 2x 0)+2w 2x 0w 2y 0z 2x 0z 2y 0](6d )式中:G (z )=w 2x 0w 2y 0(z 2+z 2x 0)(z 2+z 2y 0)-z 2(w 2x 0-w 2y 0)2μ20z 2x 0z 2y 0。

由(6a 2d )式知,w x ,w y 按双曲线规律变化,w xy 线性增加;其他参数的变化则较为复杂,是关于z 的分式多项式。

当z µz x 0和z y 0时,有w 2x ,w 2y ∝z 2,w 2xy ∝z ;σ-2x ,σ-2y ∝1/z 2,σ-2xy ∝1/z 3;R -1x ,R -1y ≈1/z ,R -1xy ∝1/z 2;μ∝1/z 2。

w x ,w y ,σx ,σy ∝z 说明光束束宽和相干度在远场随距离都线性增加,并有z →∞时(σ2)-1→0,即光束在无穷远处近似为完全相关;R x ,R y ≈z 说明光束在远场近似为球面波,z →∞时,光束趋近于平面波;μ∝1/z 2说明μ随着z 的增大迅速趋近于0,即光束的扭曲特性随传输距离的增加而逐渐消失。

传输距离z 后w 2,R -1,(σ2)-1矩阵交叉项不再为0,说明其主轴相对实验室坐标系有旋转,旋转角度分别为θ=12artan 2w 2xy w 2x -w 2y ,ψ=12artan 2σ-2xy σ-2x -σ-2y ,φ=12artan 2R -1xy R -1x -R -1y(7)将(6)式代入(8)式得tan2θ=2z μ0/(1+z 2C 1),tan2ψ=z μ0/(C 2+z 2C 3),tan2φ=z μ0C 4(8)式中:C i (i =1,2,3,4)由初始参数确定,因表示式复杂略去。

由(8)式可以看出:扭曲因子是决定光束参数旋转的重要因素;w 2的旋转方向(即空间光强分布的旋转方向)由μ0的正负确定,迎着光束传输的方向看,μ0>0时沿反时针方向,μ0<0时沿顺时针方向;(σ2)-1,R -1的旋转方向由μ0C 2,μ0C 4的正负确定,为正是反时针,为负是顺时针。

当z →∞时,w 2,(σ2)-1,R -1矩阵中交叉项参数值与对角线上的参数值相比可忽略,因此各对角线参数值即近似为主方向参数值,各参数矩阵不再旋转,有tan2θ,tan2ψ→0,tan2φ→∞;θ,ψ→90°,φ→45°。

利用旋转矩阵θ将w 2对角化w 2θ=θw 2θT =w 2x θ 00 w 2y θ,　θ=cos θ sin θ-sin θ　cos θ(9)可得出光束在z 处两个主方向的束宽w 2x θ,w 2y θ为w 2x θ=12[(w 2x +w 2y )+(w 2x -w 2y )2+4w 4xy ],w 2y θ=12[(w 2x -w 2y )-(w 2x -w 2y )2+4w 4xy ](10)814 强　激　光　与　粒　子　束 第16卷类似地可得到σ2xψ,σ2y ψ和R x φ,R y φ等,为节省篇幅从略。

由(6a ～d )式及(10)式易知,各主方向参数值只与扭曲因子的绝对值有关而与其符号无关。

2　数值计算和分析 设λ=1.06μm ;R -1=0,w 2xy 0=σ2xy 0=0,w 2x 0=0.15mm 2,w 2y 0=0.30mm 2,σ-2x 0=33mm -2,σ-2y 0=28mm -2,|μ0|=5m -1。

利用(6)～(10)式进行数值计算,得到矩阵对角化后各光束参数随距离的变化如图1所示。

由图1可以看出束宽w x θ,w y θ和相干长度σx ψ,σyψ随传输距离的增加而增加;位相曲率R -1x φ,R -1y φ随z 先增后减,同前所述z →∞时,R -1x φ,R -1y φ→0。

此外,还可知在自由空间中传输时,w 2,σ2两方向参数始终不相等,即不会在某一平面上自动对称化。