第16讲 高斯光束的传输和变换
高斯光束q参数的变换规律
Klystron,
TWT, BWO…
0.2 ~ 2.0 0.1
< 100 uW 10-9 ~ 10-12
Joule
目前应用较多的 THz 源； 用于成像系统， 功率低。
1~100 mW 随频率提高， 输出功率显著下 降；最高频率小 于 1 THz。
THz 技术在国防上的重要作用。
● THz 雷达可成为未来高精度雷达的发展方向:
其中：
Rz
z1
f z
2
z
1
w02 z
2
w2 (z)
w02
1
z f
2
w02
1
z w02
2
经整理后可得： qz i w02 z if z q(0) z
高斯光束在自由空间由z1经距离L传播到z2,q的规律为 ：
qz2 qz1 z2 z1 qz1 L
2 0
w02
1
w2
w2 R
÷÷2
B 4 (A D)2 2 (1 AD)
利用ABCD矩阵很容易求出复杂光学谐振腔的基模参数
高斯光束的匹配
若使一个稳定腔所产生的高斯光束与另一个稳定腔产生 的高斯相匹配，需在合适的位置放置一个焦距适当的透镜， 使两束高斯光束互为物象共轭光束。该透镜称为模匹配透镜。
高斯光束的ABCD定律
如果复参数q1的高斯光束顺次通过传输矩阵
M1
A1 C1
B1
D
1
M2
A2 C2
B2 • • • • • •
D2
Mn
An Cn
Bn
Dn
总矩阵元M：
A M C
B D
An Cn
高斯光束的变换,模式匹配
2.1212 4
1.63
∵F<l0/2,取正
lF
F 2 ff
f f
1.63
1.632 2
1 2.21 2
l F
F 2 ff
f f
1.63
1.632 2
2 2.79
用F=1.63m的透镜，放在距物腰2.21m,距像腰2.79m处
(3)l0= 2 2m
A F
l02
(A2 - 4) ff A2 4
(2)l=2 q 2 i
q Fq 0.1(2 i) 0.1(2 i)(-1.9 i) 0.104 0.00217i F q 0.1 2 i (-1.9 i)(-1.9 i)
l 0.104m
w0
f
3.14106 0.00217 0.0466mm
3.14
结论 1. F<f，总有聚焦作用 2. 若F>f,只有l F F2 f 2及 l F F2 f 2 才有聚焦作用
1.5
1.52 1 2
1 1.5 0.3535 2
1.8535m或1.1465m
l F
F 2 ff
f f
1.5
1.52 1 2
2 1.5 0.707
2.207m或0.793m
将透镜放在距物腰1.854m,距像腰2.207m处 或放在距物腰1.147m,距像腰0.793m处
2、两高斯光束的腰位置固定
解 (1)l=0
f
w02
3.14 106 3.14 106
1m
qi
q Fq 0.1i 0.1i(0.1 i) 0.099 0.0099i F q 0.1 i (0.1 i)(0.1 i)
3.10_高斯光束的传输与透镜变换
二、高斯光束通过薄透镜的变换
联系：如果ω0→0（即f→0），或（l-F）2＞＞f2，
则有： l ' F F 2 lF F 2 F 2 lF
lF
lF
lF
即：
1 lF 1 1 l ' lF F l
1 1 1 l l' F
这正是几何光学成像公式。
（l-F）2＞＞f2，意味着物高斯光束束腰与透镜后焦 面相距足够远。
1. 普通球面波
V的符号规定： 如果像点在透镜右方，v取正号； 如果像点在透镜左方，v取负号。 一个薄透镜的作用，是将距它u处的物点O聚成像
点O’，u与v满足： 1 1 1 uv F
二、高斯光束通过薄透镜的变换
1. 普通球面波 由于R1=u，R2=-v，则有：
111
R1 R2 F
一个薄透镜的作用，是将它左侧的曲率半径 为R1的球面波改造成右侧的曲率半径为R2的球面 波，R1与R2满足上式。
(z) 0
1 (
z )2 f
0
1
z
2
(02
)2
可见：
①高斯光束R(z)的变化规律与普通球面波不同；
②对高斯光束，除R(z)的变化，还有ω(z)的变化。
一、高斯光束在空间的传输规律
2. 高斯光束
R(z1)
z
f2 z
z 1 (02 )2 z
(z) 0
1 (
z f
)2
0
1 z2( )2 02
一、高斯光束在空间的传输规律
即：
q(z) q(0) z q(z1) q(0) z1 q(z2 ) q(0) z2 q(z2 ) q(z1) (z2 z1)
与普通球面波在形式上是相同的。
激光加工中高斯光束的特性与传输变换
１ 高斯光束 的几个描 述参数
１ １ 光束 质量 因子 ．
一
ห้องสมุดไป่ตู้
韭
是表征激光束空间光束质量的参数． 可以证 明， 通过近轴 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ光学系统时， 光束质量
理想 ’ ｕ 理想
因子 Ｍ２ 是一个传输不变量［． 以通过 Ａ Ｃ ２所 ］ Ｂ Ｄ光学系统对高斯光束进行传输与变换不影响其 Ｍ２ 值．
动控 制 的程 度 ．
高光由气入向性折率 均介时变矩为 １］复数（等 斯束空进各同的射为的匀质的换阵［ ／， 参 ｑ、 ｏ其 ｚ ）
相面曲率半径 户 ｚ 和共焦参数 Ｚ 都扩大了 （） ０ 倍 ； 相反 ， 若它由各向同性的均匀介质进入空气 中后 ， ｇ 、 其 （） Ｉ 和 Ｚ 都缩小了 倍． Ｄ ） （ ｏ
／， －６ －
表 示 其等 相位 面 曲率半 径 ； 明 ｌ ｚ 随着 ｚ 说 Ｄ ） （ 的增加 而增 加 ， ｚ ∞ 时 ， （） 。 ， 时其等 相位 面为 平面 ． 在 一 ｌｚ 一 。 此 Ｄ
当 — Ｚ 时 ， ０ 其等相位面曲率半径达到最小值 阳 ） ２ ｏ 叩 ） ｔ ｚＺ ） （ 一 Ｚ ； （ 一 ｇ （／ ｏ 表示附加相移． － 上面的式 （） １ 反映了高斯光束的场分布及其在传播过程中的变化规律［ ． １ ］
＋ 轰 ， 光 通 光 为 的Ｂ 系 后 是 斯 束其 幅 大原 的 ｉ 高 束 过 程 Ｌ Ａ Ｄ统 ， 高光 ， 放 到 来 斯 ｃ 仍 振
｝
｝， 参变 ｑ） 倍 复数为 一 其 （ ｚ
． 斯束过轴学统满 ＡＤ律． 即 光通傍光系时足Ｂ定嘲 高 ｃ
２ 高斯光束 的性质 与变换
Ｖｏ ． ７ Ｎｏ ３ １２ ．
[整理版]高斯光束透镜变换
![[整理版]高斯光束透镜变换](https://img.taocdn.com/s3/m/57b75c0afd4ffe4733687e21af45b307e871f9a3.png)
在这个例子中，我们将考虑高斯光束在一个简单的成像系统中的传播。
在第一章中，关联物像平面的ABCD 矩阵可写为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=m f m M /1/10 其中m 为透镜的横向放大率，f 是成像透镜的焦距。
用ABCD 定律，并假设1'==n n ，我们用q 描述物面上的高斯光束，通过透镜后，用q ’描述在像面上的高斯光束m a f m qq 11'+-=使用q 参数，可以方便地把上式分为实部和虚部。
聚焦点'ω和近轴像面的波面曲率半径为ωωm ='10.76mR f Rf m R -=2'10.77从上述关系中可以得出几个结论。
像物聚焦点大小的比率就是近轴横向放大率。
考虑将激光束腰放置在物方平面的情况，这时∞=R 。
将10.77的极值放在这个情况下，可得mf R -='对于正透镜的通常情况，它有实的物距和像距，f 为正，m 为负，因此R ’是正的，按照光束符号惯例表示像空间光束在通过它的近轴像面之前已经通过了它的束腰，例如，束腰位于近轴像的位置。
这种现象叫做“焦移”，因为最大近轴发光点不在几何焦点处。
为了在近轴像面处得到光束束腰（∞='R ）我们必须在物面处有m f R /=。
焦移现象对于有很小发散角的“慢”光束而言更生动，换句话说，对于有小的菲涅尔数的光束而言。
（孔径半径为a 和波前曲率半径为R 的菲涅尔数为R a λ/2）。
我们可以用OSLO中的交互式ABCD 分析数据表来阐明这一现象。
我们在目录数据库中选择一个焦距为500mm 的透镜，用近轴设置数据表来设置近轴放大率为-1。
将主波长设为0.6328m μ，在设置放大率前删除波长2和3，如下图所示使用交互式ABCD 分析表，我们可以考察穿过这个透镜的高斯光束。
用束腰直径为0.25mm ，束腰离第0面距离为0。
在OSLO 中使用高斯光束数据表时有几个惯例：1 使用这个数据表，你必须在4个区域（w,w0,z,R ）中的两个中添入数据。
高斯光束的传播讲义
高斯光束的传播一、 高斯光束的传播规律为了比较起见，我们仍从一般均匀球面波的传播讨论开始。
如图1所示，一个静止点光源发出的球面波，垂直于等相面方向的距离为z 的任意两个等相面的z图1曲率半径，应满足21R R z =+（1）的方程，曲率半径的符号是这样规定的：从正无穷远处看到凸的波阵面R 为正；看到凹的波阵面R 为负。
若球面波通过焦距为f 的薄透镜，由物象关系得知，透镜前后曲率半径R 1，R 2满足21111R R f=- （2）这里规定凸透镜的0f >，凹透镜的0f <。
我们曾讨论过近轴光线通过光学元件的传播满足的矩阵关系2121x x AB CD θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭近轴球面波通过光学元件前后的曲率半径分别为121212,x x R R θθ==因此1211112121111x A Bx Ax B AR B R x C x D C R DCDθθθθθ+++====+++ （3）所以对于一般均匀球面波，只用一个参数——曲率半径R 就可完全描述其传播和变换的特性。
与普通球面波不同，高斯光束必须由两个量即R （z ）和w (z)来描写。
但下面将看到，对于高斯光束——非均匀的、曲率中心不断变化的球面波——也具有一个与一般球面波曲率半径R 的作用类似的复曲率半径q (z )，它可被用来描述高斯光束的传播行为。
在推导高斯光束表达式时，我们已经得出复曲率半径在均匀空间传播的表达式，具体过程可以参考伍长征编写的《激光原理》书中的（3.3-14）式，即21q q z=+ （4）这里21,q q 分别为传播方向上任意两点21,z z 处的复曲率半径，z 为两点间距离，21z z z =-，参见图2(a)。
再看高斯光束通过薄透镜的变换，如图2(b)。
令薄透镜焦距为f ，由于是近轴光线，波阵面是一球面，透镜前后曲率半径应满足21111R R f=-,000(,)q w R 111(,)q w R 222(,)qwR z 1z 2图2(a)f 20w 10w q 1q 2图2(b)又透镜足够薄，两侧光斑尺寸相等，即12w w =，与上式合并，可以变形为22222112121()i iR kwR kw f-=-- (5)由复曲率半径定义式2112()()()i q z R z kw z =-，可得21111q q f=-（6）比较（4）式和（6）式与（1）式和（2）式知道，利用复曲率半径q ，形式上完全可等价于球面波的曲率半径R 。
3.10 高斯光束的传输与透镜变换解读
若ω0→0或z →∞，则R(z) →z、 ω(z) →∞。 当光斑尺寸趋于无穷大时，波阵面上的光强分布 趋于均匀，这正是普通球面波波阵面上的均匀分布 情况，此时，高斯光束可看成是普通球面波。
一、高斯光束在空间的传输规律
定义：
1 1 i 2 q( z ) R( z ) ( z )
称q(z)为q参数，或称为高斯光束的复曲率半径。 定义q参数的好处是： ① z处R(z)与ω(z)两个参数可用一个参数q(z)表示，
即：
1 1 1 q1 q2 F
这与几何光学成像公式在形式上是相同的。
例题
例题1： 某高斯光束波长为3.14微米，束腰半径 为1mm。 求：距离束腰右方50cm处的 （1）q参数； （2）光斑半径和等相位面曲率半径。
例题
例题2： 某高斯光束波长为3.14微米，在某处光 斑半径为1mm，等相位面曲率半径0.5m。 求：此高斯光束 （1）在该处的q参数； （2）束腰半径及位置。
3.10 高斯光束的传输与透镜变换
一、高斯光束在空间的传输规律
1. 普通球面波
R( z1 ) z1 R ( z2 ) z2
即球面波的波前曲率半径R等于传输距离Z。
R( z2 ) R( z1 ) ( z2 z1 )
一、高斯光束在空间的传输规律
2. 高斯光束
2 f2 1 0 R( z1 ) z z ( )2 z z z 2 2 2 ( z ) 0 1 ( ) 0 1 z ( 2 ) f 0
区别：如果将入射光束的腰看作物点。 按照几何光学成像规律，如l=u=F，则l’=v=∞； 按照高斯光束成像规律，如l=F，则l’=F。
二、高斯光束通过薄透镜的变换
高斯光束的传输与变换
L g2 g1 1 g1 g 2
14
L R R2 L s2 LR2 L R1 R2 L
2 2
14
L g1 g 2 1 g1 g 2
14
谐振频率
高斯光束的传输与变换
方形球面镜共焦腔的行波场
2 2 w0 Emn x, y, z Amn E0 Hm x H n y e wz wz wz
式中
x2 y2 w2 ( z )
e imn x , y , z
2 w z w0 1 z z R z x2 y2 x, y, z k z mn m n 1 z 2 R( z ) R
变换公式的应用
高斯光束的准直与聚焦
2
2 f 2 0
f
l1
2
2 0
2
2 0 l1 f l1 f 2 l1 f f l2 f 2 2 2 2 f l1 2 0 l1 f 2 0
mnq
c 1 q m n 1 arc cos 2 L
远场发散角
一般稳定球面腔的基模发散角为 : λ λ 2( 2 L R1 R2 )2 θ0 2 2[ 2 ]1/ 4 fπ π L(R1 L)(R2 L)(R1 R2 L) λ ( g1 g 2 2 g1 g 2 ) 2 1/ 4 2 [ ] πL g1 g 2 (1 g1 g 2 )
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O
L
z1
z2
z
q2 q(z2 ) z2 if
q2 q1 L
16.2 高斯光束传输的基本规律
M1
w0
w1 w2
M2 w0
R1
R2
l
l
16.2 高斯光束传输的基本规律
1 11 R2 R1 F 由于透镜很薄，紧贴透镜的两侧等相位面上的光斑大小和
光强分布相同；
w2 w1
第16讲 高斯光束的传输和变换
16.1 单色球面波傍轴传输的基本规律
单色球面波通过长度为L的自由空间
R1 R(z1) z1 R2 R(z2 ) z2 R1 L
R( z1 )
O
z1
z2
z
R(z2 )
L
16.1 单色球面波傍轴传输的基本规律
单色球面波通过焦距为F的薄透镜
R
O
f1
w02
3.14 3104 632.8109
2
0.45 m
q0 if1
q1 q0 l1 0.1 0.45i m
q2
Fq1 F q 0.1 0.45i
0.18 0.085i
0
1
1.5 0.35
M
M3M2M1
5
0.5
输出光束的q参数为：
q4
1.5q1 0.35 5q1 0.5
(0.32
0.085i)
m
因此：
R1
1
r2
2
A C
B r1
D
1
O
R2
r2
2
Ar1 B1 Cr1 D1
AR1 B CR1 D
r1 r2
R2
2
z
O
16.2 高斯光束传输的基本规律
高斯光束通过长度为L的自由空间
q1 q(z1) z1 if
u
根据透镜成像公式： 1 1 1
u F
R
O z 得到：
v
1 11 R R F
规定：沿光传播方向的发散球面 波R取正号；汇聚球面波R取负号。
16.1 单色球面波傍轴传输的基本规律
单色球面波傍轴通过一般光学系统
R1
1 O
r1 r2
R2
2
z
O
16.1 单色球面波傍轴传输的基本规律
q3 q2 l2 0.32 0.085i m
高斯光束连续通过多个光学元件
q1
q2
q3
qn
qn1
M1 M2
Mn z
定义： 则：
A B
M
C
D
M
n
M
n1
M1
qn1
Aq1 Cq1
B D
例1： 如图所示，已知高斯光束的腰斑半径w0=0.3mm，波长
λ=632.8nm，左侧束腰距透镜的距离为l1=10cm，透镜
16.2 高斯光束传输的基本规律
根据衍射理论，透镜后的出射光束仍为高斯光束！
q1
1 R1
i
w12
1 1 i 1 1 i 1 1 q2 R2 w22 R1 F w12 q1 F
16.2 高斯光束传输的基本规律
16.2 高斯光束传输的基本规律
高斯光束通过一般光学系统
q2
Aq1 B Cq1 D
16.2 高斯光束传输的基本规律
距离为L的自由空间 ( 折射率η=1 )
折射率为η，长为L的均 匀介质
界面折射
薄透镜( 焦距为f )
球面反射镜(曲率半径R )
L
η L
η1
η2
f
R
1 0
L1
1 0
L
1
1 0
0
1 2
1 0
1 f
1
1 0
2 R
1
例1： 如图所示，已知高斯光束的腰斑半径w0=0.3mm，波长
λ=632.8nm，左侧束腰距透镜的距离为l1=10cm，透镜
焦距F=20cm，求右侧距离透镜l2=0.5m处的高斯光束q
参数。
F=20cm
束腰
q=?
解：
左侧高斯光束的共焦参数为：
焦距F=20cm，求右侧距离透镜l2=0.5m处的高斯光束q
参数。
F=20cm
束腰
q=?
另解： 透镜左侧束腰处：
q1 if 0.45i m
依次通过的光学元件的关系变换矩阵为：
1 0.1
1 0
1 0.5
M1
0
1
,M2
1
0.2
1
,
M3