3.10_高斯光束的传输与透镜变换
华中科技大学激光原理课件--第6讲 高斯光束的传输变换
• 将上面两式与光线矩阵相比较可以得到球面 波的传播规律： 波的传播规律：
AR1( z ) + B R 2( z ) = CR1( z ) + D
6.2 高斯光束通过薄透镜的传输
• 高斯光束q参数的变换规律 高斯光束q
– 高斯光束在近轴部分可以看作一系列非均匀、曲率中心不断改变 高斯光束在近轴部分可以看作一系列非均匀、 的球面波，也具有类似于普通球面波的曲率半径R的参数， 的球面波，也具有类似于普通球面波的曲率半径R的参数，即q参 数： πω 20 2 R( z ) = z 1 + λz 1 1 λ = −i 2 其中 2 q ( z ) R( z ) πω ( z ) ω 2( z ) = ω 2 1 + λ z 0 2 πω 0
πω 20 q( z ) = i + z = q0 + z – 通过整理q的表达式可以得到： 通过整理q的表达式可以得到： λ
– 可以得到通过长度为L的均匀介质后的q参数为： 可以得到通过长度为L的均匀介质后的q参数为：
q 2( z ) = q1( z ) + ( z 2 − z1) = q1( z ) + L
(1)
= − – 代入到(1)式中，并且比较实部与虚部得到： ω 2 = ω1; 代入到(1)式中 并且比较实部与虚部得到： 式中， R 2 R1 F – 上面的第一个公式表明薄透镜两面的高斯光束光斑半径相同，这与薄透 上面的第一个公式表明薄透镜两面的高斯光束光斑半径相同， 镜的特性是一致的； 镜的特性是一致的；第二个公式表明薄透镜两面等相位面的曲率半径满 足成像公式，即球面中心是关于该透镜的共轭像点， 足成像公式，即球面中心是关于该透镜的共轭像点，这与薄透镜对球面 波成像的规律是一致的。 波成像的规律是一致的。
高斯光束的透镜变换实验 免费哦
实验三 高斯光束的透镜变换实验一 实验目的1.熟悉高斯光束特性。
2.掌握高斯光束经过透镜后的光斑变化。
3.理解高斯光束传输过程.二 实验原理众所周知，电磁场运动的普遍规律可用Maxwell 方程组来描述。
对于稳态传输光频电磁场可以归结为对光现象起主要作用的电矢量所满足的波动方程。
在标量场近似条件下，可以简化为赫姆霍兹方程，高斯光束是赫姆霍兹方程在缓变振幅近似下的一个特解，它可以足够好地描述激光光束的性质。
使用高斯光束的复参数表示和ABCD 定律能够统一而简洁的处理高斯光束在腔内、外的传输变换问题。
在缓变振幅近似下求解赫姆霍兹方程，可以得到高斯光束的一般表达式：()222()[]2()00,()r z kr i R z A A r z e ez ωψωω---=⋅ （6）式中，0A 为振幅常数；0ω定义为场振幅减小到最大值的1e 的r 值，称为腰斑，它是高斯光束光斑半径的最小值；()z ω、()R z 、ψ分别表示了高斯光束的光斑半径、等相面曲率半径、相位因子，是描述高斯光束的三个重要参数，其具体表达式分别为：()z ωω= （7）000()Z z R z Z Z z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（8）1ztg Z ψ-= （9） 其中，200Z πωλ=，称为瑞利长度或共焦参数（也有用f 表示）。
（A ）、高斯光束在z const =的面内，场振幅以高斯函数22()r z e ω-的形式从中心向外平滑的减小，因而光斑半径()z ω随坐标z 按双曲线：2200()1z zZ ωω-= （10）规律而向外扩展，如图四所示高斯光束以及相关参数的定义图四（B ）、 在（10）式中令相位部分等于常数，并略去()z ψ项，可以得到高斯光束的等相面方程：22()r z const R z += （11） 因而，可以认为高斯光束的等相面为球面。
（C ）、瑞利长度的物理意义为：当0z Z =时，00()2Z ωω=。
在实际应用中通常取0z Z =±范围为高斯光束的准直范围，即在这段长度范围内，高斯光束近似认为是平行的。
光学谐振腔理论-第8节-高斯光束的传输
05 高斯光束的未来发展与应 用
高斯光束在光学通信中的应用
高速光通信
高斯光束在光学通信中具有较高的传输速度和较低的信号衰减，有助于实现高 速、大容量的光通信系统。
远程通信
高斯光束具有较好的光束质量和传输稳定性，适用于长距离的光纤通信，有助 于实现远程、稳定的通信连接。
高斯光束在光学传感中的应用
03 高斯光束的调制与控制
高斯光束的相位调制
01
相位调制是指通过改变高斯光束的相位分布来改变其波前的状 态。
02
常见的相位调制方法包括利用液晶空间光调制器、光栅或其他
光学元件对高斯光束进行相位调制。
相位调制在光学通信、光学传感和光学计算等领域有广泛应用，
03
可以实现光束的聚焦、散焦、波形转换等功能。
高斯光束的波前测量
波前测量概述
波前是描述光束相位变化的物理量，高斯光束的波前测量有助于 了解光束的传播特性和干涉、衍射等光学现象。
波前测量方法
常用的波前测量方法有干涉法、散斑法、剪切干涉法等，可以根据 高斯光束的特点和测量精度要求选择合适的方法。
测量误差来源
波前测量误差主要来源于光束的聚焦、光束截面分布、光学元件的 误差等因素。
高斯光束的聚焦特性
聚焦原理
高斯光束经过透镜聚焦后，其横截面 上的强度分布会发生变化，形成明暗 相间的干涉条纹。
干涉条纹
干涉条纹的形状取决于透镜的焦距和 光束的束腰半径。当透镜焦距一定时 ，束腰半径越小，干涉条纹越密集； 反之，则越稀疏。
02 高斯光束在光学谐振腔中 的应用
光学谐振腔对高斯光束的影响
偏振态调制是指通过改变高斯光 束的偏振状态来改变其电磁场分
布。
常见的偏振态调制方法包括利用 偏振片、电光晶体或液晶等对高
高斯光束的透镜变换
(3) 根据高斯光束的渐 变性可以设想，只要 s 和 f 相差不大，高斯光 束的聚焦特性会与几何 光学的规律迥然不同。
10
4.3.3 高斯光束的准直
高斯光束的准直：改善光束的方向性，压缩光束的发散角。
2 2
0
可以看出，增大出射光束的腰粗就可以缩小光束的发散角。
0
f 0
f s' 0 0 s s
f
7
1.高斯光束入射到短焦距透镜时的聚焦情形
0
前一种方法就是要采用焦距小的透镜
f 即缩短 f 和加大 都可以缩小聚焦点光斑尺寸的目的。
后一种方法又有两种途径：一种是通过加大s来加大；另一种办法 就是加大入射光的发散角从而加大 ，加大入射光的发散角又可以有 两种做法 ，如图4-18和图4-19
1 1 1 R R f
f
0
前式是薄透镜假设：透镜足够薄至 使入射高度和出射高度不变
0
R R
实际问题中，通常0 和 s 是已知的， S S 此时 z0 s ，则可以根据高斯光束 图（4-16）高斯光束通过薄透镜的变换 的性质计算出入射光束在镜面处的 波阵面半径和有效截面半径，利用上述透镜的变换公式进一步计算出 由透镜出射的波阵面半径和有效截面半径就可以得到出射光束的束腰 位臵和束腰半径，因而可以确定变换后得到的出射高斯光束
2
在满足条件 R f 和 f 1 的情况下，出射的光束聚焦于透 镜的焦点附近。如图4-17所示， 这与几何光学中的平行光通过透 镜聚焦在焦点上的情况类似。
图4-17 短焦距透镜的聚焦
6
1. 高斯光束入射到短焦距透镜时的聚焦情形
由前面的结论可得聚焦点光斑尺寸：
球面折射系统对高斯光束的变换和传输模拟
球面折射系统对高斯光束的变换和传输模拟秦华;张爽;李文瑞;魏功祥;刘云燕【摘要】为研究高斯光束在厚透镜中的传输特性,由几何光学处理傍轴光线的方法,理论上推导了高斯光束的物像束腰位置以及物像束腰半径间的关系,并由高斯光束传输光线就是单叶双曲面直母线的假设,光线追迹模拟了高斯光束在透镜系统的传输过程.模拟结果表明,当物高斯光束束腰位置与透镜系统物方焦点的距离远大于高斯光束的共焦参数时,用几何光学傍轴光线方法所得到的高斯光束束腰位置和半径的理论结果与光线追迹得到的高斯光束束腰位置和半径模拟结果一致,否则,光线追迹模拟结果不正确.【期刊名称】《大学物理》【年(卷),期】2017(036)002【总页数】8页(P11-17,54)【关键词】高斯光束;球面折射系统;光线追迹;传输模拟【作者】秦华;张爽;李文瑞;魏功祥;刘云燕【作者单位】山东理工大学理学院,山东淄博255000;山东理工大学理学院,山东淄博255000;山东理工大学理学院,山东淄博255000;山东理工大学理学院,山东淄博255000;山东理工大学理学院,山东淄博255000【正文语种】中文【中图分类】O439【DOI】10.16854/ki.1000- 0712.2017.02.004高斯光束与普通球面波具有不同的传输特性，对此，文献[1]有详细的理论证明和公式推导. 但是，如果将物、像高斯光束的束腰与几何光学中的物和像相比较，则当满足物高斯光束束腰与薄透镜的物方焦点距离远大于高斯光束的共焦参数时，可以用几何光学中处理傍轴光线的方法处理高斯光束在透镜系统中的传输问题[2,3]. 这里所说的方法主要指用高斯成像公式处理物像束腰位置以及物像束腰半径之间的关系.然而，高斯光束在厚透镜系统中传输是否也遵循以上原则，能否用光线追迹方法处理高斯光束在光学系统的传输，文献[1]却没有给出，查阅最新的文献资料也未见对此问题的相关报道.本文给出了用傍轴光线方法处理高斯光束在厚透镜光学系统中传输的理论推导，用光线追迹实例证明了物高斯光束束腰距离光学系统物方焦点较远时，光线传输模拟与理论推导很好的相符，反之，则有很大的差别.在光线追迹模拟过程中也碰到了一些局部模拟不正确但整体模拟正确的问题，并给出了粗略的解释，抛砖引玉，希望能引起读者的思考.1.1 球面波的物像矩阵和物像关系本文利用矩阵方法研究共轴球面系统的光学性质.主要通过两个物理量研究光线在系统中的传输，一是光线上某点离光轴的距离y，称为射高，另一个是光线传播方向与光轴的夹角u，称为射角.光线通过某一点的状态用(y，nu)表示，n为光线上某一点所在介质的折射率.符号规定： y在主光轴上方为正，反之为负，光线转向主光轴或平行主光轴直线形成的锐角，逆时针为正，反之为负.如图1所示，入射光线上的一点Q距离光学系统第一个面顶点的轴向距离为l，Q 点的光线状态，其出射光线上的Q′点距离系统最后一个面顶点的轴向距离为l′，Q′点的光线状态，规定l、l′在顶点左侧为负，右侧为正.则有物像转换关系的矩阵称为物像矩阵，亦称为ABCD矩阵，由式(1)可得复杂理想共轴光学系统可以用一对焦点F、F′和一对主平面H、H′来代表，如图2所示.设a点和b点的状态分别为(r1,θ1)和(r2,θ2), 则根据理想光学系统中一些典型光线的传输特性可知：r2=r1,θ2-θ1=r1/f′=-r1/f，两式合并成矩阵形式为因此，用一对焦点和一对主平面代表的复杂光学系统的传递(或变换)矩阵为其物像矩阵ABCD为设物像点状态分别为(r物,θ物)、(r像,θ像), 则由于r像与θ物无关，所以从上式中可以导出，与薄透镜的成像公式相同.1.2 出射高斯光束的束腰大小及位置计算公式高斯光束——曲率中心和曲率半径R不断改变的球面波，只要把普通球面波中的曲率半径R换为高斯光束的复参数q，那么高斯光束就与普通球面波有类似传播规律. 高斯光束的q参数定义为q参数将高斯光束传播方向上的光斑半径ω及等相位面曲率半径R两个重要参数统一在一个表达式中.假定入射高斯光束的q参数qin，输出光束的q参数qout,在薄透镜中，qout与qin满足如下关系：在厚透镜及复杂光学系统中同样满足上述关系，推导如下.如图3所示，当傍轴球面波通过焦距为f的光学系统时，其位于物像主平面H和H′上的波前曲率半径R1和R2满足关系，用ω1和ω2分别表示在物像主平面上的高斯光束光斑半径，由于物像主平面的垂轴放大率为1，所以ω1=ω2.根据高斯光束q参数定义式(7)，物像主平面上q参数分别为和，把式和ω1=ω2代入得与式(8)对比可以看出，不论在薄透镜还是在复杂光学系统中，高斯光束的q参数起着与普通球面波R 同样的作用.q参数与普通球面波的物像转换矩阵ABCD之间还满足下列关系[4-6]:设入出射高斯光束的光腰分别为ω01、ω02，光腰处光束复参数分别为q1和q2，则q1和q2满足式(10)：其中则即把式(2)中的A、B、C和D的值代入式(11)中的第二式得上式中，l为入射高斯束腰距离光学系统第一个面顶点的距离，l′为出射高斯束腰距离系统最后一个面顶点的距离，规定：l、l′在顶点左侧为负，右侧为正. 整理上式得从上式可知,已知光学系统的结构参数和入射高斯光束束腰位置l，就可以得到出射高斯光束束腰位置l′.复杂光学系统可以简化为一对焦点和一对主平面，如图2所示，其传递矩阵如式(4)，把式(4)代入到式(12)中，并令m=1，得当满足条件：式(13)变为，整理后得这正是几何光学系统中的成像公式，说明只要满足式(14)，高斯光束在复杂光学系统传输时，物像高斯光束束腰的位置可以用几何光学的成像公式决定.把式(2)中的A、B、C和D的值代入到式(11)中的第一式得整理得由上式可以计算出出射高斯光束束腰位置处的光斑半径ω02.设入射高斯光束波长λ，束腰半径为ω01，通过一焦距为f的薄透镜时，当满足式(14)时[1,7] ，可以用几何光学中处理傍轴光线的方法来处理高斯光束，式(14)中为对称共焦腔两镜的焦距，定义为入射高斯光束的共焦参数. 式(14)要求入射高斯光束束腰位置与透镜物方焦点的距离远大于高斯光束的共焦参数，即要求高斯光束束腰与透镜物方焦点相距足够远.由于/λ)2一般较小，式(14)容易满足.式(13)—式(15)已经证明，只要满足式(14)，高斯光束在厚透镜及复杂光学系统中传输也可以用几何光学中处理傍轴光线的方法来处理，这意味着满足式(14)时可以用光线追迹方法模拟高斯光束在复杂光学系统的传输.下面章节给出了用光线追迹方法模拟高斯光束在不同光学系统中传输实例，证明了物高斯光束束腰距离光学系统物方焦点较远时，光线追迹方法模拟光束传输与理论公式(12)、(15)计算结果相符，反之，则有很大的差别.高斯光束可认为是一双曲面体，由大小不同的共轴单叶双曲面构成，高斯光束的传输光线就是单叶双曲面的直母线[8]. 假定高斯束腰截面垂直于x轴，在束腰截面内按高斯分布取足够多个坐标点P0(y0，z0)，过这些坐标点的高斯光束光线沿下列两条直线传播.直线1：y=y0+z0C， z=z0-y0C， x=x直线2：y=y0-z0C， z=z0+y0C， x=x下面用以上所述方法分别模拟高斯光束在单折射球面上、单透镜上和三透镜光学系统上的传输变换过程.假定激光波长λ=1 550 nm，高斯光束的束腰半径ω01=0.031 mm，参数.2.1 高斯光束通过单个折射球面时的光路模拟单折射球面半径r=15 mm(说明：为方便，以下长度单位mm仅在图表中标出)，球面两侧折射率分别为n=1.0和n′=1.500 222. 根据几何光学理论有, 当l→∞, ，当.由此得折射面的物方焦距和像方焦距分别为f=-29.986 7，f′=44.986 7. 单个折射面的折射矩阵为，其中.代入式(12)并整理得图4是由式(19)得到的出射光束束腰与入射光束束腰之间的位置关系曲线.从图4可以看出，与薄透镜的变换曲线相类似，l′存在最大值和最小值，且有两个0点，当l=-31.934 3时，l′=391.275 0，l′达到最大值；当l=-28.038 9时，l′=-301.304 1，l′达到负最大值；l=-29.859 64和-0.127 03时，l′两次为0值；当l=0时，l′=0.189 0.与普通光束不同，当入射光束束腰位于物方焦点处，即当l=f=-29.986 7时，出射光束束腰位于像方焦点处，即l′=44.991 7.图5是入射高斯光束束腰距离单球面顶点不同距离时，用光线追迹方法模拟高斯光束经球面折射的光束传输过程. 图5(a)为l=-30时的光束模拟，用式(19)计算得l′=29.733 2，而光线模拟l′>>29.733 2, 模拟不正确，说明出射光束束腰的位置不能用光线追迹方法正确模拟出. 这是因为(l-f)2=[-30-(-29.986 7)]2<3.793 9，不符合式(14). 图5(b)、(c)中，l分别等于200、44.986 7，根据式(19)计算分别得l′=39.121 5和26.985 0. 从图中可以看出，光线模拟结果与式(19)的计算结果很好相符，这是因为此时的入射高斯束腰位置与物方焦点的距离符合式(14).用式(16)可以计算出射高斯光束束腰处的光斑半径，当 l=44.986 7，即入射高斯光束束腰位于像方焦点时，计算得到出射高斯光束束腰半径0.012 4. 图6是用光线模拟方法得到的出射高斯光束束腰光斑图，从图6中可以看出，模拟的光斑半径与用式(16)计算结果相符，说明只要符合条件(14)，就可以用光线方法模拟高斯光束在折射面上的传输.2.2 当高斯光束通过单个透镜(两个球面围成)时的光路模拟透镜两个球面半径分别为r1=15和r2=-15，两球面顶点之间距离d=3，透镜折射率为n=1.500 222. 根据几何光学理论，此透镜前后两个面的物方焦点位置和像方焦点位置分别为图7是此单透镜的基点基面示意图，透镜的物方焦距和像方焦距分别为f=-15.510 5，f′=15.510 5,.透镜的折射矩阵为，把矩阵中的各元素代入到式(12)、(16)中，可得到l′与l 、ω02与ω01 之间的关系式.图8是l′随l变化的曲线，图中曲线与单折射面和薄透镜中的l′、l曲线相似，说明球面折射系统对于高斯光束有相似的变换性质. 根据文献[1], 当光束束腰位于物方焦点附近时，其传播特性与普通光有很大区别；当光束束腰远离物方焦点时，其传输特性与普通光束近似，可以用处理普通光束折射的方法处理高斯光束.图9示出了入射高斯光束束腰距离单透镜物方焦点不同距离时，用光线追迹方法模拟高斯光束经单透镜的传输过程. 图9(a)—图9(d)是不同l时的光束传输模拟，用式(12)计算，l′分别为17.288 7、12.375 2、29.745 9、45.452 5. 图9(a)—图9(c)与计算结果相符，因为这三种情况下，入射光束束腰与透镜物方焦点的距离平方远远大于共焦参数的平方. 图9(d)的模拟结果与计算结果不符，因为(l-lF)2=[-15-(-14.476 2)]2<3.793 9.值得一提的是，图9(c)中，入射光束束腰位于球面r1顶点左侧29.986 7，正好位于透镜第一面的物方焦点上，但并不在透镜的物方焦点上，光线追迹方法模拟结果却是正确的. 如果透镜的两个面分别用光线追迹方法模拟的话，第一个面的模拟结果肯定不正确，但是对于整个透镜而言，由于(l-lF)2=[-29.986 7-(-14.4762)]2>>3.793 9，整体模拟结果却是正确的. 一般来说，局部错误会导致整体错误，但是图9(c)的局部错误为什么没有导致整体错误呢？出现这种情况的原因在2.3节中有一个大体解释.图10是l=-100时，出射光束束腰处的光斑模拟. 从模拟结果可以看出，出射光束束腰处的光强分布还是高斯分布，且束腰处的光斑半径与用式(16)计算结果0.005 6相近. 这从光强分布的角度说明满足式(14)是可以用光线追迹方法处理高斯光束经过球面折射系统的传输.2.3 当高斯光束通过三个透镜组成的系统时光路模拟三透镜系统的结构数据如表1.由系统的结构参数可以求出系统的传递矩阵S如式(20)，系统的基点如图11所示. .把式(20)代入式(12)和式(16)中，得到l′、ω02与l的一组数据如表2，其中，l=-45.946 3为入射光束束腰在三透镜系统的物方焦点上，与式(14)不相符，其余三组数据与式(14)相符.图12为高斯光束通过三透镜系统的传输模拟，从模拟结果看，(a)、(c)、(d)中束腰位置与计算结果相符，(b)中束腰位置与计算结果不符.图12(c)中的入射光束束腰位于第一个透镜的物方焦点上，但并不位于整个三镜系统的焦点上，对于第一个透镜来说不能用光线追迹方法正确模拟高斯光束在透镜中的传播，对于整个三镜系统来说却能够用光线追迹方法正确模拟高斯光束在透镜系统的传播. 按正常推理，系统中部分不能用光线追迹正确模拟，那么整体就不能用光线追迹正确模拟，但图12(c)显示局部用光线追迹方法不能正确模拟激光光束的传输，整体却能用光线追迹方法正确的模拟光束传输. 如何解释这个现象呢？本文认为，在满足式(14)时，“高斯光束传输光线就是单叶双曲面的直母线”的假设可以正确的模拟高斯光束经过透镜系统的传输特性. 图12(c)中当入射光束束腰位于第一个透镜的物方焦点上时,按光线追迹方法，光束变为一近似平行光束，此近似平行光束可以认为是束腰在无穷远处的高斯光束，对于第一个透镜以后的系统来说，此光束束腰位置又能满足式(14)，所以对于整个光学系统来说，光线追迹方法又能正确的模拟高斯光束传输特性.图13是l=-100，出射光束束腰处的光强分布模拟. 模拟结果显示，出射光束束腰处(l′=348.712 0)的光强还是高斯分布，模拟的光斑半径与用式(16)计算结果(0.045 2)在同一数量级. 但还是有所差别，本文认为这样的差别在于三镜系统存在像差，而式(16)却是近轴近似下推导出的公式，所以模拟结果与计算结果有所差别. 本文用矩阵方法推导了厚透镜系统在近轴条件下物像转换矩阵，并使由厚镜系统结构参数(r,d,n)计算物像转换矩阵程序化. 由于高斯光束q参数也遵循这个物像转换矩阵，由此导出了入射高斯光束经过球面系统折射后出射高斯光束束腰位置(l′)及束腰半径(ω02)随入射高斯光束束腰位置(l)的计算公式.用光线传输的方法模拟了高斯光束在单球面、单透镜、三透镜系统的传输过程，模拟证明了当物高斯光束束腰与透镜系统物方焦点的距离远大于高斯光束的共焦参数时，可以用几何光学中处理傍轴光线的方法处理高斯光束在透镜系统中的传输问题. 当束腰至物方焦点距离不远大于共焦参数时，模拟结果不正确.【相关文献】[1] 周炳琨，高以智，陈倜荣.激光原理[M].5版. 北京：国防工业出版社, 2014:74-88.[2] Antonín Miks, Pavel Novák. Paraxial properties of two-element zoom systems for Gaussian beam transformation[J]. Optik, 2015, 126: 4249-4253.[3] Xinyue Du, Daomu Zhao. Propagation of elliptical cosh-Gaussian beams in a misaligned optical system[J]. Optics & Laser Technology, 2008,40:194-200.[4] 吕百达. 激光光学——激光束的传输变换和光束质量控制[M].成都:四川大学出版社,1992:92-97.[5] 王彦斌，陈前荣，李华，等. 激光在高光谱相机光学系统中的传输[J]. 红外与激光工程，2015，44 (11)：3250-3255.[6] Wei Wen, Xiuxiang Chu. Propagation of symmetric tunable dual airy beam through ABCD optical system[J]. Optics Communications, 2014,333: 38-44.[7] Marcuse D.Light Transmission Optics[M]. New York: Van Nostrand Reinhold, Co., 1982:150-155.[8] 张凤生.非球面系统中高斯光束传输的数值计算[J].光学学报，2008， 28(1)：179-183.。
3.10 高斯光束的传输与透镜变换解读
若ω0→0或z →∞，则R(z) →z、 ω(z) →∞。 当光斑尺寸趋于无穷大时，波阵面上的光强分布 趋于均匀，这正是普通球面波波阵面上的均匀分布 情况，此时，高斯光束可看成是普通球面波。
一、高斯光束在空间的传输规律
定义：
1 1 i 2 q( z ) R( z ) ( z )
称q(z)为q参数，或称为高斯光束的复曲率半径。 定义q参数的好处是： ① z处R(z)与ω(z)两个参数可用一个参数q(z)表示，
即：
1 1 1 q1 q2 F
这与几何光学成像公式在形式上是相同的。
例题
例题1： 某高斯光束波长为3.14微米，束腰半径 为1mm。 求：距离束腰右方50cm处的 （1）q参数； （2）光斑半径和等相位面曲率半径。
例题
例题2： 某高斯光束波长为3.14微米，在某处光 斑半径为1mm，等相位面曲率半径0.5m。 求：此高斯光束 （1）在该处的q参数； （2）束腰半径及位置。
3.10 高斯光束的传输与透镜变换
一、高斯光束在空间的传输规律
1. 普通球面波
R( z1 ) z1 R ( z2 ) z2
即球面波的波前曲率半径R等于传输距离Z。
R( z2 ) R( z1 ) ( z2 z1 )
一、高斯光束在空间的传输规律
2. 高斯光束
2 f2 1 0 R( z1 ) z z ( )2 z z z 2 2 2 ( z ) 0 1 ( ) 0 1 z ( 2 ) f 0
区别：如果将入射光束的腰看作物点。 按照几何光学成像规律，如l=u=F，则l’=v=∞； 按照高斯光束成像规律，如l=F，则l’=F。
二、高斯光束通过薄透镜的变换
高斯光束的传输与变换
L g2 g1 1 g1 g 2
14
L R R2 L s2 LR2 L R1 R2 L
2 2
14
L g1 g 2 1 g1 g 2
14
谐振频率
高斯光束的传输与变换
方形球面镜共焦腔的行波场
2 2 w0 Emn x, y, z Amn E0 Hm x H n y e wz wz wz
式中
x2 y2 w2 ( z )
e imn x , y , z
2 w z w0 1 z z R z x2 y2 x, y, z k z mn m n 1 z 2 R( z ) R
变换公式的应用
高斯光束的准直与聚焦
2
2 f 2 0
f
l1
2
2 0
2
2 0 l1 f l1 f 2 l1 f f l2 f 2 2 2 2 f l1 2 0 l1 f 2 0
mnq
c 1 q m n 1 arc cos 2 L
远场发散角
一般稳定球面腔的基模发散角为 : λ λ 2( 2 L R1 R2 )2 θ0 2 2[ 2 ]1/ 4 fπ π L(R1 L)(R2 L)(R1 R2 L) λ ( g1 g 2 2 g1 g 2 ) 2 1/ 4 2 [ ] πL g1 g 2 (1 g1 g 2 )
高斯光束的传输变换学习笔记
0
1
R1( z ) o
当球面波通过焦距为F的薄透镜时，其波前
z1
R2(z)
z2 z
曲率半径满足：
L
1 1 1 R2(z) R1(z) F
R2(z)
R1 R1 / F
1
1
1/
F
0
1
F
将上面两式与光线矩阵相比较可以得到球面
波的传播规律：
R2(
z)
AR1( z ) CR1( z )
B D
R1(z)
R2
i
2 1
R2为等相位面曲率半径，由球面 波球率半径的变换公式可得：
1 R1
1 F
i
2 1
1 q1( z )
1 F
高斯光束通过薄透镜的传输
通过将上面推出的公式同球面波的传播特性公式相比较，
可以看到无论是在对自由空间的传播或对通过光学系统的 变换，高斯光束的q参数都起着和普通球面波的曲率半径R 相同的作用，因此有时将q参数称作高斯光束的复曲率半 径；
高斯光束通过光学元件时q参数的变换规律可以类似的用
光线矩阵表示出来：
q2(
z)
Aq1( z ) Cq1( z )
B D
由前面的讨论我们知道可以用q参数描述一个高斯光束的
具体特征，而且可以通过q参数和ABCD法则很方便的描述
一个高斯光束在通过光学元件时的传输规律，因此我们将
主要采用q参数来分析薄透镜高斯光束传输问题。
2
1
高斯光束的ABCD法则
3、用q参数表示
1 由q参数的定义： q(z)
1 R(z)
i
2(可z ) 知q参数将R(z)和ω(z)联系在一起了，
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二、高斯光束通过薄透镜的变换
联系：如果ω0→0（即f→0），或（l-F）2＞＞f2，
则有： l ' F F 2 lF F 2 F 2 lF
lF
lF
lF
即：
1 lF 1 1 l ' lF F l
1 1 1 l l' F
这正是几何光学成像公式。
（l-F）2＞＞f2，意味着物高斯光束束腰与透镜后焦 面相距足够远。
1. 普通球面波
V的符号规定： 如果像点在透镜右方，v取正号； 如果像点在透镜左方，v取负号。 一个薄透镜的作用，是将距它u处的物点O聚成像
点O’，u与v满足： 1 1 1 uv F
二、高斯光束通过薄透镜的变换
1. 普通球面波 由于R1=u，R2=-v，则有：
111
R1 R2 F
一个薄透镜的作用，是将它左侧的曲率半径 为R1的球面波改造成右侧的曲率半径为R2的球面 波，R1与R2满足上式。
(z) 0
1 (
z )2 f
0
1
z
2
(02
)2
可见：
①高斯光束R(z)的变化规律与普通球面波不同；
②对高斯光束，除R(z)的变化，还有ω(z)的变化。
一、高斯光束在空间的传输规律
2. 高斯光束
R(z1)
z
f2 z
z 1 (02 )2 z
(z) 0
1 (
z f
)2
0
1 z2( )2 02
一、高斯光束在空间的传输规律
即：
q(z) q(0) z q(z1) q(0) z1 q(z2 ) q(0) z2 q(z2 ) q(z1) (z2 z1)
与普通球面波在形式上是相同的。
二、高斯光束通过薄透镜的变换
1. 普通球面波
R1 O
物
u
R2
O’
F
像
v
11 1 uv F
二、高斯光束通过薄透镜的变换
3.10 高斯光束的传输与透镜变换
一、高斯光束在空间的传输规律
1. 普通球面波
R(z1) z1 R(z2 ) z2
即球面波的波前曲率半径R等于传输距离Z。
R(z2 ) R(z1) (z2 z1)
一、高斯光束在空间的传输规律
2. 高斯光束
R(z1) z
f2 z
z 1 (02 )2 z
由于高斯光束与普通球面波既有区别，又有
联系，因此由上两式所表示的物像关系也应具有这 个特点。
二、高斯光束通过薄透镜的变换
2. 高斯光束
l
'
FLeabharlann (l F)F (l F )2
2
f
2
0 ' 0
F (l F )2 f 2
区别：如果将入射光束的腰看作物点。 按照几何光学成像规律，如l=u=F，则l’=v=∞； 按照高斯光束成像规律，如l=F，则l’=F。
二、高斯光束通过薄透镜的变换
2. 高斯光束
11 1 R1 R2 F
1 2 (薄透镜)
R1
l
f2 ,
l
f
02 ;
R2
(l '
f '2 ),
l'
f
'
0'2
1 0
1
l f
2 ;
2 0'
1
l ' 2
f
'
二、高斯光束通过薄透镜的变换
2. 高斯光束
一般的问题是： 已知：ω0，l，F。 求： ω0’，l’。
若ω0→0或z →∞，则R(z) →z、 ω(z) →∞。
当光斑尺寸趋于无穷大时，波阵面上的光强分布 趋于均匀，这正是普通球面波波阵面上的均匀分布 情况，此时，高斯光束可看成是普通球面波。
一、高斯光束在空间的传输规律
定义：
1 q(z)
1 R(z)
i
2 (z)
称q(z)为q参数，或称为高斯光束的复曲率半径。
二、高斯光束通过薄透镜的变换
2. 高斯光束
解方程组，得：
l
'
F
(l F)F (l F )2
2
f
2
0 ' 0
F (l F )2 f 2
二、高斯光束通过薄透镜的变换
2. 高斯光束
l
'
F
(l F)F (l F )2
2
f
2
0 ' 0
F (l F )2 f 2
上两式表示物方高斯光束与像方高斯光束之间 的关系。
定义q参数的好处是：
① z处R(z)与ω(z)两个参数可用一个参数q(z)表示，
已知q(z)， R(z)与ω(z)就知道了。
1 R(z)
Re
1 q(z)
2 (z)
Im
1
q(z)
一、高斯光束在空间的传输规律
1 q(z)
1 R(z)
i
2 (z)
② q的变化规律与普通球面波R的变化规律相同。
二、高斯光束通过薄透镜的变换
如果用q参数（复曲率半径）描述，则有：
1 q2
1 R2
i
22
1 ( R1
1 F
)
i
22
(
1 R1
i
12
)
1 F
即：
11 1
q1 q2 F
这与几何光学成像公式在形式上是相同的。
例题
例题1： 某高斯光束波长为3.14微米，束腰半径 为1mm。 求：距离束腰右方50cm处的
（1）q参数； （2）光斑半径和等相位面曲率半径。
例题
例题2： 某高斯光束波长为3.14微米，在某处光 斑半径为1mm，等相位面曲率半径0.5m。 求：此高斯光束
（1）在该处的q参数； （2）束腰半径及位置。
例题
例题3： 某高斯光束波长为3.14微米，在某处q参 数为q=1+i（m）。 求：（1）此高斯光束束腰半径及位置；
（2）该处光斑半径及等相位面曲率半径。
例题
例题4： 某高斯光束焦参数为f=1m，将焦距F=1m 的凸透镜置于束腰右方l=2m处， 求：经过透镜变换后的像光束的焦参数f’及其束腰 距透镜的距离l’。
谢谢观看！ 2020