七年级上册 数学笔记

数学 七年级上册 第一章 有理数 （一）正数和负数 1.像3,2,1.8%这样大于0的数叫正数。像-3，-2，-2.7%这样在正数前面加上负号“—”的数叫负数。根据需要，有时在正数前面加上“+”（正）号。 2.数0既不是正数，也不是负数。把0以外的数分为正数和负数，起源于表示两种相反意义的量。0是正数与负数的分界。0℃是一个确定的温度，海拔0表示海平面的平均高度。0的意义已不仅是表示“没有”。 3.中国古代用算筹（表示数的工具）进行计算，红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数。 4.在同一个问题中,分别用正数与负数表示的量具有相反的意义。 （二）有理数 1.所有正整数组成正整数集合，所有负整数组成负整数集合。 2.正整数、0、负整数统称整数。 3.整数可以看作分母为1的分数。正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。 4.分数可以看成两个整数的比的数。例如，分数2∕3是2与3的比；整数5可以看作分母为1的分数5∕1。 （三）数轴 1.一般地，在数学中，人们用画图的方式把数“直观化”。通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足一下要求： （1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点； （2）通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向,从原点向左(或下)为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2,3，…；从原点向左，用类似方法依次表示-1，-2，-3，… 分数或小数也可以用数轴的点表示,例如从原点向右6.5个单位长度的点表示小数6.5,从原点向左3∕2个单位长度的点表示分数-3∕2。 归纳:一般地,设a是一个正数,则数轴上表示数a的点在原点的右边,与原点的距离是一个单位长度;表示数-a的点在原点的左边,与原点的距离是一个单位长度。 （四）相反数 1.一般地，设a是一个正数,数轴上与原点的距离是a的点有两个,它们分别在原点左右,表示-a和a,我们说这两点关于原点对称。 · · · · · · · ＞ 2.像2和-2,5和-5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。这就是说，2的相反数是-2，-2的相反数2；5的相反数是-5，-5的相反数是5。 3.一般地，a和-a互为相反数。特别地，0的相反数仍是0。 4.容易看出，在正数前面添上“―”号，就得到这个正数的相反数。在任意一个数前面添上“―”号，新的数就表示原数的相反数。例如，—（+5）=―5，—（—5）=+5，—0=0。 （五）绝对值 1.一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值,记作[a]。（这里的数a可以是正数、负数和0） 2.由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 （1)当a是正数时,[q]=a;(a>0) (2)当a是负数时,[a]=-a;(a<0) (3)当a=0时,[a]=a. 3.任意两个有理数比较大小。数学中规定:在数轴上表示有理数,它们从左到右的顺序,就是从小到大的顺序,即左边的数小于右边的数。 由这个规定可知：-6<-5,-5<-4,-4<-3,-2<0,-1<1,… (1)正数大于0,0大于负数,正数大于负数; (2)两个负数,绝对值大的反而小。 例如,1>0,0>-1,1>-1,-1>-2。 4.异号两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们的 。 （六）有理数的加减法 1.利用数轴，求以下情况时物体两次运动的结果： （1）先向右运动3m，再向左运动5m，物体从起点向 左 运动了 2 m； （2）先向右运动5m，再向左运动5m,物体从起点向 原地不动 运动了 0 m； （3）先向左运动5m，再向右运动5m，物体从起点向 运动了 0 m。 考虑有理数的运算结果时，既要考虑它的符号，又要考虑它的 。 2.有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数。 先定符号，再算绝对值 3.有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。 加法交换律：a+b=b+a 有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 加数结合律：（a+b)+c=a+(b+c) （七）有理数的减法 1.有理数的减法可以转化为加法来进行。 2.有理数减法法则： 减去一个数，等于加这个数的相反数。a-b=a+(-b) 3.归纳：引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算。a+b-c=a+b+（-c) (八）有理数的乘除法 1.有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数同0相乘，都得0,。 2.有理数相乘，先确定积的 ，再确定积的 。 3.有理数中仍然有，乘积是1的两个数互为倒数。 4.几个不是0的数相乘，负因素的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。 5.一般地，有理数乘数中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。 乘法交换律：ab= ba 。 6.三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相乘。 乘法结合律：（ab)c= a(bc) 。 7.一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。 分配律：a(b+c)=ab+ac 注：a×b也可以写为a·b或ab。当用字母表示乘数时，“×”号可以写为“·”或省略。 （九）有理数的除法 1.有理数的除法法则: 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。这个法则也可以表示：a÷b=a·1/b(b不等于0）。 2.从有理数除法法则，容易得出： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。 注：分数可以理解为分子除以分母 3.因为有理数的除法可以化为乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算。乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 4.有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行。 （十）有理数的乘方 1.5有理数的乘方 1.5.1乘方 边长为a的正方形的面积是a·a，棱长为a的正方形的体积是a·a·a. a·a简记作a2，读作a的平方（或二次方）； a·a·a简记作a3，读作a的立方（或三次方）。 一、一般地，n个相同的因数a相乘，即a·a·a……·a,记作an，读作a的n次方。 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在an中，a叫做底数，n叫做指数，当an看做a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂。 二、一个数可以看做这个数本身的一次方。例如，5就是51，指数1通常省略不写。 因为an就是n个a相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算。 三、根据有理数的乘方法则可以得出： 1. 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 2. 正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。 四、做有理数的混合运算时，应注意一下运算顺序： 1. 先乘方，再乘除，最后加减； 2. 同级运算，从左到右进行； 3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 1.5.2科学记数法 一、一般地，10的n次幂等于10…0（在1的后面有n个0），所以可以利用10的乘方表示一些大数，例如567 000 000=5.67×108，读作5.67乘10的8次方（幂）。这样不仅书写简单，而且便于读数。 像上面这样，把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数），使用的是科学记数法。 注意：科学记数法表示一个n位整数，其中10的指数是n-1. 1.5.3近似数 在许多情况下，很难取得准确数，或者不必使用准确数，而可以使用近似数。例如，宇宙现在的年龄约为200亿年，长江长约6300千米，圆周率π约为3.14，这些数都是近似数。 近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示。例如，前面的五百世精确到百位的近似数，它与准确数513的误差是13. 从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。

第一章 小结 加法 1.知识结构图： 有理数 有理数的运算 第二章 整式的加减 2.1整式 乘 式子100t，6a2，a3，2.5x,vt,-n,它们都是数或字母的积，像这样的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。例如，单项式100t，Vt,-n的系数分别是100,1,1，-1.单项式表示数字与字母相乘时，通常把数字写在前面。 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。例如，在单项式100t中，字母t的指数是1,100t是一次单项式；在单项式Vt中，字母v与t的指数的和是2，vt是二次单项式。 像这样，几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。例如，自多项式2x-3中，2x和-3是它的项，其中-3是常数项；在多项式x2+2x+18中，它的项分别是x2,2x和18，其中18是常数项。 多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。例如，多项式2x-3中次数最高的项是一次项2x,这个多项式的次数是1；多项式x2+2x+18中次数最高的项是二次项x2，这个多项式的次数是2。 单项式与多项式统称整式。例如，上面见到的单项式100t,6a2,vt,-n,以及多项式2x-3,3x+5y+2Z等都是等式。 2.2整式的加减 (1）100t-252t=（）t; (2) 3x2+2x2=()x2; (3) 3ab2-4ab2=()ab2. 对于上面的（1）（2）（3），利用分配律可得： 100t-252t=(100-252)t=-152t, 3x2+2x2=(3+2)x2=5x2, 3ab2-4ab2=(3-4)ab2=-ab2. 观察（1）中的多项式的项100t和-252t，他们含有相同字母t，并且t的指数都是1；（2）中的多项式的项3x2和2x2，它们含有相同的字母x，并且x的指数都是2；（3)中的多项式的项3ab2与-4ab2，他们都含有字母a,b,并且a都是一次，b都是二次。所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。 因为多项式中的字母表示的是数，所以我们也可以运用交换律、结合律、分配律把多项式中的同类项进行合并。例如，、 4x2+2x+7+3x-8x2-2 =4x2-8x2+2x+3x+7-2 (交换律） =(4x2-8x2)+(2x+3x)+7-2 (结合律） =(4-8)x2+(2+3)x+(7-2) （分配律） =-4x2+5x+5 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项后，所得项的系数是合并前