第九章 第三节 直线和平面垂直、平面和平面垂直

第九章第三节直线和平面垂直、平面和平面垂直
1．如图在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，
则C1在底面ABC上的射影H必在()
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
解析：由AC⊥AB，AC⊥BC1，得AC⊥平面ABC1，AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，C1在面ABC上的射影H必在两平面交线AB上．
答案：A
2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是() A．AB∥m B．AC⊥m
C．AB∥βD．AC⊥β
解析：如图所示：
AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β.
答案：D
3．m、n是空间两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下面四个命题中，真命题
的序号是________．
①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n；
②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β；
③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β；
④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β.
解析：①显然正确；②错误，n还可能在β内；③错误，n可能与β相交但不垂直；④正确．
答案：①④
4.设a、b、c() A．c⊥α，若c⊥β，则α∥β
B．b⊂α，c⊄α，若c∥α，则b∥c
C．b⊂β，若b⊥α，则β⊥α
D．b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥c，则b⊥a
解析：C选项的逆命题为b⊂β，若β⊥α则b⊥α.不正确，因为根据平面垂直的性质定理，如果两个平面垂直，其中一个平面内的直线只有垂直交线的才垂直另一个平面．答案：C
5．三棱锥P－ABC中∠ABC＝90°，P A＝PB＝PC，则下列说法正确的是() A．平面P AC⊥平面ABC
B．平面P AB⊥平面PBC
C．PB⊥平面ABC
D．BC⊥平面P AB
解析：如图，因为∠ABC＝90°，P A＝PB＝PC，所以点P
在底面的射影落在△ABC的斜边的中点O处，
所以PO⊥平面ABC.
又∵PO⊂平面P AC，
∴平面P AC⊥平面ABC.
答案：A
6．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下列结论中不．成立的是() A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面P AE
C．平面PDF⊥平面ABC D．平面P AE⊥平面ABC
解析：如图所示，
∵DF∥BC，∴BC∥平面PDF.
∴A正确；
连接AE、PE，则AE⊥BC，PE⊥BC.
所以BC⊥平面P AE.
∵BC∥DF，∴DF⊥平面P AE，故B正确；
∵BC⊥平面P AE，∴平面ABC⊥平面P AE.
答案：C
7.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各
边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平
面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
解析：由三垂线定理可知，BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.
答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)
8.如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面为正方形，
O1、O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD的射
影是O.
(1)求证：平面O1DC⊥平面ABCD；
(2)若点E、F分别在棱AA1、BC上，且AE＝2EA1，问点F在何处时，EF⊥AD. 解：如图，(1)证明：连结AC，BD，A1C1，则O为AC、BD的交点，
O1为A1C1、B1D1的交点．
由平行六面体的性质知：A1O1∥OC，且A1O1＝OC，
∴四边形A1OCO1为平行四边形，
∴A1O∥O1C.
∵A1O⊥平面ABCD，∴O1C⊥平面ABCD.
又∵O1C⊂平面O1DC，∴平面O1DC⊥平面ABCD.
(2)作EH⊥平面ABCD，垂足为H，则EH∥A1O，点H在直线AC上，且EF在平面ABCD上的射影为HF.
由三垂线定理及其逆定理，知EF⊥AD，∴HF∥AB，
∵AE＝2EA1，∴AH＝2OH，从而CH＝2AH.
又∵HF∥AB，∴CF＝2BF，
从而EF⊥AD⇒CF＝2BF，
∴当F为BC的三等分点(靠近B)时，有EF⊥AD.
9. 如图所示，△
且EC＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：
(1)DE＝AD；
(2)平面BDM ⊥平面ECA ；
(3)平面DEA ⊥平面ECA .
证明：(1)取EC 的中点F ，连结DF .
∵EC ⊥平面ABC ，∴EC ⊥BC .
又∵BD ∥EC ，EC ＝2BD ，
∴EF ＝12
EC ＝BD . DF ＝BC ＝AB ，且DF ⊥EC .
∴Rt △EFD ≌Rt △DBA ，
∴DE ＝DA .
(2)取CA 的中点N ，连结MN 、BN .
则MN 綊12EC ，又BD 綊12
EC ， ∴MN 綊BD .
∵EC ⊥平面ABC ，
∴EC ⊥BN .又BN ⊥CA .
∴BN ⊥平面EAC .
又BN ⊂平面BDM ，
∴平面BDM ⊥平面EAC .
(3)∵由(2)知DM ∥BN ，BN ⊥平面ECA ，
∴DM ⊥平面ECA
∵DM ⊂平面DEA ，
∴平面DEA ⊥平面ECA .
10．(2010·南京师大附中期中)如图，A ，B ，C ，D 为空间四点，在
△ABC 中，AB ＝2，AC ＝BC ＝2，等边三角形ADB 以AB
为轴转动．
(1)当平面ADB ⊥平面ABC 时，求CD 的长；
(2)当△ADB 转动时，是否总有AB ⊥CD ？证明你的结论．
解：取AB 的中点E ，连接DE ，CE ，因为△ADB 是等边
三角形，所以DE ⊥AB 。

当平面ADB ⊥平面ABC 时，
因为平面ADB ∩平面ABC ＝AB ，
所以DE ⊥平面ABC ，可知DE ⊥CE ，
由已知可得DE ＝3，EC ＝1，在Rt △DEC 中，CD ＝DE 2＋EC 2＝2.
(2)①当D 在平面ABC 内时，因为AC ＝BC ，AD ＝BD ，所以C ，D 都在线段AB 的 垂直平分线上，即AB ⊥CD .
②当D不在平面ABC内时，由①知AB⊥DE。

又因AC＝BC，所以AB⊥CE。

又DE，CE为两条相交直线，所以AB⊥平面CDE，又CD⊂平面CDE，则AB⊥CD. 综上所述，AB⊥CD。