浙江省诸暨市2012-2013学年第一学期高三期末考试文科数学试题
数学理卷·2013届浙江省诸暨中学高三上学期期中考试(2012.11)
诸暨中学2012学年第一学期期中考试高三数学（理科）试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数()i i1ia b+=-（其中,a b∈R，i是虚数单位），则a b+的值为A．2-B．1-C．0 D．22．函数2,231,1x xyx x⎧>=⎨-+<⎩定义域为A.(,1)-∞ B. (2,)+∞ C. (1,2) D. (,1)(2,)-∞+∞U3．“2a=”是“函数()2xf x ax=-有零点”的．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．对两条不相交的空间直线a和b，则A．必定存在平面α，使得,a bαα⊂⊂B．必定存在平面α，使得,//a bαα⊂5．函数|sintan|sintan xxxxy-++=在区间(2π，23π)内的图象大致是C．必定存在直线c，使得//,//a cbc D．必定存在直线c，使得//,a cb c⊥A B C D6．已知两个非零向量a与b，定义sinθ⨯=a b a b，其中θ为a与b的夹角．若()3,4-a=，()0,2b=，则⨯a b的值为A．8-B．6-C．8 D．67．已知,1,=>abba则baba-+22的最小值是（）．A 22 B 2 C 2 D 18．已知等比数列{}na中，各项都是正数，且2312,21,aaa成等差数列，则8967a aa a++等于A．21+ B. 21- C. 223+ D. 223-9．抛物线24y x=的焦点为F，准线l与x轴相交于点E，过F且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AB l⊥，垂足为B，则四边形ABEF的面积等于A．33B．43C．63D．8310．设函数)2,(1)(≥∈-+=+nNnxxxf n.则)(xf在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内A．不存在零点B．存在唯一的零点nx,且数列23,,,nx x xL L单调递增C．存在唯一的零点nx,且数列23,,,nx x xL L单调递减D．存在唯一的零点nx,且数列23,,,nx x xL L非单调数列二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分11．正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的体积为▲12．如图，已知ABCDEF是边长为1的正六边形，则()BA BC CF⋅+u u u r u u u r u u u r的值为▲第11题第12题13．已知0ω>，函数()sin()4f x xπω=+在(,)2ππ上单调递减,则ω的取值范围是▲14．若点P在直线1:30l x my++=上，过点P的直线2l与圆22:(5)16C x y-+=只有一个公共点M，且||PM的最小值为4，则m=▲15．按如右图所示的程序框图运算，若输入2x=，则输出k的值是▲16．设()g x是定义在R上以1为周期的函数，若()()f x xg x=+在区间[0,1]上的值域为[2,5]-，则()f x在区间[0,3]上的值域为▲17．设双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的右顶点A，x轴上有一点(2,0)Q a，若双曲线上存在点P，使AP PQ⊥，则双曲线的离心率的取值范围是▲三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18． (本小题满分14分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且(2)cos cos b A C =． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若54cos ,1==B a ，求ABC ∆的面积．19. (本小题满分14分)已知公差不为零的等差数列{}n a 与等比数列{}n b 中，1122351,,b a b a b a ====。
数学文卷·2014届浙江省诸暨市高三上学期期末考试(2014.01)word版
2014届高三上学期期末数学文2014.02.27 编辑：宁海正学中学——王峰班级 姓名 学号 一、选择题1．已知i 为虚数单位，则=+ii12 ( ) A ．i +-1 B ．i --1 C ．i +1 D ．i -1 2．已知全集,{0,1,2},{|2,}U N A B y y x x A ====∈，则图中 的阴影部分所表示的集合等于 ( )A ．{0}B ．{2}C ．{4}D ．{2,4}3．已知数列{}n a 通项公式为(2)nn a =-，则在数列{}n a 的前10项中随机抽取一项，该项不小于8的概率是 ( )A ．310 B ．25 C ．12D ．35 4．已知0>a ，y ,x 满足约束条件2323x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，若y ax z +=的最小值为1，则=a ( )A ．13B ．12C ．1D ．25．已知βα,是不同的平面，m 是直线，且β⊄m ，则下列三个命题①α⊥⇒ββ⊥αm //m , ②β⇒α⊥β⊥α//m m ,；③β⊥α⇒βα⊥//m ,m ．其中正确的是 ( ) A ．① B ．② C ．③ D ．②③ 6．已知函数()2cos(2),(||,)2f x x x R πϕϕ=+<∈的图像的一部分如图所示，为了得到函数()f x 的图像，只要将函数()2cos 2g x x =的图像上所有的点 ( )A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度 C ．向左平移3π个单位长度 D ．向右平移3π个单位长度7．“关于x 的不等式a xx >+1在区间1[,2]2内至少有一个解”第12是“2a <”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知,满足：222=⋅==||||，若,+-的夹角为2π，则max ()c a ⋅=r r ( )A ．32B ．132+C ．312+D ．314+9．设F 双曲线22221x y a b-=的右焦点，A 为其左顶点，过F 作双曲线渐近线的垂线，垂足为P ，若AP 的斜率为31，则双曲线的离心率为 ( ) A ．54B 5C 2D 310．已知20π<<y ,x ，且x cos x y sin = ，则对于满足条件的y ,x ，下列四个不等式选项中，一定不可能成立的是( )A ．04y x π<<< B ．43y x ππ<<<C ．32y x ππ<<<D ．0,432y x πππ<<<<二、填空题11．某学校高中三个年级的学生数分别为高一950人，高二1000人， 高三1050人，现要调查该学校学生的视力情况，用分层抽样方法，从中抽取容量为60的样本，则从高一年级中应抽取的人数为________． 12．阅读程序框图，动物相应的程序，输出x 的值为________． 13．某箱形几何体的三视图如图(侧视图中的圆弧是半圆)，则该几何体的体积为________．14．设函数()f x 的定义域为R ，周期为6的奇函数，且当(0,3)x ∈时，3()=2log (1)x f x x ++ 则(2014)f =________．15．直线20x ay -+=将圆2224130x y x y +-+-=分成两段弧，其中较短的一段弧 所对圆心角为2π，则=a ________． 16．已知关于x 的方程2|4|=c(,c>0)x x b b -+恰有不同三个根321x ,x ,x ，且6321=++x x x 则=+c b ________．17．在直角ABC ∆中，36π=π=B ,A ，点P ABC ∆内，232π=∠π=∠BPC ,APC ， 设α=∠PCA ，则=αtan ________．三、解答题18．设函数()sin 2cos(2)6f x x x π=--．(1) 求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值；(2) 设α是锐角，3()245f απ+=，求sin α的值．19．等差数列{}n a 中，011>=d ,a ，且它的第2项，第5项，第14项成等比，分别是 等比数列{}n b 的第2项，第3项，第4项．(1) 求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； (2) 设数列{}n c 对任意*N n ∈均有n nn a b c b c b c =+⋯++2211成立，求12(2)n c c c n +++≥…．20．如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，点1A 在底面ABC 上的射影恰好是AB 的中点O ， 底面ABC 是正三角形，其重心为G 点，D 是BC 中点，D B 1交1BC 于E ．(1) 求证：//GE 侧面B B AA 11；(2) 若AB AA =1，求直线1BC 与底面ABC 所成角．21．已知函数322()2912,(0)f x x ax a x a =-+>．(1) 若1=a ，问函数()f x 图像过原点的切线有几条？求出切线方程； (2) 求函数()f x 在区间[0,2]内的最大值．22．已知抛物线x y 42=的焦点F ，过F 作直线l 交抛物 线于(,),(,)A A B B A x y B x y 两点，其中点A 在x 轴上方．(1) 求B A y y 的值，当8=|AB |时，求直线l 的方程； (2) 设(1,0)P -，求证：直线PB ,PA 的斜率之和为0；(3) 设(2,0),Q AQ的延长线交抛物线于C，BC的中点为D，当直线DF在y轴上的截距的取值范围是2(,2)3，求的Ay取值范围．2014届高三上学期期末试卷数学（文科）参考答案。
浙江省诸暨中学2011届高三上学期期末考试数学试题(文)AnllMU
浙江省诸暨中学2011届高三上学期期末考试英语试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将机读答题卡和主观题答题卷一起交上。
第Ⅰ卷（三部分共110分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名和考号用黑色字迹的签字笔或钢笔写在试卷密封线内。
在机读答题卡上也写上自己的姓名和准考证号，用2B铅笔按正确“填涂要求”在指定地点涂上准考证号及科目类型。
特别是考号千万不能涂错，否则读卡机无法识别。
2．每小题选出后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试卷上。
保持答题卡整洁，不要折整、弄破弄皱。
第一部分：听力（满分30分）做题时，先将答案划在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1．What’s the possible relationship between the man and woman?A．Teacher and student.B．Receptionist（接待员）and customer.C．Hushand and wife.2．What are the two speakers talking about?A．Men’s football.B．The position of Iranian（伊朗）women.C．The modern society.3．What problem does the man come across in the reading passage?A．Too difficult grammar. B．Uninteresting contest. C．Too many new words.4．What class is this?A．Chemistry. B．History. C．Language.5．Where are the two speakers most probably working?A．At the post office. B．At a supermarket. C．At a newspaper office.第二节（共15小题；每题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
数学_2012-2013学年安徽省示范高中高三(上)第一次联考数学试卷(文科)(含答案)
2012-2013学年安徽省示范高中高三（上）第一次联考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集U=R，集合M={x|y=√1−x2}，则∁U M=()A {x|−1<x<1}B {x|−1≤x≤1}C {x|x<−1或x>1}D {x|x≤−1或x≥1}2. 函数f(x)=lgx+√2−x的定义域是（）A (0, 2)B [0, 2]C [0, 2)D (0, 2]3. 设函数f(x)={x 2+1,x≤1lnx,x1，则f（f(e)）＝（）A 0B 1C 2D ln(e2+1)4. “函数f(x)=ax2+2x−1只有一个零点”是a=−1的（）A 必要不充分条件B 充分不必要条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件5. 函数f(x)=1+11−x的图象是（）A B C D6. 下列函数中既是偶函数，又在区间(0, 1)上是减函数的是（）A y=|x|B y=−x2C y=e x+e−xD y=cosx7. 如果函数f(x)=x2+2(a−1)x+2在(−∞, 4]上是减函数，那么实数a取值范围是()A a≤−3B a≥−3C a≤5D a≥58. 已知集合A={0, 1, 2, 3}，集合B={(x, y)|x∈A, y∈A, x≠y, x+y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A 3B 6C 8D 109. 若抛物线y=x2在点(a, a2)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为16，则a=()A 4B ±4C 8D ±810. 函数f(x)=x13−12x的零点所在区间是（）A (0,16) B (16，13) C (13，12) D (12，1)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置．11. 命题“若x>y，则x2>y2−1”是否命题是________．12. 安徽省自2012年7月起执行阶梯电价，收费标准如图所示，小王家今年8月份一共用电410度，则应缴纳电费为________元（结果保留一位小数）．13. 要使函数f(x)=log1(x−m)的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围是________．2)=4，则f(2012)的值为________．14. 已知函数f(x)=alog2x+blog3x+2，且f(1201215. 若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象和直线y=x无交点，现有下列结论：①方程f[f(x)]=x一定没有实数根；②若a>0，则不等式f[f(x)]>x对一切实数x都成立；③若a<0，则必存存在实数x0，使f[f(x0)]>x0；④若a+b+c=0，则不等式f[f(x)]<x对一切实数都成立；⑤函数g(x)=ax2−bx+c的图象与直线y=−x也一定没有交点．其中正确的结论是________（写出所有正确结论的编号）．三、解答题（共6小题，满分75分）16. 设命题p：|x−4|≤6；命题q：x2−2mx+m2−1≤0．若“￢q”是“￢p”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．>0的解集为集合A，关于x的不等式x2+(2a−3)x+a2−3a+2<0的17. 设不等式4−xx−2解集为集合B．（1）若A⊇B，求实数a的取值范围；（2）若A∩B=⌀，求实数a的取值范围．x2+2x+klnx，其中k≠0．18. 设函数f(x)=12（1）当k>0时，判断f(x)在(0, +∞)上的单调性；（2）讨论f(x)的极值点．19. 设函数f(x)=ln kx−1．x−1（1）当k=−1时，判断f(x)的奇偶性并给予证明；（2）若f(x)在[e, +∞)上单调递增，求k的取值范围．20. 某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时，C(x)=年产量不足80千件时，C(x)=13−1450（万元）．现已知此商品每件售价为500元，且该厂年内生产此商品能全51x+10000x部销售完．（1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？21. 已知函数f(x)=ax+b在点M(1,f(1))处的切线方程为x−y−1=0．x2+1（1）求f(x)的解析式；（2）设函数g(x)=lnx，证明：g(x)≥f(x)对x∈[1, +∞)恒成立．2012-2013学年安徽省示范高中高三（上）第一次联考数学试卷（文科）答案1. C2. D3. C4. A5. B6. D7. A8. C9. B10. C11. 若x≤y，则x2≤y2−1．12. 258.313. (−∞, −1]14. 015. ①②④⑤16. 解：由p:|x−4|≤6，解得−2≤x≤10，∴ “￢p”：A=(−∞, −2)∪(10, +∞)．…由q:x2−2mx+m2−1≤0，解得：m−1≤x≤m+1∴ “￢q”：B=(−∞, m−1)∪(m+1, +∞)…由“￢q”是“￢p”的充分不必要条件可知：A⊆B．…∴ {m−1≥−2m+1≤10解得−1≤m≤9．∴ 满足条件的m的取值范围为[−1, 9]．…17. 解：由题意，集合A={x|4−xx−2>0}={x|2<x<4}，…集合B={x|(x+a−2)(x+a−1)<0}={x|1−a<x<2−a}．…（1）若A⊇B，则{1−a≥22−a≤4，可得−2≤a≤−1．所以当−2≤a≤−1时，关系式⊇B成立．…（2）要满足A∩B=⌀，应满足2−a≤2或1−a≥4，所以a≥0或a≤−3．综上所述，a≥0或a≤−3时，A∩B=⌀．…18. 解：f′(x)=x+2+kx =x2+2x+kx=(x+1)2+k−1x…（1）当k>0时，f′(x)=x+2+kx>0在(0, +∞)恒成立，所以f(x)在(0, +∞)上单调递增．…（2）函数的定义域是(0, +∞)．令f′(x)=(x+1)2+k−1x=0，得(x+1)2=1−k≥(0+1)2=1，所以当k>0时，f′(x)=0在(0, +∞)没有根，f(x)没有极值点；当k <0时，f′(x)=0在(0, +∞)有唯一根x 0=√1−k −1，因为在(0, x 0)上f′(x)<0，在(x 0, +∞)上f′(x)>0，所以x 0是f(x)唯一的极小值点．…19. 解：（1）当k =−1时，函数f(x)=ln −x−1x−1，定义域为(−1, 1)，关于原点对称． …且f(−x)=ln x−1−x−1．所以f(x)+f(−x)=ln −x−1x−1+ln x−1−x−1=ln(−x−1x−1⋅x−1−x−1)=ln1=0， 即f(−x)=−f(x)．所以当k =−1时，函数f(x)为奇函数． …（2）因为y =lnu 是增函数，所以由题意，u =g(x)=kx−1x−1在[e, +∞)上是增函数，且g(x)>0在[e, +∞)上恒成立． … 即g ′(x)=1−k(x−1)2>0对于x ∈[e, +∞)恒成立且g(e)>0…所以{1−k >0ek−1e−1>0，解得1e <k <1．所以k 的取值范围是(1e ，1)． … 20. 解：（1）当0<x <80，x ∈N ∗时，L(x)=500×1000x 10000−13x 2−10x −250=−13x 2+40x −250 当x ≥80，x ∈N ∗时，L(x)=500×1000x 10000−51x −10000x +1450−250=1200−(x +10000x ) ∴ L(x)={−13x 2+40x −250，(0<x <80,x ∈N ∗)1200−(x +10000x)，(x ≥80,x ∈N ∗)． （2）当0<x <80，x ∈N ∗时，L(x)=−13(x −60)2+950， 当x =60时，L(x)取得最大值L(60)=950当x ≥80，x ∈N ，∵ L(x)=1200−(x +10000x )≤1200−2√x ⋅10000x =1200−200=1000，∴ 当x =10000x ，即x =100时，L(x)取得最大值L(100)=1000>950．综上所述，当x =100时L(x)取得最大值1000，即年产量为100千件时， 该厂在这一商品的生产中所获利润最大．21. （1）解：将x =1代入切线方程x −y −1=0，得y =0，∴ f(1)=0． 又f(1)=a+b 2，化简得a +b =0． f′(x)=a(x 2+1)−(ax+b)⋅2x (1+x 2)2，f′(1)=2a−2(a+b)4=−2b 4=−b 2=1．解得a=2，b=−2，∴ f(x)=2x−2．x2+1（2）证明：要证lnx≥2x−2在[1, +∞)上恒成立，x2+1即证(x2+1)lnx≥2x−2在[1, +∞)上恒成立，即证x2lnx+lnx−2x+2≥0在[1, +∞)上恒成立．−2．设ℎ(x)=x2lnx+lnx−2x+2，则ℎ′(x)=2xlnx+x+1x≥2，即ℎ′(x)≥0．∵ x≥1，∴ 2xlnx≥0,x+1x∴ ℎ(x)在[1, +∞)上x∈[1, +∞)单调递增，ℎ(x)≥ℎ(1)=0∴ g(x)≥f(x)在上恒成立．。
2022届浙江省绍兴市诸暨市高三上学期期末数学试题(解析版)
2022届浙江省绍兴市诸暨市高三上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{0,1}A =，3{}B a =， 若A B B =，则=a （ ） A ．0 B ．1C ．0或1D ．0或±1【答案】C【分析】利用集合交的定义及包含关系求解.【详解】因为A B B =，所以B A ⊆，得30a =或31a =，即0a =或1a =. 故选:C.2．已知复数z 满足i =i z z ⋅-（i 为虚数单位），则z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【分析】由复数除法得出z ，从而得出对应点的坐标后可得结论． 【详解】∵i i z z ⋅=-，∴i i i i1+i (1(1)1(+i)i 1)2z -+===-，则z 在复平面内对应点的坐标为11(,)22，∴z 在复平面内对应的点在第一象限． 故选：A ．3．下列四个周期函数中，与其它三个函数周期不一致的函数是（ ） A ．()sin cos f x x x =⋅ B ．()sin f x x = C ．sin ()cos xf x x= D ．()sin(cos )f x x =【答案】D【分析】根据各自的特点，分别求出函数的周期即可判断.【详解】对于A ，1()sin cos sin 22f x x x x =⋅=，周期为22T ππ==； 对于B ，()sin f x x =，周期为T π=； 对于C ，sin ()tan cos x f x x x==，周期为1T ππ==；对于D ，若周期为π，则(0)sin(cos0)sin1f ==，()sin(cos )sin(1)sin1(0)f f ππ==-=-≠， 故()sin(cos )f x x =的周期不是π. 故选：D4．“a 是“21a a >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】解两个不等式，即可得出结论.【详解】由a a >可得200a a a ⎧->⎨≥⎩，解得1a >，由21a a >得310a a ⎧>⎨≠⎩，解得1a >，所以，“a a >”是“21a a >”的充分必要条件. 故选：C.5．已知实数,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+（ ）A ．有最小值，无最大值B ．有最小值，也有最大值C ．有最大值，无最小值D ．无最大值，也无最小值【答案】A【分析】先画出不等式组表示的可行域，由2z x y =+，得1122y x z =-+，作出直线12y x =-，根据直线在y 轴上的截距的最值，来判断目标函数是否能取到最值【详解】先画出不等式组表示的可行域，由2z x y =+，得1122y x z =-+，作出直线12y x =-，向上平移过点B 时，直线在y 轴上的截距最小，则2z x y =+取得最小值，由于可行域向右无限延伸，所以2z x y =+无最大值， 故选：A6．如图，圆1C 、2C 在第一象限，且与x 轴，直线2:2l y x =均相切，则圆心1C 、2C 所在直线的方程为（ ）A ．2y x =B ．2y x =C ．2y =D ．y x =【答案】B【分析】设直线12C C 的倾斜角为α，则α为锐角，由已知可得出22tan tan 2221tan ααα==-tan α的值，即可得出直线12C C 的方程.【详解】设直线12C C 的倾斜角为α，则α为锐角，由已知可得22tan tan 2221tan ααα==-22tan 20αα+=，因为tan 0α>，解得2tan α=. 因此，直线12C C 的方程为2y =. 故选：B.7．已知等比数列{}n a ，首项为1a ，公比为q ，前n 项和为n S ，若数列{}1n S +是等比数列，则（ ） A ．11a q -= B ．11q a -=C ．11n n S q --=D ．11nn S a q -=【答案】B【分析】设等比数列{}1n S +的公比为t ，则0t ≠，分1q =、1q ≠两种情况讨论，求出n S 的表达式，结合已知条件可得出等式组，即可得解. 【详解】设等比数列{}1n S +的公比为t ，则0t ≠.若1q =，则111n S na +=+，由题意可得()111n n S t S ++=+，即()1111n a tna t ++=+，所以，1111ta a a t =⎧⎨+=⎩，解得101a t =⎧⎨=⎩，不合乎题意；若1q ≠，则()111111n nn a q a a q S qq --==--，则()11111nn a q a q S q+--+=-，由题意可得()111n n S t S ++=+，即()()11111111nn a q a q q t a q ta q q q+--⋅+--=--，所以，()111111a q t a q a q ta ⎧+-=+-⎨=⎩，可得11q a t q -=⎧⎨=⎩. 故选：B.8．如图正方体1111ABCD A B C D -中，11AM AC λ=，[]0,1λ∈，则下列说法不正确的是（ ）A ．13λ=时，平面1//AMD 平面1BC DB ．12λ=时，平面1AMD ⊥平面11B CD C ．1AMD △面积最大时，1λ= D ．1AMD △面积最小时，14λ= 【答案】D【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设1AB =，取线段1AD 的中点O ，求出平面1AMD 的法向量，利用空间向量法可判断AB 选项的正误；分析可知1OM AD ⊥，求出2OM 关于λ的表达式，利用二次函数的基本性质可判断CD 选项的正误.【详解】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设1AB =，则()1,0,0A 、()11,0,1A 、()1,1,0B 、()11,1,1B 、()0,1,0C 、()10,1,1C 、()0,0,0D 、()10,0,1D ，()11,1,1AC =--，()11,,A M AC λλλλ==--，所以，()11,,1AM AA A M λλλ=+=--，()11,0,1AD =-，线段1AD 的中点为11,0,22O ⎛⎫⎪⎝⎭，11,0,22AO ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以，11,,22OM AM AO λλλ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，设平面1AD M 的法向量为(),,n x y z =，则()1010n AD x z n AM x y z λλλ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩，取x λ=，则(),21,n λλλ=-.对于A 选项，设平面1BC D 的法向量为()111,,u x y z =，()1,1,0DB =，()10,1,1DC =， 则1111100u DB x y u DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取11x =，可得()1,1,1u =-，若平面1//AMD 平面1BC D ，则//n u ，则21111λλλ-==-，解得13λ=，A 对；对于B 选项，设平面11B CD 的法向量为()222,,v x y z =，()11,0,1CB =，()10,1,1CD =-， 则12212200v CB x z v CD y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取21x =，可得()1,1,1v =--，若平面1AMD ⊥平面11B CD ，则n v ⊥，即()21120n v λλλλ⋅=---+=-=，解得12λ=，B 对；对于CD 选项，111022OM AD λλ⋅=-+-=，则1OM AD ⊥，故111222AMD S OM AD OM =⋅⋅=△， 因为2222111123232236OM λλλλλ⎛⎫⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为[]0,1λ∈，当13λ=时，OM 取最小值，则1AMD △的面积最小，D 错，当1λ=时，OM 取最大值，则1AMD △的面积最大，C 对. 故选：D.9．已知12,F F 是双曲线2220x y a a -=>（）的左右焦点，P 为圆2222x y a +=上一动点（纵坐标不为零），直线12,PF PF 分别交两条渐近线于,M N 两点，则线段MN 中点的轨迹为（ ） A ．平行直线 B ．圆的一部分 C ．椭圆的一部分 D ．双曲线的一部分【答案】A【分析】设P 点坐标为(2cos ,2sin )a a θθ，依题设求线段MN 中点的坐标可得解. 【详解】设P 点坐标为(2cos ,2sin )a a θθ，渐近线方程为：y x =±，直线1PF ：()sin 2cos 1y x a θθ=+，直线2PF ：()sin 2cos 1y x a θθ=-，当点P 在x 上方时，由()sin 2cos 1y x y x a θθ=-⎧⎪⎨=⎪+⎩，得2sin 2sin a a M θθ⎛ ⎝⎭， 同理2sin 2sin a a N θθ⎝⎭， 2sin 2sin 2M N a a y y a θθ+==，当点P 在x 下方时，2sin 2M N a y y a θ+==-，所以线段MN 中点纵坐标2y =，所以中点轨迹为平行直线. 故选:A.10．已知,,1a b R c +∈>-，满足lg 0,ln 0a a c b b c ++=++=，则（ ） A ．cos cos a a b b > B ．cos cos a a b b < C ．sin sin a b b a > D ．sin sin a b b a <【答案】D【分析】先根据题意以及对数函数性质可以判断出01a b <<<，然后构造函数()sin xf x x=，求导后判断函数的单调性即可得答案. 【详解】解：,,1a b R c +∈>- 又lg 0,ln 0a a c b b c ++=++= lg 1,ln 1a a c b b c ∴+=-<+=-<若1a b ==，则lg ln =1a a b b +=+不满足条件，若a 、(1,)b ∈+∞时， lg 1a a +>，lg 1b b +>不满足条件 当a 、(0,1)b ∈时，lg ln 1a a b b +=+<成立；又因为(0,1)x ∈函数lg y x x =+的图像恒在ln y x x =+上方， 设lg ,ln a b y a a y b b =+=+，a b y y =，所以01a b <<<构造函数()sin x f x x =，(0,1)x ∈，''2sin cos ()sin sin x x x x f x x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭令()sin cos g x x x x =-，'()cos cos sin sin 0g x x x x x x x =-+=>（(0,1)x ∈） (0)0g =，且()g x 在定义域内单调递增，故()(0)0g x g >=因此可知'()0f x >，所以在(0,1)x ∈范围内()f x 单调递增，sin sin a ba b< sin sin a b b a ∴<故选：D 二、填空题11．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的直角三角形，若2,3a b ==，则小正方形的面积是________.【答案】1【分析】设出小正方形边长，用勾股定理列出方程，求出小正方形的边长和面积. 【详解】设小正方形边长为x ，由勾股定理得：()()()2222323x x +++=+，解得：1x =，故小正方形的面积为111⨯=. 故答案为：112．已知抛物线2:8C y x =，过点(1,0)P 作斜率为(0)k k >的直线交抛物线C 于,A B 两点，若以AB 为直径的圆被x 轴，y 轴截得的弦长相等，则k =______. 【答案】2【分析】求得直线方程为()1y k x =-，与抛物线2:8C y x =联立得()22222+8+0k x x k k -=，设()()1122,,A x y B x y ，，AB 的中点为()00,M x y ，求得点M 的坐标，由已知得圆心()00,M x y 到x 轴，y 轴的距离相等，建立方程求解即可. 【详解】解：过点(1,0)P 作斜率为(0)k k >的直线方程为()1y k x =-，与抛物线2:8C y x =联立得，()22222+8+0k x x k k -=，设()()1122,,A x y B x y ，，AB 的中点为()00,M x y ，则12222+8+=x k x k ，所以222200+4+44,1k k k x k kk y ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，因为以AB 为直径的圆被x 轴，y 轴截得的弦长相等，所以圆心()00,M x y 到x 轴，y 轴的距离相等，所以22+44k k k=，解得2k =（2-舍去），故答案为：2.13．已知向量1(1,1)a =，1(,0)n b n =，111()()n n n n n a a a b b n N *+++=-⋅∈，则1381024222239a b a b a b ⋅⋅⋅+++=…________. 【答案】1190【分析】先通过数学归纳法证明出1,1,2n n n a N n *+⎛⎫=⎪⎝⎭∈，然后代入式子中，利用裂项相消法进行求和计算.【详解】()()211221131,1,0,1224a a a b b ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪= ⎪⎝⎭⎝⎭-⋅，()322333112,1,0,14433a a a b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⋅⎝⎭，归纳出，1,1,2n n n a N n *+⎛⎫=⎪⎝⎭∈，接下来用数学归纳法进行证明： 当1n =时，()111,11,121a +⎛⎫==⎪⨯⎝⎭满足题意； 假设当n k =时，1,12k k a k +⎛⎫=⎪⎝⎭，则当1n k =+时，()111k k k k k a a a b b +++=-⋅1111,1,1,0,02211k k k k k k ⎡⎤++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()211,1,12121k k k k ⎛⎫⎛⎫+++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，故1,1,2n n n a N n *+⎛⎫=⎪⎝⎭∈， 其中()()()()()()()22211,1,0111122212411211n n n a b n n n n n n n n n n n ++⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎛⎫⋅+⎝⎭⎝⎭===- ⎪ ⎪+++++++⎝⎭所以1381024222111111123941223233489910a b a b a b ⋅⋅⋅⎛⎫+++=-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭ (11111)429090⎛⎫=-=⎪⎝⎭故答案为：1190三、双空题 14．已知21)nx 展开式各项系数和为32，则n =______；常数项为______. 【答案】 5； 5.【分析】空一：利用代入法进行求解即可； 空二：利用通项公式进行求解即可.【详解】空一：令1x =，得2325n n =⇒=；空二：二项式521)x 的通项公式为：55525521()rr r r rC C x x--⋅=⋅，令55012r r -=⇒=，即常数项为：155C =， 故答案为：5；5.15．已知函数()1010x x f x x x ⎧-≥=⎨+<⎩，则[](1)f f -=______；若()(1)f a f a =+，则=a ______. 【答案】 1 12±【分析】代入函数解析式，求出()1110f -=-+=，进而求出[](1)f f -，分类讨论求解12a =±. 【详解】()1110f -=-+=，则[]()(1)0011f f f -==-=，当10a +<，即1a <-时，()1f a a =+，(1)2f a a +=+，则12a a +=+，无解；当010a a <⎧⎨+≥⎩即10a -≤<时，(1)f a a +=，()1f a a =+，则1a a =+，解得：12a =-，符合要求；当0a ≥时，()1f a a =-，(1)f a a +=，所以1a a -=，解得：12a =，符合要求，综上：12a =±.故答案为：1，12±16．体育馆内装篮球的箱子中有4个新篮球和2个用过的旧篮球，三名运动员各自从箱子中随机拿一个篮球进行投篮训练，结束后三个篮球放回箱子中，此时箱子中用过的旧篮球个数X 是一个随机变量，则(4)P X ==______；随机变量X 的数学期望()E X =______.【答案】350.6 4 【分析】由于从箱子中任取3个球来用，用完后装回箱子，此时箱子中旧球的个数为4，可知增加了2个旧球，从而可得取出的3个球中有2个新球和1个旧球，进而可求出(4)P X =，由题意可得3,4,5X =，求出对应的概率，从而可求出()E X【详解】由题意可知当箱子中的旧球为4个时，则可得取出的3个球中有2个新球和1个旧球，所以2142363(4)5C C P X C ===, 由题意可得3,4,5X =，则1242361(3)5C C P X C ===，2142363(4)5C C P X C === 34361(5)5C P X C ===，所以131()3454555E X =⨯+⨯+⨯=，故答案为：35，417．已知ABC 的三个角,,A B C 所对的边为,,a b c ，若3BAC π∠=，D 为边BC 上一点，且1AD =，若BD DC =,则ABC 面积的最大值为______；若:2:BD DC c b =，则2b c +的最小值为______. 【答案】【分析】由三角形面积公式，结合诱导公式和三角函数恒等变换，即可求解；设BAD θ∠=，则3CAD πθ∠=-，则由:2:BD DC c b =可以推得:2:ABDACDSSc b =，再利用面积公式可以解出sin θ，从而根据ABCABDACDS SS=+，可以推出21b c+等式即可得出结论.【详解】（1）设03BAD πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，则3CAD πθ∠=-，由题意得，1sin 2ABCSbc BAC =∠=， 由于BD DC =，1AD =， 所以1ABD ACDSBDSCD==， 即11sin 2111sin 23c b θπθ⋅⋅⋅=⎛⎫⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭， 整理得，sin sin 3c b πθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又ABCABDACDSSS=+，所以11sin sin sin sin 2233ABCSc c b b ππθθθθ⎛⎫⎛⎫=+-==- ⎪⎪=⎝⎭⎝⎭， sin 3c b πθ⎛⎫=-⎪⎝⎭得，23c πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以22sin 233sin ABCSc ππθθθθ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭==由于π0θ3， 所以2242333πππθ<+<， 故，当223πθπ+=，即6πθ=时，2cos 213πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则ABC 的面积取得最大值为ABC S =△（2）设03BAD πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，则3CAD πθ∠=-，1,:2:AD BD DC c b ==，2ABD ACDSBD c SCD b∴==，即11sin 2211sin 23c c b b θπθ⋅⋅⋅=⎛⎫⋅⋅⋅-⎪⎝⎭，化简得2sinθθ=,即tan θ=，故4s s 171in in 32πθθθ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭， 又ABCABDACDSS S=+，所以111sin sin sin 23223bc c b ππθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即21b c+=)21222(2)554b c b c b c b c c b ⎛⎫⎫∴+=+⋅+++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎭ 当且仅当b c =时取等号，即2b c +.故答案为. 四、解答题18．已知函数()sin cos ()f x x x x R =-∈. (1)求函数()(π)y f x f x =⋅-的单调递增区间；(2)求函数2π()(2)4y f x f x =+-的值域.【答案】(1)ππ,π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈(2)1⎡⎣【分析】（1）利用诱导公式及其余弦的二倍角公式化简，即为cos2y x =-，然后利用余弦函数的性质求其单调递增区间即可；（2）利用正弦的二倍角公式及其辅助角公式化简，即为1+)y x ϕ=，利用正弦函数的性质求值域即可. (1)∵()()(sin cos )sin πcos π(sin cos )(sin cos )y x x x x x x x x =---=-+⎡⎤⎣⎦-22sin cos cos2x x x =-=-∴π2π22ππππ2k x k k x k ≤≤+⇒≤≤+()k Z ∈， 即所求单调递增区间为：()ππ,π2k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z ；(2)2ππ(sin cos )sin 2cos 2y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--=-π1sin 2)2x x =--1sin 22x x =-1+)x ϕ=，其中tan ϕ=，即1y ⎡∈⎣.19．在正项等比数列{}n a 中，12a =，4a 是21a +与55a -的等差中项，数列{}n b 满足()21122228n n n a b a b a b n +++⋅⋅⋅+=+-.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n n a b -的前n 项和n T . 【答案】(1)2n n a =，26n b n =+；(2)2112722327304n n n n n n T n n n ++⎧++-≤=⎨--+≥⎩【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，根据已知条件可得出关于q 的方程，求出q 的值，利用等比数列的通项公式可求得{}n a 的通项公式，利用前n 项和与通项的关系可求得数列{}n b 的通项公式；（2）分析可知，当3n ≤时，n n a b <，当4n ≥时，n n a b >，化简n n a b -的表达式，利用分组求和法可求得数列{}n n a b -的前n 项和n T . (1)解：设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，因为()()3434252154224120a a a q q q q q =++-⇒=+-⇒+-=，所以2q（舍去1q =-），所以112n nn a a q -==，当1n =时，3111232816a b b ==⨯-=，则18b =，当2n ≥时，因为()+21122+228n n n a b a b a b n +⋅⋅⋅+=+-，①得()+1112211+128n n n a b a b a b n --+⋅⋅⋅+=+-，②①-②得：()132n n n a b n +=+，所以，26n b n =+，18b =也满足26n b n =+，所以，对任意的N n *∈，26n b n =+.解：令126322n n n n n b n n c a -++===，则142620222n n n n n n n n c c ++++-=-=-<， 所以，数列{}n c 为单调递减数列，所以，123451c c c c c >>>>>>，故当3n ≤时，n n a b <，则()262nn n n n a b b a n -=-=+-，此时，()()()()22121282681026222722212nnn n n n T n n n +-++=++++-+++=-=+-+⎡⎤⎣⎦-，且433102216T =⨯-+=，当4n ≥时，n n a b >，则()226nn n n n a b a b n -=-=-+，此时，()()453222141626n n T T n =++++-++++⎡⎤⎣⎦()()()()()431212142631616216310122n n n n n n -+-++-=+-=+---+-122730n n n +=--+.综上所述，2112722,32730,4n n n n n n T n n n ++⎧+-+≤=⎨--+≥⎩. 20．如图，三棱台111A B C ABC -，平面11A ACC ⊥平面ABC ，侧面11A ACC 是等腰梯形，111,,22232A AC ACB AC BC AC ππ∠=∠====,,M H 分别是11,AB A C 的中点.(1)求证：1//C M 平面1AB H ； (2)求1C M 与平面1AB C 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； 42. 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理和性质，结合线面平行的判定定理进行证明即（2）利用平行线的性质，结合线面垂直的判定定理、三棱锥等积性、线面角的定义进行求解即可. (1)证明：连接1A M 与1AB 交于点P ，连接PH ，因为112AC AC =，所以由棱台的性质可知：112AB A B =，且11//AB A B ，因为M 是AB 的中点，因此11AM A B =，因此四边形11AMB A 是平行四边形，所以P 是1A M 的中点，又H 是11A C 的中点，所以1//PH C M ，而PH ⊂平面1AB H ，1MC ⊄平面1AB H ， 所以1//C M 平面1AB H ；(2)因为1//PH C M ,所以PH 与平面1AB C 所成角即为所求角， 取BC 中点G ,连接1,MG C G ，因为111111111133ACHH AB C B ACH AB CACHAB CB C S V V h SB C S h S --⋅=⇒⋅⋅=⋅⋅⇒=又因为16=232ACHS⋅ 因为平面1AC ⊥平面ABC ，平面1AC ⋂平面=ABC AC ，BC AC ⊥, 所以BC ⊥平面1111AC B C C C ⇒⊥，所以11Rt B C C 中221111222B C GC B C CC =++， 平行四边形12MGA C 中: 112A M C G ==平行四边形11A AMB 中: 11111,222A B AM AM AB ===⇒=1AB C 中：11122,27AB CAB AC B C S===⇒=，所以H 到平面1AB C 的距离11132631773ACH ABC S B C d S ⋅⋅===，又因为1112122PH MC ==⋅=， 即6427sin 17d PH α===；21．如图，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，C 上的点到直线:2l y =的最短距离为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)过l 上的动点()(),22P s s >向椭圆C 作两条切线1l 、2l ，1l 交x 轴于M ，交y 轴于N ，2l 交x 轴于Q ，交y 轴于T ，记PMQ 的面积为1S ，PNT 的面积为2S ，求12S S ⋅的最小值.【答案】(1)2214x y +=；(2)48.【分析】（1）由已知条件求出a 、b 的值，即可得出所求椭圆的方程；（2）设1l 、2l 的方程分别为()12y k x s -=-、()22y k x s -=-，分析可知1k 、2k 是关于k 的()224430s k sk --+=的两根，利用韦达定理可得出12S S ⋅关于s 的表达式，令24s t -=，利用基本不等式可求得12S S ⋅的最小值.(1)解：由题意知：1b =，所以222221324c a e a a a -===⇒=，即所求椭圆方程为2214x y +=.(2)解：设1l 、2l 的方程分别为()12y k x s -=-、()22y k x s -=-，则()10,2N k s -，()20,T k s ，12,0M s k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，22,0Q s k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，122121111222224P P S S y MQ x NT s k s k s k k ⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅-⋅⋅-()221222112122k k k k s s k k k k -==+-，① 联立()22244y k x s x y ⎧-=-⎨+=⎩，可得()()()22241824240k x k ks x ks +--+--=， ()()()222226424414240ks k k ks ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦，化简得()224430s k sk --+=，显然，1k 、2k 是关于k 的()224430s k sk --+=的两根.故12244s k k s +=-，12234k k s =-，则()()22122121634k k s k k s +=-，即()22121216234k k s k k s +=--代入①式得()()()222212224121643434s s s S S s s s +⋅=-=--， 令24s t -=，则0t >，()()12441646442020333t t S S t t t ⎛⎫++⋅==++≥ ⎪ ⎪⎝⎭48=，当且仅当8t=，即s =12S S 的最小值为48.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．22．已知函数()()()()3241e 1R 3xf x x x ax a =--+-∈.(1)当0a =时，求()y f x =在()()0,0f 处的切线方程；（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）求证：2213x x a -<+.【答案】(1)723y x =--；(2)（ⅰ）12ea -<<-；（ⅱ）证明见解析.【分析】（1）求出()0f 、()0f '的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；（2）（i ）求得()e x f x x a '=-，利用导数分析函数()f x '的单调性，根据已知条件可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围；（ii ）分析可知()11,0x ∈-，()20,1x ∈，将所证不等式转化为证明12x a >--，分11e a -≤<-、21a -<<-两种情况讨论，在11ea -≤<-时，利用不等式的基本性质可证得结论成立，在21a -<<-时，通过构造函数()e xg x x =-数()g x 的单调性，结合不等式的基本性质可证得结论成立. (1)解：当0a =时，()()()3241e 13xf x x x =--+，则()e xf x x ='-所以，()02f '=-，()703f =-，因此，()y f x =在()()0,0f 处的切线方程为723y x =--.(2)解：（i ）()e xf x x a '=-，令()()p x f x '=，则()()1e x p x x '=+， 令()()x p x ϕ'=，则()()()3212e 102xx x x ϕ-'=+++>对任意的1x >-恒成立， 所以，函数()()x p x ϕ'=在()1,-+∞上单调递增，因为()00ϕ=，当10x -<<时，()()00x ϕϕ<=，即()0p x '<，当0x >时，()()00ϕϕ>=x ，即()0p x '>，所以，函数()f x '在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，因为()y f x =有两个极值点1x 、2x ，则()1e 020a f a ⎧-->⎪⎨⎪=--<⎩'，解得12e a -<<-.（ii ）令()e xg x x =-()11e e 0eg a a -=->->，()()12g x g x a ==， 由（i ）可知()11,0x ∈-，()20,1x ∈，只需证221113x x x a -<-<+，即证：12x a >--，当11e a -≤<-时，121a x --≤-<，得证；当21a -<<-112x +，令()112h x x =-，()12h x '==1x >-，当10x -<<时，()0h x '>，当0x >时，()0h x '<，则()y h x =在()1,0-上递增，在()0,∞+上递减，所以()()00h x h ≤=，得证，令()e 1xt x x =--，则()e 1x t x '=-，当0x <时，()0t x '<，此时函数()t x 单调递减，当0x >时，()0t x '>，此时函数()t x 单调递增， 所以，()()00t x t ≥=，即e 1x x ≥+，则()()()122e 21122x g x x x x x x x =-+≥+--=-，记22y x =-与y a =的交点横坐标分别为3x =4x则310x x <<，420x x >>，则2221432x x x x a -<-=+又21a -<<-，22123x x a a ∴-<+=+， 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。
浙江省诸暨市2018届高三上学期期末考试数学试题Word版含解析
浙江省诸暨市2018届高三上学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的•1. 已知集合「：I 丫: .■: .■:,那么匚门：q：二；-（）A. [ .- ■B. ■-1. -C. I ". ■ ■ ■D.【答案】A【解析】二厂，所以初选A.2. 已知复数满足（为虚数单位），则复数（）ZA. 1 -.B.-1 -H.C.D. -1-【答案】B（1十i）2十2i 2] 』【解析】因为，所以，选B ? l-i 2f2x + y-4 < 03. 若•满足约束条件’，则' 的最大值等于（）I心A. 7B. 6C. 5D. 4【答案】B【解析】作可行域，则直线沐；「一[.过点（2,0）时取最大值6，选B.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想•需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得•4. 设in㈡是两条不同的直线，/川是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A. Li'. : :' :.：;JT JB. ：：：，』.：：：，，：| -C. m 丄OL,TI 匸丄TID. m 丄n,n u 丄ct【答案】C【解析】“：：：■「:: 5]T J或：]]::异面;:'■-.111 ' I■位置关系不定；:■:: : 111 亠.■:;:- ：! 1 :■- 位置关系不定；所以选 C.5. 等比数列中，，则“”是“ ”的（）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】Ai A4【解析】•、：:一■|、「•」一、「■-：l-v I 或UT,得不到切因此“ ”是“ ”的充分不必要条件，选 A.点睛：充分、必要条件的三种判断方法.1 •定义法：直接判断“若 贝山”、“若 则”的真假•并注意和图示相结合，例如“ .•？为真，则是..的充分条件.2. 等价法：利用 ？..与非.?非，？与非？非，」?与非？非 的等价关系，对于条件 或结论是否定式的命题，一般运用等价法.3. 集合法：若 ？，则是的充分条件或 是的必要条件；若 =，则是的充要条件. 6. 如图，已知点F 是抛物线上一点，以 为圆心，.为半径的圆与抛物线的准线相切,且与 轴的两个交点的横坐标之积为 5,则此圆的半径.为（ ）因此二=nj •=：选D.点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理.2 •若二迪上心为抛物线+八「：叮：＞ :■■ 上一点，由定义易得1：-；11=匕•;若过焦点的弦.AB 的端点坐 标为W ：、,则弦长为=-\ ; \ j ;匕可由根与系数的关系整体求出；若遇到 其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.7.已知. 都是定义在 上的函数，且 为奇函数，图象关于直线对称，则下列四个命题中错误的是（）A. V - ■-：＜ 十.】为偶函数B. .7 - 为奇函数C.函数V -图象关于直线对称 D. 厂心为偶函数【答案】B【解析】因为■' --M ■ I I - /；.＜： - I III ,所以 v- I :为偶函数;由抛物线定义得与 轴的两个交点必有一个为焦点 （1,0）,所以另一个交点为（5,0）.D. 4【解析】因为n ：y ji ：-： " -：•：：、，所以函数左- i 駛讥%图象关于直线豈…!■对称; 因为二匚小二：氓卜—疋:，所以,3 = 「为偶函数;因为:不一定与 . 相等，所以不一定为奇函数，选B.一J ¥2_ _ 一一8.已知双曲线的标准方程 ，「-「-•为其左右焦点，若F 是双曲线右支上的一a 3b 21点，且：，则该双曲线的离心率为（ ）—【答案】A一， _ nI n 3c 4c 【解析】设：「："：：，所以-■m + c 2 c-m559c 2 16?9(a 2 + b 2)】6(』—『)因此'=In = 1 n —— 32 = 0 a b 扩 b' a - b .2.32b ■?bbcl---..选 A.占匚a"呂亠iT点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根据 的关系消掉 得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等9. 已知ii 3 |的导函数■,.，若满足；..：，：•：-.，且j ；】，则ii Q 的解析式可能是（ ）A. ?dn>' i ：B. :>ln?; :■:C. ■:->ln?; '< D. :广:<【答案】C 【解析】因为，所以舍去B ；因为:•：〔.— ：•••：<.导数为 '二；Ii 二一―；：i ：'；： U 、h:_\ ：■■.'' '：、、 :厂::. 舍 A ； 因为:「7:山丫导数为I --，满足题意；因为.' J 1 . ••导数为-h-'' - '■- ' ■■■■.i ' ' I' ' 2 ■:'_ <lr.'. ■ ■：■ 「.lu …、二•：舍D；综上选C.3 AB 2AC J］丈AB + AC) 一一10. 已知心圧厂，满足，点为线段.上一动点，若最小值|AB| |AC| |AB I AC|为',则V二的面积()A. 9B. .C. 18D.【答案】D【解析】设|AB| |AC| | AB + AC |」」」L IABI |AM| 3bAM| = 3,|AN| = 2,|AD| = v 19,------ -- ----- -- -v|AC| |AN| 2crn, 卡+于一19 1 加兀所以曲上- ■2 3 3DA DC = DA ■ (E>A + AC) = |DA|：+ |DA| |AC|cosy•，所以■■-2161 」」7E 3 - T \|5 3 苗(-从而的面积' - 、、，选D.2 3 4 2 8点睛：(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题二、填空题(多空题每小题6分，单空题每小题4分，满，36分，将答案填在答题纸上)11. __________________________________________________________________ 等差数列何｝的前血项和为*，若屯=弟厂垃，则公差―________________________________________ ;通项公式【答案】(1). 1 (2).【解析】因为=■ =-，所以禺]=町+ (□- ])d = 3 IF-1=门+ 212. 某几何体的三视图如图所示(单位:)，则该几何体最长的一条棱的长度是皿| 2d = 5丄W= 122【解祈】几何体为一个四棱锥P-ABCD ,r 如图.最长的一条棱的是PD,长度第牡+ 42 + 42 = 4伍，体 积为扌X 4 X 42 = y13.如图是函数 X ：上.i ：u 、、■：■/：： ，：：：， ]|的部分图象，已知函数图象经过点【解析】由题意得■-6 124 兀■5兀5TC兀兀因为 J- lf:…..;■-. . . ■1262 3JTJT因为刑三，所以「= ” .14. ________________________________________________________________________________ 已知（春十1 f =阳十岂（x +】）一也（x 十1），+…十卯（x 十06,则帥 y 屯卜“■ +陀= ________________________ ；则 吠 ____________ . 【答案】 (1). 1 (2). 60【答案】 ⑴.⑵.【解析】令得：1= ■' +：•；：因为，寸［■■ J ip'所以,1" - 1■■ ■,；-点睛：赋值法研究二项式的系数和问题诫值泼普遍适用于恒等式.是一种重要的方S ,对形如佃x + b)n F(ax2+ bx +Hfab E R)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法.只需令X = 1即可;对形如佝X + bv)n(a,b € R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x = v=1即可.15. 编号为1,2,3,4的四个不同的小球放入编号为1,2,3,4 的四个不同的盒子中，每个盒子放一个球，则其中至多有一个球的编号与盒子的编号相同的概率为 __________ .【答案】24【解析】编号为1,2,3,4的四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个不同的盒子中，每个盒子放一个球，共有『：二种基本事件，其中有两个球的编号与盒子的编号相同基本事件有( 1 , 2, 4, 3), (1, 4, 3, 2), (1, 3, 2,4), (4, 2, 3, 1), (3 , 2 , 1, 4), (2 , 1 , 3 , 4),共 6 种其中有四个球的编号与盒子的编号相同基本事件有( 4 , 3 , 2 , 1)因此至多有一个球的编号与盒子的编号相同的概率为24 24点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1) 列举法•(2) 树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3) 列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化•⑷排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目16. 已知见b都是正数，且Jb MbJ ab I n卜b = 3 ,贝归曲十日十b的最小值等于______________ .【答案】•【解析】因为.：4 八.--,所以I 1■■- '' I 1■-因此' - 一；•：ab+ 1 ab 十 1 J ab+ 1当且仅当. ■■.il-二：卜、.■时取等号，因此；：自+十:的最小值等于■.':点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意"拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误•亿已知.' w ：：，ii弋；二,、：加；:，若对于任意的、：w |：）•「；-：：、恒成立，则a + 2b = ___________ .【答案】【解析】；对于任意的J亘成立，所以「:匕2 2 2] 1 5 3 97即为. - .1卜2_~2 2~_ 2 2_ _ 2I 7 14 1 7所以^ ,=_ 】••：•■- ■ J . -'I9 3 1因此.，-此时:： i- .■-：.2 2 2点睛：两边夹也是求解或求证不等式相关问题的一个重要方法，通过对范围的不断缩小，直至达成目标，是极限思想的一种体现•三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18. '..■■I"'中，内角挖.三.二的对边分别是,且二:宀■■…「小"m i：.（1）求角；（2）若，求：的最大值.【答案】（1）; （2）4【解析】试题分析：（1）根据正弦定理将边角关系转化为角的关系，根据诱导公式化简可得1 ,, , 即得角；（2）先根据余弦定理得-.:■ ■- I■再利用基本不等式得：J+二的最大值.试题解析：(1)由正弦定理得2 cosC(sinA.c osB 十cusAsinB) = smC , 2cosCsin(A + E) = sinC] 7t化简得：，:m= …■=2 3（2）由余弦定理得4 :; ' . i .'.4 = （a + b）2- 3ab > （a^ b）z - -（a + b）24i -1 - ■. .■■-（等号当且仅当.-二时成立）■:J十：的最大值为4.19. 如图，空间几何体中，四边形- 是边长为2的正方形，「丨：.T I :-.丨，./、=；.（1）求证：2F 平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.2历【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）先根据平几知识计算得，丄.■: PI - ■ ■■，再根据线面垂直判定定理得结论，（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得平面法向量, 利用向量数量积得向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系求结果试题解析：（1 ）证明：等腰梯形底？中71在」'• I'中，：’：.丨"I I ■. I ，所以平面汇匚（2）作卜：：「一'■卍于，以为轴建立如图的空间直角坐标系，则又「I,所以I-.:p求得平面匸二WF的法向量为=即与平面f三匚所成角的正弦值等于1920. 已知函数沁：I、、.：，.：的图象在u处的切线方程是+ 小:、~：\.（1）求的值；（2）求证函数有唯一的极值点，且上.【答案】（1）.丨' I ；（2）见解析【解析】试题分析：（1）先根据导数几何意义得解得，再根据切点在曲线上也在切线上求b,（2）先求导数，再研究导函数单调性，根据零点存在定理确定函数有唯一的极值点，再根据零点条件代入，化简为一个对勾函数，根据函数性质求最小值，即证不等式•试题解析：（1）\\\ :,1，由：，U 得三-切线方程为，•:-；-「、，所以（2）令: ■ ■■:A则•_!•'；=「.： 1 严：所以当J;: I时，单调递减，且此时，在：-•「-「内无零点•又当时，单调递增，又I 1・I所以；■：＞ / - 有唯一解，i I .1，有唯一极值点小Je 1 15 3又^ ，八m：j：;-；「［：，x2『狷21. 已知椭圆的离心率为.，且经过点••a2 b33（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线交椭圆于.两点，是轴上的点，若亡匸三门.是以.为斜边的等腰直角三角形，求直线的方程•2 2【答案】（1）一--二:.；（2）”；止宀一壬一匚12 4【解析】试题分析：（1）将点坐标代入椭圆方程，与离心率联立方程组解得a,b，（2）将等腰三角形转化为的中垂线方程过点，且点到直线距离等于AB一半，先设直线方程，与椭圆方程联立，根据韦达定理以及弦长公式可得 AB 长以及AB 中点，根据点斜式求.的中垂线x 轴交点得Q 点坐标，根据点到直线距离公式列方程解得直线斜率，即得直线方则二丄，八' 椭圆方程为tr 泣12 4（2）设二土的中点坐标：| “ •，上一 *x y—+ —= 112 4x= ty + 66t.的中垂线方程为 ---------r | 3点.I 到直线•的距离为——V + 3 t 2 + 3川所以；，解得直线的方程为匸- '■-122.已知各项非负的数列满足： .：.r.汀'.(1)求证:s 卜m :（2）记丨 ，求证： :匕i - :%—I{【答案】（1）见解析；（2）见解析'：•!：：.• X I最后利用数学归纳法形式进行证明，（2）根据条件得I I 111 “I，根据裂项相消法化简不等式左边得，再构造等比数列:^II + I _ 1% -1a i_ J ai%，即得，代入即证得不等式a.] + 1-l520试题解析：（1）法一：用数学归纳法证明'方程，求与 试题解析: (1 )由，设椭圆方程为 ---- -- 1a 33b 2 b 2则由 由己沁得，-61 18，'，所以、| 3 /I 3 ,【解析】试题分析：（1）由条件可解得，所以利用二次函数性质11-1当:：丨时，■，结论成立2 1 2假设IJ】时结论成立，则当I：丄•】时I + J】| 4牡 +1 1 + J5°5k +厂--------- ； --- <^— = 2，综上I I法一：+- I - - I - - 1, 1'■--、+ •--八-厂'同号，又•： = ■"-,所以=V又.■-;|■， - :, I :;，所以I I所以—七7；所以1 1 、当为奇数时，i 'a l- 1 a lI 1 1 4 1<----------- --- ——I ---------------------- = ----------------------------要证•—- ■<：玄）此结论显然成立，所以・卜,.■■- - 1当为偶数时，结论显然成立，所以. ■ ■ ■ !,, 1成立点睛：（1）分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径, 使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆⑵利用综合法证明不等式，关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式。
2023-2024学年浙江省绍兴市诸暨市高一上学期期末数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年浙江省绍兴市诸暨市高一上册期末数学试题一、单选题1．已知集合{}30,1,2,3,4,N N U A x x ⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭∣，则U A =ð（）A ．{}0,1,3B ．{}1,3C ．{}0,2,4D ．{}2,4【正确答案】C【分析】首先确定集合A 中元素，然后由补集定义求解．【详解】3N N {13}A x x ⎧⎫=∈∈=⎨⎬⎩⎭∣，，又{0,1,2,3,4}U =，∴{0,2,4}U A =ð．故选：C ．2．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于（）A ．π4B ．π3C ．π2D ．1【正确答案】B【分析】如图所示，根据弦长得到OAB 为等边三角形，得到答案.【详解】根据题意：作出如下图形，AB OA OB r ===，则OAB 为等边三角形，故π3BOA ∠=.故选：B.3．已知命题2:R,10p x x x ∃∈-+<，那么命题p 的否定是（）A ．2R,10x x x ∀∈-+≥B ．2R,10x x x ∀∈-+<C ．2R,10x x x ∃∈-+≤D ．2R,10x x x ∃∈-+≥【正确答案】A【分析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题进行判断即可.【详解】因为在量词命题的否定是全称量词命题，所以命题“2R,10x x x ∃∈-+<”的否定是“2R,10x x x ∀∈-+≥”.故选：A4．已知幂函数()f x x α=的图像过点()2,44=，则实数m 的值为（）A ．2B ．2±C ．4D ．4±【正确答案】D4=，即可求得答案.【详解】由题意幂函数()f x x α=的图像过点()2,4，则24,2αα=∴=，则()2f x x=4=24,16,4m m =∴=∴=±，故选：D5．已知0.61,log 2a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,,a b c 的大小关系为（）A ．c<a<bB ．c b a <<C ．a c b <<D ．b<c<a【正确答案】A【分析】由指数函数与对数函数的单调性判断．【详解】因为0.52a ==，0.60.60.51222b -⎛⎫==> ⎪⎝⎭1>，log 1c =<，所以c<a<b ．故选：A ．6．若()(),f x g x 分别为定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2xf xg x +=，则()()01f g +=（）A ．1B ．2C ．34D ．54【正确答案】D【分析】由奇偶性的定义求得()f x 与()g x 的表达式，然后求函数值．【详解】()()2x f x g x +=（1），则()()2x f x g x --+-=，又()(),f x g x 分别为定义在R 上的奇函数和偶函数，∴()()2x f x g x --+=（2），（1）（2）两式相加除以2得22()2x x g x -+=，相减除以2得22()2x x f x --=，∴(0)0f =，1252(1)24g +==，∴5(0)(1)4f g +=，故选：D ．7．设0a >且1a ≠，则“log log a a x y >”是“x y a a >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据对数函数以及指数函数的性质，判断“log log a a x y >”和“x y a a >”之间的逻辑推理关系，即可判断答案.【详解】当1a >时，由log log a a x y >可得0x y >>，由于x y a =为R 上增函数，则x y a a >，当01a <<时，由log log a a x y >可得0x y <<，由于x y a =为R 上减函数，则x y a a >，即“log log a a x y >”是“x y a a >”的充分条件；当x y a a >时，比如取12a =，2,1x y =-=-满足条件，但log ,log a a x y 无意义，故“log log a a x y >”不是“x y a a >”的必要条件，故“log log a a x y >”是“x y a a >”充分不必要条件，故选：A8．已知,R a b ∈，0,0a b >>，且22231a ab b --=，则（）A ．a b +有最小值1B ．a b -有最小值1C ．35a b +有最小值D ．35a b -有最小值【正确答案】D【分析】由题意可得()(3)1a b a b +-=，则13a b a b+=-，a b +无最小值，判断A ；设,3,10a b m a b n m n +=-=>>>，则1mn =，结合基本不等式可判断B ；7171352222a b m n m m+=-=-，结合函数的单调性，可判断C ；利用352a b m n -=+，结合基本不等式求得35a b -的最小值，判断D.【详解】由0,0a b >>，且22231a ab b --=可知()(3)1a b a b +-=，而30a b a b +>->，则1031,13a b a b a b<-<∴+=>-，则a b +无最小值，A 错误；设,3,10a b m a b n m n +=-=>>>，且1mn =，则11()122a b m n -=+≥⨯=，当且仅当1m n ==，即1,0a b ==时取等号，这与题设矛盾，故a b -最小值不为1，B 错误；7171352222a b m n m m +=-=-，由于函数7122y x x=-在(1,)+∞上递增，故7122y x x=-在(1,)+∞上无最小值，即35a b +无最小值，C 错误；352a b m n -=+≥=当且仅当2m n ==时，即88a b ==时取等号，D 正确，故选：D关键点睛：该题为根据条件等式求最值问题，解答时由22231a ab b --=可得()(3)1a b a b +-=，由此看到两个因式之积为定值，由此设,3a b m a b n +=-=，进而将问题转化为基本不等式求最值问题或利用函数单调性，解决问题.二、多选题9．下列函数的定义域是R 的有（）A ．()f x =B ．()1f x x=C ．()2xf x =D ．()lg ||f x x =【正确答案】AC【分析】根据每个选项中函数的解析式，确定其定义域，即可判断出答案.【详解】对于A ，()||f x x =，其定义域为R,正确；对于B,()1f x x=,定义域为{R |0}x x ∈≠，错误；对于C,()2xf x =定义域为R ，正确；对于D ，()lg ||f x x =定义域为{R |0}x x ∈≠，错误，故选：AC10．已知角α的终边上有一点P 的坐标是()3,4a a ，其中0a ≠，则下列取值有可能的是（）A ．4sin 5α=-B ．3cos 5α=-C ．1sin cos 5αα+=D ．1sin cos 5αα-=【正确答案】BCD【分析】分0a >和a<0讨论，求出相应的三角函数值即可判断.【详解】当0a >时，()3,4P a a ，则44sin 55a a α==，33cos 55a a α==，则7sin cos 5αα+=，1sin cos 5αα-=，故D 正确；当a<0时，()3,4P a a -，则44sin 55a a α-==-，33cos 55a a α==--，则1sin cos 5αα+=，7sin cos 5αα-=，故BC 正确；综上，A 错误，BCD 可能正确.故选：BCD.11．若函数31,0()14727,0x x x x f x x x ⎧+<⎪=-⎨⎪-⋅-≥⎩，则函数()1()1g x f x a x =+--的零点情况说法正确的是（）A ．函数()g x 至少有两个不同的零点B ．当[)1,3a ∈-时，函数()g x 恰有两个不同的零点C ．函数()g x 有三个不同零点时，{}5,3a ∈-D ．函数()g x 有四个不同零点时，()3,a ∈+∞【正确答案】ABC 【分析】根据题意，令1x a t x+-=，则函数()g x 的零点也即方程()1=f t 的解，根据函数()f x 的解析式可得：1t =-或3t =，再结合对勾函数的性质逐项进行判断即可求解.【详解】令1x a t x +-=，则函数()11g x f x a x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭的零点即方程()1=f t 的解，当0t <时，31()11t f t t +==-，解得：1t =-；当0t ≥时，()47271t t f t =-⋅-=，解得：3t =；也即11x a x +-=-或13x a x +-=，则有11x a x+=-或13x a x +=+，因为1()x x x ϕ=+，当0x >时，1()2x x xϕ=+≥（当且仅当1x =时取等号）；当0x <时，11()[()(2x x x x xϕ=+=--+-≤-（当且仅当=1x -时取等号），对于A ，若函数()g x 没有零点，则有2132a a -<-<+<，无解，所以函数()g x 必有零点，当1a =-时，112x a x+=-=-有一个零点，132x a x +=+=有一个零点，其他时候至少两个零点，所以函数()g x 至少有两个不同的零点，故选项A 正确；对于B ，当1a =-时，由选项A 的分析可知：函数()g x 有两个零点；当13a -<<时，212a -<-<，236a <+<，此时方程11x a x+=-无解；方程13x a x +=+有两解，此时函数()g x 有两个零点；综上所述：当[)1,3a ∈-时，函数()g x 恰有两个不同的零点，故选项B 正确；对于C ，若函数()g x 有三个不同零点，则方程11x a x+=-有一解且13x a x +=+有两解，或者方程11x a x+=-有两解且13x a x +=+有一解，当方程11x a x+=-有一解且13x a x +=+有两解时，则有3212a a +>⎧⎨-=⎩或3212a a +>⎧⎨-=-⎩，解得：3a =；当方程11x a x+=-有两解且13x a x +=+有一解时，则有3212a a +=-⎧⎨-<-⎩或3212a a +=⎧⎨-<-⎩，解得：5a =-；综上所述：若函数()g x 有三个不同零点时，{}5,3a ∈-，故选项C 正确；对于D ，若函数()g x 有四个不同零点，则方程11x a x+=-和13x a x +=+均有两解，则有3212a a +>⎧⎨->⎩或3212a a +>⎧⎨-<-⎩或3212a a +<-⎧⎨-<-⎩，解得：3a >或5a <-，故选项D 错误，故选.ABC12．已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，且当[]0,1x ∈时，()f x x +的值域为[]0,1，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的图象关于点()1,0对称B ．()f x 的图象关于12x =对称C ．[]1,1x ∈-时，()f x x +的值域为[]1,1-D ．[]0,2x ∈时，()f x x +的值域为[]0,2【正确答案】ACD【分析】根据周期性和奇函数可判断AB,由奇函数的对称性可判断C,结合周期性以及奇函数的对称性可判断D.【详解】对于A,函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，则()()2f x f x +=，故()()()()()111110f x f x f x f x f x +=-=--⇒++-=，故()f x 的图象关于点()1,0对称，A 正确，对于B,()()()111f x f x f x -+=--=-+,得不到()()1f x f x -+=，故无法确定()f x 的图象是否关于12x =对称，故B 错误，对于C,由()f x 是奇函数，记()()g x f x x ，=+故()()()()=g x f x x f x x g x ---=--=-，所以()g x 是奇函数，当[]0,1x ∈时，()f x x +的值域为[]0,1，故当[]1,0x ∈-时，()f x x +的值域为[]1,0-，进而可得[]1,1x ∈-时，()f x x +的值域为[]1,1-，故C 正确，对于D ，当[]1,2x ∈时，[]21,0x -∈-，故()()22f x x -+-的值域为[]1,0-，由()f x 的周期性可得()()()()2222f x x f x x f x x +=-+=-+-+，故()f x x +值域为[]12，，又[]0,1x ∈时，()f x x +的值域为[]0,1，因此[]0,2x ∈时，()f x x +的值域为[]0,2，故D 正确，故选：ACD 三、填空题13．tan125sin273⋅ ______0（填,><）【正确答案】>【分析】直接判定角所在象限及其正负即可.【详解】125 在第二象限，tan1250︒∴<,273︒ 在第四象限，sin 2730︒∴<,tan125sin 2730︒︒∴⋅>，故答案为.>14．若函数()()()221f x x x ax b =-++；且()()4f x f x =-，则a b +=______.【正确答案】7【分析】由题得()()13f f =，()()04f f =，得到方程组，解出即可.【详解】()(4)f x f x =- ，()()13f f ∴=，()()04f f =，即()()2083315164a b b a b ⎧=⨯++⎪⎨-=⨯++⎪⎩，解得815a b =-⎧⎨=⎩，故7a b +=，此时()()()221815f x x x x =--+，()()()()()()()2222441484151815f x x x x x x x f x ⎡⎤⎡⎤-=-----+=--+=⎣⎦⎣⎦故7.15．函数2214sin cos y x x=+的最小值是______.【正确答案】9【分析】利用同角三角函数的平方关系，结合基本不等式求函数最小值.【详解】由22sin cos 1x x +=，()222222222214144sin cos sin cos 14sin cos sin cos cos sin x x y x x x x x x x x ⎛⎫=+=++=+++ ⎪⎝⎭5549≥++=，当22224sin cos cos sin x x x x=，即2212sin ,cos 33x x ==时等号成立.所以函数2214sin cos y x x=+的最小值是9.故9.16．已知函数()2(1)1x x axf x x ++=+，对任意两个不等实数[)12,1,x x ∞∈+，都有()()2112120x f x x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是______.【正确答案】(],4∞-【分析】()()()()12211212121200f x f x x f x x f x x x x x x x -->⇒>--，则()11f x a x x x =+++在[)1,+∞上单调递增，据此可得答案.【详解】对任意两个不等实数[)12,1,x x ∞∈+，由()()2112120x f x x f x x x ->-可得()()121221011->-f x f x x x x x 即()()121212f x f x x x x x ->-，则()11f x ax xx =+++在[)1,+∞上单调递增，则取任意[)12,1,x x ∞∈+，12x x <，有()()121212121111⎛⎫-=++-++ ⎪++⎝⎭f x f x a a x x x x x x ()()()()()12121211011++-=-⋅<++x x a x x x x ，又()()()12120110，x x x x -<++>.则()()12110x x a ++->，即()()1211a x x <++，对任意[)12,1,x x ∞∈+恒成立，注意到()()12114++>x x ，则4a ≤.故答案为.(],4∞-四、解答题17．（1）已知11223a a +=，求22173a a a a --+-++的值；（2）已知()()2cos sin π4π3πcos sin 22θθθθ-+-=⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求tan θ的值.【正确答案】（1）4；（2）2.【分析】（1）利用指数幂的运算性质化简求值；（2）利用诱导公式和同角三角函数的基本关系化简求值.【详解】（1）()21112227a a a a --⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭，∴()()2221247a a a a --+=+-=，∴原式477473-==+.（2）()()2cos sin π2cos sin 4π3πsin cos cos sin 22θθθθθθθθ-+-+==-⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3sin 6cos θθ∴=，sin tan 2cos θθθ∴==.18．已知集合{}{}2132,280A xa x a B x x x =-≤≤-=--≤∣∣.(1)若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围；(2)若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)1[,)2-+∞(2)(,1]-∞-【分析】（1）解不等式可得集合B ，由A B B ⋃=可得A B ⊆，讨论A 为空集和非空集两种情况，求得答案；（2）由题意可得集合B 为集合A 的真子集，列出不等式组，求得答案.【详解】（1）解2280x x --≤得24x -≤≤，知{}24B xx =-≤≤∣，由A B B ⋃=，得A B⊆①当A =∅时，132a a ->-，解得43a >；②当A ≠∅时，13212324a aa a -≤-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，解得1423a -≤≤，综上，12a ≥-，即实数a 的取值范围为1[,)2-+∞.（2）由题意x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，可知B A ，则13212324a aa a -≤-⎧⎪-≤-⎨⎪-≥⎩，解得1a ≤-，经检验1a =-，符合题意，故1a ≤-，即实数a 的取值范围是(,1]-∞-.19．已知,R a b +∈，函数()a f x x x b=+-.(1)若()()123f f ==，求()f x ；(2)若1b =，当[]2,3x ∈时，求()f x 的最小值.【正确答案】(1)()2f x x x=+(2)()(]()[)min 20,111,434,2a a f x a a a ∞⎧+∈⎪⎪=∈⎨⎪⎪+∈+⎩【分析】（1）根据所给条件代入函数解析式，即可得到方程组，解得a 、b ，即可求出函数解析式；（2）设1t x =-，()1a g t t t=++，[]1,2t ∈，根据对勾函数的性质对a 分01a <≤、14a <<、4a ≥三种情况讨论，分别求出函数的最小值，即可得解.【详解】（1）解：由题意知131232a b a b ⎧+=⎪⎪-⎨⎪+=⎪-⎩，222a b a b =-⎧∴⎨=-⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩，()2f x x x∴=+.（2）解：()1111a a f x x x x x =+=-++-- ，()0a >，设1t x =-，因为[]2,3x ∈，则[]1,2t ∈，令()1a g t t t =++，[]1,2t ∈，根据对勾函数的性质可知()g t在(上单调递减，在)+∞上单调递增，当01a <≤时()g t 在[]1,2上单调递增，所以()()min 12g t g a ==+，当14a <<时()g t在⎡⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，所以()min 1g t g==，当4a ≥时()g t 在[]1,2上单调递减，所以()()min 232a g t g ==+，()(]()[)min20,111,434,2a a f x a a a ∞⎧+∈⎪⎪∴=+∈⎨⎪⎪+∈+⎩.20．为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元.设屋子的左右两面墙的长度均为x 米(36)x ≤≤.(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为1800(1)a x x+元(0)a >，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a 的取值范围.【正确答案】(1)4米，28800元(2)012.25a <<【分析】(1)建立函数模型，利用基本不等式求最小值;(2)根据不等式的恒成立问题求参数的取值范围.【详解】（1）设甲工程队的总造价为y 元，则24163(3002400)144001800()14400(36)y x x x x x =⨯+⨯+=++≤≤161800()14400180021440028800x x ++≥⨯+=.当且仅当16x x=，即4x =时等号成立.即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元.（2）由题意可得，161800(1)1800(14400a x x x x+++>对任意的[]36x ∈，恒成立.即2(4)(1)x a x x x++>，从而2(4)1x a x +>+恒成立，令1x t +=，22(4)(3)96,1x t t x t t++==+++[4,7]t ∈又96y t t=++在[4,7]t ∈为单调增函数，故min 12.25y =.所以012.25a <<.21．已知0,0,3232m n n m m n -->>+<+.(1)证明：m n <；(2)若函数()4log (0,1)4ax f x a a x -=>≠+，当定义域为(),m n 时，值域为()()()1log 2,1log 2a a n m +-+-，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)证明见解析(2)10,18⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）通过变形得113322m m n n -<-，利用函数()132x xh x =-的单调性即可；（2）首先求出(0,1)a ∈，则得到方程组，转化成,m n 是()424t a t t -=-+上两个大于4的根，即()221480at a t a +-+-=上有两个大于4的根，列出不等式组，解出即可.【详解】（1）1132323322m m nm n n n n ---<-⇒-<- 设()132xx h x =-，设12113,22x x x y y ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，易得12,y y 在R 上为增函数，则()h x 为增函数，而()()h m h n <，即m n <.（2）由题意知：()()()0,11log 21log 2a a m n a n m <⎧⇒∈⎨+-<+-⎩,48()log log 144aa x f x x x -⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，()()440x x -+>，解得>4x 或<4x -设3814y x =-+，()(),44,x ∈-∞-⋃+∞，因为反比例函数48y x=-在(),0∞-和()0,∞+上单调递增，通过向左平移4个单位，再向上平移1个单位即可得到3y ，则函数3814y x =-+在(),4-∞-和()4,+∞上单调递增，根据复合函数单调性知()f x 在(),4-∞-和()4,+∞的范围内各自单调递减，而2020m n ->⎧⎨->⎩，且m n <，故2m n <<，因为定义域为(),m n ，故4m n <<，根据()f x 在()4,+∞上单调递减，()()4log log 244log log 24a a a a m a m m n a n n -⎧=-⎪⎪+∴⎨-⎪=-⎪+⎩，,m n ∴是方程()424t a t t -=-+上两个大于4的根，()221480at a t a ∴+-+-=上有两个大于4的根，则有()()22Δ(21)1612042144801242a a a a a a a a⎧⎪=--->⎪⋅+-⋅+->⎨⎪-⎪>⎩，11218100,181010a a a a a ⎧><⎪⎪⎛⎫∴>⇒∈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪<<⎩或.22．已知函数()221,01,0x ax x f x x ax x ⎧++>=⎨--<⎩.(1)当2a =时，求()f x 的单调递减区间；(2)当0a =时，函数()()()22R g x f x k x x k =--∈恰有3个不同的零点，求实数k 的取值范围.【正确答案】(1)(),0∞-(2)⎫⎪⎝+⎭∞⎪【分析】（1）由2a =，得到()f x ，利用二次函数的性质求解；（2）由题意得到()221,01,0x x f x x x ⎧+>=⎨-<⎩，再分2x >，02x <<，0x <，转化为两函数交点求解；法二：令()0g x =，转化为1,021,0x x x k x x x x ⎧+>⎪⎪-=⎨⎪-<⎪⎩，利用数形结合法求解；【详解】（1）解：当2a =时，()222221,0(1),021,0(1)2,0x x x x x f x x x x x x ⎧⎧++>+>⎪==⎨⎨--<--<⎪⎩⎩，由二次函数的性质得()f x 的单减区间为(),0∞-.（2）由题意知，()221,01,0x x f x x x ⎧+>=⎨-<⎩，易知2x =不是()g x 的零点.①当2x >时，()()2212g x x k x x =+--，令()0g x =，则222121122x x k x x x x++==+--，②当02x <<时，()()2212g x x k x x =++-，令()0g x =，则222121122x x k x x x x++-==+--，③当0x <时，()()2212g x x k x x =---，令()0g x =，则222121122x x k x x x x --==+--，设21x t +=，则221411526x x x t t ++=+--+，记()4156h t t t=+-+，对于①，()5,t ∈+∞，设56m t t=-+，任取()12,5,t t ∈+∞，且12t t <，则()1212121212555661m m t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫-=-+--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()12,5,t t ∈+∞，所以12510t t ->，又12t t <，则120t t -<，所以120m m -<，即12m m <，则m 在()5,+∞上递增，此时()h t 单调递减，且()()1,h t ∞∈+，故当()1,k ∈+∞时，()g x 只有1个零点：当(],1k ∈-∞时，()g x 没有零点.对于②，()1,5t ∈，此时()h t在(单调递减，在)单调递增，且1t =时，()h t 趋近-∞，5h t ==时，()h t 趋近-∞，，故当k ∞⎛-∈- ⎝⎭，即k ∞⎫∈+⎪⎪⎝⎭时，()g x 有2个零点；当12k ∞⎛⎫---∈+ ⎪ ⎪⎝⎭，即k ∞⎛∈- ⎝⎭时，()g x 没有零点；当12k =时，()g x 只有1个零点.对于③，令21x m -=，则221411322x x x m m-+=+---，记()4132m m m ϕ=+--，因为(),0x ∈-∞，则(),1m ∈-∞-，显然()m ϕ在(),1-∞-单调递减，且()(),1m ϕ∞∈-，则(),1k ∈-∞时，()g x 有1个零点：当[)1,k ∈+∞时，()g x 没有零点.综上所述，k ∞⎫∈+⎪⎪⎝⎭时，()g x 有3个零点.法二：令()0g x =，即2221,021,0x x k x x x x ⎧+>-=⎨-<⎩，因为0x ≠，故1,021,0x x x k x x x x ⎧+>⎪⎪-=⎨⎪-<⎪⎩，因为1y x x =+与1y x x=-的渐近线分别为y x =和y x =-，而2y k x =-是恒过()2,0的折线.由图可知，当()2y k x =-与1y x x=+相切时，()g x 有两个零点，即()12k x x x-=+在()0,1有且只有一个解.即()21210k x kx +-+=在()0,1有且只有一个解.当10k +=，即1k =-时，12x =-，不成立；当10k +≠时，()24410k k ∆=-+=，解得12k +=，故当1,2k ∞⎛⎫∈+ ⎪ ⎪⎝⎭时，()g x 有3个零点.。