二次根式和勾股定理数学测试题_(1)
2023—2024年人教版初二数学勾股定理达标测试
2023—2024年人教版初二数学勾股定理达标测试 班级 姓名 得分 一、单选题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 1．下列二次根式中，不能与2合并的是（ ） A ．12 B ．8 C ．12 D ．182．下列计算中，正确的是（ ）A ．233255+=B ．333236⨯=C ．2733÷=D ．2222-=3．估计13介于（）A ．1与2之间B ．2与3之间C ．3与4之间D ．4与5之间 4．计算2(32)-的值为（ ）A ．32-B ．32+C ．23-D ．32--5．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，1BC =．将AB 边与数轴重合，点A ，点B 对应的数分别为1-，2．以点A 为圆心，AC 的长为半径画弧，交数轴于点D ，则点D 表示的数为（ ）A ．3B ．10C ．101-D ．101--6．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，那么化简2a b a --的结果是（ ）A ．2a b -B ．bC ．b -D ．2a b -+7．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得ABC ，则AC 边上的高长度为（ ）第7题 第8题A ．355 B ．3510 C ．55 D ．5108．如图，一根长25m 的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端7m .如果梯子的顶端下滑4m ，那么梯子的底端将向右滑动（ ）A ．15mB ．9mC ．7mD ．8m9．如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A 、B 、C 的面积依次为2、4、3，则正方形D 的面积为（ ）第9题 第10题 第11题A ．7B ．8C ．9D ．1010．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度为（ ）A ．3尺B ．3.2尺C ．3.6尺D ．4尺11．如图，长方体的长为2，宽为1，高为3，一只蚂蚁从点A 出发，沿长方体的外表面到点B 处觅食，则它爬行的最短路程为（ ）A 14B 18C 20D 2612222233+333388+=44441515+=55552424+=1010b b a a +则a b +的值为（ ）A ．179B ．109C ．210D ．104二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）138=_____．14．点()9,40P 到坐标原点的距离是__________．15．已知a 10b 是它的小数部分，则210a b +______．16．如图，有两棵树，一棵高8m ，另一棵高2m ，两树相距8m ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m ．17．某会展期间，准备在高5BC =米、长13AC =米，宽2米的楼梯上铺地毯，则所铺地毯的面积为 __________平方米．18．如图，已知直角三角形ABC 的周长为24，且阴影部分的面积为24，则斜边AB 的长为______．三、解答题19．计算（每小题5分，共计25分）． (1)32712+-． (2)()21122321+---． (3) 1013220223-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭ (4)()()()232233223223+⨯---．20．（7分）在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点位置如图所示．(1)请画出ABC 关于x 轴对称的A B C '''（其中A '，B '，C '分别是A ，B ，C 的对应点）；(2)直接写出A B C '''三点的坐标：A '__________，B '__________，C '__________；(3)求AC '的长为__________．21．（8分）如图，Rt ABC △中，18,12,90AB BC B ==∠=︒，将ABC 折叠，使点A 与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，求线段BN 的长．22．（8分）如图，海中有一小岛P ，它的周围12海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在M 处测得小岛P 在北偏东60°方向上，航行16海里到N 处，这时测得小岛P 在北偏东30°方向上．(1)求M 点与小岛P 的距离；(2)如果渔船不改变航线继续向东航行，是否有触礁危险，并说明理由．23．（8分）如图，某电信公司计划在A ，B 两乡镇间的E 处修建一座5G 信号塔，且使C ，D 两个村庄到E 的距离相等．已知AD AB ⊥于点A ，BC AB ⊥于点B ，80km AB =，50km AD =，30km BC =，求5G 信号塔E 应该建在离A 乡镇多少千米的地方？24．（10分）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理，图1与图2都是由四个全等的直角三角形构成，图3是由两个全等的直角三角形构成（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）(2)如图4，以直角三角形的三边为直径向外部作半圆，请写出1S 、2S 和3S 的数量关系：___________．。
人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理综合训练试题(含详细解析)
人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理综合训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知一个直角三角形两直角边边长分别为6和8，则斜边边长为（）A．10B．C．15D．10或2、如图，在△ABC中，BC＝C＝45°，若D是AC的三等分点（AD＞CD），且AB＝BD，则AB的长为（）A．2B C D．5 23、小亮想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2m，当他把绳子的下端拉开8m 后，下端刚好接触到地面，则学校旗杆的高度为（）A．10m B．12m C．15m D．18m4、已知直角三角形的斜边长为5cm ，周长为12cm ，则这个三角形的面积（ ）A ．24cmB ．25cmC ．26cmD ．212cm5、下列各组数中，是勾股数的是（ ）A ．0.3，0.4，0.5B ．52，6，132 C 2 D ．9，12，156、如图，数轴上点A 所表示的数是（ ）A B C D 17、如图，在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，AD 为∠BAC 的平分线，将△ADC 沿直线AD 翻折得△ADE ，则DE 的长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．78、如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要（ ）A ．8 cmB ．10 cmC ．12 cmD ．15 cm9、下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）A ．2、3、4 BC ．5、12、13D ．30、50、6010、满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是（ ）A ．∠A ：∠B ：∠C ＝5：12：13B ．a ：b ：c ＝3：4：5C ．∠C ＝∠A ﹣∠BD ．b 2＝a 2﹣c 2第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么_____．2、△ABC 的三条边长a 、b 、c 满足8c =60b -=，则△ABC ____直角三角形（填“是”或“不是”）3、已知：点A 的坐标为()3,4，点B 坐标为()1,1-，那么点A 和点B 两点间的距离是______．4、如图，已知△ABO 为等腰三角形，且OA ＝AB ＝5，B （﹣6，0），则点A 的坐标为_____．5、如图，△ABC 是边长为12的等边三角形，D 是BC 的中点，E 是直线AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 逆时针旋转60°得到FC ，连接DF ．则在点E 的运动过程中，当DF 的长度最小时，CE 的长度为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、（阅读理解）我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ．图中大正方形的面积可表示为()2a b +，也可表示为2142c ab +⨯，即()22142a b c ab +=+⨯=，所以222+=a b c ． （尝试探究）美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE ，其中BCA ADE △△≌，90C D ∠=∠=︒，根据拼图证明勾股定理．（定理应用）在Rt ABC △中，90C ∠=︒，A ∠、B 、C ∠所对的边长分别为a 、b 、c ．求证：222244a c a b c b +=-．2、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，求网格上的三角形ABC 的面积和周长．3、如图，在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，AB ＝5，点D 是边AB 上的一个动点，连接CD ，过C 点在上方作CE ⊥CD ，且CE ＝CD ，点P 是DE 的中点．（1）如图①，连接AP，判断线段AP与线段DE的数量关系并说明理由；（2）如图②，连接CP并延长交AB边所在直线于点Q，若AQ＝2，求BD的长．4、如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做“格点”，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：（1）在图①中画出一个钝角三角形，使它的面积为4，并求出该三角形的三边长；（2）在图②中画出一个面积为10的正方形．5、如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．（1（2）此三角形的面积是．---------参考答案-----------一、单选题1、A【分析】已知两直角边边长分别为6和8，利用勾股定理求斜边即可．【详解】解： ∵一个直角三角形两直角边边长分别为6和8，斜边边长，∴斜边边长为10．故选A ．【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中明确直角边或斜边，直接应用勾股定理，如果条件不明确时那条边是斜边，要注意讨论．2、B【分析】作BE ⊥AC 于E ，根据等腰三角形三线合一性质可得AE =DE ，根据∠C ＝45°，得出∠EBC =180°-∠C -∠BEC =180°-45°-90°=45°，可得BE =CE ，利用勾股定理求出CE =BE =2，根据D 是AC 的三等分点得出AE =DE =121233AC AC ⨯==CD ，求出CD =1，利用勾股定理AB 【详解】解：作BE ⊥AC 于E ，∵AB ＝BD ，∴AE =DE ，∵∠C ＝45°，∴∠EBC =180°-∠C -∠BEC =180°-45°-90°=45°，∴BE =CE ，在Rt △BEC 中，∴(22222+2BE CE CE BC ===，∴CE =BE =2，∵D 是AC 的三等分点，∴CD =13AC ，AD =AC -CD =1233AC AC AC -=，∴AE =DE =121233AC AC ⨯==CD ，∴CE =CD +DE =2CD =2，∴CD =1，∴AE =1，在Rt △ABE 中，根据勾股定理AB故选B ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，三等分线段，掌握等腰三角形的性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，三等分线段是解题关键．3、C【分析】根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+2）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．【详解】解：根据题意画出图形如下所示：则BC＝8m，设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+2）m，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即x2+82＝（x+2）2，解得x＝15，故AB＝15m，即旗杆的高为15m．故选：C．【点睛】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．4、C【分析】设该直角三角形的两条直角边分别为a、b，根据勾股定理和周长公式即可列出方程，然后根据完全平方公式的变形即可求出2ab 的值，根据直角三角形的面积公式计算即可．【详解】解:设该直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，根据题意可得：22251257a b a b ⎧+=⎨+=-=⎩①② 将②两边平方－①，得224ab =∴12ab = ∴该直角三角形的面积为2126ab cm = 故选:C【点睛】此题考查的是直角三角形的性质和完全平方公式，根据勾股定理和周长列出方程是解决此题的关键．5、D【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．【详解】解：A 、不是勾股数，因为0.3，0.4，0.5不是正整数，故此选项不符合题意；B 、不是勾股数，因为52，132不是正整数，故此选项不符合题意；CD 、是勾股数，因为222912=15+，故此选项符合题意；故选D ．【点睛】本题考查勾股数的概念，勾股数是指：①三个数均为正整数；②其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方．6、D【分析】先根据勾股定理计算出BC BA＝BC AD的长，接着计算出OA的长，即可得到点A所表示的数．【详解】解：如图，BD＝1﹣（﹣1）＝2，CD＝1，∴BC∴BA＝BC∴AD2，∴OA＝21，∴点A1．故选：D【点睛】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴的关系，熟练掌握勾股定理，实数与数轴的关系是解题的关键．7、B【分析】在Rt ABC∆中利用勾股定理求出AC长，利用折叠性质：得到ADE ADC∆∆≌，求出对应相等的边，设DE＝x，在Rt BDE∆中利用勾股定理，列出关于x的方程，求解方程即可得到答案．【详解】解：∵AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，∴AC2222BC，6810∵AD为∠BAC的平分线，将△ADC沿直线AD翻折得△ADE，≌，∴∆∆ADE ADC∴A、B、E共线，AC＝AE＝10，DC＝DE，∴BE＝AE﹣AB＝10﹣6＝4，在Rt△BDE中，设DE＝x，则BD＝8﹣x，∵BD2+BE2＝DE2，∴（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，∴DE＝5，故选：B．【点睛】本题主要是考查了直角三角形的勾股定理以及折叠中的三角形全等的性质，熟练利用折叠得到全等三角形，找到直角三角形中的各边的关系，利用勾股定理列方程，并求解方程，这是解决该类问题的关键．8、B【分析】立体图形展开后，利用勾股定理求解．【详解】解：将长方体沿着AB边侧面展开，并连接'AB，如下图所示：由题意及图可知：'13138AB cm=，=+++=，''6AA cm两点之间，线段最短，故'AB的长即是细线最短的长度，''∆中，由勾股定理可知：'10Rt AAB===，AB cm故所用细线最短需要10cm．故选：B．【点睛】本题主要是考查了勾股定理求最短路径、两点之间线段最短以及立体图形的侧面展开图，因此，正确得到立体图形的侧面展开图，熟练运用勾股定理求边长，是解决此类问题的关键．9、C【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．【详解】解：A、22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；B、2+22，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；C、52+122=132，能构成直角三角形，故此选项符合题意；D、302+502≠602，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．10、A【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理逆定理对各选项分析判断利用排除法求解．【详解】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝5：12：13，∴∠C＝180°×1325＝93.6°，不是直角三角形，故此选项正确；B、∵32+42＝52，∴是直角三角形，故此选项不合题意；C、∵∠A﹣∠B＝∠C，∴∠A＝∠B+∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，∴是直角三角形，故此选项不合题意；D、∵b2＝a2﹣c2，∴a2＝b2+c2，是直角三角形，故此选项不合题意；故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，主要利用了三角形的内角和定理，勾股定理逆定理．二、填空题1、222+=a b c【分析】利用勾股定理：两条直角边长的平方和等于斜边长的平方和，即可得到答案．【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理可知：222+=a b c ．故答案为：222+=a b c ．【点睛】本题主要是考查了直角三角形的勾股定理，熟练掌握勾股定理的内容，注意区分好直角边和斜边，这是解决该类问题的关键．2、不是【分析】根据二次根式有意义的条件以及绝对值的非负性，得出,a b 的值，运用勾股定理逆定理验证即可．【详解】60b -=，∴40a -=，60b -=，∴4,6a b ==，则22246528+=≠，∴222a b c +≠，∴△ABC 不是直角三角形，故答案为：不是．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值的非负性，勾股定理逆定理等知识点，根据题意得出,a b 的值是解本题的关键．3、5【分析】根据两点间距离公式求解即可．【详解】∵点A 的坐标为()3,4，点B 坐标为(1,1)-，∴点A 和点B 5=．故答案为：5．【点睛】本题考查两点间距离，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则两点间的距离是AB 距离公式是解题的关键．4、（﹣3，4）【分析】过点A 作AC x ⊥ 轴于点C ，AD y ⊥轴于点D ，根据AB ＝AO ，AC ⊥BO ，得OC ＝132OB =，在Rt △AOC 中，由勾股定理得：AC ＝4，即可求出点A 的坐标．【详解】解：如图，过点A 作AC x ⊥ 轴于点C ，AD y ⊥轴于点D ，∵B（﹣6，0），∴OB＝6，∵AB＝AO，AC⊥BO，∴OC＝132OB=，在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC4=，∴A（﹣3，4）．故答案为：（﹣3，4）【点睛】本题主要考查了坐标与图形，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．5、【分析】取线段AC的中点G，连接EG，根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出CD CG=以及FCD ECG，由旋转的性质可得出EC FC=，由此即可利用全等三角形的判定定理SAS证出ΔΔFCD ECG≅，进而即可得出DF GE=，再根据点G为AC的中点，求出AD和DE的长，由勾股定理可得出答案．【详解】取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．ABC ∆为等边三角形，且AD 为ABC ∆的对称轴，162CD CG AB ∴===，60ACD ∠=︒， 60ECF =︒∠，FCD ECG ．在ΔFCD 和ECG ∆中，FC EC FCD ECG DC GC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ΔΔ()FCD ECG SAS ∴≅，DF GE ∴=．当//EG BC 时，EG 最小，此时E 为AD 的中点，12AB BC ==，6DC =，AD ∴==12DE AD ∴==CE ∴==故答案为【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出DF GE =．三、解答题1、尝试探究：证明见解析；定理应用：证明见解析【分析】尝试探究：根据全等三角形性质，得BAC AED ∠=∠，结合题意，根据直角三角形两锐角互余的性质，推导得90BAE ∠=︒；结合梯形、三角形面积计算公式，通过计算即可证明222+=a b c ；定理应用：根据提取公因式、平方差公式的性质分析，即可完成222244a c a b c b +=-证明．【详解】尝试探究：∵BCA ADE △△≌，∴BAC AED ∠=∠．∵90D ∠=︒∴90DAE AED ∠+∠=︒．∴90DAE BAC ∠+∠=︒．∵180BAC AED BAE ∠+∠+∠=︒．∴90BAE ∠=︒． ∵直角梯形的面积可以表示为()212a b +，也可以表示为211222ab c ⨯+， ∴()221112222a b ab c +=⨯+， 整理，得222+=a b c ．定理应用：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，∴222+=a b c ；∵2222a c a b +()222a c b =+．44c b -()()()2222222c b c b a c b =+-=+∴222244a c a b c b +=-．【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形、全等三角形、平方差公式的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、直角三角形两锐角互余、平方差公式的性质，从而完成求解．2、面积是7【分析】利用面积和差和勾股定理求解即可．【详解】解：△ABC 的面积=111441432247222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=；由勾股定理得：ABBC =AC ==所以△ABC【点睛】本题考查了勾股定理，解题关键是熟练运用勾股定理求线段长．3、（1）AP ＝12DE ，理由见解析；（2）BD ＝56或4514【分析】（1）连接AE ，首先根据∠ACB ＝∠ECD ＝90°，得到∠ECA ＝∠DCB ，然后证明△BCD ≌△ACE （SAS ），根据全等三角形对应角相等得到∠EAC ＝∠B ＝45°，进一步得出∠EAD ＝90°，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出AP ＝12DE ；（2）分两种情况讨论：当Q 在线段AB 上时和当Q 在线段BA 延长线上时，连接AE ，EQ ，根据题意得出CQ 垂直平分DE ，进而根据垂直平分线的性质得到EQ ＝DQ ，设BD ＝AE ＝x ，在Rt △AEQ 中根据勾股定理列方程求解即可；【详解】解：（1）AP ＝12DE ，理由：连接AE ，如图，∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＝∠CBA ＝45°．∵∠ACB ＝∠ECD ＝90°，∴∠ECA ＝∠DCB ．在△BCD 和△ACE 中，CE CD ECA DCB AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BCD ≌△ACE （SAS ）．∴∠EAC ＝∠B ＝45°．∴∠EAD＝∠EAC+∠BAC＝90°．又∵P为DE中点，∴AP＝12DE．（2）情况（一），当Q在线段AB上时，连接AE，EQ，如图，∵CE⊥CD，且CE＝CD，点P是DE的中点，∴CP⊥DE．即CQ垂直平分DE，∴EQ＝DQ．设BD＝AE＝x，EQ＝DQ＝AB﹣AQ﹣BD＝3﹣x，由（1）知：∠EAB＝90°，∴EA2+AQ2＝EQ2．∴x2+22＝（3﹣x）2，解得x＝56，即BD＝56；情况（二），当Q在线段BA延长线上时，连接AE，EQ，如图，∵CE⊥CD，且CE＝CD，点P是DE的中点，∴CP⊥DE．即CQ垂直平分DE，∴EQ＝DQ．设BD＝AE＝x，同理可得方程：x2+22＝（7﹣x）2，解得x＝45 14．综上：BD＝56或4514．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的运用，垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是根据题意正确作出辅助线．4、 (1)三角形如图①所示，三边长分别为2、（2）正方形如图②所示．【分析】（1）画一个底边长是2，高为4的钝角三角形即可，然后利用勾股定理可以求出各边长．（2【详解】（1）如图①所示：很明显，12442EMFS=⨯⨯=，且FM=2，又由题意可得：EM=，EF=（2）如图②所示，由题意可得：AB=BC=CD=DA【点睛】本题考查的是勾股定理的综合应用，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．5、（1）画图见解析；（2）5.5【分析】（1）利用勾股定理在网格中确定2222223110,2313,1417,AB AC BC再顺次连接,,A B C即可；（2）利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可. 【详解】解：（1）如图，ABC即为所求作的三角形，其中：2222223110,2313,1417, AB AC BC（2）11134132314 5.5,222ABCS故答案为：5.5【点睛】本题考查的是网格中作三角形，勾股定理的应用，网格三角形的面积的计算，掌握“利用勾股定理求解网格三角形的边长”是解本题的关键.。
期末二次根式+勾股定理+四边形高频题形复习(含答案)2020-2021学年人教八年级数学下册
八年级下册数学期末复习（一）一、选择题1．若是二次根式，则下列说法正确的是（ ） A ．x ≥0B ．x ≥0且y ＞0C ．x 、y 同号D ．x ≥0，y ＞0或x ≤0，y ＜0 2．已知x 、y 为实数，且．则的值为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8 3．当xy ＜0时，化简等于（ ） A ．B ．C ．D ．4．化简的结果为（ ）A ．﹣B ．C ．﹣D ．﹣5．下列计算正确的是（ ）A ．B ．C ．2＝6×25＝150D ．2＝6×5＝306．化简2﹣||的结果是（ ） A ．4B ．C ．D ．27．已知x ＝2+，y ＝2﹣，则﹣2的值为（ ） A ．14B ．12C ．16D ．2 8．已知xy ＝3，那么x +y 的值是（ ）A ．2B ．﹣2C ．±2D ．±9．如图，一架5米长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AC 上，这时梯足B 到墙底端C 的距离为3米，如果梯子的顶端A 下滑2米，则梯足将向外移（ ）A ．2米B ．21米C ．321+米D ．321-米10．下列说法中，正确的有（ ）①如果∠A +∠B ＝∠C ，那么△ABC 是直角三角形；②如果∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5，则△ABC 是直角三角形；③如果三角形三边之比为：：，则△ABC 为直角三角形；④如果三角形三边长分别是n 2﹣1、2n 、n 2+1（n ＞1），则△ABC 是直角三角形．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．下列说法不正确的是（ ）A ．一组邻边相等的矩形是正方形B ．有一组邻边相等、一个角是直角的四边形是正方形C ．对角线相等的菱形是正方形D ．对角线互相垂直的矩形是正方形12．如图，E ，F ，G ，H 分别是BD ，BC ，AC ，AD 的中点，且AB ＝CD ，下列结论：①EG⊥FH ；②四边形EFGH 是菱形；③HF 平分∠EHG ；④EG ＝（BC ﹣AD ），其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．下列能判定一个四边形是平行四边形的是（ ）A ．对角线相等，且一组对角相等的四边形是平行四边形B ．一对邻角的和为180°的四边形是平行四边形C ．两条对角线相互垂直的四边形是平行四边形D ．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点E ，点F 分别是AC ，BC 的中点，D 是斜边AB 上一点，则添加下列条件可以使四边形DECF 成为矩形的是（ ）A ．∠ACD ＝∠BCDB ．AD ＝BDC ．CD ⊥AB D ．CD ＝AC15．如图所示，四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，下列判断中，不能判断四边形ABCD 是矩形的是（ ）A ．AB ＝CD ，AD ＝BC ，∠BAD ＝90° B ．OA ＝OB ＝OC ＝ODC ．AB ∥CD 且AB ＝CD ，AC ＝BD D ．AB ∥CD 且AB ＝CD ，OA ＝OC ，OB ＝OD二、填空题16.已知x ＝，y ＝，求x 2+3xy +y 2的值为 ．17．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥BC 于E ，AB ＝10，BE ＝8，DE ＝6，则AD 的长是 ．18．已知点P 的坐标为（5，﹣10），则点P 到原点的距离为 ．19．若直角三角形的三边分别为x ，8，10，则x 2＝ ．20.如图，在三角形ABC 中，AB ＝9，AC ＝10，点D 是BC 边上的高，求AD 的长度等于 ．21．已知：Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，P 为AB 上任意一点，PF ⊥AC 于F ，PE ⊥BC 于E ，则EF 的最小值是 ．三、解答题22．阅读下列材料，解决后面的问题：根据（）2＝a ，＝a ﹣b ，及分式的性质，我们可以化去分母里的根号． 举例：请完成以下问题（1）化去各式分母里的根号：①②③； （2）观察（1）中各式，指出+与（n 为正整数）有什么关系？用数学式子表示这个关系．17题图 20题图 21题图（3）计算（2+）2019（2﹣）2021；（4）比较大小：．23.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BC，AC＝2，BC＝3．点E是BC延长线上一点，且CE＝3，连结DE．（1）求证：四边形ACED为矩形．（2）连结OE，求OE的长．24．如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE DC⊥，PF BC⊥，E、F分别为垂足，若3CE=，求AP的长．CF=，425．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝2，BD＝4，求OE的长．26．如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，点E在BC上，且PE PB=．（1）求证：PE PD=；（2）连接DE，试判断PED∠的度数，并证明你的结论．1-5 DCAAC6-10 CBCDC11-15 BCDBD16.解：∵x＝＝＝＝2﹣，y＝＝＝＝2+，∴原式＝（x+y）2+xy＝（2﹣+2+）2+（2﹣）（2+）＝42+4﹣3＝17．17.6518.519.36或16413520.171221.522.解：（1）①原式＝﹣1；②原式＝﹣；③原式＝2﹣；（2）＝﹣；（3）原式＝[（2+）（2﹣）]2019•（2﹣）2＝（4﹣3）2019•（4+3﹣4）＝7﹣4；（4）﹣＝，﹣＝，而＞，所以﹣＞﹣．故答案为＞．23.（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD＝BC＝3，AD∥BC，∵CE＝3，∴AD＝CE，∴四边形ACED 是平行四边形， ∵AC ⊥BC ，∴∠ACE ＝90°，∴四边形ACED 为矩形；（2）解：∵BO ＝DO ，BC ＝CE ， ∴OC ＝AC ＝1，∵∠ACE ＝90°，∴OE ＝＝＝．24.【解答】解：连接PC四边形ABCD 是正方形，AD DC ∴=，ADP CDP ∠=∠， PD PD =，APD CPD ∴∆∆≌，AP CP ∴=，四边形ABCD 是正方形，90DCB ∴∠=︒，PE DC ⊥，PF BC ⊥，∴四边形PFCE 是矩形，PC EF ∴=，90DCB ∠=︒，∴在Rt CEF ∆中，222224325EF CE CF =+=+=， 5EF ∴=，5AP CP EF ∴===．25.解：（1）∵AB ∥CD ，∴∠ABD ＝∠CDB ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD∴∠CDB ＝∠CBD ，∴BC ＝CD ，且AB ＝BC∴CD ＝AB ，且AB ∥CD∴四边形ABCD 是平行四边形，且AB ＝BC ∴四边形ABCD 是菱形；（2）∵四边形ABCD 是菱形，∴OA ＝OC ，BD ⊥AC ，BO ＝DO ＝2 ∵AO ＝＝＝4 ∵CE ⊥AB ，AO ＝CO∴EO ＝AO ＝CO ＝426.【解答】（1）证明：四边形ABCD 是正方形， BC CD ∴=，ACB ACD ∠=∠，在PBC ∆和PDC ∆中，BC CD ACB ACD PC PC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()PBC PDC SAS ∴∆≅∆，PB PD ∴=，PE PB =，PE PD ∴=；（2）判断45PED ∠=︒． 证明：四边形ABCD 是正方形， 90BCD ∴∠=︒，PBC PDC ∆≅∆，PBC PDC ∴∠=∠，PE PB =，PBC PEB∴∠=∠，∴∠=∠，PDC PEB∠+∠=︒，180PEB PEC∴∠+∠=︒，180PDC PEC在四边形PECD中，360()3601809090∠=︒-∠+∠-∠=︒-︒-︒=︒，EPD PDC PEC BCD又PE PD=，∴∆是等腰直角三角形，PDE∴∠=︒．PED45。
八年级数学下册《勾股定理》单元测试卷(带答案解析)
八年级数学下册《勾股定理》单元测试卷(带答案解析)一、单选题1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=√10，则BC的长为()A. 3√3B. √5+1C. √10−1D. √10+12.下列长度的线段中，能组成直角三角形的一组是()A. 1，√3，2B. 2，3，4C. 4，5，6D. 5，6，73.如图，在ΔABC中，三边a，b，c的大小关系是()A. a<b<cB. c<a<bC. c<b<aD. b<a<c4.下列各组数中，能成为直角三角形的三条边长的是()A. 3，5，7B. 5，7，8C. 4，6，7D. 1，√3，2，则AC的长为()5.如图，点A，B都在格点上，点C在线段AB上，每个小格长度为1，若BC=2√133A. √13B. 4√13C. 2√13D. 3√1336.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM=√2，则线段BN的长为()B. √2C. 1D. 2−√2A. √227.在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是(0,3)、(−4,0)，则原点到直线AB的距离是()A. 2B. 2.4C. 2.5D. 38.等腰三角形的一边长为4，另一边长为6，则这个等腰三角形的面积是()A. 3√7B. 8√2C. 6√7D. 3√7或8√29.如图，一只蚂蚁从长宽高分别是3，2，6的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是()A. √61B. 11C. 7D. 810.若一个三角形的三边长分别为a，b，c，满足(a−3)2+√b−4+|c−5|=0，则这个三角形的形状是()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定二、填空题11.如图，直角三角形的两直角边长分别为6 cm和8 cm，分别以三边为直径作半圆，则阴影部分的面积为_______________.12.已知直角三角形的三边长分别为6，7，x，则x2=_______________.13.△ABC中，∠C=90°，AB=8，BC=6，则AC的长是 ______.14.如图，在△ABC 中，点D 是BC 上一点，已知：AB =15，AD =12，AC =13，CD =5，则BC 的长为 ______.15.如图，学校有一块长方形花圈，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，踩伤了花草，则他们仅仅少走了 ______步路．(假设2步为1米)16.ΔABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，BC =3.以BC 为边作等边ΔBCD ，连接AD ，则AD 的长为____．17.如图，P 是∠AOB 的平分线OC 上一点，PD ⊥OB ，PE ⊥OA ，垂足分别为D ，E ，若PD =3，则PE 的长是 ______.18.如图，等腰ΔABC 的底边BC =20，面积为120，点F 在边BC 上，且BF =3FC ，EG 是腰AC 的垂直平分线，若点D 在EG 上运动，则ΔCDF 周长的最小值为______．三 、解答题19.在数轴上表示下列各数，并用“<”连接.−12，0，√3，√−83，(−1)2.20.如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“奇妙三角形”．(1)如图，在△ABC中，AB=AC=2√5，BC=4，求证：△ABC是“奇妙三角形”；(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2√3，若△ABC是“奇妙三角形”，求BC的长．21.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上．(1)线段AB的长是______；(2)在图中画出一条线段EF，使EF的长为√13，并判断AB、CD、EF三条线段的长能否成为一个直角三角形三边的长？说明理由．22.如图，某工人在两墙AB，CD之间施工(两墙与地面垂直)，架了一架长为2.5m的梯子DE，此时梯子底端E距离墙角C点O.7m，由于E点没有固定好，向后滑动到墙角B处，使梯子顶端D沿墙下滑了0.4m到F处，求梯子底端E向后滑动的距离BE的长．23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6.BE平分∠ABC交AC于点E.求CE的长．24.如图，矩形ABCD是一个底部直径BC为12cm的杯子的示意图，在它的正中间竖直放一根筷子EG，筷子漏出杯子外2cm，当筷子倒向杯壁时(筷子底端E不动)，筷子顶端正好触到杯口，求筷子EG的长度．25.请阅读下列材料：已知：如图(1)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE= 45°.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：(1)猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；(2)当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图(2)，其它条件不变，(1)中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；(3)已知：如图(3)，等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．参考答案与解析1.【答案】D;【解析】解：在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD=√AD2−AC2=√10−9=1，∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD，∵∠ADC=2∠B，∴∠B=∠BAD，∴BD=AD=√10，∴BC=√10+1.故选：D.由勾股定理求出CD=1，再根据∠ADC是△ABD的外角，证出∠B=∠BAD，从而有BD=AD，即可求出BC的长．此题主要考查了勾股定理、三角形外角的性质等知识，利用外角证出∠B=∠BAD是解答该题的关键．2.【答案】A;【解析】解：A、∵12+(√3)2=22，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意；B、∵22+32≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D、∵52+62≠72，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．故选：A.由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．此题主要考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答该题的关键．3.【答案】D;【解析】解：根据勾股定理，得a=√1+9=√10；b=√1+4=√5；c=√4+9=√13.∵5<10<13，∴b<a<c.故选：D.先分析出a、b、c三边所在的直角三角形，再根据勾股定理求出三边的长，进行比较即可．此题主要考查了勾股定理及比较无理数的大小，属中学阶段的基础题目．4.【答案】D;【解析】解：A、因为32+52≠72，所以不能构成直角三角形，此选项错误；B、因为52+72≠82，所以不能构成直角三角形，此选项错误；C、因为42+62≠72，所以不能构成直角三角形，此选项错误；D、因为12+(√3)2=22，能构成直角三角形，此选项正确．故选D.分别计算每一组中，较小两数的平方和，看是否等于最大数的平方，若等于就是直角三角形，否则就不是直角三角形．此题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．5.【答案】B;【解析】解：∵点A，B都在格点上，点C在线段AB上，每个小格长度为1，∴AB=√62+42=2√13，∵BC=2√133，∴AC=AB−BC=2√13−2√133=4√133，即AC的长为4√133，故选：B.由勾股定理求出AB的长，即可得出结论．此题主要考查了勾股定理，由勾股定理求出AB的长是解答该题的关键．6.【答案】C;【解析】解：过M点作MH⊥AC于H点，∵四边形ABCD是正方形，∴∠HAM=45°．∴ΔHAM是等腰直角三角形，∴HM=√22AM=1．∵CM平分∠ACB，MH⊥AC，MB⊥CB，∴BM=HM=1，∠ACM=∠BCN．∵∠BMN=45°+∠ACM，∠BNM=45°+∠BCM，∴∠BMN=∠BNM．∴BN=BM=1．故选：C．过M点作MH⊥AC于H点，在等腰直角ΔHAM中可求HM=√22AM=1，根据角平分线的性质可得BM=MH=1，再证明BN=BM即可．这道题主要考查了正方形的性质、角平分线的性质，解决这类问题一般会利用到正方形对角线平分90°得到等腰直角三角形，涉及角平分线时作角两边的垂线段是常见辅助线．7.【答案】B;【解析】解：∵点A、B的坐标分别是(0,3)、(−4,0)，∴OA=3，OB=4，∴AB=5，ΔAOB是直角三角形，∴O到AB的距离为3×45=125；故选：B．由ΔAOB是直角三角形，利用直角三角形面积相等，将O到AB的距离转化为直角三角形OAB斜边上的高求解；该题考查坐标平面内点的特征；将将O到AB的距离转化为直角三角形OAB斜边上的高是解答该题的关键；8.【答案】D;【解析】该题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解答该题的关键．因为已知长度为4和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．解：①当4为底时，其它两边都为6，4、6、6可以构成三角形，底边上的高为√62−22=4√2，∴等腰三角形的面积=12×4×4√2=8√2；②当4为腰时，其它两边为4和6，∵4+4>6，∴4、4、6能构成三角形．∴底边上的高为=√42−32=√7，∴等腰三角形的面积=1×√7×6=3√7．2故选D．9.【答案】A;【解析】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．(1)展开前面右面由勾股定理得AB2=(3+2)2+62=61；(2)展开前面上面由勾股定理得AB2=(2+6)2+32=73；(3)展开左面上面由勾股定理得AB2=(3+6)2+22=85.所以最短路径的长为AB=√61(cm).故选：A.把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．此题主要考查了平面展开−最短路径问题及勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．10.【答案】B;【解析】解：∵(a−3)2+√b−4+|c−5|=0，∴a−3=0，b−4=0，c−5=0，解得：a=3，b=4，c=5，则a2+b2=c2，故这个三角形的形状是直角三角形；故选：B.利用绝对值以及偶次方的性质和二次根式的性质得出a，b，c的值，进而判断出三角形的形状即可．此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握两边的平方和等于第三边的平方，这个三角形是直角三角形．11.【答案】24cm2;【解析】略12.【答案】85或13;【解析】略13.【答案】2√7;【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8，BC=6，则AC=√AB2−BC2=√82−62=2√7，故答案为：2√7.根据勾股定理计算即可．此题主要考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.14.【答案】14;【解析】解：∵AD=12，AC=13，CD=5，∴AC2=169，AD2+CD2=144+25=169，即AD2+CD2=AC2，∴△ADC为直角三角形，且∠ADC=90°，∴∠ADB=90°，∵AB=15，AD=12，∴BD=√AB2−AD2=√152−122=9，∴BC=BD+CD=9+5=14.故答案为：14.在△ADC中，由三边长，利用勾股定理的逆定理判断出△ADC为直角三角形，可得出AD与BC垂直，在直角三角形ABD中，由勾股定理求出BD，再根据线段的和差关系即可求解．此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．15.【答案】4;【解析】解：由勾股定理，得路长=√32+42=5(m)，少走(3+4−5)×2=4步，故答案为：4.根据勾股定理，可得答案．此题主要考查了勾股定理，利用勾股定理得出路的长是解题关键．16.【答案】3或3√7;【解析】该题考查了勾股定理、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质是解答的关键.本题分两种情况，①D在AB边上，由直角三角形的性质解答即可；②D在三角形外面，由等边三角形的性质得出三角形ΔBCE和ΔDCA全等的条件，得出ΔBCE≌ΔDCA，推出BE=AD，由勾股定理得出BE，也就得出AD 了．解：分两种情况：①如图所示：D在AB边上，∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=3，∴AD=CD=BC=3；②D在三角形外面，以AC为边做等边ΔACE，连接BE，如图所示：∵ΔBCD和ΔACE是等边三角形，∴BC=DC，CE=CA，∠BCD=∠ACE=60°，∴∠BCE=∠DCA=60°+90°=150°，∴ΔBCE≌ΔDCA，∴BE=AD，∵在RtΔABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=3，∴AB=2BC=6，AC=√AB2−BC2=3√3，∵ΔACE为等边三角形，∴∠CAE=60°，AE=3√3，∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=30°+60°=90°，∴BE=√AB2+AE2=√62+(3√3)2=3√7，∴AD=BE=3√7，综上所述，AD=3或3√7．故答案为3或3√7．17.【答案】3;【解析】解：∵P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE=PD，∵PD=3，∴PE=3.故答案为：3.根据角平分线的性质定理可得答案．此题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．18.【答案】18;【解析】解：如图作AH⊥BC于H，连接AD．∵EG垂直平分线段AC，∴DA=DC，∴DF+DC=AD+DF，∴当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长，∵1⋅BC⋅AH=120，2∴AH=12，∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH=10，∵BF=3FC，∴CF=FH=5，∴AF=√AH2+HF2=√122+52=13，∴DF+DC的最小值为13．∴ΔCDF周长的最小值为13+5=18；故答案为18．如图作AH⊥BC于H，连接AD.由EG垂直平分线段AC，推出DA=DC，推出DF+DC=AD+DF，可得当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长；该题考查轴对称−最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解答该题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型．19.【答案】解：√3≈1.73，√−83=-2，（-1）2=1，在数轴上表示如下：∴√−83＜-12＜0＜（-1）2＜√3．; 【解析】根据实数的符号和绝对值，在数轴上表示即可；依据数轴表示数的特征，右边的数总比左边的大，比较大小．此题主要考查数轴表示数的意义和方法，理解符号和绝对值是确定实数的两个必要条件．20.【答案】（1）证明：过点A 作AD ⊥BC 于D ，∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴BD=12BC=2，由勾股定理得，AD=√AB 2−BD 2=4，∴AD=BC ，即△ABC 是“奇妙三角形”；（2）解：当AC 边上的中线BD 等于AC 时，BC=√BD 2−CD 2=3，当BC 边上的中线AE 等于BC 时，AC 2=AE 2-CE 2，即BC 2-（12BC ）2=（2√3）2， 解得BC=4．综上所述，BC 的长是3或4．;【解析】(1)过点A 作AD ⊥BC 于D ，根据等腰三角形的性质求出BD ，根据勾股定理求出AD ，根据“奇妙三角形”的定义证明；(2)分AC 边上的中线BD 等于AC ，BC 边上的中线AE 等于BC 两种情况，根据勾股定理计算．此题主要考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2.21.【答案】null;【解析】解：(1)线段AB的长是：√12+22=√5；故答案为：√5；(2)如图所示：EF即为所求，AB、CD、EF三条线段的长能成为一个直角三角形三边的长理由：∵AB2=(√5)2=5，DC2=8，EF2=13，∴AB2+DC2=EF2，∴AB、CD、EF三条线段的长能成为一个直角三角形三边的长．(1)直接利用勾股定理得出AB的长；(2)直接利用勾股定理以及勾股定理逆定理分析得出答案．此题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，正确结合网格分析是解题关键．22.【答案】解：由题意得：∠DCE=90°，BF=DE=2.5m，CE=0.7m，DF=0.4m，在Rt△DCE中，由勾股定理得：DC=√DE2−CE2=√2．52−0．72=2.4（m），∴CF=DC-DF=2.4-0.4=2（m）在Rt△BCF中，由勾股定理得：CF=√BF2−CF2=√2．52−22=1.5（m），∴BE=BC-CE=1.5-0.7=0.8（m），答：梯子底端E向后滑动的距离BE的长为0.8m．;【解析】由勾股定理得DC=2.4m，再由勾股定理得BC=1.5m，即可得出结论．此题主要考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是两次运用勾股定理．23.【答案】解：如图，过E作ED⊥AB于D，∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，∴EC⊥BC，AC=√AB2−BC2=√102−62=8，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，∴CE=DE，在Rt△BDE和Rt△BCE中，{DE=CEBE=BE，∴Rt△BDE≌Rt△BCE（HL），∴BD=BC=6，∴AD=AB-BD=10-6=4，设CE=DE=x，则AE=AC-CE=8-x，在Rt△ADE中，由勾股定理得：42+x2=（8-x）2，解得：x=3，即CE的长为3．;【解析】过E作ED⊥AB于D，由勾股定理得AC=8，再证Rt△BDE≌Rt△BCE(HL)，得BD=BC=6，则AD= AB−BD=10−6=4，设CE=DE=x，则AE=AC−CE=8−x，然后在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．此题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，由勾股定理得出方程是解答该题的关键．24.【答案】解：设杯子的高度是x cm，则筷子的高度为（x+2）cm，∵杯子的直径为12cm，∴DF=6cm，在Rt△DEF中，由勾股定理得：x2+62=（x+2）2，解得x=8，∴筷子EG=8+2=10cm．;【解析】设杯子的高度是xcm，则筷子的高度为(x+2)cm，在RtΔDEF中，利用勾股定理列出方程：x2+62=(x+ 2)2，解方程即可．此题主要考查了勾股定理的应用，运用方程思想是解答该题的关键，属于常考题．25.【答案】解：（1）DE2=BD2+EC2；（2）关系式DE2=BD2+EC2仍然成立．证明：将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE∴△AFD≌△ABD，∴AF=AB，FD=DB，∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD，又∵AB=AC，∴AF=AC，∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°，∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-（∠DAE-∠DAB）=45°+∠DAB，∴∠FAE=∠EAC，又∵AE=AE，∴△AFE≌△ACE，∴FE=EC，∠AFE=∠ACE=45°，∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135°∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90°，∴在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，即DE2=BD2+EC2；解法二：将△EAC绕点A顺时针旋转90°得到△TAB．连接DT．∴∠ABT=∠C=45°，AT=AE，∠TAE=90°，∵∠ABC=45°，∴∠TBC=∠TBD=90°，∵∠DAE=45°，∴∠DAT=∠DAE，∵AD=AD，∴△DAT≌△DAE（SAS），∴DT=DE，∵DT2=DB2+EC2，∴DE2=BD2+EC2；（3）当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与（2）类似，以CE为一边，作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA．∴AD=DF，EF=BE．∴∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°．若使△DFE为等腰三角形，只需DF=EF，即AD=BE，∴当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，且顶角∠DFE为120°．;【解析】(1)DE2=BD2+EC2，将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE，容易证明△AFD≌△ABD，然后可以得到AF=AB，FD=DB，∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD，再利用已知条件可以证明△AFE≌△ACE，从而可以得到∠DFE=∠AFD−∠AFE=135°−45°=90°，根据勾股定理即可证明猜想的结论；(2)根据(1)的思路一样可以解决问题；(3)当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与(1)类似，以CE为一边，作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA，然后可以得到AD=DF，EF=BE.由此可以得到∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°，这样就可以解决问题．此题比较复杂，考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理的应用等知识点，此题关键是正确找出辅助线，通过辅助线构造全等三角形解决问题，要掌握辅助线的作图根据．。
2018-2019学年初中数学二次根式、勾股定理、平行四边形一次函数和数据的分析中考模拟考试测试题
②该手机店购进A型、B型手机各多少部，才能使销售总利润最大？
（3）实际进货时，厂家对B型手机出厂价下调m（30＜m＜100）元，且限定商店最多购进B型手机80台．若商店保持两种手机的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使这110部手机销售总利润最大的进货方案．
24．某初中在“读书共享月”活动中．学生都从家中带了图书到学校给大家共享阅读．经过抽样调查得知，初一人均带了2册；初二人均带了3.5册：初三人均带了2.5册．已知各年级学生人数的扇形统计图如图所示，其中初三共有210名学生．请根据以上信息解答下列问题：
（1）扇形统计图中，初三年级学生数所对应的圆心角为°；
28．如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于 BF的长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．
（1）根据条件与作图信息知四边形ABEF是
A．非特殊的平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
（2）设AE与BF相交于点O，四边形ABEF的周长为16，BF=4，求AE的长和∠C的度数．
22．随着”互联网+“时代的到来，利用网络呼叫专车的打车方式深受大众欢迎．据了解，在非高峰期时，某种专车所收取的费用y（元）与行驶里程x（km）的函数图象如图所示．请根据图象，回答下列问题：
（1）当x≥5时，求y与x之间的函数关系式；
（2）若王女士有一次在非高峰期乘坐这种专车外出，共付费47元，求王女士乘坐这种专车的行驶里程．
【详解】
∵EF∥BC，GH∥AB，
∴四边形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG为平行四边形，
∴S△PEB=S△BGP，
二次根式、勾股定理
二次根式、勾股定理【知识点】 勾股定理:222c b a =+（c 为最长边)⇔这个三角形是直角三角形。
一、选择题1. ,那么字母x 的取值范围是（ ）A. 1x >B. 1x ≥C 。
1x ≤D 。
1x <2。
10b -=，那么2015)(b a +的值为( )A 。
－1B 。
1 C. 20153 D 。
20153- 3。
下列二次根式中与2是同类二次根式的是（ )：A.12。
184。
下列计算正确的是（ )A. 0(2)0-=B. 239-=- C 。
3==5. 如右上图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( )A 。
25B 。
12.5 C. 9 D 。
8.56。
如右图，AB ⊥CD 于B ，△ABD 和△BCE 都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5,那么AC 的长为（ ）。
A. 12B. 7 C 。
5 D. 13 7.下列说法中，错误的是（ ）A 。
△ABC 中，若∠B=∠C-∠A ，,则△ABC 是直角三角形B 。
△ABC 中，a 2=(b+c ）（b-c ）, 则△ABC 是直角三角形 C. △ABC 中，∠A:∠B:∠C=3：4:5， 则△ABC 是直角三角形D. △ABC 中,a:b:c=3:4:5, 则△ABC 是直角三角形8．如图,某市在旧城改造中,计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元,则购买这种草皮至少需要（ ) A 。
450a 元B. 225a 元C 。
150a 元D. 300a 9．如图，已知长方形ABCD 中，AB=3cm,AD=9cm ，将此长方形折叠,使点B 与点D 重合,折痕为EF,则△ABE 的面积为（ ) A 。
6cm 2B. 8cm 2C. 10cm 2D. 12cm 210．如图，已知一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12 海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ) A 。
人教版八年级下册数学辅导第3次(二次根式与勾股定理综合)
二次根式与勾股定理题型拓展练习例1、在Rt △ABC ，∠C=90°则： ⑴已知a=b=5，求c 2。
⑵已知a=1,c=2, 求b 2。
⑶已知c=17,b=8, 求a 。
⑷已知a ：b=3：4,c=25, 求 b 。
⑸已知b=15，∠A=30°，求a ，c 。
练习：1、在Rt △ABC ，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。
2、在Rt △ABC ，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。
3、在Rt △ABC ，∠C=90°，c=25，a ：b=3：4，则a= ，b= 。
4、一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 。
5、已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为 。
6、已知等边三角形的边长为2cm ，则它的高为 ，面积为 。
例2、已知：如图，等边△ABC 的边长是6cm 。
⑴求等边△ABC 的高。
⑵求S △ABC 。
练习、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5cm ，在边CD 上适当选定一点E ，沿直线AE 把△ADE 折叠，使点D 恰好落在边BC 上一点F 处，且△ABF 的面积是30cm 2．求此时AD 的长．例题3、一个直角三角形的周长为9，斜边为4，求这个三角形的面积。
练习：1、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．2、直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．3、如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是_________（3题图） （第4题图） （第5题图） （第6题图）4、如图，在△ABC 中，CE 是AB 边上的中线，CD ⊥AB 于D,且AB=5,BC=4,AC=6,则DE 的长为_______.5、如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°,AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2 , l 2，l 3之间的距离为3 ,则AC 的长是__________6、（2009年湖南长沙）如图，等腰ABC △中，AB AC =，AD 是底边上的高，若5cm 6cm AB BC ==，，则AD = cm ．例题3、判断由线段abc 组成的三角形是不是直角直角三角形：（1）a=15，b=8，c=17 （2）a=13，b=14，c=15 （3）三边长之比为 3∶4∶5；练习： 1、试判断下列三角形是否是直角三角形：⑴a=9，b=41，c=40； ⑵a=15，b=16，c=6；（3）a=5k ，b=12k ，c=13k （k ＞0）。
八年级数学下 二次根式 勾股定理 练习题
3.当 a<0,b<0 时， - a 2 ab b 可变形为（ A. ( a b ) 2 B.
- ( a - b )2
D. ( - a - - b ) 2 ）
4.已知 a、b、c 为△ABC 三边，且满足 (a 2 b 2 )(a 2 b 2 c 2 ) 0 ，则它的形状为（ A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形
1 5
50 －4
1 ; 2
(2)(5+2 6 )(2 6 －5).
3 （3） （ a b － b ＋2
a
b a＋
ab ）÷
b a．
（4）
12.化简并求值：
1 1 1 a 2 2 ,其中 a= + 2 a 5 a
13.已知 a=2－ 2 ,b=2+ 2 ,求
Байду номын сангаас
a 3b a 2 b 2 a 2 ab ÷ 的值. a 2 2ab b 2 a2 b2
3
21.边长为 8 和 4 的矩形 OABC 的两边分别在直角坐标系的 X 轴和 Y 轴上，若沿对角线 AC 折叠后，点 B 落在第四象限 B1 处，设 B1C 交 X 轴于点 D，求:B1 点坐标。
22.在平面坐标系中， 已知 A(-4,8),B(-1,4)： （1） 求线段 AB 的长度； （2） 在 x 轴上找出一点 P， 使 PA+PB 的长度最短时，点 P 的坐标为多少？并求出点 P 的坐标； （3）在 x 轴、y 轴分别找出一点 M,N，使四边 形 ABMN 的周长最小时，求直线 MN 的解析式。
23.如图为一棱长为 3cm 的正方体，把所有面都分为 9 个小正方形，其边长都是 1cm，假设一只蚂蚁每秒 爬行 2cm，则它从下地面 A 点沿表面爬行至右侧面的 B 点，最少要花几秒钟？
勾股定理及二次根式综合复习（含答案）
勾股定理及⼆次根式综合复习（含答案）勾股定理及⼆次根式复习⼀、知识梳理：（⼀）勾股定理：1、勾股定理定义：如果直⾓三⾓形的两直⾓边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2.即直⾓三⾓形两直⾓边的平⽅和等于斜边的平⽅勾：直⾓三⾓形较短的直⾓边股：直⾓三⾓形较长的直⾓边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三⾓形的三边长a ，b ，c 有下⾯关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三⾓形是直⾓三⾓形。
2. 勾股数：满⾜a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。
） *附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15；5,12,13 3. 判断直⾓三⾓形：如果三⾓形的三边长a 、b 、c 满⾜a 2+b 2=c 2 ，那么这个三⾓形是直⾓三⾓形。
（经典直⾓三⾓形：勾三、股四、弦五）其他⽅法：（1）有⼀个⾓为90°的三⾓形是直⾓三⾓形；（2）有两个⾓互余的三⾓形是直⾓三⾓形。
⽤它判断三⾓形是否为直⾓三⾓形的⼀般步骤是：（1）确定最⼤边（不妨设为c ）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直⾓的三⾓形；若a 2＋b 2＜c 2，则此三⾓形为钝⾓三⾓形（其中c 为最⼤边）；若a 2＋b 2＞c 2，则此三⾓形为锐⾓三⾓形（其中c 为最⼤边）4.注意：（1）直⾓三⾓形斜边上的中线等于斜边的⼀半（2）在直⾓三⾓形中，如果⼀个锐⾓等于30°，那么它所对的直⾓边等于斜边的⼀半。
（3）在直⾓三⾓形中，如果⼀条直⾓边等于斜边的⼀半，那么这条直⾓边所对的⾓等于30°。
5. 勾股定理的作⽤：（1）已知直⾓三⾓形的两边求第三边；（2）已知直⾓三⾓形的⼀边，求另两边的关系；（3）⽤于证明线段平⽅关系的问题；（4）利⽤勾股定理，作出长为n 的线段. （⼆）⼆次根式：1.⼆次根式的概念：形如a （a≥0）的式⼦叫做⼆次根式（⼆次根式中，被开⽅数⼀定是⾮负数，否则就没有意义，并且根式a ≥0）2.最简⼆次根式：同时满⾜：①被开⽅数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开⽅数中不含能开得尽⽅的因数或因式．这样的⼆次根式叫做最简⼆次根式． 3. 同类⼆次根式：⼏个⼆次根式化成最简⼆次根式后，如果被开⽅数相同，这⼏个⼆次根式就叫同类⼆次根式． 4．⼆次根式的性质：①a a ≥≥00（）②()a a a 20=≥（）③a aa aaa a200==>=-<||（）（）（）④ab a b a b=?≥≥（，）00⑤babaa b=>≥（，）005．分母有理化及有理化因式：把分母中的根号化去，叫做分母有理化；两个含有⼆次根式的代数式相乘，?若它们的积不含⼆次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．6.⼆次根式的运算（1）因式的外移和内移：如果被开⽅数中有的因式能够开得尽⽅，那么，就可以⽤它的算术根代替⽽移到根号外⾯；如果被开⽅数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外⾯，反之也可以将根号外⾯的正因式平⽅后移到根号⾥⾯．（2）⼆次根式的加减法：先把⼆次根式化成最简⼆次根式再合并同类⼆次根式．（3）⼆次根式的乘除法：⼆次根式相乘（除），将被开⽅数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开⽅数并将运算结果化为最简⼆次根式．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适⽤于⼆次根式的运算．7.使分母不带根号（分母有理化）常⽤⽅法：①化去分母中的根号关键是确定与分母相乘后，其结果不再含根号的因式。
新人教版数学八年级下册期中测试卷C及参考答案-二次根式勾股定理平行四边形
第 一 页新人教版数学八年级下册期中测试卷C 及参考答案二次根式勾股定理平行四边形一．选择题（每小题3分，共30分） 1.要使x -3+121-x 有意义，则x 的取值范围是（ ）A.321≤≤x B.3≤x 且x ≠21 C.21 ＜x ＜3 D. 21＜x ≤3 2.下列二次根式是最简二次根式的是（ ）A.3a 2B.x 82C.y 3D.4b3.已知m,n 是两个连续的自然数（m ＜n ），且q=mn,设 p=m q n q -++,则p 为（ ）A.总是奇数B.总是偶数C.有时是奇数，有时是偶数D.有时是有理数，有时是无理数4.若一个三角形的三边长为6,8，x ，则此三角形是直角三角形时，x 的值是（ ）A.8 B.10 C.27 D.10或275.下列命题的逆命题成立的是（ ）A.全等三角形的对应角相等B.如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C.两直线平行，同位角相等D.如果两个角都是45°，那么这两个角相等 6.如图是一张直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将△ABC 折叠，使B 点与A 点重合，折痕为DE ，则BE 的长为（ ）A.4㎝B.5㎝C.6㎝D.10㎝ 7.已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中，错误的是（ ）A.AB=CDB.AC=BDC.当AC ⊥BD 时，它是菱形D.当∠ABC=90°时，它是矩形 8.如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D 、F ，BE ⊥DE 交DF 的延长线于点E ，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF,则四边形BCDE 的面积是（ ）A.23B.33C.4D.439.如图，在△ABC 中，BD,CE 是△ABC 的中线，BD 与CE 相交于O ，点F,G 分别是BO,CO 的中点，连接AO ，若AO=6㎝，BC=8㎝，则四边形DEFG 的周长是（ ）A.14㎝B.18㎝C.24㎝D.28㎝10.如图，将矩形ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH,EH=12第 二 页㎝，EF=16㎝，则AD 的长为（ ） A.12㎝ B.16㎝ C.20㎝ D.28㎝ 二．填空题（每小题3分，共24分）11.在实数范围内分解因式：x 5－9x= .12.如图，它是一个数值转换机，若输入的a 值为2，则输出的结果应为 。
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2014春石牛初中八年级下册数学第一学月测试题
姓名＿＿＿＿ 班级＿＿＿＿ 分数＿＿＿＿
一、选择题（每小题3分，共33分）
1．若m3为二次根式，则m的取值为 （ ）
A．m≤3 B．m＜3 C．m≥3 D．m＞3
2．下列式子中二次根式的个数有 （ ）
⑴31；⑵3；⑶12x；⑷38；⑸231)(；⑹)(11xx；⑺322xx.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．当22aa有意义时，a的取值范围是 （ ）
A．a≥2 B．a＞2 C．a≠2 D．a≠－2
4．对于二次根式92x，以下说法不正确的是 （ ）
A．它是一个正数 B．是一个无理数
C．是最简二次根式 D．它的最小值是3
5．把aba123化简后得 （ ）
A．b4 B．b2 C．b21 D． bb2
6．
要登上某建筑物，靠墙有一架梯子，底端离建筑物5m，顶端离地面12m，则梯子的
长度为（ ）
A．12m B．13m C．14m D．15m
7．、如图，1DECDBCAB，且ABBC，ACCD，ADDE，则线段AE
的长为（ ）；
A、23 B、2 C、25 D、3
8.下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ）；
A、1.5，2，2.5 B、3，4，5 C、5，12，13 D、20，30，40
9、如果正方形ABCD的面积为92，则对角线AC的长度为（ ）；
A、32 B、94 C、32 D、92
10、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将直角边AC沿直线
AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD
等于（ ）；
A、2㎝ B、3㎝ C、4㎝ D、5㎝
11、已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，
折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）.
A、6cm2 B、8cm2 C、10cm2 D、12cm2
二、填空题（每空3分，共24分）
12.当x 时,式子1x有意义，当x 时,式子422xx有意义
13.已知：022yxx，则xyx2 。
14.当x 时，xx21122。
15、命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是_____________________________；
16、如图是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而
成，若图中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三角形的两直角边分别为
_________ ；
（第5题）
（第6题） （第7题）
17、
一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行
的最短路线的长是______________________；
18、如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其
中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A、B、C、D的面积的和是
_______________
2
cm
；
19．在直角三角形ABC中， ∠C＝90°，BC＝24，CA＝7，AB＝ ．
三．计算：（16分）
20、⑴))((36163； ⑵63312；
A
B
C
DE
A C D B E A B E
F
D
C
A
B
A
B
C
D
7 cm
2
（3）1(312248)233； （4）．3218121
四、 解答题（本大题共4小题，共27分．）
21、（6分）已知：31,31xy，求下列代数式的值。
（1）22xxyy （2）22xy
22、（6分）已知：如图，RtABC中，∠C=90°,AC=32,BC=32,求
（1）RtABC的面积；
（2）斜边AB的长。
23．（7分）如图在△ABC中，∠B＝30°，AD⊥AB，垂足为A，AD＝1cm，
求AB的长．
24．（8分）如图8所示，四边形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且AB⊥BC．
求证：AC⊥CD．
B
C A