全国各地中考数学真题分类解析汇编圆与圆的位置关系

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中考各省压轴之圆综合问题(9考点39题)—2024年中考数学压轴题(全国通用)(解析版)

中考各省压轴之圆综合问题（9考点39题）一．圆周角定理（共3小题）1．如图，在⊙O中，将沿弦AB翻折，使恰好经过圆心O，C是劣弧AB上一点．已知AE＝2，tan∠CBA＝，则AB的长为（）A．B．6C．D．【答案】C【解答】解：连接EO并延长交⊙O于点H，连接AH，过点O作OF⊥AB于F，延长OF交⊙O于点G，连接OB，∵EH是⊙O的直径，∴∠EAH＝90°，∴tan∠AHE＝，∵∠AHE＝∠CBA，tan∠CBA＝，∴tan∠AHE＝tan∠CBA＝，∴＝，∵AE＝2，∴AH＝4，∴EH＝＝2，∴⊙O的半径为，∴OG＝OB＝，∵OG⊥AB于F，∴AB＝2BF，根据折叠的性质得，OF＝GF，∴OF＝OG＝，∴BF＝＝，∴AB＝，故选：C．2．如图，AB是半圆的直径，点C是弧AB的中点，点E是弧AC的中点，连接EB，CA交于点F，则＝（）A．B．C．1﹣D．【答案】D【解答】解：方法1：连接AE、CE．作AD∥CE，交BE于D．∵点E是弧AC的中点，∴可设AE＝CE＝1，根据平行线的性质得∠ADE＝∠CED＝45°．∴△ADE是等腰直角三角形，则AD＝，BD＝AD＝．所以BE＝+1．再根据两角对应相等得△AEF∽△BEA，则EF＝＝﹣1，BF＝2．所以＝．方法2：过点C作CO⊥AB于点O，∵AB是半圆的直径，点C是弧AB的中点，∴点O是圆心．连接OE，BC，OE与AC交于点M，∵E为弧AC的中点，易证OE⊥AC，∵∠ACB＝90°，∠AOE＝45°，∴OE∥BC，设OM＝1，则AM＝1，∴AC＝BC＝2，OA＝，∴OE＝，∴EM＝﹣1，∵OE∥BC，∴＝＝．故选：D．3．如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则P A+PB的最小值为．【答案】见试题解答内容【解答】解：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，连接OB，则P点就是所求作的点．此时P A+PB最小，且等于AC的长．连接OA，OC，∵∠AMN＝30°，∴∠AON＝60°，∵＝∴∠AOB＝∠BON＝30°，∵MN⊥BC，∴＝，∴∠CON＝∠NOB＝30°，则∠AOC＝90°，又OA＝OC＝1，则AC＝．二．切线的性质（共1小题）4．为了测量一个圆形铁环的半径，小华采用了如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的直角三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到有关数据，进而求得铁环的半径，若测得AB＝10cm，则铁环的半径是．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图所示：连接OB，OC，OA，∵AB为圆O的切线，∴OB⊥AB，即∠OBA＝90°，又AC为圆O的切线，∴OC⊥AC，即∠OCA＝90°，在Rt△ADE中，∠E＝30°，∠ADE＝90°，∴∠EAD＝60°，∠BAC＝120°，∵AC及AB为圆O的切线，∴OA为∠BOC的平分线，则∠BAO＝∠OAC，可得∠BOA＝∠COA，又∠OBA＝∠OCA＝90°，∴∠OAB＝∠OAC＝∠BAC＝60°，在Rt△OBA中，∠OBA＝90°，∠OAB＝60°，AB＝10cm，∴tan60°＝，即＝，则圆的半径OB＝10cm．故答案为：10cm三．切线的判定与性质（共2小题）5．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝4，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论：①∠F＝30°；②CE＝CF；③线段EF的最小值为2；④当AD＝1时，EF与半圆相切；⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是8．其中正确的结论的序号为．【答案】②③④．【解答】解：①连接CD，如图1所示．∵点E与点D关于AC对称，∴CE＝CD．∴∠E＝∠CDE．∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°．∴∠E+∠F＝90°，∠CDE+∠CDF＝90°．∴∠F＝∠CDF．只有当CD⊥AB时，∠F＝∠CDF＝∠CBA＝30°，故①错误；②又∵∠F＝∠CDF，∴CD＝CF，∴CE＝CD＝CF．故②正确；③当CD⊥AB时，如图2所示．∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°，∵AB＝4，∠CBA＝30°，∴∠CAB＝60°，AC＝2，BC＝2，∵CD⊥AB，∠CBA＝30°，∴CD＝BC＝，根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：点D在线段AB上运动时，CD的最小值为．∵CE＝CD＝CF，∴EF＝2CD．∴线段EF的最小值为2．故③正确；④当AD＝1时，连接OC，如图3所示，∵OA＝OC，∠CAB＝60°，∴△OAC是等边三角形．∴CA＝CO，∠ACO＝60°．∵AO＝2，AD＝1，∴DO＝1．∴AD＝DO，∴∠ACD＝∠OCD＝30°，∵点E与点D关于AC对称，∴∠ECA＝∠DCA，∴∠ECA＝30°，∴∠ECO＝90°，∴OC⊥EF，∵EF经过半径OC的外端，且OC⊥EF，∴EF与半圆相切．故④正确；⑤∵点D与点E关于AC对称，点D与点F关于BC对称，∴当点D从点A运动到点B时，点E的运动路径AM与AB关于AC对称，点F的运动路径NB与AB关于BC对称．∴EF扫过的图形就是图5中阴影部分．∴S阴影＝2S△ABC＝2×•AC•BC＝4．故⑤错误．故答案为②③④．6．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC＝30°，CD⊥OC于C，ED⊥AB 于F，（1）判断△DCE的形状；（2）设⊙O的半径为1，且OF＝，求证：△DCE≌△OCB．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）△DCE为等腰三角形，理由为：∵∠ABC＝30°，圆周角∠ABC与圆心角∠AOC都对，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，又∵OA＝OC，∴△OAC为等边三角形，∴∠OAC＝∠OCA＝60°，∵OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∴∠DCE＝180°﹣90°﹣60°＝30°，又∵EF⊥AF，∴∠AFE＝90°，∴∠E＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴∠DCE＝∠E，∴DC＝DE，则△DCE为等腰三角形；（2）∵OA＝OB＝1，OF＝，∴AF＝AO+OF＝1+＝，OA＝AC＝OC＝1，在Rt△AEF中，∠E＝30°，∴AE＝2AF＝+1，∴CE＝AE﹣AC＝+1﹣1＝，又∵AB为圆O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴cos30°＝，即BC＝AB cos30°＝，∴CB＝CE＝，在△OBC和△DCE中，∵，∴△OBC≌△DCE（ASA）．四．三角形的内切圆与内心（共1小题）7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，I为Rt△ABC的内心，若M、N分别是斜边AB和直角边AC上的动点，连接IM、MN，则IM+MN的最小值为．【答案】5.2．【解答】解：分别作ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，垂足分别为点D、E、F，延长IF到I'，使I'F＝IF，作I'N⊥AC于点N，交AB于点M，延长DI，交I'N于点G，连接BI，∵IF⊥AB，I'F＝IF，∴IM＝I'M，∴IM+MN＝I'M+MN，当I'、M、N三点共线，且I'N⊥AC时，I'N最短，即IM+MN的值最小．∵I为Rt△ABC的内心，ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，∴ID＝IE＝IF，设ID＝IE＝IF＝r，又∵ID⊥BC，IE⊥AC，∠C＝90°，∴四边形CEID是正方形，∴CD＝IE＝CE＝ID＝r，∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∴BD＝6﹣r，AE＝8﹣r，在Rt△BID和Rt△BIF中，，∴Rt△BID≌Rt△BIF（HL），∴BD＝BF，同理AE＝AF，∵AB＝AF+BF，∴6﹣r+（8﹣r）＝10，解得r＝2，∵I'F＝IF，∴II'＝4，∵IF⊥AB，I'N⊥AC，∠FMI'＝∠NMA，∴∠I'＝∠A，又∵∠C＝90°，I'N⊥AC，∴BC∥I'N，∵ID⊥BC，∴IG⊥I'N，∴四边形CDGN为矩形，△II'G∽△BAC，∴GN＝CD＝2，，即，∴I'G＝3.2，∴I'N＝I'G+GN＝3.2+2＝5.2，∴IM+MN的最小值为5.2．故答案为：5.2．五．圆与圆的位置关系（共1小题）8．如图，⊙O1和⊙O2的半径为1和3，连接O1O2，交⊙O2于点P，O1O2＝8，若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，则⊙O1与⊙O2共相切次．【答案】见试题解答内容【解答】解：两圆相切时，O1O2之间的距离等于4（外切）或者2（内切）时即可，当⊙O1绕P点顺时针旋转时360°时，O1O2的变化范围从8到2再到8，其中有两次外切和一次内切．可以用尺规作图的方法来做，以P为圆心做一个半径为5的圆，再以O2为圆心，做一个半径为4的圆，两者相交即为外切，然后以O2为圆心做一个半径为2的圆，两者相交即为内切．故答案为：3．六．弧长的计算（共1小题）9．一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD是水平的，BC与水平面的夹角为60°，其中AB＝60cm，CD＝40cm，BC ＝40cm，那么该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线长为 cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：A点滚动到D点其圆心所经过的路线＝（60+40+40）﹣+＝（cm）．故答案为：（）．七．扇形面积的计算（共1小题）10．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝4cm，∠ABC＝30°，把△ABC以点B为中心按逆时针方向旋转，使点C旋转到AB边的延长线上的C′′处，那么AC边扫过的图形（图中阴影部分）的面积是 cm2（结果保留π）．【答案】见试题解答内容【解答】解：×（64﹣16）＝20πcm2．八．圆锥的计算（共3小题）11．现有30%圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40cm，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片的圆心角为．【答案】见试题解答内容【解答】解：20π＝解得：n＝90°，∵扇形彩纸片是30%圆周，因而圆心角是108°∴剪去的扇形纸片的圆心角为108°﹣90°＝18°．剪去的扇形纸片的圆心角为18°．故答案为18°．12．如图，有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC．用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的侧面积为．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB，∵∠CAB＝60°，∴∠OAD＝30°，∵AO＝2，∴DO＝1，∴AD＝，∴AB＝2，∴S阴影＝＝2π．故答案为：2π．13．如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线长是．【答案】3．【解答】解：∵图扇形的弧长是2π，根据弧长公式得到2π＝，∴n＝120°即扇形的圆心角是120°，∴弧所对的弦长AA′＝2×3sin60°＝3，故答案为3．九．圆的综合题（共26小题）14．如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O 上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：连接AC，AO，∵AB⊥CD，∴G为AB的中点，即AG＝BG＝AB，∵⊙O的半径为4，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，∴OG＝2，∴在Rt△AOG中，根据勾股定理得：AG＝＝2，又∵CG＝CO+GO＝4+2＝6，∴在Rt△AGC中，根据勾股定理得：AC＝＝4，∵CF⊥AE，∴△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，当E位于点B时，CG⊥AE，此时F与G重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A 重合，∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，在Rt△ACG中，tan∠ACG＝＝，∴∠ACG＝30°，∴所对圆心角的度数为60°，∵直径AC＝4，∴的长为＝π，则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为π．故选：C．15．定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足α+2β＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．（1）若△ABC是“近直角三角形”，∠B＞90°，∠C＝50°，则∠A＝度；（2）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4．若BD是∠ABC的平分线，①求证：△BDC是“近直角三角形”；②在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△BCE也是“近直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由．（3）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为AC边上一点，以BD为直径的圆交BC于点E，连接AE交BD于点F，若△BCD为“近直角三角形”，且AB＝5，AF＝3，求tan∠C的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∠B不可能是α或β，当∠A＝α时，∠C＝β＝50°，α+2β＝90°，不成立；故∠A＝β，∠C＝α，α+2β＝90°，则β＝20°，故答案为20；（2）①如图1，设∠ABD＝∠DBC＝β，∠C＝α，则α+2β＝90°，故△BDC是“近直角三角形”；②存在，理由：在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△BCE是“近直角三角形”，AB＝3，AC＝4，则BC＝5，则∠ABE＝∠C，则△ABC∽△AEB，即，即，解得：AE＝，则CE＝4﹣＝；（3）①如图2所示，当∠ABD＝∠DBC＝β时，则AE⊥BF，则AF＝FE＝3，则AE＝6，AB＝BE＝5，过点A作AH⊥BC于点H，设BH＝x，则HE＝5﹣x，则AH2＝AE2﹣HE2＝AB2﹣HB2，即52﹣x2＝62﹣（5﹣x）2，解得：x＝；cos∠ABE＝＝＝cos2β，则tan2β＝，则tanα＝；②如图3所示，当∠ABD＝∠C＝β时，过点A作AH⊥BE交BE于点H，交BD于点G，则点G是圆的圆心（BE的中垂线与直径的交点），∵∠AEB＝∠DAE+∠C＝α+β＝∠ABC，故AE＝AB＝5，则EF＝AE﹣AF＝5﹣3＝2，∵DE⊥BC，AH⊥BC，∴ED∥AH，则AF：EF＝AG：DE＝3：2，则DE＝2k，则AG＝3k＝R（圆的半径）＝BG，点H是BE的中点，则GH＝DE＝k，在△BGH中，BH＝＝2k，在△ABH中，AB＝5，BH＝2k，AH＝AG+HG＝4k，∵∠C+∠ABC＝90°，∠ABC+∠BAH＝90°，∴∠C＝∠BAH，∴tan C＝tan∠BAH＝＝＝，综上，tan C的值为或．16．四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，连结BD交AC于点G，AF⊥BD，垂足为E．（1）如图1，若AF交BC于点F．①求证：∠BAF＝∠CAD；②若⊙O的直径为10，，BF：CG＝3：5，求AF的长．（2）如图2，若AF交CD于点F，连结OD，若OD∥AB，，DF＝2CF，求⊙O 的直径．【答案】（1）①见解析；②AF＝．（2）⊙O的直径为．【解答】（1）①证明：∵AC是⊙O的直径，AF⊥BD，∴∠ABC＝90°＝∠AEB，∴∠ABE+∠CBD＝90°，∠ABE+∠BAF＝90°，∴∠CBD＝∠BAF，又∵，∴∠CBD＝∠CAD，∴∠BAF＝∠CAD．②解：如图，过点G作GK⊥BC于点K，在Rt△ABC中，AC＝10，cos∠BCA＝，∴BC＝8，由勾股定理得AB＝＝＝6，∴sin∠BCA＝＝，tan∠BCA＝＝，在Rt△GKC中，sin∠KCG＝sin∠BCA＝＝，tan∠KCG＝tan∠BCA＝＝，又∵BF：CG＝3：5，∴BF＝GK，在△ABF和△BKG中，，∴△ABF≌△BKG（AAS），∴AB＝BK＝6，∴CK＝BC﹣BK＝8﹣6＝2，∴KG＝CK•tan∠KCG＝2×＝，即BF＝KG＝，∴AF＝＝＝．（3）解：如图，设AF交OD于点Q，过点O作OH⊥AF于点H，链接BO并延长交AF 于点P，延长AF交⊙O于点G，连接CG，∵AF⊥BD，OH⊥AF，∴∠OHO＝∠BEG＝90°，∴OH∥BD，∴∠QOH＝∠ODB，∠POH＝∠OBD，又∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠QOH＝∠POH，∴QH＝PH，∵AC为⊙O的直径，∴∠AGC＝90°＝∠OHQ＝∠AEB，∴CG∥OH∥BD，∴△AOH∽△ACG⇒⇒CG＝2OH，△DEF∽△CGF⇒＝⇒DE＝2CG⇒DE＝4OH，△DEQ∽△OHQ⇒＝＝4⇒QE＝4PH，DQ＝4OQ⇒EP＝6PH，DQ＝，△OPH∽△BPE⇒＝⇒BE＝6OH，∴，∵OD∥AB，∴△ABE∽△QDE，∴⇒QE＝⇒AQ＝＝，∵，OD＝OC，∴∠OCD＝∠ABD＝∠ODC，∴∠BAE＝90°﹣∠ABD＝90°﹣∠ODC＝∠ODA，∵OD∥AB，OA＝OD，∴∠AQD＝∠BAQ＝∠ODA＝∠OAD，∴AD＝AQ＝，△DAQ∽△DOA，∴，即AD2＝OD•DQ，设⊙O的半径为r，则OD＝r，DQ＝，∴＝，∴r＝，∴⊙O的直径为．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，点S（﹣1，0），T（1，0）．对于一个角α（0°＜α≤180°），将一个图形先绕点S顺时针旋转α，再绕点T逆时针旋转α，称为一次“α对称旋转”．（1）点R在线段ST上，则在点A（1，﹣1），B（3，﹣2），C（2，﹣2），D（0，﹣2）中，有可能是由点R经过一次“90°对称旋转”后得到的点是；（2）x轴上的一点P经过一次“α对称旋转”得到点Q．①当α＝60°时，PQ＝；②当α＝30°时，若QT⊥x轴，求点P的坐标；（3）以点O为圆心作半径为1的圆．若在⊙O上存在点M，使得点M经过一次“α对称旋转”后得到的点在x轴上，直接写出α的取值范围．【答案】（1）B，C；（2）①2；②P（﹣1+，0）．（3）0°＜α≤30°或150°≤α≤180°．【解答】解：（1）如图，当点R与点O重合时，点R绕点S顺时针旋转90°得到点R′，点R′绕点T逆时针旋转90°得到点C；当点R与点T重合时，点R绕点S顺时针旋转90°得到点R″，点R″绕点T逆时针旋转90°得到点B；故答案为：B，C；（2）①当α＝60°时，如图，∵x轴上的一点P经过一次“α对称旋转”得到点Q，∴△SPP′和△TQP′均为等边三角形，∴SP′＝PP′，TP′＝QP′，∠SP′P＝∠TP′Q＝60°，∴∠SP′T+∠TP′P＝∠TP′P+∠PP′Q，∴∠SP′T＝∠PP′Q，∴△P′ST≌△P′PQ（SAS），∴PQ＝ST＝2，故答案为：2；②当α＝30°时，设点P绕点S顺时针旋转30°得到点P′，则SP′＝SP，如图，将x轴作一次“α对称旋转”后得到直线y＝﹣1，∵QT⊥x轴，点P经过一次“α对称旋转”得到点Q，∴点Q的坐标为Q（1，﹣1），∵点P′绕点T逆时针旋转30°得到点Q，∴P′T＝QT＝1，∠P′TQ＝30°，∴∠STP′＝90°﹣∠P′TQ＝60°，∵∠TSP′＝30°，∴∠SP′T＝180°﹣∠STP′﹣∠TSP′＝90°，∵ST＝2，∴SP′＝＝，∴SP＝SP′＝，∴点P的坐标为P（﹣1+，0）．（3）点M在⊙O上，则M绕S顺时针旋转α度以后的M′的轨迹为O绕S顺时针旋转α度以后的⊙O′上，M′关于T逆时针旋转α度以后得到点N，则N在O′关于T逆时针旋转α度以后的⊙O″上，若满足题意，只需⊙O′与x轴有交点O″在粉弧上，且O′T＝O″T，如图，⊙O″与x轴相切，则O″H＝1，在x轴上取点R，连接O″R，使O″R＝2，″∴HR＝，∴∠O″RH＝30°，TR＝O′S＝1，O″R＝ST＝2，O″T＝O′T，∴△O″TR≌△TO′S（SSS），∴∠TSO′＝∠O″RT＝30°，故0°＜α≤30°；如图，⊙O″与x轴相切，则O″H＝1，在x轴上取点R，连接O″R，使O″R＝2，∴∠HRO″＝30°，ST＝O″R，∴∠TRO″＝150°，∵∠SO′T+∠STO′＝∠STO′+∠RTO″，∴∠SO′T＝∠RTO″，∵O′T＝TO″，∴△O′ST≌△TRO″（SAS），∴∠O′ST＝∠TRO″＝150°，∴α＝150°，∴150°≤α≤180°；综上所述，0°＜α≤30°或150°≤α≤180°．18．问题提出（1）如图①，已知直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，则S△ACD S（填“＞”“＜”或“＝”）；△BCD问题探究（2）如图②，⊙O的直径为20，点A，B，C都在⊙O上，AB＝12，求△ABC面积的最大值；问题解决（3）如图③，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝10，根据设计要求，点D为∠ABC内部一点，且∠ADB＝60°，过点C作CE∥AD交BD于点E，连接AE，CD，试求满足设计要求的四边形ADCE的最大面积．【答案】（1）＝；（2）△ABC面积的最大值为108；（3）四边形ADCE的最大面积是75．【解答】解：（1）如图①所示，分别过A、B两点向直线b作垂线，垂足为M、N.∵a∥b，∴∠MAB＝∠AMN＝90°，∴四边形AMNB是矩形，∴AM＝BN，∴CD•AM＝CD•BN又S△ACD＝CD•AM，S△BCD＝CD•BN，∴S△ACD＝S△BCD；故答案为：＝；（2）取优弧的中点记为C1，过C1作AB的垂线，垂足为D，由垂径定理知C1D过O 且AD＝BD，如图②所示.过点C作AB的平行线a，∵当直线a向上平移时，a距AB的距离增大，即△ABC的AB边上的高增大，∴当a运动到最高点C时，△ABC的AB边上的高最大，又∵AB为常数，∴当C运动到C1时，△ABC的面积最大，下面计算△ABC1的面积：连接OB，在Rt△OBD中，∵AB＝12，⊙O的直径为20，∴BD＝6，BO＝10，OC1＝10，由勾股定理得：OD＝＝＝8，∴C1D＝OD+OC1＝8+10＝18，∴△ABC1的面积为：AB•C1D＝×12×18＝108，∴△ABC面积的最大值为108；（3）过点C作CF∥BD交AD的延长线于F，如图③﹣1所示，∵CF∥BD，∴∠F＝∠ADB＝60°，∵AD∥CE，∴四边形DECF是平行四边形，∴DF＝CE，FC＝DE，∵DC＝CD∴△DFC≌△CED（SSS），∴S△DFC＝S△CED，又由（1）的结论知S△DAC＝S△DAE，∴S四边形ADCE＝S△DAE+S△CED＝S△DAC+S△DFC＝S△AFC，所以只需求得S△AFC最大值即得S四边形ADCE的最大值.以AC为边向△ABC外作等边△AGC，再作等边△AGC的外接圆，过G作GJ⊥AC于J，如图③﹣2所示，∵∠F＝60°，∴点F在△AGC的外接圆上，由第（2）问的解决知，当F运动到点G时，S△AFC最大＝S△ACG；在Rt△ABC中：由勾股定理得AC＝＝＝10，∴AJ＝AC＝5，∴GJ＝×10＝15，∴S△ACG＝AC×GJ＝×10×15＝75；∴四边形ADCE的最大面积是75．19．课本再现（1）在圆周角和圆心角的学习中，因为圆内接四边形的每一个角都是圆周角，所以我们可以利用圆周角定理，来研究圆内接四边形的角之间的关系．如图1，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC为直径，则∠B＝∠D＝度，∠BAD+∠BCD＝度．（2）如果⊙O的内接四边形ABCD的对角线AC不是⊙O的直径，如图2、图3，请选择一个图形证明：圆内接四边形的对角互补．知识运用（3）如图4，等腰三角形ABC的腰AB是⊙O的直径，底边和另一条腰分别与⊙O交于点D，E．点F是线段CE的中点，连接DF，求证：DF是⊙O的切线．【答案】（1）90，180；（2）证明见解答；（3）证明见解答．【解答】（1）解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC为直径，∴∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD+∠BCD＝360°﹣（∠B+∠D）＝360°﹣180°＝180°，故答案为：90，180；（2）证明：如图2，连接OB，OD，∵＝，∴∠BOD＝2∠C，∠1＝2∠A，∵∠BOD+∠1＝360°，∴2∠C+2∠A＝360°，∴∠C+∠A＝180°，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝360°﹣（∠A+∠C）＝180°，即圆内接四边形的对角互补；如图3，连接OA，OC，∵＝，∴∠AOC＝2∠B，∠1＝2∠D，∵∠AOC+∠1＝360°，∴2∠B+2∠D＝360°，∴∠B+∠D＝180°，在四边形ABCD中，∠BAD+∠DCB＝360°﹣（∠B+∠D）＝180°，即圆内接四边形的对角互补；（3）证明：连接OD，DE，如图4，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵四边形ABDE是圆内接四边形，∴∠B+∠AED＝180°，∵∠DEC+∠AED＝180°，∴∠B＝∠DEC，∴∠C＝∠DEC，∴DC＝DE，∵点F是线段CE的中点，∴DF⊥AC，∴OD∥AC，∴DF⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线．20．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E是BC的中点，连接OE、DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若sin C＝，DE＝5，求AD的长；（3）求证：2DE2＝CD•OE．【答案】（1）证明见解答；（2）AD的长为；（3）证明见解答．【解答】（1）证明：连接OD，BD，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝90°，∵点E是BC的中点，∴DE＝BE＝EC，∵OB、OD是⊙O的半径，∴OB＝OD，又∵OE＝OE，∴△ODE≌△OBE（SSS），∴∠ODE＝∠OBE＝90°，∴半径OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接BD，如图，由（1）知：DE＝BE＝EC，∠ADB＝∠BDC＝∠ABC＝90°，∵DE＝5，∴BC＝10，∵sin C＝，∴＝，∴BD＝8，∵∠C+∠CBD＝∠ABD+∠CBD＝90°，∴∠ABD＝∠C，∴sin∠ABD＝sin∠C＝，∴＝，设AD＝4x，则AB＝5x，∵AD2+BD2＝AB2，∴（4x）2+82＝（5x）2，解得：x＝（负值舍去），∴AD＝4x＝4×＝；（3）证明：连接BD，由（1）（2）得：∠BDC＝∠OBE＝90°，BE＝DE，∵点O是AB的中点，点E是BC的中点，∴OE∥AC，BC＝2BE，∴∠C＝∠OEB，∴△BCD∽△OEB，∴＝，即＝，∴2DE2＝CD•OE．21．已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，以边AC为直径作⊙O，与AB 边交于点D，点M为边BC的中点，连接DM．（1）求证：DM是⊙O的切线；（2）点P为直线BC上任意一动点，连接AP交⊙O于点Q，连接CQ．①当tan∠BAP＝时，求BP的长；②求的最大值．【答案】（1）证明见解答；（2）①BP的长为或；②的最大值为．【解答】（1）证明：如图，连接OD，CD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠BDC＝180°﹣∠ADC＝90°，∵点M为边BC的中点，∴MC＝MD，∴∠MDC＝∠MCD，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD，∵∠ACB＝90°，即∠MCD+∠OCD＝90°，∴∠MDC+ODC＝∠MCD+∠OCD＝90°，即∠ODM＝90°，∴DM⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴DM是⊙O的切线；（2）①当点P在线段BC上时，如图，过点P作PT⊥AB于点T，在Rt△ABC中，AB＝＝＝10，设PT＝x，∵tan∠BAP＝，∴＝，∴AT＝3PT＝3x，∴BT＝AB﹣AT＝10﹣3x，∵tan∠ABC＝＝，∴＝，解得：x＝，∴PT＝，∵sin∠ABC＝＝，即＝，∴BP＝；当点P在CB的延长线上时，如图，过点B作BK⊥AP于点K，∵tan∠BAP＝，∴＝，设BK＝a，则AK＝3a，在Rt△ABK中，AK2+BK2＝AB2，即（3a）2+a2＝102，解得：a1＝，a2＝﹣（舍去），∴AK＝3，BK＝，∵S△ABP＝AP•BK＝BP•AC，∴＝＝，设BP＝m，则AP＝m，在Rt△ACP中，AC2+CP2＝AP2，即82+（m+6）2＝（m）2，解得：m1＝，m2＝﹣（舍去），∴BP＝；综上所述，BP的长为或；②设CP＝n，则AP＝＝，如图，∵AC是⊙O的直径，∴CQ⊥AP，∵CQ•AP＝AC•CP，∴CQ＝＝，∴＝，∵n＞0，∴（n﹣8）2≥0，∴64+n2≥16n，∴＝≤＝，∴的最大值为．22．如图（1），已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的圆O交斜边AC于点E，点D为BC中点，连接DE．（1）求证：DE是圆O的切线；（2）如图（2），EH⊥AC，垂足为H，若AC＝6，BC＝8，求EH的长；（3）如图（3），在⊙O上取一点P，使PE＝CE，连接PE，AP，试探究AP、AH、HC 之间的数量关系，并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】（1）连结OE，∵AC是直径，∴∠AEC＝90°∴∠CEB＝90°，∵D是BC的中点，∴CD＝DE，∴∠DCE＝∠DEC，∵∠ACB＝90°，∴∠DCE+∠OCE＝90°，∵OE＝OC，∴∠OCE＝∠OEC，∴∠OEC+∠DEC＝90°，∴OE⊥DE，∵OE是圆O的半径，∴DE是圆O的切线；（2）连结CE，∵AC＝6，BC＝8，∴，∵∠B＝∠B，∠CEB＝∠ACB＝90°，∴△CEB∽△ACB，∴，∴，∵HE⊥AC，∴∠EHC＝90°，∴，∴，∴；（3）在AC上取点M，使CM＝AP，∵PE＝CE，∠P＝∠MCE∴△APE≌△MCE（SAS）∴AE＝ME∵EH⊥AC∴AH＝MH∴CM＝CH﹣MH＝CH﹣AH，∴AP＝CH﹣AH．23．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A为任意一点，B为⊙O上任意一点．给出如下定义：记A，B两点间的距离的最小值为p（规定：点A在⊙O上时，p＝0），最大值为q，那么把的值称为点A与⊙O的“关联距离”，记作d（A，⊙O）．（1）如图，点D，E，F的横、纵坐标都是整数．①d（D，⊙O）＝；②若点M在线段EF上，求d（M，⊙O）的取值范围；（2）若点N在直线y＝上，直接写出d（N，⊙O）的取值范围；（3）正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足d（P，⊙O）的最小值为1，最大值为，直接写出m的最小值和最大值．【答案】（1）①2；②2≤d（M，⊙O）≤3；（2）d（N，⊙O）≥；（3）m的最小值为﹣，最大值为．【解答】解：（1）①∵D（0，2）到⊙O的距离的最小值p＝1，最大值q＝3，∴d（D，⊙O）＝＝2，故答案为：2；②当M在点E处，d（E，⊙O）＝2，当M在点F处，d（F，⊙O）＝＝3，∴2≤d（M，⊙O）≤3；（2）设ON＝d，∴p＝d﹣r＝d﹣1，q＝d+r＝d+1，∴d（N，⊙O）＝＝＝d，∵点N在直线y＝上，设直线交x轴于点B，交y轴于点A，如图1，则x＝0时，y＝2，y＝0时，x＝﹣2，∴A（0，2），B（﹣2，0），∴OA＝2，OB＝2，∴AB＝＝4，当ON⊥AB时，d（N，⊙O）最小，∴S△AOB＝OA•OB＝AB•ON，即×2×2＝×4ON，∴ON＝，∵ON无最大值，∴d（N，⊙O）≥；（3）如图2，∵d（P，⊙O）的最小值为1，最大值为，∴两个同心圆中，小圆的半径为1，大圆的半径为，∵KL＝﹣1，∴m的最小值是＝﹣，在Rt△OMH中，OM＝，OH＝m﹣1，MH＝m，∴（m﹣1）2+（m）2＝（）2，解得：m＝﹣2（舍去）或m＝；∴m的最小值为﹣，最大值为．24．在⊙O中＝，顺次连接A、B、C．（1）如图1，若点M是的中点，且MN∥AC交BC延长线于点N，求证：MN为⊙O 的切线；（2）如图2，在（1）的条件下，连接MC，过点A作AP⊥BM于点P，若BP＝a，MP ＝b，CM＝c，则a、b、c有何数量关系？（3）如图3，当∠BAC＝60°时，E是BC延长线上一点，D是线段AB上一点，且BD ＝CE，若BE＝5，△AEF的周长为9，请求出S△AEF的值？【答案】（1）证明见解答；（2）a＝b+c；（3）．【解答】解：（1）如图1，连接OM，∵M是的中点，∴OM⊥AC，∵MN∥AC，∴OM⊥MN，∵OM为⊙O的半径，∴MN为⊙O的切线；（2）如图2，连接OM交AC于K，连结AM，∵M是的中点，∴＝，∴AM＝CM＝c，∵AP⊥BM，∴∠APM＝∠APB＝90°，∴AP2＝AM2﹣PM2＝c2﹣b2，∴AB2＝AP2+BP2＝c2﹣b2+a2，∴AC＝AB＝，∵M是的中点，∴OM⊥AC，∴AK＝CK＝AC＝，∵∠APB＝∠CKM＝90°，∠ABP＝∠MCK，∴△ABP∽△MCK，∴＝，∴BP•CM＝CK•AB，∴ac＝•，∴2ac＝c2﹣b2+a2，∴（a﹣c）2﹣b2＝0，∴（a+b﹣c）（a﹣b﹣c）＝0，∵a+b﹣c＞0，∴a﹣b﹣c＝0，∴a＝b+c；（3）过点B作BH∥AC，过点D作DH∥BC，BH与DH交于点H，连接CH，则∠BDH＝∠ABC＝60°，∠DBH＝∠ACB＝60°，∴△BDH是等边三角形，∴BH＝BD，∠DBH＝60°，∴BH＝CE，∠CBH＝∠ABC+∠DBH＝60°+60°＝120°，∵∠ACE＝180°﹣∠ACB＝120°＝∠CBH，AC＝BC，∴△ACE≌△CBH（SAS），∴∠CAE＝∠BCH，AE＝CH，∵DH∥BC，DH＝CE，∴四边形CEDH是平行四边形，∴CE∥ED，CH＝ED，∴∠BCH＝∠BED，CH＝AE，∴∠BED＝∠CAE，AE＝ED，过点E作ET⊥AB于点T，交AC于点L，连接DL，则AT＝TD＝AD，AL＝DL，∵∠BAC＝60°，∴△ADL是等边三角形，∴∠ALD＝60°＝∠ACB，∴DL∥BC，即HD与DL在同一直线上，∴四边形BCLH是平行四边形，∴CL＝BH＝BD＝CE，LH＝BC，设CE＝x，则CL＝x，BC＝AC＝5﹣x，AD＝DL＝AL＝AC﹣CL＝5﹣2x，AT＝，∵DF∥CH，∴＝，即＝，∴LF＝，∴AF＝AL+LF＝5﹣2x+＝，在Rt△BET中，ET＝BE•sin60°＝，∵AE2＝AT2+ET2，∴AE2＝（）2+（）2＝x2﹣5x+25，延长BH，ED交于点R，则∠RHD＝∠FCE，∠R＝∠CFE，DH＝CE，∴△HDR≌△CEF（AAS），∴DR＝EF，∴ER＝ED+DR＝AE+EF＝9﹣AF＝9﹣＝，∵CH∥ED，∴＝，∴CH＝•ER＝×＝，∴AE＝，∴x2﹣5x+25＝（）2，解得：x1＝5（舍去），x2＝，∴AD＝5﹣2×＝，AF＝＝10﹣＝2，作DM⊥AL于点M，则DM＝AD•sin60°＝×＝，∴S△AEF＝S△ADE﹣S△ADF＝AD•ET﹣AF•DM＝××﹣×2×＝．25．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，AB＝1，且A，B两点中至少有一点在⊙O 外．给出如下定义：平移线段AB，得到线段A′B′（A′，B′分别为点A，B的对应点），若线段A′B′上所有的点都在⊙O的内部或⊙O上，则线段AA′长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）如图1，点A1，B1的坐标分别为（﹣3，0），（﹣2，0），线段A1B1到⊙O的“平移距离”为，点A2，B2的坐标分别为（﹣，），（，），线段A2B2到⊙O的“平移距离”为；（2）若点A，B都在直线y＝x+2上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d，求d的最小值；（3）如图2，若点A坐标为（1，），线段AB到⊙O的“平移距离”为1，画图并说明所有满足条件的点B形成的图形（不需证明）．【答案】（1）2，；（2）．（3）所有满足条件的点B形成的图形是以A为圆心圆心角为120°的．【解答】解：（1）根据“平移距离”的定义可得：线段A1B1到⊙O的“平移距离”为2，如图1，设A2B2与y轴交于E，线段A2B2向下平移得到⊙O的弦A′2B′2，线段A′2B′2与y轴交于点F，则A′2F＝，OA′2＝1，OE＝，∴OF＝，∴A2A′2＝EF＝OE﹣OF＝﹣＝，∴线段A2B2到⊙O的“平移距离”为，故答案为：2，；（2）如图2中，作等边△OEF，点E在x轴上，OE＝EF＝OF＝1，设直线y＝x+2交x轴于M，交y轴于N．则M（﹣2，0），N（0，2），过点E作EH⊥MN于H，∵OM＝2，ON＝2，∴tan∠NMO＝，∴∠NMO＝60°，∴EH＝EM•sin60°＝，观察图象可知，线段AB到⊙O的“平移距离”为d1的最小值为．（3）如图3，连接OA，交⊙O于点A′，则OA＝＝2，∴OA到⊙O任意一点距离的最小值为OA′＝OA﹣1＝1，∴点A′（，），设平移后圆上另一点为B′，由题意得：A′B′＝1，有三种情况：①点B′与点O重合，则点B的坐标为（，）；②点B′与点（1，0）重合，则点B的坐标为（，）；③点B′与点（﹣，）重合，则点B的坐标为（0，）；如图可知所有满足条件的点B形成的图形是以A为圆心圆心角为120°的．26．【了解概念】定义：在平面直角坐标系xOy中，组成图形的各点中，与点P连线段最短的点叫做点P 于这个图形的短距点，这条最短线段的长度叫做点P这个图形的短距．【理解运用】（1）已知点P（﹣3，0），以原点为圆心，1半径作⊙O，则点P于⊙O的短距点的坐标是；（2）如图，点P（3，），等边三角形OAB的顶点A的坐标为（6，0），顶点B在第一象限，判断点P于△OAB的短距点的个数，并说明理由；【拓展提升】（3）已知P（p，﹣p+6），A（6，0），B（0，6），点C在第一象限内，且∠CBO＝75°，∠ACB＝90°，若点P到四边形OACB的短距大于2，请直接写出p的取值范围．【答案】（1）（﹣1，0）；（2）3个，理由见解答过程；（3）p＜﹣或2＜p＜4或p＞6+．【解答】解：（1）如图：根据短距点定义，点P于⊙O的短距点为A，坐标是（﹣1，0），故答案为：（﹣1，0）；（2）点P关于△OAB的短距点有3个，理由如下：过P作PC⊥OA于C，PE⊥AB于E，PD⊥OB于D，如图：∵P（3，），∴OC＝3，PC＝，∴tan∠POC＝，∴∠POC＝30°，∵△OAB是等边三角形，∴∠BOC＝60°，OA＝6，∴∠BOP＝∠POC＝30°，又PC⊥OA，PD⊥OB，∴PD＝PC＝，∵AC＝OA﹣OC＝3，PC＝，∴tan∠P AC＝，∴∠P AC＝30°，同理∠P AE＝∠P AC＝30°，PE＝PC，∴PC＝PD＝PE，即点P关于△OAB的短距点有C、D、E，∴点P关于△OAB的短距点有3个；（3）∵P（p，﹣p+6），∴P在直线y＝﹣x+6上，直线经过A（6，0）、B（0，6），且∠ABO＝∠BAO＝45°，①当p＜0时，过P作PD⊥x轴于D，过B作PE⊥PD于E，如图：△PBE是等腰直角三角形，若PB＝2，则BE＝PE＝，而DE＝OB＝6，∴PD＝6+，∴P（﹣，6+），由图可知：此时p＜﹣，点P到四边形OACB的短距大于2，②当0≤p≤6时，过P作PD⊥BC于D，设PD＝2，作PE⊥OB，PF⊥OA，过P'作P'G ⊥OA，设P'G＝2，如图：∵∠PBD＝∠OBC﹣∠ABC＝30°，PD＝2，∴BP＝4，∵△PBE是等腰直角三角形，∴BE＝PE＝2，PF＝OE＝OB﹣BE＝6﹣2，。

2012年全国各地中考数学试卷分类汇编与圆有关的位置关系

2012年全国各地中考数学试卷分类汇编：与圆有关的位置关系 31.1 直线与圆的位置关系11.（2012山东省荷泽市，11，3）如图，PA 、PB 是⊙o 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙o的直径，若∠P=46∘，则∠BAC=______.【解析】因为PA 、PB 是⊙o 的切线，所以PA=PB ，OA ⊥PA ，又因∠P=46∘，所以∠PAB=67∘，所以∠BAC=∠OAP-∠PAB=90∘-67∘=23∘，【答案】23∘【点评】当圆外一点向圆引两条切线，可以利用切线长定理及切线的性质定理，利用等腰三角形的性质及及垂直的性质来计算角的度数.14.（2012连云港，14，3分）如图，圆周角∠BAC=55°，分别过B 、C 两点作⊙O 的切线，两切线相交于点P ，则∠BPC= °。

【解析】连结OB ，OC ，则OB ⊥PB ，OC ⊥PC 。

则∠BOC=110°，在四边形PBOC 中，根据四边形的内角和为360°，可得∠BPC=70°。

【答案】70【点评】本题考查了圆周角与圆心角的关系以及切线的性质。

14. （2012湖南湘潭，14，3分）如图，ABC 的一边AB 是⊙O 的直径，请你添加一个条件，使BC 是⊙O 的切线,你所添加的条件为 .【解析】根据切线的定义来判断，B C ⊥AB ，或∠ABC=900。

【答案】B C ⊥AB ，或∠ABC=900。

【点评】此题考查切线的定义。

圆的切线垂直于过切点的半径。

20. （2012浙江丽水8分，20题）（本题8分）如图，AB 为⊙O 的直径，EF 切⊙O 于点D ，过点B 作BH ⊥EF 于点H ，交⊙O 于点C ，连接BD.（1）求证：BD 平分∠ABH ；第14题图（2）如果AB=12，BC=8，求圆心O 到BC 的距离.【解析：】（1）欲证BD 平分∠ABH ，只需证∠OBD=∠DBH.连接OD ，则∠OBD=∠ODB ，为止只需证∠ODB=∠DBH 即可.（2）过点O 作OG ⊥BC 于点G ，在Rt △OBG 中，利用勾股定理即可求得OG 的值.【解】：（1）证明：连接OD.∵EF 是⊙O 的切线，∴OD ⊥EF.又∵BH ⊥EF ，∴OD ∥BH ，∴∠ODB=∠DBH.而OD=OB ，∴∠ODB=∠OBD ，∴∠OBD=∠DBH ，∴BD 平分∠ABH.（2）过点O 作OG ⊥BC 于点G ，则BG=CG=4，在Rt △OBG 中，OG=52462222=-=-BG OB .【点评】：已知圆的切线，常作过切点的半径构造直角三角形，以便于利用勾股定理求解问题.20.（2012福州，20，满分12分）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E 。

中考数学分类(含答案)圆与圆的位置关系

2010年中考数学分类（含答案）圆与圆的位置关系一、选择题 1．（2010安徽芜湖）若两圆相切，圆心距是7，其中一圆的半径为10，则另一个圆的半径为__________．【答案】3或172．（2010甘肃兰州）已知两圆的半径R 、r 分别为方程0652=+-x x 的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是A ．外离B ．内切C ．相交D ．外切【答案】B3．（2010山东济宁）已知⊙O 1与⊙O 2相切，⊙O 1的半径为3 cm ，⊙O 2的半径为2 cm ，则O 1O 2的长是A ．1 cmB ．5 cmC ．1 cm 或5 cmD ．0.5cm 或2.5cm【答案】C 4．（2010山东日照）已知两圆的半径分别为3cm ，5 cm ，且其圆心距为7cm ，则这两圆的位置关系是（A ）外切（B ）内切（C ）相交（D ）相离【答案】C5．（2010四川眉山）⊙O 1的半径为3cm ，⊙O 2的半径为5cm ，圆心距O 1O 2=2cm ，这两圆的位置关系是A ．外切B ．相交C ．内切D ．内含【答案】C 6．（2010浙江宁波）两圆的半径分别为3和5，圆心距为7，则两圆的位置关系是 (A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)外离【答案】B 7．（2010浙江绍兴）如图为某机械装置的截面图,相切的两圆⊙O 1, ⊙O 2均与⊙O 的弧AB 相切,且O 1O 2∥l 1( l 1为水平线)，⊙O 1,⊙O 2的半径均为30 mm ,弧AB 的最低点到l 1的距离为30 mm ,公切线l 2与l 1间的距离为100 mm .则⊙O 的半径为( )A.70 mmB.80 mmC.85 mmD.100 mm第10题图AB单位：mml 1l 2【答案】B8．（2010湖南长沙）已知⊙O 1、⊙O 2的半径分别是12r =、24r =，若两圆相交，则圆心距O 1O 2可能取的值是（）． A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 【答案】B ．9．（2010江苏宿迁）外切两圆的半径分别为2 cm 和3cm ，则两圆的圆心距是A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．5cm【答案】D10．（2010 山东济南）已知两圆的半径分别是3和2，圆心的坐标分别是（0，2）和（0，-4），那么两圆的位置关系是（）A.内含B.相交C.相切D.外离【答案】D 11．（2010江苏无锡）已知两圆内切，它们的半径分别为3和6，则这两圆的圆心距d 的取值满足（）A ．9d >B ． 9d =C ． 39d <<D ．3d = 【答案】D12．（2010湖南邵阳）如图（四）在边长为1的小正方形组成的网格中，半径为2的1O 的圆心1O 在格点上，将一个与1O 重合的等圆向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到2O ，则2O 与1O 的位置关系是（）A ．内切B ．外切C ．相交D ．外离图（四）【答案】C13．（2010年上海）已知圆O 1、圆O 2的半径不相等，圆O 1的半径长为3，若圆O 2上的点A满足AO 1 = 3，则圆O 1与圆O 2的位置关系是（）A .相交或相切B .相切或相离C .相交或内含D .相切或内含【答案】A 14．（2010重庆綦江县）两圆的圆心距为7cm ，半径分别为5cm 和2cm ，则两圆的位置关系是（）A ．内切B ．外切C ．外离D ．内含【答案】B 15．（2010山东临沂）已知两圆的半径分别是2㎝和4㎝，圆心距是6㎝，那么这两圆的位置关系是（A ）外离（B ）外切（C ）相交（D ）内切【答案】B16．（2010福建宁德）如图，在8×4的方格（每个方格的边长为1个单位长）中，⊙A 的半径为1，⊙B 的半径为2，将⊙A 由图示位置向右平移1个单位长后， ⊙A 与静止的⊙B 的位置关系是（）．A.内含B.内切C.相交D.外切【答案】D 17．（2010江苏常州）若两圆的半径分别为2和3，圆心距为5，则两圆的位置关系为A.外离B.外切C.相交D.内切【答案】B 18．（2010 四川成都）已知两圆的半径分别是4和6，圆心距为7，则这两圆的位置关系是（）（A ）相交（B ）外切（C ）外离（D ）内含【答案】A 19．（2010湖南常德）已知⊙O 1的半径为5㎝, ⊙O 2的半径为6㎝,两圆的圆心距O 1 O 2=11㎝,则两圆的位置关系为()A ．内切B ．外切C ．相交D ．外离【答案】B20．（2010湖北省咸宁）如图，两圆相交于A ，B 两点，小圆经过大圆的圆心O ，点C ，D分别在两圆上，若100ADB ∠=︒，则ACB ∠的度数为 A ．35︒B ．40︒C ．50︒D ．80︒第9题图【答案】B 21．（2010江苏扬州）已经⊙O 1、⊙O 2的半径分别为5cm,、8cm ，且他们的圆心距为8cm ，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系为（）A ．外离B ．相交C ．相切D ．内含【答案】B22．（2010云南楚雄）已知⊙1O 和⊙2O 的半径分别为2cm 和3cm ，两圆的圆心距为5cm ，则两圆的位置关系是（）A ．外切B ．外离C ．相交D ．内切【答案】A 23．（2010 湖北孝感）有四个命题：①两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；③菱形既是轴对称图形又是中心对称图形；④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d ，若两圆有公共点，则.71<<d 其中正确的命题有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】A24．（2010广东汕头）已知方程0452=+-x x 的两根分别为⊙1与⊙2的半径，且O 1O 2＝3，那么两圆的位置关系是（）A ．相交B ．外切C ．内切D ．相离全品中考网【答案】C 25．（2010 四川泸州）已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别为2和3，两圆相交，则两圆的圆心距m 满足（）A ．m =5B ．m =1C ．m ＞5D ．1＜m ＜5 【答案】D26．（2010 山东淄博）已知两圆的半径分别为R 和r （R ＞r ），圆心距为d ．如图，若数轴上的点A 表示R －r ，点B 表示R ＋r ，当两圆外离时，表示圆心距d 的点D 所在的位置是（A ）在点B 右侧（B ）与点B 重合（C ）在点A 和点B 之间（D ）在点A 左侧【答案】A(第7题)27．（2010 甘肃）已知大圆的半径为5，小圆的半径为3，两圆圆心距为7，则这两圆的位置关系为（）A ．外离B ．外切Ｃ．相交 D ．内含【答案】C 28．（2010 广西玉林、防城港）在数轴上，点A 所表示的实数是－2，⊙A 的半径为2，⊙B 的半径为1，若⊙B 与⊙A 外切，则在数轴上点B 所表示的实数是：（） A ．1 B ．－5 C ．1或－5D ．―１或―3 【答案】C29．（2010 湖北咸宁）如图，两圆相交于A ，B 两点，小圆经过大圆的圆心O ，点C ，D 分别在两圆上，若100ADB ∠=︒，则ACB ∠的度数为A ．35︒B ．40︒C ．50︒D ．80︒【答案】B30．（2010辽宁大连）已知两圆半径分别为4和7，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（）A.内含B.内切C.相交D.外切【答案】B31．（2010湖北宜昌）两圆的半径分别为2和1，圆心距为3，则反映这两圆位置关系的为图（）。

中考数学考点剖析23 圆与圆的位置关系

专题23 圆与圆的位置关系【阅读与思考】两圆的半径与圆心距的大小量化确定圆与圆的外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系.圆与圆相交、相切等关系是研究圆与圆位置关系的重点，解题中经常用到相关性质.解圆与圆的位置关系问题，往往需要添加辅助线，常用的辅助线有：1.相交两圆作公共弦或连心线；2.相切两圆作过切点的公切线或连心线；3.有关相切、相离两圆的公切线问题常设法构造相应的直角三角形.熟悉以下基本图形和以上基本结论.【例题与求解】【例1】如图，大圆⊙O的直径cm，分别以OA，OB为直径作⊙O1和⊙O2，并在⊙O与⊙O1和⊙O2的空隙间作两个等圆⊙O3和⊙O4，这些圆互相内切或外切，则四边形的面积为________cm2. （全国初中数学竞赛试题）解题思路：易证四边形为菱形，求其面积只需求出两条对角线的长.【例2】如图，圆心为A，B，C的三个圆彼此相切，且均与直线相切.若⊙A，⊙B，⊙C的半径分别为，，（），则，，一定满足的关系式为（）A.B.C.D.（天津市竞赛试题）解题思路：从两圆相切位置关系入手，分别探讨两圆半径与分切线的关系，解题的关键是作圆的基本辅助线.【例3】如图，已知两圆内切于点P，大圆的弦AB切小圆于点C，PC的延长线交大圆于点D.求证：（1）∠APD=∠BPD；（2）. （天津市中考试题）解题思路：对于（1），作出相应辅助线；对于（2），应化简待证式的右边，不妨从AC·BC=PC·CD入手.【例4】如图⊙O1和⊙O2相交于点A及B处，⊙O1的圆心落在⊙O2的圆周上，⊙O1的弦AC与⊙O2交于点D.求证：O1D⊥BC.（全俄中学生九年级竞赛试题）解题思路：连接AB，O1B，O1C，显然△O1BC为等腰三角形，若证O1D⊥BC，只需证明O1D平分∠B O1C.充分运用与圆相关的角.【例5】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1,AB=2，DC=，点P在边BC上运动（与B，C不重合）.设PC=，四边形ABPD的面积为.（1）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）若以D为圆心，为半径作⊙D，以P为圆心，以PC的长为半径作⊙P，当为何值时，⊙D与⊙P 相切？并求出这两圆相切时四边形ABPD的面积. （河南省中考题）解题思路：对于（2），⊙P与⊙D既可外切，也可能内切，故需分类讨论，解题的关键是由相切两圆的性质建立关于的方程.【例6】如图，ABCD是边长为的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆交于另一点P，延长AP交BC于点N，求的值. （全国初中数学联赛试题）解题思路：AB为两圆的公切线，BC为直径，怎样产生比例线段？丰富的知识，不同的视角激活想象，可生成解题策略与方法.【能力与训练】A 级1.如图，⊙A，⊙B的圆心A，B在直线上，两圆的半径都为1cm.开始时圆心距AB＝4cm，现⊙A，⊙B 同时沿直线以每秒2cm的速度相向移动，则当两圆相切时，⊙A运动的时间为_______秒.（宁波市中考试题）2.如图，O2是⊙O1上任意一点，⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，E为优弧AB上的一点，EO2及延长线交⊙O2于C，D，交AB于F，且CF＝1，EC＝2，那么⊙O2的半径为_______.（四川省中考试题）（第1题图）（第2题图）（第3题图）3.如图，半圆O的直径AB＝4,与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M.设⊙O1的半径为，AM的长为，则与的函数关系是_________________.（要求写出自变量的取值范围）（昆明市中考试题）4.已知直径分别为和的两个圆，它们的圆心距为，这两圆的公切线的条数是__________.5.如图，⊙O 1和⊙O 2相交于点A ，B ，且⊙O 2的圆心O 2在圆⊙O 1的圆上，P 是⊙O 2上一点.已知∠A O 1B ＝60°，那么∠APB 的度数是（）A .60°B .65°C .70°D .75°（甘肃省中考试题）6.如图，两圆相交于A 、B 两点，过点B 的直线与两圆分别交于C ，D 两点.若⊙O 1半径为，⊙O 2的半径为2，则AC ：AD 为（）A .B .C .D .（第5题图）（第6题图）（第7题图）7.如图，⊙O 1和⊙O 2外切于点T ，它们的半径之比为3:2，AB 是它们的外公切线，A ，B 是切点，AB ＝，那么⊙O 1和⊙O 2的圆心距是（）A .B .10C .D .8.已知两圆的半径分别为R 和（），圆心距为.若关于的方程有两相等的实数根，那么这两圆的位置关系是（）A .外切B .内切C .外离D .外切或内切（连云港市中考试题） 9.如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点，点O 1在⊙O 2上，点C 为⊙O 1中优弧AB ⌒上任意一点，直线CB 交⊙O 2于D ，连接O 1D .（1）证明：DO 1⊥AC ；（2）若点C 在劣弧AB ⌒上，（1）中的结论是否仍成立？请在图中画出图形，并证明你的结论. （大连市中考试题）图1 图210.如图，已知⊙O 1与⊙O 2外切于点P ，AB 过点P 且分别交⊙O 1和⊙O 2于点A ，B ，BH 切⊙O 2于点B ，交⊙O 1于点C ，H .（1）求证：△BCP ∽△HAP ；（2）若AP :PB ＝3：2，且C 为HB 的中点，求HA :BC .（福州市中考试题）11.如图，已知⊙B，⊙C的半径不等，且外切于点A，不过点A的一条公切线切⊙B于点D，切⊙C于点E，直线AF⊥DE，且与BC的垂直平分线交于点F.求证：BC＝2AF.（英国数学奥林匹克试题）12.如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点.正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC得内切圆圆心O，且点E在半圆弧上.（1）若正方形的顶点F也在半圆弧上，求半圆的半径与正方形边长的比；（2）若正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆半径，求半圆的直径AB.（杭州市中考试题）B级1.相交两圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长为6cm，这两圆的圆心距为_______.2.如图，⊙O过M点，⊙M交⊙O于A，延长⊙O的直径AB交⊙M于C.若AB＝8，BC＝1，则AM＝_______.（黑龙江省中考试题）（第2题图）（第3题图）（第4题图）3.已知圆环内直径为cm，外直径为cm，将50个这样的圆环一个接着一个环套环地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm.4.如图，已知PQ＝10，以PQ为直径的圆与一个以20为半径的圆相切于点P.正方形ABCD的顶点A，B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q.若AB＝，其中，为整数，则___________.（美国中学生数学邀请赛试题）5.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点M，且分正方形为4个三角形，⊙O1，⊙O2，⊙O3，⊙O4，分别为△AMB，△BMC，△CMD，△DMA的内切圆.已知AB＝1.则⊙O1，⊙O2，⊙O3，⊙O4所夹的中心（阴影）部分的面积为（）A. B.C. D.（太原市竞赛试题）（第5题图）（第6题图）（第7题图）6.如图，⊙O1与⊙O2内切于点E，⊙O1的弦AB过⊙O2的圆心O2，交⊙O2于点C，D.若AC：CD:BD ＝2:4:3，则⊙O2与⊙O1的半径之比为（）A.2:3B.2:5C.1:3D.1:47.如图，⊙O1与⊙O2外切于点A，两圆的一条外公切线与⊙O1相切于点B，若AB与两圆的另一条外公切线平行，则⊙O1与⊙O2的半径之比为（）A.2:5B.1:2C.1:3D.2:3（全国初中数学联赛试题）8.如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，过点A作⊙O1的切线，交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC相交于点P.（1）求证：（2）当AD与⊙O2相切且P A＝6，PC＝2，PD＝12时，求AD的长. （黄冈市中考试题）9.如图，已知⊙O1和⊙O2外切于A，BC是⊙O1和⊙O2的公切线，切点为B，C.连接BA并延长交⊙O1于D，过D点作CB的平行线交⊙O2于E，F.（1）求证：CD是⊙O1的直径；（2）试判断线段BC，BE，BF的大小关系，并证明你的结论. （四川省中考试题）10.如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径，大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，F，AD，BE相交于点G，连接BD.（1）求BD的长；（2）求的度数；（3）求的值. （淄博市中考试题）11.如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙O1与△BCH的外接圆⊙O2相交于点D，延长AD交CH于点P.求证：P为CH的中点. （“《数学周报杯”全国初中数学竞赛试题）12.如图，已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，⊙A与半圆O相交于点C，以点B为圆心，BP为半径作⊙B，⊙B与半圆O相交于点D，且线段CD的中点为M.求证：MP分别与⊙A，⊙B相切. （“《数学周报杯”全国初中数学竞赛试题）。

2019-2020年中考数学试卷分类汇编：圆与圆的位置关系(最新整理)

8．（2013•东营，7，3
分）已知⊙O1 的半径 r1 =2，⊙O2 的半径 r2 是方程
3 x
2 x 1 的根，⊙O1
与⊙O2 的圆心距为 1，那么两圆的位置关系为（
）
A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
答案：D
解析：解方程
3 x
2
得，x=3，经检验
x 1
x=3
是原方程的根，所以 r2
3 ，因为 r2
理是解决本题的关键．
4. （2013 湖南长沙，4，3 分）已知⊙O1 的半径为 1㎝、⊙O2 的半径为 3㎝，两圆的圆心距 O1O2 为 4㎝，则两圆的位置关系是（）
A.外离B.外切源自C.相交D.内切答案：B 【详解】因为 1+3=4，即两圆半径之和等于圆心距，所以两圆外切.
5．（2013 湖南娄底，10，3 分）如图，⊙O1，⊙O2、相交于 A、B 两点，两圆半径分别为 6cm 和 8cm，两圆的连心线 O1O2 的长为 10cm，则弦 AB 的长为（）
（1）求证四边形 BEDF 为矩形．（2）若 BD2 BE BC 试判断直线 CD 与⊙ O 的位置关系，并说明理由．
∵⊙A、⊙B 的半径都为 1， ∴AB 等于两圆半径之和， ∴⊙A 与⊙B 外切．故答案为外切【方法指导】本题考查了圆与圆的位置关系：两圆的半径分别为 R、r，两圆的圆心距为 d，若 d=R+r，则两圆外切．也考查了旋转的性质． 5．（2013 贵州省六盘水，16，4 分）若⊙A 和⊙B 相切，它们的半径分别为 8cm 和 2cm，则圆心距 AB 为 10 或 6 cm．
考点：圆与圆的位置关系；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．分析：利用圆与圆的位置关系、垂径定理、圆周角定理等有关圆的知识进行判断即可解答：解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项错误；

【九年级】2021年中考数学圆与圆的位置关系试题汇编

【九年级】2021年中考数学圆与圆的位置关系试题汇编2021中考全国100份试卷分类汇编圆与圆的位置关系1、(2021年南京)如图，圆O1、圆O2的圆心O1、O2在直线l上，圆O1的半径为2 c，圆O2的半径为3 c，O1O2=8 c。

圆O1以1 c/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动，在此过程中，圆O1与圆O2没有出现的位置关系是(A) 外切 (B) 相交 (C) 内切 (D) 内含答案：D解析：7s后两圆刚好内切，所以，外切、相交、内切都有，没有内含，选D。

（2021凉山州）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2c和3c，圆心距O1O2为5c，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切考点：圆与圆的位置关系．分析：由⊙O1与⊙O2的半径分别为2c和3c，且圆心距O1O2为5c，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．解答：解：∵⊙与⊙O2的半径分别为2c和3c，且圆心距O1O2为5c，又∵2+3=5，∴两圆的位置关系是外切．故选B．点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．2、（2021•宁波）两个圆的半径分别为2和3，当圆心距d=5时，这两个圆的位置关系是（）A．内含B．内切C．相交D．外切考点：圆与圆的位置关系．分析：由两个圆的半径分别为2和3，圆心之间的距离是d=5，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．解答：解：∵两个圆的半径分别为2和3，圆心之间的距离是d=5，又∵2+3=5，∴这两个圆的位置关系是外切．故选D．点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．3、（2021•攀枝花）已知⊙O1和⊙O2的半径分别是方程x2?4x+3=0的两根，且两圆的圆心距等于4，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切考点：圆与圆的位置关系；解一元二次方程-因式分解法分析：由⊙O1与⊙O2的半径r1、r2分别是方程x2?4x+3=0的两实根，解方程即可求得⊙O1与⊙O2的半径r1、r2的值，又由⊙O1与⊙O2的圆心距等于4，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．解答：解：∵x2?4x+3=0，∴（x?3）（x?1）=0，解得：x=3或x=1，∵⊙O1与⊙O2的半径r1、r2分别是方程x2?6x+8=0的两实根，∴r1+r2=3+1=4，∵⊙O1与⊙O2的圆心距 d=4，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是外切．故选B．点评：此题考查了圆与圆的位置关系与一元二次方程的解法．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．4、（12-3圆与圆的位置关系•2021东营中考）已知的半径 =2，的半径是方程的根，与的圆心距为1，那么两圆的位置关系为（）A．内含B．内切C．相交D．外切7.D.解析：解方程得，x=3,经检验x=3是原方程的根，所以，因为，所以两圆外切.5、（2021•烟台）如图，已知⊙O1的半径为1c，⊙O2的半径为2c，将⊙O1，⊙O2放置在直线l上，如果⊙O1在直线l上任意滚动，那么圆心距O1O2的长不可能是（）A．6cB．3cC．2cD．0.5c考点：圆与圆的位置关系．分析：根据在滚动的过程中两圆的位置关系可以确定圆心距的关系．解答：解：∵⊙O1的半径为1c，⊙O2的半径为2c，∴当两圆内切时，圆心距为1，∵⊙O1在直线l上任意滚动，∴两圆不可能内含，∴圆心距不能小于1，故选D．点评：本题考查了两圆的位置关系，本题中两圆不可能内含．6、（2021泰安）如图，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径，点O1，O2，O3，O4分别是OA、OB、OC、OD的中点，若⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为（）A．8B．4C．4π+4D．4π?4考点：扇形面积的计算；圆与圆的位置关系．分析：首先根据已知得出正方形内空白面积，进而得出扇形COB中两空白面积相等，进而得出阴影部分面积．解答：解：如图所示：可得正方形EFN，边长为2，正方形中两部分阴影面积为：4?π，∴正方形内空白面积为：4?2（4?π）=2π?4，∵⊙O的半径为2，∴O1，O2，O3，O4的半径为1，∴小圆的面积为：π×12=π，扇形COB的面积为：=π，∴扇形COB中两空白面积相等，∴阴影部分的面积为：π×22?2（2π?4）=8．故选：A．点评：此题主要考查了扇形的面积公式以及正方形面积公式，根据已知得出空白面积是解题关键．7、（2021•宁夏）如图，以等腰直角△ABC两锐角顶点A、B为圆心作等圆，⊙A与⊙B恰好外切，若AC=2，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（）A． B． C． D．考点：扇形面积的计算；相切两圆的性质．分析：根据题意可判断⊙A与⊙B是等圆，再由直角三角形的两锐角互余，即可得到∠A+∠B=90°，根据扇形的面积公式即可求解．解答：解：∵⊙A与⊙B恰好外切，∴⊙A与⊙B是等圆，∵AC=2，△ABC是等腰直角三角形，∴AB=2 ，∴两个扇形（即阴影部分）的面积之和= + = = πR2= ．故选B．点评：本题考查了扇形的面积计算及相切两圆的性质，解答本题的关键是得出两扇形面积之和的表达式，难度一般．8、（2021•娄底）如图，⊙O1，⊙O2、相交于A、B两点，两圆半径分别为6c和8c，两圆的连心线O1O2的长为10c，则弦AB的长为（）A．4.8cB．9.6cC．5.6cD．9.4c考点：相交两圆的性质．分析：根据相交两圆的性质得出AC=AB，进而利用勾股定理得出AC的长．解答：解：连接AO1，AO2，∵⊙O1，⊙O2相交于A、B两点，两圆半径分别为6c和8c，两圆的连心线O1O2的长为10c，∴O1O2⊥AB，∴AC=AB，设O1C=x，则O2C=10?x，∴62?x2=82?（10?x）2，解得：x=3.6，∴AC2=62?x2=36?3.62=23.04，∴AC=4.8c，∴弦AB的长为：9.6c．故选：B．点评：此题考查了相交圆的性质与勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．9、（2021•湘西州）已知⊙O1与⊙O2的半径分别为3c和5c，若圆心距O1O2=8c，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）A．相交B．相离C．内切D．外切考点：圆与圆的位置关系．3718684分析：由两圆的半径分别为3c和5c，圆心距为8c，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．解答：解：∵两圆的半径分别为3c和5c，圆心距为8c，又∵5+3=8，∴两圆的位置关系是：外切．故选D．点评：此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．10、（2021•钦州）已知⊙O1与⊙O2的半径分别为2c和3c，若O1 O2=5c．则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）A．外离B．相交 C．内切D．外切考点：圆与圆的位置关系．分析：由⊙O1、⊙O2的半径分别是2c和3c，若O1O2=5c，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R， r的数量关系间的联系即可得出⊙O1和⊙O2的位置关系．解答：解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别是2c和3c，若O1O2=5c，又∵2+3=5，∴⊙O1和⊙O2的位置关系是外切．故选D．点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d=R+r；③两圆相交⇔R?r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d=R?r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R?r（R＞r）．11、（2021甘肃兰州4分、4）⊙O1的半径为1c，⊙O2的半径为4c，圆心距O1O2=3c，这两圆的位置关系是（）A．相交B．内切C．外切D．内含考点：圆与圆的位置关系．分析：两圆的位置关系有5种：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．若d＞R+r，则两圆相离；若d=R+r，则两圆外切；若d=R?r，则两圆内切；若R?r＜d ＜R+r，则两圆相交．本题可把半径的值代入，看符合哪一种情况．解答：解：∵R?r=4?1=3，O1O2=3c．∴两圆内切．故选B．点评：本题主要考查两圆的位置关系与数量之间的联系．12、（2021凉山州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，两等圆⊙A，⊙B外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为．考点：扇形面积的计算；勾股定理；相切两圆的性质．专题：．分析：根据题意，可得阴影部分的面积等于圆心角为90°的扇形的面积．解答：解：∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10，∴扇形的半径为5，∴阴影部分的面积= = π．点评：解决本题的关键是把两个阴影部分的面积整理为一个规则扇形的面积．13、（2021•嘉兴）在同一平面内，已知线段AO=2，⊙A的半径为1，将⊙A绕点O按逆时针方向旋转60°得到的像为⊙B，则⊙A与⊙B的位置关系为外切．考点：圆与圆的位置关系；旋转的性质．专题：．分析：根据旋转的性质得到△OAB为等边三角形，则AB=OA=2，而⊙A、⊙B的半径都为1，根据圆与圆的位置关系即可判断两圆的位置关系．解答：解：∵⊙A绕点O按逆时针方向旋转60°得到的⊙B，∴△OAB为等边三角形，∴AB=OA=2，∵⊙A、⊙B的半径都为1，∴AB等于两圆半径之和，∴⊙A与⊙B外切．故答案为外切．点评：本题考查了圆与圆的位置关系：两圆的半径分别为R、r，两圆的圆心距为d，若d=R+r，则两圆外切．也考查了旋转的性质．14、（2021•徐州）若两圆的半径分别是2和3，圆心距是5，则这两圆的位置关系是外切．考点：圆与圆的位置关系．分析：两圆的位置关系有5种：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．若d＞R+r则两圆相离，若d=R+r则两圆外切，若d=R?r则两圆内切，若R?r＜d＜R+r则两圆相交．本题可把半径的值代入，看符合哪一种情况．解答：解：∵两圆半径分别为2和3，圆心距为5，则2+3=5，∴两圆外切．故答案为：外切．点评：本题主要考查了两圆的位置关系．两圆的位置关系有：外离（d＞R+r）、内含（d＜R?r）、相切（外切：d=R+r或内切：d=R?r）、相交（R?r＜d＜R+r）．15、（2021•泰州）如图，⊙O的半径为4c，直线l与⊙O相交于A、B两点，AB=4 c，P为直线l上一动点，以1c为半径的⊙P与⊙O没有公共点．设PO=dc，则d的范围是d＞5c或2c≤d＜3c ．考点：圆与圆的位置关系．分析：根据两圆内切和外切时，求出两圆圆心距，进而得出d的取值范围．解答：解：连接OP，∵⊙O的半径为4c，1c为半径的⊙P，⊙P与⊙O没有公共点，∴d＞5c时，两圆外离，当两圆内切时，过点O作OD⊥AB于点D，O′P=4?1=3c，OD= =2（c），∴以1c为半径的⊙P与⊙O没有公共点时，2c≤d＜3c，故答案为：d＞5c或2c≤d＜3c．点评：此题主要考查了圆与圆的位置关系，根据图形进行分类讨论得出是解题关键．16、(2021年黄石)如右图，在边长为3的正方形中，圆与圆外切，且圆分别与、边相切，圆分别与、边相切，则圆心距为 .答案：解析：过O1，O2分别作O1⊥CD, O2N⊥BC，垂足为,N设圆O1半径为R,圆O2半径为r,则DO1= R，BO2= r,又BD=3 ，所以 R＋ r+r+R=3解得R＋r=6-3 ，即 =6-317、（2021•恩施州）如图所示，一半径为1的圆内切于一个圆心角为60°的扇形，则扇形的周长为6+π．考点：相切两圆的性质；含30度角的直角三角形；切线的性质；弧长的计算．分析：首先求出扇形半径，进而利用扇形弧长公式求出扇形弧长，进而得出扇形周长．解答：解：如图所示：设⊙O与扇形相切于点A，B，则∠CAO=90°，∠AOB=30°，∵一半径为1的圆内切于一个圆心角为60°的扇形，∴AO=1，∴CO=2AO=2，∴BC=2=1=3，∴扇形的弧长为：=π，∴则扇形的周长为：3+3+π=6+π．故答案为：6+π．点评：此题主要考查了相切两圆的性质以及扇形弧长公式等知识，根据已知得出扇形半径是解题关键．18、（2021•六盘水）若⊙A和⊙B相切，它们的半径分别为8c和2c，则圆心距AB为10或6 c．考点：圆与圆的位置关系．专题：分类讨论．分析：本题应分内切和外切两种情况讨论．解答：解：∵⊙A和⊙B相切，∴①当外切时圆心距AB=8+2=10c，②当内切时圆心距AB=8?2=6c．故答案为：10或6．点评：本题考查了由两圆位置关系来判断半径和圆心距之间数量关系的方法．外切时P=R+r；内切时P=R?r；注意分情况讨论．19、（2021•白银）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2?4x+3=0的两根，且O1O2=t+2，若这两个圆相切，则t= 2或0 ．考点：圆与圆的位置关系；解一元二次方程-因式分解法．分析：先解方程求出⊙O1、⊙O2的半径，再分两圆外切和两圆内切两种情况列出关于t的方程讨论求解．解答：解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别是方程x2?4x+3=0的两根，解得⊙O1、⊙O2的半径分别是1和3．①当两圆外切时，圆心距O1O2=t+2=1+3=4，解得t=2；②当两圆内切时，圆心距O1O2=t+2=3?1=2，解得t=0．∴t为2或0．故答案为：2或0．点评：考查解一元二次方程?因式分解法和圆与圆的位置关系，同时考查综合应用能力及推理能力．注意：两圆相切，应考虑内切或外切两种情况是解本题的难点．20、（2021•毕节地区）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是a，b，且a、b满足，圆心距O1O2=5，则两圆的位置关系是外切．考点：圆与圆的位置关系；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．分析：首先根据求得a、b的值，然后根据半径与圆心距的关系求解即可．解答：解：∵ ，∴a?2=0，3?b=0解得：a=2，b=3∵圆心距O1O2=5，∴2+3=5∴两圆外切，故答案为：外切．点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．21、（2021•张家界）如图，⊙A、⊙B、⊙C两两外切，它们的半径都是a，顺次连接三个圆心，则图中阴影部分的面积是．考点：相切两圆的性质；扇形面积的计算．分析：根据三角形内角和定理以及扇形面积公式直接求出即可．解答：解：∵⊙A、⊙B、⊙C两两外切，它们的半径都是a，∴阴影部分的面积是： = ．故答案为：．点评：此题主要考查了扇形面积求法，根据已知得出扇形圆心角的和是解题关键．22、（2021•南宁）如图，在边长为2的正三角形中，将其内切圆和三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则此三角形剩下部分（阴影部分）的面积为? π．考点：三角形的内切圆与内心．分析：连接OB，以及⊙O与BC的切点，在构造的直角三角形中，通过解直角三角形易求得⊙O的半径，然后作⊙O与小圆的公切线EF，易知△BEF也是等边三角形，那么小圆的圆心也是等边△BEF的重心；由此可求得小圆的半径，即可得到四个圆的面积，从而由等边三角形的面积减去四个圆的面积和所得的差即为阴影部分的面积．解答：解：如图，连接OB、OD；设小圆的圆心为P，⊙P与⊙O的切点为G；过G作两圆的公切线EF，交AB于E，交BC于F，则∠BEF=∠BFE=90°?30°=60°，所以△BEF是等边三角形．在Rt△OBD中，∠OBD=30°，则OD=BD•tan30°=1× = ，OB=2OD= ，BG=OB?OG= ；由于⊙P是等边△BEF的内切圆，所以点P是△BEF的内心，也是重心，故PG= BG= ；∴S⊙O=π×（）2= π，S⊙P=π×（）2= π；∴S阴影=S△ABC?S⊙O?3S⊙P= ? π? π= ? π．故答案为? π．点评：此题主要考查了等边三角形的性质、相切两圆的性质以及图形面积的计算方法，难度适中．23、（2021•巴中）若⊙O1和⊙O2的圆心距为4，两圆半径分别为r1、r2，且r1、r2是方程组的解，求r1、r2的值，并判断两圆的位置关系．考点：圆与圆的位置关系；解二元一次方程组．分析：首先由r1、r2是方程组的解，解此方程组即可求得答案；又由⊙O1和⊙O2的圆心距为4，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系得出两圆位置关系．解答：解：∵ ，①×3?②得：11r2=11，解得：r2=1，吧r2=1代入①得：r1=4；∴ ，∵⊙O1和⊙O2的圆心距为4，∴两圆的位置关系为相交．点评：此题考查了圆与圆的位置关系与方程组的解法．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．24、（2021上海压轴题）在矩形中，点是边上的动点，联结，线段的垂直平分线交边于点，垂足为点，联结（如图10）．已知，，设．（1）求关于的函数解析式，并写出的取值范围；（2）当以长为半径的⊙P和以长为半径的⊙Q外切时，求的值；（3）点在边上，过点作直线的垂线，垂足为，如果，求的值．感谢您的阅读，祝您生活愉快。

(完整版)初中中考复习之圆与圆的位置关系(精编含答案)

中考复习之圆与圆的位置关系一、选择题：1.如果两圆的半径长分别为 6 和2，圆心距为 3，那么这两个圆的位置关系是【】A.外离B．相切C．相交D．内含2.若两圆的半径分别为 2cm 和6cm，圆心距为 4cm，则这两圆的位置关系是【】A.内含 B．内切 C．外切 D．外离3.如图，用邻边分别为 a，b（a＜b）的矩形硬纸板裁出以 a 为直径的两个半圆，再裁出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆．把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，从而做成两个圣诞帽（拼接处材料忽略不计），则 a 与b 满足的关系式是【】A．b= a B．b= 5+1a2C．b=5a2D．b= 2a4.已知⊙O1与⊙O2外切，O1O2=8cm，⊙O1的半径为5cm，则⊙O2的半径是【】A.13cm.B. 8cmC. 6cmD. 3cm5.已知两圆半径分别为7，3，圆心距为4，则这两圆的位置关系为【】A.外离B.内切C.相交D.内含6.若⊙O1，⊙O2的半径是r1=2, r2=4，圆心距d=5，则这两个圆的位置关系是【】A.内切B.相交C.外切D.外离7.已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm、5cm，且它们的圆心距为8cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是【】A.外切B．相交C．内切D．内含8.⊙O1和⊙O2的半径分别是3cm 和4cm，如果O1O2＝7cm，则这两圆的位置关系是【】A.内含B．相交C．外切D．外离9.若两圆的半径分别为2 和4，且圆心距为7，则两圆的位置关系为【】A.外切B. 内切C. 外离D. 相交10.如图，平面直角坐标系中，⊙O半径长为 1.点⊙P（a,0），⊙P的半径长为 2，把⊙P向左平移，当⊙P与⊙O相切时，a 的值为【】（A）3 （B）1 （C）1，3 （D）±1，±311.已知两圆外切，圆心距为5cm，若其中一个圆的半径是3cm，则另一个圆的半径是【】A.8cm B．5cm C．3cm D．2cm12.⊙O1的半径为3 厘米，⊙O2的半径为2 厘米，圆心距O1O2=5 厘米，这两圆的位置关系是【】A.内含B．内切C．相交D．外切13.已知两圆的半径分别为1 和3，当这两圆内含时，圆心距d 的范围是【】A. 0<d<2B. 1<d<2C. 0<d<3D. 0≤d<214.圆心距为2 的两圆相切，其中一个圆的半径为1，则另一个圆的半径为【】(A)1 (B)3 (C)1 或2 (D)1 或315.第三十奥运会将于 2012 年7 月27 日在英国伦敦开幕，奥运会旗图案有五个圆环组成，下图也是一幅五环图案，在这个五个圆中，不存在的位置关系是【】 A 外离 B 内切 C 外切 D 相交16.已知两圆相外切，连心线长度是 10 厘米，其中一圆的半径为 6 厘米，则另一圆的半径是【】A．16 厘米B．10 厘米C．6 厘米D．4 厘米17.如果两圆的半径分别为4 和6，圆心距为10，那么这两圆的位置关系是【】A.内含B．外离C．相交D．外切18.已知⊙O1与⊙O2的半径分别为4 和6，O1O2＝2，则⊙O1与⊙O2的位置关系是【】A.内切B．相交C．外切D．外离19.如图，⊙O1，⊙O，⊙O2的半径均为2cm，⊙O3，⊙O4的半径均为1cm，⊙O与其他4个圆均相外切，图形既关于O1O2所在直线对称，又关于O3O4所在直线对称，则四边形O1O4O2O3的面积为【】A．12cm2B．24cm2C．36cm2D．48cm220.已知两圆的半径分别是3 和4，圆心距的长为1，则两圆的位置关系为：【】A.外离B．相交C．内切D．外切21.已知两圆半径为5cm 和3cm，圆心距为3cm，则两圆的位置关系是【】A.相交B．内含C．内切D．外切22.定圆O 的半径是4cm，动圆P 的半径是2cm，动圆在直线l 上移动，当两圆相切时，OP 的值是【】A.2cm 或6cm B．2cm C．4cmD．6cm23.若两圆的半径是方程x2﹣5x+6=0 的两个根，且圆心距是5，则这两圆的位置关系是【】A.内切B．相交C．外切D．外离24.已知两圆的直径分别为2cm 和4cm，圆心距为3cm，则这两个圆的位置关系是【】A.相交B．外切C．外离D．内含25.已知两圆的半径分别为3cm、4cm，圆心距为8cm，则两圆的位置关系是【】A.外离B．相切C．相交D．内含二、填空题：1.半径分别为3cm 和4cm 的两圆内切，这两圆的圆心距为cm．2.如图，⊙M与⊙N外切，MN＝10cm，若⊙M的半径为6cm，⊙N的半径为cm。

整理中考试题专题之圆与圆的位置关系及答案

本题考点与圆有关的位置关系
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如图，已知⊙是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，,点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与⊙有公共点, 设，则的取值范围是（）
A．－1≤ ≤ 1 B．≤ ≤C．0≤≤ D．＞
思路分析：
根据题意，因为点与平行，与⊙有公共点，可知当直线与圆相切时，求出与数轴相交点的值，即可得出x的取值范围.
解答过程：
如下图，作OA的平行线与圆相切于点E、F，与坐标轴相交于点C、D.
∵ OA∥DF
∴∠AOB=∠ODF=45°OF=1,
∴OD=，同理可得出OC= -
∵点且与平行的直线与⊙有公共点,
∴≤≤
答案：B
拓展提升：
本题考查勾股定理与相切的综合运用.
整理丨尼克
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中考数学专题复习34与圆有关的位置关系专题(全国通用解析版)

与圆有关的位置关系考点1：点、直线和圆的位置关系1．（2021·陕西中考真题）如图.正方形ABCD 的边长为4.O 的半径为1．若O 在正方形ABCD 内平移（O 可以与该正方形的边相切）.则点A 到O 上的点的距离的最大值为______．【答案】321【分析】由题意易得当O 与BC 、CD 相切时.切点分别为F 、G .点A 到O 上的点的距离取得最大.进而根据题意作图.则连接AC .交O 于点E .然后可得AE 的长即为点A 到O 上的点的距离为最大.由题意易得4,45AB BC ACB ==∠=︒.则有△OFC 是等腰直角三角形.42AC =根据等腰直角三角形的性质可得2OC =最后问题可求解．【详解】解：由题意得当O 与BC 、CD 相切时.切点分别为F 、G .点A 到O 上的点的距离取得最大.如图所示：90OFC ∠=︒连接AC .OF .AC 交O 于点E .此时AE 的长即为点A 到O 上的点的距离为最大.如图所示.△四边形ABCD 是正方形.且边长为4.△4,45AB BC ACB ==∠=︒.△△OFC 是等腰直角三角形.42AC =△O 的半径为1.△1OF FC ==. △2OC = △32AO AC OC =-= △321AE AO OE =+=.即点A 到O 上的点的距离的最大值为321；故答案为321．考点2：切线的性质与判定2．（2021·福建中考真题）如图.AB 为O 的直径.点P 在AB 的延长线上.,PC PD 与O 相切.切点分别为C .D ．若6,4AB PC ==.则sin CAD ∠等于（）A ．35B ．25C ．34D ．45【答案】D【分析】连接OC .CP .DP 是△O 的切线.根据定理可知△OCP ＝90°.△CAP ＝△P AD .利用三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和可求△CAD=△COP .在Rt△OCP 中求出sin COP ∠即可．【详解】解：连接OC .CP .DP 是△O 的切线.则△OCP ＝90°.△CAP ＝△P AD .△△CAD=2△CAP .△OA =OC△△OAC ＝△ACO .△△COP ＝2△CAO△△COP ＝△CAD△6AB =△OC =3在Rt△COP 中.OC =3.PC =4△OP =5．△sin CAD ∠=sin COP ∠=45故选：D ．3．（2021·山西中考真题）如图.在O 中.AB 切O 于点A .连接OB 交O 于点C .过点A 作//AD OB 交O 于点D .连接CD ．若50B ∠=︒.则OCD ∠为（）A ．15︒B ．20︒C ．25︒D ．30︒【答案】B【分析】连接OA .根据AB 与O 相切易得90OAB ∠=︒.在Rt OAB 中.已知50B ∠=︒.可以求出AOB ∠的度数.根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出ADC ∠的度数.最后根据//AD OB 可得OCD ADC ∠=∠．【详解】如下图.连接OA .△AB 切O 于点A .△90OAB ∠=︒.在Rt OAB 中.△50B ∠=︒.△40AOB ∠=︒.△20ADC ∠=︒.又△//AD OB .△=20OCD ADC ∠=∠︒．故选：B ．4．（2021·北京中考真题）如图.,PA PB 是O 的切线.,A B 是切点．若50P ∠=︒.则AOB ∠=______________．【答案】130°【分析】由题意易得90∠=∠=︒PAO PBO .然后根据四边形内角和可求解．【详解】解：△,PA PB 是O 的切线.△90∠=∠=︒PAO PBO .△由四边形内角和可得：180AOB P ∠+∠=︒.△50P ∠=︒.△130AOB ∠=︒；故答案为130°．5．（2021·浙江杭州市·中考真题）如图.已知O 的半径为1.点P 是O 外一点.且2OP =．若PT 是O 的切线.T 为切点.连接OT .则PT =_____．3【分析】根据圆的切线的性质.得90OTP ∠=︒.根据圆的性质.得1OT =.再通过勾股定理计算.即可得到答案．【详解】△PT 是O 的切线.T 为切点△90OTP ∠=︒ △22PT OP OT -△O 的半径为1△1OT = △222=213PT OP OT --=36．（2021·浙江宁波市·中考真题）抖空竹在我国有着悠久的历史.是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图.,AC BD 分别与O 相切于点C .D .延长,AC BD 交于点P ．若120P ∠=︒.O 的半径为6cm .则图中CD 的长为________cm ．（结果保留π）【答案】2π【分析】连接OC 、OD .利用切线的性质得到90OCP ODP ∠=∠=︒.根据四边形的内角和求得60COD ∠=︒.再利用弧长公式求得答案．【详解】连接OC 、OD .△,AC BD 分别与O 相切于点C .D .△90OCP ODP ∠=∠=︒.△120P ∠=︒.360OCP ODP P COD ∠+∠+∠+∠=︒.△60COD ∠=︒.△CD 的长=6062180（cm ）.故答案为：2π．．7．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图.在C Rt AB 中.90C ∠=︒.AE 平分BAC ∠交BC 于点E .点D 在AB 上. DE AE ⊥．O 是Rt ADE △的外接圆.交AC 于点F ．（1）求证：BC 是O 的切线；（2）若O 的半径为5.8AC =.求ADE S．【答案】（1）见解析；（2）20【分析】（1）连接OE .由OA =OE .利用等边对等角得到一对角相等.再由AE 为角平分线得到一对角相等.等量代换得到一对内错角相等.利用内错角相等两直线平行.得到AC 与OE 平行.再根据两直线平行同位角相等及△C 为直角.得到OE 与BC 垂直.可得出BC 为圆O 的切线；（2）过E 作EG 垂直于OD .利用AAS 得出△ACE △△AGE .得到AC =AG =8.从而可得OG .利用勾股定理求出EG .再利用三角形面积公式可得结果．【详解】解：（1）证明：连接OE .△OA =OE .△△1=△3.△AE 平分△BAC .△△1=△2.△△2=△3.△OE △AC .△△OEB =△C =90°.则BC 为圆O 的切线；（2）过E 作EG △AB 于点G .在△ACE 和△AGE 中.21C AGE AE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩.△△ACE △△AGE （AAS ）.△AC =AG =8.△圆O 的半径为5.△AD =OA +OD =10.△OG =3.△EG 22OE OG -△△ADE 的面积=1110422AD EG ⨯⨯=⨯⨯=20． 8．（2021·四川资阳市·中考真题）如图.在ABC 中.AB AC =.以AB 为直径的O 交BC 于点D .DE AC ⊥交BA 的延长线于点E .交AC 于点F ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若tan 36,4AC E ==.求AF 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）65AF =【分析】（1）要证明DE 是O 的切线.只要证明90ODE ∠=即可．连接OD .根据条件证明//OD AC .则可推导出90ODE ∠=．（2）根据条件.在Rt ODE △中.求出OE 的长.然后证明AFE ODE △△.从而根据相似比求解即可．【详解】（1）证明：如下图.连接OD .△AB AC =,OB OD =.△B C ∠=∠,B ODB ∠=∠.△ODB C ∠=∠.△//OD AC .△ODE CFD ∠=∠.又△DE AC ⊥.△90CFD =∠.△90ODE ∠=.△DE 是O 的切线．（2）解：△AC=6. △11322OD OB AB AC ====. 在Rt ODE △中.3tan 4OD E ED ==. △4ED =.2222345OE OD ED =+=+=.△532AE OE OB =-=-=.又△,90AEF OED AFE ODE ∠=∠∠=∠=.△AFE ODE △△. △AE AF OE OD = ,即2=53AF . △65AF =． 9．（2021·山东菏泽市·中考真题）如图.在O 中.AB 是直径.弦CD AB ⊥.垂足为H .E 为BC 上一点.F 为弦DC 延长线上一点.连接FE 并延长交直径AB 的延长线于点G .连接AE 交CD 于点P .若FE FP =．（1）求证：FE 是O 的切线；（2）若O 的半径为8.3sin 5F =.求BG 的长．【答案】（1）见解析；（2）=2BG【分析】（1）连接OE .证明OE △EF 即可；（2）由3sin 5F =证得4sin 5G =.运用正弦的概念可得结论．【详解】解：（1）证明：连接OE .如图.△OA =OE△△OAE =△OEA ．△EF =PF .△△EPF =△PEF△△APH =△EPF .△△APH =△EPF .△△AEF =△APH ．△CD △AB .△△AHC =90°．△△OAE +△APH =90°． △△OEA +△AEF =90°△△OEF =90°△OE △EF ．△OE 是O 的半径△EF 是圆的切线.（2）△CD △AB△FHG ∆是直角三角形 △3sin 5F = △35GH FG = 设3GH x =.则5FG x = 由勾股定理得.4FH x =由（1）得.OEG ∆是直角三角形 △4sin 5OE FH x G OG FG x === △45OE OG =.即45OE OE BG =+ △8OE = △8485BG =+ 解得.2BG =考点3：三角形的内心和外心 10．（2021·湖南怀化市·中考真题）如图.在ABC 中.以A 为圆心.任意长为半径画弧.分别交AB 、AC 于点M 、N ；再分别以M 、N 为圆心.大于12MN 的长为半径画弧.两弧交于点P ；连结AP 并延长交BC 于点D ．则下列说法正确的是（）A ．AD BD AB +<B ．AD 一定经过ABC 的重心 C ．BAD CAD ∠=∠D ．AD 一定经过ABC 的外心【答案】C【分析】根据题意易得AD 平分△BAC .然后根据三角形的重心、外心及三边关系可排除选项．【详解】解：△AD 平分△BAC .△BAD CAD ∠=∠.故C 正确；在△ABD 中.由三角形三边关系可得AD BD AB +>.故A 错误；由三角形的重心可知是由三角形三条中线的交点.所以AD 不一定经过ABC 的重心.故B 选项错误；由三角形的外心可知是由三角形三条边的中垂线的交点.所以AD 不一定经过ABC 的外心.故D 选项错误；故选C ．11．（2021·辽宁沈阳·中考真题）如图.ABC 是O 的内接三角形.23AB =60ACB ∠=︒.连接OA .OB .则AB 的长是（）A ．3πB ．23πC ．πD ．43π 【答案】D【分析】过点O 作⊥OD AB 于D .根据垂径定理求出AD .根据圆周角定理求出AOB ∠.根据正弦的定义求出OA .根据弧长公式计算求解．【详解】解：过点O 作⊥OD AB 于D .则132AD DB AB == 由圆周角定理得：2120AOB ACB ∠=∠=︒.60AOD ∴=︒∠.32sin 3AD OA AOD ∴===∠. ∴AB l 120241803ππ⨯==. 故选：D ．12．（2021·西藏·中考真题）如图.△BCD 内接于△O .△D ＝70°.OA △BC 交△O 于点A .连接AC .则△OAC 的度数为（）A ．40°B ．55°C ．70°D ．110°【答案】B【分析】连接OB .OC .根据圆周角定理得到△BOC ＝2△D ＝140°.根据垂径定理得到△COA 1702BOC =∠=︒.根据等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】解：连接OB .OC .△△D ＝70°.△△BOC ＝2△D ＝140°.△OA △BC .△△COA 1702BOC =∠=︒.△OA ＝OC .△△OAC ＝△OCA 12=（180°﹣70°）＝55°. 故选：B ．。

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圆与圆的位置关系
一、选择题
1. （2014•扬州，第5题，3分）如图，圆与圆的位置关系没有（）

（第1题图）
A．相交 B．相切 C．内含 D．外离

考点：圆与圆的位置关系
分析：由其中两圆有的位置关系是：内切，外切，内含、外离．即可求得答案．
解答：解：∵如图，其中两圆有的位置关系是：内切，外切，内含、外离．
∴其中两圆没有的位置关系是：相交．
故选A．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握数形结合思想的应用．
2.（2014•济宁，第10题3分）如图，两个直径分别为36cm和16cm的球，靠在一起放在同
一水平面上，组成如图所示的几何体，则该几何体的俯视图的圆心距是（）

A． 10cm． B． 24cm C． 26cm D． 52cm
考点：简单组合体的三视图；勾股定理；圆与圆的位置关系．
分析：根据两球相切，可得球心距，根据两圆相切，可得圆心距是半径的和，根据根据勾股
定理，可得答案．
解答：解：球心距是（36+16）÷2=26，
两球半径之差是（36﹣16）÷2=10，
俯视图的圆心距是=24cm，
故选：B．
点评：本题考查了简单组合体的三视图，利用勾股定理是解题关键．

二.填空题
1．(2014年四川资阳，第14题3分)已知⊙O1与⊙O2的圆心距为6，两圆的半径分别是方程
x2﹣5x+5=0的两个根，则⊙O1与⊙O
2
的位置关系是相离．

考点：圆与圆的位置关系；根与系数的关系．
分析：由⊙O1与⊙O2的半径r1、r2分别是方程x2﹣5x+5=0的两实根，根据根与系数的关系
即可求得⊙O1与⊙O2的半径r1、r2的和，又由⊙O1与⊙O2的圆心距d=6，根据两圆位置关系
与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
解答：解：∵两圆的半径分别是方程x2﹣5x+5=0的两个根，
∴两半径之和为5，
解得：x=4或x=2，
∵⊙O1与⊙O2的圆心距为6，
∴6＞5，
∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相离．
故答案为：相离．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系与一元二次方程的根与系数的关系．注意掌握两圆位
置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．

三.解答题
1. （2014年江苏南京，第26题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，
⊙O为△ABC的内切圆．
（1）求⊙O的半径；
（2）点P从点B沿边BA向点A以1cm/s的速度匀速运动，以P为圆心，PB长为半径作
圆，设点P运动的时间为t s，若⊙P与⊙O相切，求t的值．
（第1题图）
考点：圆的性质、两圆的位置关系、解直角三角形
分析：（1）求圆的半径，因为相切，我们通常连接切点和圆心，设出半径，再利用圆的
性质和直角三角形性质表示其中关系，得到方程，求解即得半径．
（2）考虑两圆相切，且一圆已固定，一般就有两种情形，外切与内切．所以我们要分
别讨论，当外切时，圆心距等于两圆半径的和；当内切时，圆心距等于大圆与小圆半径
的差．分别作垂线构造直角三角形，类似（1）通过表示边长之间的关系列方程，易得
t
的值．
解答：（1）如图1，设⊙O与AB、BC、CA的切点分别为D、
E、F，连接OD、OE、OF
，

则AD=AF，BD=BE，CE=CF．
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴OF⊥AC，OE⊥BC，即∠OFC=∠OEC=90°．
∵∠C=90°，
∴四边形CEOF是矩形，
∵OE=OF，
∴四边形CEOF是正方形．
设⊙O的半径为rcm，则FC=EC=OE=rcm，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，
∴AB==5cm．
∵AD=AF=AC﹣FC=4﹣r，BD=BE=BC﹣EC=3﹣r，
∴4﹣r+3﹣r=5，
解得 r=1，即⊙O的半径为1cm．
（2）如图2，过点P作PG⊥BC，垂直为G．
∵∠PGB=∠C=90°，∴PG∥AC．
∴△PBG∽△ABC，∴．∵BP=t，

∴PG=，BG=．
若⊙P与⊙O相切，则可分为两种情况，⊙P与⊙O外切，⊙P与⊙O内切．
①当⊙P与⊙O外切时，
如图3，连接OP，则OP=1+t，过点P作PH⊥OE，垂足为H．
∵∠PHE=∠HEG=∠PGE=90°，
∴四边形PHEG是矩形，
∴HE=PG，PH=CE，
∴OH=OE﹣HE=1﹣，PH=GE=BC﹣EC﹣BG=3﹣1﹣=2﹣．
在Rt△OPH中，
由勾股定理，，

解得 t=．
②当⊙P与⊙O内切时，
如图4，连接OP，则OP=t﹣1，过点O作OM⊥PG，垂足为M．
∵∠MGE=∠OEG=∠OMG=90°，
∴四边形OEGM是矩形，
∴MG=OE，OM=EG，
∴PM=PG﹣MG=，OM=EG=BC﹣EC﹣BG=3﹣1﹣=2﹣，
在Rt△OPM中，
由勾股定理，，解得 t=2．

综上所述，⊙P与⊙O相切时，t=s或t=2s．
点评：本题考查了圆的性质、两圆相切及通过设边长，表示其他边长关系再利用直角三
角形求解等常规考查点，总体题目难度不高，是一道非常值得练习的题目．