2017年度湖南地区衡阳八中高等考试数学适应性试卷(理科)(5月份)
湖南省衡阳市第八中学2017-2018学年高二理科实验班上学期第四次月考数学试题 Word版答案
衡阳八中2017-2018学年下期高二年级第四次月考试卷数学（试题卷）注意事项：1.本卷为衡阳八中高二年级理科实验班第四次月考试卷，分两卷。
其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。
开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm 签字笔书写。
考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★第I卷选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
1.已知命题，命题，则命题是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2.已知复数z=，则z﹣|z|对应的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3.设有一个回归直线方程=2﹣1.5x，当变量x增加1个单位时，则( )A．y平均增加1.5个单位B．y平均增加2个单位C．y平均减少1.5个单位D．y平均减少2个单位4.2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A．60 B．48 C．42 D．365.设x，y，z∈（0，+∞），=x+，，，则三数（）A．至少有一个不大于2 B．都小于2C．至少有一个不小于2 D．都大于26.函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=1，对任意x∈R，f′（x）＞3，则f（x）＞3x+4的解集为（）A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）7.设A、B是抛物线y2=2x上异于原点的不同两点，则的最小值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣48.如右图所示，△ADP为正三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．点M为平面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC．则点M在正方形ABCD内的轨迹为（）9.已知f(x)＝x3－3x＋m在区间上任取三个数a，b，c，均存在以f(a)，f(b)，f(c)为边长的三角形，则实数m的取值范围是( )A. (6，＋∞)B. (5，＋∞)C.(4，＋∞)D. (3，＋∞)10.如图，椭圆x2+2y2=1的右焦点为F，直线l不经过焦点，与椭圆相交于点A，B，与y轴的交点为C，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A．|| B．||C． D．11.已知定义在上的函数和满足，且，则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．12.椭圆=1的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将椭圆沿y轴折成一个二面角，使得A1点在平面B1A2B2上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为（）A．75° B．60°C．45°D．30°第II卷非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分）13.展开式中的常数项为 .14.已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R上为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R上为减函数，则在命题①p1∨p2②p1∧p2③（￢p1）∨p2④p1∧（￢p2）中真命题是．15.如图，F1和F2分别是双曲线的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为．16.如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是__________．三.解答题（共6题，共70分）17.（本题满分10分）已知m∈R，命题P：对任意x∈，不等式m2﹣3m﹣x+1≤0恒成立；命题q：存在x∈，使得m ﹣ax≤0成立．（Ⅰ）当a=1，p且q为假，p或q为真时，求m的取值范围；（Ⅱ）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18.（本题满分12分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在的数据）．（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在，使得恒成立，求m的取值范围．22.（本题满分12分）已知点，直线，直线于，连结，作线段的垂直平分线交直线于点．设点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程;（2）过点作曲线的两条切线，切点分别为，①求证:直线过定点;②若，过点作动直线交曲线于点，直线交于点，试探究是否为定值?若是，求出该定值；不是，说明理由．衡阳八中2016年下期高二年级理科实验班第四次月考数学参考答案13.4014.①④15.16.[]17.（Ⅰ）∵对任意 x∈，不等式 x﹣1≥m2﹣3m 恒成立∴（ x﹣1）min≥m2﹣3m 即m2﹣3m≤﹣2 解得1≤m≤2即 p 为真命题时，m 的取值范围是．∵a=1，且存在 x∈，使得m≤ax 成立∴m≤1即命题q 为真时，m≤1（2分）∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p、q 一真一假当 p 真q 假时，则，即1＜m≤2，（3分）当p假q 真时，则，即m＜1，（4分）综上所述，1＜m≤2或m＜1 （5分）（Ⅱ）当a=0 时显然不合题意，当a＞0 时，存在 x∈，使得m≤ax 成立命题q 为真时m≤a∵p 是q 的充分不必要条件∴a≥2，（6分）当a＜0 时，存在 x∈，使得m≤ax 成立命题q 为真时m≤﹣a∵p 是q 的充分不必要条件∴a≤﹣2（8分）综上所述，a≥2或a≤﹣2（10分）18.（Ⅰ）由题意可知，样本容量（2分），（4分），x=0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.04=0.030（6分）．（Ⅱ）由题意可知，分数在．当﹣8＜a＜﹣2，即＜＜时，恒有f′（x）＜0成立，∴f（x）在上是单调递减．∴f（x）max=f（1）=1+2a，，（6分）∴|f（x1）﹣f（x2）|max=f（1）﹣f（3）=，∵x2∈，使得恒成立，∴＞，整理得，（8分）又a＜0，∴，令t=﹣a，则t∈（2，8），构造函数，∴，（10分）当F′（t）=0时，t=e2，当F′（t）＞0时，2＜t＜e2，此时函数单调递增，当F′（t）＜0时，e2＜t＜8，此时函数单调递减．∴，∴m的取值范围为．（12分）22.∴直线的方程为，…………………………………………7分∴直线过定点．…………………………………………8分②由（2）①得,直线的方程为.设，与方程联立，求得．……………………………………9分设，联立与，得，由根与系数的关系，得．…………………………………………10分∵同号，∴…………………………………………11分，∴为定值，定值为2．…………………………………………12分。
湖南省衡阳市第八中学17—18学年高一(理科实验班)上学期第一次月考数学试题(附答案)
衡阳八中2017年下期高一年级第一次月考试卷数学（试题卷）注意事项：1.本卷为衡阳八中高一年级理科实验班第一次月考试卷，分两卷。
其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。
开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。
考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★第I卷选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
1.已知集合A={1，﹣1}，B={1，0，﹣1}，则集合C={a+b|a∈A，b∈B}中元素的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．52.已知函数f（x+1）是偶函数，当1＜x1＜x2时，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＞0恒成立，设a=f（﹣），b=f（2），c=f（3），则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c3.已知y=f（x）是定义在R上的增函数且为奇函数，若对任意的x，y∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是（）A．（3，7） B．（9，25）C．（13，49）D．（9，49）4.已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={}；②M={（x，y）|y=sinx+1}；③M={（x，y）|y=log2x}；④M={（x，y）|y=e x﹣2}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①② B．②③ C．①④ D．②④5.已知函数f（x）=2x+1，x∈N*．若∃x0，n∈N*，使f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63成立，则称（x0，n）为函数f（x）的一个“生成点”．函数f（x）的“生成点”共有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个6.已知函数，则f（3）=（）A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．17.函数f（x）=1+log2x与g（x）=2﹣x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（）A．B．C．D．8.函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x ≤1时，f（x）=x2．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象有两个不同的公共点，则实数a的值为（）A．n（n∈Z）B．2n（n∈Z）C．2n或（n∈Z）D．n或（n∈Z）9.若函数f（x）=ae x﹣x﹣2a有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）10.设函数f（x）=，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（] B．（）C．（]D．（）11.已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．12.已知函数f（x）=，若a＜b，f（a）=f（b），则实数a﹣2b的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．第II 卷 非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分）13.函数y=ln （1+）+的定义域为 ．14.要使函数f （x ）=x 2+3（a+1）x ﹣2在区间（﹣∞，3]上是减函数，则实数a 的取值范围 ．15.函数f （x ）=log 2•log（2x ）的最小值为 ．16.对于函数)(x f ，如果存在函数b ax x g +=)(（b a ,为常数），使得对于区间D 上的一切实数x 都有)()(x g x f ≤成立，则称函数)(x g 为函数)(x f 在区间D 上的一个“覆盖函数”，设xx f 2)(=，x x g 2)(=，若函数)(x g 为函数)(x f 在区间[]n m ,上的一个“覆盖函数”，则m n -的最大值为________。
湖南省衡阳市第八中学2017届高三第二次模拟(实验班)数
衡阳八中2017届高三年级第二次高考模拟试卷理数（试题卷）注意事项：1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第二次高考模拟试卷，分两卷。
其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。
开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm 签字笔书写。
考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★第I卷选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
1.已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则∁B A=（）A．∪时，f（x）=log2x，则在区间（8，9）内满足方f（x）程f（x）+2=f（）的实数x为（）A．B．C．D．7.已知A、B、C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆外一点．若，其中m，n∈R．则m+n的取值范围是（）A.（0，1）B.（﹣1，0）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）8.已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则x1x2x3x4取值范围是（）A．（60，96）B．（45，72）C．（30，48）D．（15，24）9.利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=25内的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．510.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）A．4πB．πh2C．π（2﹣h）2D．π（4﹣h2）11.已知f（x）是定义域为（0，+∞）的单调函数，若对任意的x∈（0，+∞），都有，且方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间（0，3]上有两解，则实数a的取值范围是（）A．0＜a≤5 B．a＜5 C．0＜a＜5 D．a≥512.已知F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（，2）D．（2，+∞）第II卷非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分）13.已知数列{a n}是无穷等比数列，它的前n项的和为S n，该数列的首项是二项式展开式中的x的系数，公比是复数的模，其中i是虚数单位，则= ．14.已知三棱锥A﹣BCD中，AB⊥面BCD，△BCD为边长为2的正三角形，AB=2，则三棱锥的外接球体积为．15.△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则：①若cosBcosC＞sinBsinC，则△ABC一定是钝角三角形；②若acosA=bcosB，则△ABC为等腰三角形；③，，若，则△ABC为锐角三角形；④若O为△ABC的外心，；⑤若sin2A+sin2B=sin2C，，以上叙述正确的序号是．16.我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图所示，在空间直角坐标系xOy平面内，若函数()[)1,0cos,0,2xf xx xπ∈-=⎨⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎩的图象与x轴围成一个封闭的区域A，将区域A沿z轴的正方向平移4个单位，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域A的面积相等，则此圆柱的体积为．三.解答题（共8题，共70分）17.（本题满分12分）已知数列{a n}满足a1=1，S n=2a n+1，其中S n为{a n}的前n项和（n∈N*）．（Ⅰ）求S1，S2及数列{S n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，且{b n}的前n项和为T n，求证：当n≥2时，．18.（本题满分12分）根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表：（1）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．①求频率分布直方图中a的值；②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．（2）将频率视为概率，对于2016年的某3天，记这3天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X，求X的分布列．19.（本题满分12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，SC=SD=CD=AD=2AB，M，N分别为SA，SB的中点，E为CD中点，过M，N作平面MNPQ分别与BC，AD交于点P，Q，若=t．（1）当t=时，求证：平面SAE⊥平面MNPQ；（2）是否存在实数t，使得二面角M﹣PQ﹣A的平面角的余弦值为？若存在，求出实数t 的值；若不存在，说明理由．20.（本题满分12分）已知A，B分别为椭圆C： +=1（a＞b＞0）在x轴正半轴，y轴正半轴上的顶点，原点O到直线AB的距离为，且|AB|=．（1）求椭圆C的离心率；（2）直线l：y=kx+m（﹣1≤k≤2）与圆x2+y2=2相切，并与椭圆C交于M，N两点，求|MN|的取值范围．21.（本题满分12分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=﹣（x为实常数）．（1）当a=1时，求函数φ（x）=f（x）﹣g（x）在x∈上有解，求实数a的取值范围．选做题（本题满分10分）22.以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．23.设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(Ⅰ)当a＝2时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(Ⅱ)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．衡阳八中2017届高三年级第二次高考模拟参考答案理科数学13.7014.π15.①③④⑤16.π+417.（Ⅰ）数列{an}满足Sn=2an+1，则Sn=2an+1=2（Sn+1﹣Sn），即3Sn=2Sn+1，∴，即数列{Sn}为以1为首项，以为公比的等比数列，∴（n∈N*）．∴S1=，S2=；（Ⅱ）在数列{bn}中，，Tn为{bn}的前n项和，则|Tn|=|=．而当n≥2时，，即．18.（1）①由第四组的频率为1﹣（0.006+0.024+0.006）×25=0.1，得25a=0.1，解得a=0.004；②去年该居民区PM2.5年平均浓度为：12.5×0.15+37.5×0.6+62.5×0.15+87.5×0.1=42.5（微克/立方米）；因为42.5＞35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进；（2）由题意可得：PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的概率为0.9，X的可能取值为0，1，2，3；P（X=k）=•（1﹣0.9）3﹣k•0.9k，可得P（X=0）=0.001，P（X=1）=0.027，P（X=2）=0.243，P（X=3）=0.729；X的分布列为：（1）E为CD中点，∴四边形ABCE为矩形，∴AE⊥CD，当t=时，Q为AD中点，PQ∥CD，所以PQ⊥AE，∵平面SCD⊥平面ABCD，SE⊥CD，∴SE⊥面ABCD，∵PQ⊂面ABCD，∴PQ⊥SE，∴PQ⊥面SAE，所以面MNPQ⊥面SAE．（2）如图，以E为原点，ED，EA，ES直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示坐标系；设ED=a，则M（（1﹣t）a，（﹣）a， a），E（0，0，0），A（0，，0），Q（（1﹣t）a，，0），=（0，，），面ABCD一个方向向量为=（1，0，0），设平面MPQ的法向量=（x，y，z），则，取z=2，得=（0，，2），平面ABCD的法向量为=（0，0，1）∵二面角M﹣PQ﹣A的平面角的余弦值为，∴由题意：cosθ===，解得t=或t=，由图形知，当t=时，二面角M﹣PQ﹣A为钝二面角，不合题意，舍去综上：t=．20.（1）由丨AB丨==， =，解得：a=2，b=，c=1则椭圆离心率e==；（2）由（1）可知：椭圆的标准方程：，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：（3k2+4）x2+6kmx+3m2﹣12=0，x1+x2=﹣，x1x2=，由直线l与圆x2+y2=2相切，则=，则m2=2（k2+1），则丨MN丨=•=，=，令3k2+4=t，t∈，则丨MN丨=•=•，由≤≤，∴f（）=，在单调递增，则≤丨MN丨≤，∴|MN|的取值范围．21.（1）当a=1时，函数φ（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣+，∴φ′（x）==；x∈∴函数在上单调递增，在上单调递减∵x=时，y=；x=时，y=；x=1时，y=，∴y ∈∴a ∈22.（1）由ρsin 2θ﹣2cos θ=0，得ρ2sin 2θ=2ρcos θ．∴曲线C 的直角坐标方程为y 2=2x ；（2）将直线l 的参数方程代入y 2=2x ，得t 2sin 2θ﹣2tcos θ﹣1=0．设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则，，==． 当时，|AB|的最小值为2． 23.(Ⅰ)当a ＝2时，f(x)≥3x ＋2可化为|x －2|≥2，由此可得x ≥4或x ≤0.(Ⅱ)由f(x)≤0得|x －a|＋3x ≤0，。
湖南省衡阳市第八中学2017-2018学年高一下学期期末结业考试数学(理)试题(含精品解析)
衡阳八中2018年上期高一年级理科实验班结业考试试卷数学（试题卷）第I卷选择题（每题5分，共60分）一、本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的1. 已知全集，则集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：因为，，所以，，故选D.考点：1、集合的表示；2、集合的并集及集合的补集.2. 下列函数中，既是偶函数又在区间内单调递减的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】和为非奇非偶函数，而在内递增，故选.3. 若，则（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由两边同时平方，从而利用可以实现角α的弦切互化，从而求得答案.【详解】由两边同时平方，可得，，解得..故选：D.【点睛】在三角函数式的求值与化简中，要注意寻找式子中的角，函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，减少函数种类，对式子进行化简．4. 已知向量，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】,,则故答案为:A.5. 在等差数列中，，且，则的值（ ）A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】B【解析】【分析】由已知结合等差数列的性质可得，则答案可求.【详解】在等差数列中，，且，得，即，.故选：B.【点睛】本题考查等差数列的性质，是基础的计算题，等差数列性质灵活使用，可以大大减少运算量.6. 设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】试题分析：此题只要举出反例即可，A,B中由可得,则,可以为任意角度的两平面, A,B均错误.C,D中由可得，则有,故C正确，D错误.考点：线，面位置关系.7. 已知，，，则、、的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵＜=，=，＞1，∴c＞b＞a．故选：D．点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．8. 已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数的图象重合，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】根据函数的部分图像可得，则.∵∴，则.∵∴，即函数.∵将函数的图像向左平移个单位长度后，所得图像与函数的图像重合∴故选A.点睛：本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质与变换，属于中档题.利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点，用五点法求值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与轴的交点) 时；“第二点”(即图象的“峰点”) 时；“第三点”(即图象下降时与轴的交点) 时；“第四点”(即图象的“谷点”) 时；“第五点”时.9. 已知动点满足：，则的最小值为（）A. B. C. －1 D. －2【答案】D【解析】【分析】根据指数函数的性质，由可得，即，从而作出不等式组表示的平面区域，设，进一步得到，从而根据平面区域求以为圆心的圆的半径的最小值即得到的最小值.【详解】根据指数函数的性质，由可得，即，动点满足：，该不等式组表示的平面区域如图：设，，表示以为圆心的圆的半径，由图形可以看出，当圆与直线相切时半径最小，则，，解得，即的最小值为.故选：D.【点睛】(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．(3)本题错误率较高．出错原因是，很多学生无从入手，缺乏数形结合的应用意识，不知道从其几何意义入手解题.10. 惠安石雕是中国传统雕刻技艺之一，历经一千多年的繁衍发展，仍然保留着非常纯粹的中国艺术传统，左下图粗实虚线画出的是某石雕构件的三视图，该石雕构件镂空部分最中间的一块正是魏晋期间伟大数学家刘徽创造的一个独特的几何体——牟合方盖（如下右图），牟合方盖的体积（其中为最大截面圆的直径）.若三视图中网格纸上小正方形的边长为1，则该石雕构件的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是由正方体中去除两个圆柱体，其中，正方体的棱长为，圆柱体的直径为，高为两个圆柱体中间重合部分为牟合方盖该石雕构件的体积为故选11. 在平面直角坐标系中，以为圆心的圆与轴和轴分别相切于两点，点分别在线段上，若与圆相切，则的最小值为（ ）A. 1B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：因为为圆心的圆与轴和轴分别相切于两点, 点分别在线段上, 若,与圆相切，设切点为，所以，设，则，，故选D．考点：1、圆的几何性质；2、数形结合思想及三角函数求最值．【方法点睛】本题主要考查圆的几何性质、数形结合思想及三角函数求最值，属于难题．求最值的常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②三角函数法：将问题转化为三角函数，利用三角函数的有界性求最值；③不等式法：借助于基本不等式求函数的值域，用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”；④单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的值域，⑤图像法：画出函数图像，根据图像的最高和最低点求最值，本题主要应用方法②求的最小值的．12. 形如的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数且有最小值，则当时的“囧函数”与函数的图象交点个数为（）A. 1B. 2C. 4D. 6【答案】C【解析】当时，，而有最小值，故.令，，其图像如图所示：共4个不同的交点，选C.点睛：考虑函数图像的交点的个数，关键在于函数图像的正确刻画，注意利用函数的奇偶性来简化图像的刻画过程.第II卷非选择题（共90分）二、填空题（每题5分，共20分）13. 当时，的最小值为，则实数的值为_________.【答案】4【解析】因为当时，，的最小值为，所以可得，故答案为.14. 在中，已知，则的面积为____．【答案】【解析】【分析】由已知利用三角形面积公式求解即可得答案.【详解】，.故答案为：.【点睛】本题主要考查了三角形面积公式的应用，属于基础题.15. 已知三棱锥的顶点都在球的球面上，是边长为2的正三角形，为球的直径，且，则此三棱锥的体积为________.【答案】【解析】【分析】根据题意，利用截面圆的性质即可求出点O到平面ABC的距离，进而求出点S到平面ABC的距离，即可计算出三棱锥的体积.【详解】是边长为2的正三角形，外接圆的半径，点O到平面ABC的距离，SC为球O的直径，点S到平面ABC的距离为，此三棱锥的体积为.故答案为：.【点睛】本题考查三棱锥的体积，考查学生的计算能力，求出点O到平面ABC的距离，进而求出点S到平面ABC的距离是关键.16. 若函数的图象上存在不同的两点，，其中使得的最大值为0，则称函数是“柯西函数”．给出下列函数：①；②；③；④.其中是“柯西函数”的为________________.（填上所有正确答案的序号）【答案】①④【解析】设，由向量的数量积的可得，当且仅当向量共线（三点共线）时等号成立．故的最大值为0时，当且仅当三点共线时成立．所以函数是“柯西函数”等价于函数的图象上存在不同的两点，使得三点共线．对于①，函数图象上不存在满足题意的点；对于②，函数图象上存在满足题意的点；对于③，函数图象上存在满足题意的点；对于④，函数图象不存在满足题意的点．故函数①④是“柯西函数”．答案：①④点睛：（1）本题属于新定义问题，读懂题意是解题的关键，因此在解题时得到“柯西函数”即为图象上存在两点A,B，使得O,A,B三点共线是至关重要的，也是解题的突破口．（2）数形结合是解答本题的工具，借助于图形可使得解答过程变得直观形象．三、解答题（共6题，共70分）17. 已知的内角满足.（1）求角；（2）若的外接圆半径为1，求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析:（1）根据题意，根据正弦定理角化边得，再借助余弦定理即得角A的值；（2）先根据正弦定理，而面积=，求出bc的最大值即可，可利用基本不等式来求最值解析：（1）设内角所对的边分别为.根据可得，所以，又因为，所以.（2），所以，所以（时取等号）.点睛：三角函数问题在求解时要注意结合正弦定理的边角互化关系快速转换求解，涉及面积最值时明确面积公式结合基本不等式求解是借此题第二问的关键.18. 等比数列的各项均为正数，且（1) 求数列的通项公式；（2）设求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）设出等比数列的公比q，由，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{a n}的通项公式代入设bn=log3a1+log3a2+…+log3a n，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到b n的通项公式，求出倒数即为的通项公式，利用裂项求和即可.试题解析：（Ⅰ）设数列的公比为q，因为，则，即.又q＞0，则.因为，则，即，所以.（Ⅱ）由题设，.则. （10分）所以.19. 如图，在四棱锥中，平面,．（1）求证：；（2）求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）首先由线面垂直可得线线垂直，并结合已知条件进而得出线面垂直，最后得出所证明的结论；（2）首先作出辅助线连接，然后根据已知的线线关系、线面关系分别求出、三棱锥的体积，最后利用公式即可得出所求的结果.试题解析：（1）证明：因为，，所以，，得，又，所以，因为，故.（2）等体积法：连接．设点到平面的距离为．因为，所以．从而，，得△的面积为1．三棱锥的体积因为，，所以．又，所以．由得,得故点A到平面PBC的距离等于．考点：1.线线垂直的判定定理；2、线面垂直的性质定理；3、等体积法.【方法点睛】本题主要考查了线线垂直的判定定理、线面垂直的性质定理和等体积法在求点到平面距离中的应用，考查学生综合应用知识的能力和空间想象能力，属中档题.对于第一问证明线线垂直问题，其关键是正确地寻找线面垂直的关系；对于第二问求点到平面的距离问题，其解题的关键是正确地运用等体积公式对其进行求解.20. 已知圆，直线．（1）若直线与圆交于不同的两点，当时，求的值；（2）若是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点？若过定点则求出该定点，若不存在则说明理由；（3）若为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，求四边形的面积的最大值．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用点到直线的距离公式，结合点O到的距离，可求的值；（2）由题意可知，O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上，C、D在圆O：上可得直线CD的方程，即可求得直线是否过定点；（3）设圆心O到直线EF、GH的距离分别为，则，表示四边形EGFH的面积，利用基本不等式，可求四边形EGFH的面积最大值.【详解】（1）∵，∴点O到l的距离，∴．（2）由题意可知：O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设．其方程为：，即，又C、D在圆O：x2+y2=2上，∴，即，由，得∴直线CD过定点．（3）设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d1，d2．则，，当且仅当，即时，取“=”∴四边形EGFH的面积的最大值为．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线恒过定点，考查四边形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题.21. 关于函数的对称性有如下结论：对于给定的函数，如果对于任意的都有成立为常数），则函数关于点对称．（1）用题设中的结论证明：函数关于点；（2）若函数既关于点对称，又关于点对称，且当时，，求：①的值；②当时，的表达式．【答案】（1）证明见解析；（2）①；②.【解析】【分析】（1）根据题设中的结论证明即可；（2）由题意可得，①代值计算即可；②由，然后代值计算即可.【详解】（1）f（x）=的定义域为{x|x≠3}，对任意x≠3有f（3﹣x）+f（3﹣x）=（﹣2﹣）+（﹣2﹣）=﹣4，∴函数f（x）=关于点（3，﹣2）对称；（2）函数f（x）关于点（2，0）对称，∴f（2+x）+f（2﹣x）=0，即f（x）+f（4﹣x）=0，又关于点（﹣2，1）对称，∴f（﹣2+x）+f（﹣2﹣x）=2，即f（x）+f（﹣4﹣x）=2，∴f（﹣4﹣x）=2+f（4﹣x），即f（x+8）=f（x）﹣2，①f（﹣5）=f（3）+2=23+3×3+2=19，②x∈（8k﹣2，8k+2），x﹣8k∈（﹣2，2），4﹣（x﹣8k）∈（2，6），∴f（x）=f（x﹣8）﹣2=f（x﹣8×2）﹣2×2=f（x﹣8×3）﹣2×3=…=f（x﹣8k）﹣2k，又由f（t）=﹣f（4﹣t），∴f（x）=f（x﹣8k）﹣2k=﹣f[4﹣（x﹣8k）]﹣2k=﹣[24﹣（x﹣8k）+3（4﹣（x﹣8k））]﹣2k，∴即当x∈（8k﹣2，8k+2），k∈Z时，f（x）=﹣24﹣x+8k+3x﹣26k﹣12.【点睛】本题考查了抽象函数和新定义的应用，关键是掌握新定义的用法，属于中档题.22. 已知函数,角的终边经过点.若是的图象上任意两点,且当时,的最小值为.(1)求或的值；(2)求函数在上的单调递减区间；(3)当时,不等式恒成立,求的最大值.【答案】（1）；（2）和；（3）.【解析】【分析】（1）由任意角的三角函数的定义求得，故可以取，再根据函数的图象的相邻的2条对称轴间的距离等于，故函数的周期为，由此求得的值；（2）令，即可得到函数的单调减区间；（3）因为，所以，不等式可得，由此可得，从而得到答案.【详解】（1）角的终边经过点.角的终边在第四象限，且，可以取，点是的图象上任意两点,且当时,的最小值为.则函数的图象的相邻的2条对称轴间的距离等于，故函数的周期为，故，解得.（2），，解得，函数的单调递减区间是，又，取，得减区间和.（3），则，由不等式可得，则有，解得，的最大值为.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，任意角的三角函数的定义，由函数的部分图象求解析式，考查了正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，属于中档题.。
湖南省衡阳市第八中学2017届高三实验班暑期第一次月考数学试题 含答案
衡阳八中2016年下期高三年级第一次月考试卷文数/理数（试题卷）考试范围:集合、基本逻辑用语，函数与导数注意事项：1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第一次月考试卷,分两卷。
其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。
2。
考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象,如有请立即向监考老师通报。
开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷.3.请考生将答案填写在答题卡上,选择题部分请用2B铅笔填涂,非选择题部分请用黑色0。
5mm签字笔书写。
考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★第I卷选择题（每题5分，共60分)本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
[文理科]1.设集合A={x｜﹣1≤x≤2}，B=｛x｜0≤x≤4}，则A∩B=（) A．{x|0≤x≤2｝ B．{x|1≤x≤2｝C．｛x|0≤x≤4｝ D．{x｜1≤x≤4｝2。
下列命题中正确的个数为（)①若“一个整数的末位数字是0,则这个整数能被5整除”的逆命题;②若“一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等”的否命题；③“奇函数的图象关于原点对称”的逆否命题；④“每个正方形都是平行四边形”的否定；⑤设a，b∈R，则“a＞b”是“a｜a|＞b｜b｜"的充分不必要条件．A．1 B．2 C．3 D．43。
函数f（x）=log2（3x﹣1)的定义域为（)A．[1，+∞)B．（1，+∞ C．[0，+∞）D．（0,+∞）4.已知命题函数的定义域为，命题不等式对一切正实数均成立．如果，命题“”为真命题,命题“”为假命题,则实数的取值范围为( ）．A． B． C．D．∅5。
若100a=5，10b=2,则2a+b=( ）A．0 B．1 C．2 D．36.偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，+∞）时,f（x)是增函数，则f （﹣2）,f(1),f（﹣3)的大小关系是（）A．f（1）＞f（﹣3）＞f(﹣2)B．f（1)＞f（﹣2）＞f（﹣3）C．f(1）＜f(﹣3)＜f（﹣2）D．f（1）＜f（﹣2)＜f(﹣3）7.函数的图象大致是（）A． B．C．D．8。
湖南省衡阳市第八中学2017届高三上学期第二次月考文数试题Word版含解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合{}|5A x N x =∈<，则下列关系式错误的是（ ）A ．5A ∈B ．1.5A ∉C ．1A -∉D ．0A ∈ 【答案】A【解析】试题分析：因为{}|5A x N x =∈< ，而1.5,1,.5,1N N A A ∉-∉∴∉-∉，即B 、C 正确，又因为0N ∈且05<，所以0A ∈，即D 正确，故选A. 考点：集合与元素的关系. 2．已知命题1:0,2p x x x∀>+≥，则p ⌝为（ ） A ．10,2x x x ∀>+< B ．10,2x x x ∀≤+< C ．10,2x x x ∃≤+< D ．10,2x x x∃>+<【答案】D考点：全称命题的否定.3．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ） A.xy e -= B.3y x = C.ln y x =D.y x = 【答案】B【解析】试题分析：对于A ，xy e =为增函数，y x =-为减函数，故xy e -=为减函数，对于B ，2'30y x =>，故3y x =为增函数，对于C ，函数定义域为0x >，不为R ，对于D ，函数y x=为偶函数，在(),0-∞上单调递减，在()0,∞上单调递增，故选B. 考点：1、函数的定义域；2、函数的单调性. 4．集合{}{}2|ln 0,|9A x x B x x =≥=<,则AB =（ ）A ．()1,3B ．[)1,3C ．[]1,+∞D ．[],3e 【答案】B【解析】试题分析：因为{}{}|ln 0|1A x x A x x =≥==≥,{}{}2|9|33B x x B x x =<==-<<,所以AB ={}|13x x ≤<，故选B.考点：1、对数函数的性质及不等式的解法；2、集合交集的应用.5．若函数()y f x =的定义域是[]1,2016，则函数()()1g x f x =+的定义域是（ ）A ．(]0,2016B ．[]0,2015C ．(]1,2016D ．[]1,2017 【答案】B【解析】6．“p q ∨为真”是“p ⌝为假”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 【答案】B 【解析】试题分析：因为p 假q 真时，p q ∨真，此时p ⌝为真，所以，“p q ∨ 真”不能得“p ⌝为假”，而“p ⌝为假”时p 为真，必有“p q ∨ 真”，故选B. 考点：1、充分条件与必要条件；2、真值表的应用.7.若()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，[)()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，则 （ ）A ．()()()213f f f -<<B ．()()()123f f f <-<C ．()()()312f f f <<D ．()()()321f f f <-< 【答案】D 【解析】8．函数()[]()cos 2,x f x x ππ=∈-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】试题分析：A 、当0x =时，()cos022f x ==，所以不正确；B 、当x π=时，()cos 11222f x π-===，所以不正确；D 、当0x =时，()cos022f x ==，所以不正确；综上所述，故选C.考点：函数的图象与性质.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.本题主要是利用特殊点排除法解答的.9．已知()x f 在R 上是奇函数，且满足()()x f x f -=+5，当()5,0∈x 时，()x x x f -=2，则()=2016f （ ）A 、-12B 、-16C 、-20D 、0 【答案】A 【解析】试题分析：因为()()5f x f x +=-，所以()()()105f x f x f x +=-+=，()f x 的周期为10，因此 ()()()()20164416412f f f =-=-=--=-，故选A.考点：1、函数的奇偶性；2、函数的解析式及单调性. 10．定义运算：,,a a ba b b a b≤⎧*=⎨>⎩．例如121*=，则函数()sin cos f x x x =*的值域为（ ）A ．⎡⎢⎣⎦B ．[]1,1-C ．⎤⎥⎣⎦D ．⎡-⎢⎣⎦【答案】D 【解析】考点：1、分段函数的解析式；2、三角函数的最值及新定义问题.11．函数()log 1xa f x a x =-有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A ．()1,10B ．()1,+∞C ．()0,1D ．()10,+∞ 【答案】B 【解析】试题分析：函数()f x 有两个零点等价于1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭与log a y x =的图象有两个交点，当01a <<时同一坐标系中做出两函数图象如图（2），由图知有一个交点，符合题意；当1a >时同一坐标系中做出两函数图象如图（1），由图知有两个交点，不符合题意,故选B.x（1） （2）考点：1、指数函数与对数函数的图象；2、函数的零点与函数交点之间的关系.【方法点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的图象、函数的零点与函数交点之间的关系.属于难题.判断方程()y f x =零点个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数()y f x =零点个数就是方程()0f x =根的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题.本题的解答就利用了方法③.12．设函数()''y f x =是()'y f x =的导数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()0''0f x =.已知函数()3211533212f x x x x =-+-，则1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．2013 B ．2014 C ．2015 D ．2016 【答案】D 【解析】1120142201520161...2201720172017201720172017f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()12201620162=⨯⨯=，故选D. 考点：1、转化与划归思想及导数的运算；2、函数对称的性质及求和问题. 【方法点睛】本题通过 “三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠都有对称中心()()0,x f x ”这一探索性结论考查转化与划归思想及导数的运算、函数对称的性质及求和问题，属于难题.遇到探索性结论问题，应耐心读题，分析新结论的特点，弄清新结论的性质，按新结论的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题的解答就是根据新结论性质求出()311533212f x x x x =-+-的对称中心后再利用对称性和的. 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．已知函数()22,0,1log ,0,x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩则()()2f f -=______．【答案】3考点：1、分段函数的解析式；2、指数函数、对数函数的性质.14．函数()x f x xe =在点()()1,1f 处的切线的斜率是 . 【答案】2e 【解析】 试题分析：()(),'x x x f x xe f x e xe =∴=+，则()'12f e =，故答案为2e .考点：利用导数求曲线上某点切线斜率. 15．幂函数1222)33)(+-+-=m m x m m x f （在区间()+∞,0上是增函数，则=m ．【答案】2【解析】【方法点睛】本题主要考查幂函数的定义与性质,属于中档题.幂函数定义与性质应用的三个关注点：(1)若幂函数()y xR αα=∈是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断；(2)若幂函数()y xR αα=∈在()0,+∞上单调递增，则α0>，若在()0,+∞上单调递减，则0α<；(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.16．函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ，，规定(),A B k k A B ABϕ-=（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数321y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(),A B ϕ>②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A,B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；④设曲线xy e =（e 是自然对数的底数）上不同两点()()112212,,,,1A x y B x y x x -=且，若(),1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞.其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上） 【答案】②③【解析】试题分析：①错：(1,1),(2,5),|||7,A B A B AB k k =-=(,)A B ϕ∴=<②对：如1y =；③对；(,)2A B ϕ==≤；④错；1212(,)x x x x A B ϕ==1211,(,)A B ϕ==>因为1(,)t A B ϕ<恒成立，故1t ≤.故答案为②③.考点：1、利用导数求曲线的切线斜率；2、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题.【方法点晴】本题通过新定义“弯曲度”对多个命题真假的判断考查利用导数求曲线的切线斜率、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题以及及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．设集合{}{}2|8150,|10A x x x B x ax =-+==-=． （1）若15a =，判断集合A 与B 的关系； （2）若AB B =，求实数a 组成的集合C ．【答案】（1）A B ⊆；（2）{}5,3,0=C . 【解析】考点：1、集合的表示；2、子集的性质.18．衡阳市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的志愿者中随机抽取100名后按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，则应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.【答案】（1）3,2,1；（2）710. 【解析】试题分析：（1）根据分层抽样方法按比例抽取即可；（2）列举出从5名志愿者中抽取2名志愿者有10种情况，其中第4组的2名志愿者12,B B 至少有一名志愿者被抽中的有7种，进而根据古典概型概率公式可得结果.（2）记第3组的3名志愿者为123,,A A A ，第4组的2名志愿者为12,B B ，则从5名志愿者中抽取2名志愿者有12(,)A A ，13(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，23(,)A A ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B ，共10种，其中第4组的2名志愿者12,B B 至少有一名志愿者被抽中的有11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B ，共7种，所以第4组至少有一名志愿都被抽中的概率为710. 考点：1、分层抽样的应用；2、古典概型概率公式.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，111,A A AB CB A ABB =⊥． （1）求证：1AB ⊥平面1A BC ；（2）若15,3,60AC BC A AB ==∠=，求三棱锥1C AA B -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）有线面垂直的性质可得1BC AB ⊥，再由菱形的性质可得11AB A B ⊥，进而有线面垂直的判定定理可得结论；（2）先证三角形1A AB 为正三角形，再由于勾股定理求得AB 的值，进而的三角形1A AB 的面积，又知三棱锥的高为3BC =，利用棱锥的体积公式可得结果.考点：1、线面垂直的判定定理；2、勾股定理及棱锥的体积公式.20．2()sin 22f x x x =+. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()12A f =，ABC ∆的面积为求a 的最小值.【答案】（1）5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）；（2）【解析】试题分析：（1）根据3222262k x k πππππ+≤-≤+可求得函数()f x 的单调递减区间；（2）由12A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可得3A π=，再由三角形面积公式可得12bc =，根据余弦定理及基本不等式可得a 的最小值.试题解析:（1）111()cos 22sin(2)22262f x x x x π=-+=-+， 令3222262k x k πππππ+≤-≤+，解得536k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， ∴()f x 的单调递减区间为5[,]36k k ππππ++（k Z ∈）.考点：1、正弦函数的图象和性质；2、余弦定理、基本不等式等知识的综合运用．21．已知条件4:11p x ≤--，条件22:q x x a a +<-，且p 是q 的一个必要不充分条件，求实数a的取值范围．【答案】[]1,2-．【解析】试题分析：先化简条件p 得31x -≤<，分三种情况化简条件q ，由p 是q 的一个必要不充分条件，可分三种情况列不等组，分别求解后求并集即可求得符合题意的实数a 的取值范围. 试题解析：由411x ≤--得:31p x -≤<，由22x x a a +<-得()()10x a x a +--<⎡⎤⎣⎦，当12a =时，:q ∅；当12a <时，():1,q a a --；当12a >时，():,1q a a -- 由题意得，p 是q 的一个必要不充分条件， 当12a =时，满足条件；当12a <时，()[)1,3,1a a --⊆-得11,2a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭， 当12a >时，()[),13,1a a --⊆-得1,22a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ 综上，[]1,2a ∈-． 考点：1、充分条件与必要条件；2、子集的性质及不等式的解法.【方法点睛】本题主要考查子集的性质及不等式的解法、充分条件与必要条件，属于中档题,判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ，二是由条件q 能否推得条件p .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．本题的解答是根据集合思想解不等式求解的.22．已知函数()2ln f x x bx a x =+-. （1）当函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为550y x +-=，求函数()f x 的解析式；（2）在（1）的条件下，若0x 是函数()f x 的零点，且()*0,1,x n n n N ∈+∈，求n 的值； （3）当1a =时，函数()f x 有两个零点()1212,x x x x <，且1202x x x +=，求证：()00f x '>． 【答案】（1）()26ln f x x x x =--；（2）3n =；（3）证明见解析.【解析】试题解析： （1）()2a f'x x b x =+-，所以(1)251(1)106f'b a b f b a =+-=-=-⎧⎧⇒⎨⎨=+==⎩⎩， ∴函数()f x 的解析式为2()6ln (0)f x x x x x =-->；（2）22626()6ln '()21x x f x x x x f x x x x --=--⇒=--=， 因为函数()f x 的定义域为0x >， 令(23)(2)3'()02x x f x x x +-==⇒=-或2x =， 当(0,2)x ∈时，'()0f x <，()f x 单调递减，当(2,)x ∈+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增，且函数()f x 的定义域为0x >，（3）当1a =时，函数2()ln f x x bx x =+-，21111()ln 0f x x bx x =+-=，22222()ln 0f x x bx x =+-=， 两式相减可得22121212()ln ln 0x x b x x x x -+--+=，121212ln ln ()x x b x x x x -=-+-． 1'()2f x x b x =+-，0001'()2f x x b x =+-，因为1202x x x +=， 所以12120121212ln ln 2'()2()2x x x x f x x x x x x x +-=⋅+-+--+212121221221122112211121ln ln 2()211ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤--⎝⎭⎢⎥=-=--=-⎢⎥⎢⎥-+-+-⎣⎦+⎢⎥⎢⎥⎣⎦设211x t x =>，2(1)()ln 1t h t t t -=-+， ∴2222214(1)4(1)'()0(1)(1)(1)t t t h t t t t t t t +--=-==>+++， 所以()h t 在(1,)+∞上为增函数，且(1)0h =，∴()0h t >，又2110x x >-，所以0'()0f x >． 考点：1、导数几何意义及零点存在定理；2、构造函数证明不等式.【方法点睛】本题主要考查导数几何意义及零点存在定理、构造函数证明不等式，属于难题.涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.。
数学---湖南省衡阳市第八中学2017-2018学年高二上学期第二次月考试题(实验班)(理)
湖南省衡阳市第八中学2017-2018学年 高二上学期第二次月考试题（实验班）（理）(考试时间：115分钟 试卷满分：150分)一、单选题（本题共12小题, 每小题5分, 共60分.）1{|lg(3)},{|5[5,)[3,5]},()(3,5][3,]A x y xB x x A B A BCD ==-=⋂=++∞∞≤、已知集合则、、、、21,(1)()-2012(),0,()2f x x f x x f xA B C D ==>+-、已知函数是奇函数且则、、、当、时3、某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）A 、B 、C 、D 、4、某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二 2000人、高三n 人中，抽取90人进行问卷调查．已知高一被抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为（ ）A 、20B 、24C 、30D 、322222p (0)16()12412y A B C D x p y =>+=5、已知抛物线的准线与圆(x-3)相切,则p 的值为、、、、24354635{}0,25)2(,n n a a a a a a a a a a +=>++= 6、是等比数列且且则A 、5B 、±5C 、10D 、±10 7、设，为非零向量，则 “存在负数λ，使得=λ” 是 ” •＜0”的（ ）A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件 8、已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足95S S =，且01>a ，则n S 中最大的是（ ）6789 A S B S C S D S 、、、、12129,,12,66333,(2)A 30F M F F B C D MF ∠=、双曲线虚轴上的一个端点为两个焦点为则双曲线的离心率为、、、、(2)1,10(),()1(1,2)(2,3)(2,3](2(,)()log ,)1,a a x x f x f x a x x A B C D --⎧=-∞+⎨>≤+∞∞⎩、已知函数若在上单调递增，则实数的取值、、范围、、011sin()(0,),(1)(2)())013(29=>++++>+=y A A f f f x f ωϕω 、函数的部分图像如下图所示则（）222221D 22++-B C A 、、、、12、已知F 1 ，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点．且∠F 1PF 2= ，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ） A 、B 、C 、3D 、2二、填空题（本题共4小题, 每小题5分, 共20分.）36132,0100______.3x y x y x y y y x +-⎧⎪--⎨⎪≥+≤-⎩≤、若、满足约束条件则的最大值为14、已知椭圆224116x y +=，过点P （3，1）作一弦，使弦在这点处被平分，则此弦所在的直线的斜率值为____________．2[1,2],20________15p "",_.x a x x a ∃⌝∈++≥、已知命题：使P 为假命题，则的取值范围是16cos cos sin sin ,________.4,B C AB AC O O ABC a b c A C B C A BA λπλ+===、已知点是锐角的外心、、分别为内角、、的对边，且 则三、解答题（本题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17(10),35,:(1)34(2).x y x y xy x y xy +=+、本小题分若正数满足求的最小值；的最小值18、(本小题12分) 如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，∠ CAD= ，AC=，cos ∠ADB=﹣．（1）求sin ∠ C 的值；（2）若BD=2DC ，求边AB 的长．19、(本小题12分) 如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB=BC=AD ，∠BAD=∠ABC=90°．（1）证明：直线BC ∥平面PAD ； （2）若△PCD 面积为2，求四棱锥P ﹣ABCD 的体积．20、(本小题12分) 已知数列{a n }是非常值数列，且满足a n+2=2a n+1﹣a n （n ∈N *），其前n 项和为s n ，若s 5=70，a 2，a 7，a 22成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设数列 的前n 项和为T n ，求证：．212()()l 12().(1)()(2g )o ()3x mx m x x f f f R x -=-∞本小题分若函数的值域为，21、求实数m 的取值范围;若函数在区间(-,1-)上是增函数,求实数m 的已知取值范围.22、(本小题12分) 已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，点B 是椭圆C的上顶点，点Q 在椭圆C 上（异于B 点）． （1）若椭圆V 过点（﹣，），求椭圆C 的方程；（2）若直线l：y=kx+b与椭圆C交于B、P两点，若以PQ为直径的圆过点B，证明：存在k∈R，= ．34-参考答案一、单选题（本题共12小题, 每小题5分, 共60分.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DAABCAABBCBA二、填空题（本题共4小题, 每小题5分, 共20分.） 13. 4 14. 15. [8,)-+∞ 16. 2-三、解答题（本题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解：（1）正数x ，y 满足x+3y=5xy ，∴=5．∴3x+4y=（3x+4y ）=（13+≥=5，当且仅当x=1，y=时取等号． ∴3x+4y 的最小值为1．（2）∵正数x ，y 满足x+3y=5xy ， ∴5xy≥，解得：xy≥，当且仅当x=3y=时取等号．∴xy 的最小值为．18. 解：（1）在△ABC 中，因为cos ∠ADB=﹣ 且∠ADB ∈（0，π），所以sin ∠ADB= ．因为∠CAD= ，所以C=∠ADB ﹣ ．所以sin ∠C=sin （∠ADB ﹣ ）= = ．（2）在△ACD中，由正弦定理得，∴CD= ，∵BD=2DC，∴BC= ，∴AB= =19. （1）证明：四棱锥P﹣ABCD中，∵∠BAD=∠ABC=90°．∴BC∥AD，∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴直线BC∥平面PAD；（2）解：四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．设AD=2x，则AB=BC=x，CD=，O是AD的中点，连接PO，OC，CD的中点为：E，连接OE，则OE=，PO=，PE==，△PCD面积为2，可得：=2，即：，解得x=2，PE=2 ．则V P﹣ABCD= ×（BC+AD）×AB×PE==4．20. 解：（1）因为数列满足a n+2=2a n+1﹣a n（n∈N*），所以{a n}是等差数列且s5=70，∴5a1+10d=70．①∵a2，a7，a22成等比数列，∴，即．②由①，②解得a1=6，d=4或a1=14，d=0（舍去），∴a n=4n+2．（2）证明：由（1）可得，所以 ．则== ．∵ ，∴．∵ ，∴数列{T n }是递增数列，∴∴222,400 4.(2)132(13)(13)03 2.()()f x R mx m m g x m m mm m m x --∆=+≥≥≤-⎧≥-⎪⎨⎪----≥⎩∴≤=⇒≤ 21.解：值域为，令则g(x)取遍所有的正数即m 或根据题意知2-222. 解：（1）椭圆的离心率e= = =，则a 2=2b 2，将点（﹣，）代入椭圆方程，解得：a 2=4，b 2=2，∴椭圆的标准方程为：，（2）由题意的对称性可知：设存在存在k ＞0，使得= ，由a 2=2b 2， 椭圆方程为：，将直线方程代入椭圆方程，整理得：（1+2k 2）x 2+4kbx=0，解得：x P =﹣，则丨BP 丨= × ，由BP ⊥BQ ，则丨BQ 丨= ×丨 丨= • ，由= ，则2 ×= • ，整理得：2k3﹣2k2+4k﹣1=0，设f（x）=2k3﹣2k2+4k﹣1，由f（）＜0，f（）＞0，∴函数f（x）存在零点，∴存在k∈R，=。
2017年衡阳市八中高一数学竞赛试卷附答案
2017年衡阳市八中高一数学竞赛试卷一．选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，每题5分，共50分）1.集合{}13A x x x N =-<∈，的子集有 （ C ）A ．4个B ．8个C ．16个D ．32个2.在四边形ABCD 中，AB m =，CD n =，则()()AB DC CB AD ++=u u u r u u u r u u u r u u u rg（ D ） A.22m n + B.22m n C.22n m - D.22m n - 3．给出下列四个判断：（1）若a ，b 为异面直线，则过空间任意一点P ，总可以找到直线与a ，b 都相交； （2）对平面α，β和直线l ，若αβ⊥，l β⊥，则l α∥； （3）对平面α，β和直线l ，若l α⊥，l β∥，则αβ⊥；（4）对直线1l ，2l 和平面α，若1l α∥，21l l ∥，且2l 过平面α内一点P ，则2l α⊂ 其中正确的判断有 （ B ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4.一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是 等边三角形，该四棱锥的体积是 （ A ）正视图 侧视图 A ．3 Ｂ．23Ｃ．33 Ｄ．63 俯视图 5．已知3sin 5ϕ=，且(,)2πϕπ∈，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则()4f π的值为 （ B ） A ．35- B ．45- C ．35 D ．456．设3log 2=a ，ln 2=b ，125-=c ，则 （ C ）A ．c b a <<B ．a c b <<C ．<<c a bD ．<<c b a 7．函数221)(xx x f x --=（ A ） A 是偶函数但不是奇函数 B 是奇函数但不是偶函数 C 既是偶函数又是奇函数 D 既不是偶函数也不是奇函数1 1 ２ ２１ １１8．已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =+的图象可能是 （ A ）9.设圆222)5()3(r y x =+++上有且只有两点到直线234=-y x 的距离等于1,则圆的半 径的取值范围是 ( C )A . 561<<r B .54>r C . 5654<<r D . 1>r10．定义()()1f x f x =，()()1()n n f x f f x -=，已知221,0,()log ,0.ax x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩则()31y f x =+的零点个数可能为 ( D ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 函数()31y f x =+的零点个数，即函数()()()()3y f x f f f x ==与1y =-交点的个数，根据已知图象可得()()0f f x <或()()1,2f f x = 而()()0f f x <即()0f x <或()01f x <<，分别有2个解，而()()1,2f f x =即()0f x <或()1f x >，分别有2个解，1个解，所以()31y f x =+的零点个数可能为2+2+2+1=7，故选择D二．填空题（本大题共有5小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空5分，共25分）1．已知直线l ：10x By ++=的倾斜角为α，若45120α︒<<︒，则B 的取值范围为3(1-， 。
2018年湖南省衡阳高三数学适应性试卷(理科)(5月份)Word版含解析
2016-2017学年湖南省衡阳八中高三（下）第六次月考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A∩∁U B={1，2}，∁U（A∪B）={4}，则集合B为（）A．{3} B．{3，5} C．{2，3，5} D．{1，2，3，5}2．在复平面上，复数对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知数列{an }是等差数列，若a9+3a11＜0，a10•a11＜0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么Sn取得最大值时n等于（）A．20 B．17 C．19 D．214．设x、y满足约束条件，则z=2x﹣3y的最小值是（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣35．若不等式3x2﹣logax＜0对任意恒成立，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．6．某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有（）A．36种B．38种C．108种D．114种7．已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a=2，b=，则角A=（）A．B．C．D．或8．如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A．B．27πC．27π D．9．执行如图所示的程序框图，若输出i的值是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是（）A．4 B．8 C．12 D．1610．函数y=的图象大致为（）A．B． C．D．11．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A． B．1 C．D．212．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）内的单调函数，且对∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣lnx]=e+1，给出下面四个命题：①不等式f（x）＞0恒成立②函数f（x）存在唯一零点，且x∈（0，1）③方程f（x）=x有两个根④方程f（x）﹣f′（x）=e+1（其中e为自然对数的底数）有唯一解x0，且x∈（1，2）其中正确的命题个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二.填空题（每题5分，共20分）13．在等腰△ABC 中，CA=CB=6，∠ACB=120°，点M 满足=2，则•等于 ．14．已知展开式的常数项是160，则由曲线y=x 2和y=x a 围成的封闭图形的面积为 ．15．已知三棱锥P ﹣ABC 的所有棱长都相等，现沿PA ，PB ，PC 三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥P ﹣ABC 的体积为 ．16．若点O 和点分别是双曲线（a ＞0）的对称中心和左焦点，点P 为双曲线右支上任意一点，则的取值范围为 ．三.解答题（共6题，共70分）17．已知数列{a n }（n ∈N *）的前n 项的S n =n 2． （Ⅰ）求数列{a n }，的通项公式；（Ⅱ）若，记数列{b n }，的前n 项和为T n ，求使成立的最小正整数n 的值．18．如图，已知ACDE 是直角梯形，且ED ∥AC ，平面ACDE ⊥平面ABC ，∠BAC=∠ACD=90°，AB=AC=AE=2，，P 是BC 的中点．（Ⅰ）求证：DP ∥平面EAB ；（Ⅱ）求平面EBD 与平面ABC 所成锐二面角大小的余弦值．19．某校为调查高中生选修课的选修倾向与性别关系，随机抽取50名学生，得到如表的数据表：（Ⅰ）根据表中提供的数据，选择可直观判断“选课倾向与性别有关系”的两种，作为选课倾向的变量的取值，并分析哪两种选择倾向与性别有关系的把握大；（Ⅱ）在抽取的50名学生中，按照分层抽样的方法，从倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生中抽取8人进行问卷．若从这8人中任选3人，记倾向“平面几何选讲”的人数减去与倾向“坐标系与参数方程”的人数的差为ξ，求ξ的分布列及数学期望．附：K2=．20．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率e=，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）设F1、F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆于P、Q两点，求△PQF1的内切圆半径r的最大值．21．已知函数f（x）=﹣，（x∈R），其中m＞0（Ⅰ）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线的方程；（Ⅱ）若f（x）在（）上存在单调递增区间，求m的取值范围（Ⅲ）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x1，x2且x1＜x2，若对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立．求m的取值范围．选修4-4．坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：（φ为参数，实数a ＞0），曲线C 2：（φ为参数，实数b ＞0）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=α（ρ≥0，0≤α≤）与C 1交于O 、A 两点，与C 2交于O 、B 两点．当α=0时，|OA|=1；当α=时，|OB|=2．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求2|OA|2+|OA|•|OB|的最大值．选修4-5．不等式选讲23．已知函数f （x ）=|x+1|+|mx ﹣1|．（1）若m=1，求f （x ）的最小值，并指出此时x 的取值范围； （2）若f （x ）≥2x ，求m 的取值范围．2018年湖南省衡阳高三数学适应性试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A∩∁U B={1，2}，∁U（A∪B）={4}，则集合B为（）A．{3} B．{3，5} C．{2，3，5} D．{1，2，3，5}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】利用已知条件求出A∪B，通过A∩∁UB={1，2}，即可求出B．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，∁U（A∪B）={4}，可得A∪B={1，2，3，5}∵A∩∁UB={1，2}，∴A={1，2，3}，则B={3，5}．故选：B．2．在复平面上，复数对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】求解得到对应点的坐标即可判断选项．【解答】解：复数=+．复数的对应点的坐标（，）在第一象限．故选：A．3．已知数列{an }是等差数列，若a9+3a11＜0，a10•a11＜0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么Sn取得最大值时n等于（）A．20 B．17 C．19 D．21【考点】8F：等差数列的性质．【分析】由等差数列的性质和求和公式可得a10＞0，a11＜0，又可得S19=19a10＞0，而S20=10（a10+a11）＜0，进而可得Sn取得最小正值时n等于19【解答】解：∵a9+3a11＜0，∴由等差数列的性质可得a 9+3a11=a9+a11+2a11=a9+a11+a10+a12=2（a11+a10）＜0，又a10•a11＜0，∴a10和a11异号，又∵数列{an }的前n项和Sn有最大值，∴数列{an}是递减的等差数列，∴a10＞0，a11＜0，∴S19===19a10＞0∴S20==10（a1+a20）=10（a10+a11）＜0∴Sn取得最小正值时n等于19故选：C4．设x、y满足约束条件，则z=2x﹣3y的最小值是（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣3【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求出最优解即可求最小值．【解答】解：由z=2x﹣3y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点A时，直线y=截距最大，此时z 最小，由得，即A（3，4），代入目标函数z=2x﹣3y，得z=2×3﹣3×4=6﹣12=﹣6．∴目标函数z=2x﹣3y的最小值是﹣6．故选：B．x＜0对任意恒成立，则实数a的取值范围为（）5．若不等式3x2﹣logaA．B．C．D．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】构造函数f（x）=3x2，g（x）=﹣logx．h（x）=f（x）+g（x）（0＜x＜），根据不a等式3x2﹣logx＜0对任意恒成立，可得f（）≤g（），从而可得0＜a＜1且aa≥，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：构造函数f（x）=3x2，g（x）=﹣logx，（0＜x＜）ax＜0对任意恒成立，∵不等式3x2﹣loga∴f（）≤g（）∴3•﹣log≤0．a∴0＜a＜1且a≥，∴实数a的取值范围为[，1）．故选：A．6．某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有（）A．36种B．38种C．108种D．114种【考点】D3：计数原理的应用．【分析】分类讨论：①甲部门要2个电脑特长学生和一个英语成绩优秀学生；②甲部门要1个电脑特长学生和1个英语成绩优秀学生．分别求得这2个方案的方法数，再利用分类计数原理，可得结论．【解答】解：由题意可得，有2种分配方案：①甲部门要2个电脑特长学生，则有3种情况；英语成绩优秀学生的分配有2种可能；再从剩下的3个人中选一人，有3种方法．根据分步计数原理，共有3×2×3=18种分配方案．②甲部门要1个电脑特长学生，则方法有3种；英语成绩优秀学生的分配方法有2种；再从剩下的3个人种选2个人，方法有33种，共3×2×3=18种分配方案．由分类计数原理，可得不同的分配方案共有18+18=36种，故选A．7．已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a=2，b=，则角A=（）A．B．C．D．或【考点】HP：正弦定理．【分析】由题意和正弦定理求出sinA，由条件、边角关系、特殊角的三角函数值求出角A即可．【解答】解：∵a=2，b=，，∴由正弦定理得，，则sinA===，∵0＜A＜π，a＞b，∴A=或，故选D．8．如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A．B．27πC．27π D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其外接球等同于棱长为3的正方体的外接球，从而求得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其底面是边长为3的正方形，且高为3，其外接球等同于棱长为3的正方体的外接球，所以外接球半径R满足：2R==，所以外接球的表面积为S=4πR2=27π．故选：B．9．执行如图所示的程序框图，若输出i的值是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是（）A．4 B．8 C．12 D．16【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=16，i=9时，不满足条件，退出循环，输出i的值为9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为：16【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1S=0满足条件，S=1，i=3满足条件，S=4，i=5满足条件，S=9，i=7满足条件，S=16，i=9由题意，此时，不满足条件，退出循环，输出i的值为9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为：16，故选：D．10．函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】根据函数的定义域，特殊点的函数值符号，以及函数的单调性和极值进行判断即可．【解答】解：由lnx≠0得，x＞0且x≠1，当0＜x＜1时，lnx＜0，此时y＜0，排除B，C，函数的导数f′（x）=，由f′（x）＞0得lnx＞1，即x＞e此时函数单调递增，由f′（x）＜0得lnx＜1且x≠1，即0＜x＜1或1＜x＜e，此时函数单调递减，故选：D．11．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A． B．1 C．D．2【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab配方得，|AB|2=（a+b）2﹣ab，又∵ab≤（） 2，∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．所以≤=，即的最大值为．故选：A12．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）内的单调函数，且对∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣lnx]=e+1，给出下面四个命题：①不等式f（x）＞0恒成立②函数f（x）存在唯一零点，且x∈（0，1）③方程f（x）=x有两个根④方程f（x）﹣f′（x）=e+1（其中e为自然对数的底数）有唯一解x0，且x∈（1，2）其中正确的命题个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】依题意，知f（x）﹣lnx为常数，设为m，即f（x）﹣lnx=m，可求得m=e，于是f （x）=lnx+e．对于①，f（x）=lnx+e的值域为R，可知不等式f（x）＞0恒成立错误；对于②，由f（x）=lnx+e=0解得：x=e﹣e∈（0，1），结合函数f（x）的单调性，可判断②正确；对于③，构造函数g（x）=f（x）﹣x=lnx﹣x+e，利用导数可判断方程f（x）=x有两个根，③正确；对于④，可分析出方程f（x）﹣f′（x）=e+1（其中e为自然对数的底数）有唯一解x，但x∈（e，e2），可判断④错误．【解答】解：∵函数f（x）在（0，+∞）内为单调函数，且对∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣lnx]=e+1，∴f（x）﹣lnx为常数，设为m，即f（x）﹣lnx=m，则f（m）=e+1．又f（m）﹣lnm=m，即f（m）=lnm+m，∴m=e．∴f（x）=lnx+e．对于①，∵f（x）=lnx+e的值域为R，故不等式f（x）＞0不恒成立，即①错误；对于②，由f（x）=lnx+e=0解得：x=e﹣e∈（0，1），又x＞0，f′（x）=＞0，故f（x）=lnx+e在（0，+∞）上单调递增，∴函数f（x）存在唯一零点x0，且x∈（0，1），故②正确；对于③，令g（x）=f（x）﹣x=lnx﹣x+e，则g′（x）=﹣1=，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）=lnx﹣x+e单调递增；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）=lnx﹣x+e单调递减；∴当x=1时，g（x）=lnx﹣x+e取得最大值e﹣1＞0，又当x→0+时，g（x）→﹣∞，当x→+∞时，g（x）→﹣∞，∴g（x）=lnx﹣x+e有两个零点，即方程f（x）=x有两个根，故③正确；对于④，方程f（x）﹣f′（x）=e+1可化为：lnx+e﹣=e+1，即lnx﹣﹣1=0，∵h（x）=lnx﹣﹣1在（0，+∞）上单调递增，且h（1）=﹣2＜0，h（2）=ln2﹣＜0，h（e）=﹣＜0，h（e2）=1﹣＞0，∴函数h（x）=lnx﹣﹣1有唯一零点，即方程f（x）﹣f′（x）=e+1有唯一解x0，且x∈（e，e2），而不是（1，2），故④错误．综上所述，正确的命题个数为2个，故选：B．二.填空题（每题5分，共20分）13．在等腰△ABC中，CA=CB=6，∠ACB=120°，点M满足=2，则•等于0 ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由向量加法的三角形法则得出=+，再利用向量数量积的运算性质求出结果．【解答】解：等腰△ABC中，CA=CB=6，∠ACB=120°，且=2，∴=+=+（﹣）=+，∴•=（+）•=•+=×6×6×cos120°+×62=0．故答案为：0．14．已知展开式的常数项是160，则由曲线y=x2和y=x a围成的封闭图形的面积为．【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】首先通过二项展开式求出a，然后利用定积分表示封闭图形的面积．【解答】解：因为展开式的常数项是160，所以=160，解得a=，所以由曲线y=x2和y=x a围成的封闭图形的面积为S===，故答案为．15．已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥P﹣ABC的体积为．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据展开图的形状计算棱锥的棱长，得出棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】解：设正三棱锥的棱长为a，则a+a•=，解得a=．∴棱锥的高为=，∴棱锥的体积V==．故答案为．16．若点O 和点分别是双曲线（a ＞0）的对称中心和左焦点，点P 为双曲线右支上任意一点，则的取值范围为 （1，（1，] ．【考点】KC ：双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的焦点坐标，求出a 的值，设P （x ，y ），利用距离公式进行转化求解即可．【解答】解：∵点O 和点分别是双曲线（a ＞0）的对称中心和左焦点，∴c=，则c 2=a 2+1=3，则a 2=2，即双曲线方程为x 2﹣y 2=1，设P （x ，y ），则x ≥，则==1+（+）=，∵x ≥，∴=时，取得最大值为，故的取值范围为（1，]，故答案为（1，]．三.解答题（共6题，共70分）17．已知数列{a n }（n ∈N *）的前n 项的S n =n 2． （Ⅰ）求数列{a n }，的通项公式；（Ⅱ）若，记数列{b n }，的前n 项和为T n ，求使成立的最小正整数n 的值．【考点】84：等差数列的通项公式；8K：数列与不等式的综合．【分析】（Ⅰ）当n≥2时根据an =Sn﹣Sn﹣1求通项公式，a1=S1=1符合上式，从而求出通项公式．，（II）由（I）求得的an 求出bn，利用裂项求和方法求出数列{bn}的前n项和为Tn，解不等式求得最小的正整数n．【解答】解：（Ⅰ）∵Sn=n2当n≥2时，Sn﹣1=（n﹣1）2∴相减得：an =Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1又a1=S1=1符合上式∴数列{an }，的通项公式an=2n﹣1（II）由（I）知∴Tn =b1+b2+b3++bn==又∵∴∴成立的最小正整数n的值为518．如图，已知ACDE是直角梯形，且ED∥AC，平面ACDE⊥平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，AB=AC=AE=2，，P是BC的中点．（Ⅰ）求证：DP∥平面EAB；（Ⅱ）求平面EBD与平面ABC所成锐二面角大小的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（I）取AB的中点F，连接PF，EF．利用三角形的中位线定理可得．再利用已知条件和平行四边形的判定定理可得四边形EFPD是平行四边形，可得PD∥EF．利用线面平行的判定定理即可得出；（II）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．【解答】（I）证明：取AB的中点F，连接PF，EF．又∵P是BC的中点，∴．∵，ED∥AC，∴，∴四边形EFPD是平行四边形，∴PD∥EF．而EF⊂平面EAB，PD⊄平面EAB，∴PD∥平面EAB．（II）∵∠BAC=90°，平面ACDE⊥平面ABC，∴BA⊥平面ACDE．以点A为坐标原点，直线AB为x轴，AC为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则z轴在平面EACD内．则A（0，0，），B（2，0，0），，．∴，．设平面EBD的法向量，由，得，取z=2，则，y=0．∴．可取作为平面ABC的一个法向量，∴===．即平面EBD与平面ABC所成锐二面角大小的余弦值为．19．某校为调查高中生选修课的选修倾向与性别关系，随机抽取50名学生，得到如表的数据表：（Ⅰ）根据表中提供的数据，选择可直观判断“选课倾向与性别有关系”的两种，作为选课倾向的变量的取值，并分析哪两种选择倾向与性别有关系的把握大；（Ⅱ）在抽取的50名学生中，按照分层抽样的方法，从倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生中抽取8人进行问卷．若从这8人中任选3人，记倾向“平面几何选讲”的人数减去与倾向“坐标系与参数方程”的人数的差为ξ，求ξ的分布列及数学期望．附：K2=．【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）利用K2=，求出K2，与临界值比较，即可得出结论；（Ⅱ）倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生人数的比例为20：12=5：3，从中抽取8人进行问卷，人数分别为5，3，由题意，ξ=﹣3，﹣1，1，3，求出相应的概率，即可求ξ的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）选倾向“坐标系与参数方程”与倾向“不等式选讲”，k=0，所以这两种选择与性别无关；选倾向“坐标系与参数方程”与倾向“平面几何选讲”，K2=≈6.969＞6.635，∴有99%的把握认为选倾向“坐标系与参数方程”与倾向“平面几何选讲”与性别有关；选倾向“平面几何选讲”与倾向“不等式选讲”，K2=≈8.464＞7.879，∴有99.5%的把握认为选倾向“平面几何选讲与倾向“不等式选讲”与性别有关，综上所述，选倾向“平面几何选讲与倾向“不等式选讲”与性别有关的把握最大；（Ⅱ）倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生人数的比例为20：12=5：3，从中抽取8人进行问卷，人数分别为5，3，由题意，ξ=﹣3，﹣1，1，3，则P（ξ=﹣3）==，P（ξ=﹣1）==，P（ξ=1）==，P（ξ=1）==，ξ的分布列数学期望Eξ=（﹣3）×+（﹣1）×+1×+3×=．20．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率e=，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）设F1、F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆于P、Q两点，求△PQF1的内切圆半径r的最大值．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程．【分析】（1）设出直线的方程，利用直线的截距式写出直线的方程，利用点到直线的距离公式列出关于a，b，c的等式，再利用椭圆的离心率公式得到关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值即得到椭圆的方程．（2）设出直线方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到关于交点坐标的关系，写出△PQF1的面积并求出最大值，再将面积用外接圆的半径表示，求出半径的最大值．【解答】解：（1）直线AB 的方程为，即bx﹣ay﹣ab=0由题意得=，①∵②a2=b2+c2③解得∴椭圆的方程为（2）设PQ：x=ty+代入并整理得设P（x1，y1），Q（x2，y2）则，∴==当即t 2=1时，∴又∴∴21．已知函数f （x ）=﹣，（x ∈R ），其中m ＞0（Ⅰ）当m=2时，求曲线y=f （x ）在点（3，f （3））处的切线的方程；（Ⅱ）若f （x ）在（）上存在单调递增区间，求m 的取值范围（Ⅲ）已知函数f （x ）有三个互不相同的零点0，x 1，x 2且x 1＜x 2，若对任意的x ∈[x 1，x 2]，f （x ）＞f （1）恒成立．求m 的取值范围．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）当m=2时，f （x ）=x 3+x 2+3x ，通过求导得出斜率k 的值，从而求出切线方程；（Ⅱ）只需f′（）＞0即可，解不等式求出即可；（Ⅲ）由题设可得，由判别式△＞0，求出m 的范围，对任意的x ∈[x 1，x 2]，f （x ）＞f （1）恒成立的充要条件是，从而综合得出m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当m=2时，f （x ）=x 3+x 2+3x ， ∴f′（x ）=﹣x 2+2x+3， 故k=f′（3）=0， 又∵f （3）=9，∴曲线y=f （x ）在点（3，f （3））处的切线方程为：y=9，（Ⅱ）若f （x ）在（）上存在单调递增区间，即存在某个子区间（a ，b ）⊂（，+∞）使得f′（x ）＞0，∴只需f′（）＞0即可， f′（x ）=﹣x 2+2x+m 2﹣1，由f′（）＞0解得m ＜﹣或m ＞，由于m ＞0，∴m ＞．（Ⅲ）由题设可得，∴方程有两个相异的实根x 1，x 2，故x 1+x 2=3，且解得：（舍去）或，∵x 1＜x 2，所以2x 2＞x 1+x 2=3，∴，若 x 1≤1＜x 2，则，而f （x 1）=0，不合题意．若1＜x 1＜x 2，对任意的x ∈[x 1，x 2]， 有x ＞0，x ﹣x 1≥0，x ﹣x 2≤0，则， 又f （x 1）=0，所以 f （x ）在[x 1，x 2]上的最小值为0，于是对任意的x ∈[x 1，x 2]，f （x ）＞f （1）恒成立的充要条件是，解得；综上，m 的取值范围是．选修4-4．坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：（φ为参数，实数a ＞0），曲线C 2：（φ为参数，实数b ＞0）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=α（ρ≥0，0≤α≤）与C 1交于O 、A 两点，与C 2交于O 、B 两点．当α=0时，|OA|=1；当α=时，|OB|=2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求2|OA|2+|OA|•|OB|的最大值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）由曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），利用cos2φ+sin2φ=1即可化为普通方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式即可得出极坐标方程，进而得出a的值．同理可得b的值．（II）由（I）可得C1，C2的方程分别为ρ=cosθ，ρ=2sinθ．可得2|OA|2+|OA|•|OB|=2cos2θ+2sinθcosθ=+1，利用三角函数的单调性与值域即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），化为普通方程为（x﹣a）2+y2=a2，展开为：x2+y2﹣2ax=0，其极坐标方程为ρ2=2aρcosθ，即ρ=2acosθ，由题意可得当θ=0时，|OA|=ρ=1，∴a=．曲线C2：（φ为参数，实数b＞0），化为普通方程为x2+（y﹣b）2=b2，展开可得极坐标方程为ρ=2bsinθ，由题意可得当时，|OB|=ρ=2，∴b=1．（Ⅱ）由（I）可得C1，C2的方程分别为ρ=cosθ，ρ=2sinθ．∴2|OA|2+|OA|•|OB|=2cos2θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2θ+1=+1，∵2θ+∈，∴+1的最大值为+1，当2θ+=时，θ=时取到最大值．选修4-5．不等式选讲23．已知函数f（x）=|x+1|+|mx﹣1|．（1）若m=1，求f（x）的最小值，并指出此时x的取值范围；（2）若f（x）≥2x，求m的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．【分析】（1）根据绝对值的意义求出x的范围即可；（2）问题转化为|mx﹣1|≥x﹣1，结合函数的性质得到关于m的不等式，解出即可．【解答】解：（1）f（x）=|x+1|+|x﹣1|≥|（x+1）﹣（x﹣1）|=2，当且仅当（x+1）（x﹣1）≤0时取等号．故f（x）的最小值为2，此时x的取值范围是[﹣1，1]．…（2）x≤0时，f（x）≥2x显然成立，所以此时m∈R；x＞0时，由f（x）=x+1+|mx﹣1|≥2x得|mx﹣1|≥x﹣1，由y=|mx﹣1|及y=x﹣1的性质可得|m|≥1且≤1，解得m≥1，或m≤﹣1．综上所述，m的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．。
2016-2017学年湖南省衡阳市第八中学高二理科实验班下学期第二次月考数学试题
2016-2017学年湖南省衡阳市第八中学高二理科实验班下学期第二次月考数学试题注意事项：1.本卷为衡阳八中高二年级理科实验班第二次月考试卷，分两卷。
其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。
开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。
考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★第I卷选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
1.已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，7}，B={x|x=log2（a+1），a∈A}，则（∁U A）∩（∁B）=（）UA．{1，3} B．{5，6} C．{4，5，6} D．{4，5，6，7}2.已知f（x）=log（x2﹣2x）的单调递增区间是（）A.（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，1）3.已知函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，5）B．（0，2] C．（0，5） D．时，f（x）=﹣4x2+8x．若在区间上，存在m（m≥3）个不同整数x i（i=1，2，…，m），满足|f（x i）﹣f（x i+1）|≥72，则b﹣a的最小值为（）A．15 B．16 C．17 D．187.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．2 D．8.如图，长方形ABCD的长AD=2x，宽AB=x（x≥1），线段MN的长度为1，端点M、N在长方形ABCD的四成的面积数值的差为y，则函数y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．9.已知体积为的球有一个内接正三棱锥P﹣ABC，PQ是球的直径，∠APQ=60°，则三棱锥P﹣ABC的体积为（）A．B． C． D．10.函数f（x）=的图象大致是（）A．B．C． D．11.已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC 的体积最大时，设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，则sinθ=（）A． B．C． D．12.已知f（x）是定义在（0，+∞）的函数．对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＞0，记a=，b=，c=，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a第II卷非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分）13.函数f（x）=2x+2﹣3×4x，x∈（﹣∞，1）的值域为．14.已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），若向量分别与向量，垂直，且||=，则向量的坐标为．15.已知三棱锥O﹣ABC，A、B、C三点均在球心为O的球表面上，AB=BC=1，∠ABC=120°，三棱锥O﹣ABC的体积为，则球O的体积是．16.设f（x）与g（x）是定义在同一区间上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”．若f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在上是“关联函数”，则m的取值范围．三.解答题（共6题，共70分）17.（本题满分10分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求实数a的值，并判断f（x）的单调性（不用证明）；（2）已知不等式f（log m）+f（﹣1）＞0恒成立，求实数m的取值范围．18.（本题满分12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、M分别为CC1和A1B的中点，A1D⊥CC1，△AA1B是边长为2的正三角形，A1D=2，BC=1．（2）证明：BC⊥平面ABB1A1（3）求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．19.（本题满分12分）已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=27，定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（Ⅰ）确定y=g（x），y=f（x）的解析式；（Ⅱ）若h（x）=kx﹣g（x）在（0，1）上有零点，求k的取值范围；（Ⅲ）若对任意的t∈（1，4），不等式f（2t﹣3）+f（t﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．20.（本题满分12分）对于定义域为R的函数f（x），如果存在非零常数T，对任意x∈R，都有f（x+T）=Tf（x）成立，则称函数f（x）为“T函数”．（1）设函数f（x）=x，判断f（x）是否为“T函数”，说明理由；（2）若函数g（x）=a x（a＞0，且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，证明：g（x）为“T函数”；（3）若函数h（x）=cosmx为“T函数”，求实数m的取值范围．21.（本题满分12分）如图，在圆柱OO1中，矩形ABB1A1是过OO1的截面CC1是圆柱OO1的母线，AB=2，AA1=3，∠CAB=．（1）证明：AC1∥平面COB1；（2）在圆O所在的平面上，点C关于直线AB的对称点为D，求二面角D﹣B1C﹣B的余弦值．22.（本题满分12分）如果函数y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f=f（x+a）=f（﹣x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”；（1）判断函数y=sinx是否具有“P（a）性质”，若具有“P（a）性质”，试写出所有a的值；若不具有“P（a）性质”，请说明理由；（2）已知y=f（x）具有“P（0）性质”，当x≤0时，f（x）=（x+t）2，t∈R，求y=f（x）在上的最大值；（3）设函数y=g（x）具有“P（±1）性质”，且当﹣≤x≤时，g（x）=|x|，求：当x∈R 时，函数g（x）的解析式，若y=g（x）与y=mx（m∈R）交点个数为1001个，求m的值．衡阳八中2017年上期高二年级理科实验班第二次月考数学参考答案13.（﹣4，]14.（1，1，1）或（﹣1，﹣1，﹣1）15.π16.17.（1）∵f（x）是定义域为R上的奇函数，∴f（0）=0，∴=0，解得a=1，∴f（x）==﹣1+，∵y=2x是R上的增函数，∴f（x）在R上为减函数，（2）∵f（x）是R上的奇函数，∴f（log m）+f（﹣1）＞0等价于f（log m）＞﹣f（﹣1）=f（1），又∵f（x）是R上的减函数，∴log m=log m m，∴当0＜m＜1时，＞m，即0＜m＜；当m＞1时，＜m，即m＞1；综上，m的取值范围是m∈（0，）∪（1，+∞）．18.（1）证明：取AB的中点H，连接HM，CH，∵D、M分别为CC1和A1B的中点，∴HM∥BB1，HM=BB1=CD，∴HM∥CD，HM=CD，则四边形CDMH是平行四边形，则CH=DM．∵CH⊂平面ABC，DM⊄平面ABC，∴MD∥平面ABC；（2）证明：取BB1的中点E，∵△AA1B是边长为2的正三角形，A1D=2，BC=1．∴C1D=1，∵A1D⊥CC1，∴A1C1==，则A1B12+A1B12=4+1=5=A1C12，则△A1B1C1是直角三角形，则B1C1⊥A1B1，∵在正三角形BA1B1中，A1E=，∴A1E2+DE2=3+1=4=A1D12，则△A1DE是直角三角形，则DE⊥A1E，即BC⊥A1E，BC⊥A1B1，∵A1E∩A1B1=A1，∴BC⊥平面ABB1A1（3）建立以E为坐标原点，EB，EA1的反向延长线，ED分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则E（0，0，0），B（1，0，0），C（1，0，1），A（2，﹣，0），A1（0，﹣，0），则设平面ABC的法向量为=（x，y，z），=（﹣1，，0），=（0，0，1），则，即，令y=1，则x=，z=0，即=（，1，0），平面ACA1的法向量为=（x，y，z），=（﹣1，，1），=（﹣2，0，0），则，得，即，令y=1，则z=﹣，x=0，即=（0，1，﹣），则cos＜，＞====，即二面角B﹣AC﹣A1的余弦值是．19.（Ⅰ）设g（x）=a x（a＞0且a≠1），则a3=27，∴a=3，∴g（x）=3x，∴，因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，即，∴，又f（﹣1）=﹣f（1），∴；∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：g（x）=3x，又因h（x）=kx﹣g（x）在（0，1）上有零点，从而h（0）•h（1）＜0，即（0﹣1）•（k﹣3）＜0，∴k﹣3＞0，∴k＞3，∴k的取值范围为（3，+∞）．（Ⅲ）由（Ⅰ）知，﹣∴f（x）在R上为减函数（不证明不扣分）．又因f（x）是奇函数，f（2t﹣3）+f（t﹣k）＞0所以f（2t﹣3）＞﹣f（t﹣k）=f（k﹣t），因f（x）为减函数，由上式得：2t﹣3＜k﹣t，即对一切t∈（1，4），有3t﹣3＜k恒成立，令m（x）=3t﹣3，t∈，易知m（x）在上递增，所以y max=3×4﹣3=9，∴k≥9，∴x=1时y max=（1﹣t）2，当0＜t＜时，y=f（x）在上递减，在上递增，且f（0）=t2＜f（1）=（1﹣t）2，∴x=1时y max=（1﹣t）2，当t≥时，∵y=f（x）在上递减，在上递增，且f（0）=m2≥f（1）=（1﹣m）2，∴x=0时，y max=t2，综上所述：当t＜时，y max=f（1）=（1﹣t）2，当t≥y max=f（0）=t2，（3）∵y=g（x）具有“P（±1）性质”，∴g（1+x）=g（﹣x），g（﹣1+x）=g（﹣x），∴g（x+2）=g（1+1+x）=g（﹣1﹣x）=g（x），从而得到y=g（x）是以2为周期的函数．又≤x≤设，则﹣≤x﹣1≤，g（x）=g（x﹣2）=g（﹣1+x﹣1）=g（﹣x+1）=|﹣x+1|=|x﹣1|=g（x﹣1）．再设n﹣≤x≤n+（n∈z），当n=2k（k∈z），则2k﹣≤x≤2k+，则﹣≤x﹣2k≤，g（x）=g（x﹣2k）=|x﹣2k|=|x﹣n|；当n=2k+1（k∈z），则2k+1﹣≤x≤2k+1+，则≤x﹣2k≤g（x）=g（x﹣2k）=|x﹣2k﹣1|=|x﹣n|；∴g（x）=∴对于n﹣≤x≤n+，（n∈z），都有g（x）=|x﹣n|，而n+1﹣＜x+1＜n+1+，∴g（x+1）=|（x+1）﹣（n+1）|=|x﹣n|=g（x），∴y=g（x）是周期为1的函数．①当m＞0时，要使y=mx与y=g（x）有1001个交点，只要y=mx与y=g（x）在有一个交点．∴y=mx过（，），从而得m=②当m＜0时，同理可得m=﹣综上所述m=±- 11 -。
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2019年湖南单招理科数学模拟试题（二）【含答案】
一、选择题：
1．已知i为虚数单位，复数z满足z•i=﹣1，则z2017=（ ）
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
2．已知集合A={x|x2+2x﹣8≥0}，B={x|1＜x＜5}，U=R，则CU（A∪B）（ ）
A．（﹣4，1] B．[﹣4，1） C．（﹣2，1] D．[﹣2，1）
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二．填空题
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三．解答题
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选修4-4：坐标系与参数方程
选修4-5：不等式选讲
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2019年湖南单招理科数学模拟试题（二）参考答案
一、选择题：
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二．填空题
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三．解答题
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选修4-4：坐标系与参数方程
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选修4-5：不等式选讲
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