数学思想与方法考试题及答案
模拟题一
一、填空题（每题5分.共25分）
1．算法的有效性是指（如果使用该算法从它的初始数据出发.能够得到这一问题的正确解）。3．所谓数形结合方法.就是在研究数学问题时.（由数思形、见形思数、数形结合考虑问题）的一种思想方法。
5．古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理.以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用.以（《九章算术》）为典范。
7．数学的统一性是客观世界统一性的反映.是数学中各个分支固有的内在联系的体现.它表现为（数学的各个分支相互渗透和相互结合）的趋势。
9．学生理解或掌握数学思想方法的过程一般有三个主要阶段：（潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段）。
二、判断题（每题5分.共25分。在括号里填上是或否）
1．计算机是数学的创造物.又是数学的创造者。（是）
2．抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系。（否）
3．一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。（否）
4．贯穿在整个数学发展历史过程中有两个思想.一是公理化思想.一是机械化思想。（是）5．提出一个问题的猜想是解决这个问题的终结。（否）
三、简答题（每题10分.共50分）
1．为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系
答：①因为在《几何原本》中.除了推导时所需要的逻辑规则外.每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理.并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求.原则上不再依赖其它东西。因此《几何原本》是一个封闭的演绎体系。
②另外.《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题.因此对于社会生活的各个领域来说.它也是封闭的。
③所以.《几何原本》是一个封闭的演绎体系。
2．为什么说最早使用数学模型方法的是中国人答：①因为在中国汉代的古算书《九章算术》中就已经系统地使用了数学模型。《九章算术》将246个题目归结为九类.即九种不同的数学模型.分列为九章。②它在每一章中所设置的问题.都是从大量的实际问题中选择具有典型意义的现实原型.然后再通过“术”(即算法)转化成数学模型。其中有些章就是专门探讨某种数学模型的应用.③例如“勾股”、“方程”等章。这在世界数学史上是最早的。因此.我们说最早使用数学模型方法的是中国人。
3．什么是类比猜想并举一个例子说明。
答：①人们运用类比法.根据一类事物所具有的某种属性.得出与其类似的事物也具有这种属性的一种推测性的判断.即猜想.这种思想方法称为类比猜想。
②例如.分式与分数非常相似.只不过是用字母替代数而已。因此.我们可以猜想.分式与分数在定义、基本性质、约分、通分、四则运算等方面都是对应相似的。
4．简述表层类比.并用举例说明。
答：①表层类比是根据两个被比较对象的表面形式或结构上的相似所进行的类比。这种类比可靠性较差.结论具有很大的或然性。
②例如.从ac
ab
c
b
a+
=
+)
(类比出β
α
β
αsin
sin
)
sin(+
=
+是错误的.而类比出
n
n
n
n
n
n
n
b
a
b
a
∞
→
∞
→
∞
→
+
=
+lim
lim
)
(
lim
在数列极限存在的条件下是正确的。
③又如.由三角形内角平分线性质.类比得到三角形外角平分线性质.就是一种结构上的类比。5．数学思想方法教学为什么要遵循循序渐进原则试举例说明。
答：①数学思想方法的形成难于知识的理解和一般技能的掌握.它需要学生深入理解事物之间的本质联系。②学生对每种数学思想方法的认识都是在反复理解和运用中形成的.是从个别到一般.从具体到抽象.从感性到理性.从低级到高级的沿着螺旋式方向上升的。③例如.学生理解数形结合方法可从小学的画示意图找数量关系着手孕育；在学习数轴时.要求学生会借助数轴来表示相反数、绝对值、比较有理数的大小等。
模拟题二
一、填空题（每题3分.共30分）
1．在数学中建立公理体系最早的是几何学.而这方面的代表著作是古希腊欧几里得的（《几何原
本》）。
2．随机现象的特点是（在一定条件下.可能发生某种结果.也可能不发生某种结果）。
3．演绎法与（归纳法）被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。
4．在化归过程中应遵循的原则是（简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则）是联系数学知识与数学能力的纽带.是数学科学的灵魂.它对发展学生的数学能力.提高学生的思维品质都具有十分重
要的作用。
6．三段论是演绎推理的主要形式.它由（大前提、小前提、结论）三部分组成。
7．传统数学教学只注重（形式化数学知识）的传授. 而忽略对知识发生过程中（数学思想方法）的挖掘。
8．特殊化方法是指在研究问题中.（从对象的一个给定集合出发.进而考虑某个包含于该集合的较小集合）的思想方法。
9．分类方法的原则是（不重复、无遗漏、标准同一、按层次逐步划分）。
10．数学模型可以分为三类：（概念型、方法型、结构型）。
二、判断题（每题2分.共10分。在括号里填上是或否）
1．数学模型方法在生物学、经济学、军事学等领域没应用。（否）
2．在解决数学问题时.往往需要综合运用多种数学思想方法才能取得效果。（是）
3．如果某一类问题存在算法.并且构造出这个算法.就一定能求出该问题的精确解。（否）
4．分类可使知识条理化、系统化。（是）
5．在建立数学模型的过程中.不必经过数学抽象这一环节。（否）
三、简答题（每题6分.共30分）
1．我国数学教育存在哪些问题
答：①数学教学重结果.轻过程；重解题训练.轻智力、情感开发；不重视创新能力培养.虽然学生考试分数高.但是学习能力低下；②重模仿.轻探索.学习缺少主动性.缺乏判断力和独立思考能力；
③学生学业负担过重。原因是课堂教学效益不高.教学围绕升学考试指挥棒转.不断重复训练各种题型和模拟考试.不少教师心存以量求质的想法.造成学生学业负担过重。
2．《几何原本》贯彻哪两条逻辑要求答：《几何原本》贯彻了两条逻辑要求。①第一.公理必须是明显的.因而是无需加以证明的.其是否真实应受推出的结果的检验.但它仍是不加证明而采用的命题；初始概念必须是直接可以理解的.因而无需加以定义。②第二.由公理证明定理时.必须遵守逻辑规律与逻辑规则；同样.通过初始概念以直接或间接方式对派生概念下定义时.必须遵守下定义的逻辑规则。
3．简述数学抽象的特征。
答：数学抽象有以下特征：①数学抽象具有无物质性；②数学抽象具有层次性；③数学抽象过程要凭借分析或直觉；④数学的抽象不仅有概念抽象还有方法抽象
4．什么是算法的有限性特点试举一个不符合算法有限性特点的例子。
答：①算法得有限性是指一个算法必须在有限步之内终止。
②例如.对初始数据20和3.计算过程为
无论怎样延续这个过程都不能结束.同时也不会出现中断。如果在某一处中断过程.我们只能得到一个近似的、不准确的结果。而且如果在某一步中断计算过程已经不是执行原来的算法。可见.十进小数除法对于20和3这组数不符合算法的“有限性”特点。
5．简述将“化隐为显”列为数学思想方法教学的一条原则的理由。
答：①由于数学思想方法往往隐含在知识的背后.知识教学虽然蕴含着思想方法.但是如果不是有意识地把数学思想方法作为教学对象.在数学学习时.学生常常只注意到处于表层的数学知识.而
注意不到处于深层的思想方法。②因此.进行数学思想方法教学时必须以数学知识为载体.把隐藏在知识背后的思想方法显示出来.使之明朗化.才能通过知识教学过程达到思想方法教学之目的。
四、解答题（每题15分.共30分）
1．(1)什么是类比推理(2)写出类比推理的表示形式。(3)怎样才能增加由类比得出的结论的可靠性
答：
①类比推理是指.由一类事物所具有的某种属性.可以推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法。
②类比推理的表示形式为：
A 具有性质；及，，，d a a a n Λ21
B 具有性质；，，，n
a a a '''Λ21 因此.B 也可能具有性质d '。
③尽量满足下列条件可增加类比结论的可靠性： A 与B 共同(或相似)的属性尽可能多些；
这些共同(或相似)的属性应是类比对象A 与B 的主要属性；
这些共同(或相似)的属性应包括类比对象的不同方面.并且尽可能是多方面的；
可迁移的属性d 应是和n a a a ，，，Λ21属于同一类型。
2．一个星级旅馆有150个房间。经过一段时间的经营实践.经理得到数据：如果每间客房定价为160元.住房率为55%；如果每间客房定价为140元.住房率为65%；如果每间客房定价为120元.住房率为75%；如果每间客房定价为100元.住房率为85%。欲使每天收入提高.问每间住房的定价应是多少
答：①弄清实际问题加以化简。经分析.为了建立旅馆一天收入的数学模型.可作如下假设： 设每间客房的最高定价为160元；
根据题中提供的数据.设随着房价的下降.住房率呈线性增长；
设旅馆每间客房定价相等。
②建立数学模型。 根据题意.设
y 表示旅馆一天的总收入.x 为与160元相比降低的房价。
由假设②.可得每降低1元房价.住房率增加为 005.020
%
10= 因此一天的总收入为
)005.055.0)(160(150x x y +-= （1）
由于
9001005.055.0≤≤≤+x x ，可知。
于是问题归结为：当900≤≤
x 时.求y 的最大值点.即求解 {})005.055.0)(160(150max 90
0x x y x +-=≤≤
(③模型求解。 将(1)左边除以(150×得
17600502++-=x x y ，
由于常数因子对求最大值没有影响.因此可化为求
，y 的最大值点。利用配方法得
18225
)25(2+--=x y ，
易知当
x =25时，y 最大.因此可知最大收入对应的住房定价为
160元－25元=135元 相应的住房率为 +×25=%
最大收入为 150×135×%=(元) ④检验。
定价 160元 140元 120元 100元 135元 收入
13200元
13650元
13500元
12750元
元
如果为了便于管理.那么定价140元也是可以的.因为这时它与最高收入只差元。
如果每间客房定价为180元.住房率为45%.其相应收入只有12150元。由此可见假设①是合理的。
实际上二次函数在
[]900，之内只有一个极值点。
数思 一、简答题
1、分别简单叙说算术与代数的解题方法基本思想.并且比较 它们的区别。 答：算术解题方法的基本思想：首先要围绕所求的数量. 收集和整理各种已知的数
据.并依据问题的条件列出关于这些具体数据的算式.然后通过四则运算求得算式的结果。
代数解题方法的基本思想是：首先依据问题的条件组成内含已知数和未知数的代数式.并按等量关系列出方程.然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值。
它们的区别在于算术解题参与的量必须是已知的量.而代数解题允许未知的量参与运算；算术方法的关键之处是列算式.而代数方法的关键之处是列方程。
2、比较决定性现象和随机性现象的特点.简单叙说确定数学的局限。
答：人们常常遇到两类截然不同的现象.一类是决定性现象.另一类是随机现象。决定性现象的特点是：在一定的条件下.其结果可以唯一确定。因此决定性现象的条件和结果之间存在着必然的联系.所以事先可以预知结果如何。
随机现象的特点是：在一定的条件下.可能发生某种结果. 也可能不发生某种结果。对于这类现象.由于条件和结果之间不存在必然性联系。
在数学学科中.人们常常把研究决定性现象数量规律的那些数学分支称为确定数学。用这些的分支来定量地描述某些决定性现象的运动和变化过程.从而确定结果。但是由于随机现象条件和结果之间不存在必然性联系.因此不能用确定数学来加以定量描述。同时确定数学也无法定量地揭示大量同类随机现象中所蕴涵的规律性。这些是确定数学的局限所在。
二、论述题
1、论述社会科学数学化的主要原因。
答：从整个科学发展趋势来看.社会科学的数学化也是必然的趋势.其主要原因可以归结为有下面四个方面：
第一.社会管理需要精确化的定量依据.这是促使社会科学数学化的最根本的因素。
第二.社会科学的各分支逐步走向成熟.社会科学理论体系的发展也需要精确化。
第三.随着数学的进一步发展.它出现了一些适合研究社会历史现象的新的数学分支。
第四.电子计算机的发展与应用.使非常复杂社会现象经过量化后可以进行数值处理。
2、论述数学的三次危机对数学发展的作用。
答：第一次数学危机促使人们去认识和理解无理数.导致了公理几何与逻辑的产生。
第二次数学危机促使人们去深入探讨实数理论.导致了分析基础理论的完善和集合论的产生。
第三次数学危机促使人们研究和分析数学悖论.导致了数理逻辑和一批现代数学的产生。
由此可见.数学危机的解决.往往给数学带来新的内容.新的进展.甚至引起革命性的变革.这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史.斗争的结果就是数学领域的发展。三、分析题
1、分析《几何原本》思想方法的特点.为什么
答：（1）封闭的演绎体系
因为在《几何原本》中.除了推导时所需要的逻辑规则外. 每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理.并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上
对概念下定义的要求.原则上不再依赖其它东西。因此《几何原本》是一个封闭的演绎体系。
另外.《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题.因此对于社会生活的各个领域来说.它也是封闭的。所以.《几何原本》是一个封闭的演绎体系。
（2）抽象化的内容：《几何原本》中研究的对象都是抽象的概念和命题.它所探讨的是这些概念和命题之间的逻辑关系.不讨论这些概念和命题与社会生活之间的关系.也不考察这些数学模型所由之产生的现实原型。因此《几何原本》的内容是抽象的。
（3）公理化的方法：《几何原本》的第一篇中开头5个公设和5个公理.是全书其它命题证明的基本前提.接着给出23个定义.然后再逐步引入和证明定理。定理的引入是有序的.在一个定理的证明中.允许采用的论据只有公设和公理与前面已经证明过的定理。以后各篇除了不再给出公设和公理外也都照此办理。这种处理知识体系与表述方法就是公理化方法。
2、分析《九章算术》思想方法的特点.为什么
答：（1）开放的归纳体系：从《九章算术》的内容可以看出.它是以应用问题解法集成的体例编纂而成的书.因此它是一个与社会实践紧密联系的开放体系。
在《九章算术》中通常是先举出一些问题.从中归纳出某一类问题的一般解法；再把各类算法综合起来.得到解决该领域中各种问题的方法；最后.把解决各领域中问题的数学方法全部综合起来.就得到整个《九章算术》。
另外该书还按解决问题的不同数学方法进行归纳.从这些方法中提炼出数学模型.最后再以数学模型立章写入《九章算术》。因此.《九章算术》是一个开放的归纳体系。
（2）算法化的内容：《九章算术》在每一章内先列举若干个实际问题.并对每个问题都给出答案.然后再给出“术”.作为一类问题的共同解法。因此.内容的算法化是《九章算术》思想方法上的特点之一。
（3）模型化的方法：《九章算术》各章都是先从相应的社会实践中选择具有典型意义的现实原型.并把它们表述成问题.然后通过“术”使其转化为数学模型。当然有的章采取的是由数学模型到原型的过程.即先给出数学模型.然后再举出可以应用的原型。
数学思想与方法作业2
一、简答题
1、叙述抽象的含义及其过程。
答：抽象是指在认识事物的过程中.舍弃那些个别的、偶然的非本质属性.抽取普遍的、必然的本质属性.形成科学概念.从而把握事物的本质和规律的思维过程。人们在思维中对对象的抽象是从对对象的比较和区分开始的。所谓比较.就是在思维中确
定对象之间的相同点和不同点；而所谓区分.则是把比较得到的相同点和不同点在思维中固定下来.利用它们把对象分为不同的类。然后再进行舍弃与收括.舍弃是指在思维中不考虑对象的某些性质.收括则是指把对象的我们所需要的性质固定下来.并用词表达出来。这就形成了抽象的概念.同时也就形成了表示这个概念的词.于是完成了一个抽象过程。
2、叙述概括的含义及其过程。
答：概括是指在认识事物属性的过程中.把所研究各部分事物得到的一般的、本质的属性联系起来.整理推广到同类的全体事物.从而形成这类事物的普遍概念的思维过程。
概括通常可分为经验概括和理论概括两种。经验概括是从事实出发.以对个别事物所做的观察陈述为基础.上升为普遍的认识——由对个体特性的认识上升为对个体所属的种的特性的认识。理论概括则是指在经验概括的基础上.由对种的特性的认识上升为对种所属的属的特性的认识.从而达到对客观世界的规律的认识。在数学中经常使用的是理论概括。
一个概括过程包括比较、区分、扩张和分析等几个主要环节。
3、简述公理方法历史发展的各个阶段
答：公理方法经历了具体的公理体系、抽象的公理体系和形式化的公理体系三个阶段。第一个具体的公理体系就是欧几里得的《几何原本》。非欧几何是抽象的公理体系的典型代表。希尔伯特的《几何基础》开创了形式化的公理体系的先河.现代数学的几乎所有理论都是用形式公理体系表述出来的.现代科学也尽量采用形式公理法作为研究和表述手段。
4、简述化归方法并举例说明。
答：所谓“化归”.从字面上看.应可理解为转化和归结的意思。数学方法论中所论及的“化归方法”是指数学家们把待解决或未解决的问题.通过某种转化过程.归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中去.最终求获原问题之解答的一种手段和方法。例如：要求解四次方程可以令.将原方程化为关于的二次方程这个方程我们会求其解：和.从而得到两个二次方程：和这也是我们会求解的方程.解它们便得到原方程的解：. . . .这里所用的就是化归方法。
二、论述题
1、叙述不完全归纳法的推理形式.并举一个应用不完全归纳法的例子。
答：不完全归纳法的一般推理形式是：
设S= ；
由于具有属性p.具有属性p.……具有属性p.因此推断S类事物中的每一个对象都可能具有属性p。
2、叙述类比推理的形式。如何提高类比的可靠性
答：类比推理通常可用下列形式来表示：
A具有性质
B具有性质
因此.B也可能具有性质。
其中.分别相同或相似。
欲提高类比的可靠性.应尽量满足条件：
(1)A与B共同(或相似)的属性尽可能地多些；(2)这些共同(或相似)的属性应是类比对象A与B的主要属性；
(3)这些共同(或相似)的属性应包括类比对象的各个不同方面.并且尽可能是多方面的；
(4)可迁移的属性d应该是和属于同一类型。
符合上述条件的类比.其结论的可靠性虽然可以得到提高.但仍不能保证结论一定正确。
3、试比较归纳猜想与类比猜想的异同。
答：归纳猜想与类比猜想的共同点是：他们都是一种猜想.即一种推测性的判断.都是一种合情推理.其结论具有或然性.或者经过逻辑推理证明其为真.或者举出反例予以反驳。
归纳猜想与类比猜想的不同点是：归纳猜想是运用归纳法得到的猜想.是一种由特殊到一般的推理形式.其思维步骤为“特例—归纳—猜测”。类比猜想是运用类比法得到的猜想.是一种由特殊到特殊的推理形式.其思维步骤为“联想—类比—猜测”。
三、设计题
设计运用“猜想”进行数学教学的一个片断。
答：以“认识长方形的对边相等”为内容.设计一个教学片断。
将教学过程设计成四个层次：让学生说一说：我们周围有哪些长方形物体学生会举出黑板、桌面、教室的门、课本的封面等例子。
要求学生仔细观察：看一看、想一想.这些长方形的四条边的长短有什么关系学生经过观察后.会猜想：长方形相对的两条边长度相等。
教师进一步提出问题：同学们敢于大胆猜想的精神值得鼓励！我们怎样才能验证长方形相对的两条边的长短相等呢这时.学生会想出许多办法.如：用尺量、将图形对折等方法。教师顺势引导学生通过量量、折折的具体操作.确信长方形相对的两条边长短相等。教师板书：长方形对边相等。接着.师生讨论长方形“对边”的含义.以及一个长方形有几组对边的问题。
巩固长方形对边相等的认识。
利用多媒体展示下面的长方形：
(3厘米)
（2厘米）
（）
教师提问：如何填写括号内的数字为什么
要求学生会用“因为…所以…”句式回答。如“因为长方形的对边相等.已知长方形的一条边是3厘米.所以它的对边也是3厘米。”
数学思想与方法作业3
一、简答题
1、简述计算和算法的含义。
答：计算是指根据已知数量通过数学方法求得未知数的过程.是一种最基本的数学思想方法。随着电子计算机的广泛应用.计算的重要意义更加凸现.主要表现在以下几个方面：(1)推动了数学的应用；(2)加快了科学的数学化进程；(3)促进了数学自身的发展。
算法是由一组有限的规则所组成的一个过程。所谓一个算法它实质上是解决一类问题的一个处方.它包括一套指令.只要按照指令一步一步地进行操作.就能引导到问题的解决。在一个算法中.每一个步骤必须规定得精确和明白.不会产生歧义.并且一个算法在按有限的步骤解决问题后必须结束。
数学中的许多问题都可以归结为寻找算法或判断有无算法的问题.因此.算法对数学中的许多问题的解决有着决定性作用。另外.算法在日常生活、社会生产和科学技术中也有着重要意义。算法在科学技术中的意义主要体现在如下几个方面：(1)用于表述科学结论的一种形式；(2)作为表述一个复杂过程的方法；(3)减轻脑力劳动的一种手段；(4)作为研究和解决新问题的手段；(5)作为一种基本的数学工具。
2、简述数学教学中引起“分类讨论”的原因。
答：数学教学中引起“分类讨论”的原因有：数学中的许多概念的定义是分类给出的.因此涉及到这些概念时要分类讨论；数学中有些运算性质、运算法则是分类给出的.进行这类运算时要分类讨论；有些几何问题.根据题设不能只用一个图形表达.必须全面考虑各种不同的位置关系.需要分类讨论；许多数学问题中含有字母参数.随着参数取值不同.会使问题出现不同的结果。因此需要对字母参数的取值情况进行分类讨论。
二、论述题
1、什么是数学模型方法并用框图表示MM方法解题的基本步骤。
答：所谓数学模型方法是利用数学模型解决问题的一般数学方法.简称MM方法。MM方法解题的基本步骤框图表示如下：
2、特殊化方法在数学教学中有哪些应用
答：特殊化方法在数学教学中的应用大致有如下几个方面：利用特殊值(图形)解选择题；利用特殊化探求问题结论；利用特例检验一般结果；利用特殊化探索解题思路。
三、计算题
1、用程序框图表述如下问题的求解过程：在1～500中.找出能同时满足用3除余2.用5除余3.用7除余2的所有整数。
解：设计算法：
(1)给出初始值I=9（因为小于等于8的数显然不满足条件）。
(2)判断I的值是否小于或等于500；若是.则进一步判断I是否满足用3除余2.用5除余3.用7除余2三个条件.若满足则输出I.否则I递增1。
(3)返回第(2)步.直至I大于500.结束。
画出程序框图如下图8-1：
图8-1
2、一个星级旅馆有150个房间。经过一段时间的经营实践.经理得到数据：如果每间客房定价为160元.住房率为55%；如果每间客房定价为140元.住房率为65%；如果每间客房定价为120元.住房率为75%；如果每间客房定价为100元.住房率为85%。欲使每天收入提高.问每间住房的定价应是多少
解：(1)、弄清实际问题加以化简。经分析.为了建立旅馆一天收入的数学模型.可作如下假设：
①设每间客房的最高定价为160元；②根据题中提供的数据.设随着房价的下降.住房率呈线性增长；③设旅馆每间客房定价相等。
(2)、建立数学模型。
根据题意.设表示旅馆一天的总收入.为与160元相比降低的房价。
由假设②.可得每降低1元房价.住房率增加为
因此一天的总收入为
(＊)
由于。
于是问题归结为：当时.求的最大值点.即求解
(3)、模型求解。
将(＊)左边除以(150×得由于常数因子对求最大值没有影响.因此可化为求的最大值点。利用配方法得
易知当=25时最大.因此可知最大收入对应的住房定价为
160元－25元=135元
相应的住房率为
+×25=%
最大收入为
150×135×%=(元)
(4)、检验。
容易验证此收入在已知各种客房定价的对应收入中确实是最大的.这可从下面表格中看出。
如果为了便于管理.那么定价140元也是可以的.因为这时它与最高收入只差元。
如果每间客房定价为180元.住房率为45%.其相应收入只有12150元。由此可见假设
①是合理的。实际上二次函数在之内只有一个极值点。
3、已知∠AOB及点P.连接OP.若P点不在OB边上.且∠BOP表示以OB为始边、按逆时针方向旋转到OP的角.试比较∠AOB与∠BOP的大小。
答：可以有多种情形。
情形一：∠AOB < ∠BOP
情形二：∠AOB > ∠BOP
情形三：∠AOB =∠BOP
数学思想方法作业4答案
一、简答题
1、简述《国家数学课程标准》的几个主要特点。
答：2001年6月教育部推行了试用的九年义务教育阶段《国家数学课程标准》(实验稿).充分体现了数学课程改革与发展的内涵、特点和具体目标.并呈现下列八个特点：
1）、把“现实数学”作为数学课程的一项内容。即为学生准备的数学应该是与现实世界密切联系的数学.且能够在实际中得到应用的数学。
2）、把“数学化”作为数学课程的一个目标。学生学习数学化的过程是将学生的现实数学进一步提高、抽象的过程。
3）、把“再创造”作为数学教育的一条原则。把“已完成的数学”当成是“未完成的数学”来教.给学生提供“再创造”的机会。
4）、把“问题解决”作为数学教学的一种模式。《数学课程标准》在“学段目标”中的“解决问题”方面的具体阐述.实际上提出了“问题解决”的教学模式.即：情境—问题—探索—结论—反思。
5）、把“数学思想方法”作为课程体系的一条主线。要求学生掌握基本的数学思想方法。
6）、把“数学活动”作为数学课程的一个方面。强调学生的数学活动.注重“向学生提供充分从事数学活动的机会”.帮助他们“获得广泛的数学活动的经验”。
7）、把“合作交流”看成学生学习数学的一种方式。要让学生在解决问题的过程中“学会与他人合作”.并能“与他人交流思维的过程和结果”。
8）、把“现代信息技术”作为学生学习数学的一种工具。
2、简述数学思想方法教学的几个主要阶段。
答：学生理解数学思想方法要经历潜意识阶段、明朗化阶段、深化理解三个阶段。
二、论述题
1、试述小学数学加强数学思想方法教学的重要性。
答：数学思想方法是联系知识与能力的纽带.是数学科学的灵魂.它对发展学生的数学能力.提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。具体表现在：
(1)掌握数学思想方法能更好地理解数学知识。
(2)数学思想方法对数学问题的解决有着重要的作用。
(3)加强数学思想方法的教学是以学生发展为本的必然要求。
2、简述数学思想方法教学应注意哪些事项
答：数学思想方法教学应注意以下事项：
(1)把数学思想方法的教学纳入教学目标；
(2)重视数学知识发生、发展的过程.认真设计数学思想方法教学的目标；
(3)做好数学思想方法教学的铺垫工作和巩固工作；
(4)不同数学思想方法应有不同的教学要求；
(5)注意不同数学思想方法的综合应用。
三、分析题
1.利用下列材料.请你设计一个“数形结合”教学片断。
材料：如图13-3-18所示.相邻四点连成的小正方形面积为1平方厘米。(1)分别连接各点.组成下面12个图形.你发现有什么排列规律(2)求出各图形外面一周的点子数、中间的点子数以及各图形的面积.找出一周的点子数、中间的点子数、各图形的面积三者之间的关系。
提示：所设计的教学片断要求(1)对于第一个问题.体现教师引导学生观察图形的特点(可以是独立思考.也可以是小组讨论).然后组织学生交流各自的理解.师生共同(完全)归纳概括出规律的过程。(2)对于第二个问题.要充分展示学生结合“数”与“形”来考察问题的思维过程。教师所起的主导作用就是引导学生分析同一图中我们需要考察哪些“数”由于这里涉及到三个方面的数量关系.教师同时还要进行学法指导.使学生获得这样的策略：当所要考察的图形的数量关系较复杂时.除了灵活运用数形结合方法外.还可用列表的形式来帮助分析。解答提示：(一)、列表分析(也可以只列举部分图形分析)
(二)、观察、归纳：(限于篇幅只列举部分图形分析)
图形(1)的面积：4÷2＋0－1=1
图形(3)的面积：8÷2＋0－1=3
图形(5)的面积：4÷2＋1－1=2
图形(8)的面积：14÷2＋1－1=7
图形(9)的面积：4÷2＋2－1=3
图形(11)的面积：8÷2＋2－1=5
图形(12)的面积：14÷2＋2－1=8
(三)、总结规律：
图形的面积与格点数满足关系：
面积＝边上的点数÷2＋内部点数－1
(四)、教学设计
一、找图的排列规律
师：同学们看图.找出图的排列规律来。（学生可以讨论）
生：老师我们发现.第一行的图中间没有点.第二行的图中间有一个点.第三行的图中间有两个点。
师：非常好！
二、数一数每个图周边的点数
师：现在我们来数一数每个图周边的点数。并将结果填入下列表中。（师生一起数）三、计算面积
师：数完边点数.我们再来计算每个图的面积。结果也填入表中。（师生一起计算面积.过程略）
四、寻找每一列三个数之间的规律
师：我们根据这个表.找一找每列三个数之间的关系。告诉同学们.希望找到相同的规律。
生：第一列.边点数等于面积乘以4。
师：这个规律能否用到第二列呢
生：不能.因为6不等于2乘以4。
生2：第一列.边点数除以2.减去面积等于1。
师：好！看看这个规律能否用到第二列
生：能。还能用到第三、第四列。
生2：老师.这个规律不能用到第五列。
师：很好！我们看看这个规律到第五列可以怎样改一改。
生：我发现了.边点数除以2.加上内点数.再减去面积等于1。
师：非常好！大家一起算一算.是不是每一列都具有这个规律。
五、总结
师：我们把发现的规律总结成公式：
边点数/2＋内点数－面积＝1
也可以写为：
边点数/2＋内点数－1＝面积
2. 假定学生已有了除法商的不变性知识和经验.在学习分数的性质时.请你设计一个“分类法”教学片断。
解答：材料如下：
提示：所设计的教学片断要求(1)依据给定的材料设计一个学生动手操作的活动.让学生分一分.想一想.说一说.充分展示学生对分类的思考.交流各种不同分法的依据.并通过反思不同分法找出分类的标准；(2)体现教师引导学生归纳概括“分类方法”的过程.并开展学法指导.使学生获得“单一标准下分类方法”的策略。
2、假定学生已有了除法商的不变性知识经验.在学习分数的性质时.请你设计一个孕育“类比法”教学片断。
提示：所设计的教学片断要求(1)以小组合作探究的形式.让学生举例说明除法的被除数和除数与分数的分子和分母之间存在什么样的关系(相似关系)商与分数又有什么关系(相似关系)那么与被除数、除数同时扩大或缩小相同的倍数其商不变相似的结论又是什么呢通过一系列层层递进式的问题情境.把学生的思维导向分数与商相似的特征上来.创设学生自主探究分数的性质的全过程；(2)教学设计要体现教师引导学生归纳概括“分数的性质”的过程.并重视学习方法指导.使学生初步领会用“类比法”获取新知识的策略。
解答提示：(一)、列表类比(教师引导.师生共同描述除法的性质.再由学生通过类比归纳出分数的性质)
注：性质（三）、（四）作为扩展学习内容(应根据学生的实际情况取舍)
(二)教学设计
一、回忆除法和分数的有关概念
师：同学们还记得除法的哪些概念和记号
生：被除数÷除数＝商
师：对。我们再回忆分数的概念和记号。
生：。
师：好。大家一起来比较这两个概念的相似性。
生：商好比分数.被除数好比分子。除数好比分母。
二、回忆除法的性质
师：很好。现在我们回忆除法有哪些性质。
生：被除数与除数同时扩大.商不变。
生2：被除数与除数同时缩小.商也不变。
三、类比出分数的性质
师：对。刚才我们知道商好比分数.因此我们可以问：除法的这些性质是否可以类比到分数上来呀
生：可以。
师：应该怎样类比呢
生：分子与分母同时扩大.分数不变。
生2：分子与分母同时缩小.分数不变。
四、总结成公式
师：很好！这些性质怎样用公式表示呢
生：可以列表如下：
4）
一、简答题1．简述《国家数学课程标准》的几个主要特点（189页）。解答：2001年6月教育部推行了试用的九年义务教育阶段《国家数学课程标准》(实验稿).充分体现了数学课程改革与发展的内涵、特点和具体目标.并呈现下列八个特点：第一、把“现实数学”作为数学课程的一项内容。即为学生准备的数学应该是与现实世界密切联系的数学.且能够在实际中得到应用的数学。第二、把“数学化”作为数学课程的一个目标。学生学习数学化的过程是将学生的现实数学进一步提高、抽象的过程。第三、把“再创造”作为数学教育的一条原则。把“已完成的数学”当成是“未完成的数学”来教.给学生提供“再创造”的机会。第四、把“问题解决”作为数学教学的一种模式。《数学课程标准》在“学段目标”中的“解决问题”方面的具体阐述.实际上提出了“问题解决”的教学模式.即：情境—问题—探索—结论—反思。第五、把“数学思想方法”作为课程体系的一条主线。要求学生掌握基本的数学思想方法。第六、把“数学活动”作为数学课程的一个方面。强调学生的数学活动.注重“向学生提供充分从事数学活动的机会”.帮助他们“获得广泛的数学活动的经验”。第七、把“合作交流”看成学生学习数学的一种方式。要让学生在解决问题的过程中“学会与他人合作”.并能“与他人交流思维的过程和结果”。第八、把“现代信息技术”作为学生学习数学的一种工具。
2．简述数学思想方法教学的主要阶段（198页）。解答：数学思想方法教学主要有三个阶段：多次孕育、初步理解和简单应用阶段。这对应学生理解掌握数学思想方法的三个阶段.即：潜意识、明朗化和深刻理解阶段。
二、论述题1．试述小学数学加强数学思想方法教学的重要性（191页）。解答：数学思想方法是联系知识与能力的纽带.是数学科学的灵魂.它对发展学生的数学能力.提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。具体表现在：(1)掌握数学思想方法能更好地理解数学知识。(2)数学思想方法对数学问题的解决有着重要的作用。(3)加强数学思想方法的教学是以学生发展为本的必然要求。
2．简述数学思想方法教学应注意哪些事项（205页）。解答：数学思想方法教学应注意以下事项：(1)把数学思想方法的教学纳入教学目标；(2)重视数学知识发生、发展的过程.认真设计数学思想方法教学的目标；(3)做好数学思想方法教学的铺垫工作和巩固工作；(4)不同数学思想方法应有不同的教学要求；(5)注意不同数学思想方法的综合应用。
三、分析题1．利用下列材料.请你设计一个“数形结合”教学片断。材料：如图13-3-18所示.相邻四点连成的小正方形面积为1平方厘米。(1)分别连接各点.组成下面12个图形.你发现有什么排列规律(2)求出各图形外面一周的点子数、中间的点子数以及各图形的面积.找出一周的点子数、中间的点子数、各图形的面积三者之间的关系。
教学片断设计如下：一、找图的排列规律
师：同学们看图.找出图的排列规律来。（学生可以讨论）生：老师我们发现.第一行的图中间没有点.第二行的图中间有一个点.第三行的图中间有两个点。师：非常好！
二、数一数每个图周边的点数
师：现在我们来数一数每个图周边的点数。并将结果填入下列表中。（师生一起数）三、计算面积
师：数完边点数.我们再来计算每个图的面积。结果也填入表中。（师生一起计算面积.过程略）
四、寻找每一列三个数之间的规律
师：我们根据这个表.找一找每列三个数之间的关系。告诉同学们.希望找到相同的规律。生：第一列.边点数等于面积乘以4。师：这个规律能否用到第二列呢生：不能.因为6不等于2乘以4。生2：第一列.边点数除以2.减去面积等于1。师：好！看看这个规律能否用到第二列生：能。还能用到第三、第四列。生2：老师.这个规律不能用到第五列。师：很好！我们看看这个规律到第五列可以怎样改一改。生：我发现了.边点数除以2.加上内点数.再减去面积等于1。师：非常好！大家一起算一算.是不是每一列都具有这个规律。
五、总结 师：我们把发现的规律总结成公式：边点数/2＋内点数－面积＝1 也可以写为：边点数/2＋内点数－1＝面积
2．假定学生已有了除法商的不变性知识和经验.在学习分数的性质时.请你设计一个孕育“类比法”教学片断。提示：所设计的教学片断要求(1)以小组合作探究的形式.让学生举例说明除法的被除数和除数与分数的分子和分母之间存在什么样的关系(相似关系)商与分数又有什么关系(相似关系)那么与被除数、除数同时扩大或缩小
相同的倍数其商不变相似的结论又是什么呢通过一系列层层递进式的问题情境.把学生的思维导向分数与商相似的特征上来.创设学生自主探究分数的性质的全过程；(2)教学设计要体现教师引导学生归纳概括“分数的性质”的过程.并重视学习方法指导.使学生初步领会用“类比法”获取新知识的策略。 教学片断设计如下：一、回忆除法和分数的有关概念
师：同学们还记得除法的哪些概念和记号生：被除数÷除数＝商师：对。我们再回忆分数的概念和记生：。师：好。大家一起来比较这两个概念的相似性。生：商好比分数.被除数好比分子。除数好比分母。 二、回忆除法的性质
师：很好。现在我们回忆除法有哪些性质。生：被除数与除数同时扩大.商不变。生2：被除数与除数同时缩小.商也不变。 三、类比出分数的性质
师：对。刚才我们知道商好比分数.因此我们可以问：除法的这些性质是否可以类比到分数上来呀生：可以。师：应该怎样类比呢生：分子与分母同时扩大.分数不变。生2：分子与分母同时缩小.分数不变。 四、总结成公式
师：很好！这些性质怎样用公式表示呢生：可以列表如下：
数学思想与方法作业3一、简答题1、简述计算和算法的含义。答：计算是指根据已知数量通过数学方法求得未知数的过程.是一种最基本的数学思想方法。随着电子计算机的广泛应用.计算的重要意义更加凸现.主要表现在以下几个方面：(1)推动了数学的应用；(2)加快了科学的数学化进程；(3)促进了数学自身的发展。算法是由一组有限的规则所组成的一个过程。所谓一个算法它实质上是解决一类问题的一个处方.它包括一套指令.只要按照指令一步一步地进行操作.就能引导到问题的解决。在一个算法中.每一个步骤必须规定得精确和明白.不会产生歧义.并且一个算法在按有限的步骤解决问题后必须结束。数学中的许多问题都可以归结为寻找算法或判断有无算法的问题.因此.算法对数学中的许多问题的解决有着决定性作用。另外.算法在日常生活、社会生产和科学技术中也有着重要意义。算法在科学技术中的意义主要体现在如下几个方面：(1)用于表述科学结论的一种形式；(2)作为表述一个复杂过程的方法；(3)减轻脑力劳动的一种手段；(4)作为研究和解决新问题的手段；(5)作为一种基本的数学工具。
2、简述数学教学中引起“分类讨论”的原因。答：数学教学中引起“分类讨论”的原因有：数学中的许多概念的定义是分类给出的.因此涉及到这些概念时要分类讨论；数学中有些运算性质、运算法则是分类给出的.进行这类运算时要分类讨论；有些几何问题.根据题设不能只用一个图形表达.必须全面考虑各种不同的位置关系.需要分类讨论；许多数学问题中含有字母参数.随着参数取值不同.会使问题出现不同的结果。因此需要对字母参数的取值情况进行分类讨论。
二、论述题1、什么是数学模型方法并用框图表示MM方法解题的基本步骤。答：所谓数学模型方法是利用数学模型解决问题的一般数学方法.简称MM方法。
2、特殊化方法在数学教学中有哪些应用答：特殊化方法在数学教学中的应用大致有如下几个方面：利用特殊值(图形)解选择题；利用特殊化探求问题结论；利用特例检验一般结果；利用特殊化探索解题思路。
三、计算题1、用程序框图表述如下问题的求解过程：在1～500中.找出能同时满足用3除余2.用5除余3.用7除余2的所有整数。解：设计算法：(1)给出初始值I=9（因为小于等于8的数显然不满足条件）。(2)判断I的值是否小于或等于500；若是.则进一步判断I是否满足用3除余2.用5除余3.用7除余2三个条件.若满足则输出I.否则I递增1。(3)返回第(2)步.直至I大于500.结束。画出程序框图如下图8-1：
2、一个星级旅馆有150个房间。经过一段时间的经营实践.经理得到数据：如果每间客房定价为160元.住房率为55%；如果每间客房定价为140元.住房率为65%；如果每间客房定价为120元.住房率为75%；如果每间客房定价为100元.住房率为85%。欲使每天收入提高.问每间住房的定价应是多少解：(1)、弄清实际问题加以化简。经分析.为了建立旅馆一天收入的数学模型.可作如下假设：①设每间客房的最高定价为160元；②根据题中提供的数据.设随着房价的下降.住房率呈线性增长；③设
旅馆每间客房定价相等。(2)、建立数学模型。根据题意.设表示旅馆一天的总收入.为与160元相比降低的房价。由假设②.可得每降低1元房价.住房率增加为因此一天的总收入为由于。于是问题归结为：当时.求的最大值点.即求解(3)、模型求解。将(＊)左边除以(150×得由于常数因子对求最大值没有影响.因此可化为求的最大值点。利用配方法得易知当=25时最大.因此可知最大收入对应的住房定价为160元－25元=135元相应的住房率为+×25=%最大收入为150×135×%=(元)(4)、检验。容易验证此收入在已知各种客房定价的对应收入中确实是最大的.这可从下面表格中看出。
如果为了便于管理.那么定价140元也是可以的.因为这时它与最高收入只差元。如果每间客房定价为180元.住房率为45%.其相应收入只有12150元。由此可见假设①是合理的。实际上二次函数在之内只有一个极值点。
3、已知∠AOB及点P.连接OP.若P点不在OB边上.且∠BOP表示以OB为始边、按逆时针方向旋转到OP的角.试比较∠AOB与∠BOP的大小。答：可以有多种情形。情形一：∠AOB < ∠BOP情形二：∠AOB > ∠BOP情形三：∠AOB =∠BOP
一、简答题1、分别简单叙说算术与代数的解题方法基本思想.并且比较它们的区别。答：算术解题方法的基本思想：首先要围绕所求的数量. 收集和整理各种已知的数据.并依据问题的条件列出关于这些具体数据的算式.然后通过四则运算求得算式的结果。代数解题方法的基本思想是：首先依据问题的条件组成内含已知数和未知数的代数式.并按等量关系列出方程.然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值。它们的区别在于算术解题参与的量必须是已知的量.而代数解题允许未知的量参与运算；算术方法的关键之处是列算式.而代数方法的关键之处是列方程。
2、比较决定性现象和随机性现象的特点.简单叙说确定数学的局限。答：人们常常遇到两类截然不同的现象.一类是决定性现象.另一类是随机现象。决定性现象的特点是：在一定的条件下.其结果可以唯一确定。因此决定性现象的条件和结果之间存在着必然的联系.所以事先可以预知结果如何。随机现象的特点是：在一定的条件下.可能发生某种结果. 也可能不发生某种结果。对于这类现象.由于条件和结果之间不存在必然性联系。在数学学科中.人们常常把研究决定性现象数量规律的那些数学分支称为确定数学。用这些的分支来定量地描述某些决定性现象的运动和变化过程.从而确定结果。但是由于随机现象条件和结果之间不存在必然性联系.因此不能用确定数学来加以定量描述。同时确定数学也无法定量地揭示大量同类随机现象中所蕴涵的规律性。这些是确定数学的局限所在。
二、论述题1、论述社会科学数学化的主要原因。答：从整个科学发展趋势来看.社会科学的数学化也是必然的趋势.其主要原因可以归结为有下面四个方面：第一.社会管理需要精确化的定量依据.这是促使社会科学数学化的最根本的因素。第二.社会科学的各分支逐步走向成熟.社会科学理论体系的发展也需要精确化。第三.随着数学的进一步发展.它出现了一些适合研究社会历史现象的新的数学分支。第四.电子计算机的发展与应用.使非常复杂社会现象经过量化后
可以进行数值处理。
2、论述数学的三次危机对数学发展的作用。答：第一次数学危机促使人们去认识和理解无理数.导致了公理几何与逻辑的产生。第二次数学危机促使人们去深入探讨实数理论.导致了分析基础理论的完善和集合论的产生。第三次数学危机促使人们研究和分析数学悖论.导致了数理逻辑和一批现代数学的产生。由此可见.数学危机的解决.往往给数学带来新的内容.新的进展.甚至引起革命性的变革.这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史.斗争的结果就是数学领域的发展
三、分析题1、分析《几何原本》思想方法的特点.为什么答：（1）封闭的演绎体系因为在《几何原本》中.除了推导时所需要的逻辑规则外. 每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理.并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求.原则上不再依赖其它东西。因此《几何原本》是一个封闭的演绎体系。另外.《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题.因此对于社会生活的各个领域来说.它也是封闭的。所以.《几何原本》是一个封闭的演绎体系。（2）抽象化的内容：《几何原本》中研究的对象都是抽象的概念和命题.它所探讨的是这些概念和命题之间的逻辑关系.不讨论这些概念和命题与社会生活之间的关系.也不考察这些数学模型所由之产生的现实原型。因此《几何原本》的内容是抽象的。（3）公理化的方法：《几何原本》的第一篇中开头5个公设和5个公理.是全书其它命题证明的基本前提.接着给出23个定义.然后再逐步引入和证明定理。定理的引入是有序的.在一个定理的证明中.允许采用的论据只有公设和公理与前面已经证明过的定理。以后各篇除了不再给出公设和公理外也都照此办理。这种处理知识体系与表述方法就是公理化方法。
2、分析《九章算术》思想方法的特点.为什么答：（1）开放的归纳体系：从《九章算术》的内容可以看出.它是以应用问题解法集成的体例编纂而成的书.因此它是一个与社会实践紧密联系的开放体系。在《九章算术》中通常是先举出一些问题.从中归纳出某一类问题的一般解法；再把各类算法综合起来.得到解决该领域中各种问题的方法；最后.把解决各领域中问题的数学方法全部综合起来.就得到整个《九章算术》。另外该书还按解决问题的不同数学方法进行归纳.从这些方法中提炼出数学模型.最后再以数学模型立章写入《九章算术》。因此.《九章算术》是一个开放的归纳体系。（2）算法化的内容：《九章算术》在每一章内先列举若干个实际问题.并对每个问题都给出答案.然后再给出“术”.作为一类问题的共同解法。因此.内容的算法化是《九章算术》思想方法上的特点之一。（3）模型化的方法：《九章算术》各章都是先从相应的社会实践中选择具有典型意义的现实原型.并把它们表述成问题.然后通过“术”使其转化为数学模型。当然有的章采取的是由数学模型到原型的过程.即先给出数学模型.然后再举出可以应用的原型。
数学思想与方法作业2一、简答题1、叙述抽象的含义及其过程。答：抽象是指在认识事物的过程中.舍弃那些个别的、偶然的非本质属性.抽取普遍的、必然的本质属性.形成科学概念.从而把握事物的本质和规律的思维过程。人们在思维中对对象
的抽象是从对对象的比较和区分开始的。所谓比较.就是在思维中确定对象之间的相同点和不同点；而所谓区分.则是把比较得到的相同点和不同点在思维中固定下来.利用它们把对象分为不同的类。然后再进行舍弃与收括.舍弃是指在思维中不考虑对象的某些性质.收括则是指把对象的我们所需要的性质固定下来.并用词表达出来。这就形成了抽象的概念.同时也就形成了表示这个概念的词.于是完成了一个抽象过程。
2、叙述概括的含义及其过程。答：概括是指在认识事物属性的过程中.把所研究各部分事物得到的一般的、本质的属性联系起来.整理推广到同类的全体事物.从而形成这类事物的普遍概念的思维过程。概括通常可分为经验概括和理论概括两种。经验概括是从事实出发.以对个别事物所做的观察陈述为基础.上升为普遍的认识——由对个体特性的认识上升为对个体所属的种的特性的认识。理论概括则是指在经验概括的基础上.由对种的特性的认识上升为对种所属的属的特性的认识.从而达到对客观世界的规律的认识。在数学中经常使用的是理论概括。一个概括过程包括比较、区分、扩张和分析等几个主要环节。
3、简述公理方法历史发展的各个阶段答：公理方法经历了具体的公理体系、抽象的公理体系和形式化的公理体系三个阶段。第一个具体的公理体系就是欧几里得的《几何原本》。非欧几何是抽象的公理体系的典型代表。希尔伯特的《几何基础》开创了形式化的公理体系的先河.现代数学的几乎所有理论都是用形式公理体系表述出来的.现代科学也尽量采用形式公理法作为研究和表述手段。
4、简述化归方法并举例说明。答：所谓“化归”.从字面上看.应可理解为转化和归结的意思。数学方法论中所论及的“化归方法”是指数学家们把待解决或未解决的问题.通过某种转化过程.归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中去.最终求获原问题之解答的一种手段和方法。例如：要求解四次方程可以令.将原方程化为关于的二次方程这个方程我们会求其解：和.从而得到两个二次方程：和这也是我们会求解的方程.解它们便得到原方程的解：. . . .这里所用的就是化归方法。
二、论述题
1、叙述不完全归纳法的推理形式.并举一个应用不完全归纳法的例子。答：不完全归纳法的一般推理形式是：设S=；由于具有属性p.具有属性p.……具有属性p.因此推断S类事物中的每一个对象都可能具有属性p。
2、叙述类比推理的形式。如何提高类比的可靠性答：类比推理通常可用下列形式来表示：
A具有性质
B具有性质
因此.B也可能具有性质。
其中.分别相同或相似。欲提高类比的可靠性.应尽量满足条件：
(1)A与B共同(或相似)的属性尽可能地多些；(2)这些共同(或相似)的属性应是类比对象A与B的主要属性；(3)这些共同(或相似)的属性应包括类比对象的各个不同方面.并且尽可能是多方面的；(4)可迁移的属性d应该是和属于同一类型。符合上述条件的类比.其结论的可靠性虽然可以得到提高.但仍不能保证结论一定正确。
数学方法论
1方法论，就是人们认识世界、改造世界的一般方法，是人们用什么样的方式、方法来观察事物和处理问题。概括地说，世界观主要解决世界“是什么”的问题，方法论主要解决“怎么办”的问题。 2方法是人们在认识和改造客观世界中所采用的方式、手段的总称 3数学方法论是研究数学的发展规律，数学的思想方法以及数学中的发现发明，与创新法则的一门学问。 4数学方法论的研究意义:一有利于培养数学能力与改革数学教育二，有利于充分发挥数学的功能三有利于深刻认识数学本质与全面把握数学发展规律 5合情推理:归纳法，类比法，演绎推理；非逻辑推理:数学美学法，直觉法；数学问题的来源:（外）哥尼斯堡七桥问题，（内）哥德巴赫猜想，一笔画问题 6波利亚怎样解题表:理解题目，拟定方案，执行方案，检查回顾 7数学典型方法:模型法，公理法（布尔巴基），构造法（直觉），化归法 8数学解题的四种模式:双轨迹模式，笛卡尔模式，递归模式，叠加模式 数学问题在数学发展以及数学教育的意义 （一）数学问题的形成、来源及其在数学历史进程中的重要作用 数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学，正如恩格斯所说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，所以是非常现实的材料。”当人们与客观世界产生接触，从数量关系或空间形式的角度反映出认识与客观世界的矛盾时，就形成了问题。以数学为内容，或者虽不以数学为内容，但必须运用数学概念、理论或方法才能解决的问题称为数学问题。希尔伯特在1900年巴黎国际数学家代表大会上以“数学问题”为题发表演讲时说：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新方法和新观点，达到更为广阔和自由的境界。” 由于数学问题包含着有关数学的疑问因素和未知方面，所以，在数学的学习和研究中，对已有的数学概念或结论产生疑问，或者对数学的未知领域进行探索时，都会提出一些不同问题。但是，教学中所要解决的并不是那些尚未解决的数学问题，而是前人已有的数学知识的再发现。只有提出问题，让学生明了产生问题的情境，才能引起学生有目的的思考。正是由于学生把特定的数学问题确定为自己努力攻克的方向，才能使思维活动以一定的方法、在一定的范围内进行，才能激发学生的创造热情，不断冲击头脑中旧有的认知结构，不断构建新的认知结构。 数学问题来源于人类的生产、生活实践，来源于人们了解自然、认识自然的科技活动。古代巴比伦人在观测天文、丈量土地和进行贸易中形成了位值观念和六十进制数系，并发现了大量数表、计算方法以及包括解一元二次方程在内的许多数学问题。早在公元前5世纪，古希腊人就已经形成后来被称为几何三大作图问题的倍立方问题、三等分任意角问题和化圆为方问题。成书于公元1世纪前后的《九章算术》，集古代数学问题之大成，记载了我国古代劳动人民在生产、生活和社会活动中形成的各种数学问题246个。《九章算术》是我国古代传统数学中具有最深远影响的一部著作，它反映出我国古代数学是怎样从实际生活中分析出数量关系，建立数学模型，又怎样从研究具体的数学问题入手，通过抽象与归纳而得到解决问题的数学方法的。
(完整版)离散数学试卷及答案
离散数学试题（A卷答案） 一、（10分）求(P↓Q)→(P∧?(Q∨?R))的主析取范式 解：(P↓Q)→(P∧?(Q∨?R))??(?( P∨Q))∨(P∧?Q∧R)) ?(P∨Q)∨(P∧?Q∧R)) ?(P∨Q∨P)∧(P∨Q∨?Q)∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q)∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q∨(R∧?R))∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨?R)∧(P∨Q∨R) ? M∧1M ? m∨3m∨4m∨5m∨6m∨7m 2 二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。 乙说：王教授不是上海人，是苏州人。 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。 王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人？ 解设设P：王教授是苏州人；Q：王教授是上海人；R：王教授是杭州人。则根据题意应有： 甲：?P∧Q 乙：?Q∧P 丙：?Q∧?R 王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以，丙至少说对了一半。因此，可得甲或乙必有一人全错了。又因为，若甲全错了，则有?Q ∧P，因此，乙全对。同理，乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为：
((?P ∧Q )∧((Q ∧?R )∨(?Q ∧R )))∨((?Q ∧P )∧(?Q ∧R )) ?(?P ∧Q ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧?Q ∧R )∨(?Q ∧P ∧?Q ∧R ) ?(?P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧R ) ??P ∧Q ∧?R ?T 因此，王教授是上海人。 三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则由定理4.19知，tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系，则由闭包的定义知r (R )?'R 。由定理4.15和由定理4.16得sr (R )?s ('R )＝'R ，进而有tsr (R )?t ('R )＝'R 。 综上可知，tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 四、（15分）集合A ＝{a ，b ，c ，d ，e }上的二元关系R 为R ＝{，，，，，，，，
离散数学期末试题
离散数学考试试题（A 卷及答案） 一、（10分）求(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))的主析取范式 解：(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))??(?( P ∨Q ))∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q )∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q ∨P )∧(P ∨Q ∨?Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨(R ∧?R ))∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨?R )∧(P ∨Q ∨R ) ?0M ∧1M ?2m ∨3m ∨4m ∨5m ∨6m ∨7m 二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。 乙说：王教授不是上海人，是苏州人。 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。 王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人？ 解 设设P ：王教授是苏州人；Q ：王教授是上海人；R ：王教授是杭州人。则根据题意应有： 甲：?P ∧Q 乙：?Q ∧P 丙：?Q ∧?R 王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以，丙至少说对了一半。因此，可得甲或乙必有一人全错了。又因为，若甲全错了，则有?Q ∧P ，因此，乙全对。同理，乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为： ((?P ∧Q )∧((Q ∧?R )∨(?Q ∧R )))∨((?Q ∧P )∧(?Q ∧R )) ?(?P ∧Q ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧?Q ∧R )∨(?Q ∧P ∧?Q ∧R ) ?(?P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧R ) ??P ∧Q ∧?R ?T 因此，王教授是上海人。 三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系，则由闭包的定义知r (R )?' R 。则sr (R )?s ('R )＝'R ，进而有tsr (R )?t ('R )＝'R 。
数学方法论
chap1 数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律，数学的思想方法以及数学中的发现，发明与创新等法则的一门学问。 chap2 1.数学问题的来源 （1）外部世界的需求 哥尼斯堡七桥问题 四色问题 （2）数学内部产生的问题 几何三大难题 高次代数方程可解性问题 哥德巴赫猜想
第五公设问题 2.波利亚的数学解题表， 怎样解题表： 理解题目，拟定方案，执行方案，检验回顾。 3.解题模式 双轨迹模式 笛卡儿模式，将所有的问题都转化为代数解方程递归模式 叠加模式
chap3合情推理 1.类比推理是根据两个对象有部分属性相同或相似，从而推出它们的其它属性也相同或相似的推理，它是由特殊到特殊的思维过程 举一例 作用: （1）数与式的类比 （2）类比在求解问题中也有着广泛的应用 （3）类比可用于猜测进行检验 2.归纳法 归纳是指通过对特殊的观察和综合去发现一般规律。它是由特殊到一般的推理形式 归纳法的类型及特点 完全归纳法，是研究了某类事物中的每一个对象，然后概括出这类事物的一般性结论。 特点：1.对科学作用不大 2.有助于问题的证明或解答 不完全归纳法，是通过对某类事物中部分对象的研究，概括关于该类事物的一般结论。 作用，1有助于数学发现 2归纳推理具有或然性
3.数学归纳法 数学归纳法不属于合情推理，为演绎推理。 合情推理:前提是真，结论不一定为真 数学归纳法，前提是真，结论一定为真 常见的形式 第一数学归纳法 第二数学归纳法 反向归纳法 二重归纳法 4.数学合情推理在数学教育中的意义 （即归纳，类比，观察，实验） chap4 数学中的典型方法，包括数学公理化方法，数学模型方法，数学结构方法，数学构造方法 1.所谓公理化方法就是尽可能少的不加定义的原始概念和不加证明的原始命题（公里，公设）出发，按照逻辑规则推导出其他命题，建立起一个演绎系统的方法 公理化方法的现实原型，欧几里得的《几何原本》 数学公理化方法的特点与基本问题 特点:公理系统是一个有序的整体 公理系统是纯粹的演绎系统 公理系统是形式化的 $希尔伯特公理体系（数学公理化方法的产生与发展）
离散数学试题与答案
试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P:您努力,Q:您失败。 2、 “除非您努力,否则您将失败”符号化为 ; “虽然您努力了,但还就是失败了”符号化为 。 2、论域D={1,2},指定谓词P P (1,1) P (1,2) P (2,1) P (2,2) T T F F 则公式x ??真值为 。 3设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则 R= (列举法)。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1,2,3},则A 上既不就是对称的又不就是反对称的关系 R= ;A 上既就是对称的又就是反对称的关系R= 。 5、设代数系统
二、选择 1、在下述公式中就是重言式为( ) A.)()(Q P Q P ∨→∧; B.))()(()(P Q Q P Q P →∧→??; C.Q Q P ∧→?)(; D.)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为 ( )。 A.0; B.1; C.2; D.3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S 2 有( )个元素。 A.3; B.6; C.7; D.8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有( )个分块。 A.4; B.5; C.6; D.9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为 则R 具有( )性质。 A.自反性、对称性、传递性; B.反自反性、反对称性; C.反自反性、反对称性、传递性; D.自反性 。 6、设 ο,+ 为普通加法与乘法,则( )>+<ο,,S 就是域。 A.},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B.},,2|{Z b a n x x S ∈== C.},12|{Z n n x x S ∈+== D.}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。 7、下面偏序集( )能构成格。
大学高等数学下考试题库(及答案)
一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（ ）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+
10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2）
离散数学期末试题及答案完整版
离散数学期末试题及答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )， )(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二．1. 若n B m A ==||,||，则=?||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射. 3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→； (4)q q p p →∨∧?)(； (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ).
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .
数学方法论
数学方法论 1研究数学方法论的意义和目的 什么叫方法论？方法论（methodology）就是把某种共同的发展规律和研究方法作为对象的一门学问。如所知，各门科学都有方法论，数学当然也有它自已的方法论。 数学方法论主要是研究和讨论数学的发展、数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学问。 数这是一门工具性很强的科学，它和别的科学比较起业还具有较高的抽象性特征，为了有效地发展它、改进它、应用它或者把它很好地传授给学生们，就需要对这门科学的发展规律、研究方法、发现与发明等法则有所掌握。因此，数学研究工作者、数学业教师、科技工作者，以及高年级大学生、研究生等都需要知道一些数学方法论。 由于数学领域的许多概念与理论题材都是通过人脑的抽象思维形式表现出来的，这里不仅包含有思维对象（数学本体）的辩证法，而且还有着思维运动过程（认识与反映过程）的辩证法，所以数学方法论还给哲学家、自然辩证法研究工作者以及心理学家们提供了值得分析研究的素材。凡是看过恩格斯《自然
辩证法》的读者都知道，即使在初等数学里也充满着辨证法。 我们又知道，数学方法论中的许多方法和原理是从数学发展史中总结归纳出来的，所以数学工作者还必须学习一点数学史。 从近代数发展史中，我们看到有许多杰出的数学家曾转绕着数学基础问题展开了一系列争论，以致形成了各个著名的流派，如逻辑主义派、直觉主义派、形式主义派与柏拉图主义派等。直到现今，这些流派的观点主张对数学体系的内在发展，还产生着不同程度的影响。 各个数学流派对数学基础问题的研究，各有其方法论主张。事实上，他们各有所偏，各有所见。只有运用科学的反映论，才能从他们的观点主张中分析总结出较为正确的数学方法论观点。因此，对于今日的数学工作者来说，无论为了掌握、运用或者去发展数学方法论，都必须自觉地采取科学的反映观点（即辩证法的反映观点）去考察问题和分析问题。 2宏观方法论与微观的方法论 数学科学的发展规律可以从数学发展史的丰富材料中归纳分析出来。由于数学史是人类社会科学技术发展史的一个组成部分，数学发展的巨大动力源泉
离散数学期末试卷及答案
一．判断题（共10小题，每题1分，共10分） 在各题末尾的括号内画 表示正确，画 表示错误： 1．设p、q为任意命题公式，则(p∧q)∨p ? p ( ) 2．?x(F(y)→G(x)) ? F(y)→?xG(x)。( ) 3．初级回路一定是简单回路。( ) 4．自然映射是双射。( ) 5．对于给定的集合及其上的二元运算，可逆元素的逆元是唯一的。( ) 6．群的运算是可交换的。( ) 7．自然数集关于数的加法和乘法
列为。 19．n阶无向简单连通图G的生成树有条边。 20．7阶圈的点色数是。 三、运算题（共5小题，每小题8分，共40分） 21．求?xF(x)→?yG(x,y)的前束范式。 22．已知无向图G有11条边，2度和3度顶点各两个，其余为4度顶点，求G 的顶点数。 23．设A={a,b,c,d,e,f}，R=I A?{
(完整)高等数学考试题库(附答案)
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）. （A ）4 24arctan 1x dx x π π-+? （B ）44 arcsin x x dx ππ-? （C ）112x x e e dx --+? （D ）()121sin x x x dx -+? 10．设() f x 为连续函数，则()1 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ） ()()11102f f -????（C ）()()1 202 f f -????（D ）()()10f f - 二．填空题（每题4分，共20分） 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3．21 x y x =-的垂直渐近线有条. 4． ()21ln dx x x = +?. 5． ()4 22 sin cos x x x dx π π - += ?.
离散数学期末试卷A卷及答案
《离散数学》试卷（A 卷） 一、 选择题（共5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设A={1,2,3},B={2,3,4,5},C={2,3},则C B A ⊕?)(为(C )。 A 、{1,2} B 、{2,3} C 、{1,4,5} D 、{1,2,3} 2、下列语句中哪个是真命题 ( A ) A 、如果1+2=3，则4+5=9； B 、1+2=3当且仅当4+5≠9。 C 、如果1+2=3，则4+5≠9； D 、1+2=3仅当4+5≠9。 3、个体域为整数集合时，下列公式（ C ）不是命题。 A 、)*(y y x y x =?? B 、)4*(=??y x y x C 、)*(x y x x =? D 、)2*(=??y x y x 4、全域关系A E 不具有下列哪个性质（ B ）。 A 、自反性 B 、反自反性 C 、对称性 D 、传递性 5、函数612)(,:+-=→x x f R R f 是（ D ）。 A 、单射函数 B 、满射函数 C 、既不单射也不满射 D 、双射函数 二、填充题（共 5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设|A|=4，|P(B)|=32，|P(A ?B)|=128，则|A ?B|=??2???.
2、公式)(Q P Q ?∨∧的主合取范式为 。 3、对于公式))()((x Q x P x ∨?，其中)(x P ：x=1， )(x Q ：x=2，当论域为{0,1,2}时，其真值为???1???。 4、设A ＝{1,2,3,4}，则A 上共有???15????个等价关系。 5、设A ＝{a ，b ，c }，B={1,2},则|B A |= 8 。 三、判断题（对的填T ，错的填F ，共 10 小题，每题 1 分，共计10 分） 1、“这个语句是真的”是真命题。 （ F ） 2、“张刚和小强是同桌。”是复合命题。 （ F ） 3、))(()(r q q p p ∧?∧→?∨是矛盾式。 （ T ） 4、)(T S R T R S R ??????。 （ F ） 5、恒等关系具有自反性，对称性，反对称性，传递性。 （ T ） 6、若f 、g 分别是单射,则g f ?是单射。 （ T ） 7、若g f ?是满射，则g 是满射。 （ F ） 8、若A B ?，则)()(A P B P ?。 （ T ） 9、若R 具有自反性，则1-R 也具有自反性。 （ T ） 10、B A ∈并且B A ?不可以同时成立。 （F ） 四、计算题（共 3 小题，每题 10 分，共30 分） 1、调查260个大学生，获得如下数据：64人选修数学课程，94人选修计算机课程，58人选修商贸课程，28人同时选修数学课程和商贸课程，26人同时选修数学课程和计算机课程，22人同时选修计算机课程和商贸课程，14人同时选修三门课程。问 （１）三门课程都不选的学生有多少？ （２）只选修计算机课程的学生有多少？
数学史和数学方法论
第一部分数学史 第一章数学的起源和远古数学文献 1.计数意识的起源。 数学的起源和人类文明的起源几乎是同步的。恩格斯在《反杜林论》中指出：“和其他各门科学一样，数学是从人的需要中产生的，如丈量土地和测量容积，计算时间和制造器械。”“数”的概念萌发于早期人类对事物的计数，结绳与书契可能是所有早期文明中最主要的计数方法。随着文字的出现，人类开始用一些文字符号按照一定的规则表记数字，这些规则就是进位制和符号布列方式，它们是记数法的要素。在世界各地文明中，形成了各自独特的数字符号体系和记数方法,例如：简单分群数系、乘法分群数系、字码数系、定位数系（位值制）等。我们今天通常使用的记数方式就是10进制定位系统，与其它记数方法相比，它在计算上有明显的优势，被誉为人类社会进步的基础。 2.埃及的两种主要的数学纸草书、埃及数制，埃及几何的突出成就。 著名的古埃及纸草书有两份，这两份纸草书都直接书写着数学内容，一份叫“莫斯科纸草书”，大约出自公元前1850年左右，它包括25个数学问题。这份纸草书于1893年被俄国人戈兰尼采夫买得，也称之为“戈兰尼采夫纸草书”，现藏于莫斯科美术博物馆。另一份叫“莱因特纸草书”，大约成书于公元前1650年左右，开头写有“获知一切奥秘的指南”的字样，接着是作者阿默士从更早的文献中抄下来的85个数学问题。这份纸草书于1858年被苏格兰人莱因特购得，后为英国博物馆收藏。这两份纸草书是我们研究古埃及数学的重要资料，其内容丰富，记述了古埃及的记数法，整数四则运算，单位分数的独特用法，试位法，求几何图形的面积、体积问题，以及数学在生产、生活实践中的应用问题。 埃及数制：据史料记载，早在公元前4000年左右，埃及就有了象形文字，在这种文字中他们以10为基数进行记数。这些文字是用单独的图画来表示一个数的，1是垂直的木棍，10是放牛用的弯曲工具，102是一端卷起的测量绳，103是一朵莲花，104是竖着的手指，105是小鸟，106是举起双手受惊的人，107是太阳。古埃及人单独或重复使用这些符号并将其依次排起来就可表示所有的数。这种记数法虽然以10为基数，用的是十进制，但并非位值制。由于缺乏位值制概念，这种记数法也存在着许多困难，例如：25346就需要用上20个记数符号，这对于算术和代数的 发展是极为不利的。 埃及几何的突出成就：埃及几 何的突出成就是金字塔数学。古埃 及人留下来的数学文献极少，但现 存的活文献——金字塔，却给现代 人留下了许多数学之谜。多少年 来，许多学者对埃及金字塔都进行 了实地考察，对于建于公元前3000 年至公元前2000年的古建筑提出 了不少难解之谜，尤其围绕着最大 的金字塔——胡夫金字塔（建于约 前26世纪）提出了下面这些不可 思议的问题：（1）塔底每边长 232m，误差小于20cm，塔高 146.5m，东南西北角误差仅为 1.27cm，直角误差仅为12”，方位 误差在2’~5’之间，这样的精确 度就是现代建筑也望尘莫及。（2） 用来砌塔的石块达230万块之多， 重量从2.5吨到50吨不等，石块间 的接缝之小连铅笔刀也难以插入。 （3）塔高的10亿倍恰巧等于地球 到太阳的距离，而塔底与塔高的2 倍之比近似等于3.1416，这是公元 3世纪时人们才得到的圆周率的最 高精度。（4）穿过塔的子午线恰 好把地球上的陆地与海洋分为两 半，而塔的重心正好落在引力中心 线上。它充分体现了古埃及人精确 的几何测量技术和高超的建筑技 术。 3.巴比伦数制和解二次方程 的方法。普林顿322号泥板书的数 学意义。 巴比伦数制：巴比伦人采用 60进位制记数法，采用了位置值 制，其记数法主要用加法原则并辅 之以乘法原则，高位数写在低位数 之左。但是由于巴比伦的位值制没 有零的记号，所以巴比伦的位值制 记数法并不完善，它所表示的数需 根据上、下文才能确定。巴比伦人 经常使用分数，且其分母总是常数 60，巴比伦人把分数当作“整体” 看待而并不看做一的几分之几。由 此可见，巴比伦记数并不属于严格 的位值制记数法。 解二次方程的方法：巴比伦数 他 们用特殊的方法能够解出一些一 次、二次甚至三次、四次方程。例 如：问题——求一个数，使它与其 倒数之和等于给定的数。用现代记 号表示即相当于： 。 这实际上是相当于解x2－bx ＋1＝0这样的一元二次方程。对于 这个二次方程，巴比伦人给出的答 案是： 普林顿322号泥板书的数学 意义：关于巴比伦数学，很令人感 兴趣的是“普林顿322号”泥板书 即1923年由收藏家普林顿收藏、 现存于哥伦比亚大学珍本图书馆 的第322号收藏品。该品有4列数 字，共15行，其数字皆为楔形文 字，跟普通的账单一样。认真研究 就会发现：两列中的对应数字（除 4个例外）构成一边长为整数的直 角三角形的斜边和一个直角边。现 在人们把（3，4，5）这样一组能 作为直角三角形的边的正整数称 为毕氏三数。从中可以看到巴比伦 的数学成果是十分丰富的。 第二章希腊数学的兴起和 发展 1.泰勒斯发现的数学定理和初 创的证明，毕达哥拉斯学派、柏拉 图学派的主要数学成就。 泰勒斯（约公元前624~前547 年）是希腊数学史上第一个著名数 学家，在历史上享有“希腊科学之 父”美称，被誉为“希腊七贤之一”， 比我国孔子还早100年。他创立了 爱奥尼亚学派。他发现的数学定 理：（1 分；（2）等腰三角形的两底角相 等；（3）两直线相交时，对顶角 相等；（4）若已知三角形的一边 和两邻角，则此三角形完全确定； （5）半圆周角是直角。他初创的 证明：他关于“等腰三角形底角相 等”的证明是这样进行的：如图所 示，α=β，γ=δ（同一弓形的角）， α—γ=β—δ（等量减等量差相 等），则∠OAB=∠OBA。尽管当 时人们对于角的概念还不完善，但 这一证明并不失为早起数学证明 的典范。世界演绎几何正是从这里 开始的。 毕达哥拉斯学派：毕达哥拉斯 学派亦称“南意大利学派”，是一个 集政治、学术、宗教三位于一体的 组织。古希腊哲学家毕达哥拉斯所 创立。产生于公元前6世纪末，公 元前5世纪被迫解散，其成员大多 是数学家、天文学家、音乐家。它 是西方美学史上最早探讨美的本 质的学派。毕达哥拉斯学派以“万 物皆数”， 事物的性质是由某种数量关系 决定的，万物按照一定的数量比 例而构成和谐的秩序；据说毕达 哥拉斯学派最早发现了所谓“黄 金分割”规律，而获得关于比例 的形式美的规律。毕达哥拉斯学 派的美学观点是客观唯心主义 的，对柏拉图、新柏拉图主义及 文艺复兴时期的 名的“勾股定理”，据说，毕达哥 拉斯为了庆贺自己的业绩，杀了 一百头牛，也正是由于勾股定理 的发现，导致无理数的发现，由 此产生了第一次数学危机。 柏拉图学派的主要数学成就。 柏拉图学派的代表人物是 柏拉图（约前427年－前347年）， 他年轻时曾跟随希腊哲学家苏 格拉底学习哲学，受到逻辑思想 影响，尔后成为雅典举世瞩目的 大哲学家．柏拉图从毕达哥拉斯 学派吸收了许多数学观点，并运 用到自己的学说中，古希腊伟大 的哲学家，也是全部西方哲学乃至 整个西方文化最伟大的哲学家和 思想家之一，他和老师苏格拉底， 学生亚里士多德并称为古希腊三 大哲学家。他认为“数学是一切知 识中的最高形式”。公元前387年， 他在雅典城郊创办学园，世人称之 为柏拉图学园。该学园活动时间长 达900年，一直到公元529年学园 被封闭为止。柏拉图在数学的理想 思维上有重要贡献，他认为数学真 理只有通过概念思维才能被发现。 他坚持准确定义、清楚假设和逻辑 证明，并首先提出了系统的演绎推 理法则。柏拉图学派还发现了圆锥 曲线。 2.芝诺悖论，毕达哥拉斯—— 柏拉图的宇宙设计说，亚里士多德 的数学哲学。 芝诺悖论是古希腊数学家 芝诺提系 不可分性的哲学悖论。这些悖论 《物 理学》一书中而为后人所知。芝 诺提出这些悖论是为了支持他 老师巴门尼德关于“存在”不动、 是一的学说。这些悖论中最著名 的两个是：“阿基里斯跑不过乌 龟”和“飞矢不动”。这些方法现 解释，但还是无法用微积分解 决，因为微积分原理存在的前提 是存在广延（如，有广延的线段 经过无限分割，还是由有广延的 线段组成，而不是由无广延的点 组成。），而芝诺悖论中既承认广 延，又强调无广延的点。这些悖 论之所以难以解决，是因为它集 中强调后来笛卡尔和伽桑迪为 代表的的机械论的分歧点。这些 1/0=无 穷。
离散数学试卷及答案
填空10% （每小题 2 分） 1、若P，Q，为二命题，P Q 真值为0 当且仅当。 2、命题“对于任意给定的正实数，都存在比它大的实数” 令F（x）：x 为实数，L（x, y） : x y 则命题的逻辑谓词公式为。 3、谓词合式公式xP（x） xQ（x）的前束范式为。 4、将量词辖域中出现的和指导变元交换为另一变元符号，公式其余的部分不变，这种方法称为 换名规则。 5、设x 是谓词合式公式A的一个客体变元，A的论域为D，A（x）关于y 是自由的，则被称为存 在量词消去规则，记为ES。 选择25% （每小题分） 1、下列语句是命题的有（）。 A、明年中秋节的晚上是晴天； C、xy 0 当且仅当x 和y 都大于0； D 、我正在说谎。 2、下列各命题中真值为真的命题有（）。 A、2+2=4当且仅当3是奇数； B、2+2=4当且仅当 3 不是奇数； C、2+2≠4 当且仅当3是奇数； D、2+2≠4当且仅当 3 不是奇数； 3、下列符号串是合式公式的有（） A、P Q ； B、P P Q； C、( P Q) (P Q)； D、(P Q) 。 4、下列等价式成立的有（ ）。 A、P QQ P ； B、P(P R) R； C、P (P Q) Q； D 、P (Q R) (P Q) R。 5、若A1,A2 A n和B为 wff ，且A1 A2 A n B 则 （ ）。 A、称A1 A2 A n 为 B 的前 件； B 、称 B 为A1,A2 A n 的有效结论
C 、 x(M (x) Mortal (x)) ； D 、 x(M(x) Mortal (x)) 8、公式 A x(P(x) Q(x))的解释 I 为：个体域 D={2} ，P(x) ：x>3, Q(x) ：x=4则 A 的 真 值为（ ） 。 A 、 1； B 、 0； C 、 可满足式； D 、无法判定。 9、 下列等价关系正确的是（ ）。 A 、 x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x)； B 、 x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x)； C 、 x(P(x) Q) xP(x) Q ； D 、 x(P(x) Q) xP(x) Q 。 10 、 下列推理步骤错在（ ）。 ① x(F(x) G(x)) P ② F(y) G(y) US ① ③ xF(x) P ④ F(y) ES ③ ⑤G(y) T ②④I ⑥ xG(x) EG ⑤ A 、②； B 、④； C 、⑤； D 、⑥ 逻辑判断 30% 1、 用等值演算法和真值表法判断公式 A ((P Q) (Q P)) (P Q) 的类型。 C 、当且仅当 A 1 A 2 A n D 、当且仅当 A 1 A 2 A n B F 。 6、 A ，B 为二合式公式，且 B ，则（ ）。 7、 A 、 A C 、 A B 为重言式； B 、 B ； E 、 A B 为重言式。 人总是要死的”谓词公式表示为（ ）。 论域为全总个体域） M （x ） ： x 是人； Mortal(x) x 是要死的。 A 、 M (x) Mortal (x) ； B M (x) Mortal (x)
高等数学上考试试题及答案
四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 命题教师： 杨 勇 适用班级： 理工科本科 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项： 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B )
(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分）