[教师]九年级相似三角形动点问题

WORD格式整理 专业知识分享 相似三角形动点问题

一．选择题（共1小题） 1．如图，小正方形的边长均为1，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图5×5的方格中，作格点三角形和△ABC相似，则所作的格点三角形中，最小面积和最大面积分别为（ ）

A． 0.5，2.5 B． 0.5，5 C． 1，2.5 D． 1，5 解：如图所示，△DEF和△GHI分别是面积最小和面积最大的三角形．

因为△DEF，△GHI和△ABC都相似，AB=，DE=1，GH=， 所以它们的相似比为DE：AB=1：，GH：AB=：，

又因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，而△ABC的面积为2×1=1， 故△DEF和△GHI面积分别为0.5，5．故选B．

二．填空题（共10小题） 2．如图，P是Rt△ABC斜边AB上的动点（P异于A、B），∠C=90°，∠B=30°，过点P的直线截△ABC，使截得

的三角形与△ABC相似，当= 或或 时，截得的三角形面积为△ABC面积的．

解：设P（lx）截得的三角形面积为S，S=S△ABC

，则相似比为1：2，

①第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1∥AC， ∴，

②第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2∥BC， ∴，

③第3条l3，此时BP与BC为对应边，且= 九年级相似三角形动点问题 2 ∴， ④第4条l4，此时AP与AC为对应边，且 ，

∴=， ∴=， ∴当=或或时，截得的三角形面积为Rt△ABC面积的， 故答案为：或或．

3．如图，在正方形ABCD中，M是BC边上的动点，N在CO上，且，若AB=1，设BM=x，当x= 或 时，以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似．

相似三角形的性质；正方形的性质．，AB=1∴CN=×1=， ∵BM=x，∴CM=1﹣x， ①当CN与BM是对应边时，=，

即=解得x=， ②当CN与AB是对应边时，=，即=，解得x=． 综上所述，x的值是或．故答案为：或． 九年级相似三角形动点问题 3 4.在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（lx）（x为自然数）． （1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有 1 条；

（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当= 或或 时，P（lx）截得的三角形面积为△ABC面积的．

分析： （1）过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC，l3是第3条相似线； （2）按照相似线的定义，找出所有符合条件的相似线．总共有4条，注意不要遗漏． 解：（1）存在另外 1 条相似线． 如图1所示，过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC； 故答案为：1；

（2）设P（lx）截得的三角形面积为S，S=S△ABC

，则相似比为1：2．

如图2所示，共有4条相似线： ①第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1∥AC，∴=；

②第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2∥BC，∴=； ③第3条l3，此时BP与BC为对应边，且=，∴==；

④第4条l4，此时AP与AC为对应边，且=，∴==，∴=． 故答案为：或或． 九年级相似三角形动点问题

4 5．如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是 3秒或4.8秒 ．

动点型； 分析： 如果以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，由于A与A对应，那么分两种情况：①D与B对应；②D与C对应．根据相似三角形的性质分别作答． 解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似， 则AD=t，CE=2t，AE=AC﹣CE=12﹣2t． ①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC． ∴AD：AB=AE：AC，∴t：6=（12﹣2t）：12∴t=3；

②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB． ∴AD：AC=AE：AB，∴t：12=（12﹣2t）：6，∴t=4.8．

故当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．

三．解答题（共19小题） 1．如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点M从点A出发，以1cm∕秒的速度向点B运动，动点N从点C出发，以2cm∕秒的速度向点A运动，若两点同时运动，是否存在某一时刻t，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

动点型． 分析： 首先设经过t秒时，△AMN与△ABC相似，可得AM=t，CN=2t，AN=12﹣2t（0≤t≤6），然后分别从当MN∥BC时，△AMN∽△ABC与当∠AMN=∠C时，△ANM∽△ABC去分析，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案． 解：存在t=3秒或4.8秒，使以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似（无此过程不扣分） 设经过t秒时，△AMN与△ABC相似， 此时，AM=t，CN=2t，AN=12﹣2t（0≤t≤6）， （1）当MN∥BC时，△AMN∽△ABC，（1分）

则，即，（3分） 解得t=3；（5分）

（2）当∠AMN=∠C时，△ANM∽△ABC，（6分） 九年级相似三角形动点问题 5 则，即，（8分） 解得t=4.8；（10分） 故所求t的值为3秒或4.8秒．

2．已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题： （1）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与边OA，OB交于点C，D． ①在图甲中，证明：PC=PD；

②在图乙中，点G是CD与OP的交点，且PG=PD，求△POD与△PDG的面积之比； （2）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与边OB交于点D，OD=1，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，E，使以P，D，E为顶点的三角形与△OCD相似，在图丙中作出图形，试求OP的长．

分析： （1）①可通过构建全等三角形来求解；②可根据相似比来求面积比． （2）分两种情况进行讨论：①当C在OA上上时；②当C在OA延长线上时； 解：（1）①证明：过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N，得∠HPN=90° ∴∠HPC+∠CPN=90° ∵∠CPN+∠NPD=90∴∠HPC=∠NPD ∵OM是∠AOB的平分线∴PH=PN 又∵∠PHC=∠PND=90°∴△PCH≌△PDN∴PC=PD ②∵PC=PD∴∠PDG=45° ∵∠POD=45°∴∠PDG=∠POD

∵∠GPD=∠DPO∴△POD∽△PDG∴．

（2）①若PC与边OA相交， ∵∠PDE＞∠CDO

令△PDE∽△OCD∴∠CDO=∠PED∴CE=CD ∵CO⊥ED∴OE=OD∴OP=ED=OD=1

②若PC与边OA的反向延长线相交 过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N， ∵∠PED＞∠EDC

令△PDE∽△ODC∴∠PDE=∠ODC ∵∠OEC=∠PED∴∠PDE=∠HCP ∵PH=PN，Rt△PHC≌Rt△PND∴HC=ND，PC=PD∴∠PDC=45° ∴∠PDO=∠PCH=22.5°∴∠OPC=180°﹣∠POC﹣∠OCP=22.5°

∴OP=OC．设OP=x，则OH=ON=∴HC=DN=OD﹣ON=1﹣ 九年级相似三角形动点问题 6 ∵HC=HO+OC=+x∴1﹣=+x∴x=

即OP=

3．如图，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=3cm，CE=2cm，动点P从A出发以每秒2cm的速度向终点B运动，同时动点Q也从点A出发以每秒1cm的速度向终点E运动．设运动的时间为t秒．解答下列问题： （1）当0＜t≤3时，以A、P、Q为顶点的三角形能与△ADE相似吗？（不必说理由） （2）连接DQ，试求当t为何值时？△ADQ为等腰三角形． （3）求t为何值时？直线PQ平分矩形ABCD的面积．

分析： （1）不能相似，因为相似时，只能∠AQP=90°，∠QPA=30°，而△ADE中的锐角不能为30°； （2）分为三种情况：①当AD=AQ=3cm时，②当DA=DQ时，过D作DM⊥AE于M，③当QA=QD时，求出AQ长即可； （3）连接AC，取AC中点O（即AO=OC），当直线PQ过O时，直线PQ平分矩形ABCD的面积，根据

△ROC≌△POA，求出CR=AP=2t，得出RE=2t﹣2，EQ=5﹣t，根据△RQE∽△PQA得出=，代入求出即可．

解：（1）不能相似； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴DC=AB=6cm，∠ADC=90°，

分为三种情况：①当AD=AQ=3cm时，此时t=3； ②当DA=DQ时，过D作DM⊥AE于M， 在Rt△ADE中，AD=3，DE=DC﹣CE=6cm﹣2cm=4cm，由勾股定理得：AE=5cm，

由三角形的面积公式得：S△ADE

=×AD×DE=AE×DM，∴DM=cm，

在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM==（cm）， ∵DM⊥AQ，AD=DQ，