[教师]九年级相似三角形动点问题

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相似三角形动点问题

一．选择题（共1小题）

1．如图，小正方形的边长均为1，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图5×5的方格中，作格点三角形和△ABC相似，则所作的格点三角形中，最小面积和最大面积分别为（）

A．0.5，2.5 B．0.5，5 C．1，2.5 D．1，5

解：如图所示，△DEF和△GHI分别是面积最小和面积最大的三角形．

因为△DEF，△GHI和△ABC都相似，AB=，DE=1，GH=，

所以它们的相似比为DE：AB=1：，GH：AB=：，

又因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，而△ABC的面积为2×1=1，

故△DEF和△GHI面积分别为0.5，5．故选B．

二．填空题（共10小题）

2．如图，P是Rt△ABC斜边AB上的动点（P异于A、B），∠C=90°，∠B=30°，过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，当=或或时，截得的三角形面积为△ABC面积的．

解：设P（l x）截得的三角形面积为S，S=S△ABC，则相似比为1：2，

①第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1∥AC，

∴，

②第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2∥BC，

∴，

③第3条l3，此时BP与BC为对应边，且=

∴，

④第4条l4，此时AP与AC为对应边，且，

∴=，

∴=，

∴当=或或时，截得的三角形面积为Rt△ABC面积的，

故答案为：或或．

3．如图，在正方形ABCD中，M是BC边上的动点，N在CO上，且，若AB=1，设BM=x，当x=或时，以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似．

相似三角形的性质；正方形的性质．，AB=1∴CN=×1=，

∵BM=x，∴CM=1﹣x，

①当CN与BM是对应边时，=，

即=解得x=，

②当CN与AB是对应边时，=，即=，解得x=．

综上所述，x的值是或．故答案为：或．

4.在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（l x）（x为自然数）．

（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有1条；

（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当=或或时，P（l x）截得的三角形面积为△ABC面积的．

分析：

（1）过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC，l3是第3条相似线；

（2）按照相似线的定义，找出所有符合条件的相似线．总共有4条，注意不要遗漏．

解：（1）存在另外1 条相似线．

如图1所示，过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC；

故答案为：1；

（2）设P（l x）截得的三角形面积为S，S=S△ABC，则相似比为1：2．

如图2所示，共有4条相似线：

①第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1∥AC，∴=；

②第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2∥BC，∴=；

③第3条l3，此时BP与BC为对应边，且=，∴==；

④第4条l4，此时AP与AC为对应边，且=，∴==，∴=．

故答案为：或或．

5．如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的

三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．

动点型；

分析：

如果以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，由

于A与A对应，那么分两种情况：①D与B对应；

②D与C对应．根据相似三角形的性质分别作答．

解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E

为顶点的三角形与△ABC相似，

则AD=t，CE=2t，AE=AC﹣CE=12﹣2t．

①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC．

∴AD：AB=AE：AC，∴t：6=（12﹣2t）：12∴t=3；

②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB．

∴AD：AC=AE：AB，∴t：12=（12﹣2t）：6，∴t=4.8．

故当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，

运动的时间是3秒或4.8秒．

三．解答题（共19小题）

1．如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点M从点A出发，以1cm∕秒的速度向点B运动，动点N从点C

出发，以2cm∕秒的速度向点A运动，若两点同时运动，是否存在某一时刻t，使得以点A、M、N为顶点的三角形

与△ABC相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

动点型．

分析：

首先设经过t秒时，△AMN与△ABC相似，可得AM=t，CN=2t，AN=12﹣2t（0≤t ≤6），然后分别从当MN∥BC时，△AMN∽△ABC与当∠AMN=∠C时，△ANM∽△ABC去分析，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案．解：存在t=3秒或4.8秒，使以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似（无此过程不扣分）

设经过t秒时，△AMN与△ABC相似，

此时，AM=t，CN=2t，AN=12﹣2t（0≤t≤6），

（1）当MN∥BC时，△AMN∽△ABC，（1分）

则，即，（3分）

解得t=3；（5分）

（2）当∠AMN=∠C时，△ANM∽△ABC，（6分）