概率互逆 互斥
概率论与数理统计总复习
概率论与数理统计总复习1、研究和揭示随机现象 统计规律性的科学。
随机现象：是在个别试验中结果呈现不确定性，但在大量重复试验中结果又具有统计规律性的现象。
2、互斥的或互不相容的事件：A B φ⋂=3、逆事件或对立事件：φ=⋂=⋃B A S B A 且4、德∙摩根律：B A B A ⋂=⋃，B A B A ⋃=⋂5、在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值/A n n 称为事件A 发生的频率，并记为()n f A 。
6、概率的性质（1）非负性：(A)0P ≥； （2）规范性：(S)1P =；（3）有限可加性：设A 1，A 2，…，A n ，是n 个两两互不相容的事件，即A i A j ＝φ，(i ≠j), i , j ＝1, 2, …, n , 则有∑==ni i n A P A A P 11)()...(（4）()0P φ=；（5）单调不减性：若事件A ⊂B ，则P(B)≥P(A) （6）对于任一事件A ，P(A)≤1 （7）差事件概率：对于任意两事件A 和B ，()()()P B A P B P AB -=-（8）互补性（逆事件的概率）：对于任一事件A ，有 P(A )=1-P(A) （9）加法公式：P(A ⋃B)＝P(A)＋P(B)－P(AB))()()()()()()()(321323121321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P +---++=⋃⋃7、古典概型中的概率: ()()()N A P A N S =①乘法原理：设完成一件事需分两步， 第一步有n 1种方法，第二步有n 2种方法， 则完成这件事共有n 1n 2种方法。
例：从甲、乙两班各选一个代表。
②加法原理：设完成一件事可有两类方法，第一类有n 1种方法，第二类有n 2种方法，则完成这件事共有n 1+n 2种方法。
互斥加法公式逆向不成立的原因
互斥加法公式逆向不成立的原因互斥加法公式，这个名字听起来就有点高大上的样子，但其实它就是在说，当你有几个事件，互相之间没有交集时，求它们发生的概率时，直接把各自的概率加起来就行了。
听着是不是很简单？可别高兴得太早！就像做菜一样，明明是个看似简单的食谱，结果最后却搞得厨房乱成一团，衣服上满是油渍。
要知道，这个公式在生活中是挺常用的，比如说你有两种水果，苹果和橙子，今天要么吃苹果，要么吃橙子，求今天吃水果的概率，这时你就可以很简单地把两者的概率加起来。
但哎，问题来了，当我们想逆向推导这个公式的时候，就像在一盘复杂的麻辣火锅里找豆腐，找来找去还是找不到，反而越找越麻烦。
你要明白互斥的概念，互斥事件就是相互排斥的，比如说你不能在同一时间既是冬天又是夏天，虽然有些地方的天气让人怀疑。
反正这两种情况只能二选一，想要同时发生就像要你同时在地球和火星上生活一样，绝对不可能。
所以，当你加起来的时候，一切都美好如初，概率一加就上去了。
然而，逆向推导的时候可就不那么简单了。
你想想，如果把互斥的事儿混在一起，结果就是你搞得一团糟，像个小孩把积木随便一扔，根本不知道哪个是哪个。
于是，想要逆向推导，就得考虑这些事件之间的关系，而不是直接把概率一拼就好了。
而且说真的，这种“我把你当成朋友，你却当我陌生人”的事情在生活中比比皆是。
比如说，你和朋友约好一起去看电影，结果你朋友临时有事，最后你只能孤零零地一个人去影院。
你本来以为你们的约定是互斥的，但偏偏还有个“临时有事”这一坎儿，就导致了你根本不能用互斥加法公式来推导结果。
于是，你想推导这个概率的时候，就发现麻烦重重，就像走在泥泞的路上，越走越陷。
再说了，这个公式的运用也有个限制，那就是它必须在清楚了解事件之间的关系下才行。
像生活中那些复杂的人际关系，谁知道到底谁和谁是互斥的，谁又是在背后捣鬼？你想要把这些概率玩弄于股掌之中，结果常常是自个儿在那儿傻笑，别人却已经走得远远的。
所以，互斥加法公式的逆向推导根本不能简单粗暴，得学会细致入微，才能看清真相。
互斥事件
新课讲解：在一个盒子内放有10个大小相同的小 球,其中有7个红球、2个绿球、1个黄球.我们把 “从中摸出 1个球,得到红球”叫做事件A,“从 中摸出1个球,得到绿球”叫做事件B,“从中摸出 1个球,得到黄球”叫做事件C. 如果从盒中摸出的1个球是红球,即事件A发生, 那 么事件B就不发生；如果从盒中摸出的1个球是绿 球, 即事件B发生那么事件A就不发生. 就是说, 事件A与B不可 I 能同时发生. 绿 绿 B
(1)对立事件也称逆事件，A的对立事件记作A.
(4)对立事件的概率公式: P(A)=1–P(A)
（5）在一次试验中，两个互斥事件有
可能不发生，只有两个互斥事件在一 次试验中必有一个发生时，这样的两
个互斥事件才叫作对立事件，也就是 说两个互斥事件不一定是对立事件而
两个对立事件必是互斥事件.
6.从集合的角度看，由事件 A 所含的结 果组成集合，是全集中由事件A所含的结 果组成的集合的补集.
思考2： 当事件A与B是互斥事件时,它们 发生的情况有 A与B之一发生, A与B都不发生. 从集合意义理解：
A
B
A
B
A与B交集为空集 A、B互斥
A与B交集不为空集 A、B不互斥
练：抛掷一枚骰子一次,下面的事件A与 事件B是互斥事件吗？
1.事件A=“点数为2”,事件B=“点数为3” 2.事件A=“点数为奇数”,事件B=“点数为 4” 3.事件A=“点数不超过3”,事件B=“点数超 过3” 4.事件A=“点数为5”,事件B=“点数超过3” 解：互斥事件: (1)(2)(3) 但(4)不是互斥事件,当点为5时,事件A和事 件B同时发生
事件A与事件B是互斥事件
例.在一个健身房里用拉力器进行锻炼时,需 要选取2个质量盘装在拉力器上.有2个装质量 盘的箱子,每个箱子中都装有4个不同的质量 盘:2.5kg,5kg,10kg,20kg,每次都随机地从2 个箱子中各取1个质量盘装在拉力器上,再拉 动这个拉力器,随机地从2个箱子中各取1个质 量盘,下面的事件A和B是否是互斥事件?
初中数学概率知识点应试必备
初中数学概率知识点应试必备在初中数学中，概率是一个非常重要的概念，也是学生需要掌握的基本知识之一。
概率可以帮助我们预测事件发生的可能性，并在实际生活中做出决策。
掌握好概率知识不仅在数学考试中有帮助，还可以在日常生活中提高我们的分析和决策能力。
本文将介绍一些初中数学概率知识点应试必备的内容，并提供一些例题帮助读者更好地理解这些知识。
第一个必备的知识点是基本概率公式。
在概率中，我们通过事件发生的次数与总的可能次数之比来度量事件发生的可能性。
对于一个随机试验，其样本空间中所有可能的结果组成了样本空间。
如果事件A是样本空间中某几个结果的集合，那么事件A发生的概率可以通过以下公式来计算：P(A) = n(A)------n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A发生的次数，n(S)表示样本空间中所有可能结果的总数。
掌握这个基本概率公式对于解决各种概率问题非常重要。
第二个必备的知识点是互斥事件与对立事件。
互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况，如掷一次骰子得到一个偶数和得到一个奇数。
对立事件是指两个事件互为补集的情况，如掷一次骰子得到一个奇数和得到一个非奇数。
理解互斥事件和对立事件的概念对于解决概率问题非常重要，因为它们帮助我们简化问题，使用基本概率公式计算事件发生的概率。
第三个必备的知识点是条件概率。
条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率可以通过以下公式来计算：P(A|B) = P(A∩B)--------P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
掌握条件概率的概念和计算方法是解决复杂概率问题的关键。
第四个必备的知识点是事件的独立性。
如果事件A的发生与事件B的发生无关，我们称事件A与事件B是独立的。
在独立事件中，事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的乘积。
使用独立事件的性质可以简化一些复杂的概率问题。
互斥事件和对立事件
= 2+ +2 + 2
1
16 16 16 16
7 =
16 0.44. 因此,随机地从2个箱子中各取1个质量盘,此人不能拉开
拉力器的概率约为0.44.
互斥事件:不同时发生的两个或多个事件. 若事件A与B互斥： P(A+B) = P(A) + P(B)
事件A1，A2，…，An彼此互斥 P（A1＋A2＋…An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) 对立事件：必有一个发生的两个互斥事件(Ａ与Ｂ对 立）．
(4)对立事件的概率公式:
P(A)=1–P(A)
❖集从合集，合是的全角集度I中看的，事由件事A件所A 含所的含结的果结组果成组的成集的合
的补集。
I 红红红
红 红A红 红
A
绿绿
BA
黄C
例6 某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个 小组分别有39,32,33个成员,一些成员参加了不止1个小组, 具体情况如图所示.随机选取1个成员: (1)他至少参加2个小组的概率是多少? (2)他参加不超过2个小组的概率是多少?
2、每一个试验结果出现的可能性相同.
古典概型 概率公式
P( A)
m(事件A包含的可能结果数) n(试验的所有可能结果数)
概率模型 一般来说,在建立概率模型时，我们把什么看作是一
个基本事件是人为规定的,也就是说,对于同一个随机试验,
可以根据需要,建立满足我们要求的概率模型.
问题：一个盒子内放有10个大小相同的小球，其中有
2.一般地,如果随机事件A1,A2, • • • ,An中任 意两个是互斥事件,那么有
P(A1+A2+ • • • +An)=P(A1)+P(A2)+ • • • +P(An)
概率复习知识点总结
概率复习知识点总结1. 随机事件和概率随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
概率是描述随机事件出现可能性的一种数学工具，通常用P(A)来表示事件A发生的概率。
概率的取值范围是0≤P(A)≤1，其中P(A)=0表示事件A不可能发生，P(A)=1表示事件A必然发生。
2. 概率的性质（1）互斥事件的概率如果事件A和事件B是互斥事件（即事件A和事件B不可能同时发生），则有P(A∪B)=P(A)+P(B)。
（2）对立事件的概率如果事件A和事件B是对立事件（即事件A和事件B不能同时发生，且二者的并集为全集），则有P(A)+P(B)=1。
3. 条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，通常用P(A|B)表示。
条件概率的计算公式为P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。
4. 事件的独立性如果事件A和事件B的发生不会相互影响，即P(A|B)=P(A)，P(B|A)=P(B)，则称事件A 和事件B是相互独立的。
独立事件的概率计算公式为P(A∩B)=P(A)×P(B)。
5. 随机变量和概率分布随机变量是对随机事件结果的数值描述，分为离散随机变量和连续随机变量两种。
概率分布是描述随机变量概率规律的函数，可以分为离散概率分布和连续概率分布。
6. 期望和方差随机变量的期望是对随机变量取值的加权平均，通常用E(X)表示。
随机变量的方差是对随机变量取值与其期望的离差的平方和的平均值，通常用Var(X)表示。
7. 大数定律和中心极限定理大数定律指的是随着样本数量的增加，样本均值会趋向于总体均值。
中心极限定理是指当样本容量足够大时，样本均值的分布将近似服从正态分布。
8. 总结概率学是一门重要的数学学科，具有广泛的应用价值。
通过掌握概率论的基本理论和方法，可以帮助我们更好地理解和应用概率学知识，解决实际问题。
希望大家通过本文的介绍，加深对概率学知识点的理解，为今后的学习和工作打下坚实的基础。
概率论与数理统计(二)全部公式
第一章随机事件及其概率一、随机事件的关系及其运算1．事件的包含若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A ，记为或．3．事件的和事件A与事件B的和是一个事件C ，它表示事件A与事件B中至少有一个发生，记为或．．4．事件的积事件与事件的积是一个事件，它表示事件与事件同时发生，记为或．5．事件的差事件与事件的差是一个事件，它表示事件发生而事件不发生，记为．6．互斥事件（不相容事件）若事件A与事件B不能同时发生，即，则称事件A与事件B为互斥事件（不相容事件）．7．对立事件（逆事件）“事件A不发生”的事件称为事件A的对立事件. 的对立事件记为．关于对立事件，有性质(1)=（必然事件）；(2)=（不可能事件）；(3)=．两个互为对立的事件，一定是互斥事件；反之，互斥事件不一定是对立事件．概率的定义与性质定义1设Ω是随机试验E 的样本空间，对于E 的每一个事件A 赋予一个实数，记为P(A),称P(A)为事件A 的概率.性质1 0≤P(A)≤1 P(?)=0性质2 对于任意事件A,B 有P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(AB).当A 与B 互不相容时,P(A∪B)=P(A)+P(B).性质3 P(B-A)=P(B)-P(AB).当A?B 时，P(B-A)=P(B)-P(A),且P(A)≤P(B)性质4 P(A -)=1-P （A ）条件概率一、条件概率1．定义 如果是两个随机事件，, 则称在发生的前提下发生的概率为条件概率，记为．2．计算公式设是两个随机事件且, 则．二、乘法公式1．乘法公式设为两个随机事件，则有．2．乘法公式的推论对于任何正整数,当时，有．三、全概率公式和贝叶斯公式1．定义设为一事件组，若(1)互不相容，且P()>0,i=0,1,2…n; (2)则称事件组是样本空间的一个划分．2．全概率公式 设是样本本空间的一个划分，并且,为任意一个事件，则此公式叫做全概率公式．例题 盒中有5个白球3个黑球，连续不放回地从中取两次球，每次取一个，求第二次取到白球的概率。
高二概率知识点
高二概率知识点概率在数学中是一个重要的概念，它是描述某个事件发生可能性大小的数量指标。
在高二学习中，概率是一个重要的知识点，它涉及到诸多概念和计算方法。
本文将介绍高二学习中常见的概率知识点，包括试验、事件、样本空间、互斥事件、独立事件以及概率的计算方法。
一、试验和事件试验是概率论中的一个基本概念，指的是具备以下特点的随机现象：可以在相同的条件下重复进行，且每次试验的结果是不确定的。
试验的结果可以是一个元素的集合，这个集合称为样本空间。
事件是与试验有关的一个特定事情，它是样本空间的一个子集。
事件可以是一个元素，也可以是若干个元素的集合。
根据事件的性质，我们可以将事件分为互斥事件和相关事件。
二、样本空间和互斥事件样本空间是指试验的所有可能结果构成的集合，它通常用大写字母Ω表示。
对于一个试验，它的样本空间可以包含有限个元素，也可以包含无限个元素。
例如，掷一枚硬币的样本空间可以表示为{正面，反面}，摸一张扑克牌的样本空间可以表示为{红桃A，红桃2，...，黑桃K}。
互斥事件是指两个事件不可能同时发生的事件。
换句话说，如果事件A发生了，那么事件B就不可能发生，反之亦然。
互斥事件的概率计算方法是将两个事件的发生概率相加。
三、独立事件和条件概率独立事件是指两个事件的发生与否互不影响的事件。
换句话说，如果事件A发生与否对事件B的发生概率没有影响，那么事件A和事件B就是独立事件。
独立事件的概率计算方法是将两个事件的发生概率相乘。
条件概率是指在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
条件概率记作P(B|A)，读作“在A发生的条件下，B发生的概率”。
条件概率的计算方法是将事件A和事件B同时发生的概率除以事件A发生的概率。
四、概率的计算方法在概率的计算中，我们可以使用频率法和理论法两种方法。
频率法是通过统计实验结果的频率来计算概率。
例如，在进行大量掷骰子的实验后，我们计算掷出6的频率，就可以得到掷出6的概率。
理论法是通过对概率问题的理论分析来计算概率。
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概率互逆互斥
概率是数学中的一个重要概念，它用来描述事件发生的可能性大小。
在概率论中，我们经常会遇到两个概念：互逆和互斥。
这两个概念在描述事件之间的关系时起着非常重要的作用。
我们来了解一下互逆的概念。
互逆是指两个事件之间的概率之和等于1。
也就是说，如果事件A和事件B是互逆的，那么事件A发生的概率加上事件B发生的概率等于1。
例如，掷一枚硬币，事件A 表示出现正面的概率，事件B表示出现反面的概率，那么事件A和事件B就是互逆的。
接下来，我们来了解一下互斥的概念。
互斥是指两个事件之间不可能同时发生。
也就是说，如果事件A和事件B是互斥的，那么事件A和事件B不能同时发生。
例如，掷一枚硬币，事件A表示出现正面的概率，事件B表示出现反面的概率，那么事件A和事件B就是互斥的。
互逆和互斥是概率论中非常重要的概念，它们在实际问题中有着广泛的应用。
在实际问题中，我们经常需要计算事件的概率，而互逆和互斥可以帮助我们简化计算过程。
在计算事件的概率时，我们可以利用互逆的性质来简化计算。
如果我们知道事件A的概率，那么事件B的概率就等于1减去事件A的
概率。
例如，如果事件A发生的概率是0.6，那么事件B发生的概率就是1减去0.6，即0.4。
在计算事件的概率时，我们可以利用互斥的性质来简化计算。
如果我们知道事件A和事件B是互斥的，那么事件A和事件B同时发生的概率就是0。
例如，如果事件A表示掷一枚硬币出现正面的概率，事件B表示掷一枚硬币出现反面的概率，那么事件A和事件B同时发生的概率就是0。
互逆和互斥的概念在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在概率统计中，我们经常需要计算事件的概率，而互逆和互斥可以帮助我们简化计算过程。
在实际生活中，我们也经常会遇到互逆和互斥的情况。
例如，抛硬币、掷骰子、抽奖等等，这些问题都可以用互逆和互斥的概念来描述和解决。
概率互逆和互斥是概率论中非常重要的概念，它们在描述事件之间的关系时起着重要的作用。
互逆是指两个事件之间的概率之和等于1，而互斥是指两个事件之间不可能同时发生。
在实际问题中，我们可以利用互逆和互斥的性质来简化计算，从而更方便地求解问题。
希望通过本文的介绍，读者对概率互逆和互斥有更深入的理解。