2015上海交通大学高数上复习题

上海交通大学高等数学A1

期末复习题

（一） 极限与连续

1. 设)(x f y =的定义域是]1,0(，x x ln 1)(-=ϕ，则复合函数)]([x f y ϕ=的定义域为

2. 当0→x 时，x

ax

x cos 3arctan 与

是等价无穷小，则=a 3. ()()()=+-+∞→17

6

1125632lim x x x x

4. 设32lim(

)8n

n n a n a

→∞+=-，则a ＝ 5. 已知⎪⎩

⎪⎨⎧≥+-<+=0,230

,)1ln(2sin )(2x k x x x x x

x f 在x ＝0处连续，则k ＝

6. 0=x 是x

y 1

cos

2

=的第 类间断点，且为 间断点. 7. 若函数2

31

22+--=x x x y ，则它的间断点是

8. 当0→x 时，下列变量中是无穷小量的有（ ）。

（A ）x 1sin

（B ）x x sin （C ）12--x

（D ） x ln 9. 已知0()

lim 0x f x x

→=，且(0)1f =，那么（ ）

（A ）()f x 在0x =处不连续 （B ）()f x 在0x =处连续 （C ）0

lim ()x f x →不存在 （D ）0

lim ()1x f x →=

11. 设2()43x x

f x x x

+=- ，则0lim ()x f x →为（ ）

（A ）

12 (B)13 (C) 1

4

(D)不存在 12. 设232)(-+=x

x

x f ，则当0→x 时，有（ ）

（A ）)(x f 与x 是等价无穷小； （B ）)(x f 与x 是同阶但非等价无穷小； （C ）)(x f 是比x 高阶的无穷小； （D ）)(x f 是比x 低阶的无穷小。

13. 当0→x 时，下列四个无穷小量中 ，哪一个是比另外三个更高阶的无穷小（ ）

（A ） 2

x ； （B ） x cos 1-； （C ）112--x ；（D ） x x tan -。

14. 求下列极限 （1）

lim x →+∞

（2） 30

arcsin lim

sin x x x

x

→-

（3） )1ln(sin tan lim

30x x x x +-→ （4） 011

lim()1

x x x e →--

（5） tan 2

lim(sin )

x

x x π

→

（6） 1

1cos

0sin lim()x

x x x

-→

（7） 0

()lim

1cos x

t t x e e dt x

-→--⎰

（8）

x →（9） 11lim ln x x x x x →- （10） )2211(lim 222n

n n

n n n ++++++∞→Λ

15． 设1

1

11arctan 0()110x x

a be x f x x e x π⎧+⎪+≠⎪=⎨+⎪

⎪=⎩

，试确定a 与b 的值，使()f x 在(,)-∞+∞上处处连续。 16．设21()lim 1n

n x

f x x →∞-=+，讨论()f x 在其定义域内的连续性，若有间断点，指出其类型。

17. 设)(x f 在]1,0[上连续，且1)(0<

（二） 导数与微分

一、导数的定义 （1）0()f x '存在，000

()()

lim

h f x ah f x bh h

→+--

（2）函数2

1cos 0()0 0

x x f x x

x ⎧≠⎪

=⎨⎪=⎩在点0x =处是否连续？是否可导？

（3）函数2

()(1) 0x e x f x b x x α⎧≤=⎨->⎩

处处可导，求,a b . 二、求下列函数的导数

1ln tan lnsec

22 (2)x x

y y ==+（）-

22

(2(3)arctan

sin 4)1x

y y x

==-（5

）已知ln(y x =，求,y y '''. （6）已知2

cos ln y x x =，求,y y '''.

（7）已知21

,n

x y x e

-=+求()n y .

三、隐函数的导数

下列各题中的方程均确定y 是x 的函数 （1）sin()1x y

e

xy ++= 求,(0)y y ''.

（2）求曲线3

2

2y y x +=在点(1,1)处的切线方程和法线方程. （3）tan()y x y =+ 求,y y '''. 四、利用取对数求导法求下列函数的导数

2tan (1)(sin )1x

x y y x x ==-

五、求下列各函数的导数（其中f 可导） （1）(cos )cos ()y f x f x =+，求x y '.

（2）设2

()y f x b =+，其中b 为常数，f 存在二阶导数，求y ''. 六、求参数方程的导数

（1） 02cos 2sin =⎩

⎨⎧==t t t dx dy

t e y t e x ，求设 （2）⎪⎩⎪⎨⎧=+=t

y t x arctan 1ln 2

，求一阶导数dx dy 及二阶导数22dx y d .

七、求下列函数的微分

（1

）y =的微分dy 。 （2）求隐函数x y

xy e +=的微分dy 。

（三） 中值定理与导数的应用