测量平差的数学模型

本节重点：（1）测量平差的函数模型定义，类型；测量平差的数学模型包括：条件平差法模型、间接平差法模型、附有参数的条件平差法模型、附有限制条件的间接平差法模型、综合平差模型；

（2）测量平差的随机模型。

本节教学思路：

首先说明平差的数学模型分两类：函数模型与随机模型，进而分别阐述其定义、分类及建立的方法和模型的具体形态。

教学内容：

一、平差模型的定义与分类

1．从模型的性质分：函数模型、随机模型，函数模型连同随机模型称平差的数学模型；

2．函数模型又分为：条件平差法模型、间接平差法模型、附有参数的条件平差法模型、附有限制条件的间接平差法模型、综合平差模型；

二、各类函数模型的建立

（一）概述

1．函数模型定义：

在科学技术领域，通常对研究对象进行抽象概括，用数学关系式来描述它的某种特征或内在的联系，这种数学关系式就称为函数模型。

2．函数模型的意义与特点

函数模型是描述观测量与待求量之间的数学函数关系的模型。

对于一个平差问题，建立函数模型是测量平差中最基本、最重要的问题，模型的建立方法不同，与之相应就产生了不同的平差方法。

函数模型有线性与非线性之分，测量平差通常是基于线性函数模型，当函数模型为非线性时（如（2-1-4）式），总是要将其线性化。

（二）各种经典平差方法及其线性函数模型的建立方法。

1. 条件平差法及其函数模型

首先通过两个例子，来说明条件平差函数模型的建立方法。

在图2-1中，观测了三个内角，n=3，t=2，则r=n-t=1,存在一个函数关系式（条件方程），可以表示为：

令

=[1 1 1]

=[ ]

=[-180]

则上式为

（2-2-1）

再如图2-2水准网， D 为已知高程水准点，A 、B 、C 均为待定点，观测值向量的真值为

]

其中n=6，t=3，则r=n-t=3，应列出3个线性 无关的条件方程，它们可以是：

令

0180~~~321

=-++L L L 3

1?A

13~

?L

1~L 2~L 3~L T

0A 0~0=+A L A 116~[~

h L =?2~h 3~h 4~h 5~h 6~h 0~~~)~(4211=--=h h h L F 0~~~)~(5322

=+-=h h h L F 0~~~)~(6313

=--=h h h L F 图2-2

A

B

则上面条件方程组可写为

（2-2-2） 一般而言，如果有n 个观测值，必要观测个数为t ，则应列出r=n-t 个条件方程，

即

（2-2-3）

如果条件方程为线性形式，则可以直接写为

（2-2-4）

将代入（2-2-4）式，并令

（2-2-5）

则（2-2-4）式为

（2-2-6）

（2-2-4）或（2-2-6）式即为条件平差的函数模型。以此模型为基础的平差计算称为条件平差法。

2. 附有参数的条件平差法及其函数模型

在平差问题中，设观测值个数为n ，必要观测个

数为t ，则可以列出r=n-t 个条件方程，现又增设了u 个独立量作为未知参数，且0

方程，以含有参数的条件方程为平差函数模型的平差方法，称为附有参数的条件平差法。

如图2-3的三角形ABC 中，观测了三个内角、

、，n=3，t=2，r=n-t=1，平差时选∠A 为平差参数，即u=1，此时条件方程个数

应为r+u=2个，它们可以写成：

?????

?????-----=?1001010101100010116

3A 0~

=L A 1

?n L

0)~(=L F 1

1

01

~

????=+r r n n r A L A ?+=L L ~

)(0A AL W +-=0=-?W A 1L 2L 3L X ~0180~

~~321=-++L L L

令

，，

则上式可写成

一般而言，在某一平差问题中,观测值个数为n ，必要观测个数为t ，多余观测个数为r=n-t ，再增选u 个独立参数，0

(2-2-7)

如果条件方程是线性的，其形式为

(2-2-8)

将代入上式，并令

(2-2-9)

则得

(2-2-10)

(2-2-8)或(2-2-10)式为附有参数的条件平差的函数模型。 3. 间接平差法(参数平差法)及其函数模型

由前所述，一个几何模型可以由t 个独立的必要观测量唯一的确定下来，因此，平差时若把这t 个量都选作参数，即u=t （这是独立参数的上限），那么通过这t 个独立参数就能唯一地确定该几何模型，换句话说，模型中的所有量都一定是这t 个独立参数的函数，每个观测量也都可以表达为所选t 个独立参数的函数。

选择几何模型中t 个独立量为平差参数，将每一个观测量表达成所选参数的函数，共列出r+u=r+t=n 个这种函数关系式，以此作为平差的函数模型的平差方法称为间接平差。

如图2-3三角形ABC 中，观测了三个内角、、

，n=3，t=2，r=n-t=1，平差时

选∠A 、∠B 为平差参数，即，u=2，共需列出r+u=3个函数关系式，列立方法是将每一个观测量表达成所选参数的函数，由图知：

0~

~1=-X L ??????=001111A ??????-=10B ?

?????-=01800A 0

~

~1

201

2121

332=++?????A X B L A 0

)~

,~(1

=?X L F c 0

~

~1

01

1

=++?????c u u c n n c A X B L A ?+=L L ~)(0A AL W +-=0

~

1

1

1

=-+??????c u u c n n c W X B A 1L 2L 3L 21

~~X X 、T

X X X ）、（21~~~=

（2-2-11）

方程的个数恰好等于观测值的个数。 令

，

， 则（2-2-11）式可写为

（2-2-12）

一般而言，如果某一平差问题中,观测值个数为n ，必要观测个数为t ，多余观测个数为r=n-t ，再增选u 个独立参数， u=t ，则总共应列出c=r+u=n 个函数关系式，其一般形式为

如果这种表达式为线性的，一般为

（2-2-13）

将代入上式，并令

（2-2-14）

则（2-2-13）式可写为

（2-2-15）

以上（2-2-13）或（2-2-15）就是间接平差的函数模型。其中（2-2-13）称为观测方程。 4. 附有限制条件的间接平差及其函数模型

如果在某平差问题中，选取u>t 个参数，其中包含t 个独立参数，则多选的s=u- t 个参数必定是t 个独立参数的函数，即在u 个参数之间存在着s 个函数关系式。方程的总数c=r+u=r+t+s=n+s 个，建立模型时，除了列立n 个观测方程外，还要增加参数之间满足的s 个条件方程，以此作为平差函数模型的平差方法称为附有条件的间接平差。

???

?

???+--===180~~~~~~

~213221

1X X L X L X L T X X X ）、（21~~~=T

L L L L ）、、221~~~(~=??????????--=111001B ??

???

?????=18000d 131

2231

3~

~????+=d

X B L 1~?u X

)

~(~1

X F L n =?1

1

1

~~????+=n t t n n d

X B L ?+=L L ~d L l -=1

1

1

~

????-=?n t t n n l

X B

其函数模型的一般形式为

线性形式的函数模型为

（2-2-16）

（2-2-17）

将代入（2-2-16）式，并令

（2-2-18） 则（2-2-16）和（2-2-17）式可写为

（2-2-19）

（2-2-20）

这就是附有条件的间接平差的函数模型。其中（2-2-20）称为限制条件方程。 5. 附有条件的条件平差（综合平差模型）及其函数模型

上面几种模型的建立，对参数的选择都提出了相应的要求，如：条件平差u=0；附有参数的条件平差0t ，要求包含t 个独立参数。

附有条件的条件平差的基本思想是：对于一个平差问题，若增选了u 个参数，不论ut ，也不论参数是否独立，每增加一个参数则肯定相应地增加1个方程，故方程的总数为r+u 个。如果在u 个参数中有s 个是不独立的，或者说在这u 个参数中存在着s 个函数关系式，则应列出s 个形如（2-2-20）的限制条件方程，除此之外再列出

c=r+u-s

个形如（2-2-8）的一般条件方程，形成如下的函数模型

若为线性形式，则为

（2-2-21）

)

~(~1

X F L n =?0

)~(1

=Φ?X S 11

1~~????+=n u u n n d

X B L 0

~

1

1

=-???s u u s W X C ?+=L L ~

d L l -=111

~

????-=?n u u n n l

X B 0

~

1

1

=-???s u u s W X C 0

)~

,~(1

=?X L F c 0

)~(1

=Φ?X S 0

~

~1

01

1

=++?????c u u c n n c A X B L A

（2-2-22）

考虑到，则

（2-2-23）

（2-2-24）

这就是附有条件的条件平差的函数模型。 （三） 平差的随机模型

函数模型反映了测量控制网中各几何元素间的数学关系，但测量元素是存在误差的，因此还必须建立观测值向量

及相关量的随机模型，亦即观测向量的协方差阵：

（2-2-25）

式中D 为L 的协方差阵，Q 为L 的协因数阵，P 为L 的权阵，为单位权方差。

（四） 综述

函数模型连同随机模型，就称为平差的数学模型。在进行平差计算前，函数模型和随机模型必须首先被确定，前者按上面介绍的方法建立，后者须知道P 、Q 、D 其中之一。一般是

按第一章介绍的方法进行平差前经验定权。可以通过平差计算求出其估值，然后根

据公式

求得D 的估值。

（五）例题

例[2-1] 如图2-4水准网中，点为已知水

准点，点为待定水准点，观测高差为。

试按下面不同情况，分别列出相应的平差函数模型： 1. 按条件平差法；

2. 若选点高程为未知参数时；

3. 若仅选点高程为未知参数时；

4. 若选的平差值为未知参数时；

~

1

1

=-???s u u s W X C ?+=L L ~

~

1

1

1

=-+??????c u u c n n c W X B A 0

~

1

1

=-???s u u s W X C 1

?n L

n

n n

n n

n P Q D ?-??==1

2

020σσ2

0σ20σ2

0?σQ D 20??σ=B A ，21P P

，4321h h h h ，，，21

P P ，21~

~X X ，1P X ~

32h h ，21~~X X ，图2-4

h 3

5. 若选的平差值为未知参数时。 解：本题，，则

1. 按条件平差法应列出2个条件方程，它们可以是

2. 此时参数个数，且不相关，属于间接平差，函数模型为

3. ，属于附有参数的条件平差，方程个数为

4. 但相关，属于附有条件的条件平差。方程总个数为个，应列1个限制条件方程和3个一般条件方程。函数模型为

5. 且包含2个独立参数，属于附有条件的间接平差，限制条件方程个数为

，观测方程个数为4个。函数模型为

321h h h ，，321

~

,~~X X X ，4=n 2=t 2=-=t n r 0~~~0

~

~42132=-+++=-B A

H h h h H h h 2==t u A H X h -=11~~212

~~~X X h +-=213

~~~X X h +-=B H X h +-=24

~~t u <=13=+u r 0~

~

~~0

~~142132=-+=-+++=-X h H H h h h H h h A B A 2==t u 4=+u r 0

~

~0~

~~0

~

~~0

~~2142141132=-=-+++=-+++=-X X H h X h H H h X h H h h B A B A t u >=31=-=t u s 11~~X h =22

~~X h =33

~~X h =

限制条件方程为

B

A

H

X

X

H

h+

-

-

-

=

2

1

4

~

~

~

~

~

3

2

=

-X

X