运筹学基础及应用第五版 胡运权第一章
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第一章 线性规划及单纯形法
§1．一般线性规划问题的数学模型 § 2．图解法 § 3．单纯形法原理
§ 4．单纯形法的计算步骤
§ 5．单纯形法的进一步讨论 § 6．改进单纯形法 § 7．应用举例及Matlab求解方法
§1．一般线性规划问题的数学模型
• 例如图所示，如何截取x使铁皮所围 成的容积最大？
v a 2 x x
12 2 x1 2 x2 x3 2 x1 2 x2 12 x 2x 8 x 2 x x 8 1 2 1 2 4 16 4 x1 x5 16 4 x1 4x2 12 4x2 x6 12 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 0 x1 , x2 0
AX=AX1+ (1-)AX2 = b+ (1-)b =b , (0<<1)，且 X 0， ∴ X C，
∴ C为凸集。
引理：线性规划问题的可行解X=(x1, x2,· · · · · · ,xn)T 为基本可行
解的充要条件是X的正分量所对应的系数列向量线性独立。 证： （1）必要性：X基本可行解X的正分量所对应的系数列向量线性独立
三个基本定理：
定理1：若LP模型存在可行解，则可行域为凸集。
证明：设 max z=CX st. AX=b X 0 并设其可行域为C，若X1、X2为其可行解，且X1≠X2 ， 则 X1C，X2 C， 即AX1=b，AX2=b，X10，X20，
又 X为X1、X2连线上一点，即 X=X1+(1-)X2， (0<<1)，
x x x
其中：
x 0，x 0
4. 变量 xj≤0
令
xj x j ，显然 xj 0
例. 将下述线性规划模型化为标准型
min z x1 2 x2 3x3 2 x1 x2 x3 9 3 x x 2 x 4 1 2 3 3x1 2 x2 3x3 6 x1 0, x2 0, x3取值无约束
若A的秩为m，则X的正分量的个数km； 当k=m时，则x1,x2,· · · · · · ,xk的系数列向量P1,P2,· · · · · · ,Pk恰好构成基， ∴ X为基本可行解。 当k<m时，则必定可再找出m-k个列向量与P1,P2,· · · · · · ,Pk一起构成基， ∴ X为基本可行解。
§3．单纯形法原理
凸集：如果集合 C 中任意两个点 X 1 , X 2 ，其连线上
的所有点也都是集合C 中的点。
上图中（1）（2）是凸集，（3）（4）不是凸集
顶点：如果对于凸集 C 中的点 X ，不存在C 中的任
意其它两个不同的点 X1、X 2 ，使得 X 在它们的连线上， 这时称 X 为凸集的顶点。
由 (1)+(2)得 (x1+ 1)P1+ (x2+ 2)P2+· · · · · · + (xm+ m)Pm=b 由 (1)-(2)得 (x1 -1)P1+ (x2 - 2)P2+· · · · · · + (xm -m)Pm=b
定理2：线性规划模型的基本可行解对应其可行域的顶点。
证：等价于 X非基本可行解X非凸集顶点
（1）必要性：X非基本可行解 X非凸集顶点 不失一般性，设X=(x1,x2,· · · · · · ,xm,0,0,· · · · · · ,0)T，为非基本可行解， ∵ X为可行解， ∴ pjxj=b，
j=1 n m
即 pjxj=b · · · · · · (1)
j=1
又 X是非基本可行解， ∴ P1,P2,· · · · · · ,Pm线性相关，即有
1P1+2P2+· · · · · · +mPm=0， 其中1，2，· · · · · · ，m不全为0，两端同乘≠0，得 1P1+2P2+· · · · · · +mPm=0，· · · · · · （2）
实现目的：
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5 0x6
§2. 线性规划问题的图解法
为了便于建立 n 维空间中线性规划问题的 概念及便于理解求解一般线性规划问题的单纯 形法的思路，先介绍图解法。 求解下述线性规划问题： max z 2 x1 3x2
2 x1 2 x2 12 x 2x 8 1 2 16 4 x1 4 x2 12 x1 , x2 0
2
x
dv 0 dx
a
2(a 2 x ) x (2) (a 2 x )2 0
a x 6
§1．一般线性规划问题的数学模型
一、问题的提出
某企业计划生产Ⅰ、Ⅱ两种产品。这两种产 品都要分别在A、B、C、D四种不同设备上加工。 生产每件产品Ⅰ需占用各设备分别为2、1、4、 0h，生产每件产品Ⅱ，需占用各设备分别为2、2、 0、4h。已知各设备计划期内用于生产这两种产 品的能力分别为12、8、16、12h，又知每生产一 件产品Ⅰ企业能获得2元利润，每生产一件产品 Ⅱ企业能获得3元利润，问企业应安排生产两种 产品各多少件，使总的利润收入为最大。
（1）当约束条件为“≤”时
如： 2 x1 2 x2 12
可令：2x1 2x2 x3 12 ， 显然 x3 0
x3 称为松弛变量。
（2）当约束条件为“≥”时
10x1 12x2 18 如： 10x1 12x2 x4 18， 显然 x4 0 可令：
x4 称为剩余变量。
画出线性规划问题的可行域：
目标函数的几何意义：
最优解的确定：
图解法的步骤：
1. 建立坐标系，将约束条件在图上表示；
2. 确立满足约束条件的解的范围；
3. 绘制出目标函数的图形；
4. 确定最优解。
无穷多最优解的情况：
目标பைடு நூலகம்数与某个约束条件恰好平行
无界解（或无最优解）的情况：
可行域上方无界
无可行解的情况：
简写形式：
max （或 min）z c j x j
j 1 n
n （或 ， ）bi （i 1， ，m） aij x j j 1 x 0 （j 1， ，n） j
矩阵形式表示为：
max （或 min ）z CX （或 ， ）b AX X 0
其中：
C c1 , c2 ,, cn
X x1, x2 ,, xn
T
b b1, b2 ,, bn
T
a11 a21 A a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
三、线性规划问题的标准形式
标准形式：
max z c j x j
j 1 n
标准形式特点：
1. 2. 3. 4.
n ，m） aij x j bi （i 1， j 1 x 0 （j 1， ，n） j
目标函数为求极大值； 约束条件全为等式； 约束条件右端常数项全为非负值； 决策变量取值非负。
x1， 解：令 z z，x1
得标准形式为：
x3 ， 0，x3 0 x3 x3 x3
2 x2 3 x3 3 x3 0 x4 0 x5 max z x1 x2 x3 x3 x4 9 2 x1 3 x x 2 x 2 x x5 4 1 2 3 3 2 x2 3 x3 3 x3 6 3 x1 ，x2，x3 ，x3 ，x4，x5 0 x1
目标函数：max （或min）z c1x1 c2 x2 cn xn
（或 , ）b1 a11 x1 a12 x2 a1n xn a x a x a x （或 , ） b 21 1 22 2 2 n n 2 约束条件： a x a x a x m1 1 m2 2 mn n （或 , ）bm x1 , x2 ,, xn 0
一般线性规划问题如何化为标准型：
1. 目标函数求极小值：
min z c j x j
j 1
n
令： z ' z ，即化为：
max z max( z ) min z c j x j c j x j
n n j 1 j 1
2. 约束条件为不等式：
（3）目标函数中松弛变量的系数 由于松弛变量和剩余变量分别表示未被充分利 用的资源以及超用的资源，都没有转化为价值和利 润，因此在目标函数中系数为零。
松弛变量和剩余变量统称为松弛变量
3. 取值无约束的变量
如果变量 x 代表某产品当年计划数与上 一年计划数之差，显然 x 的取值可能是正也 可能是负，这时可令：
约束条件不存在公共范围
图解法的启示：
1. 求解线性规划问题时，解的情况有：唯一最 优解，无穷多最优解，无界解，无可行解； 2. 若线性规划问题可行域存在，在可行域是一 个凸集； 3. 若线性规划问题最优解存在，在最优解或最 优解之一一定能够在可行域的某个顶点取得； 4. 解题思路是，先找凸集的任一顶点，计算其 目标函数值。比较其相邻顶点函数值，若更 优，则逐点转移，直到找到最优解。
二、线性规划问题的数学模型
三个组成要素：
1.决策变量:是决策者为实现规划目标采取
的方案、措施，是问题中要确定的未知量。
2.目标函数:指问题要达到的目的要求，表
示为决策变量的函数。
3.约束条件:指决策变量取值时受到的各种
可用资源的限制，表示为含决策变量的等式 或不等式。
一般线性规划问题的数学模型：
求解线性规划问题：
max z c j x j
j 1
n
n ，m） aij x j bi （i 1， j 1 x 0 （j 1， ，n） j
就是从满足约束方程组和约束不等式的决策变量取 值中，找出使得目标函数达到最大的值。
四、线性规划问题的解
可行解：满足约束条件的解称为可行解，可行解的集 合称为可行域。 最优解：使目标函数达到最大值的可行解。 基：约束方程组的一个满秩子矩阵称为规划问题的一
个基，基中的每一个列向量称为基向量，与基向量对应 的变量称为基变量，其他变量称为非基变量。
基解：在约束方程组中，令所有非基变量为0，可以
解出基变量的唯一解，这组解与非基变量的0共同构成 基解。
基可行解：满足变量非负的基解称为基可行解 可行基：对应于基可行解的基称为可行基
例4 说明什么是基、基 变量、基解、基可 行解和可行基
一、线性规划问题基本定理
定理一 若线性规划问题存在可行解，则问题的可行 域是凸集。 定理二 线性规划问题的基本可行解 X 对应线性规划 问题可行域（凸集）的顶点。
定理三 若线性规划问题有最优解，一定存在一个基 可行解是最优解。
从上述三个定理可以看出，要求线性规划问 题的最优解，只要比较可行域（凸集）各个 顶点对应的目标函数值即可，最大的就是我 们所要求的最优解。
产品Ⅰ 产品Ⅱ A B 2 1 2 2
计划期内 生产能力 12 8
C D
利润
4 0
2
0 4
3
16 12
MAX
需满足条件：
2 x1 2 x2 12 x 2x 8 1 2 16 4 x1 4 x2 12 x1 , x2 0
实现目的：
z 2 x1 3x2 max
可设X=(x1,x2,· · · · · · ,xk,0,0,· · · · · · ,0)T，若X为基本可行解，显然，由 基本可行解定义可知x1, x2,· · · · · · ,xk所对应的系数列向量P1,P2,· · · · · · ,Pk应 该线性独立。
（2）充分性： X的正分量所对应的系数列向量线性独立 X为基本可行解
§1．一般线性规划问题的数学模型 § 2．图解法 § 3．单纯形法原理
§ 4．单纯形法的计算步骤
§ 5．单纯形法的进一步讨论 § 6．改进单纯形法 § 7．应用举例及Matlab求解方法
§1．一般线性规划问题的数学模型
• 例如图所示，如何截取x使铁皮所围 成的容积最大？
v a 2 x x
12 2 x1 2 x2 x3 2 x1 2 x2 12 x 2x 8 x 2 x x 8 1 2 1 2 4 16 4 x1 x5 16 4 x1 4x2 12 4x2 x6 12 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 0 x1 , x2 0
AX=AX1+ (1-)AX2 = b+ (1-)b =b , (0<<1)，且 X 0， ∴ X C，
∴ C为凸集。
引理：线性规划问题的可行解X=(x1, x2,· · · · · · ,xn)T 为基本可行
解的充要条件是X的正分量所对应的系数列向量线性独立。 证： （1）必要性：X基本可行解X的正分量所对应的系数列向量线性独立
三个基本定理：
定理1：若LP模型存在可行解，则可行域为凸集。
证明：设 max z=CX st. AX=b X 0 并设其可行域为C，若X1、X2为其可行解，且X1≠X2 ， 则 X1C，X2 C， 即AX1=b，AX2=b，X10，X20，
又 X为X1、X2连线上一点，即 X=X1+(1-)X2， (0<<1)，
x x x
其中：
x 0，x 0
4. 变量 xj≤0
令
xj x j ，显然 xj 0
例. 将下述线性规划模型化为标准型
min z x1 2 x2 3x3 2 x1 x2 x3 9 3 x x 2 x 4 1 2 3 3x1 2 x2 3x3 6 x1 0, x2 0, x3取值无约束
若A的秩为m，则X的正分量的个数km； 当k=m时，则x1,x2,· · · · · · ,xk的系数列向量P1,P2,· · · · · · ,Pk恰好构成基， ∴ X为基本可行解。 当k<m时，则必定可再找出m-k个列向量与P1,P2,· · · · · · ,Pk一起构成基， ∴ X为基本可行解。
§3．单纯形法原理
凸集：如果集合 C 中任意两个点 X 1 , X 2 ，其连线上
的所有点也都是集合C 中的点。
上图中（1）（2）是凸集，（3）（4）不是凸集
顶点：如果对于凸集 C 中的点 X ，不存在C 中的任
意其它两个不同的点 X1、X 2 ，使得 X 在它们的连线上， 这时称 X 为凸集的顶点。
由 (1)+(2)得 (x1+ 1)P1+ (x2+ 2)P2+· · · · · · + (xm+ m)Pm=b 由 (1)-(2)得 (x1 -1)P1+ (x2 - 2)P2+· · · · · · + (xm -m)Pm=b
定理2：线性规划模型的基本可行解对应其可行域的顶点。
证：等价于 X非基本可行解X非凸集顶点
（1）必要性：X非基本可行解 X非凸集顶点 不失一般性，设X=(x1,x2,· · · · · · ,xm,0,0,· · · · · · ,0)T，为非基本可行解， ∵ X为可行解， ∴ pjxj=b，
j=1 n m
即 pjxj=b · · · · · · (1)
j=1
又 X是非基本可行解， ∴ P1,P2,· · · · · · ,Pm线性相关，即有
1P1+2P2+· · · · · · +mPm=0， 其中1，2，· · · · · · ，m不全为0，两端同乘≠0，得 1P1+2P2+· · · · · · +mPm=0，· · · · · · （2）
实现目的：
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5 0x6
§2. 线性规划问题的图解法
为了便于建立 n 维空间中线性规划问题的 概念及便于理解求解一般线性规划问题的单纯 形法的思路，先介绍图解法。 求解下述线性规划问题： max z 2 x1 3x2
2 x1 2 x2 12 x 2x 8 1 2 16 4 x1 4 x2 12 x1 , x2 0
2
x
dv 0 dx
a
2(a 2 x ) x (2) (a 2 x )2 0
a x 6
§1．一般线性规划问题的数学模型
一、问题的提出
某企业计划生产Ⅰ、Ⅱ两种产品。这两种产 品都要分别在A、B、C、D四种不同设备上加工。 生产每件产品Ⅰ需占用各设备分别为2、1、4、 0h，生产每件产品Ⅱ，需占用各设备分别为2、2、 0、4h。已知各设备计划期内用于生产这两种产 品的能力分别为12、8、16、12h，又知每生产一 件产品Ⅰ企业能获得2元利润，每生产一件产品 Ⅱ企业能获得3元利润，问企业应安排生产两种 产品各多少件，使总的利润收入为最大。
（1）当约束条件为“≤”时
如： 2 x1 2 x2 12
可令：2x1 2x2 x3 12 ， 显然 x3 0
x3 称为松弛变量。
（2）当约束条件为“≥”时
10x1 12x2 18 如： 10x1 12x2 x4 18， 显然 x4 0 可令：
x4 称为剩余变量。
画出线性规划问题的可行域：
目标函数的几何意义：
最优解的确定：
图解法的步骤：
1. 建立坐标系，将约束条件在图上表示；
2. 确立满足约束条件的解的范围；
3. 绘制出目标函数的图形；
4. 确定最优解。
无穷多最优解的情况：
目标பைடு நூலகம்数与某个约束条件恰好平行
无界解（或无最优解）的情况：
可行域上方无界
无可行解的情况：
简写形式：
max （或 min）z c j x j
j 1 n
n （或 ， ）bi （i 1， ，m） aij x j j 1 x 0 （j 1， ，n） j
矩阵形式表示为：
max （或 min ）z CX （或 ， ）b AX X 0
其中：
C c1 , c2 ,, cn
X x1, x2 ,, xn
T
b b1, b2 ,, bn
T
a11 a21 A a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
三、线性规划问题的标准形式
标准形式：
max z c j x j
j 1 n
标准形式特点：
1. 2. 3. 4.
n ，m） aij x j bi （i 1， j 1 x 0 （j 1， ，n） j
目标函数为求极大值； 约束条件全为等式； 约束条件右端常数项全为非负值； 决策变量取值非负。
x1， 解：令 z z，x1
得标准形式为：
x3 ， 0，x3 0 x3 x3 x3
2 x2 3 x3 3 x3 0 x4 0 x5 max z x1 x2 x3 x3 x4 9 2 x1 3 x x 2 x 2 x x5 4 1 2 3 3 2 x2 3 x3 3 x3 6 3 x1 ，x2，x3 ，x3 ，x4，x5 0 x1
目标函数：max （或min）z c1x1 c2 x2 cn xn
（或 , ）b1 a11 x1 a12 x2 a1n xn a x a x a x （或 , ） b 21 1 22 2 2 n n 2 约束条件： a x a x a x m1 1 m2 2 mn n （或 , ）bm x1 , x2 ,, xn 0
一般线性规划问题如何化为标准型：
1. 目标函数求极小值：
min z c j x j
j 1
n
令： z ' z ，即化为：
max z max( z ) min z c j x j c j x j
n n j 1 j 1
2. 约束条件为不等式：
（3）目标函数中松弛变量的系数 由于松弛变量和剩余变量分别表示未被充分利 用的资源以及超用的资源，都没有转化为价值和利 润，因此在目标函数中系数为零。
松弛变量和剩余变量统称为松弛变量
3. 取值无约束的变量
如果变量 x 代表某产品当年计划数与上 一年计划数之差，显然 x 的取值可能是正也 可能是负，这时可令：
约束条件不存在公共范围
图解法的启示：
1. 求解线性规划问题时，解的情况有：唯一最 优解，无穷多最优解，无界解，无可行解； 2. 若线性规划问题可行域存在，在可行域是一 个凸集； 3. 若线性规划问题最优解存在，在最优解或最 优解之一一定能够在可行域的某个顶点取得； 4. 解题思路是，先找凸集的任一顶点，计算其 目标函数值。比较其相邻顶点函数值，若更 优，则逐点转移，直到找到最优解。
二、线性规划问题的数学模型
三个组成要素：
1.决策变量:是决策者为实现规划目标采取
的方案、措施，是问题中要确定的未知量。
2.目标函数:指问题要达到的目的要求，表
示为决策变量的函数。
3.约束条件:指决策变量取值时受到的各种
可用资源的限制，表示为含决策变量的等式 或不等式。
一般线性规划问题的数学模型：
求解线性规划问题：
max z c j x j
j 1
n
n ，m） aij x j bi （i 1， j 1 x 0 （j 1， ，n） j
就是从满足约束方程组和约束不等式的决策变量取 值中，找出使得目标函数达到最大的值。
四、线性规划问题的解
可行解：满足约束条件的解称为可行解，可行解的集 合称为可行域。 最优解：使目标函数达到最大值的可行解。 基：约束方程组的一个满秩子矩阵称为规划问题的一
个基，基中的每一个列向量称为基向量，与基向量对应 的变量称为基变量，其他变量称为非基变量。
基解：在约束方程组中，令所有非基变量为0，可以
解出基变量的唯一解，这组解与非基变量的0共同构成 基解。
基可行解：满足变量非负的基解称为基可行解 可行基：对应于基可行解的基称为可行基
例4 说明什么是基、基 变量、基解、基可 行解和可行基
一、线性规划问题基本定理
定理一 若线性规划问题存在可行解，则问题的可行 域是凸集。 定理二 线性规划问题的基本可行解 X 对应线性规划 问题可行域（凸集）的顶点。
定理三 若线性规划问题有最优解，一定存在一个基 可行解是最优解。
从上述三个定理可以看出，要求线性规划问 题的最优解，只要比较可行域（凸集）各个 顶点对应的目标函数值即可，最大的就是我 们所要求的最优解。
产品Ⅰ 产品Ⅱ A B 2 1 2 2
计划期内 生产能力 12 8
C D
利润
4 0
2
0 4
3
16 12
MAX
需满足条件：
2 x1 2 x2 12 x 2x 8 1 2 16 4 x1 4 x2 12 x1 , x2 0
实现目的：
z 2 x1 3x2 max
可设X=(x1,x2,· · · · · · ,xk,0,0,· · · · · · ,0)T，若X为基本可行解，显然，由 基本可行解定义可知x1, x2,· · · · · · ,xk所对应的系数列向量P1,P2,· · · · · · ,Pk应 该线性独立。
（2）充分性： X的正分量所对应的系数列向量线性独立 X为基本可行解