运筹学基础及应用(1)
运筹学基础及其matlab应用
运筹学基础及其matlab应用嘿，朋友！想象一下这样一个场景，你正在筹备一场盛大的生日派对。
从邀请名单的确定，到场地的布置，再到美食的准备，每一个环节都需要精心策划，这时候，你有没有觉得自己就像一位指挥千军万马的将军，在排兵布阵，力求让这场派对完美无缺？其实啊，这背后隐藏的就是运筹学的奥秘。
就拿邀请名单来说吧，你得考虑哪些朋友之间关系好，把他们安排在相邻的位置，能让气氛更融洽；哪些朋友可能不太合得来，得适当隔开，免得闹出不愉快。
这可不就是在做资源的优化配置嘛！再说说场地布置。
你得根据场地的大小，合理安排桌椅、舞台、音响设备等等。
要是安排不好，可能就会显得拥挤杂乱，大家玩得也不痛快。
这像不像在解决一个复杂的空间布局问题？还有美食准备，得考虑大家的口味偏好，预算限制，以及食物的供应量。
既要让大家吃得开心，又不能浪费，这也是一门学问呢！而这时候，Matlab 就像是我们的得力助手。
它就像一个超级智能的军师，能帮助我们快速地分析和解决这些问题。
比如说，通过输入各种参数和条件，Matlab 能迅速给出最优的座位安排方案，让大家都能舒适又愉快地交流。
它还能根据预算和口味需求，计算出最合适的美食采购清单。
你可能会问，这是不是太复杂啦？其实不然。
举个简单的例子，就好比你在玩拼图游戏，每一块拼图都有它合适的位置，而运筹学和Matlab 就是帮你找到那些最合适的位置，让整个画面完美呈现。
咱们在日常生活中，处处都能见到运筹学的影子。
比如说，你每天早上规划上学或者上班的路线，怎么能最快到达目的地，这也是一种简单的运筹。
还有，你安排自己的学习时间，什么时候复习语文，什么时候做数学题，怎样才能让学习效率最高，这也是在运用运筹学的知识。
再比如，超市在进货的时候，要考虑哪些商品畅销，应该多进一些；哪些商品销量一般，要控制进货量。
这也是在进行资源的优化配置，运用了运筹学的原理。
说到这，你是不是觉得运筹学其实离我们并不遥远，而且还特别有用呢？总之，运筹学就像是我们生活中的智慧指南，而 Matlab 则是让这指南更加精准和高效的工具。
运筹学(一)
第三节
单纯形法原理
一、线性规划问题的解
可行解：满足约束条件的解称为可行解，可行解的集合称
a m 1 x1
a
m
2
x2
amnxn (,)bm
x1, x2 , , xn 0
n : 变 量 个 数 ; m:约 束 行 数 ;
n:变量个数 m：约束个数 cj:价值系数 bi:资源拥有量 aij :工艺系数
n m :线性规划问题的规模
c j : 价 值 系 数 ; b j : 右 端 项 ; aij : 技 术 系 数
2x1 x2 x3 x3 x4 9
st.34xx11
x2 2x3 2x3 x5 2x2 3x3 3x3 6
4
x1, x2, x3, x3, x4, x5 0
第二节
图解法
一、图解法的步骤
1.画出直角平面坐标系； 2.图示约束条件，找出可行域； 3.图示目标函数； 4.最优解的确定。
x2 2x2
2x3 3x3
4 6
x1 0, x2 0, x3取值无约束
解： z令 z,x1x1,x3x3 x3 ,其x中 3 ， x3 0， 同时引入x4松 和弛 剩变 余 x5,标 量 变准 量形式
m z x a 1 2 x 2 x 3 x 3 3 x 3 0 x 4 0 x 5
1940年，英国军事部门成立了第一个由一些数学家、物理学家 和工程专家等组成的OR小组，负责研究一些武器有效使用的问题。
1942年，美国也成立了由17人组成的OR小组，研究反潜艇策 略等问题。
（3）二战后：推广与发展
战时从事运筹学研究的许多专家转到了经济部门、民用企业、大 学或研究所，继续从事决策的数量方法的研究，运筹学作为一门学 科逐步形成并得以迅速发展。运筹学发展到今天，已成为分支学科 众多的一个繁荣昌盛的大家族。随着电子计算机的发展和使用，运 筹学处理复杂性问题的能力大大加强，成为解决实际问题的有力工 具，广泛地应用于企业管理、交通运输、公共服务等领域。
运筹学基础及应用第五版 胡运权34015电子教案
例：要离最小的方案。
A
5 S
5 B
5
D
T
C
E
4
即求图中的最小部分树
2、求法
方法一： 避圈法 将图中所有的点分V为V两部分， V——最小部分树中的点的集合 V——非最小部分树中的点的集合
⑴ 任取一点vi，令vi∈V，其他点在V中 ⑵ 在V与V相连的边中取一条最短的边(vi,vj)， 加粗(vi,vj)，令vj∈V ，并在V中去掉vj ⑶ 重复⑵ ，至所有的点均在V之内。
人
ABCDE F
甲
√
√
√
乙
√
√
√
丙
√
√
丁
√
√
戊
√
√
√
己
√
√
√
解：构造一个六阶图如下： 点：表示运动项目。
边：若两个项目之间有同一名运动员报名参加， 则对应的两个点之间连一条边。
A
F
B
E
C
D
为满足题目要求，应 该选择不相邻的点来 安排比赛的顺序：
A—C—B—F—E—D
或D—E—F—B—C—A
§6.2 树图和图的最小部分树
e4
e5
e6 e7
v3
v4
例如：e6= [v2,v3]
特别的，若边e的两个端点重合，则称e为环。
若两个端点之间多于一条边，则称为多重边。 简单图：无环、无多重边的图。
e7 v4
e3
v1 e8
v5
e5
e6 e2
e1
v3
e4
v2
4、点v的次（或度，degree）
与点v关联的边的条数，记为dG(v)或d(v)。 • 悬挂点 次为1的点，如 v5
运筹学基础及应用
运筹学基础及应用P43例13 、混合配料问题:某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。
已知各种牌号糖果中A、B、C含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及售价如表1-19所示。
问该厂每月生产这三种牌号糖果各多少千克，使该厂获利最大。
试建立这个问题的线性规划的数学模型。
表1-19甲乙丙原料成本(元/kg) 每月限制用量(kg) A 2.00 2000 ?60% ?30%B 1.50 2500C 1.00 1200 ?20% ?50% ?60%0.50 0.40 0.30 加工费(元/kg)3.40 2.85 2.25 售价(元/kg)P44例14、投资项目的组合问题:兴安公司有一笔30万元的资金，考虑今后三年内用于下列项目的投资:(1) 三年内的每年年初均可投资，每年获利为投资额的20%，其本利可一起用于下一年投资;(2) 只允许第一年初投入，于第二年末收回，本利合计为投资额的150%，但此类投资限额不超过15万元;(3) 允许于第二年初投入，于第三年末收回，本利合计为投资额的160%，但限额投资20万元;(4) 允许于第三年初投入，年末收回，可获利40%，但限额为10万元。
试为该公司确定一个使第三年末本利和为最大的投资组合方案。
P44例15、生产、库存与设备维修综合计划的安排:红光厂有2台车床，1台钻床，1台磨床，承担4中产品的生产任务(已知生产各种产品所需的设备台时及生产单位产品的售价如表,,20所示(对各种产品今后三个月的市场最大需求(小于最大需求量时即可全部销出)及各产品在今后三个月的生产成本分别如表1,21和表1,22所示(上述设备在1~3月内各需进行一次维修,具体安排为:2台车床于2月份、3月份各维修一台,钻床安排在2月份维修,磨床安排在3月份维修.各设备每月工作22天.每天2班,每班8h,每次维修占用半各月时间.又生产出来的产品当月销售不出去(超过最大需求量)时,可在以后各月销售,但需付每件每月储存费5元.但规定每月底各种产品储存量均不得超过100件.1月初各产品无库存,要求3月底各产品均库存50件.试安排该厂各月的生产计划,使总的利润为最大.表,,20 a值单位:h iji ? ? ? ? j车床 ,., ,., ,.,钻床 ,., ,., ,.,磨床 ,., ,., ,.,售价(元,件) ,, ,, ,, ,,表 1,21 最大需求量单位:件 K ? ? ? ? j1月 200 300 200 200 2月 300 200 0 300 3月 300 100 400 0表,,22 产品成本单位:元,件K ? ? ? ? j,月 ,, ,, ,, ,, ,月 ,, ,, ,, ,, ,月 ,, ,, ,, ,,P81例1、某食品公司经销的主要产品之一是糖果。
第五版运筹学基础与应用大题模拟试题及答案
第五版运筹学基础与应用-大题模拟试题及答案计算题一1. 下列线性规划问题化为标准型。
(10分) 123min +5-2Z x x x =-123123121236235100,0,x x x x x x x x x x x +-≤-+≥+=≥≤符号不限2. 写出下列问题的对偶问题 (10分)123min 42+3Z x x x =+123123121234+56=78910111213140,0x x x x x x x x x x x --+≥+≤≤≥无约束，3. 用最小元素法求下列运输问题的一个初始基本可行解(10分)4．某公司有资金10万元，若投资用于项目(1,2,3)i i i x =的投资额为时，其收益分别为11122()4,()9,g x x g x x ==33()2,g x x =问应如何分配投资数额才能使总收益最大？(15分)满满5．求图中所示网络中的最短路。
（15分）计算题二1、某工厂拥有A,B,C三种类型的设备，生产甲、乙两种产品，每件产品在生产中需要使用的机时数，每件产品可以获得的利润，以及三种设备可利用的机时数见下表：求：（1）线性规划模型；（5分）（2）利用单纯形法求最优解；（15分）4.如图所示的单行线交通网，每个弧旁边的数字表示这条单行线的长度。
现在有一个人要从1v 出发，经过这个交通网到达8v，要寻求使总路程最短的线路。
（15分）5. 某项工程有三个设计方案。
据现有条件，这些方案不能按期完成的概率分别为0.5,0.7,0.9,即三个方案均完不成的概率为0.5×0.7×0.9=0.315。
为使这三个方案中至少完成一个的概率尽可能大，决定追加2万元资金。
当使用追加投资后，上述方案完不成的概率见下表，问应如何分配追加投资，才能使其中至少一个方案完成的概率为最大。
(15分)计算题三1、某工厂要制作100套专用钢架，每套钢架需要用长为2.9m , 2.1m , 1.5m的圆钢各一根。
运筹学基础及应用_(第四章_整数规划与分配问题)
（d） 8
（e）1号、
4号、6号、9号开采时不能超过两个，试表示上
述约束条件。
Next
基础教研室
（a）当x8=1 当x8=0 ∴ x8 x6
x6=1，x6≠0 x6=1，x6=0
（b）当x5 =1 当x5 =0 ∴ x5 + x3 1
x3=0， x3 ≠1 x3=0， x3 =1
基础教研室
【例1】求下述整数规划的最优解
Max z= 3x1 + 2x2 st . 2x1 + 3x2 14 x1 + 0.5x2 4.5 x10，x20，且为整数
基础教研室
x2 x1+0.5x2=4.5
4
(3.25, 2.5) 2 2x1+3x2=14
2
4
6
x1
3x1+2x2=6
二、整数规划的求解方法
1 －选择电网供应 设 y1 0 －不选择电网供应
10 d j x j f (1 y1 ) M j 1 10 0.3d j x j p (1 y2 ) M j 1 y1 y2 1 y1 , y2 0或1
基础教研室
【例3】投资决策问题 某公司准备1000万元资金在10个地点中选择若干个建立 工厂（工厂名称用地点名来命名），有关数据如下：
由于各个工厂之间有配套和协作关系，因此必须满足条件： 1、 建工厂1就必须同时建工厂2； 2、 若建工厂2就不允许建工厂3； 3、 工厂4和工厂5至少建一个； 4、 工厂6，7，8恰好建2个； 5、 工厂8，9，10最多建2个； 6、 建工厂4或者建工厂6，就不能建工厂8，反过来也一样； 7、 条件2，3，5最多满足2个。 问选择哪几个地点建厂最有利？ Next
运筹学基础及应用---6.3
3、狄克斯屈拉（Dijkstra）标号算法
（1）适用范围 用于求某两个点之间的最短距离。 即在已知的网络图中，从给定点s出发，要到达目的地t。 问：选择怎样的行走路线，可使总行程最短？ （2）原理 最短路上任何片段是最短路。 v5
v1 v2 v3 v4 （3）思想 按离出发点s的距离由近至远逐步标出最短距离Lsi以及最 佳行进路线。
50
140
175
40
0
120
150
0
125
60
100
40
200
120
350 360
600 总路程 1700
250 240
480 1335
250 240
480 1430
150 120
360 1070
0 60
180 835
50 0
240 770
150 240
0 1330
故小学应该建在v6村。
共 勉
新课结束，谢谢大家！
收敛条件： ① 当 D（k+1）= D（k）时，计算结束； ② 设网络图有p个点，即最多有p-2个中间点， 则 2k-1-1 <p-2 2k-1 k-1<log2 (p-1) k ∴ k<log2(p-1)+1， 即计算到 k= lg(p-1)/lg2 +1 时，计算结束。
注意 优点
D（0）=
6 V4 2
∞ 0
∞ 4
V4 ∞ 2 V5 ∞ 7
∞ 6
V6 ∞ ∞ 4
v7 ∞ ∞ ∞ ∞ 3
注意：D(0)是一个对称矩阵，且对角线上的元素全是0.
⑵ 构造任意两点间直接到达、或者最多经过1个中 间点到达的最短距离矩阵D（1）= dij（1）； 其中 dij（1）= min { dir（0）+ drj（0）} 即dij(1)为D(0)中第i行和第j行对应元素之和的最小值
运筹学基础及应用第五版 胡运权
注意：
1. 一个图的最小部分树不唯一，该题中用几种解法 得到的结果都是相同的，是特殊情况；
2. 不同解法得到的最小部分树所包含的边虽然可能 不相同，但是，每个最小部分树中所有边权的总和一定都 是相同的，即都达到了最小。
§6.3 最短路问题
即n=k时结论也成立。 综上，n阶树有n-1条边。
（3）任何有n个点、n-1条边的连通图是树。
证明（反证法）： 假设n个点，n-1条边的连通图中有圈，则在该圈中去掉一
条边得到的子图仍连通，若子图仍有圈，则继续在相应圈中去 掉一条边，…，直到得到无圈的连通图，即为树。但是该树有 n个点，边数少于n-1,矛盾！
V2
7
5 V1
2
2
6
V4
7
2
V3
4
3 V7
1 6
V6
4、矩阵算法 求任意两点间最短距离的方法
⑴ 构造任意两点间直接到达的最短距离矩阵
记做D(0)= dij(0)
其中dij(0)=dij
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7
V1 0 5 2 ∞ ∞ ∞ ∞
D（0）= V2 5 0 ∞ 2 7 ∞ ∞
D（2）= V2 5 0 7 2 5 4 8
V3 2 7 0 6 5 4 8 V4 7 2 6 0 3 2 6 V5 7 5 5 3 0 1 3 V6 6 4 4 2 1 0 4 v7 10 8 8 6 3 4 0
⑷ 构造任意两点间最多可经过7个中间点到达的最短
距离矩阵 D（3）= dij（3） 其中 dij（3）= min { dir（2）+ drj（2） }
注意：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
P37 1.1（注意考试的时候需要画图，即将约束条件代表的直线画在坐标 系中）
P38 1.6(a)
P39（a）
P40 1.12 解：设 xijk 表示产品 i 在工序 j 的设备 k 上加工的数量。约束条件有：
5 x111 10 x211 6000 (设备A1) 7 x112 9 x212 12 x312 10000（设备A 2） 6 x121 8 x 221 4000 （设备B1） 4 x122 11x322 7000 (设备B2) 7 x123 4000 (设备B3) x111 x112 x121 x122 x123 （产品I在工序A，B上加工的数量相等） x211 x212 x221 （产品II在工序A，B上加工的数量相等） x312 x322 （产品III在工序A，B上加工的数量相等） xijk 0（i 1,2,3; j 1,2; k 1,2,3）
最优生产决策如下表，最小费用 z＝773 万元。
P84 3.6
注意：题目要求，为维修等需求备用船只数占总数的 20%，所以答案是 131* （1+20%）=158 条
解的最优解为 x111 =1200， x112 =230， x121 =0， x122 =859， x123 =571， x211 =0， x212 =500， x221 =500， x322 =324
P64 2.1（a）
（b）
2.2 （a）如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解； 错的。如原问题是无界解，对偶问题无可行解。 正确推论：原问题有可行解且目标函数值无界（具有无界解） ，则其对偶问题无可行解。 （b）如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解； 错的。如原问题是无界解，对偶问题无可行解。 正确推论：线性规划的对偶问题没有可行解，则原问题解的情况是无界解或者无可行解。 （c）在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，不管原问题是求极大或极小，原问题可行解 的目标函数值一定不超过其对偶问题可行解的目标函数值； 错的。如果原问题是求极小，结论相反。 正确推论：如果原问题是求极小，结论相反。 （d）任何线性规划问题具有唯一的对偶问题。 对的。
目标是利润最大化，即利润的计算公式如下：
3
利润＝ [(销售单价－原料单价) 该产品件数]－
i 1 5
(每台时的设备费用 该设备实际使用台时)
i 1
带入数据整理得到：
max 0.75 x111 0.775 x112 1.15 x211 1.36 x212 1.915 x312 0.375 x121 0.5 x221 0.448 x122 1.23 x322 0.35 x123
因此该规划问题的模型为：
max 0.75 x111 0.775 x112 1.15 x211 1.36 x212 1.915 x312 0.375 x121 0.5 x221 0.448 x122 1.23 x322 0.35 x123 5 x111 10 x211 6000 7 x112 9 x212 12 x312 10000 6 x121 8 x 221 4000 4 x122 11x322 7000 s.t 7 x123 4000 x x x x x 121 122 123 111 112 x211 x212 x221 x312 x322 xijk 0（i 1,2,3; j 1,2; k 1,2,3）
由于产大于销，加上一个虚拟的销地 D，化为平衡问题，即可应用表上作业法求解。 该问题的数学模型： Min f = 10.8 x11 +10.95 x12 +11.1 x13 +11.25 x14 +11.1 x22 +11.25 x23 +11.4 x24 +11.0 x33 +11.15 x34 +11.3 x44
2.4
P83 3.4 解： 设 xij 为第 i 季度生产的第 j 季度交货的柴油机数目，那么应满足： 交货： x11 = 10 x12 + x22 = 15 x13 + x23 + x33 = 25 x14 + x24 + x34 + x44 = 20 • 生产： 每一季度生产的用于当季和以后各季度交付的柴油机数不可能超过该季度的生产能力， 故有 x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 25 x22 + x23 + x24 ≤ 35 x33 + x34 ≤ 30 x44 ≤ 10 把第 i 季度生产的柴油机数目看作第 i 个生产厂的产量； 把第 j 季度第 i 季度生产的第 j 季度交货的每台柴油机的实际成本， 应该等于该季度单位成本加上储存、维护等费用。可构造下列产销平衡问题： • •