材料力学之应力、变形

仍与变形后的纵向弧线垂直
2、提出假设 ( Assumptions）
(a)平面假设 变形前为平面的横截面变形 后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线 (b) 单向受力假设 纵向纤维不相互挤压, 只受单向拉压 推论：必有一层变形前后长度不变的纤维 ——中性层（ Neutral surface）
中性轴
中性轴 ⊥横截面对称轴
d

y
dx
z
y
y
CL8TU3-2
三、物理关系(Physical relationship)
(a)
取分离体如图(d)：


x
´
´
´
(b)
( c)
(d)
(d)
n

Fra Baidu bibliotek
x
´ t
转角规定：
轴正向转至截面外法线 由平衡方程：
逆时针：为“+” 顺时针：为“–”
Fn 0 ; dA (dAcos)sin ( dAsin)cos 0 dAsin)sin 0 Ft 0 ; dA (dAcos)cos (
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
只是Ip值不同。
对于实心圆截面：
I p A dA
2
d
2 2 d
D 2 0

O
D
D4 0.1D 4
32
对于空心圆截面：
d
I p A dA
2

d O D
2 2 d
y
o’
z b’ y
o’
x b’
bb dx oo o' o' d b' b' y d ( y )d d y d
应变分布规律
直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比
图（b）
图（c）
y ( y)d d d
{
基本变形
组合变形
分析内力 研究方法： 基本变形
用截面法求内力
绘内力图：轴力、 扭矩、剪力、弯矩 应力公式推导（一般为超静定）
1、理论分析 （基本理论）
变形计算 组合变形的应力计算 压杆临界应力计算 能量法 动载问题：通过动荷系数转化为静荷问题 交变应力
测定材料力学性能、观察试件受力直至 破坏时的各种现象
实验
变 形 几 何 关 系 物 理 关 系 静 力 关 系
平面假设 横截面上只有垂直 于半径的切应力， 没有正应力
观察变形 提出假设
变形的分布规律
应力的分布规律
建立公式
二、变形几何关系（ Deformation geometric relation ） 横截面上任一点处的切应变随点的位置的变化规律
d A G dA dx d G A 2 dA dx
2
O
令
I p A dA
2
d T GI p dx
d T dx GI p
d 得： 代入物理关系式 G dx
T Ip
T Ip
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
3）. 纵向线变形后仍为平行。
相邻圆周线绕杆的轴线相对 转动，但圆周的大小、形状、 间距都未变； 纵向线倾斜了同一个角度γ ， 表面上所有矩形均变成平行四边形。
提出假设 ( Assumptions）
平面假设
等直圆杆受扭转时其横截面如同刚性平面一样绕杆 的轴线转动。 杆的横截面上只有垂直于半径的切应力，没有正应 力产生。
2 M 2 Mn
M M M
2 2 y
2 Z
1 r4 M 2 0.75M n2 Wz
细长杆： 欧拉公式 压杆临界 应力计算 稳定安全 系数 中粗杆：经验公式
cr
2E 2
p
cr a b
s p
短粗杆： 压缩强度
cr s (或 b )
为构件
提供手段
安全可靠 要求 节省材料
两者对立统一，促进力学发展 结构力学——主要研究杆系 弹性力学——研究杆、板、壳 块等弹性体
断裂力学——研究裂纹体 塑性力学——塑性范围的应力 和变形 复合材料力学——研究各向异 性体
其相关与后续课程
固体力学研究之三大基本原理（Newton体系）
1 外力作用下，物体（变形体）内部 产生内力；所有的力必须满足力的 平衡关系 2 物体变形应满足几何关系：无空 隙无重叠。物体的变形必须满足 变形协调关系
等直圆杆扭转时横截面上切应力计算公式
max
T O
max

d
实验 变 形 几 何 关 系 物 理 关 系 静 力 关 系
平面假设 横截面上只有垂直 于半径的切应力， 没有正应力
观察变形 提出假设
变形的分布规律
d dx
d G dx
应力的分布规律
建立公式
d T dx GI p
中性层
横截面对称轴
纵向对称面 中性层
横向线(a b、c d）变
中性轴 形后仍为直线，但有转动；
纵向线变为曲线，且上缩 下伸；横向线与纵向线变
a b
c d M
形后仍正交。 中性层：梁内一层纤维既不伸 长也不缩短，因而纤维不受拉
M
a c d
应力和压应力，此层纤维称中 性层。 中性轴：中性层与横截面的交 线。
Me Me
a
b T d dx
T
E A O1

D D' dx
G G'
O2 d b A
E
O1

G
D

a

d
O2
D'
G'
( d / 2) d dx
GG d tan dx EG
a T E A O1
b
T

D
G D'
G'

a
d b
d
O2
E A
O1
s
nst
Pcr Pmax
[nst ]


l
i
p
a b
s
2E p
s
原理：功能原理、虚为移原理 能量法 方法：单位荷载法（含莫尔定理）、 卡氏第一、第二定理 应用：求变形；解静不定（力法、位移法） 计算压杆临界载荷等
适当选择 安全系数
强度条件——保证强度足够 建立 稳定条件——压杆不失稳 刚度条件——保证变形不逾限 设计截面尺寸 计算承载能力 强度、刚度、稳定性校核
基本变形 -------应力公式推导、强度计算
材料力学系统小结
• 材料力学——研究对象——变形固体——外力{动、静
载荷}作用下——发生
{
弹性变形（卸载后变形消失） ——材力研究范围 塑性变形（卸载后有残余变形）
•
——宏观基本假设
{
连续性 均匀性 各向同性
}
——应用于工程——
{
机械零件 结构构件
}
——主要为弹性杆——分类
d 4 4 (D d ) ( D )
D 2 d 2
32
D 4 4 4 (1 ) 0.1D (1 )
4
32
④ 应力分布
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。
⑤ 确定最大剪应力： 由
T Ip
偏心拉（压）
N M max A Wz
N Pe A Wz
组合变形 杆应力计算
弹性小变形 由叠加原理
max
斜弯曲——两平面弯曲的组合
max
cos sin M max Z1, 2 y1, 2 I Iz y
圆杆弯扭组合
r3
1 Wz
90 0 , 90 max
由此可见：圆轴扭转时，在横截
面和纵截面上的剪应力为最大值；在 45° 方向角 = 45的斜截面上作用有最 大压应力和最大拉应力。根据这一结
´
论，就可解释前述的破坏现象。
纯弯曲时横截面上正应力
一、实验（ Experiment）
1、变形现象（Deformation phenomenon ) 纵向线 各纵向线段弯成弧线， 且靠近顶端的纵向线缩短， 靠近底端的纵向线段伸长 横向线 各横向线仍保持为直线， 相对转过了一个角度,
2、材力实验
实测应力、应变和变形 验证理论
实验观察——建立平面假设——几何方程 应力公式 推导
线弹性范围——运用虎克定律——物理方程
截面法——由静力平衡——力学方程 梁的弯曲剪应力
* QS z bI z
拉（压）应力 综合导出 圆轴扭转应力 弯曲正应力

M n Ip

My Iz

dx
G

D
D'
d
O2
G'
dx
即
d dx

d dx
变形几何关系
相对扭转角沿杆长的变化率，对于给 定的横截面为常量
d dx
实验
变 形 几 何 关 系 物 理 关 系 静 力 关 系 观察变形 提出假设
平面假设 横截面上只有垂直 于半径的切应力， 没有正应力
知：当
d R , max 2
d T 2 max Ip
T Ip
T d (令 W I p ) 2 d Wt 2
max
T Wt
Wt — 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3或m3。
对于实心圆截面：
Wt I p R D3 16 0.2D3
N A
拉压（杆）
长度改变
NL EA
变形计算
轴扭转
扭转角 截面转角 挠度 v
MnL GI p
梁的弯曲
M ( x) dx C EI Z
M ( x) dxdx Cx D EI z （挠曲线近似微分方程：
EI z v M ( x) ）
拉（压）弯组合 max
b
中性轴 中性层
中性层
实验
变 形 几 何 关 系 物 理 关 系 静 力 关 系
平面假设 单向受力假设
观察变形 提出假设
中性层、中性轴
变形的分布规律
应力的分布规律
建立公式
二、变形几何关系（ Deformation geometric relation ）
dx
d
dx o
o
x o y
b
z b 图（a）
对于空心圆截面：Wt I p R D3(1 4) 16 0.2D3(1- 4)
等直圆杆扭转时斜截面上的应力
低碳钢试件： 沿横截面断开。
铸铁试件： 沿与轴线约成45的 螺旋线断开。 因此还需要研究斜截面上的应力。
M
1. 点M的应力单元体如图(b)： 2. 斜截面上的应力；
3
力与变形的关系；物理关系，由材料力学性能决定。
①变形几何方面
横截面应力
变 形 几 何 关 系 物 理 关 系 静 力 关 系
②物理关系方面
③静力学方面
观察变形 提出假设
变形的分布规律
应力的分布规律
建立公式
等直圆杆扭转时 横截面上切应力
一、实验观察：
1）. 横截面变形后
仍为平面；
2）. 轴向无伸缩；

解得：
sin 2 ; cos2
sin 2 ; cos2
分析： 当 = 0°时，
0 0 , 0 max
45 min , 45 0
当 = 45°时，
当 = – 45°时， 45 max , 45 0 当 = 90°时，
T Ip
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
4. 公式讨论： ① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面
直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
I p A dA
2
单位：mm4，m4。
T Ip
圆轴扭转数学提法： 已知：圆截面等直杆横截面上的扭矩T 定 杆横截面的面直径d、剪切弹模G 解 问 题 求：横截面上任一点的切应力 和剪应变
d dx
基 本 方 程
求解 基
G
本 解
T Ip
T A dA
T GI p d T dx GI p
平面假设 横截面上只有垂直 于半径的切应力， 没有正应力
观察变形 提出假设
变形的分布规律
d dx
d G dx
应力的分布规律
建立公式
四、静力关系 (Static relationship） dA d dA G dx T A dA
变形的分布规律
d dx
应力的分布规律
建立公式
三、物理关系(Physical relationship) 剪切胡克定律
G d dx
d G dx

d G dx
实验 变 形 几 何 关 系 物 理 关 系 静 力 关 系