高中数学概率和统计解答题)汇总

概率与统计解答题1、A 、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。

每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A ，另2只服用B ，然后观察疗效。

若在一个试验组中，服用A 有效的小白鼠的只数比服用B 有效的多，就称该试验组为甲类组。

设每只小白鼠服用A 有效的概率为32,服用B 有效的概率为21. （Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望。

（Ⅰ）解：设A i 表示事件“一个试验组中，服用A 有效的小白鼠有i 只”，i=0，1，2； B i 表示事件“一个试验组中，服用B 有效的小白鼠有i 只”，i=0，1，2依题意有 P(A 1)=2×13×23=49, P(A 2)=23×23=49, P(B 0)=12×12=14, P(B 1)=2×12×12=12,所求的概率为p=P(B 0A 1)＋P(B 0A 2)＋P(B 1A 2)=14×49＋14×49＋12×49=49 …………6分（Ⅱ） ξ的可能取值为0，1，2，3，且 ξ~B(3,49),∴ P(ξ=0)=(59)3=125729, P(ξ=1)=C 13×49×(59)2=100243, P(ξ=2)=C 23×(49)2×59=80243, P(ξ=3)=(49)3=64729∴ ξ的分布列为数学期望E ξ=3×49=43……………12分2、设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程20x bx c ++=实根的个数（重根按一个计）．（Ⅰ）求方程20x bx c ++=有实根的概率； （Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程20x bx c ++=有实根的概率．.解:（I ）基本事件总数为6636⨯=，若使方程有实根，则240b c ∆=-≥，即b ≥当1c =时，2,3,4,5,6b =； 当2c =时，3,4,5,6b =；当3c =时，4,5,6b =； 当4c =时，4,5,6b =； 当5c =时，5,6b =； 当6c =时，5,6b =, 目标事件个数为54332219,+++++=因此方程20x bx c ++= 有实根的概率为19.36 (II)由题意知，0,1,2ξ=，则 17(0)36P ξ==，21(1),3618P ξ===17(2)36P ξ==，故ξ的分布列为ξ0 1 2P1736 118 1736ξ的数学期望17117012 1.361836E ξ=⨯+⨯+⨯= (III)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M ，“方程20ax bx c ++= 有实根” 为事件N ，则11()36P M =，7()36P MN =， ()7()()11P MN P N M P M ==. 3、如图是在竖直平面内的一个“通道游戏”．图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相遇，若竖直线段有第一条的为第一层，有二条的为第二层，……，依次类推．现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动．记小弹子落入第n 层第m 个竖直通道（从左至右）的概率为(,)P n m ．（已知在通道的分叉处，小弹子以相同的概率落入每个通道）（Ⅰ）求(2,1),(3,2)P P 的值，并猜想(,)P n m 的表达式．（不必证明）（Ⅱ）设小弹子落入第6层第m 个竖直通道得到分数为ξ，其中4,133,46m m m m ξ-≤≤⎧=⎨-≤≤⎩，试求ξ的分布列及数学期望．层 层解：（1）0101111(2,1)222P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，…………2分1112111(3,2)222P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ …………4分111(,)2m n n C P n m ---= …………6分（2）01555515(6,1)(6,6),(6,2)(6,5),232232C C P P P P ====== 25510(6,3)(6,4)232C P P ===…………9分2316E ξ=…………12分4、2009年10月1日，为庆祝中华人们共和国成立60周年，来自北京大学和清华大学的共计6名大学生志愿服务者被随机平均分配到天安门广场运送矿泉水、清扫卫生、维持秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有一名北京大学志愿者的概率是35。

（1）求6名志愿者中来自北京大学、清华大学的各几人；（2）求清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学人各一人的概率； （3）设随机变量ζ为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数，求ζ分布列及期望。

解：（1）记“至少一名北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”为事件A ，则A 的对立事件为“没有北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”，设有北京大学志愿者x 个，1≤x<6，那么P （A ）=2626315x C C --= ，解得x=2，即来自北京大学的志愿者有2人，来自清华大学志愿者4人； -----------------------3分（2）记清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学志愿者各有一人为事件E ，那么P （E ）=112426C C C =815， 所以清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学志愿者各一人的概率是815；-------6分 （3）ξ的所有可能值为0，1，2，P （ξ=0）=2426C C =25，P （ξ=1）=112426C C C 815=， P （ξ=2）=2226C C =115，-----8分 所以ξ的分布列为------------------------11分2812012515153E ξ=⨯+⨯+⨯=’ --------------12分命题意图：本题考查了排列、组合、概率、数学期望等知识，考查了含有“至多、至少、恰好”等有关字眼问题中概率的求法以及同学们利用所学知识综合解决问题的能力。

5、小白鼠被注射某种药物后，只会表现为以下三种．．症状中的一种：兴奋、无变化（药物没有发生作用）、迟钝．若出现三种症状的概率依次为111,236、、现对三只小白鼠注射这种药物．（I ）求这三只小白鼠表现症状互不相同的概率；（II ）用ξ表示三只小白鼠共表现症状的种数．．，求ξ的颁布列及数学期望． 解：（Ⅰ）用(12,3)i A i =，表示第一只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝，用(12,3)i B i =，表示第二只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝， 用(12,3)i C i =，表示第三只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝. 三只小白鼠反应互不相同的概率为33123()P A P A B C = …………………3分111162366=⨯⨯⨯= ………………………5分（Ⅱ）ξ可能的取值为321，，.3331112223331111(1)()2366P P A B C A B C A B C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,61)3(==ξP ，………………………………………8分 3261611)3()1(1)2(=--==-=-==ξξξP P P ．或2311211322122333133222232222(2)()1111(2326111111112)363262633P C P A B C A B C A B C A B C A B C A B C C ξ==⋅+++++⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.……………………10分所以，ξ的分布列是所以，2213322611=⨯+⨯+⨯=ξE ．…………12分 6、某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(]495,490，(]500,495，. . . ，(]515,510.由此得到样本的频率分布直方图，如图所示（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量； （Ⅱ）在上述抽取的40件产品中任取2件，设ξ为重量超过505克的产品数量，求ξ的分布列；（Ⅲ）从流水线上任取5件产品，估计其中恰有2件产品的重量超过505克的概率. 解：（Ⅰ）重量超过505克的产品数量是12)501.0505.0(40=⨯+⨯⨯件 -------2分（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0,1,2 （只有当下述没做或都做错时，此步写对给1分）22824063(0)130C P C ξ===,11122824056(1)130C C P C ξ===,21224011(2)130C P C ξ===, （以上（Ⅱ）中的过程可省略，此过程都对但没列下表的扣1分）ξ的分布列为------9分（每个2分，表1分）（Ⅲ）由（Ⅰ）的统计数据知，抽取的40件产品中有12件产品的重量超过505克，其频率为3.0，可见从流水线上任取一件产品，其重量超过505克的概率为3.0，令ξ为任取的5件产品中重量超过505克的产品数，则)3.0,5(~B ξ，------11分故所求的概率为3087.0)7.0()3.0()2(3225===C p ξ ------13分7、张先生家住H 小区，他工作在C 科技园区，从家开车到公司上班路上有L 1，L 2两条路线（如图），L 1路线上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；L 2路线上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35． （Ⅰ）若走L 1路线，求最多．．遇到1次红灯的概率； （Ⅱ）若走L 2路线，求遇到红灯次数X 的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由． 解：（Ⅰ）设走L 1路线最多遇到1次红灯为A 事件，则0312331111()=()()2222P A C C ⨯+⨯⨯=． 4分所以走L 1路线，最多遇到1次红灯的概率为12．（Ⅱ）依题意，X 的可能取值为0，1，2331(=0)=(1)(1)4510P X -⨯-=，33339(=1)=(1)(1)454520P X ⨯-+-⨯=， 339(=2)=4520P X ⨯=． 8分01210202020EX =⨯+⨯+⨯=． 11分 （Ⅲ）设选择L 1路线遇到红灯次数为Y ，随机变量Y 服从二项分布，1(3,)2Y B ，所以13322EY =⨯=． 12分因为EX EY <，所以选择L 2路线上班最好 14分8、某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的.(Ⅰ) 求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；(Ⅱ) 用X 表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X 的分布列和数学期望.解：(Ⅰ) 设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A , 1分由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是13， 3分则4265()1()1381P A P A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ .6分(Ⅱ) X 的可能取值为0,1,2,3,4, 7分A 2 1由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为13，且每个人下电梯互不影响， 所以，1(4,)3XB . 9分11分14()433E X =⨯=. 13分9、甲班有2名男乒乓球选手和3名女乒乓球选手，乙班有3名男乒乓球选手和1名女乒乓球选手，学校计划从甲乙两班各选2名选手参加体育交流活动.（Ⅰ）求选出的4名选手均为男选手的概率.（Ⅱ）记X 为选出的4名选手中女选手的人数，求X 的分布列和期望. 解：（Ⅰ）事件A 表示“选出的4名选手均为男选手”.由题意知232254()C P A C C = 3分11110220=⨯=. 5分 （Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3. 6分23225431(0)10620C P X C C ====⨯， 7分11212333225423337(1)10620C C C C P X C C +⨯⨯+====⨯， 9分 21332254333(3)10620C C P X C C ⨯====⨯， 10分 (2)1(0)(1)(3)P X P X P X P X ==-=-=-=920=. 11分 X 12分179317()01232020202010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 13分 10、某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队，要求选拔过程分前后两次进行，当第一次选拔合格后方可进入第二次选拔，两次选拔过程相互独立。