信息光学(傅里叶光学)Chap5-1

2． h 是成像系统的脉冲响应,代表物平面(0,0)处点光源在像面 上的分布。 ~ h xi , yi xi , yi 若 P()=1, 即透镜孔径为无穷大，则 ~ 此时 x yi 1 ~i U i xi , yi U 0 , 是理想几何像,倒立,缩放。 M M M
k 1 2 2 U i xi , yi exp jk di exp j xi yi 2d jd i i k U l ' , exp j 2 2 2d i




(5-4)


2 xi yi d d exp j d i

(5-1)
k ( 2 2 ) (5-2) 2f #
k 2 2 2 U 0 ( x0 , y0 ) exp j ( x0 y0 ) exp j ( x0 y0 ) dx0 dy0 2d 0 d 0

x y 1 ~0 ~0 ~ U i ( xi , yi ) U 0 , h xi ~0 , yi ~0 d~0 d~0 x y x y M M M
这是我们的主要结果
(5-11)
#
第五章 光学成像系统的频率特性
§5-1透镜的成像性质: 结论
2
1 k 1 1 1 k exp j 3x exp j 2d 2d f 2d
2 0 i 0
U 0 x0 , y0 P ,
2 0
(5-5)
~ 2 xi , yi P , exp j xi yi dd 为光瞳函数的F.T. h d i (5-10) ∴由（5-8）式运用卷积定理直接写出像平面的光场复振幅分布：

~ U i xi , yi U g xi , yi h xi , yi 再按卷积定义式写出:
1 U i ( xi , yi ) 2 di d0 2 G0 d 0 , d 0 P , exp j di xi yi d d

是函数
G0 , d 0 d 0
若透镜的光瞳为有限尺寸，则 ~ 2 xi yi dd h xi , yi P , exp j d i
为光瞳函数的F.T.
(衍射斑)
#
第五章 光学成像系统的频率特性
§5-1透镜的成像性质: 结论
x y 1 ~0 ~0 ~ U i ( xi , yi ) U 0 , h xi ~0 , yi ~0 d~0 d~0 x y x y M M M
把成像系统的作用分为两部分:理想成像和卷积积分: 物 U0 几何像 Ug 线性空不变系统 实际像 Ui = Ug *

定标器
h
h
只考虑后一部分
直接把Ug称为输入像。
第二节
#
2 2 x0 y0 exp j xi yi dx0 dy0 dd exp j d 0 di
若为几何光学成像, 像平面的 (xi,yi)点对应于物平面唯一的(x0,y0) 对几何光学的偏离: 物平面上的 (x0,y0)点在像平面上形成以(xi,yi) 为中心的Airy斑. 反过来, 像平面上 (xi,yi)点处的光场,来自于(x0,y0) 点附近一个很小的区域中物平面的贡献. 像点坐标(xi,yi)与物点坐标(x0,y0) 的关系是: xi
1 M
yi xi G0 ' , ' j 2 ' M ' M

d ' d '

U x , y
y 1 x 定义: U 0 i , i M M M (5-9) Ug为几何光学 的理想像 g i i
Mx0 , yi My0
#
在给定的(xi,yi)产生不为零的二次位相分布的(x0,y0) 范围很小. 在此范围内, 因子3可记为常量.这个常量是与(xi,yi) 坐标有关的.
第五章 光学成像系统的频率特性
§5-1透镜的成像性质
处理二次位相因子(3)的方法:考察像平面
1 U i xi , yi 2 di d0 k 2 2 U 0 x0 , y0 P , exp j 2d0 x0 y0
第五章 光学成像系统的频率特性
§5-1透镜的成像性质
处理二次位相因子(3)的方法:考察像平面
1 U i xi , yi 2 di d0 k 2 2 U 0 x0 , y0 P , exp j 2d0 x0 y0

3


1 2 d i d 0

(5-8)
2 P , exp j xi yi d d G0 d 0 , d 0 # di
第五章 光学成像系统的频率特性
§5-1透镜的成像性质
xi,yi平面的复振幅分布:

y0
2

2 2 x0 y0 exp j xi yi dx0 dy0 dd exp j d 0 di 1:不参与积分,不影响观察面强度分布,可以直接略去,不考虑. 才可略去 2:参与积分, 只有在特定平面满足: 1 1 1 0 d0 di f 这正是几何光学确定的像平面, d i (5-7) 我们仅讨论此平面的分布 此时成像, 放大率: M d # 0

U x , y P ,
0 0 0

2 2 x0 y0 exp j xi yi dx0 dy0 dd exp j d 0 di
进一步整理: (先对x0,y0积分):
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第五章 光学成像系统的频率特性
§5-1透镜的成像性质
定义:
为几何光学的理想像，其特征： yi （1） 与原物完全相似 1 xi U g xi , yi U 0 , （2） 倒立，反演 M M M （3） 比例缩放，倍数M (5-15) （4） 幅度缩为1/M 再定义:
与 P , 乘积的F.T. 等于各自F.T.的卷积.
2 exp j xi yi dd G0 , d 0 d 0 di

(5-8)
分别考察: 作变换:
1 2 d i d 0
' ' d 0 d 0 d ' ' 0 d i di M d d 0 ' d d 0 '
1 U i xi , yi 2 di d0
2 U 0 x0 , y0 exp j d0 x0 y0 dx0 dy0

2 xi yi d d P , exp j di

(5-11)
3． 在物平面和像平面之间，光学系统的变换是一个线性空 不变系统。系统的脉冲响应是光瞳函数的F.T.
~ 2 xi yi dd h xi , yi P , exp j d i
即轴上物点发出发散球面波照明孔径，在会聚点得到的夫琅 和费衍射图样。如果为圆孔即为 Airy斑。
第五章 光学成像系统的频率特性
§5-1透镜的成像性质 单色光照明 紧靠物后的复振幅分布: U0(x0,y0)
光波沿z轴由左向右传播 (x0,y0)面 ()面的传播: 菲涅耳衍射的F.T.形式( z=d0) 透镜前表面:
k 1 2 2 U l ( , ) exp( jkd0 ) exp j ( ) jd 0 2d 0
每个物点在像平面产生一个Airy斑，像平面分布是所有这些 Airy斑的加权叠加。
#
第五章 光学成像系统的频率特性
§5-1透镜的成像性质: 结论
x y 1 ~0 ~0 ~ U i ( xi , yi ) U 0 , h xi ~0 , yi ~0 d~0 d~0 (5-11) x y x y M M M
弃去常数位相因子, 将(1)(2)(3)代入,综合 分别整理二次和线性位 相因子 得到四重积分:
#
第五章 光学成像系统的频率特性
§5-1透镜的成像性质
xi,yi平面的复振幅分布
k 1 2 2 U i xi , yi 2 exp j xi yi 2d di d0 i
x y 1 ~0 ~0 ~ U i ( xi , yi ) U 0 , h xi ~0 , yi ~0 d~0 d~0 x y x y M M M

(5-11)
1．像平面上的光场分布,是几何光学像与光瞳函数F.T.的卷积, 使像平滑，变模糊。
透镜的复振幅透过率: tl ( , ) P ( , ) exp j
第五章 光学成像系统的频率特性
§5-1透镜的成像性质
透镜后的透射光场复振幅: U ' , U , t , l l l
(5-3)
平面xi,yi平面: 再次运用菲涅耳衍射的F.T.形式 (z=di):
第五章 光学成像系统的频率特性 Frequency Properties of Optical Imaging Systems
目的: 从单透镜的传递函数入手, 研究透镜成像的质量评价的频域方法
§5-1透镜的成像性质
将透镜成像看成线性不变系统的变换
分析方法
(孔径+透镜)(有限大小,有衍射作用,位相变换作用) + 光在自由空间的传播(菲涅耳衍射) 逐面计算,在一定的几何配置下可以成像


k xi 2 yi 2 exp j M 2 2d 0
(5-6)
变成与(x0,y0)无关 (把二次位相弯曲变成常数相移) 可提出积分号外, 并最终弃去. #
第五章 光学成像系统的频率特性
§5-1透镜的成像性质
1 U i xi , yi 2 di d0

3


2 2 x0 y0 exp j xi yi dx0 dy0 dd exp j d 0 di
(x0,y0) 根据以上分析,可将二次位相因子(3)表示为:
(xi,yi)
k 2 2 exp j x0 y0 2d 0