解析几何最值范围问题专题训练

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专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题微点1 圆锥曲线中的最值问题试题及答案

题型四、与面积有关的最值问题
例7．
7．已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为− .记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.
（i）证明：是直角三角形；
最值问题不仅解答题中分量较大，而且客观题中也时常出现．
一、常用方法
解决圆锥曲线中的最值问题，常见的方法有：
（1）函数法：一般需要找出所求几量的函数解析式，要注意自变量的取值范围．求函数的最值时，一般会用到配方法、均值不等式或者函数单调性．
（2）方程法：根据题目中的等量关系建立方程，根据方程的解的条件得出目标量的不等关系，再求出目标量的最值．
题型三、与向量有关的最值问题
例6．
6．如图，已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为A，P为椭圆C1上任一点，MN是圆C2：x2＋(y－3)2＝1的一条直径，在y轴上截距为3－的直线l与AF平行且与圆C2相切．
(1)求椭圆C1的离心率；
(2)若椭圆C1的短轴长为8，求 · 的最大值．
题型二、与角度有关的最值问题
例5．
5．在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为 .
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为 .求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率.
专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题微点1 圆锥曲线中的最值问题
专题23圆锥曲线中的最值、范围问题

解析几何范围最值问题(教师)解答

第十一讲解析几何范围最值问题解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系•建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理• 一、几何法求最值【例1】抛物线的顶点 0在坐标原点，焦点在 y 轴负半轴上，过点 M(0, - 2)作直线I 与抛物线相交于 A, B 两点，且满足+=(-4,- 12) •(1)求直线I 和抛物线的方程;(2)当抛物线上一动点 P 从点A 运动到点B 时，求△ ABP 面积的最大值.［满分解答］(1)根据题意可设直线I 的方程为y= kx-2，抛物线方程为x 2= — 2py(p> 0).y = kx-2, 2由 2得 x + 2pkx — 4p= 0x =- 2py,设点 A(X 1, y”, B(x 2, y 2),贝U X 1 + X 2= — 2pk,力 + y 2= k(x j + X 2) — 4 =- 2pk 2-4.—2pk=- 4,所以匕(-4，-12),所以-2pk 2-4 =- 12,⑵设P(x o , y o )，依题意，知当抛物线过点P 的切线与I 平行时，△ ABP 的面积最大.对 y = — *2求导，得 y'= - x ，所以一X o = 2, 即卩 x o =- 2, y o =- -x o =- 2, 即卩 P( — 2,- 2). 此时点p到直线I的距离d=寺7 =聶=呼得 X 2+ 4x — 4 = o ，贝U X 1 + X 2 =— 4, X 1X 2=— 4,|AB|= . 1 + k 2-. X 1 + X 2 2-4X 1X 2= 1 + 22 - - 4 2-4 - - 4 = 4 1o.于是，△ ABP 面积的最大值为4 _1o X 45 5= 8 , 2. 、函数法求最值点Q(o,2)的距离的最大值为 3.(1)求椭圆C 的方程;解得P = 1，k= 2.故直线I 的方程为y = 2x- 2,抛物线方程为x 2=- 2y.由辽2X — 2,x =- 2y,【示例】在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 2 2C ：字+器=1(a>b>o)的离心率e= *危，且椭圆C 上的点到⑵在椭圆C 上，是否存在点M(m, n)，使得直线I: mx+ ny= 1与圆O: x 2 + y 2= 1相交于不同的两点A 、B,OAB 的面积最大？若存在，求出点 M 的坐标及对应的厶 OAB 的面积；若不存在，请说明理由.2 2C :3?+菇1即 &3y 2=3b 2,⑴由e=a=a= 3b,椭圆设 P(x, y)为 C 上任意一点，贝y |PQ|= x 2 3 + y — 2 2= — 2 y+ 1 2+ 3b 2+ 6, —b w y w b.若 b v 1,则一b>— 1,当 y= — b 时，|PQ|max =寸一2( — b + 1 3b '+ 6 = 3,又 b>0，得 b= 1(舍去),若 b 》1,则—b w — 1,当y=— 1 时，|PQ|max =寸-2(- 1 +1 f + 3b ?+ 6 = 3,得 b= 1.2•••椭圆C 的方程为令+ y 2= 1.32 2⑵法一假设存在这样的点 M(m, n)满足题意，则有m3 + n 2= 1，即n 2= 1 —号,—.3w m w 3.由题意可得S 1 1 1△AOB = 2|OA| • |OB|sin Z AOB = ^sin Z AOB w 刁当/AOB= 90。

(浙江专用)高考数学二轮复习专题四解析几何第3讲圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题学案-

第3讲圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题高考定位圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，试题难度较大，对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求.真题感悟(2018·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1，2).过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N . (1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值.解 (1)因为抛物线y 2＝2px 过点(1，2)，所以2p ＝4，即p ＝2. 故抛物线C 的方程为y 2＝4x .由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0).由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. 依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0，解得k <0或0<k <1.又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2). 从而k ≠－3.所以直线l 斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1). (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k2.直线PA 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1). 令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2.同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2. 由QM →＝λQO →，QN →＝μQO →得λ＝1－y M ，μ＝1－y N . 所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N＝x 1－1（k －1）x 1＋x 2－1（k －1）x 2＝1k －1·2x 1x 2－（x 1＋x 2）x 1x 2＝1k －1·2k 2＋2k －4k 21k 2＝2.所以1λ＋1μ为定值.考点整合1.定点、定值问题(1)定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题.若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m ).(2)定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题.2.求解圆锥曲线中的范围问题的关键是选取合适的变量建立目标函数和不等关系.该问题主要有以下三种情况：(1)距离型：若涉及焦点，则可以考虑将圆锥曲线定义和平面几何性质结合起来求解；若是圆锥曲线上的点到直线的距离，则可设出与已知直线平行的直线方程，再代入圆锥曲线方程中，用判别式等于零求得切点坐标，这个切点就是距离取得最值的点，若是在圆或椭圆上，则可将点的坐标以参数形式设出，转化为三角函数的最值求解.(2)斜率、截距型：一般解法是将直线方程代入圆锥曲线方程中，利用判别式列出对应的不等式，解出参数的范围，如果给出的只是圆锥曲线的一部分，则需要结合图形具体分析，得出相应的不等关系.(3)面积型：求面积型的最值，即求两个量的乘积的范围，可以考虑能否使用不等式求解，或者消元转化为某个参数的函数关系，用函数方法求解.热点一定点与定值问题 [考法1] 定点的探究与证明【例1－1】 (2018·杭州调研)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)的距离为10.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左、右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.(1)解由e ＝c a ＝12，得a ＝2c ，∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝3c 2，则椭圆方程变为x 24c 2＋y 23c2＝1.又由题意知（2＋c ）2＋12＝10，解得c ＝1，故a 2＝4，b 2＝3，即得椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝64m 2k 2－16（3＋4k 2）（m 2－3）＞0，x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1·x 2＝4（m 2－3）3＋4k2.①∴y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3（m 2－4k 2）3＋4k 2. ∵椭圆的右顶点为A 2(2，0)，AA 2⊥BA 2， ∴(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝0， ∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，∴3（m 2－4k 2）3＋4k 2＋4（m 2－3）3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0，∴7m 2＋16mk ＋4k 2＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7.由Δ>0，得3＋4k 2－m 2＞0，②当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k (x －2)，直线过定点(2，0)，与已知矛盾. 当m 2＝－2k 7时，l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －27，直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0，且满足②， ∴直线l 过定点，定点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0. 探究提高 (1)动直线l 过定点问题解法：设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m ，0).(2)动曲线C 过定点问题解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.[考法2] 定值的探究与证明【例1－2】 (2018·金丽衢联考)已知O 为坐标原点，直线l ：x ＝my ＋b 与抛物线E ：y 2＝2px (p >0)相交于A ，B 两点. (1)当b ＝2p 时，求OA →·OB →；(2)当p ＝12且b ＝3时，设点C 的坐标为(－3，0)，记直线CA ，CB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：1k 21＋1k 22－2m 2为定值.解设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋b ，消元得y 2－2mpy －2pb ＝0，所以y 1＋y 2＝2mp ，y 1y 2＝－2pb .(1)当b ＝2p 时，y 1y 2＝－4p 2，x 1x 2＝（y 1y 2）24p2＝4p 2，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝4p 2－4p 2＝0.(2)证明当p ＝12且b ＝3时，y 1＋y 2＝m ，y 1y 2＝－3.因为k 1＝y 1x 1＋3＝y 1my 1＋6，k 2＝y 2x 2＋3＝y 2my 2＋6，所以1k 1＝m ＋6y 1，1k 2＝m ＋6y 2.因此1k 21＋1k 22－2m 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋6y 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋6y 22－2m 2＝2m 2＋12m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 1＋1y 2＋36⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 21＋1y 22－2m 2＝12m ×y 1＋y 2y 1y 2＋36×（y 1＋y 2）2－2y 1y 2y 21y 22＝12m ×－m 3＋36×m 2＋69＝24，即1k 21＋1k 22－2m 2为定值.探究提高 (1)求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.(2)定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的.【训练1－1】 (2017·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1，1)，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12作直线l与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点.(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点.(1)解把P (1，1)代入y 2＝2px ，得p ＝12，所以抛物线C 的方程为y 2＝x ，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为x ＝－14. (2)证明当直线MN 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN (也就是直线l )斜率存在且不为零.由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0. 考虑Δ＝(4k －4)2－4×4k 2＝16(1－2k )，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以k <12.则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k2.因为点P 的坐标为(1，1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1). 直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1，y 2x 1x 2. 因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫kx 2＋12x 1－2x 1x2x 2＝（2k －2）x 1x 2＋12（x 2＋x 1）x 2＝（2k －2）×14k 2＋1－k 2k2x 2＝0.所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1.故A 为线段BM 的中点. 【训练1－2】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，A (a ，0)，B (0，b )，O (0，0)，△OAB 的面积为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值. (1)解由已知ca ＝32，12ab ＝1. 又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明由(1)知A (2，0)，B (0，1). 设椭圆上一点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 0＝1.当x 0≠0时，直线PA 方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0得y M ＝－2y 0x 0－2.从而|BM |＝|1－y M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2. 直线PB 方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1. 令y ＝0得x N ＝－x 0y 0－1. ∴|AN |＝|2－x N |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1.∴|AN |·|BM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2x 0－2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2y 0－1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4.当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2，所以|AN |·|BM |＝4.故|AN |·|BM |为定值.热点二最值与范围问题[考法1] 求线段长度、面积(比值)的最值【例2－1】 (2018·湖州调研)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l ：y ＝kx －4(1<k <2)与y 轴、抛物线C 分别相交于P ，A ，B (自下而上)，记△PAF ，△PBF 的面积分别为S 1，S 2.(1)求AB 的中点M 到y 轴的距离d 的取值范围； (2)求S 1S 2的取值范围.解 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －4，y 2＝4x ，消去y 得，k 2x 2－(8k ＋4)x ＋16＝0(1<k <2).设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k ＋4k 2，x 1x 2＝16k2，所以d ＝x 1＋x 22＝4k ＋2k2 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋12－2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，6.(2)由于S 1S 2＝|PA ||PB |＝x 1x 2，由(1)可知S 1S 2＋S 2S 1＝x 1x 2＋x 2x 1＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2＝k 216·（8k ＋4）2k 4－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋22－2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫174，7，由S 1S 2＋S 2S 1>174得，4⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1S 22－17·S 1S 2＋4>0，解得S 1S 2>4或S 1S 2<14.因为0<S 1S 2<1，所以0<S 1S 2<14.由S 1S 2＋S 2S 1<7得，⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1S 22－7·S 1S 2＋1<0，解得7－352<S 1S 2<7＋352，又S 1S 2<1，所以7－352<S 1S 2<1. 综上，7－352<S 1S 2<14，即S 1S 2的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫7－352，14. 探究提高 (1)处理求最值的式子常用两种方式：①转化为函数图象的最值；②转化为能利用基本不等式求最值的形式.(2)若得到的函数式是分式形式，函数式的分子次数不低于分母时，可利用分离法求最值；若分子次数低于分母，则可分子、分母同除分子，利用基本不等式求最值(注意出现复杂的式子时可用换元法).【训练2－1】 (2018·温州质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，且过点⎝⎛⎭⎪⎫1，63.(1)求椭圆C 的方程；(2)设与圆O ：x 2＋y 2＝34相切的直线l 交椭圆C 与A ，B 两点，求△OAB 面积的最大值，及取得最大值时直线l 的方程.解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋23b2＝1，c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝3，b 2＝1，∴x 23＋y 2＝1.(2)①当k 不存在时，直线为x ＝±32，代入x 23＋y 2＝1，得y ＝±32， ∴S △OAB ＝12×3×32＝34；②当k 存在时，设直线为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消y 得(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝－6km1＋3k2，x 1x 2＝3m 2－31＋3k2，直线l 与圆O 相切d ＝r 4m 2＝3(1＋k 2)， ∴|AB |＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－6km 1＋3k 22－12（m 2－1）1＋3k 2＝3·1＋10k 2＋9k41＋6k 2＋9k 4＝3·1＋4k21＋6k 2＋9k4 ＝3×1＋41k 2＋9k 2＋6≤2.当且仅当1k 2＝9k 2，即k ＝±33时等号成立，∴S △OAB ＝12|AB |×r ≤12×2×32＝32，∴△OAB 面积的最大值为32， ∴m ＝±34⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＝±1，此时直线方程为y ＝±33x ±1. [考法2] 求几何量、某个参数的取值范围【例2－2】已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围. 解设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.(1)当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1，A (－2，0).由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4. 因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)由题意t >3，k >0，A (－t ，0)，将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2得x 1＝t （3－tk 2）3＋tk2，故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t （1＋k 2）3＋tk2. 由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k(x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t （1＋k 2）3k 2＋t. 由2|AM |＝|AN |得23＋tk 2＝k3k 2＋t ，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)，当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k （2k －1）k 3－2.t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝（k －2）（k 2＋1）k 3－2<0，即k －2k 3－2<0. 由此得⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，k 3－2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2. 因此k 的取值范围是(32，2).探究提高解决范围问题的常用方法：(1)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解.(2)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域. (3)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解.【训练2－2】 (2018·台州调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c ，0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围.解 (1)由已知，有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2. 设直线FM 的斜率为k (k ＞0)，F (－c ，0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c ).由已知，有⎝ ⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，解得k ＝33.(2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c ，或x ＝c .因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫c ，233c .由|FM |＝（c ＋c ）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233c －02＝433，解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，得t ＝yx ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t （x ＋1），x 23＋y22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6，又由已知，得t ＝6－2x23（x ＋1）2＞2，解得－32＜x ＜－1，或－1＜x ＜0.设直线OP 的斜率为m ，得m ＝y x，即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理得m 2＝2x 2－23.①当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)＜0，因此m ＞0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233. ②当x ∈(－1，0)时，有y ＝t (x ＋1)＞0. 因此m ＜0，于是m ＝－2x 2－23，得m ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－233.综上，直线OP 的斜率的取值范围是 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233.1.解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握：(1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关；(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标. 2.圆锥曲线的范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.一、选择题1.F 1，F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则PF 1→·PF 2→的最大值是( )A.－2B.1C.2D.4解析设P (x ，y )，依题意得点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，PF 1→·PF 2→＝(－3－x )(3－x )＋y 2＝x 2＋y 2－3＝34x 2－2，注意到－2≤34x 2－2≤1，因此PF 1→·PF 2→的最大值是1.答案 B2.(2018·镇海中学二模)若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为( ) A.2B.12C.14D.18解析根据题意，设P 到准线的距离为d ，则有|PF |＝d .抛物线的方程为y ＝2x 2，即x 2＝12y ，其准线方程为y ＝－18，∴当点P 在抛物线的顶点时，d 有最小值18，即|PF |min ＝18.答案 D3.设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点.若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m的取值范围是( ) A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，3]∪[9，＋∞) C.(0，1]∪[4，＋∞)D.(0，3]∪[4，＋∞)解析 (1)当焦点在x 轴上，依题意得 0<m <3，且3m ≥tan ∠AMB 2＝ 3.∴0<m <3且m ≤1，则0<m ≤1. (2)当焦点在y 轴上，依题意m >3，且m3≥tan ∠AMB2＝3，∴m ≥9，综上，m 的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞). 答案 A4.已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝( ) A.3B.5C.6D.10解析因y 2＝8x ，则p ＝4，焦点为F (2，0)，准线l ：x ＝－2.如图，M 为FN 中点，故易知线段BM 为梯形AFNC 的中位线， ∵|CN |＝2，|AF |＝4， ∴|MB |＝3，又由定义|MB |＝|MF |，且|MN |＝|MF |，∴|NF |＝|NM |＋|MF |＝2|MB |＝6. 答案 C5.(2018·北京西城区调研)过抛物线y 2＝43x 的焦点的直线l 与双曲线C ：x 22－y 2＝1的两个交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，若x 1·x 2>0，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ 解析易知双曲线两渐近线为y ＝±22x ，抛物线的焦点为双曲线的右焦点，当k >22或k <－22时，l 与双曲线的右支有两个交点，满足x 1x 2>0. 答案 D6.在直线y ＝－2上任取一点Q ，过Q 作抛物线x 2＝4y 的切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 恒过的点的坐标为( ) A.(0，1)B.(0，2)C.(2，0)D.(1，0)解析设Q (t ，－2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程变为y ＝14x 2，则y ′＝12x ，则在点A 处的切线方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，化简得y ＝12x 1x －y 1，同理，在点B 处的切线方程为y ＝12x 2x －y 2，又点Q (t ，－2)的坐标适合这两个方程，代入得－2＝12x 1t －y 1，－2＝12x 2t －y 2，这说明A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都满足方程－2＝12xt －y ，即直线AB 的方程为y －2＝12tx ，因此直线AB 恒过点(0，2).答案 B 二、填空题7.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0相交，则双曲线的离心率的取值范围是______.解析双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，即bx ±ay ＝0，圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0可化为(x －2)2＋y 2＝2，其圆心为(2，0)，半径为 2. 因为直线bx ±ay ＝0和圆(x －2)2＋y 2＝2相交，所以|2b |a 2＋b2＜2，整理得b 2＜a 2.从而c 2－a 2＜a 2，即c 2＜2a 2，所以e 2＜2.又e ＞1，故双曲线的离心率的取值范围是(1，2). 答案 (1，2)8.(2018·金华质检)已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________，椭圆的离心率为________.解析由椭圆的方程，可知长半轴长a ＝2；由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中垂直于长轴的弦最短，即2b 2a＝3，可求得b 2＝3，即b＝3，e ＝ca＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－34＝12.答案3 129.已知抛物线C ：x 2＝8y 的焦点为F ，动点Q 在C 上，圆Q 的半径为1，过点F 的直线与圆Q 切于点P ，则FP →·FQ →的最小值为________，此时圆Q 的方程为________. 解析如图，在Rt △QPF 中，FP →·FQ →＝|FP →||FQ →|cos ∠PFQ ＝|FP →||FQ →||PF →||FQ →|＝|FP →|2＝ |FQ →|2－1.由抛物线的定义知：|FQ →|＝d (d 为点Q 到准线的距离)，易知，抛物线的顶点到准线的距离最短，∴|FQ →|min ＝2， ∴FP →·FQ →的最小值为3. 此时圆Q 的方程为x 2＋y 2＝1. 答案 3 x 2＋y 2＝110.(2018·温州模拟)已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________.解析不妨设A (x 1，y 1)(y 1>0)，B (x 2，y 2)(y 2<0). 则|AC |＋|BD |＝y 1＋x 2＝y 1＋y 224.又y 1y 2＝－p 2＝－4，∴|AC |＋|BD |＝y 224－4y 2(y 2<0).设g (x )＝x 24－4x (x ＜0)，则g ′(x )＝x 3＋82x2，从而g (x )在(－∞，－2)递减，在(－2，0)递增.∴当x ＝－2时，|AC |＋|BD |取最小值为3. 答案 311.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________.解析联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝b2，解得B ，C 两点坐标为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，又F (c ，0)，则FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a －c ，b 2，FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2－c ，b 2，又由∠BFC ＝90°，可得FB →·FC →＝0，代入坐标可得： c 2－34a 2＋b24＝0，①又因为b 2＝a 2－c 2，代入①式可化简为c 2a 2＝23，则椭圆离心率为e ＝c a＝23＝63. 答案 63三、解答题12.(2018·北京海淀区调研)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)经过点A (0，－1)，且离心率为22. (1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值. (1)解由题设知c a ＝22，b ＝1，结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0，由已知Δ＞0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0，则x 1＋x 2＝4k （k －1）1＋2k 2，x 1x 2＝2k （k －2）1＋2k 2，从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k （k －1）2k （k －2）＝2k －2(k －1)＝2.故k AP ＋k AQ 为定值2.13.(2018·杭州调研)已知F 是抛物线T ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点P ()1，m 是抛物线上一点，且|PF |＝2，直线l 过定点(4，0)，与抛物线T 交于A ，B 两点，点P 在直线l 上的射影是Q .(1)求m ，p 的值；(2)若m >0，且|PQ |2＝|QA |·|QB |，求直线l 的方程. 解 (1)由|PF |＝2得，1＋p2＝2，所以p ＝2，将x ＝1，y ＝m 代入y 2＝2px 得，m ＝±2.(2)因为m >0，故由(1)知点P (1，2)，抛物线T ：y 2＝4x .设直线l 的方程是x ＝ny ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ny ＋4，y 2＝4x 得，y 2－4ny －16＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4n ，y 1·y 2＝－16. 因为|PQ |2＝|QA |·|QB |，所以PA ⊥PB ，所以PA →·PB →＝0，且1≠2n ＋4，所以(x 1－1)(x 2－1)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0，且n ≠－32.由(ny 1＋3)(ny 2＋3)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0得， (n 2＋1)y 1y 2＋(3n －2)(y 1＋y 2)＋13＝0，－16(n 2＋1)＋(3n －2)·4n ＋13＝0，4n 2＋8n ＋3＝0，解得，n ＝－32(舍去)或n ＝－12，所以直线l 的方程是：x ＝－12y ＋4，即2x ＋y －8＝0.14.(2018·绍兴模拟)如图，已知函数y 2＝x 图象上三点C ，D ，E ，直线CD 经过点(1，0)，直线CE 经过点(2，0).(1)若|CD |＝10，求直线CD 的方程； (2)当△CDE 的面积最小时，求点C 的横坐标. 解设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，E (x 3，y 3)，直线CD 的方程为：x ＝my ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝x 得：y 2－my －1＝0，从而⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝－1，y 1＋y 2＝m . (1)由题意，得|CD |＝1＋m 2×m 2＋4＝10，得m ＝±1，故所求直线方程为x ＝±y ＋1，即x ±y －1＝0.(2)由(1)知y 2＝－1y 1，同理可得y 3＝－2y 1，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫4y 21，－2y 1，并不妨设y 1>0，则E 到直线CD 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4y 21＋2m y 1－11＋m2，S △CDE ＝121＋m 2×m 2＋4×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4y 21＋2m y 1－11＋m2＝12m 2＋4×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4y 21＋2m y 1－1，而m ＝y 1＋y 2＝y 1－1y 1，所以S △CDE ＝12y 21＋1y 21＋2×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2y 21＋1＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫y 1＋1y 1×⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 21＋1，得S △CDE ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋3y 1＋2y 31.考虑函数f (x )＝x ＋3x ＋2x3，令f ′(x )＝1－3x 2－6x 4＝x 4－3x 2－6x 4＝0，得x 2＝3＋332时f (x )有最小值，即x 1＝y 21＝3＋332时，△CDE 的面积最小，也即△CDE 的面积最小时，点C 的横坐标为3＋332. 15.(2018·湖州调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，短轴长为2.直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，又l 与直线y ＝12x ，y ＝－12x 分别交于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，点B 在第二象限，且△OAB 的面积为2(O 为坐标原点).(1)求椭圆C 的方程；(2)求OM →·ON →的取值范围.解 (1)由于b ＝1且离心率e ＝22， ∴c a ＝a 2－1a ＝22，则a 2＝2，因此椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)联立直线l 与直线y ＝12x ，可得点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 1－2k ，m 1－2k ，联立直线l 与直线y ＝－12x ，可得点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 1＋2k ，m 1＋2k ，又点A 在第一象限，点B 在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m 1－2k >0，－2m 1＋2k <0⎩⎪⎨⎪⎧m （1－2k ）>0，m （1＋2k ）>0，化为m 2(1－4k 2)>0，而m 2≥0，∴1－4k 2>0.又|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 1－2k ＋2m 1＋2k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 1－2k －m 1＋2k 2＝4|m |1－4k 21＋k 2，原点O 到直线l 的距离为|m |1＋k 2，即△OAB 底边AB 上的高为|m |1＋k 2， ∴S △OAB ＝124|m |1＋k 21－4k 2·|m |1＋k 2＝2m 21－4k2＝2，∴m 2＝1－4k 2.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将直线l 代入椭圆方程，整理可得： (1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，∴x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1·x 2＝2m 2－21＋2k 2， Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝48k 2>0，则k 2>0，∴y 1·y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝m 2－2k 21＋2k 2， ∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2m 2－21＋2k 2＋m 2－2k 21＋2k 2＝81＋2k 2－7. ∵0<k 2<14，∴1＋2k 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， ∴81＋2k 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫163，8，∴OM →·ON →∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，1. 故OM →·ON →的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，1.。

浙江专用高考数学新增分大一轮复习第九章平面解析几何专题突破六高考中的圆锥曲线问题第1课时范围最值问题

%________ 11:第九章高考专题突破六高考中的圆锥曲线问题］第1课时范围、最值问题■题型分类深度剖析T I■师生共研题型一范围问题例1 (2018-浙江)如图，已知点F 是y 轴左侧(不含y 轴)一点 =4% 上存在不冋的两点A /为两足B4 , 的中点均在C上. (1)设人3中点为旳, 证明设P(x 0 , yo) 证明： fl PM 垂直于y轴 5 221”y 2 1丁2/因为B4 , 的中点在抛物线上, 所以力,旳为方程字2二牛£^\ z 丿即J 2 - 2y Q y + 8xo " Jo = 0的两个不同的实根.,抛物线C : /:二1(兀v 0)上的动点,求△B4B 面积的取值范围.力+旳二2为,J1J2 = 8x 0 - yo ,所以IPMI 二 |(y? + yl) - Xo 二 |^o - 3兀0 / lyi -所以△B4B 的面积 S LPAB 二 ^PM\-\y x -加二所以 yo - 4%0= - 4%0 - 4%0 + 4 e [4 , 5], 所以△B4B 面积的取值范围是]6因为并+ &二 1(・ Kx o <O),解由⑴可知 (2)若P 是半椭圆x 2 +辺,15^[°解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面⑴利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域, 从而确定参数的取值范围.跟踪训练1 （2018•杭州质检）已知椭圆c 设直线I与椭圆C交于A , B两点.⑴若滋1＞筋,求实数£的取值范围;,直线I \ y = kx + m(m=^O) /解联立方程亍 + 丁二1 禾Wy-kx + m ,得(2 + 3A:2)X2+6kmx + 3m2 -6 = 0, 所= (6km)2 - 4(2 + 3k2)(3m2 - 6)>0 ,所以m2<2 + 30 ,又\m\>\j3 ,所以2 + 30>3 ,即坯,解得心彳或k< -、所以实数k的取值范围为OO U+ OO⑵若直线OA , AB , OB的斜率成等比数列（其中O为坐标原点）,求的面积的取值范围.解设4(“ , yj , B(X 2 , 丁2)/设直线OA , OB 的斜率分别为勺,k 2 , 因为直线04 , AB , OB 的斜率成等比数列,7 化简得2 + 3疋二60 ,即疋二亍因为IABI 二冷］+ 疋&1 - x 2l =—O K则由⑴知小+疋二昇/3m 2- 6也二 2 + 3/所以k x k 2 =严=& , X\X2(kx\ + m)(kx2 +m) 即一 Xi%2|w |3原点o 到直线AB 的距离h - - h +，- 孑向/3 3当且仅当尹2二6 -尹2，即血二时,等号成立. 但此时直线OA 或OB 的斜率不存在,所以等号取不到,所以△OAB 的面积 S ^OAB h -」+(6 - |m多维探究题型二最值问题所以S HOAB W0 ,\命题点1利用三角函数有界性求最值例2过抛物线护二4兀的焦点F的直线交抛物线于A , B两点,点O是坐标原点,A.2B.A/2D.2边2 2 1 解析设直线AB的倾斜角为0 ,可得IAFI二, \BF\ =1 - cos 0 1 + cos 62 2 4则\AF\-\BF\的最小值是多维探究题型二最值问题例3在平面直角坐标系xOy 中,戶为双曲线・护二1右支上的一个动点•若点F 到直给・y + 1二0的距离大于c 恒成立,则实数c 的最大值为 ______ . 解析双曲线宀尸二1的渐近线为兀±y 二o , 直线X - y+l = 0与渐近线X - y 二0平行, 故两平行线间的距离d 二由点P 到直线％ - y+l= 0的距离大于c 恒成立, 得cW 普,故c 的最大值为¥•命题点2 数形结合利用几何性质求最值几何画板展示命题点3转化为函数利用基本不等式或函数单调性求最值f 1 1) (3例4 (2017•浙江)如图,已知抛物线x2 = y ,点彳.21 4)'(1 3)的点Pg y)| T V X ＜事过点B作直线AP的垂线,垂足为Q. (1)求直线AP斜率的取值范围；1-4-2X解设直线代的斜率为S 、—所以直线AF斜率的取值范围为(-1,1).(2)求\PA\\PQ的最大值.kx - y +尹+ 玄二 0 ,解联立直线AP 与EQ 的方程 9 3x + ky - - 2 = /因为 IE4I = A J1 + % + ㊁二\jl+l^(k + 1) , \PQ\ =寸］+ 卩(XQ - X )=所以LR4I.IF0 二-(k- 1)伙 +I)3 , 令/的二1)(^4-I)3, 因为f 伙)二 -(4「2)伙+1)2,解得点Q 的横坐标是程二』+仏+3 2 伙?+ 1) 伙-1)伙 + I)2所以朋在区间卜1,2上单调递增,在I 因此当£二*时，LR4ljP0取得最大值話.1 —O / 1上单调递减・处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数（解析式）,然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.跟踪训练2 (2018•浙江省杭州地区四校联考)已知椭圆令+琴二1 (a>b>0),从椭圆的一个焦点出发的光线经椭圆反射后经过另一个焦点,再经椭圆反射后回到起点•光线经过的路径为正三角形,且该三角形的周长为12.(1)求椭圆的方程；解不妨设光线从焦点件（-C , 0）出发到达椭圆上的点M ,反射后经过另一个焦点尸2（c , 0）到达椭圆上的点N.由于光线经过的路径为正三角形"MN ,则IF]MI二1尸凶, 所以MN丄厲佗/件尸2为厶中线.由椭圆的定义得4。

高考数解析几何复习最值、范围、证明问题

论．如直线斜率不存在的情况，二次三项式最高次项的系数的讨论等．
解析
2 2 x y (2015· 威海模拟)已知圆x2＋y2＝1过椭圆 a2 ＋ b2 ＝1(a＞b＞0)
的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，直线l：y＝kx＋m
2 2 x y 与圆x2＋y2＝1相切，与椭圆a2＋b2＝1相交于A，B两点．记λ
第二课时
最值、范围、证明问题
(1)求实数 m 的取值范围； (2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．
解析
(2)2 种解法 ①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决； ②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解． [ 提醒 ] 求最值问题时，一定要注意对特殊情况的讨
解析
解析
解析
2 3 OB ，且 ≤λ≤ . ＝ OA · 3 4 (1)求椭圆的方程；(2)求k的取值范围； (3)求△OAB的面积S的取值范围．
解析
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解析
2．(2015· 福州质检)如图，直线 y＝m 与抛物线 y2＝4x 交于点 A，与圆(x－1)2 ＋y2＝4 的实线部分交于点 B，F 为抛物线的焦点，则三角形 ABF 的周长的取值范围是 A．(2,4) C．[2,4] ( ) B．(4,6) D．[4,6]

解析几何中的最值和求范围问题

解析几何中的最值和求范围问题解析几何中的最值和求范围问题，具备了内容涉及面广、重点题型丰富等命题要求，方便考查学生的分析、比较、转化、归纳等综合能力，因而是高考的热点和重点。

充分利用曲线的性质，运用数形结合，注重问题的转化是研究解析几何中最值和求范围问题特有的方法。

一：结合定义利用图形中几何量求解；例1：已知A （4，0），B （2，2）是椭圆192522=+y x 内的点，M 是椭圆上的动点，则MB MA +的最大值是。

例2：P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（）A. 6B.7C.8D.9例3：已知直线0634:1=+-y x l 和直线1:2-=x l ，抛物线x y 42=上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是。

二：利用不等式（组）求解例4：已知21,F F 是椭圆的两个焦点，满足021=⋅MF MF 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是。

例5：方程14922=-+-k y k x 表示焦点在y 轴上的双曲线，焦半径c 的取值范围是（）（A ）()+∞,5 （B ）{}13 （C ）()13,5 （D ）{}5三：利用二次函数求解例6：已知P 点在圆x 2+(y-2)2=1上移动，Q 点在椭圆2219x y +=上移动,试求|PQ|的最大值。

例7：若点O 和点F （-2，0）分别为双曲线)0(1222>=-a y ax 的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则FP OP ⋅的取值范围为。

例8：对于抛物线y 2=4x 上任意一点Q ，点P （a ，0）都满足|PQ|≥|a|，则a 的取值范围是( )（A ）（－∞，0）（B ）（－∞，2] （C ）［0，2］（D ）（0，2）四：利用基本不等式求解。

例9：若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为（）（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）22例10：已知1F ，2F 分别为22221x y a b-= (0,0)a b >>的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点，若212PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A (1,2]B (1,3]C [2,3]D [3,)+∞五：构造二次方程，利用判别式∆≥0求解。

浙江高考数学一轮复习第九章平面解析几何专题突破六高考中的圆锥曲线问题第1课时范围最值问题讲义含解析

高考专题突破六高考中的圆锥曲线问题第1课时范围、最值问题题型一范围问题例1 (2018·浙江)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上.(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋y 24＝1(x ＜0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围.(1)证明设P (x 0，y 0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 21，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 22，y 2. 因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋y 022＝4·14y 2＋x 02，即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根. 所以y 1＋y 2＝2y 0，所以PM 垂直于y 轴.(2)解由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 20，所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34y 20－3x 0，|y 1－y 2|＝22(y 20－4x 0). 所以△PAB 的面积S △PAB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝324(y 20－4x 0). 因为x 2＋y 204＝1(－1≤x 0＜0)，所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4，5]，所以△PAB 面积的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤62，15104.思维升华解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围. (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.跟踪训练1 (2018·杭州质检)已知椭圆C ：x 23＋y 22＝1，直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，设直线l与椭圆C 交于A ，B 两点.(1)若|m |>3，求实数k 的取值范围；(2)若直线OA ，AB ，OB 的斜率成等比数列(其中O 为坐标原点)，求△OAB 的面积的取值范围. 解 (1)联立方程x 23＋y 22＝1和y ＝kx ＋m ，得(2＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－6＝0，所以Δ＝(6km )2－4(2＋3k 2)(3m 2－6)>0，所以m 2<2＋3k 2，又|m |>3，所以2＋3k 2>3，即k 2>13，解得k >33或k <－33.所以实数k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由(1)知x 1＋x 2＝－6km 2＋3k 2，x 1x 2＝3m 2－62＋3k 2，设直线OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，因为直线OA ，AB ，OB 的斜率成等比数列，所以k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝k 2，即(kx 1＋m )(kx 2＋m )x 1x 2＝k 2，化简得2＋3k 2＝6k 2，即k 2＝23.因为|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝53⎝ ⎛⎭⎪⎫6－32m 2，原点O 到直线AB 的距离h ＝|m |1＋k2＝35·|m |，所以△OAB 的面积S △OAB ＝12|AB |·h ＝66×32m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫6－32m 2≤66×32m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6－32m 22＝62，当且仅当32m 2＝6－32m 2，即m ＝±2时，等号成立.但此时直线OA 或OB 的斜率不存在，所以等号取不到，所以S △OAB ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，62.题型二最值问题命题点1 利用三角函数有界性求最值例2 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，则|AF |·|BF |的最小值是( ) A.2B.2C.4D.2 2 答案 C解析设直线AB 的倾斜角为θ，可得|AF |＝21－cos θ，|BF |＝21＋cos θ，则|AF |·|BF |＝21－cos θ×21＋cos θ＝4sin 2θ≥4. 命题点2 数形结合利用几何性质求最值例3 在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点.若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________. 答案22解析双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线间的距离d ＝|1－0|12＋(－1)2＝22.由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，得c ≤22，故c 的最大值为22. 命题点3 转化为函数利用基本不等式或函数单调性求最值例4 (2017·浙江)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜x ＜32，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|PA |·|PQ |的最大值.解 (1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12＜x ＜32.所以直线AP 斜率的取值范围为(－1，1). (2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32(k 2＋1). 因为|PA |＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－(k －1)(k ＋1)2k 2＋1，所以|PA |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3，令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3，因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减. 因此当k ＝12时，|PA |·|PQ |取得最大值2716.思维升华处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.跟踪训练2 (2018·浙江省杭州地区四校联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，从椭圆的一个焦点出发的光线经椭圆反射后经过另一个焦点，再经椭圆反射后回到起点.光线经过的路径为正三角形，且该三角形的周长为12. (1)求椭圆的方程；(2)过A (0，b )且互相垂直的直线分别与椭圆交于另外两点B ，C ，记它们的横坐标分别为x B ，x C ，求x B x C 的最小值以及x B x C 最小时△ABC 的面积.解 (1)不妨设光线从焦点F 1(－c ，0)出发到达椭圆上的点M ，反射后经过另一个焦点F 2(c ，0)到达椭圆上的点N .由于光线经过的路径为正三角形F 1MN ，则|F 1M |＝|F 1N |，所以MN ⊥F 1F 2，F 1F 2为△F 1MN 的中线. 由椭圆的定义得4a ＝12，a ＝3. 又|F 1F 2|＝2c ＝32×4＝23，所以c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝6，所以椭圆的方程为x 29＋y 26＝1.(2)由(1)得A (0，6).显然直线AB ，AC 的斜率均存在且不为0. 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋6(k ≠0)，代入x 29＋y 26＝1，得(2＋3k 2)x 2＋66kx ＝0，所以x B ＝－66k 2＋3k 2，同理求得x C ＝66k2k 2＋3，所以x B x C ＝－66k 2＋3k 2×66k 2k 2＋3＝－216k 2(2＋3k 2)(2k 2＋3)＝－216k 26k 4＋13k 2＋6＝－2166k 2＋13＋6k2＝－2166⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2＋13≥－21625，当且仅当k 2＝1时等号成立.所以当k 2＝1时，x B x C 取得最小值－21625.当k 2＝1时，|AB |＝66|k |1＋k 22＋3k 2，|AC |＝66|k | 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 22k 2＋3， S △ABC ＝12×|AB |×|AC |＝108|k |(1＋k 2)(2＋3k 2)(2k 2＋3)＝21625.1.已知P (x 0，y 0)是椭圆C ：x 24＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若PF 1→·PF 2→<0，则x 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－63，63 答案 A解析由题意可知，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则PF 1→·PF 2→＝(x 0＋3)(x 0－3)＋y 20＝x 20＋y 20－3<0，点P 在椭圆上，则y 20＝1－x 204，故x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204－3<0，解得－263<x 0<263，即x 0的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263.2.定长为4的线段MN 的两端点在抛物线y 2＝x 上移动，设点P 为线段MN 的中点，则点P 到y 轴距离的最小值为( )A.1B.74C.2D.5答案 B解析设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，抛物线y 2＝x 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，抛物线的准线为x ＝－14，所求的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1＋x 22＝x 1＋14＋x 2＋142－14＝|MF |＋|NF |2－14，所以|MF |＋|NF |2－14≥|MN |2－14＝74(两边之和大于第三边且M ，N ，F 三点共线时取等号). 3.过抛物线y 2＝x 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，且直线l 的倾斜角θ≥π4，点A在x 轴上方，则|FA |的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤14，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤14，1＋22答案 D解析记点A 的横坐标是x 1，则有|AF |＝x 1＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋|AF |cos θ＋14＝12＋|AF |cos θ，|AF |(1－cos θ)＝12，|AF |＝12(1－cos θ).由π4≤θ<π得－1<cos θ≤22，2－2≤2(1－cos θ)<4，14<12(1－cos θ)≤12－2＝1＋22，即|AF |的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤14，1＋22.4.(2018·绍兴质检)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且垂直于x 轴的直线与该双曲线的左支交于A ，B 两点，AF 2，BF 2分别交y 轴于P ，Q 两点.若△PQF 2的周长为16，则ba ＋1的最大值为( )A.43B.34C.53D.45 答案 A解析如图(1)，由已知条件得△ABF 2的周长为32，因为|AF 2|＝2a ＋|AF 1|，|BF 2|＝2a ＋|BF 1|，|AF 1|＝|BF 1|＝b 2a ，所以4a ＋4b 2a ＝32，b 2a ＋a ＝8，可整理为(a －4)2＋b 2＝16.设k ＝b a ＋1，则k 表示为(a ，b )与(－1，0)连线的斜率，作出图形，如图(2)，易知k max ＝43.故选A.5.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( ) A.22B.23C.33D.1 答案 A解析由题意可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0(y 0>0)，则OM →＝OF →＋FM →＝OF →＋13FP →＝OF →＋13(OP →－OF →)＝13OP →＋23OF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 206p ＋p 3，y 03，可得k ＝y 03y 206p ＋p 3＝1y 02p ＋p y 0≤12y 02p ·p y 0＝22. 当且仅当y 02p ＝py 0时取得等号，故选A.6.(2018·浙江省杭州市七校联考)已知M ，N 为双曲线x 24－y 2＝1上关于坐标原点O 对称的两点，P 为双曲线上异于M ，N 的点，若直线PM 的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则直线PN 的斜率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－18C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，12答案 C解析设M (x 0，y 0)，N (－x 0，－y 0)，P (m ，n )(m ≠±x 0)，则k PM ＝n －y 0m －x 0，k PN ＝n ＋y 0m ＋x 0.因为点P ，M ，N 均在双曲线x 24－y 2＝1上，所以m 24－n 2＝1，x 204－y 20＝1，两式相减得(m －x 0)(m ＋x 0)4－(n －y 0)(n ＋y 0)＝0，化简得n －y 0m －x 0·n ＋y 0m ＋x 0＝14，即k PM ·k PN ＝14，又12≤k PM ≤2，即12≤14k PN ≤2，解得18≤k PN ≤12，故选C. 7.椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的离心率为32，F 1，F 2是C 的两个焦点，过F 1的直线l 与C 交于A ，B 两点，则|AF 2|＋|BF 2|的最大值为________.答案 7解析因为椭圆C 的离心率为32，所以a 2－1a ＝32，解得a ＝2，由椭圆定义得|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，即|AF 2|＋|BF 2|＝8－|AB |，而由焦点弦性质，知当AB ⊥x 轴时，|AB |取得最小值2×b 2a＝1，因此|AF 2|＋|BF 2|的最大值为8－1＝7.8.已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线的右支上，如果|PF 1|＝t |PF 2|(t ∈(1，3])，则双曲线经过第一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是______________. 答案 (0，3]解析由双曲线的定义及题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝t |PF 2|，解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝2att －1，|PF 2|＝2at －1.又|PF 1|＋|PF 2|≥2c ，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2at t －1＋2at －1≥2c ，整理得e ＝c a ≤t ＋1t －1＝1＋2t －1，∵1<t ≤3，∴1＋2t －1≥2，∴1<e ≤2. 又b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1，∴0<b 2a 2≤3，故0<ba≤ 3.∴双曲线经过第一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是(0，3].9.椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过椭圆的右焦点F 2作一条直线l 交椭圆于P ，Q两点，则△F 1PQ 的内切圆面积的最大值是________. 答案9π16解析令直线l ：x ＝my ＋1，与椭圆方程联立消去x ，得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，由题意得，Δ>0，可设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4.可知＝12|F 1F 2||y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12m 2＋1(3m 2＋4)2，又m 2＋1(3m 2＋4)2＝19(m 2＋1)＋1m 2＋1＋6≤116，当且仅当m ＝0时取等号，故≤3.三角形的周长与三角形内切圆的半径的积是三角形面积的二倍，三角形的周长l ＝4a ＝8，则内切圆半径r ＝≤34(当m ＝0时，取等号)，其面积最大值为9π16.10.已知斜率为k 的直线与椭圆x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，弦AB 的中垂线交x 轴于点P (x 0，0)，则x 0的取值范围是____________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 解析设直线的方程为y ＝kx ＋m ，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2＝12，y ＝kx ＋m ，化简得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，所以Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)>0，所以4k 2－m 2＋3>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8km3＋4k2，x 1·x 2＝4m 2－123＋4k2，所以y 1＋y 2＝kx 1＋m ＋kx 2＋m ＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m －8k 2m 3＋4k 2＝6m3＋4k2，所以x 1＋x 22＝－4km 3＋4k 2，y 1＋y 22＝3m3＋4k2，所以线段AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2，当k ＝0时，弦AB 的中垂线为y 轴，此时x 0＝0，当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线方程为y －3m 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4km 3＋4k 2，把点P (x 0，0)代入上面的方程得x 0(3＋4k 2)＝－km .所以m ＝－x 0(3＋4k 2)k，代入4k 2－m 2＋3>0.整理得x 20<4k 4＋3k 216k 4＋24k 2＋9，令k 2＝t (t >0)， x 2<4t 2＋3t 16t 2＋24t ＋9＝116t 2＋24t ＋94t 2＋3t ＝14＋3t<14，综上，－12<x 0<12.11.(2018·浙江省温州高考适应性测试)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，焦点为F ，直线l 交抛物线C 于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，D (x 0，y 0)为线段AB 的中点，且|AF |＋|BF |＝1＋2x 0.(1)求抛物线C 的方程； (2)若x 1x 2＋y 1y 2＝－1，求x 0|AB |的最小值. 解 (1)由题意知|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ， ∵x 1＋x 2＝2x 0，且|AF |＋|BF |＝1＋2x 0， ∴p ＝1，∴抛物线C 的方程为y 2＝2x . (2)设直线l 的方程为x ＝my ＋b ，代入抛物线方程，得y 2－2my －2b ＝0， Δ＝4m 2＋8b >0，∴y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2b . ∵x 1x 2＋y 1y 2＝－1，即y 21y 224＋y 1y 2＝－1，∴y 1y 2＝－2，即b ＝1，则m 取任意实数时，Δ>0恒成立. ∴|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2| ＝1＋m 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝21＋m 2·m 2＋2，x 0＝x 1＋x 22＝y 21＋y 224＝14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＝m 2＋1， ∴x 0|AB |＝m 2＋12m 2＋1·m 2＋2，令t ＝m 2＋1，t ∈[1，＋∞)，则 x 0|AB |＝t 2t ·t ＋1＝121＋1t ≥24， ∴x 0|AB |的最小值为24. 12.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为33b . (1)求椭圆C 的离心率；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32在椭圆C 上，不过原点O 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，与直线OM 相交于点N ，且N 是线段AB 的中点，求△OAB 面积的最大值.解 (1)由题意，得a －c ＝33b ，则(a －c )2＝13b 2，结合b 2＝a 2－c 2，得(a －c )2＝13(a 2－c 2)，即2c 2－3ac ＋a 2＝0，亦即2e 2－3e ＋1＝0，结合0<e <1，解得e ＝12. 所以椭圆C 的离心率为12. (2)由(1)得a ＝2c ，则b 2＝3c 2. 将M ⎝⎛⎭⎪⎫3，32代入椭圆方程x 24c 2＋y 23c 2＝1，解得c ＝1. 所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1. 易得直线OM 的方程为y ＝12x . 当直线l 的斜率不存在时，线段AB 的中点不在直线y ＝12x 上，故直线l 的斜率存在. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，与x 24＋y 23＝1联立消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，由题意得Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝48(3＋4k 2－m 2)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2. 因为y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6m3＋4k 2，所以线段AB 的中点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km3＋4k 2，3m3＋4k 2，因为点N 在直线y ＝12x 上，所以－4km 3＋4k 2＝2×3m 3＋4k 2，解得k ＝－32. 所以Δ＝48(12－m 2)>0，解得－23<m <23，且m ≠0，|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322|x 2－x 1| ＝132·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝132·m 2－4m 2－123＝39612－m 2. 又原点O 到直线l 的距离d ＝2|m |13，所以S △OAB ＝12×39612－m 2×2|m |13＝36(12－m 2)m 2≤36·12－m 2＋m 22＝ 3. 当且仅当12－m 2＝m 2，即m ＝±6时等号成立，符合－23<m <23，且m ≠0.所以△OAB 面积的最大值为 3.13.已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，与x 轴平行的直线交Γ于B ，C 两点，记∠BAC ＝θ，若Γ的离心率为2，则( )A.θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 B.θ＝π2C.θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π D.θ＝3π4 答案 B 解析 ∵e ＝c a ＝2，∴c ＝2a ，∴b 2＝c 2－a 2＝a 2，∴双曲线方程可变形为x 2－y 2＝a 2.设B (x 0，y 0)，由对称性可知C (－x 0，y 0)，∵点B (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 20－y 20＝a 2.∵A (a ，0)，∴AB →＝(x 0－a ，y 0)，AC →＝(－x 0－a ，y 0)，∴AB →·AC →＝(x 0－a )·(－x 0－a )＋y 20＝a 2－x 20＋y 20＝0，∴AB →⊥AC →，即θ＝π2.故选B. 14.若点O 和点F 分别为椭圆x 29＋y 28＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最小值为__________.答案 6解析点P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，设P (x ，y )(－3≤x ≤3，－22≤y ≤22)，由题意得左焦点F (－1，0)，∴OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )，∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋72－8x 29＝19·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234. ∵－3≤x ≤3，∴32≤x ＋92≤152， ∴94≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤2254，∴14≤19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤254， ∴6≤19·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234≤12，即6≤OP →·FP →≤12.故最小值为6.15.如图，由抛物线y 2＝12x 与圆E ：(x －3)2＋y 2＝16的实线部分构成图形Ω，过点P (3，0)的直线始终与图形Ω中的抛物线部分及圆部分有交点，则|AB |的取值范围为( )A.[4，5]B.[7，8]C.[6，7]D.[5，6]答案 B解析由题意可知抛物线y 2＝12x 的焦点为F (3，0)，圆(x －3)2＋y 2＝16的圆心为E (3，0)，因此点P ，F ，E 三点重合，所以|PA |＝4，设B (x 0，y 0)，则由抛物线的定义可知|PB |＝x 0＋3，由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝12x ，(x －3)2＋y 2＝16得(x －3)2＋12x ＝16，整理得x 2＋6x －7＝0，解得x 1＝1，x 2＝－7(舍去)，设圆E 与抛物线交于C ，D 两点，所以x C ＝x D ＝1，因此0≤x 0≤1，又|AB |＝|AP |＋|BP |＝4＋x 0＋3＝x 0＋7，所以|AB |＝x 0＋7∈[7，8]，故选B.16.(2018·嘉兴测试)已知F 1，F 2为椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝45°，求该椭圆与双曲线的离心率之积的最小值.解不妨设|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，其中a 1，a 2分别为椭圆的长半轴长和双曲线的实半轴长，则|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2，由余弦定理得(2－2)a 21＋(2＋2)a 22＝4c 2(c 为半焦距)，设椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则2－2e 21＋2＋2e 22＝4. 又4＝2－2e 21＋2＋2e 22≥2(2－2)(2＋2)e 21·e 22＝22e 1·e 2，即e 1·e 2≥22，当e 1＝2－22，e 2＝2＋22时，等号成立，所以椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为22.。

高中数学复习专题讲解与练习-----最值与范围问题

=
1(
a
>
b
>
0
)
的左、右焦点分别为
F1
,
F2
,离心率为
1 3
，点 P 在椭圆C 上，且
∆PF1F2 的面积的最大值为 2 2 . (1)求椭圆C 的方程； (2)已知直线l : y = kx + 2(k ≠ 0) 与椭圆C 交于不同的两点 M , N ，若在 x轴上存在点G ，使得
GM = GN ，求点G 的横坐标的取值范围.
例 2. 设、A B 是椭圆 C： x2 + y2 =1长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满足∠AMB=120°，则 m 的取值范 3m
围是
( ) . . A (0,1]∪[9, +∞) B 0, 3 ]∪[9, +∞
( ) . . C (0,1]∪[ 4, +∞) D 0, 3 ]∪[ 4, +∞
（Ⅱ）设，可得
由
，可得
；直线 AE 的方程为
，
由于 AE⊥AF，只要将上式的换为，可得
由 P 为 EF 的中点，得
则直线 AP 的斜率为
，
，代入椭圆方程，
，
，
，
当时，；当时，
，
再令，可得当时，
，当时，；，当且仅当时，取得最大值；
2 / 15
综上可得直线 AP 的斜率的最大值为．学科-网[来源:学科网]
≥
4×(2+
2)
= 16
【点评】: 本题考查抛物线的焦点弦长,利用抛物线的焦点弦长公式,表示出|AB|+|DE|,然后利用基本不等式求最值. 【规律总结】: 利用基本不等式求最值的思路: 建立目标的表达式，然后结合基本不等式．

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. Word 资料解析几何最值围问题专题训练

1．直线l过点P（2，3）且与两坐标轴正半轴分别交于A、B两点。（1）若OAB的面积最小，则直线l的方程为。＊／－０《（2）若|OA|+|OB|最小，则直线l的方程为。（3）若|PA||PB|最小，则直线l的方程为。 2．已知定点P（3，2），M、N分别是直线y=x+1和x轴上的动点，则⊿PMN周长的最小值为。

3．已知点P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA、PB是圆012222yxyx的两条切

线，A、B为切点，则四边形PACB面积的最小值为。 4.已知P为抛物线xy82上一点及点A（3,1），F为焦点，则|PA|+|PF|的最小值为。

5. 已知P为抛物线xy82上一点及点A（2,6），P点到y轴的距离为d，则|PA|+d的最

小值为。

6．已知P为椭圆15922yx上一点和定点A（1,1），F为椭圆的右焦点，则|PA|+|PF|的最大值为，最小值为。 7．已知P为双曲线17922yx右支上一点和定点A（1,1），F为双曲线的左焦点，则|PA|+|PF|的最小值为。 8.已知直线1l：063-4yx和直线1-:2xl，抛物线xy82上动点P到直线1l

和直线

距离之和的最小值是。

9． P是双曲线116922yx的右支上一点，M、N分别是圆4)5(22yx和

1)5(22yx上的点，则|PM|－|PN|的最大值为。

10. 若点P为椭圆)0(12222babyax上一点，F1、F2为左右两个焦点，则（1）||||21PFPF的最大值为，最小值为。

（2）21PFPF的最大值为，最小值为。 . Word 资料 11．已知点P在抛物线xy82上，A在圆1y3-x22）（上，则|PA|的最小值是。

12．已知椭圆193622yx上两个动点P、Q和定点E（3，0），EQEP，则PQEP的最大值为。 13．椭圆22:143xyC的左、右顶点分别为12,AA,点P在C上且直线2PA的斜率的取值围

是2,1,那么直线1PA

斜率的取值围是。

14. .过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P：2212xy

交于A、C与B、D，则四

边形ABCD面积最小值为。 15. 已知椭圆)0(12222babyax的离心率为23，定点A)2

,0(与椭圆上各点距离的

最大值为7，求椭圆方程。 16．已知点A（0，-2），椭圆E：22221(0)xyabab的离心率为32，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点. （Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于,PQ两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程. 17．平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)右焦点的直线x＋y－3＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为12.

(1)求M的方程； (2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．

18．已知椭圆方程为y22＋x2＝1，斜率为k(k≠0)的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P， . Word 资料 Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0，m)．

(1)求m的取值围； (2)求△MPQ面积的最大值．

解析几何中的定点定值问题专题训练 1．对于任意实数m，直线04)2(mymmx恒过定点。 2．已知椭圆1222yx，定点)3

,0(M，过M点的直线l交椭圆于AB两点，是否存

在定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由。 3．已知椭圆1222yx的右焦点F，过F点作直线l交椭圆于AB两点，是否存在x轴上的定点Q，使得16

7BQAQ？若存在，求出Q点坐标，若不存在，说明理由。

4．已知椭圆14822yx的两个焦点分别为F1、F2， Q（1，0），椭圆上是否存在一点P，使得以Q为圆心的圆与直线PF1、PF2都相切？若存在，求出P点坐标及圆Q的方程，若不存在，说明理由。 5．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形． (1)求C的方程； (2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，证明直线AE过定点，并求出定点坐标． 6．如图，已知抛物线C：y2＝4x，过点A(1,2)作抛物线C的弦AP，AQ.若AP⊥AQ，证明：直线PQ过定点，并求出定点的坐标．

7．已知抛物线E：x2＝2py (p>0)，直线2kxy与E交于A、B两点， 2OBOA，其中O为原点。 . Word 资料（1）求抛物线E的方程。

（2）点C的坐标为)2,0(，直线CA、CB的斜率分别为k1、k2，求证：222212kkk为定值。

8．已知椭圆C: 22ax + 22by = 1(a ＞b ＞0) 的离心率为21，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线75120xy相切. (1)求椭圆C的方程； (2)设A( -4,0)，过点R（3,0)作与X轴不重合的直线L交椭圆C于P，Q两点，连接AP，

AQ分别交直线X = 316于M，N两点，若直线MR、NR的斜率分别为k1，k2 ,试问: k1k2

是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.

17．(2014·卷)已知△ABP的三个顶点都在抛物线C：x2＝4y上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，PF→＝3FM→.

(1)若|PF|＝3，求点M的坐标； . Word 资料 (2)求△ABP面积的最大值．

17．（Ⅰ）解：由题意知焦点(0,1)F，准线方程为1y 设00(,)Pxy，由抛物线定义知0||1PFy，得到02y，所以(22,2)P或(22,2)P

由3,PFFM，分别得222(,)33M或222(,)33M

（Ⅱ）解：设直线AB的方程为ykxm，点112200(,),(,),(,)AxyBxyCxy

由24ykxmxy得2

440xkxm于是

2121216160,4,4kmxxkxxm

所以AB中点M的坐标为2(2,2)kkm

由3PFFM，得

200(,1)3(2,21)xykkm

所以0206463xkykm 由2004xy

得

214515km由0,0k得1433m又因为22||41ABkkm

点(0,1)F到直线AB的距离为2|1|1mdk

所以2321648|1|35115ABPABFSSmkmmmm

记3214()351()33fmmmmm令2()91010fmmm，解得

121,19mm

可得()fm在11(,)39上是增函数，在1(,1)9上时减函数，在4(1,)3上是增函数，又12564()()92433ff所以，当19m时，()fm取到最大值256243，此时 . Word 资料 5515k所以，ABP面积的最大值为2565135 16．解：

（1）设F(C,0)，由条件知，223,c33c得

又2223,a2,b12caca所以

故E的方程为214xy

故设l:y=kx-2,P(x1,x2) 将y=kx-2代入24x+y2=1得（1+4k2）x2-16kx+12=0 当216(43)k＞0，即2k＞34时，1.2x=22824341kkk 从而 |PQ|=21k|12xx|=22241*4341kkk 又点O到直线PQ的距离d=221k。所以OPQ的面积 221443.||241opqksdPQk





………………..9分

设243kt，则t﹥0, 24444opqtsttt

因为t+4t≥4.当且仅当t=2,即k=72时等号成立，且满足﹥0.