二元一次方程组的解法和应用一对一辅导讲义

教学目标1、学会用方程描述问题中数量之间的相等关系；

2、通过对多种实际问题中数量关系的分析，使学生初步感受方程是刻画现实世界的有效模型；

3、能够根据具体问题中的数量关系，列出方程；

4、会解二元一次方程组。

重点、难点理解题意，寻求数量间的等量关系并列出方程；列方程组。

考点及考试要求考点1：列方程

考点2：解二元一次方程组

教学内容

第一课时二元一次方程组的解法和应用知识梳理

1、若代数式6x-5的值与

1

4

-互为倒数,则x的值为( )

A.1

6

B.-

1

6

C.

7

8

D.

3

2

2、解下列方程

（1）3x+7=5x+11; （2）5(x-2)=4-(4-x)

3、若关于x的方程：3x32n-+7=0是一元一次方程,则n=________.

4、国家规定存款利息的纳税办法是：利息税=利息×20％，银行一年定期储蓄的年利率为1.98％，今年小刚取出一年到期的本金及利息时，缴纳了 3.96元利息税，则小刚一年前存入银行的钱为 .

5、某种商品因换季准备打折出售，如果按定价七五折出售，则赔25元，而按定价的九折出售将赚20元。问这种商品的定价是多少？

课前检测

知识梳理

1．二元一次方程组的有关概念

二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1?的整式方程叫做二元一次方程．

二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值．因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．

二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．2．二元一次方程组的解法

代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法．

加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相差，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法．

3．二元一次方程组的应用

对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般比列一元一次方程解题容易得多．列方程组解应用问题有以下几个步骤：

（1）选定几个未知数；

（2）依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组；

（3）解方程组，得到方程组的解；

（4）检验求得未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解．

第二课时二元一次方程组的解法和应用典型例题

例1若方程x 2 m –1 + 5y 2–3n = 7是二元一次方程.求m 2＋n 的值。

分析：由二元一次方程的概念你可以知道什么？ 解：依题意，得

2 m –1＝1，2–3n ＝1. 由2 m –1＝1，得 m ＝1 由2–3n ＝1得n ＝1/

3 ∴m 2＋n ＝1＋1/3＝4/3.

变1、代数式by ax +,当2,5==y x 时，它的值是7；当5,8==y x 时，它的值是4，试求5

,7-==y x 时代数式by ax -的值。

例2 解方程组：

?

?

?=-=-14833

y x y x 分析：根据消元的思想，解方程组要把两个未知数转化为一个未知数，为此，需要用一个未知数表示另一个未知数。怎样表示呢？转化成的一元一次方程是什么？

解：由①得x=y+3③

把③代入②，得 3（y ＋3）-8y ＝14 解得y=－1

把y=－1代人③得x=2.

∴?

??-==12

y x

变2、（1）??

?=+=-152y x y x （2）?

??+==-130

2y x y x

典型例题

①

②

例3 已知21x y =??=?是方程组2(1)2

1

x m y nx y +-=??+=?的解，求（m+n ）的值．

【分析】由方程组的解的定义可知21x y =??=?，同时满足方程组中的两个方程，将2

1x y =??=?

代入两个方

程，分别解二元一次方程，即得m 和n 的值，从而求出代数式的值．

【解答】把x=2，y=1代入方程组2(1)2

1

x m y nx y +-=??+=?中，得

22(1)12

211m n ?+-?=??

+=?

由①得m=－1，由②得n=0．

所以当m=－1，n=0时，（m+n ）=（－1+0）=－1．

变3、求满足方程组???=-=--20314042y x m y x 中的y 值是x 值的3倍的m 的值，并求y x xy + 的值。

例4甲、乙两人同求方程ax －by=7的整数解，甲求出的一组解为 而乙把方程中的7错看

成了1，求得一组解为 试求a 、b 的值。

分析：由甲求出的一组解，我们可以知道什么？由乙求出的一组解我们可以知道什么？怎样

求a 、b 的值呢？

解：把x=3,y=4代入ax －by=7，得 3a －4b=7①

把x=1,y=2代入ax －by=1，得

a －2b=1② 联立①②得方程组

x=3

y=4, x=1

y=2,

3a －4b=7 a －2b=1

解之，得

故a 、b 的值分别是5、2。

例5 “5．12”汶川大地震后，灾区急需大量帐篷．?某服装厂原有4条成衣生产线和5条童装生产，工厂决定转产，计划用3天时间赶制1000?顶帐篷支援灾区．若启用1条成衣生产线和2条童装生产线，一天可以生产帐篷105顶；?若启用2条成衣生产线和3条童装生产线，一天可以生产帐篷178顶．

（1）每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶？

（2）工厂满负荷全面转产，是否可以如期完成任务？如果你是厂长，你会怎样体现你的社会责任感？

【解答】（1）设每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各x ，y 顶，则210523178x y x y +=??+=?

解得：x=41；y=32

答：每条成衣生产线平均每天生产帐篷41顶，每条童装生产线平均每天生产帐篷32顶． （2）由3×（4×41+5×32）=972<1000知，即使工厂满负荷全面转产，也不能如期完成任务．

可以从加班生产，改进技术等方面进一步挖掘生产潜力，或者动员其他厂家支援等，想法尽早完成生产任务，为灾区人民多做贡献．

变4、陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处王老师交账说：“我买了两种书，共105

本，单价分别为8元和12元，买书前我领了1 500元，现在还余418元．”王老师算了一下，说：“你肯定搞错了．”

（1）王老师为什么说他搞错了?试用方程的知识给予解释；

（2）陈老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本．但笔记本的单价

已模糊不清，只能辨认出应为小于10元的整数，笔记本的单价可能为多少元?

a =5

b =2,

例6 某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”和徽章两种奥运商品，根据下图提供的信息，?求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元？

【分析】本题以图文形式提供了部分信息，主要考查学生运用二元一次方程组解决实际问题的能力．

【解答】设一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为x 元和y 元．依题意，得2145

23280x y x y +=??+=?解

这个方程组，得125

10x y =??=?

故一盒“福娃”玩具的价格为125元，一枚徽章的价格为10元．

1.本节课我们学习了：

2.你学到了什么？

第三课时 二元一次方程组的解法和应用课堂检测

1．若2x m+n －1－3y m －n －3+5=0是关于x ，y 的二元一次方程，则m=_____，n=_____．

2．在式子3m+5n －k 中，当m=－2，n=1时，它的值为1；当m=2，n=－3时，它的值是_____．

课堂检测

师生小结

3．若方程组

26

ax y

x by

+=

?

?

+=

?

的解是

1

2

x

y

=

?

?

=-

?

，则a+b=_______．

4．若方程组

2x y b

x by a

+=

?

?

-=

?

的解是

1

x

y

=

?

?

=

?

，那么│a－b│=_____．

5．某营业员昨天卖出7件衬衫和4条裤子共460元，今天又卖出9件衬衫和6条裤子共660元，则每件衬衫售价为_______，每条裤子售价为_______．

6．为了有效地使用电力资源，我市供电部门最近进行居民峰谷用电试点，每天8：00至21：00用电每千瓦时0.55元（“峰电”价），21：00至次日8：00?用电每千瓦时0.30元（“谷电”价），王老师家使用“峰谷”电后，?五月份用电量为300kW·h，付电费115元，则王老师家该月使用“峰电”______kW·h．

7．二元一次方程3x+2y=15在自然数范围内的解的个数是（）

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

8．在解方程组

2

78

ax by

cx y

-=

?

?

+=

?

时，一同学把c看错而得到

2

2

x

y

=-

?

?

=

?

，正确的解应是

3

2

x

y

=

?

?

=

?

，那么a，b，c

的值是（）

A．不能确定 B．a=4，b=5，c=－2

C．a，b不能确定，c=－2 D．a=4，b=7，c=2

9．如图4－2所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，?每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（）

A．20g B．25g C．15g D．30g

10．4辆板车和5辆卡车一次能运27t货，10辆板车和3辆卡车一次能运20t货，设每辆板车每次可运xt货，每辆卡车每次能运yt货，则可列方程组（）

A．

4527

10327

x y

x y

+=

?

?

-=

?

B．

4527

10320

x y

x y

-=

?

?

+=

?

C．

4527

10320

x y

x y

+=

?

?

+=

?

D．

4275

10203

x y

x y

-=

?

?

-=

?

11．七年级某班有男女同学若干人，女同学因故走了14名，?这时男女同学之比为5：3，后来男同学又走了22名，这时男女同学人数相同，那么最初的女同学有（）

A．39名 B．43名

C．47名 D．55名

12．学校总务处和教务处各领了同样数量的信封和信笺，总务处每发一封信都只用一张信笺，教务处每发出一封信都用3张信笺，结果，总务处用掉了所有的信封，?但余下50张信笺，而教务处用掉所有的信笺但余下50个信封，则两处各领的信笺张数，?信封个数分别为（）

A．150，100 B．125，75

C．120，70 D．100，150

13．解下列方程组：

（1）

358

21

x y

x y

+=

?

?

-=

?

（2）

27

1

13

2

x y

y

x

-=

?

?

?-

-=

??

14．为迎接2008年奥运会，?某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”．该厂主要用甲、乙两种原料，?已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为4盒和3盒，?生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为5盒和10盒．该厂购进甲、乙原料的量分别为20000盒和30000盒，?如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？

15．甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如下表所示．甲班分两次共购买苹果70kg（第二次多于第一次），共付出189元，而乙班则一次购买苹果70kg．

购苹果数不超过

30kg

30kg以下

但

不超过

50kg

50k

g

以

上

每千克价

格

3元 2.5元2元（1）乙班比甲班少付出多少元？

（2）甲班第一次，第二次分别购买苹果多少千克？