2017年广东省汕头市高三理科二模数学试卷
2017年高三数学二模(理科)答案
2017年沈阳市高中三年级教学质量监测（二）数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. B2. D3. A4. D5.C6.B7. D8. A9. C 10. A 11. A 12. C简答与提示：1. 【命题意图】本题考查复数的共轭复数及复数运算.【试题解析】B (12)(12)5z z i i ⋅=+-=. 故选B.2. 【命题意图】本题考查集合运算.【试题解析】D 由{|13},{|0,A x x B x x =-<<=<或1}x >，故{|10,A B xx =-<< 或13}x <<. 故选D.3. 【命题意图】本题考查祖暅原理及简易逻辑等知识.【试题解析】A 根据祖暅原理容易判断q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，再利用命题的等价性， 故p 是q 的充分不必要条件. 故选A. 4. 【命题意图】本题考查抛物线的相关知识.【试题解析】D 抛物线22y x =上的点到焦点的最小距离是2p ，即18. 故选D.5. 【命题意图】本题主要考查等差数列.【试题解析】 C {}n a 是以2为公差的等差数列，12627,||||||n a n a a a =-+++53113518=+++++=. 故选C.6. 【命题意图】本题主要考查线性规划问题.【试题解析】B 不等式组所表示的平面区域位于直线03=-+y x 的上方区域和直线10x y -+=的上方区域，根据目标函数的几何意义确定4≤z . 故选B.7. 【命题意图】本题考查三视图.【试题解析】D 四棱锥的体积为. 382431=⨯⨯=V . 故选D. 8. 【命题意图】本题考查概率相关问题.【试题解析】A 由已知1151(),4216nn -≥≥. 故选A. 9. 【命题意图】本题主要考查三角函数的相关知识.【试题解析】C令26t x π=+，从而7[,]66t ππ∈，由于方程有两个解，所以12122()3t t x x ππ+=++=，进而123x x π+=. 故选C.10. 【命题意图】本题主要考查程序框图.【试题解析】A 第一次执行循环体有，33,,1,||0.522m b a a b ===-=；第二次执行循环 体有，535,,,||0.25424m b a a b ===-=；第三次执行循环体有， 11311,,,||0.125828m b a a b d ===-=<. 故选A.11. 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】A 由已知22(3,3),||(3)(3)OC m n m n OC m n m n =+-=++-2210m n =+，由0,0,12m n m n >>≤+≤，有22222m n ≤+<，则5||210OC ≤<. 故选A.12. 【命题意图】本题是考查函数的应用.【试题解析】C ①当2m =时显然成立；②当2m >时，2()[1,1]3m f x m -∈+-，只要 22(1)13m m -+>-即可，有25m <<，；③当2m <时，2()[1,1]3m f x m -∈-+，只要 21213m m -+<-即可，有725m <<. 故选C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 4814. x y =15. 30 16.233简答与提示：13. 【命题意图】本题考查排列组合相关知识.【试题解析】甲乙二人的票要连号，故424248A A =. 14. 【命题意图】本题考查导数的几何意义.【试题解析】()(sin cos ),(0)1,xf x e x x f ''=+=切线方程为x y =. 15. 【命题意图】本题考查等比数列.【试题解析】由条件可求得12,2,q a ==所以430S =.16. 【命题意图】本题考查双曲线问题.【试题解析】法一：由||1||2AF BF =可知，||1||2OA OB =，则Rt OAB ∆中，3AOB π∠=，渐近线OA 的斜率3tan 63b k a π===，即离心率2231()3b e a =+=. 法二：设过左焦点F 作x a b y -=的垂线方程为)(c x bay +=联立⎪⎩⎪⎨⎧-=+=x a b y c x b a y )(，解得，c ab y A =联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=x a b y c x b a y )(，解得，22a b abc y B -= 又||1||2AF BF = A B y y 2-=∴ 223a b =∴所以离心率2231()3be a=+=. 三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查三角函数性质及正弦定理等. 【试题解析】（Ⅰ）(3,1),(3cos ,1sin )OP QP x x ==--， （2分）()33cos 1sin 42sin()3f x x x x π=-+-=-+， （4分）)(x f 的周期为π2. （5分）（Ⅱ）因为()4f A =，所以23A π=， （6分）又因为3BC =，由正弦定理，23sin ,23sin AC B AB C ==， （8分）所以三角形周长为323sin 23sin 323sin()3B C B π++=++ （10分）因为03B π<<，所以3sin()(,1]32B π+∈， 所以三角形周长最大值为323+. （12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率统计知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】（Ⅰ）解：女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：（3分）由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大. （4分）（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于 90分的人数为4，从6人中任取3人，记评分小于90分的人数为X ，则X 取值为1,2,3，12423641(1)205C C P X C ====；214236123(2)205C C P X C ====； 评分频率组距100908070600.0350.0250.020.0150.010.0050.030.04O 50评分频率组距100908070600.0350.0250.020.0150.010.0050.030.04O 5032423641(3)205C C P X C ====. （9分）所以X 的分布列为X1 2 3 P1535151632555EX =++=.（12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本题以四棱锥为载体，考查直线与平面垂直，以及二面角问题等. 【试题解析】（Ⅰ）⊥PA 平面ABCD ,⊂AB 平面ABCD ,AB PA ⊥∴,平面ABCD 为矩形，AD AB ⊥∴ , A AD PA = ,⊥∴AB 平面PAD , （2分）⊂PD 平面PAD , PD AB ⊥∴, AD PA = , E 为PD 中点⊥∴=⊥∴PD A AB AE AE PD ,平面ADE （4分） （Ⅱ）以A 为原点，以,,AB AD AP 为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A BDP -，令||2AB =，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,0,2)P ，(2,2,0)C ，(0,1,1)E ，(1,0,0)F ，(1,0,2)PF =-，(2,2,2)PM λλλ=-，(2,2,22)M λλλ- （6分）设平面PFM 的法向量111(,,)m x y z =，=0=0m PF m PM ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即202220x z x y z λλλ-+=⎧⎨+-=⎩，(2,1,1)m =- （8分）设平面BFM 的法向量222(,,)n x y z =，=0=0n BF n FM ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即()()0212220x x y z λλλ=⎧⎪⎨-++-=⎪⎩，(0,1,)n λλ=- （10分） ()2213|cos ,|3||||61m nm n m n λλλλ⋅-+<>===+-，解得12λ=. （12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的的位置关系，考查学生的逻辑思维 能力和运算求解能力.【试题解析】（Ⅰ）由已知222=a ，2=a ，记点)(0,0y x P ，1PA OM k k = ，2202000000122ax ya x y a x y k k k k PA PA M PA -=-⨯+=⨯=⨯∴， （2分） 又)(0,0y x P 在椭圆上，故1220220=+by a x ，212202-=-=⨯∴a b k k M PA ，2122=∴a b ，∴12=b ，∴椭圆的方程为1222=+y x . （4分）（Ⅱ）设直线)1(:+=x k y l ，联立直线与椭圆方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=12)1(22y x x k y 得0224)12(2222=-+++k x k x k ，记),(),,(2211y x B y x A由韦达定理可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⨯+-=+122212422212221k k x x k k x x ，可得122)2(22121+=++=+k kx x k y y ， （6分） 故AB 中点)12,122(222++-k kk k Q ， QN 直线方程：121)122(1122222+--=++-=+-k k x k k k x k k ky （8分） )0,12(22+-∴k k N ，已知条件得：<-4101222<+-k k ，∴ 1202<<k ， （10分） )1211(212122112224)124(12222222222++=+++=+--+-+=∴k k k k k k k k kAB ， 1121212<+<k，)22,223(∈∴AB . （ 12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函 数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】（Ⅰ）21ln ()xf x x -'=， (0,)x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减. 当x e =时，()f x 取极大值为1e，无极小值. （3分）（Ⅱ）要证)()(x e f x e f ->+，即证：xe x e x e x e -->++)ln()ln(，只需证明：)ln()()ln()(x e x e x e x e -+>+-.（5分）设)ln()()ln()()(x e x e x e x e x F -+-+-=，222222222222()4()l n ()[2l n ()]0e x x F x e x e xe xe x+'=--=--+>--， （7分）0)0()(=>∴F x F .故)ln()()ln()(x e x e x e x e -+>+-，即)()(x e f x e f ->+. （8分） （III ）不妨设21x x <，由（Ⅰ）知210x e x <<<，e x e <-<∴10，由（Ⅱ）得)()()]([)]([2111xf x f x e e f x e e f ==-->-+， （10分） 又e x e >-12，e x >2，且)(x f 在),(+∞e 上单调递减， 122e x x ∴-<，即e x x 221>+，e x x x >+=∴2210，0)(0<'∴x f . （12分） 22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化.【试题解析】 (I) 由221:40,C x y x +-=:230l x y +-=.（5分）（II ）(,22),4P π直角坐标为(2,2)，1(2cos ,sin ),(1cos ,1sin )2Q M αααα++， M 到l 的距离|1cos 2sin 3|10|sin()|545d ααπα+++-==+，从而最大值为105. （10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法及不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】(I)因为2b a -<，所以3,()|||2|=,23,2x a b x a b f x x a x b x a b a x b x a b x ⎧⎪--+<-⎪⎪=++--++-≤<⎨⎪⎪+-≥⎪⎩，显然()f x 在(,]2b -∞上单调递减，()f x 在[,)2b+∞上单调递增，所以()f x 的最小值为()22b b f a =+，所以12ba +=，22ab +=. （5分）(II)因为2a b tab +≥恒成立，所以2a bt ab+≥恒成立， 212121122()(2)(14)22a b a b a b ab b a b a b a +=+=++=+++1229(142)22a b b a ≥++⋅= 当23a b ==时，2a b ab +取得最小值92，所以92t ≥，即实数t 的最大值为92. （10分）。
2020届广东省汕头市2017级高三下学期二模考试数学(文)试卷及解析
2020届广东省汕头市2017级高三下学期二模考试数学（文）试卷★祝考试顺利★（含答案）一､选择题1.已知全集010U x Z x ⎡⎤=∈<≤⎣⎦,{}1,2,3,4,5M =,{}5,6,7,8,9,10N =,则U MN =（ ） A. NB. MC. U MD. M N ⋂【答案】B【解析】首先列举集合U ,再求U M N ⋃【详解】由条件可知{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U = {}1,2,3,4U N ∴=,{}1,2,3,4,5U M N M ∴==.故选：B2.已知,m n R ∈,i 是虚数单位,若()(1)m i i ni -+=,则||m ni -=（ ）B. 2 D. 1【答案】A【解析】 ()(1)m i i -+整理为a bi +的形式,根据复数相等的充要条件求出m 、n ,代入||m ni -求模即可.【详解】()(1)(1)(1)m i i m m i ni -+=++-=,10112m m m n n +==-⎧⎧∴⇒⎨⎨-==-⎩⎩,||12m ni i ∴-=-+==故选：A3.在此次抗击新冠肺炎疫情过程中,中医治疗起到了重要作用.中医理论讲究食物相生相克,合理搭配饮食可以增强体质,提高免疫力,但不恰当的搭配也可能引起身体的不适.食物相克是指事物之间存在着相互拮抗､制约的关系,若搭配不当,会引起中毒反应.已知猪肉与菊花,猪肉与百合,螃蟹与茄子相克.现从猪肉､螃蟹､茄子､菊花､百合这五种食物中任意选取两种,则它们相克的概率为（ ）A . 13B. 23C. 310D. 710 【答案】C【解析】利用组合求出五种食物中任意选取两种有2510C =种,相克的有3种,相比即可．【详解】解：因为从猪肉、螃蟹、茄子、菊花、百合这五种食物中任意选取两种有2510C =种,相克的有3种, 则相克的概率为310P =． 故选：C ． 4.若函数()()2π2cos 026x f x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为2π3,则()f x 图象的一条对称轴为（ ） A. π9x = B. π3x = C. π6x = D. 2π9x = 【答案】D【解析】先由最小正周期求出ω,再令()π3π3x k k +=∈Z 可得对称轴方程,从而可得选项. 【详解】因为()()2π2cos 026x f x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭,所以()()π1+cos 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭,又函数()f x 的最小正周期为2π2π3T ω==,解得=3ω. ()π1+cos 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令()π3π3x k k +=∈Z ,解得()ππ39k x k =-∈Z , 取1k =,可得()f x 图象的一条对称轴为2π9x =. 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数的周期性和对称轴.对于函数cos ωφf x A x B ,最小正周期。
2017年广东省汕头市高三文科二模数学试卷
2017年广东省汕头市高三文科二模数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知集合，，则A. B. C. D.2. 已知复数满足，则A. B. C. D.3. 在等差数列中，，则数列的前项和等于A. B. C. D.4. 已知向量，，若与共线，则实数A. B. C. D.5. 某个零件的三视图如图所示，网格上小正方形的边长为，则该零件的体积等于A. B. C. D.6. 运行如图所示的程序框图，输出的结果是A. B. C. D.7. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若和在区间上的图象交于，，三点，则的面积是A. B. C. D.8. 已知，都是定义在上的函数，且满足以下条件：①（）；②；③．若，则使成立的的取值范围是______A. B.C. D.9. 对于函数，下列结论正确的是A. ，函数是奇函数B. ，函数是偶函数C. ，函数在上是减函数D. ，函数在上是减函数10. 正四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱的长度均为，则该四棱锥的外接球体积为A. B. C. D.11. 双曲线的右焦点为，点在双曲线的左支上，且与圆相切于点，若恰为线段的中点，则双曲线的离心率为A. B. C. D.12. 已知函数，若，且对任意的恒成立，则的最大值为A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 袋中有个除了颜色外完全相同的小球，包括个红球，个黑球和个白球，从中随机摸出个球，则这个球颜色不同的概率为______．14. 已知实数，满足则的最大值是______．15. 已知抛物线的焦点为，点，，射线与抛物线交于点，与其准线交于点，若，则 ______．16. 在数列中，，，则 ______．三、解答题（共7小题；共91分）17. 在中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求的值；（2）若，在边上，且满足，的面积．18. 已知在四棱锥中，底面是平行四边形，且有，．（1）求证：平面平面；（2）若，，，求四棱锥的体积．19. 某公司要推出一种新产品，分个相等时长的时段进行试销，并对卖出的产品进行跟踪以及收集顾客的评价情况（包括产品评价和服务评价），在试销阶段共卖出了件，通过对所卖出产品的评价情况和销量情况进行统计，一方面发现对该产品的好评率为，对服务的好评率为，对产品和服务两项都没有好评有件，另一方面发现销量和单价有一定的线性相关关系，具体数据如下表：时段单价元销量件（参考公式：线性回归方程中系数计算公式分别为：；，其中）（参考数据：，）（1）能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为产品好评和服务好评有关?（2）该产品的成本是元/件，预计在今后的销售中，销量和单价仍然服从这样的线性相关关系，该公司如果想获得最大利润，此产品的定价应为多少元?20. 过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，是的中点．（1）求动点的轨迹方程；（2）过点且与直线垂直的直线和坐标轴分别交于，两点，记的面积为，的面积为，试问：是否存在直线，使得?请说明理由．21. 已知函数，．（1）求函数在上的最大值；（2）若函数有两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围．22. 在平面直角坐标系中，过的直线的倾斜角为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，圆的极坐标方程为．（1）求直线的参数方程与圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于，两点，求的值．23. 设函数．（1）解不等式；（2）求直线与的图象所围成的封闭图形的面积．答案第一部分1. C2. B3. C4. A5. A6. D7. C8. B9. C 10. C11. B 12. B第二部分13.14.15.16.第三部分17. （1）因为，．所以，即，所以，因为，所以，所以（2），，所以，．因为，不妨设，则，，由正弦定理可得，所以，由余弦定理可得，即，解得，所以，所以．18. （1）如图，设，连接，是平行四边形，所以为的中点，又，所以，又，，所以平面，而平面，所以平面平面．（2）由（）知，平面平面，所以，又为的中点，所以，则四边形为菱形，因为，所以为正三角形，又，所以，在中，由，，可得，，在中，因为，，可得边上的高为．所以，则．所以．19. （1）由题意可得产品好评和服务好评的列联表：服务好评服务没有好评总计产品好评其中，，，，产品没有好评总计，代入，得．所以不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为产品好评和服务好评有关．（2）设获得的利润为元，根据计算可得，，，，，代入回归方程得，．所以．此函数图象为开口向下，对称轴方程为，所以当时，取的最大值．即该公司如果想获得最大利润，此产品的定价应为元．20. （1）设点的坐标为，，；过椭圆的右焦点的直线为：，联立消去，整理得，所以，；所以，；所以，所以；代入的方程，得，化简得，整理得；所以点的轨迹方程为．（2）假设存在直线，使得，显然直线不能与，轴垂直．由（）可得，设，因为，所以，即，因为和相似，所以若，则，，与题意矛盾，所以不存在直线，使得．21. （1）由，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，①即时，在递增，，②时，在递减，，③时，在递增，在递减，；故．（2），则，题意即为有两个不同的实根，，即有两个不同的实根，，等价于直线与函数的图象有两个不同的交点．因为，所以在上单调递减，在上单调递增，画出函数图象的大致形状（如图），时，，存在，且的值随着的增大而增大，而当时，由题意两式相减可得，所以代入上述方程可得，此时，所以，实数的取值范围为．22. （1）过的直线的倾斜角为，参数方程为（为参数），圆的极坐标方程为，即，所以两边都乘以，得．可得圆的普通方程是：，即．（2）参数方程为（为参数）代入，整理可得．设，对应的参数分别为，，则，，所以．23. （1）①当时，不等式即，所以，所以此时无解；②当时，原不等式即，所以，所以此时；③当时，原不等式即，所以，所以此时，所以综上，原不等式解集为．（2）直线与的图象所围成的封闭图形，如图所示．时，或，，，所以所求面积为．。
【广东省湛江】2017学年高考二模数学年(理科)试题
（Ⅱ）(1)b n a -1(n a n n =-...b b ++=444p p =，24242()(1)p p -=224215C C =，3124815C C =， 02413C C =，的分布列为；二面角1AHAA A =，（Ⅱ）解：棱锥BCM S ⨯为原点，如图建立空间直角坐标系(2,0,BM =，(2,0,0)BC =，1(0,2,3)BA =的法向量为(,,)n x y z =1202n BC x n BA y ⎧==⎪⎨=+⎪⎩，取(0,3,2)n =-,n BM <>=直线MB 与平面所成角的正弦值为． ．解：（Ⅰ）23EF c =，由(3,0)E c)'(c)1f =-c a -， 2()2222a a c a ---+=-2()2222a a c a -+-+=-34t t =2sin cos θ+直线．解：（Ⅰ）1a =时，时，()2f x x =)30=>广东省湛江市2017年高考二模数学（理科）试卷解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项所述符合题目要求的1．【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：（x+2）（x﹣3）≤0，解得：﹣2≤x≤3，即B=[﹣2，3]，∵A={1，2，3，4}，∴A∩B={1，2，3}，【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、复数相等即可得出．【解答】解：==，x+yi与互为共轭复数，∴x=，y=．则x+y=2．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】根据题意，由题目的列联表，计算观测值K2，通过对照的数值表，即可得出统计结论，分析可得答案．【解答】解：根据题意，由题目中所给的2×2列联表，有K2===10＞7．879，则在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为社交软件使用习惯与年龄有关；【点评】本题考查独立性检验的应用，关键是理解独立性检验的原理并灵活运用．4．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】求出函数y=sinx+cosx的值域判断A；由已知求出P（X＞2）判断B；举例说明C错误；写出特称命题的否定判断D．【解答】解：∵sinx+cosx=∈[﹣]，又，∴A错误；X服从正态分布N（0，σ2），且p（﹣2＜X≤2）=0.6，则P（X＞2）==0.2，故B正确；a，b为实数，若a=b=0，满足a+b=0，不能得到=﹣1，故C错误；命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是“∃x0∈R，x2﹣x+1≤0，故D错误．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查三角函数值域的求法，考查特称命题的否定及充分必要条件的判定方法，训练了正态分布概率的求法，是中档题．5．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由抛物线的标准方程可得其焦点坐标，进而结合双曲线的方程可得c=2，b2=3，计算可得a2的值，结合a的范围即可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线的方程为y2=8x，其焦点坐标为（2，0），双曲线﹣=1（a＞0）的一个焦点为（2，0），则其中c=2，b2=3，则a2=c2﹣b2=1，又由a＞0，即a=1，【点评】本题考查双曲线、抛物线的几何性质，关键是由抛物线的几何性质，求出抛物线的焦点坐标．6．【考点】EF：程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加计算p 的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得p=1，n=0执行循环体，n=1，p=1+12=2，不满足条件，执行循环体，n=2，p=2+22=6，不满足条件，执行循环体，n=3，p=6+32=15，不满足条件，执行循环体，n=4，p=15+42=31，由题意，此时应该满足条件，退出循环，输出p的值为31，则判断框内应填入的不等式是n＞3．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误，属于基础题．7．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．【解答】解：作作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，平移直线y=x﹣z，当直线y=x﹣z经过点C（2，0）时，直线y=x﹣z的截距最小，此时z最大，当直线经过点A（0，1）时，此时直线y=x﹣z截距最大，z最小．此时z max=2．z min=0﹣1=﹣1．∴﹣1≤z≤2，【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．8．【考点】3O：函数的图象．【分析】讨论a的范围，利用导数判断f（x）的单调性得出答案．【解答】解：f（x）=，∴f′（x）=．（1）当a=0时，f（x）=，图象为A；（2）当a＞0时，1+＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，令﹣1+=0得x=﹣，∴当x＜﹣时，﹣1+＜0，当﹣＜x＜0时，﹣1+＞0，∴f（x）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在（﹣，0）上单调递增，图象为D；（3）当a＜0时，﹣1+＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，令1+=0得x=，∴当x＞时，1+＞0，当0＜x＜时，1+＜0，∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，图象为B；【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，分类讨论思想，属于中档题．9．【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线y=与直线y=x ﹣1及x=1围成的封闭图形的面积，即可求得结论【解答】解：联立方程组，解得x=2，y=1，则曲线y=与直线y=x﹣1及x=1所围成的封闭图形的面积为S=（﹣x+1）dx=（2lnx﹣x2+x）=（2ln2﹣2+2）﹣（0﹣+1）=2ln2﹣，【点评】本题考查导数知识的运用，考查利用定积分求面积，考查学生的计算能力，属于中档题．10．【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】由题意，相邻两条对称轴之间的距离为π，可得周期T=2π，求出ω，在x=时取得最大值2，求出φ，利用f（α）=，且＜α＜，构造出sin（2α+），根据和与差公式计算即可．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）+1（ω＞0，0≤φ≤），∵相邻两条对称轴之间的距离为π，∴周期T=2π，即=2π，∴ω=1．那么f（x）=sin（x+φ）+1，又∵x=时取得最大值2，即sin（+φ）+1=2，可得：+φ=，k∈Z，0≤φ≤∴φ=．则f（x）=sin（x+）+1，由f（α）=，即sin（α+）=且＜α＜，则α+∈（，π）∴cos（α+）=那么：sin（2α+）=sin2（α+）=2sin（α+）cos（α+）=﹣2××=．【点评】本题给出正弦型三角函数的解析式求法，以及化简计算能力，利用了二倍角公式，属于中档题．11．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】画出图形，求出外接球的半径即可求出结果．【解答】解：底面ABCD外接圆的半径是，即AO=．则PO==，∴四棱锥的外接球的半径为：，∴四棱锥的外接球的体积为=．【点评】本题考查几何体的外接球的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】作出y=f（x）和y=log a x的函数图象，根据图象交点个数列不等式组，解出a即可．【解答】解：作出y=f（x）的函数图象如图所示：∵方程f（x）﹣log a x=0有且仅有三个实根，∴y=f（x）与y=log a x的函数图象有三个交点，当a＞1时，显然两图象只有1个交点，不符合题意；当0＜a＜1时，若两图象有3个交点，则，解得＜a＜．【点评】本题考查了方程解的个数与函数图象的关系，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据条件，对两边平方即可求出的值，从而可求出的值，进而得出向量的夹角．【解答】解：据条件：===12；∴；∴；∴向量的夹角为120°．【点评】考查向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的余弦公式，以及向量夹角的范围．14．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．利用体积求出x．【解答】解：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得：（5．4﹣x）×3×1+π•（）2x=12．6，x=1．6．【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，圆柱的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度基础．15．【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】这个问题的关键是四人中有两人说真话，另外两人说了假话，这是解决本题的突破口；然后进行分析、推理即可得出结论．【解答】解：在甲、乙、丙、丁四人的供词不达意中，可以看出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙、丁两人的供词应该是同真或同假（即都是真话或者都是假话，不会出现一真一假的情况）；假设乙、丁两人说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论；显然这两个结论是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯，乙、丙、丁中有一人是罪犯，由丁说假说，丙说真话，推出乙是罪犯．故答案为乙．【点评】此题解答时应结合题意，进行分析，进而找出解决本题的突破口，然后进行推理，得出结论．16．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】设BC=x，则△ABC面积S==又cosB=．即S=即可求出最值．【解答】解：设BC=x，则△ABC面积S==又因为cosB=．即S=【点评】本题主要考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题．属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（Ⅰ）归纳a n=a n﹣1+n，利用迭代法即可求出通项公式，（Ⅱ）求出b n===2（﹣），利用裂项求和和放缩法即可证明．【点评】本题考查数列的通项公式，数列求和，放缩法，证明不等式，考查计算能力．18．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（I ）根据分层抽样原理计算A．B．C．D各班参加竞赛的人数即可；（II）由题意知B班每位参加竞赛的同学得奖品的概率，根据n次独立重复实验恰有k 次发生的概率计算公式求出概率值；（III）由题意知X的可能取值，计算对应的概率，写出X的分布列，计算数学期望．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是综合题．19．【考点】MI：直线与平面所成的角；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）过A在平面ABA1内作AH⊥A1B，垂足为H，只需证明AH丄CB，BC⊥AA1，即可证得AH∩AA1=A，得BC丄平面ABA1（Ⅱ）棱锥M﹣BCA1的体积为1，由（1）得AB⊥面BCM，由VA1﹣BCM=，解得CC1，以B为原点，如图建立空间直角坐标系则M（2，O，），C（2，0，0），A1（0，2，3），利用向量求解．【点评】本题考查了空间线面垂直判定，向量法求线面角，属于中档题．20.【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由已知可得|EF2|=|F1F2|，且F1A∥F2B，得B是A和E的中点，不妨设A（0，b），由E（3c，0），求得B的坐标，代入椭圆方程即可求得椭圆的离心率；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a2=3c2，b2=a2﹣c2=2c2，设椭圆方程为2x2+3y2=6c2．分A（0，）与A（0，﹣）两类可得的值．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．21．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出f（x）的导数，由条件可得f（x）的减区间和增区间，可得f（x）在（c，+∞）上的最小值为f（1），f（x）≥对任意x∈（c，+∞）恒成立，即为f（1）不小于，解不等式，结合c＞0，即可得到a的范围；（2）由两直线垂直的条件可切线的斜率之积为﹣1，由f′（c）=，可得f′（）=﹣，讨论当≥c时，当＜c时，求得f′（），化简整理可得c关于a的函数，运用换元法和导数，求得单调区间，可得最小值．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、最值，考查分类讨论思想方法和转化思想、化简整理的运算能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（I ）根据sin2θ+cos2θ=1消去直线曲线C1的参数可得普通方程；（II）将2ρsin（θ+）=3的直线l化为普通方程，利用截得的弦长公式L=，可得线段PQ的长．【点评】本题考查了参数方程与普通方程的转化，参数方程的应用，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]23．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）根据绝对值的意义，求得不等式f（x）＞0的解集．（Ⅱ）函数f（x）的图象与直线y=x有1个交点，数形结合可得a的范围．【点评】本题主要绝对值的意义，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．。
广东省汕头市2017届高三上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析
2016-2017学年广东省汕头市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A={x|y=ln（1﹣2x）}，B={x|x2＜x}，全集U=A∪B，则∁U（A∩B）=（）A．（﹣∞，0）B． C．（﹣∞，0）∪D．2．设复数，z2=3+4i，其中i为虚数单位，则=（）A．B．C．D．3．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣ B．﹣ C．D．24．函数的图象与x轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，若要得到函数g（x）=sinωx的图象，只要将f（x）的图象（）个单位．A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移5．函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．6．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A．7 B．12 C．17 D．347．假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00﹣﹣﹣7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30﹣﹣﹣7：30之间随机地离家上学，则你在离开家前能收到牛奶的概率是（）A．B．C．D．8．设等比数列{a n}的前n项和为S n．则“a1＞0”是“S3＞S2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件9．将二项式（x+）6展开式中各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（）A．B．C．D．10．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（﹣x），且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf'（x）＜0成立，若a=（20.1）•f（20.1），b=（ln2）•f（ln2），，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b11．设且，则（）A．B．C．D．12．在平面内，定点A，B，C，D满足==，•=•=•=﹣2，动点P，M满足=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C． D．二、填空题命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为．14．已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是．15．为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100米，∠BAC=60°，在A地听到弹射声音比B地晚秒（已知声音传播速度为340米/秒），在A地测得该仪器至高点H处的仰角为30°，则这种仪器的垂直弹射高度HC=．16．设变量x，y满足约束条件，则z=（a2+1）x﹣3（a2+1）y的最小值是﹣20，则实数a=．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．19．（12分）为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值μ=65，标准差=2.2，以频率值作为概率的估计值．（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：①p（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≥0.6826．②P（μ﹣σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级．（2）将直径小于等于μ﹣2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品（i）从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望EY；（ii）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的数学期望EZ．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得+=，求实数t的取值范围．21．（12分）已知f（x）=e x﹣ax2，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=bx+1．（1）求a，b的值；（2）求f（x）在[0，1]上的最大值；（3）证明：当x＞0时，e x+（1﹣e）x﹣xlnx﹣1≥0．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]．（1）求C的参数方程；（2）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x﹣a|+|x+b|的最小值为2．（Ⅰ）求a+b的值；（Ⅱ）证明：a2+a＞2与b2+b＞2不可能同时成立．2016-2017学年广东省汕头市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A={x|y=ln（1﹣2x）}，B={x|x2＜x}，全集U=A∪B，则∁U（A∩B）=（）A．（﹣∞，0）B． C．（﹣∞，0）∪D．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合A、B，写出U以及A∩B和∁U（A∩B）．【解答】解：集合A={x|y=ln（1﹣2x）}={x|1﹣2x＞0}={x|x＜}=（﹣∞，），B={x|x2≤x}={x|x（x﹣1）≤0}={x|0≤x≤1}=[0，1]，∴U=A∪B=（﹣∞，1]，∴A∩B=[0，）；∴∁U（A∩B）=（﹣∞，0）∪[，1]．故选：C．【点评】本题考查了集合的有关定义与运算问题，是基础题目．2．设复数，z2=3+4i，其中i为虚数单位，则=（）A．B．C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知求出，在求出|z2|，代入得答案．【解答】解：∵，∴，∵z2=3+4i，∴|z2|=5，∴=．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题．3．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣ B．﹣ C．D．2【考点】圆的一般方程；点到直线的距离公式．【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d==1，解得：a=，故选：A．【点评】本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档．4．函数的图象与x轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，若要得到函数g（x）=sinωx的图象，只要将f（x）的图象（）个单位．A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由题意可得函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为2×=π，即=π，可得：ω=2，由于：f（x）=sin（2x+）=sin2（x+），故将f（x）的图象向右平移个单位，可得函数g（x）=sin2x的图象，故选：B．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．5．函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象．【分析】判断函数的奇偶性，排除选项，利用函数经过的特殊点，以及特殊函数的值，判断函数的单调性，然后判断函数的图象即可．【解答】解：函数y=是偶函数，所以选项B错误，第x=e时，y=e，所以选项A，错误；当x∈（0，1）时，y=xlnx，y′=lnx+1，x=时，y′=0，0＜x＜，y′＜0，函数是减函数，＜x＜1，y′＞0，函数是增函数．所以C错误．故选：D．【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性，单调性，特殊点，往往是判断函数的图象的方法，考查转化思想以及计算能力．6．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A．7 B．12 C．17 D．34【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：∵输入的x=2，n=2，当输入的a为2时，S=2，k=1，不满足退出循环的条件；当再次输入的a为2时，S=6，k=2，不满足退出循环的条件；当输入的a为5时，S=17，k=3，满足退出循环的条件；故输出的S值为17，故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．7．假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00﹣﹣﹣7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30﹣﹣﹣7：30之间随机地离家上学，则你在离开家前能收到牛奶的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】设送报人到达的时间为x，此人离家的时间为y，以横坐标表示报纸送到时间，以纵坐标表示此人离家时间，建立平面直角坐标系，作图求面积之比即可．【解答】解：设送奶人到达的时间为x，此人离家的时间为y，以横坐标表示奶送到时间，以纵坐标表示此人离家时间，建立平面直角坐标系（如图）则此人离开家前能收到牛奶的事件构成区域如图示∴所求概率P=1﹣=；故选：D．【点评】本题考查几何概型的会面问题，准确作图利用面积作为几何测度是解决问题的关键，属中档题．8．设等比数列{a n}的前n项和为S n．则“a1＞0”是“S3＞S2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分公比q=1和q≠1两种情况，分别由a1＞0推出S3＞S2成立，再由S3＞S2也分q=1和q≠1两种情况推出a1＞0，从而得出结论．【解答】解：当公比q=1时，由a1＞0可得s3=3a1＞2a1=s2，即S3＞S2成立．当q≠1时，由于=q2+q+1＞1+q=，再由a1＞0可得＞，即S3＞S2成立．故“a1＞0”是“S3＞S2”的充分条件．当公比q=1时，由S3＞S2成立，可得a1＞0．当q ≠1时，由 S 3＞S 2成立可得＞，再由＞，可得 a 1＞0．故“a 1＞0”是“S 3＞S 2”的必要条件．综上可得，“a 1＞0”是“S 3＞S 2”的充要条件， 故选C ．【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义和判断，不等式性质的应用，属于基础题．9．将二项式（x +）6展开式中各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】二项式系数的性质．【分析】写出二项展开式的通项，求出所含有理项及无理项的个数，利用插空排列得到无理项互不相邻的事件数，由古典概型概率计算公式求得答案．【解答】解：由，可知，当r=0，2，4，6时，为有理项，则二项式（x +）6展开式中有4项有理项，3项为无理项．基本事件总数为．无理项互不相邻有．∴无理项互不相邻的概率是P=．故选：A ．【点评】本题考查二项式系数的性质，考查了排列组合及古典概型概率计算公式，是中档题．10．已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=f （﹣x ），且当x ∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf'（x）＜0成立，若a=（20.1）•f（20.1），b=（ln2）•f（ln2），，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b【考点】对数值大小的比较．【分析】设g（x）=xf（x），由导数性质推导出当x∈（﹣∞，0）单调递减，再根据函数的奇偶性得到x∈（0，+∞）时，函数y=g（x）单调递增．由此能求出结果【解答】解：∵设g（x）=xf（x）∴g′（x）=[xf（x）]'=f（x）+xf'（x），∴当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）=f（x）+xf'（x）＜0，函数y=g（x）单调递减，∵f（x）满足f（x）=f（﹣x），∴函数y=f（x）为奇函数，∴函数y=g（x）为偶函数，∴当x∈（0，+∞）时，函数y=g（x）单调递增．∴20.1＞1，0＜ln2＜1，log2=﹣3，∴g（﹣3）=g（3），∴g（﹣3）＞g（20.1）＞g（ln2），∴c＞a＞b，故选：C．【点评】本题考查三个数的大小的比较，解题时要认真审题，注意导数性质、函数性质的合理运用，属于中档题11．设且，则（）A．B．C．D．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】由题意和三角函数公式变形可得cosα=cos[﹣（α﹣β）]，由角的范围和余弦函数的单调性可得．【解答】解：∵，∴﹣=，∴=+=，∴sinαcosβ=cosα（1+sinβ）=cosα+cosαsinβ，∴cosα=sinαcosβ﹣cosαsinβ=sin（α﹣β）由诱导公式可得cosα=sin（α﹣β）=cos[﹣（α﹣β）]，∵，∴[﹣（α﹣β）]∈（0，π），∴α=﹣（α﹣β），变形可得2α﹣β=，故选：D．【点评】本题考查三角函数恒等变换，熟练应用三角函数公式是解决问题的关键，属中档题．12．在平面内，定点A，B，C，D满足==，•=•=•=﹣2，动点P，M满足=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C． D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由==，可得D为△ABC的外心，又•=•=•，可得可得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．运用向量的数量积定义可得△ABC的边长，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，求得B，C的坐标，再设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由中点坐标公式可得M的坐标，运用两点的距离公式可得BM的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．【解答】解：由==，可得D为△ABC的外心，又•=•=•，可得•（﹣）=0，•（﹣）=0，即•=•=0，即有⊥，⊥，可得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．由•=﹣2，即有||•||cos120°=﹣2，解得||=2，△ABC的边长为4cos30°=2，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，可得B（3，﹣），C（3，），D（2，0），由=1，可设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由=，可得M为PC的中点，即有M（，），则||2=（3﹣）2+（+）2=+==，当sin（θ﹣）=1，即θ=时，取得最大值，且为．故选：B．【点评】本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题（2016秋•汕头期末）命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”．【考点】四种命题．【分析】根据否命题的定义，结合已知中的原命题，可得答案．【解答】解：命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，故答案为：“若x≤1，则x2≤1”【点评】本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题．14．已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知结合给定的三棱锥的正视图，可得：三棱锥的底面是底为2，高为1，棱锥的高为1，进而得到答案．【解答】解：∵三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，结合给定的三棱锥的正视图，可得：三棱锥的底面是底为2，高为1，棱锥的高为1，故棱锥的体积V=×（×2×1）×1=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．15．为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100米，∠BAC=60°，在A地听到弹射声音比B地晚秒（已知声音传播速度为340米/秒），在A地测得该仪器至高点H处的仰角为30°，则这种仪器的垂直弹射高度HC=140米．【考点】三角形中的几何计算．【分析】由题意设AC=x米，利用条件和声速表示出BC，利用余弦定理列出方程，化简后求出AC的值，在RT△ACH中，由AC和∠CAH=30°，利用正弦函数求出答案．【解答】解：由题意设AC=x米，∵在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒，∴BC=x﹣340×=x﹣40，在△ABC内，由余弦定理得：BC2=BA2+CA2﹣2BA•CA•cos∠BAC，则（x﹣40）2=x2+10000﹣100x，解得x=420，在RT△ACH中，AC=420，∠CAH=30°，所以CH=AC•tan∠CAH=140（米），即该仪器的垂直弹射高度HC为140米，故答案为：米．【点评】本题考查余弦定理，正弦函数的实际运用，考查利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．16．设变量x，y满足约束条件，则z=（a2+1）x﹣3（a2+1）y的最小值是﹣20，则实数a=±2．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合图象求出a的值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（2，2），由z=（a2+1）x﹣3（a2+1）y，得：y=x﹣，显然直线过A（2，2）时，z最小，故2（a2+1）x﹣6（a2+1）=﹣20，解得：a=±2，故答案为：±2．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2016秋•汕头期末）数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（I）由S n=2a n﹣a1，利用递推可得：a n=2a n﹣1．由a1，a2+1，a3成等差数列，2（a2+1）=a1+a3，代入解出即可．=2n+1，可得S n，b n=，利用“裂项求和”即可得出．（II）a n+1【解答】解：（I ）由S n =2a n ﹣a 1， 当n ≥2时，S n ﹣1=2a n ﹣1﹣a 1， ∴a n =2a n ﹣2a n ﹣1， 化为a n =2a n ﹣1．由a 1，a 2+1，a 3成等差数列． ∴2（a 2+1）=a 1+a 3， ∴2（2a 1+1）=a 1+4a 1， 解得a 1=2．∴数列{a n }是等比数列，首项为2，公比为2． ∴a n =2n ．（II ）a n +1=2n +1，S n ==2n +1﹣2，S n +1=2n +2﹣2．b n ===． ∴数列{b n }的前n项和T n =++…+=．【点评】本题考查了递推关系的应用、“累加求和”方法、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2012•大纲版）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，，PA=2，E 是PC 上的一点，PE=2EC ．（Ⅰ）证明：PC ⊥平面BED ；（Ⅱ）设二面角A ﹣PB ﹣C 为90°，求PD 与平面PBC 所成角的大小．【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；向量语言表述线面的垂直、平行关系．【分析】（I）先由已知建立空间直角坐标系，设D（，b，0），从而写出相关点和相关向量的坐标，利用向量垂直的充要条件，证明PC⊥BE，PC⊥DE，从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可；（II）先求平面PAB的法向量，再求平面PBC的法向量，利用两平面垂直的性质，即可求得b的值，最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值，进而求得线面角【解答】解：（I）以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A﹣xyz，设D（，b，0），则C（2，0，0），P（0，0，2），E（，0，），B （，﹣b，0）∴=（2，0，﹣2），=（，b，），=（，﹣b，）∴•=﹣=0，•=0∴PC⊥BE，PC⊥DE，BE∩DE=E∴PC⊥平面BED（II）=（0，0，2），=（，﹣b，0）设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则取=（b，，0）设平面PBC的法向量为=（p，q，r），则取=（1，﹣，）∵平面PAB⊥平面PBC，∴•=b﹣=0．故b=∴=（1，﹣1，），=（﹣，﹣，2）∴cos＜，＞==设PD与平面PBC所成角为θ，θ∈[0，]，则sinθ=∴θ=30°∴PD与平面PBC所成角的大小为30°【点评】本题主要考查了利用空间直角坐标系和空间向量解决立体几何问题的一般方法，线面垂直的判定定理，空间线面角的求法，有一定的运算量，属中档题19．（12分）（2016•朔州模拟）为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值μ=65，标准差=2.2，以频率值作为概率的估计值．（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：①p（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≥0.6826．②P（μ﹣σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M 的性能等级．（2）将直径小于等于μ﹣2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品（i ）从设备M 的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y 的数学期望EY ；（ii ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z 的数学期望EZ ． 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】（Ⅰ）利用条件，可得设备M 的数据仅满足一个不等式，即可得出结论；（Ⅱ）易知样本中次品共6件，可估计设备M 生产零件的次品率为0.06．（ⅰ）由题意可知Y ～B （2，），于是EY=2×=；（ⅱ）确定Z 的取值，求出相应的概率，即可求出其中次品个数Z 的数学期望EZ ．【解答】解：（Ⅰ）P （μ﹣σ＜X ≤μ+σ）=P （62.8＜X ≤67.2）=0.8≥0.6826，P （μ﹣2σ＜X ≤μ+2σ）=P （60.6＜X ≤69.4）=0.94≥0.9544，P （μ﹣3σ＜X ≤μ+3σ）=P （58.4＜X ≤71.6）=0.98≥0.9974，因为设备M 的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；…（Ⅱ）易知样本中次品共6件，可估计设备M 生产零件的次品率为0.06．（ⅰ）由题意可知Y ～B （2，），于是EY=2×=；…（8分）（ⅱ）由题意可知Z 的分布列为故EZ=0×+1×+2×=．…（12分）【点评】本题考查概率的计算，考查正态分布曲线的特点，考查数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（12分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得+=，求实数t的取值范围．【考点】圆的一般方程；直线与圆的位置关系．【分析】（1）设N（6，n），则圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2，n＞0，从而得到|7﹣n|=|n|+5，由此能求出圆N的标准方程．（2）由题意得OA=2，k OA=2，设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距离：d=，由此能求出直线l的方程．（3）=，即||=，又||≤10，得t∈[2﹣2，2+2]，对于任意t∈[2﹣2，2+2]，欲使，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为，由此能求出实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵N在直线x=6上，∴设N（6，n），∵圆N与x轴相切，∴圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2，n＞0，又圆N与圆M外切，圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0，即圆M：（（x﹣6）2+（x ﹣7）2=25，∴|7﹣n|=|n|+5，解得n=1，∴圆N的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣1）2=1．（2）由题意得OA=2，k OA=2，设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距离：d==，则|BC|=2=2，BC=2，即2=2，解得b=5或b=﹣15，∴直线l的方程为：y=2x+5或y=2x﹣15．（3）=，即，即||=||，||=，又||≤10，即≤10，解得t∈[2﹣2，2+2]，对于任意t∈[2﹣2，2+2]，欲使，此时，||≤10，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为，必然与圆交于P、Q两点，此时||=||，即，因此实数t的取值范围为t∈[2﹣2，2+2]，．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．21．（12分）（2016秋•汕头期末）已知f（x）=e x﹣ax2，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=bx+1．（1）求a，b的值；（2）求f（x）在[0，1]上的最大值；（3）证明：当x＞0时，e x+（1﹣e）x﹣xlnx﹣1≥0．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，计算f′（1），f（1），求出a，b的值即可；（2）求出f（x）的导数，得到导函数的单调性，得到f（x）在[0，1]递增，从而求出f（x）的最大值；（3）只需证明x＞0时，f（x）≥（e﹣2）x+1，设g（x）=f（x）﹣（e﹣2）x﹣1，x＞0，根据函数的单调性得到e x+（2﹣e）x﹣1≥xlnx+x，从而证出结论即可．【解答】解：（1）f'（x）=e x﹣2ax，由题设得f'（1）=e﹣2a=b，f（1）=e﹣a=b+1，解得a=1，b=e﹣2．（2）由（1）知f（x）=e x﹣x2，∴f'（x）=e x﹣2x，f''（x）=e x﹣2，∴f'（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，所以f'（x）≥f'（ln2）=2﹣2ln2＞0，所以f（x）在[0，1]上单调递增，所以f（x）max=f（1）=e﹣1．（3）因为f'（x），又由（2）知，f（x）过点（1，e﹣1），且y=f（x）在x=1处的切线方程为y=（e﹣2）x+1，故可猜测：当x＞0，x≠1时，f（x）的图象恒在切线y=（e﹣2）x+1的上方．下证：当x＞0时，f（x）≥（e﹣2）x+1，设g（x）=f（x）﹣（e﹣2）x+1，x＞0，则g'（x）=e x﹣2x﹣（e﹣2），g''（x）=e x﹣2，由（2）知，g'（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，又g'（x）=3﹣e＞0，g'（1）=0，0＜ln2＜1，∴g'（ln2）＜0，所以，存在x0∈（0，1），使得g'（x）=0，所以，当x∈（0，x0）∪（1，+∞）时，g'（x）＞0；当x∈（x0，1）时，g'（x）＜0，故g（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又g（0）=g（1）=0，∴g（x）=e x﹣x2﹣（e﹣2）x﹣1≥0，当且仅当x=1时取等号，故．由（2）知，，即，所以e x+（2﹣e）x﹣1≥xlnx+x，即e x+（1﹣e）x﹣1﹣xlnx≥0成立，当x=1时，等号成立．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2016秋•汕头期末）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]．（1）求C的参数方程；（2）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D的坐标．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）根据极坐标方程求出C的普通方程，从而求出参数方程即可；（2）设D（1+cost，sint），结合题意得到直线GD与l的斜率相同，求出t的值，【解答】解：（1）由题意知：ρ=2cosθ，，所以ρ2=2ρcosθ，，即x2+y2﹣2x=0，可化为（x﹣1）2+y2=1，y∈[0，1]，可得C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．（2）设D（1+cost，sint），由（1）知C是以G（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，∴，解得，即，故D的直角坐标为，即．【点评】本题考查了参数方程、普通方程以及极坐标方程的转化，考查直线的斜率问题，是一道中档题、[选修4-5：不等式选讲]23．（2016•武昌区模拟）已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x﹣a|+|x+b|的最小值为2．（Ⅰ）求a+b的值；（Ⅱ）证明：a2+a＞2与b2+b＞2不可能同时成立．【考点】绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）由a＞0，b＞0，得到f（x）=|x﹣a|+|x+b|≥a+b，由此能求出a+b的值．（Ⅱ）推导出ab≤1．假设a2+a＞2与b2+b＞2同时成立，则ab＞1，这与ab≤1矛盾，从而a2+a＞2与b2+b＞2不可能同时成立．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，∴f（x）=|x﹣a|+|x+b|≥|（x﹣a）﹣（x+b）|=|﹣a﹣b|=|a+b|=a+b，∴f（x）min=a+b．由题设条件知f（x）min=2，∴a+b=2．…5分证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）及基本不等式，得2≤a+b=2，∴ab≤1．假设a2+a＞2与b2+b＞2同时成立。
2017年5月广州市高三二模理科数学试题及答案详细解析
2017届广州市高三综合测试（二模）数学（理科）2017年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={x||x﹣1|＜1}，B={x|1﹣≥0}，则A∩B=（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|0＜x＜2}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0＜x＜1}【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出A，B中不等式的解集，找出A与B的交集即可．【解答】解：由|x﹣1|＜1，即﹣1＜x﹣1＜1，即0＜x＜2，即A={x|0＜x＜2}，由1﹣≥0，即≥0，解得x≥1或x＜0，即B={x|x≥1或x＜0}则A∩B={x|1≤x＜2}，故选：A【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．若复数z满足（3﹣4i+z）i=2+i，则复数z所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A3：复数相等的充要条件．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，得到z的坐标得答案．【解答】解：由（3﹣4i+z）i=2+i，得3﹣4i+z=，∴z=﹣2+2i．∴复数z所对应的点的坐标为（﹣2，2），位于第二象限．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．执行如图所示的程序图，则输出的S值为（）A．4 B．3 C．﹣2 D．﹣3【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知该框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：s=0，i=2，s=2，i=3，s=﹣1．i=4，s=3，i=5，s=﹣2，i=6，s=4，i=7＞6，结束循环，输出s=4，故选：A．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．4．从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n==60，再求出这个三位数是偶数包含的基本事件个数，由此能求出这个三位数是偶数的概率．【解答】解：从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，基本事件总数n==60，这个三位数是偶数包含的基本事件个数m==24，∴这个三位数是偶数的概率为p===．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．5．函数f（x）=ln（|x|﹣1）+x的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】化简f（x），利用导数判断f（x）的单调性即可得出正确答案．【解答】解：f（x）的定义域为{x|x＜﹣1或x＞1}．f（x）=，∴f′（x）=，∴当x＞1时，f′（x）＞0，当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜﹣1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，﹣1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．故选A．【点评】本题考查了函数图象的判断，函数单调性的判断，属于中档题．6．已知cos（）=，则sinθ=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】GO：运用诱导公式化简求值．【分析】利用二倍角的余弦公式、诱导公式，求得sinθ的值．【解答】解：∵cos（）=，∴cos（﹣θ）=2﹣1=﹣=sinθ，即sinθ=﹣，故选：C．【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式、诱导公式的应用，属于基础题．7．已知点A（4，4）在抛物线y2=2px （p＞0）上，该抛物线的焦点为F，过点A作该抛物线准线的垂线，垂足为E，则∠EAF的平分线所在的直线方程为（）A．2x+y﹣12=0 B．x+2y﹣12=0 C．2x﹣y﹣4=0 D．x﹣2y+4=0【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】先求出抛物线方程，再抛物线的定义可得|AF|=|AE|，所以∠EAF的平分线所在直线就是线段EF的垂直平分线，从而可得结论．【解答】解：∵点A（4，4）在抛物线y2=2px（p＞0）上，∴16=8p，∴p=2∴抛物线的焦点为F（1，0），准线方程为x=﹣1，E（﹣1，4）由抛物线的定义可得|AF|=|AE|，所以∠EAF的平分线所在直线就是线段EF的垂直平分线∵k EF=﹣2，∴∠EAF的平分线所在直线的方程为y﹣4=（x﹣4），即x﹣2y+4=0故选D．【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查学生的计算能力，属于基础题．8．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为（）A．B．C．D．【考点】LA：平行投影及平行投影作图法．【分析】由于截面被平行平面所截，所以截面为梯形，取AA1的中点N，可知截面为等腰梯形，利用题中数据可求．【解答】解：取AA1的中点N，连接MN，NB，MC1，BC1，由于截面被平行平面所截，所以截面为梯形，且MN=BC1=，MC1=BN，=，∴梯形的高为，∴梯形的面积为（）×=，故选C．【点评】本题的考点是棱柱的结构特征，主要考查几何体的截面问题，关键利用正方体图形特征，从而确定截面为梯形．9．已知k∈R，点P（a，b）是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2﹣2k+3的公共点，则ab的最大值为（）A．15 B．9 C．1 D．﹣【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】先根据直线与圆相交，圆心到直线的距离小于等于半径，以及圆半径为正数，求出k的范围，再根据P（a，b）是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2﹣2k+3的公共点，满足直线与圆方程，代入直线与圆方程，化简，求出用k表示的ab的式子，根据k的范围求ab的最大值．【解答】解：由题意，圆心（0.0）到直线的距离d=≤解得﹣3≤k≤1，又∵k2﹣2k+3＞0恒成立∴k的取值范围为﹣3≤k≤1，由点P（a，b）是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2﹣2k+3的公共点，得（a+b）2﹣a2﹣b2=2ab=3k2+2k﹣3=3（k+）2﹣，∴k=﹣3时，ab的最大值为9．故选B．【点评】本题主要考查了直线与圆相交位置关系的判断，做题时考虑要全面，不要丢情况．10．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（）A．[，）B．[，）C．[，）D．[4π，6π）【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】根据区间[0，1]上，求出ωx+的范围，由于在区间[0，1]上恰有3个最高点，建立不等式关系，求解即可．【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），∵x∈[0，1]上，∴ωx+∈[，]，图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，∴+，解得：．故选C．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．16【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知三棱锥倒立放置，从而得出棱锥的高，根据俯视图找出三棱锥的底面，得出底面积，从而可求出棱锥的体积．【解答】解：由主视图和侧视图可知三棱锥倒立放置，棱锥的底面水平放置，故三棱锥的高为h=4，∵主视图为直角三角形，∴棱锥的一个侧面与底面垂直，=4，结合俯视图可知三棱锥的底面为俯视图中的左上三角形，∴S底=∴V==．故选：B．【点评】本题考查了棱锥的三视图和体积计算，根据三视图的特征找出棱锥的底面是关键，属于中档题．12．定义在R上的奇函数y=f（x）为减函数，若m，n满足f（m2﹣2m）+f（2n﹣n2）≥0，则当1≤n≤时，的取值范围为（）A．[﹣，1]B．[1，] C．[，]D．[，1]【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】根据条件，确定函数的奇偶性，利用函数的奇偶性和单调性将不等式进行转化，利用线性规划的知识即可得到结论．【解答】解：由题意，不等式f（m2﹣2m）+f（2n﹣n2）≤0等价为f（m2﹣2m）≤﹣f （2n ﹣n 2）=f （﹣2n +n 2），∵定义在R 上的函数y=f （x ）是减函数∴m 2﹣2m ≥n 2﹣2n ，即（m ﹣n ）（m +n ﹣2）≥0，且1≤n ≤，n=，m=，或m=设z=，则z 的几何意义为区域内的动点P （n ，m ）与原点连线的斜率，（，）与原点的连线斜率为1，（，）与原点的连线斜率为，∴的取值范围为[故选：D ．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用线性规划以及直线斜率的几何意义是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知点O （0，0），A （﹣1，3），B （2，﹣4），=2+m，若点P 在y 袖上，则实数m=．【考点】9H ：平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用坐标来表示平面向量的运算，又因为点P 在y 轴上，所以它的横坐标为0，从而得到答案．【解答】解：∵O （0，0），A （﹣1，3），B （2，﹣4），∴=（﹣1，3），=（3，﹣7），∵P 在y 袖上，∴可设=（0，y ）， ∵=2+m，∴（0，y ）=2（﹣1，3）+m （3，﹣7）=（3m ﹣2，6﹣7m ）， ∴3m ﹣2=0，解得m=【点评】本题考查了利用坐标来表示平面向量的运算，属于最基本的题目．14．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷：“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二，问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目，3个3个数，剩2个，5个5个数，剩3个，7个7个数，剩2个，问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有23个．【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】根据“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”找到三个数：第一个数能同时被3和5整除；第二个数能同时被3和7整除；第三个数能同时被5和7整除，将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加即可求出答案．【解答】解：我们首先需要先求出三个数：第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1，即15；第二个数能同时被3和7整除，但除以5余1，即21；第三个数能同时被5和7整除，但除以3余1，即70；然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加，即：15×2+21×3+70×2=233．最后，再减去3、5、7最小公倍数的整数倍，可得：233﹣105×2=23，或者105k+23（k 为正整数）．∴这堆物品至少有23，故答案为：23．【点评】本题考查的是带余数的除法，简单的合情推理的应用，根据题意下求出15、21、70这三个数是解答此题的关键，属于中档题．15．设（x﹣2y）5（x+3y）4=a9x9+a8x8y+a7x7y2+…+a1xy8+a0y9，则a0+a8=﹣2590．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】展开（x﹣2y）5（x+3y）4=+…+（﹣2y）5]•[x4+4x3•3y+6x2（3y）2+4x•（3y）3+（3y）4]=ax9+a8x8y+a7x7y2+…+a1xy8+a0y9，比较系数即可的得出．9【解答】解：（x﹣2y）5（x+3y）4=+…+（﹣2y）5]•[x4+4x3•3y+6x2（3y）2+4x•（3y）3+（3y）4]=ax9+a8x8y+a7x7y2+…+a1xy8+a0y9，9则a0+a8=（﹣2）5×34+12﹣10=﹣2590．故答案为：﹣2590．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．在平面四边形ABCD中，连接对角线BD，已知CD=9，BD=16，∠BDC=90°，sinA=，则对角线AC的最大值为27．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】根据题意，建立坐标系，求出D、C、B的坐标，设ABD三点都在圆E上，其半径为R，由正弦定理计算可得R=10，进而分析可得E的坐标，由于sinA为定值，则点A在以点E（﹣6，8）为圆心，10为半径的圆上，当且仅当C、E、A三点共线时，AC取得最大值，计算即可得答案．【解答】解：根据题意，建立如图的坐标系，则D（0，0），C（9，0），B（0，16），BD中点为G，则G（0，8），设ABD三点都在圆E上，其半径为R，在Rt△ADB中，由正弦定理可得==2R=20，即R=10，即EB=10，BG=8，则EG=6，则E的坐标为（﹣6，8），故点A在以点E（﹣6，8）为圆心，10为半径的圆上，当且仅当C、E、A三点共线时，AC取得最大值，此时AC=10+EC=27；故答案为：27．【点评】本题考查正弦定理的应用，注意A为动点，需要先分析A所在的轨迹．三、解答题（共5小题，满分60分）解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（12分）（2017•广州二模）设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a1a2a3=8，S2n=3（a1+a3+a5+…+a2n）（n∈N*）﹣1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=nS n，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（Ⅰ）先根据等比数列的性质可求出a2的值，然后根据S2n=3（a1+a3+…+a2n﹣）中令n=1可求出首项a1，从而求出公比，即可求出a n的通项公式，1（Ⅱ）先根据等比数列的求和公式求出S n，再求出b n=nS n，根据分组求和和错位相减法求和即可．【解答】解：（Ⅰ）利用等比数列的性质可得，a1a2a3=a23=8 即a2=2）∵S2n=3（a1+a3+…+a2n﹣1∴n=1时有，S2=a1+a2=3a1从而可得a1=1，q=2，∴a n=2n﹣1，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得S n==﹣1+2n，∴b n=nS n=﹣n+n•2n，∴T n=﹣（1+2+3+…+n）+1×2+2×22+3×23+…+n•2n，设A n=1×2+2×22+3×23+…+n•2n，∴2A n=1×22+2×23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，两式相减可得﹣A n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1=﹣2+2n+1﹣n•2n+1=﹣2+（1﹣n）2n+1，∴A n=2+（n﹣1）2n+1，∴T n=﹣+2+（n﹣1）2n+1．【点评】本题主要考查了等比数列的前n项和以及错位相减法求和，以及等比数列的性质和通项公式，属于中档题．18．（12分）（2017•广州二模）如图，ABCD是边长为a的菱形，∠BAD=60°，EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，EB=2FD=a（Ⅰ）求证：EF丄AC；（Ⅱ）求直线CE与平面ABF所成角的正弦值．【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）证明AC⊥平面EFDB，即可证明EF丄AC；（Ⅱ）建立坐标系，利用向量方法，即可求直线CE与平面ABF所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵EB⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴EB⊥AC，∵ABCD是边长为a的菱形，∴AC⊥BD，∵EB∩BD=B，EB∥FD，∴AC⊥平面EFDB，∴EF丄AC；（Ⅱ）解：建立如图所示的坐标系，则A（a，0，0），B（0，，0），F（0，﹣，a），C（﹣a，0，0），E（0，，a），∴=（a，，a），=（﹣a，，0），=（﹣a，﹣，a），设平面ABF的法向量为=（x，y，z），则，取=（，3，2），∴直线CE与平面ABF所成角的正弦值==．【点评】本题考查线面垂直的判定，考查线面角，考查向量方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（12分）（2017•广州二模）某商场拟对商品进行促销，现有两种方案供选择．每种促销方案都需分两个月实施，且每种方案中第一个月与第二个月的销售相互独立．根据以往促销的统计数据，若实施方案1，顶计第一个月的销量是促销前的1.2倍和1.5倍的概率分别是0.6和0.4．第二个月销量是笫一个月的1.4倍和1.6倍的概率都是0.5；若实施方案2，预计第一个月的销量是促销前的1.4倍和1.5倍的概率分别是0.7和0.3，第二个月的销量是第一个月的1.2倍和1.6倍的概率分别是0.6和0.4．令ξi（i=1，2）表示实施方案i的第二个月的销量是促销前销量的倍数．（Ⅰ）求ξ1，ξ2的分布列：（Ⅱ）不管实施哪种方案，ξi与第二个月的利润之间的关系如表，试比较哪种方案第二个月的利润更大．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）依题意，ξ1的所有取值为1.68，1.92，2.1，2.4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ1的分布列；依题意，ξ2的所有可能取值为1.68，1.8，2.24，2.4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ2的分布列．（Ⅱ）Q i表示方案i所带来的利润，分别求出EQ1，EQ2，由EQ1＞EQ2，实施方案1，第二个月的利润更大．【解答】解：（Ⅰ）依题意，ξ1的所有取值为1.68，1.92，2.1，2.4，P（ξ1=1.68）=0.6×0.5=0.30，P（ξ1=1.92）=0.6×0.5=0.30，P（ξ1=2.1）=0.4×0.5=0.20，P（ξ1=2.4）=0.4×0.5=0.20，∴ξ1的分布列为：依题意，ξ2的所有可能取值为1.68，1.8，2.24，2.4，P（ξ2=1.68）=0.7×0.6=0.42，P（ξ2=1.8）=0.3×0.6=0.18，P（ξ2=2.24）=0.7×0.4=0.28，P（ξ2=2.4）=0.3×0.4=0.12，∴ξ2的分布列为：（Ⅱ）Q i表示方案i所带来的利润，则：∴EQ1=15×0.30+20×0.50+25×0.20=19.5，EQ2=15×0.42+20×0.46+25×0.12=18.5，∵EQ1＞EQ2，∴实施方案1，第二个月的利润更大．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．20．（12分）（2017•广州二模）已知双曲线﹣y2=1的焦点是椭圆C： +=1（a ＞b＞0）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设动点M在椭圆C上，且|MN|=，记直线MN在y轴上的截距为m，求m 的最大值．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（I）由题意求得椭圆的离心率，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）分类讨论，当斜率为0时，即可求得m的值，设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得m的表达式，利用导数求得函数的单调性及最值，即可求得m的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵双曲线﹣y2=1的焦点是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，∴a=，，=，∴c=，b=，∴椭圆C的方程为=1．（Ⅱ）当直线MN的斜率为0时，由|MN|=，则M（，y），则y=，则直线MN在y轴上的截距为，当直线MN的斜率不存时，与y轴无焦点，设MN为：y=kx+m，（k≠0）联立，得（1+6k2）x2+12kmx+6m2﹣6=0，，，△=（12km）2﹣4（1+6k2）（6m2﹣6）＞0，△=144k2﹣24m2+24＞0，∴m2＜6k2+1，|MN|==，∴=，整理，得，∴＜6k2+1，整理得：36k4+12k2+1＞0，即6k2+1＞0，k∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），则=，令k2+1=t，t＞1，则f（t）=﹣2t﹣+，t＞1，求导f′（t）=﹣2+，令f′（t）＞0，解得：1＜t＜，令f′（t）＜0，解得：t＞，则f（t）在（1，）单调递增，在（，+∞）单调递减，∴当t=时，f（t）取最大值，最大值为，∴m的最大值为，综上可知：m的最大值为．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，利用导数求函数的单调性及最值，考查计算能力，属于中档题．21．（12分）（2017•广州二模）已知函数f（x）=﹣ax+b在点（e，f（e））处的切线方程为y=﹣ax+2e．（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）若存在x∈[e，e2]，满足f（x）≤+e，求实数a的取值范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求导，利用导数的几何意义，直线的点斜式方程，即可求得实数b的值；（Ⅱ）则a≥﹣在[e，e2]上有解，构造辅助函数，求导，利用导数与函数单调性的关系，求得h（x）的取值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=﹣ax+b，x∈（0，1）∪（1，+∞），求导，f′（x）=﹣a，则函数f（x）在点（e，f（e））处切线方程y﹣（e﹣ex+b）=﹣a（x﹣e），即y=﹣ax+e+b，由函数f（x）在（e，f（e））处的切线方程为y=﹣ax+2e，比较可得b=e，实数b的值e；（Ⅱ）由f（x）≤+e，即﹣ax+e≤+e，则a≥﹣在[e，e2]，上有解，设h（x）=﹣，x∈[e，e2]，求导h′（x）=﹣==，令p（x）=lnx﹣2，∴x在[e，e2]时，p′（x）=﹣=＜0，则函数p（x）在[e，e2]上单调递减，∴p（x）＜p（e）=lne﹣2＜0，则h′（x）＜0，及h（x）在区间[e，e2]单调递减，h（x）≥h（e2）=﹣=﹣，∴实数a的取值范围[﹣，+∞]．【点评】本题考查导数的综合应用，导数的几何意义，利用导数求函数的切线方程，利用导数求函数的单调性及最值，考查计算能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•广州二模）在平面直角坐标系xOy中．已知直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0，曲线C的参数方程为（θ为参数），设直线l与曲线C交于A，B两点．（1）求线段AB的长（2）已知点P在曲线C上运动．当△PAB的面积最大时，求点P的坐标及△PAB的最大面积．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；QL：椭圆的参数方程．【分析】（1）根据题意，将曲线C的参数方程变形为普通方程，将直线x﹣y﹣2=0代入其中，可得x2﹣3x=0，解可得x的值，由弦长公式计算可得答案；（2）分析可得要使△PAB的面积最大，则必须使P到直线直线l的距离最大，设P的坐标为（2cosθ，2sinθ），其中θ∈[0，2π），由点到直线l的距离公式可得d=，由余弦函数的性质分析可得当θ+=π，即θ=时，d取得最大值，代入点的坐标（2cosθ，2sinθ）中可得P的坐标，进而计算可得△PAB的最大面积，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，曲线C的参数方程为，则其普通方程为：+=1，将直线x﹣y﹣2=0代入+=1可得：x2﹣3x=0，解可得x=0或3，故|AB|=|x1﹣x2|=3；（2）要求在椭圆+=1上求一点P，使△PAB的面积最大，则P到直线直线l的距离最大；设P的坐标为（2cosθ，2sinθ），其中θ∈[0，2π），则P到直线l的距离d==，又由θ∈[0，2π），则≤θ+＜，所以当θ+=π，即θ=时，d取得最大值，且d max=3，此时P（﹣3，1），△PAB的最大面积S=×|AB|×d=9．【点评】本题考查椭圆与直线的位置关系，涉及椭圆的参数方程，关键是正确将参数方程化为普通方程．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•广州二模）（I）已知a+b+c=1，证明（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥；（Ⅱ）若对任总实数x，不等式|x﹣a|+|2x﹣1|≥2恒成立，求实数a的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R6：不等式的证明．【分析】（I）利用柯西不等式，即可证明；（Ⅱ）分：①a=、②a＞、③a＜三种情况，分别化简不等式，根据函数y=|2x﹣1|+|x﹣a|的最小值大于或等于2，求得a的范围．【解答】（I）证明：由柯西不等式可得（1+1+1）[（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2]≥（a+1+b+1+c+1）2，∵a+b+c=1，∴（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥；（Ⅱ）解：①当a=时，不等式即|x﹣|≥，显然不能任意实数x均成立．②当a＞时，|2x﹣1|+|x﹣a|=，此时，根据函数y=|2x﹣1|+|x﹣a|的单调性可得y的最小值为﹣3×+a+1．∵不等式|2x﹣1|+|x﹣a|≥2对任意实数x均成立，∴﹣3×+a+1≥2，解得a≥．③当a＜时，|2x﹣1|+|x﹣a|=，此时，根据函数y=|2x﹣1|+|x﹣a|的单调性可得y的最小值为﹣﹣a+1．∵不等式|2x﹣1|+|x﹣a|≥2对任意实数x均成立，∴﹣﹣a+1≥2，解得a≤﹣．综上可得，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2017年广东省汕头市高三第二次模拟考试文科数学试题及答案
广东省汕头市2017届高三第二次模拟文科数学本试卷共4页，共21题，满分150分。
考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，粘贴好条形码．认真核准条形码上的姓名和考生号、试室号、座位号．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．如果事件B A 、互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{1,2,3,5}A =，{2,4,6}B =，则图中的阴影部分表示的集合为 ： A ．{}2 B．{}1,3,5 C ．{}4,6D ．{}4,6,7,82．已知i 是虚数单位，则复数1232++=i i z 所对应的点落在：A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3．命题0,2≥+∈∀x x R x 的否定是：A ．0,2≤+∈∃x x R xB ．0,2<+∈∃x x R xC ．0,2≤+∈∀x x R xD ．0,2<+∈∀x x R x4. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0841=-a a ，则下列式子中数值不能确定的是:.A ．35a a B ． 35S S C ．n n a a 1+ D ．n n S S 1+5．在的值为：则，，中，B A b a ABC 2cos ,6010150===∆A ．31 B ． 31- C ．33 D ．33-6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的 值是：A． 2 B ． 3 C ． 4D ． 57．如图所示的方格纸中有定点O ，P ， Q ，E ，F ，G ，H ， 则=+A ． OHB ． OGC ． EOD ． FO8．已知O 是坐标原点，点)1,1(-A ,若点),(y x M 为平面区域21y 2x y x +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点， 则⋅最大值为：2.A 0.B 1.C 1.-D9．一个长方体被一平面截去一部分所得几何体的三视图如右图， 则该几何体的体积是：A ．1 440B ．1 200C ．960D ．72010．规定函数)(x f y =图象上的点到坐标原点距离的最小值叫做函数)(x f y =的“中心距离”，给出以下四个命题：①函数1y x=的“中心距离”大于1； ②函数542+--=x x y 的“中心距离”大于1；③若函数))((R x x f y ∈=与))((R x x g y ∈=的“中心距离” 相等，则函数)()()(x g x f x h -=至少有一个零点． 以上命题是真命题的是：A .①②B .②③C .①③D .①二、填空题：（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）（一）必做题（11-13题）11．椭圆116922=+y x 的两个焦点为12,F F ，点P 在椭圆上,若31=PF ,则2PF ____=．12．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图），由图中数据可知a ＝ ．13．直线2121//01)5(2:013:l l y a x l y ax l ，若，=+++=++，则a _____=． （二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点A 的极坐标为()0,2，直线l 的极坐标方程为02)sin (cos =++θθρ，则点A 到直线l 的距离为________．15．(几何证明选讲选做题)如图，AB 是圆O 的直径，,PB PE 分别切圆O 于,B C ，若40ACE ∠= ，则P ∠=______．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16. (本题满分12分)某中学在高三年级开设了A 、B 、C 三个兴趣小组，为了对兴趣小组活动的开展情况进行调查，用分层抽样方法从A 、B 、C 三个兴趣小组的人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表（单位：人）：（1）求x 、y 的值；（2）若从A 、B 两个兴趣小组抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自同一兴趣小组的概率． 17．（本题满分12分）设平面向量)sin ,(cos x x =，1)2b = ，函数()1f x a b =⋅+ ．(1)求)2(πf 的值；(2)当9()5f α=,且263ππα<<时,求2sin(2)3πα+的值．18．（本题满分14分）如图，ABC ∆内接于圆O ,AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，DC ⊥平面ABC,2AB =,3=EB ．(1)求证：ACD DE 面⊥平面；(2)设AC x =，()V x 表示三棱锥ACE B -的体积，求函数 ()V x 的解析式及最大值． 19．(本题满分14分)数列{}n a 中，11=a ，n S 是{}n a 前n 项和，且)2(11≥+=-n S S n n . (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若12-+=n n n a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T ，求n T ；(3)对任意*∈N n 不等式122--≥m m T n 恒成立，求m 的取值范围． 20．(本题满分14分)抛物线1C 的顶点在原点焦点在y 轴上，且经过点)2,2(P ，圆2C 过定点)1,0(A ，且圆心2C 在抛物线1C 上，记圆2C 与x 轴的两个交点为N M 、．(1)求抛物线1C 的方程；(2)当圆心2C 在抛物线上运动时，试问MN 是否为一定值？请证明你的结论；(3)当圆心2C 在抛物线上运动时，记m AM =，n AN =，求mnn m +的最大值．21．(本题满分14分)已知函数1()(2)ln 2 f x a x ax x=-++． (1)当0=a 时，求)(x f 的极值； (2)当0<a 时，讨论)(x f 的单调性； (3)若对任意的[]12(3,2) 1.3a x x ∈--∈，、恒有)()(3ln 2)3ln 21x f x f a m ->-+（成立，求实数m 的取值范围．。
2017年广东省广州市高三理科二模数学试卷
2017年广东省广州市高三理科二模数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 不等式的解集为A. B.C. D.2. 若复数满足，则复数所对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为A. B. C. D.4. 从，，，，这个数字中任取个数字组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为A. B. C. D.5. 函数的大致图象是A. B.C. D.6. 已知，则A. B. C. D.7. 已知点在抛物线上，该抛物线的焦点为，过点作该抛物线准线的垂线，垂足为，则的平分线所在的直线方程为A. B. C. D.8. 在棱长为的正方体中，是棱的中点，过，，作正方体的截面，则这个截面的面积为A. B. C. D.9. 已知，点是直线与圆的公共点，则的最大值为A. B. C. D.10. 设，若是函数的单调递增区间，则一定是单调递减区间的是A. B. C. D.11. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为A. B. C. D.12. 定义在上的奇函数为减函数，若，满足，则当时，的取值范围为A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 已知点，，，，若点在轴上，则实数 ______．14. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数．三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何?”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目．个个数，剩个；个个数，剩个；个个数，剩个．问这堆物品共有多少个?”试计算这堆物品至少有______ 个．15. 设，则 ______．16. 在平面四边形中，连接对角线，已知，，，，则对角线的最大值为______．三、解答题（共7小题；共91分）17. 设等比数列的前项和为，已知，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．18. 如图，是边长为的菱形，，平面，平面，．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．19. 某商场拟对某商品进行促销，现有两种方案供选择，每种促销方案都需分两个月实施，且每种方案中第一个月与第二个月的销售相互独立，根据以往促销的统计数据，若实施方案1，预计第一个月的销量是促销前的倍和倍的概率分别是和，第二个月的销量是第一个月的倍和倍的概率都是；若实施方案2，预计第一个月的销量是促销前的倍和倍的概率分别是和，第二个月的销量是第一个月的倍和倍的概率分别是和，令表示实施方案的第二个月的销量是促销前销量的倍数．（1）求，的分布列；（2）不管实施哪种方案，与第二个月的利润之间的关系如下表，试比较哪种方案第二个月的利润更大．<br>\（\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline销量倍数&\xi_i\leqslant1.7&1.7<\xi_i<2.3&\xi_i\geqslant 2.3 \\ \hline利润\left（万元\right）&15&20&25 \\\hline\end{array}\]\）<br>20. 已知双曲线的焦点是椭圆：的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数．（1）求椭圆的方程；（2）设动点，在椭圆上，且，记直线在轴上的截距为，求的最大值．21. 已知函数在点处的切线方程为．（1）求实数的值；（2）若存在，满足，求实数的取值范围．22. 在平面直角坐标系中，已知直线的普通方程为，曲线的参数方程为（为参数），设直线与曲线交于，两点．（1）求线段的长；（2）已知点在曲线上运动，当的面积最大时，求点的坐标及的最大面积．23. （1）已知，证明：；（2）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．答案第一部分1. A2. B3. A4. B5. A6. C7. D8. C9. B 10. B11. B 12. D第二部分13.14.15.16.第三部分17. （1）因为数列是等比数列，所以．因为，所以，解得．因为，所以，即．因为，所以．因为等比数列的公比为，所以数列的通项公式为．（2）因为等比数列的首项为，公比，所以．因为，所以．所以设，则．所以．因为，所以．所以数列的前项和．18. （1）连接，是菱形，所以，因为平面，平面，所以．因为，所以平面．因为平面，平面，所以．所以，，，四点共面．因为平面，所以．（2）解法1：如图，以为坐标原点，分别以，的方向为轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系 —．，，，，．所以，．设平面的法向量为，则即不妨取，则平面的一个法向量为．因为，所以．所以直线与平面所成角的正弦值为．解法2：如图，设，以为坐标原点，分别以，的方向为轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系 —．，，，，．所以．设平面的法向量为，则即不妨取，则平面的一个法向量为．因为，所以．所以直线与平面所成角的正弦值为．19. （1）依题意，的所有取值为，，，，因为，，，．所以的分布列为<br>\（\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline\xi_1&1.68&1.92&2.1&2.4 \\ \hlineP_1&0.30&0.30&0.20&0.20 \\ \hline\end{array}\]\）<br>依题意，的所有取值为，，，，因为，，，．所以的分布列为<br>\（\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline\xi_2&1.68&1.8&2.24&2.4 \\ \hlineP_2&0.42&0.18&0.28&0.12 \\ \hline\end{array}\]\）<br>（2）令表示方案所带来的利润，则<br>\（\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline Q_1&15&20&25 \\\hline P&0.30&0.50&0.20 \\ \hline\end{array}\]\）<br><br>\（\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hlineQ_2&15&20&25 \\ \hline P&0.42&0.46&0.12 \\ \hline\end{array}\]\）<br>所以，，因为，所以实施方案1，第二个月的利润更大．20. （1）双曲线的焦点坐标为，离心率为．因为双曲线的焦点是椭圆：的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以，且，解得．故椭圆的方程为．（2）因为，所以直线的斜率存在．因为直线在轴上的截距为，所以可设直线的方程为．代入椭圆方程得．因为所以．设，，根据根与系数的关系得，．则因为，即．整理得．令，则．所以等号成立的条件是，此时，满足，符合题意．故的最大值为．21. （1）函数的定义域为．因为，所以．所以函数在点处的切线方程为，即．已知函数在点处的切线方程为，比较求得．所以实数的值为．（2）解法1：由，即．所以问题转化为在上有解．令，，则．令，所以当时，有．所以函数在区间上单调递减．所以．所以，即在区间上单调递减．所以．所以实数的取值范围为．解法2：命题“存在，满足”等价于“当时，有”．由（1）知，．（1）当时，，即函数在区间上为减函数，所以．由，得，解得．所以．（2）当时，注意到函数在区间上的值域为．①，在区间上恒成立，即函数在区间上为增函数．所以．由于，所以，解得，这与矛盾．②若，由函数的单调性（单调递增）和值域知，存在唯一的，使，且满足当时，，即为减函数；当时，，即为增函数．所以．由，得，即．因为，即，所以．将代入，得，其中．令，则，当时，，即在区间上为减函数．所以，与矛盾．所以不存在，使成立．综上可知，实数的取值范围为．22. （1）曲线的普通方程为．将直线代入中消去得，．解得或．所以点，，所以．（2）在曲线上求一点，使的面积最大，则点到直线的距离最大．设过点且与直线平行的直线方程．将代入整理得，．令，解得．将代入方程，解得．易知当点的坐标为时，的面积最大．且点到直线的距离为．的最大面积为．23. （1）因为，所以．所以要证明．即证明．因为，所以．因为，所以．所以．（2）设，则“对任意实数，不等式恒成立“等价于“”．当时，．此时，要使恒成立，必须，解得．当时，不可能恒成立．当时，．此时，要使恒成立，必须，解得．综上可知，实数的取值范围为．第11页（共11 页）。
【广东省汕头】2017学年普通高考第三次模拟考试数学年(理科)试题
答案
1~5．DCBBC
6~10．AABCC
11~12．DA
13． 240
14． [0, 5]
15．2
16．134
17．（Ⅰ）解： sin(A B) 1 cos(C π) 1 sin C 1 sin( A B) 2sin Acos B 1,∴ sin Acos B 1
ln x 1 (ln x)2
,
直线 y g(x) 过定点 (1,0) ,
若直线 y g(x) 与 y f (x) 相切于点 (m, m ) , ln m
m 则 k ln m 1 ln m ,即为 ln m m 1 0 ①
(ln m)2 m 1
设 h(x) ln x x 1, h(x) 1 1＞0 , x
2
2
3
23
当且仅当 7 2t 14 4t ,即 t 7 时取最大值． 6
经检验此时 r ( 15 , 4) 满足题意． 2
故所求的点 P 的坐标为 (7 ,0) ． 6
- 3 - / 11
21．（Ⅰ）解：证明： f (x) 的定义域为 (0,1)
(1, )
,
f
(x)
的导数为
f
(x)
15 2．
4＜r＜4
解这个方程组得 15 ＜r＜4 , r ( 15 , 4) ．
2
2
（Ⅱ）设四个交点的坐标分别为
A(x1, x1 ), B(x1, x1 ),C(x2 , x2 ), D(x2, x2 ) ．
则直线 AC, BD 的方程分别为 y
x1
x2 x1 x2 x1
广东省揭阳市2017届高考数学二模试卷(理科) 有答案
2017年广东省揭阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数f（x）=+lg（6﹣3x）的定义域为（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞） C．[﹣1，2）D．[﹣1，2]2．己知复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则|z|为（）A．B．C．6 D．33．“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知sinα﹣cosα=，则cos（﹣2α）=（）A．﹣B．C．D．5．己知0＜a＜b＜l＜c，则（）A．a b＞a a B．c a＞c b C．log a c＞log b c D．log b c＞log b a6．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞍铜方升，其三视图如图所示（单位：升），则此量器的体积为（单位：立方升）（）A．14 B．12+C．12+πD．38+2π7．设计如图的程序框图，统计高三某班59位同学的数学平均分，输出不少于平均分的人数（用j表示），则判断框中应填入的条件是（）A．i＜58？ B．i≤58？ C．j＜59？ D．j≤59？8．某撤信群中四人同时抢3个红包，每人最多抢一个，则其中甲、乙两人都抢到红包的概率为（）A．B．C．D．9．己知实数x，y满足不等式组，若z=x﹣2y的最小值为﹣3，则a的值为（）A．1 B．C．2 D．10．函数f（x）=x2﹣（）x的大致图象是（）A．B．C．D．11．已知一长方体的体对角线的长为l0，这条对角线在长方体一个面上的正投影长为8，则这个长方体体积的最大值为（）A．64 B．128 C．192 D．38412．已知函数f（x）=sin2+sinωx﹣（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内有零点，则ω的取值范围是（）A．（，）∪（，+∞）B．（0，]∪[，1） C．（，）∪（，） D．（，）∪（，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上.13．已知向量=（x﹣1，2），=（2，x﹣1）满足=﹣||•||，则x=．14．已知直线3x﹣4y﹣6=0与圆x2+y2﹣2y+m=0（m∈R）相切，则m的值为．15．在△ABC中，已知与的夹角为150°，||=2，则||的取值范围是．16．己知双曲线﹣=1（b＞0）的离心率为，F1，F2时双曲线的两个焦点，A为左顶点、B（0，b），点P在线段AB上，则•的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.=+n+1．17．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1（I）求证：数列{+1}是等比教列．（II）求数列{a n}的前n项和为S n．18．（12分）己知图1中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，EF∥CD，O、Q分别为线段AB，CD的中点，OQ与EF的交点为P，OP=1，PQ=2，现将梯形ABCD沿EF折起，使得OQ=，连结AD，BC，得一几何体如图2示．（I）证明：平面ABCD⊥平面ABFE；（II）若图1中．∠A=45°，CD=2，求平面ADE与平面BCF所成锐二面角的余弦值．19．（12分）某学校在一次第二课堂活动中，特意设置了过关智力游戏，游戏共五关．规定第一关没过者没奖励，过n（n∈N*）关者奖励2n﹣1件小奖品（奖品都一样）．如图是小明在10次过关游戏中过关数的条形图，以此频率估计概率．（Ⅰ）估计小明在1次游戏中所得奖品数的期望值；（II）估计小明在3次游戏中至少过两关的平均次数；（Ⅲ）估计小明在3次游戏中所得奖品超过30件的概率．20．（12分）己知椭圆+=1（a＞b＞0）与抛物线y2=2px（p＞0）共焦点F2，抛物线上的点M到y轴的距离等于|MF2|﹣1，且椭圆与抛物线的交点Q满足|QF2|=．（I）求抛物线的方程和椭圆的方程；（II）过抛物线上的点P作抛物线的切线y=kx+m交椭圆于A，B两点，设线段AB的中点为C （x0，y0），求x0的取值范围．21．（12分）设函数f（x）=（x﹣a）2（a∈R），g（x）=lnx，（I）试求曲线F（x））=f（x）+g（x）在点（1，F（1））处的切线l与曲线F（x）的公共点个数；（II）若函数G（x）=f（x）．g（x）有两个极值点，求实数a的取值范围．（附：当a＜0，x趋近于0时，2lnx﹣趋向于+∞）三、请考生在第（12）、（23）題中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知直线l1：y=tanα•x（0≤a＜π，α），抛物线C：（t为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（Ⅰ）求直线l1和抛物线C的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l1和抛物线C相交于点A（异于原点O），过原点作与l1垂直的直线l2，l2和抛物线C相交于点B（异于原点O），求△OAB的面积的最小值．五、[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．己知函数f（x）=|2|x|﹣1|．（I）求不等式f（x）≤1的解集A；（Ⅱ）当m，n∈A时，证明：|m+n|≤mn+1．2017年广东省揭阳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
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2017年广东省汕头市高三理科二模数学试卷
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 设全集为，，，则图中阴影部分表示的集合是
A. B.
C. D.
2. 设是虚数单位，若复数是纯虚数，则的值为
A. B. C. D.
3. 设，，，则，，的大小顺序是
A. B. C. D.
4. 小明有中国古代四大名著：《三国演义》，《西游记》，《水浒传》，《红楼梦》各一本，他要
将这四本书全部借给三位同学，每位同学至少一本，但《西游记》，《红楼梦》这两本书不能借给同一人，则不同的借法有
A. 种
B. 种
C. 种
D. 种
5. 函数的图象与函数的图象
A. 有相同的对称轴但无相同的对称中心
B. 有相同的对称中心但无相同的对称轴
C. 既有相同的对称轴也有相同的对称中心
D. 既无相同的对称中心也无相同的对称轴
6. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的渐近线
上，若，则此双曲线的方程为
A. B. C. D.
7. 已知等差数列的前项和为，设，，为坐标平面上三点，为
坐标原点，若向量与在向量方向上的投影相同，则为
A. B. C. D.
8. 设，满足约束条件若目标函数的最大值是，则
的最小值是
A. B. C. D.
9. ，则
A. B. C. D.
10. 执行如图所示的程序框图，如果随机输入的，则事件“输出的”发生的概率
为
A. B. C. D.
11. 如图，在正方体中，点为线段的中点，设点在线段上，直线
与平面所成的角为，则的取值范围为
A. B. C. D.
12. 已知函数，若，且对任意的恒成立，则的最大
值为
A. B. C. D.
二、填空题（共4小题；共20分）
13. 一个不透明的袋子中装有大小相同的个黑球，个白球，每次有放回的任意摸取一个球，共
摸取次，若用表示取到白球的次数，则的数学期望与方差分别为______．
14. 设，且，若能被整除，则 ______．
15. 已知数列的前项和为，，，，则 ______．
16. 如图，在中，，点在边上，，且，，则
______．
三、解答题（共7小题；共91分）
17. 已知等差数列的公差为，前项和为，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
18. 甲、乙两家外卖公司，其单个送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪元，每单提成元；乙
公司无底薪，单以内（含单）的部分每单提成元，超出单的部分每单提成元．假设同一公司的送餐员同一天的送餐单数相同，现从两家公司各抽取一名送餐员，分别记录其天的送餐单数，得到如下频数分布表：
甲公司被选取送餐员送餐单数频数分布表
送餐单数
天数
乙公司被选取送餐员送餐单数频数分布表
送餐单数
天数
将其频率作为概率，请回答以下问题：
（1）若记乙公司单个送餐员日工资为元，求的分布列和数学期望；
（2）小明将要去其中一家公司应聘送餐员，若甲公司承诺根据每位送餐员的表现，每个季度将会增加元至元不等的奖金，如果每年按个工作日计算，请利用所学的统计学
知识为他作出选择，去哪一家公司的经济收入可能会多一些?
19. 如图，在正三棱柱中，，，为的中点．
（1）若，请画出该正三棱柱的正（主）视图与左（侧）视图；
（2）求证：平面平面；
（3）当平面与平面所成的锐二面角为时，求该正三棱柱外接球的体积．
20. 如图，抛物线经过椭圆的焦点及上顶点，过点的
两条互相垂直的直线，分别交抛物线于，两点，交椭圆于，两点，已知抛物线与轴所围成的区域面积为．
（1）求，的方程；
（2）记，的面积分别为，，若，求直线的方程．
21. 已知函数，直线为曲线的切线．
（1）求实数的值；
（2）用表示，中的较小值，设函数，若函数
为增函数，求实数的取值范围．
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），直线交曲线
于，两点；以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，点在曲线上．
（1）求曲线的普通方程及点的直角坐标；
（2）若直线的倾斜角为且经过点，求的值．
23. 二维形式的柯西不等式：若，，，都是实数，则，当且
仅当时取等号．
（1）证明二维形式的柯西不等式；
（2）利用柯西不等式，求函数的最大值．
答案
第一部分
1. C
2. A
3. C
4. B
5. A
6. D
7. D
8. C
9. C 10. B
11. B 12. B
第二部分
13. ，
14.
15.
16. 或或
第三部分
17. （1）因为等差数列的公差为，前项和为，且，，成等比数列．所以，即，化为：．
所以．
（2）
所以为偶数时，数列的前项和为
为奇数时，数列的前项和为
18. （1）设乙公司送餐员送餐单数为，
则当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，．
所以的所有可能取值为，，，，；
故的分布列为：所以
．
（2）依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为
，
所以甲公司送餐员日平均工资为元；
由（）得乙公司送餐员日平均工资为元，
因为，故推荐小明去乙公司应聘．
19. （1）因为是边长为的正三角形，
所以的高为，
又，
所以正视图为边长为的正方形，左视图为边长为和的矩形，
作出正（主）视图与左（侧）视图如下：
（2）连接交于，取的中点，连接，，，
是矩形，
所以是的中点，
又是的中点，
所以且，
因为是的中点，且，
所以且，
所以四边形是平行四边形，
所以，
因为是正三角形，
所以，
因为平面，平面，
所以，
又，
所以平面，
又，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
（3）以为原点，以，，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，
所以，，
设平面的法向量为，则
令得，
又平面，
所以是平面的一个法向量，
因为平面与平面所成的锐二面角为，
所以，
所以，
所以设的中心为，则，
所以正三棱柱外接球的球心为，
所以外接球的半径，
所以外接球的体积．
20. （1）抛物线与轴的交点为，，
则抛物线与轴所围成的区域面积为
解得，
由题意可得，即有，，
则的方程为；的方程为．
（2）设直线的斜率为，直线的斜率为，又，
直线的方程为与联立得，
所以或，所以，
同理可得，
所以
与椭圆方程联立，可得，解得（舍去）或，即，
同理可得，
所以
由，可得
可得，即有，解得或，
，
直线的方程为，
即为，即有，
则直线的方程为．
21. （1）函数的导数为，
设切点为，即有，，
可得
由直线为曲线的切线，可得
由解得，．
（2）函数，
由的导数为，
当时，递增，时，递减．
对在递增，设和的交点为，由，，即有，当时，，
，，
由题意可得在时恒成立，
即有，由在递减，
可得
当时，，
，，
由题意可得 在 时恒成立， 即有
，由
，可得
，
可得函数 在 递增；在 递减， 即有 处取得极小值，且为最小值
．
可得
由 可得
，解得
．
22. （1） 曲线 的参数方程是
（ 为参数），消去 可得
，
， ，所以点 的直角坐标为 ．
（2） 直线 的倾斜角为 且经过点 ，参数方程为
代入 ，整理可得 ，
设 ， 对应的参数分别为 ， ，则 ， ， 所以 ． 23. （1） 因为
所以 成立，当且仅当 时取得等号．
（2）
所以函数 的最大值为
．。