恒成立与存在性问题的解题策略

恒成立与存在性问题的解题策略

Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 “恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略 一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型 恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型 1、恒成立问题的转化：afx恒成立maxafx；minafxafx恒成立 2、能成立问题的转化：afx能成立minafx；maxafxafx能成立 3、恰成立问题的转化：afx在M上恰成立afx的解集为

MRafxMafxCM在上恒成立在上恒成立 另一转化方法：若AxfDx)(,在D上恰成立，等价于)(xf在D上的最小值Axf)(min，若,DxBxf)(在D上恰成立，则等价于)(xf在D上的最大值

Bxf)(max.

4、设函数xf、xg，对任意的bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，则xgxfminmin

5、设函数xf、xg，对任意的bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，则xgxfmaxmax

6、设函数xf、xg，存在bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，则xgxfminmax

7、设函数xf、xg，存在bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，则xgxfmaxmin

8、设函数xf、xg，对任意的bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，设f(x)在区间[a,b]上的值域为A，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则AB. 9、若不等式fxgx在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数yfx和图象在函数ygx图象上方； 10、若不等式fxgx在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数yfx和图象在函数ygx图象下方；

恒成立问题的基本类型 在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论 函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有:在给定区间上某关系恒成立;某函数的定义域为全体实数R;某不等式的解为一切实数;某表达式的值恒大于a等等… 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： ①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。

二、恒成立问题解决的基本策略

大家知道，恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题。等式中的恒成立问题，特别是多项式恒成立问题，常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解决问题的。 （一）两个基本思想解决“恒成立问题” 思路1、max)]([)(xfmDxxfm上恒成立在

思路2、min)]([)(xfmDxxfm上恒成立在

如何在区间D上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采

取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f（x）的最值。 这类问题在数学的学习涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，也是近年来高考中频频出现的试题类型，希望同学们在日常学习中注意积累。 （二）、赋值型——利用特殊值求解等式恒成立问题 等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得. 例1．如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x=8

 对称，那么a=（ ）.

C .2 D. -2. 略解：取x=0及x=4，则f(0)=f(4

),即a=-1，故选B.

此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想. 例（备用）．由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4= (x+1)4+b1(x+1)3+ b2(x+1)2+b3(x+1)+b4 定

义映射f：(a1,a2,a3,a4)→b1+b2+b3+b4,则f：(4,3,2,1) → ( )

略解：取x=0，则 a4=1+b1+b2+b3+b4,又 a4=1,所以b1+b2+b3+b4 =0 ，故选D

（三）分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略 1、一次函数型： 若原题可化为一次函数型,则由数形结合思想利用一次函数知识求解,十分简捷 给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于

0)(0)(nfmf 同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0， 则有 0)(0)(nfmf

例2．对于满足|a|2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范

围. 分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a的一次函数大于0恒成立的问题. 解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+1>0在|a|2时恒成立,

设f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：

0)2(0)2(ff

即0103422xxx解得：





1113xxxx或或

∴x<-1或x>3. 即x∈(－∞,－1)∪(3,+∞) 此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方（或下方）即可. 2、二次函数型 涉及到二次函数的问题是复习的重点，同学们要加强学习、归纳、总结，提炼出一些具体的方法，在今后的解题中自觉运用。 （1）若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)大于0恒成立，则有00且a

n m o x y n m o x y （2）若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根的分布知识求解。

类型1：设)0()(

2acbxaxxf

在R上恒成立，

（1）Rxxf在0)(上恒成立00且a； （2）Rxxf在0)(上恒成立00且a。 类型2：设)0()(

2acbxaxxf

在区间],[上恒成立

（1）当0a时，],[0)(xxf在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或， ],[0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff

（2）当0a时，],[0)(xxf在上恒成立



0)(0)(ff

],[0)(xxf在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或

类型3：设)0()(

2acbxaxxf

在区间 (-∞ , ]上恒成立。

f(x)>0a>0且<0或-b/2a>且f()>0 f(x)<0a<0且<0或-b/2a>且f()<0 类型4：设)0()(

2acbxaxxf

在区间 [，+∞)上恒成立。

f(x)>0a>0,<0或-b/2a0 f(x)<0a<0,<0或-b/2a

例3． 若函数12)1()1()(22axaxaxf的定义域为R，求实数 a的取值范

围. 分析：该题就转化为被开方数012)1()1(22axaxa在R上恒成立问题，并

且注意对二次项系数的讨论. 解：依题意，当时，Rx 012)1()1(22axaxa恒成立，

所以，①当,1

,01,01{,0122aa

aa时，即当

此时.1,01

12)1()1(22aaxaxa

②当时，时，即当012)1(4)1(,01{012222aaaaa

有,91,09101{22aaaa综上所述，f(x)的定义域为R时，]9,1[a 例4.已知函数2()3fxxaxa，在R上()0fx恒成立，求a的取值范围.

图所分析：()yfx的函数图像都在X轴及其上方，如右示： 略解：22

434120aaaa62a

范围. 变式1：若2,2x时，()0fx恒成立，求a的取值解析一. （零点分布策略） 本题可以考虑f(x)的零点分布情况进行分类讨论，分无

零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况，即Δ≤0或0)2(0)2(220ffa或







0)2(0)2(220ffa，即a的取值范围为[-7，2].

解法二分析：（运用二次函数极值点的分布分类讨论）要使2,2x时，()0fx

恒成立，只需)(xf的最小值0)(ag即可.