直线与方程专题复习(教师)

直线与方程专题复习

【学习目标】

1在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素

2理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式•

3能根据斜率判定两条直线平行或垂直

4根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系•

5能用解方程组的方法求两直线的交点坐标

6探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距

离•

【学习流程】

一、知识归类

1.直线的倾斜角与斜率

（1）直线的倾斜角与斜率是反映直线倾斜程度的两个量，

它们的关系是_____________ （9O0）.

（2）直线倾斜角的范围是

（3）直线过^（X!，y!）,P2（X2，y2）（X! X2）两点的斜率公式为：k •

2.两直线垂直与平行的判定

（1 ）对于不重合的两条直线l,,l2，其斜率分别为k「k2,，则有：

I l〃l2 ___________ ；11 12 —一

（2）当不重合的两条直线的斜率都不存在时，这两条直线___________ ;当一条直线斜率为0,另一条直线斜率不存在时，两条直线.

3.直线方程的几种形式

注意：求直线方程时，要灵活选用多种形式•

4.几个距离公式

（1）两点P i（x「yj, F2（X2 $2）之间的距离公式是：IRP2I _______ . ______

（2）点P（x o，y。）到直线l : Ax By c 0的距离公式是：d

（3）两条平行线I : Ax By G 0,l : Ax By c20间的距离公式是：d

、典型例题

题型一：直线的倾斜角与斜率问题

例1已知坐标平面内三点A（ 1,1）, B（1,1）, C（2,、.. 3 1）.

（1）求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角•

（2）若D为ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围•

学法指导：由题目可获取以下主要信息：

（1）A、B、C三点的坐标已知•

（2）直线CD经过线段AB上的某个动点•

（3）求斜率及变化范围•

解答本题可借助图形，第（1）问利用斜率公式求斜率，由斜率与倾斜角的关系求倾斜角•第（2）问可借助图形直观观察得直线CD斜率k的取值范围本题小结：数形结合运动变化是解决数学问题的常用思想方法和观点. 当直线绕定点由与x 轴平行（或重合）位置按逆时针方向旋转到与y 轴平行（或垂直）时，斜率由零逐渐增大到（即斜率不存在）；按顺时针方向旋转到与y 轴平行（或垂直）时，斜率由零逐渐减少到（即斜率不存在）. 这种方法即可定性分析

倾斜角与斜率的关系，也可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围.

题型二：直线的平行与垂直问题

例 2 已知直线l 的方程为3x 4y 12 0 ，求下列直线l 的方程,

l满足（1）过点（1,3），且与I平行；（2）过（1,3），且与I垂直.

学法指导：解答本题可先求出l 的斜率，然后由平行（垂直）的条件得所求直线的斜率，再由点斜式写方程；也可由两直线平行（垂直）的方程特征，设出方程，再由待定系数法求解.

本题小结：与直线Ax By C 0平行的直线方程可设为Ax By C1 0 ，再由其他条件列方程求出C1 ；与直线Ax By C 0 垂直的直线方程可设为Bx Ay C2 0 ，再由其他条件求出C2 .

题型三：直线的交点、距离问题

例3已知直线I经过点A （2,4）,且被平行直线l1 : x y 1 0与l2：x y 1 0所

截得的线段的中点M 在直线x y 3 0上，求直线I 的方程.

学法指导：已知直线I过点A （2,4）,要求直线I的方程，只需求另外一点或直线I的斜率即可.

本题小结：解此类题目常用的方法是待定系数法，然后由题意列出方程求参数；也可综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线的特征，然后由已知条件写出直线的方程•

题型四：直线方程的应用

例4 已知直线丨：5ax 5y a 3 0.

（1）求证：不论a为何值，直线丨总经过第一象限；

（2）为使直线不经过第二象限，求a的取值范围•

学法指导：解答本题可先将一般式方程化为点斜式方程，然后指明直线恒过第一象限

内的某点可证得第一问；第二问可先画出草图，借助图形，然后用“数形结合”法求得.

本题小结：含有一个参数的直线方程，一般是过定点的，这里对一般式灵活变形后发现问题

是解决问题的关键，在变形后特点还不明显的情况，可研究直线过定点

【检测反馈】

1.若直线过点（1,2）,（4,2 .. 3）,则此直线的倾斜角是（

）•

（A）300（B）450（C）60°（D）90°

k k

2.过点E（1,1）和F（ 1,0）的直线与过点M（—,0）和点N（0, —）直线的位置关系是（）

2 4

（A）平行（B）重合（C）平行或重合（D）相交或重合

3.过点（1,3）且垂直于直线x 2y 3 0的直线方程为（）.

(A) 2x y 1 0 (B) 2x y 5 0 (C) x 2y 5 0 (D) x 2y 7 0

4.已知点A （1,2）, B （3,1）,则到A, B 两点距离相等的点的坐标满足的条件是（

直线I 的方程为

8. 过点A （1,4）,且纵、横截距的绝对值相等的直线共有（ ）•

（A ） 1 条（B ） 2 条（C ） 3 条（D ） 4 条 9. 已知直线I 过点P （1,1），且被平行直线 3x 4y 13 0与3x 4y 7 0截得的线

段长为4 2，求直线I 的方程.

(A ) 4x 2y 5

(B ) 4x 2y 5 (C ) x

2y

5 (D ) x 2y 5

5.直线 l 1 : ax y b 0,l 2 : bx

a 0(a 0,

b 0,a

b ）在同一直角坐标系中

的图形大致是（

6.直线I 被两直线l 1

:4x y

0,l 2 :3x 5y 6

0截得线段的中点是原点 0,则

7.已知a

0,若平面内三点A （1, a), B(2,a 2),C(3,a 3)共线，则 a =

2

l

2

).