高中数学选修4-4第一章极坐标复习课件(41张ppt)

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(2)直线的极坐标方程 ①直线的一般方程为 ρcos(θ－φ)＝a，其中 a 为极点 O 到直线 l 的距离，φ 为极轴 Ox 与 ON 之间的夹角．
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如果规定 ρ＞0,0≤θ＜2π， 那么除极点外， 平面内的点可 用唯一的极坐标(ρ，θ)表示． 若 ρ＜0 则－ρ＞0，我们规定 M(ρ，θ)与(－ρ，θ)关于极 点对称，因此(－ρ，θ)和(ρ，π＋θ)表示同一点． 点(ρ，θ)关于极轴的对称点是(ρ，－θ)，关于过极点且垂 直于极轴的直线的对称点是(ρ，π－θ)，关于极点的对称点为 (ρ，π＋θ)．
【解】 以 AB 所在直线为 x 轴， 以 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系 xOy，
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则 A(－4,0)、B(4,0)，设 C 点坐标为(x，y)， 由此得：|CA|＋|CB|＝10，又 10＞|AB|， 所以 C 点轨迹是中心在原点，以 A、B 为焦点的椭圆， x2 y2 但应扣除其与 x 轴的交点， 设其方程为： a2＋b2＝1(a＞b＞0)， 由此得：a＝5，c＝4， ∴b＝ a2－c2＝ 52－42＝3， x2 y2 故所求轨迹方程为：25＋ 9 ＝1(x≠± 5)．
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2．知道点的极坐标确定点的位置 先确定点在哪一个圆上，即利用极径表示的是点到极点 的距离；再确定点的具体位置，即利用极角表示的终边所在 射线．射线和圆的交点，即为该点的位置．
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3．简单曲线的极坐标方程 在给定的平面上的极坐标系下， 有一个二元方程 φ(ρ， θ) ＝0， 如果曲线 C 是由极坐标(ρ， θ)满足方程的所有点组成的， 则称此二元方程 φ(ρ，θ)＝0 为曲线 C 的极坐标方程． 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的 极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上的点 的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程， 这里要求至少有一组能满足极坐标方程．
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π π π 例如：对极坐标方程 ρ＝θ，点 M(3，3)，可以表示为(3， π π π π π 3＋2π)或(3，3－2π)等多种形式，其中 ρ 有(3，3)的形式满足 方程． 对于曲线的极坐标方程，φ(ρ，θ)＝0， 若 φ(ρ，θ)＝φ(ρ，－θ)，则相应图形关于极轴对称； π 若 φ(ρ， θ)＝φ(ρ， π－θ)， 则图形关于 θ＝2所在直线对称； 若 φ(ρ，θ)＝φ(ρ，π＋θ)，则图形关于极点 O 对称．
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互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x 轴 的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位． 互化公式为 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ ρ ＝x ＋y
2 2 2
y tan θ＝x(x≠0)
直角坐标方程化极坐标方程可直接将 x＝ρcos θ， y＝ρsin θ 代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标 方程化为 ρcos θ，ρsin θ 的整体形式，然后用 x，y 代替较为 方便，常常两端同乘以 ρ 即可达到目的，但要注意变形的等 价性．
标系中的一般方程为：x2＋y2＝4y，即 x2＋(y－2)2＝4，其圆 π 心为(0,2)，直线 θ＝ 转化为平面直角坐标系中的方程为 y＝ 6 3 x，即 3x－3y＝0. 3 |0－3×2| ∴圆心(0,2)到直线 3x－3y＝0 的距离为 ＝ 3. 3＋9 【答案】 3
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已知曲线 C1，C2 的极坐标方程分别为 ρcos θ＝ π 3，ρ＝4cos θ(ρ≥0,0≤θ＜2)，则曲线 C1 与 C2 交点的极坐标 为________．
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【解析】
ρcos θ＝3， ∵ ρ＝4cos θ，
3 ∴4cos θ＝3.∴cos θ＝± 2 .
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本章介绍了平面直角坐标系的建立及平面直角坐标系 中的伸缩变换，重点介绍了极坐标系的建立，极坐标和直角 坐标的互化以及简单曲线极坐标方程的建立及其简单的应 用，最后又简单介绍了柱坐标系和球坐标系，以及它们和空 间直角坐标系的联系．高考考查的主要问题有：
2
π ∵0≤θ<2， 3 π ∴cos θ＝ 2 ，∴θ＝6. π 将 θ＝6代入 ρ＝4cos θ，得 ρ＝2 3， π ∴C1 与 C2 交点的极坐标为(2 3， )． 6 π 【答案】 (2 3，6)
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(2012· 安徽高考)在极坐标系中，圆 ρ＝4sin θ 的 π 圆心到直线 θ＝ (ρ∈R)的距离是________． 6 【解析】 极坐标系中的圆 ρ＝4sin θ 转化为平面直角坐
1．点的极坐标的建立 M 点到极点的距离为它的极径 ρ； 以极轴 Ox 为始边， 射 线 OM 为终边的角 xOM 即为极角 θ. 极径和极角确定，则点的极坐标确定，即为(ρ，θ)． 一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一点， 原点 O 的坐标(0，θ)，(θ∈R)和直角坐标不同，平面内一个 点的极坐标有无数种表示．
BS为(r,0)(r＞0)的极坐标方程为 ρ＝2rcos θ. ②圆心在极点，半径为 r 的圆的极坐标方程为 ρ＝r. ③圆心在过极点且垂直极轴的直线上， 且过极点的圆(半 径为 r)的极坐标方程 ρ＝2rsin θ. ④已知圆心在(ρ1，θ1)，半径为 r，此圆的极坐标方程为 ρ2－2ρ1· ρcos(θ－θ1)＋(ρ12－r2)＝0.
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1.利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要就是兼 顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好是 坐标系中的 x 轴，y 轴(坐标原点)． 2．坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简 单．
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设△ABC 的周长为 18，|AB|＝8，求顶点 C 的 轨迹方程．