2022年河南省新乡市中考数学总复习：二次函数
2022年河南省中考数学一轮复习：二次函数综合训练
2022年河南中考数学一轮复习：二次函数综合训练一、单选题1．如图，一次函数y 1＝kx +b 与二次函数y 2＝ax 2交于A （﹣1，1）和B （2，4）两点，则当y 1＞y 2时x 的取值范围是（ ）A ．x ＜﹣1B ．x ＞2C ．﹣1＜x ＜2D ．x ＜﹣1或x ＞2 2．抛物线23y x =沿x 轴向右平移2个单位后的顶点坐标是（ ）． A ．（0，2） B ．（0，－2） C ．（2，0） D ．（－2，0） 3．如图,二次函数24y x x m =-+的图象与y 轴交于点C ,点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y kx b =+的图象经过该二次函数图象上点1,0A 及点B ．则满足24kx b x x m +≥-+的x 的取值范围是（ ）．A ．1x ≤或4x ≥B ．14x ≤≤C ．1x ≤或5x ≥D ．15x ≤≤ 4．将抛物线2364y x x =---向右平移1个单位长度，向上平移2个单位，所得到的的抛物线的解析式为（ ）A ．233y x =-+B ．232y x =-+C ．231y x =-+D ．23y x =- 5．如图，已知二次函数y =ax 2+bx +c 给出下列结论：①abc ＜0，②4a +2b +c ＜0，③a +c ＞b ，④a +b ≤t （at +b ）（t 是任意一个实数），⑤当x ＜-1时，y 随x 的增大而减少．其中结论正确的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 6．下列关于二次函数y ＝2x 2的说法正确的是（ ）A ．它的图象经过点（－1，－2）B ．它的图象的对称轴是直线x ＝2C ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大D ．当－1x ≤≤2时，y 有最大值为8，最小值为07．抛物线y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，则下列结论：①abc ＜0；②b 2＜4ac ；③b +2a =0；④3a +c ＝0；其中正确的是（ ）A ．①③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③ 8．若二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的交点坐标分别是(),0m 、(),0n ，且m n <，图象上有一点()M p q ，，且()()0a p m p n --<，对于以下说法：①240b ac ->；②x p =是方程20ax bx c q ++-=的解；③m p n <<；④M 点在x 轴下方，对于以上说法正确的是（ ）A ．①②③④B ．①②④C ．③④D ．①③ 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+4x +m 的顶点为A ，它与x 轴分别交于B ，C 两点，与y 轴的交点为D ，过点D 作DE 平行于x 轴交于抛物线于点E ，BF ∥CE 交DE 于点F ，若3S △ABC ＝4S △FEC ，则m 的值为（ ）A．﹣127B．﹣712C．﹣12 D．1210．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①4a﹣2b+c＜0；②抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）；③若点A（k2+1，y1），点B（k2+2，y2）在抛物线上，那么y1＞y2；④若m，n（m＜n）为方程a（x﹣3）（x+1）﹣2＝0的两个根，则﹣1＜m＜n＜3．正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图①，在正方形ABCD中，点E在AD边上，连接BE，以BE为边作等边△BEF，点F在BC的延长线上，动点M从点B出发，沿B→E→F向点F做匀速运动，过点M 作MP⊥AD于点P．设点M运动的距离为x，△PEM的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则DE的长为（）12．已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）图象的对称轴为直线1x =-，部分图象如图所示，下列结论中：①0abc >；②240b ac ->；③40a c +>；④若t 为任意实数，则有2a bt at b -≤+；⑤当图象经过点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭时，方程220ax bx c ++-=的两根为1x ，2x ()12x x <，则12322x x +=-，其中正确的结论有（ ）A ．①②③B ．②③⑤C ．②③④⑤D ．②③④二、填空题 13．若y ＝（m ﹣1）x |m |+1+8mx ﹣8是关于x 的二次函数，则其图象与x 轴的交点坐标为 _________．14．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①b ＞0；②a ﹣b +c ＝0；③当x ＜﹣1或x ＞3时，y ＞0；④一元二次方程ax 2+bx +c +1＝0（a ≠0）有两个不相等的实数根．上述结论中正确的是_____．（填上所有正确结论的序号）15．如图，平行于x 轴的直线AC 分别交抛物线y 1＝x 2（x ≥0）与y 2＝25x （x ≥0）于B 、C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1于点D ，直线DE ∥AC ，交y 2于点E ，则DE AB＝_______________．16．如图，已知抛物线()20y ax bx c a =++<与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点，且132x -<<-，122x x +=-，则下列结论：①240b ac ->；②若点17,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，23,4y ⎛⎫ ⎪⎝⎭是该抛物线上的点，则12y y <；③2at a bt b -≤-（t 为任意数）；④0a b c ++<．其中正确的有______．17．某水果店销售一批水果，平均每天可售出40kg ，每千克盈利4元，经调查发现，每千克降价0.5元，商店平均每天可多售出10kg 水果，则商店平均每天的最高利润为_____元．三、解答题18．如图，二次函数2y ax bx c =++的图像交x 轴与A (-1，0)，B (2，0)两点；交y 轴于点C (0，-2)，过点A ，C 画直线；(1)求抛物线的解析式和对称轴；(2)设点P 在x 轴正半轴上，且P A =PC ，求OP 的长．19．如图，若要建一个矩形场地，场地的一面靠墙，墙长10m，另三边用篱笆围成，篱笆总长20m，设垂直于墙的一边为x m，矩形场地的面积为S m2(1)S与x的函数关系式为S＝，其中x的取值范围是；(2)若矩形场地的面积为42m2，求矩形场地的长与宽．(3)当矩形场地的面积最大时，求矩形场地的长与宽，并求出矩形场地面积的最大值．20．如图，抛物线y＝﹣x2+3x+m与x轴的一个交点为A(4，0)，另一交点为B，且与y 轴交于点C，连接AC．(1)求m的值及该抛物线的对称轴；(2)若点P在直线AC上，点Q是平面内一点，是否存在点Q，使以点A、点B、点P、点Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，抛物线y＝mx2﹣4mx﹣5m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．(1)求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A，B两点的坐标；(2)是否存在使BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；若不存在，请说明理由．22．已知二次函数21=-+的图象与x轴仅有一个公共点A．y mx mx(1)求m的值；(2)过点（0，3）作直线l平行于x轴，在对称轴右侧的抛物线上任取一点P，过点P向直线l作垂线，垂足为E点，若在抛物线的对称轴上存在点D，使得△PDE是以D为直角顶点的等腰直角三角形．请求出点P的横坐标．23．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点．(1)则点A，B，C的坐标分别是A（，），B（，），C （，）；(2)设经过A，B两点的抛物线的解析式为y＝14（x﹣5）2+k，它的顶点为F，求证：直线F A与⊙M相切；(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案1．C2．C3．B4．C5．C6．D7．A8．B9．A10．D11．A12．C13．（﹣2，0）14．②③④15．5516．①②③④17．18018(1) 解：二次函数2y ax bx c =++的图象交x 轴于(1,0)A -、(2,0)B ， ∴设该二次函数的解析式为：(2)(1)(0)y a x x a =-+≠．将0x =，2y =-代入，得2(02)(01)a -=-+，解得1a =，∴抛物线的解析式为(2)(1)y x x =-+，即2y x x 2=--；∴对称轴为直线122b x a =-=； (2) 解：如图．由（1）知，抛物线的解析式为2y x x 2=--，则(0,2)C -． 设OP x =，则1PA PC x ==+，在Rt POC △中，由勾股定理，得2222(1)x x +=+， 解得，32x =，即32OP =．19．(1)解：由题意得平行于墙的一边长为()202m x -，∴()2202=220S x x x x =--+，∵墙的长度为10m ，∴平行于墙的一边长不能超过10m ，∴220202100x x x <⎧⎪-≤⎨⎪>⎩，∴510x ≤<，故答案为：2220x x -+；510x ≤<；(2)解：∵矩形场地的面积为42m 2，∴222042x x -+=，即210210x x -+=， 解得7x =或3x =（舍去），∴2026x -=，∴矩形场地的长与宽分别为7m 、6m ；(3)解：∵()222202550S x x x =-+=--+，20-<， ∴当5x =时，S 有最大值50，∴当矩形场地的面积最大时，矩形场地的长与宽分别为10m，5m，此时矩形场地的最大面积为50m2．20．(1)解：把A（4，0）代入二次函数y＝﹣x2+3x+m得：∴﹣16+12+m＝0，解得：m＝4，∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣32）2+254，∴二次函数对称轴为直线x＝32；(2)解：存在，理由如下：令y=0，即y＝﹣x2+3x+4，解得x=4或x=-1，∴点B的坐标为（-1，0）①当AB是正方形的边时，此时，对应的正方形为ABP′Q′，∵A（4，0），AB＝5，∴点Q′的坐标为（4，5）；②当AB是正方形的对角线时，此时，对应的矩形为APBQ，∵AB、PQ是正方形对角线，∴线段AB和线段PQ互相垂直平分，∴点Q在抛物线对称轴上，且到x轴的距离为52，∴点Q的坐标为（32，﹣52），故点Q的坐标为（4，5）或（32，﹣52）．21．(1)解：（1）∵y＝m（x﹣2）2﹣9m，∴抛物线顶点M的坐标为（2，﹣9m），∵抛物线与x轴交于A、B两点，∴当y＝0时，mx2﹣4mx﹣5m＝0，∵m＞0，∴x2﹣4x﹣5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，∴A，B两点的坐标为（﹣1，0）、（5，0），(2)解：存在使△BCM为直角三角形的抛物线．过点C作CN⊥DM于点N，则△CMN为直角三角形，CN＝OD＝2，DN＝OC＝5m，∴MN＝DM﹣DN＝4m，∴CM2＝CN2+MN2＝4+16m2，在Rt△OBC中，BC2＝OB2+OC2＝25+25m2，在Rt△BDM中，BM2＝BD2+DM2＝9+81m2．①如果△BCM是直角三角形，且∠BMC＝90°时，CM2+BM2＝BC2，即4+16m2+9+81m2＝25+25m2，解得6m=∵m＞0，∴6m = ∴存在抛物线262656y =△BCM 是直角三角形； ②如果△BCM 是直角三角形，且∠BCM ＝90°时，BC 2+CM 2＝BM 2．即25+25m 2+4+16m 2＝9+81m 2，解得 2m = ∵m ＞0， ∴2m =． ∴存在抛物线22522y x =-使得△BCM 是Rt △； ③∵25+25m 2＞4+16m 2，9+81m 2＞4+16m 2，∴以∠CBM 为直角的直角三角形不存在，综上，存在抛物线262656y x x =22522y x =-使△BCM 是直角三角形． 22．(1) 解：二次函数21y mx mx =-+的图象与x 轴仅有一个公共点A ，0m ∴≠，且关于x 的一元二次方程210mx mx -+=只有一个实数根， ∴此方程根的判别式240m m ∆=-=，解得4m =或0m =（舍去），即m 的值为4．(2)解：设PE 的中点为点B ，连接BD ，由题意，画图如下：由（1）可知，2214414()2y x x x =-+=-， 则二次函数的对称轴为直线12x =， 所以点D 的横坐标为12， 设点P 的坐标为21(,441)()2P a a a a -+>， 则点E 的坐标为(,3)E a ，点B 的横坐标为a ， 所以224413122122a a BE BP EP a a -+-====--， PDE 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形，22,21a BD BE BD a EP --∴==⊥，l x 轴，EP 垂直直线l ，EP x ∴⊥轴，BD x ∴轴，12BD a ∴=-， 222112a a a --∴=-，即221221a a a --=-或222112a a a =-+--， 解得313a +=31312a -=<（舍去）或113a +=或11312a -=（舍去）， 故点P 313+113+ 23(1)解：连接MC 、MA ，设过点M 与y 轴平行的直线交x 轴于D ，如图所示：∵⊙M 与y 轴相切于点C ，∴MC ⊥y 轴，∵M （5，4），∴MC =MA =5，OC =MD =4，∴C （0，4），∵MD ⊥AB ，∴DA =DB ，∠MDA =90°，∴AD 225-4，∴BD =3，∴OA =5-3=2，OB =5+3=8，∴A （2，0），B （8，0），故答案为2，0；8，0；0，4；(2)解：把A （2，0）代入21(5)4y x k =-+，解得94k =- ∴219(5)44y x =--， ∴F （5，94-） ∴MF =4+94=254，94DF =， ∴AF 22AD FD +154∴22262516FA AM MF +==∴MA ⊥AF∴F A 与⊙M 相切；(3)解：存在；点P 坐标为（5，555715，4）；理由如下：由勾股定理得：BC 22224845OC OB +=+=分三种情况：①当PB=PC时，点P在BC的垂直平分线上，点P与M重合∴P（5，4）；②当BP=BC52所示：∵PD222--BP BD80371∴P（571；③当PC=BC5MC，如图3所示：则∠PMC=90°，根据勾股定理得：PM222--80555PC MC∴PD55∴P（5，55；综上所述：存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形，点P的坐标为（5，555715，4），．。
2022年中考数学专题复习：二次函数实际问题(拱桥问题)
2022年中考数学专题复习：二次函数实际问题（拱桥问题）一、单选题1．如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为4.9m ，当水面宽4m 时，拱顶离水面2m ，如图，以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y 轴，建立平面直角坐标系，抛物线的函数表达式为（ ）A ．22.45y x =-B ．22y x =-C ．212y x =-D ．214y x =- 2．如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB ＝1.6m ，涵洞顶点O 与水面的距离CO 是2m ，则当水位上升1.5m 时，水面的宽度为（ ）A ．0.4mB ．0.6mC ．0.8mD ．1m 3．如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水而AB 宽为20米，拱桥的最高点O 到水面AB 的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD ，那么CD 宽为（ ）A． B ．10米 C． D ．12米 4．如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB 宽为20米，拱桥的最高点O 到水面AB 的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD ，那么CD 宽为（ ）A ．B ．10米C ．米 D ．12米 5．如图，一个涵洞的截面边缘是抛物线形．现测得当水面宽 1.6m AB 时，涵洞顶点与水面的距离是2m ．这时，离开水面1.5m 处，涵洞的宽DE 为（ ）ABC ．0.4D ．0.8 6．有一拱桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是16m ，跨度为40m ，现把它的示意图(如图)放在坐标系中，则抛物线的解析式为（ ）A ．y ＝125x 2＋58xB ．y ＝－125x 2＋85x C ．y ＝－58x 2－125x D ．y ＝－125x 2＋85x ＋16 7．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，若水面下降2.5m ，那么水面宽度为（ ）m ．A ．3B ．6C ．8D ．98．如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔0.4m 加设一根不锈钢的支柱，构件的最高点距底部0.5m ，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（ ）A ．0.8mB ．1.6mC ．2mD ．2.2m二、填空题 9．如图，某拱桥呈抛物线形状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB 上离中心M 处5米的地方，桥的高度是___________米．10．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20m ，如果水位上升3m 达到警戒水位时，水面CD 的宽是10m ．如果水位以0.25m/h 的速度上涨，那么达到警戒水位后，再过________h 水位达到桥拱最高点O ．11．某桥梁的桥洞可视为抛物线，12m AB =，最高点C 距离水面4m ，以AB 所在直线为x 轴（向右为正向），若以A 为原点建立坐标系时，该抛物线的表达式为21493y x x =-+，已知点D 为抛物线上一点，位于点C 右侧且距离水面3m ，若以点D 为原点，以平C 行于AB 的直线为x 轴（向右为正向）建立坐标系时，该物线的表达式为___________．12．赵州桥的桥拱横截面是近似的抛物线形，其示意图如图所示，其解析式为y ＝﹣125x 2．当水面离桥拱顶的高度DO 为4m 时，水面宽度AB 为____m ．。
2024年中考数学总复习：二次函数(附答案解析)
2024年中考数学总复习：二次函数一．选择题（共25小题）1．抛物线y＝（x+1）2﹣1的对称轴是（）A．直线x＝0B．直线x＝1C．直线x＝﹣1D．直线y＝12．将抛物线y＝﹣x2+2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线解析式为（）A．y＝﹣（x+2）2﹣1B．y＝﹣（x﹣2）2﹣1C．y＝﹣（x+2）2+5D．y＝﹣（x﹣2）2+53．已知二次函数y＝kx2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜1且k≠0B．k≤1C．k≥1D．k≤1且k≠0 4．把抛物线y＝x2+bx+2的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得到的图象的解析式为y＝x2﹣4x+7，则b＝（）A．2B．4C．6D．85．已知点（﹣3，y1），（2，y2），(−12，y3)都在函数y＝x2﹣1的图象上，则（）A．y2＜y1＜y3B．y1＜y3＜y2C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y1 6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；②a﹣b+c＞0；③4a+b＝0；④9a+c＞3b；其中正确的结论是（）A．①B．②C．③D．④7．已知二次函数y＝3（x﹣1）2+k的图像上有三点A（√2，y1），B（3，y2），A（0，y3），则y1，y2，y3为的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y18．A(−12，y1)，B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣1）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1第1页（共17页）。
2022届初三数学中考复习《二次函数与一元二次方程》专项复习练习题 (含答案解析)
2022届初三数学中考复习《二次函数与一元二次方程》专项复习练习题一、单选题1．已知二次函数22=-++的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程y x x m220-++=的解为（）x x mA．-1 ，0B．-1，1C．1，3D．-1，32．如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(﹣1，0)，其部分图象如图所示．下列结论：①abc＜0；①3a+c=0；①当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；①方程ax2+bx+c﹣3=0有两个不相等的实数根；①点(﹣2，y1)，(2，y2)都在抛物线上，则有y1＜0＜y2．其中结论正确的个数是()．A．1个B．2个C．3个D．4个3．二次函数y=3(x–2)2–5与y轴交点坐标为()A．(0，2)B．(0，–5)C．(0，7)D．(0，3)4．根据下列表格对应值：判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是（）A．2.1＜x ＜2.2B．2.2＜x＜2.3C．2.3＜x＜2.4D．2.4＜x＜2.55．如图是抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）图象的一部分，已知抛物线的对称轴是直线x ＝2，与x 轴的一个交点是（﹣1，0），那么抛物线与x 轴的另一个交点是（ ）A ．（3，0）B ．（4，0）C ．（5，0）D ．（6，0）6．已知二次函数(1)(1)37y x a x a a =---+-+(其中x 是自变量)的图象与x 轴没有公共点，且当1x <-时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是( ) A ．2a < B ．1a >-C ．12a -<≤D ．12a -≤<二、填空题7．已知抛物线2y x bx c =++的部分图象如图所示，当3y <-时，x 的取值范围是______．8．已知二次函数2y ax bx c =++的部分图像如图所示，对称轴为直线1x =，则关于x 的方程23ax bx c ++=的解为__________．9．二次函数22(1)1y a x a =-+-的图象经过原点，则a 的值为______． 10．在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，若2b ＋c ＝﹣2，b ＝﹣2﹣t ，且AB 的长为kt ，其中t ＞0，k 的值为___． 三、解答题11．随着地球上的水资源日益枯竭，各级政府越来越重视节约用水．某市民生活用水按“阶梯水价”方式进行收费，人均月生活用水收费标准如图所示，图中 x 表示人均月生活用水的吨数，y 表示收取的人均月生活用水费（元）．请根据图象信息，回答下列问题：(1)该市人均月生活用水的收费标准是：不超过 5 吨，每吨按 元收取； 超过 5 吨的部分，每吨按 元收取； (2)当 x ＞5 时，求 y 与 x 的函数关系式；(3)若某个家庭有 5 人，五月份的生活用水费共 76 元，则该家庭这个月用了多少吨生活用水？12．已知关于x 的方程：2244(3)x m x m --=（1）求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根．（2）若这个方程的两个实数根1x 、2x 满足211x x -=，求m 的值及相应的1x 、2x ．13．如图，抛物线y=ax 2+c 经过A （1，0），B （0，﹣2）两点．连结AB ，过点A 作AC①AB ，交抛物线于点C ．（1）求该抛物线的解析式； （2）求点C 的坐标；（3）将抛物线沿着过A 点且垂直于x 轴的直线对折，再向上平移到某个位置后此抛物线与直线AB 只有一个交点，请直接写出此交点的坐标．14．已知二次函数2y x bx c =-++的图象如图所示，它与x 轴的一个交点坐标为()10-，，与y 轴的交点坐标为()03，．（1）求此二次函数的表达式及对称轴；（2）直接写出当函数值0y >时，自变量x 的取值范围． （3）直接写出当函数值3y >时，自变量x 的取值范围． 15．定义[],p q 为一次函数y ＝px ＋q 的特征数．（1）若特征数是[]2,1m +的一次函数为正比例函数，求m 的值；（2）已知抛物线y ＝(x ＋n )(x －2)与x 轴交于点A 、B ，其中n >0，点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，且①OAC 的面积为4，O 为原点，求图象过A 、C 两点的一次函数的特征数．参考答案：1．D 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，然后利用二次函数的对称性即可求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标，最后根据二次函数与x 轴交点坐标与一元二次方程解的关系即可得出结论． 【详解】解：二次函数22y x x m =-++的对称轴为直线()2121x =-=⨯-由图象可知：二次函数22y x x m =-++的图象与x 轴的一个交点坐标为（3,0） ①二次函数22y x x m =-++的图象与x 轴的另一个交点坐标为（-1,0） ①关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为x 1=-1，x 2=3 故选D ． 【点睛】此题考查的是求抛物线的对称轴、抛物线与x 轴的交点和求一元二次方程的解，掌握抛物线的对称轴公式和二次函数与x 轴交点坐标与一元二次方程解的关系是解决此题的关键． 2．D 【解析】 【分析】根据抛物线的开口，对称轴，特殊值x=-1可判断①①正确，根据图像可得，当y>0时，是x 轴上方的图像，可判断①错误，对方程230ax bx c ++-=进行变形，看成抛物线2y ax bx c =++与3y =的交点即可判断①正确，把点(﹣2，y 1)，(2，y 2)描到图像上可判断出①正确． 【详解】抛物线的开口向下，a<0，对称轴为x=1，①12ba-=，①20b a =->，抛物线与y 轴交于(0,3)，①c>0,①0abc <,故①正确；当x=-1时，0a b c -+=，①2b a =-代入得：3a +c=0，故①正确；根据图像可得，当y>0时，是x 轴上方的图像，抛物线过点(﹣1，0)，对称轴为x=1，根据抛物线的对称性可得，抛物线过点(3,0),①13x ,故①错误；对方程230ax bx c ++-=进行变形得：23ax bx c ++=，可看成抛物线2y ax bx c =++与3y =的交点，由图像可得：抛物线2y ax bx c =++与3y =有两个交点，①方程ax 2+bx +c ﹣3=0有两个不相等的实数根，故①正确；把点(﹣2，y 1)，(2，y 2)描到图像上可知，10y <，20y >，①y 1＜0＜y 2，故①正确， 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解决这类题需要掌握：a 看抛物线开口方向，b 往往看对称轴，c 看抛物线与y 轴的交点，24b ac -看抛物线与x 轴的交点，抛物线的对称性以及代入特殊点等． 3．C 【解析】 【分析】由题意使x=0,求出相应的y 的值即可求解. 【详解】①y=3（x ﹣2）2﹣5, ①当x=0时，y=7, ①二次函数y=3（x ﹣2）2﹣5与y 轴交点坐标为(0,7). 故选C. 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是二次函数图象上的点满足其解析式. 4．C 【解析】 【分析】由于x ＝2.3时，ax 2+bx +c ＝﹣0.01；x ＝2.4时，ax 2+bx +c ＝0.06，则在2.3和2.4之间有一个值能使ax 2+bx +c 的值为0，据此即可判断． 【详解】①x ＝2.3时，ax 2+bx +c ＝﹣0.01；x ＝2.4时，ax 2+bx +c ＝0.06， ①方程ax 2+bx +c ＝0的一个解的范围为2.3＜x ＜2.4． 故选：C ．【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解，关键是观察表格，确定函数值由负到正时，对应的自变量取值范围． 5．C 【解析】 【分析】直接利用抛物线的对称性进而得出另一个交点坐标． 【详解】①抛物线的对称轴是直线x ＝2，与x 轴的一个交点是（﹣1，0）， ①抛物线与x 轴的另一个交点是：（5，0）． 故选C ． 【点睛】此题主要考查了抛物线与x 轴的交点，正确利用抛物线的对称性分析是解题关键． 6．D 【解析】 【分析】由抛物线与x 轴没有公共点，可得∆<0，求得2a <，求出抛物线的对称轴为直线x a =，抛物线开口向上，再结合已知当1x <-时，y 随x 的增大而减小，可得1a ≥-，据此即可求得答案. 【详解】(1)(1)37y x a x a a =---+-+22236x ax a a =-+-+，抛物线与x 轴没有公共点，22(2)4(36)0a a a ∴∆=---+<，解得2a <，抛物线的对称轴为直线 22ax a -=-=，抛物线开口向上， 而当1x <-时，y 随x 的增大而减小，1a ∴≥-，∴实数a 的取值范围是12a -≤<，故选D ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与x 轴交点问题，抛物线的对称轴，二次函数图象的增减性，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 7．0＜x ＜2 【解析】 【分析】根据函数图象和二次函数的性质，可以得到（0，-3）关于对称轴对称的点，再结合图像可得x 的范围． 【详解】 解：由图象可得，该抛物线的对称轴为直线x =1，与y 轴的交点为（0，-3）， 故（0，-3）关于对称轴对称的点为（2，-3）， 故当y ＜-3时，x 的取值范围是0＜x ＜2， 故答案为：0＜x ＜2． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是理解3y <-，结合函数的对称性得到结果． 8．10x =，22x =【解析】 【详解】根据二次函数图象可得:当x =0时,y =3,又因为二次函数关于直线x =1对称,所以当x =2时,y =3,所以关于x 的方程23ax bx c ++=的解为10x =，22x =,故答案为10x =，22x =. 9．-1 【解析】 【分析】根据题意将（0，0）代入二次函数22(1)1y a x a =-+-，即可得出a 的值，最后根据二次函数的定义进行求解即可． 【详解】解：①二次函数22(1)1y a x a =-+-的图象经过原点，①210a -=， ①1a =±， ①10a -≠ ①1a ≠ ①a 的值为-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的特征以及二次函数的定义，图象过原点，可得出当x =0时，y =0，从而分析求值． 10．2 【解析】 【分析】由题意得抛物线为y ＝12x 2+（﹣2﹣t ）x +（2t +2），设抛物线212y x bx c =++与x 轴交于点A （x 1，0）、B （x 2，0），则x 1+x 2＝4+2t ，x 1x 2＝4t +4，由AB 的长为kt ，得出（x 1﹣x 2）2＝（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2＝k 2t 2，即（4+2t ）2﹣4（4t +4）＝k 2t 2，进而即可求得k 的值． 【详解】解：①2b +c ＝﹣2，b ＝﹣2﹣t ， ①c ＝2t +2，①抛物线为y ＝12x 2+（﹣2﹣t ）x +（2t +2）， 设抛物线212y x bx c =++与x 轴交于点A （x 1，0）、B （x 2，0），则x 1+x 2＝212t---＝4+2t ，x 1x 2＝2212t +＝4t +4，①AB 的长为kt ， ①|x 1﹣x 2|＝kt ，①（x 1﹣x 2）2＝（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2＝k 2t 2，即（4+2t ）2﹣4（4t +4）＝k 2t 2， 整理得：4t 2＝k 2t 2， ①k 2＝4， ①kt ＞0，t ＞0，①k ＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x 轴的交点，交点坐标和系数的关系是解题的关键．11．(1)1.6； 2.4；(2) y ＝ 125x ﹣4；(3) 该家庭这个月用了 40 吨生活用水． 【解析】 【分析】(1)分析图像可得答案；(2) 当x ＞5时设y ＝kx +b ，代入（5，8）、（10，20）可得一次函数解析式； （3）把 y ＝代入 y ＝x ﹣4 可得答案.【详解】（1）该市人均月生活用水的收费标准是：不超过 5 吨，每吨按 1.6 元收取； 超过 5 吨的部分，每吨按 2.4 元收取； 故答案为1.6；2.4； （2）当 x ＞5 时，设 y ＝kx +b ，代入（5，8）、（10，20）得，解得 k ＝，b ＝﹣4， ①y ＝x ﹣4；（3）把 y ＝代入 y ＝x ﹣4 得x ﹣4＝， 解得 x ＝8，5×8＝40（吨）．答：该家庭这个月用了 40 吨生活用水． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，根据题意列出并解除一次方程是解题的关键.12．（1）证明见解析（2）①1x =2x =②1x =212x =【解析】【详解】试题分析：（1）求出b 2-4ac>0，即可判断方程总有两个实数根；（2）根据根与系数的关系求得123x x m +=-，21204m x x ⋅=-≤，即可得1x 、2x 异号或有1个为0．再根据211x x -=，分①10x ≥，20x <和②10x ≤，2>0x 两种情况求m 的值及相应的1x 、2x ． 试题解析：（1）()2216316m m ∆=-+23296144m m =-+ 2332722m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 72≥．①无论m 取何值，方程有两个异根．（2）()224430x m x m ---=．∵4a =，124b m =-，2c m =-．∵123x x m +=-，21204m x x ⋅=-≤， ∵1x 、2x 异号或有1个为0．211x x -=，①10x ≥，20x <，211x x --=即121x x +=-，31m -=-，∵2m =．24440x x +-=．1x =，2x =． ②10x ≤，2>0x ．211x x +=，4m =．244160x x --=．240x x --=．1x =2x =． 13．（1）y=2x 2﹣2；（2）（﹣，）；（3）（，3）．【解析】【详解】试题分析：（1）因为抛物线y=ax 2+c 经过A （1，0），B （0，﹣2）两点，则有：解得：，所求的抛物线的解析式是：y=2x 2﹣2；（2）①AC①AB ，又根据题意可知：OA①BD ，①Rt①AOD①Rt①BOA ，①，①OD=，又根据A （1，0），B （0，﹣2），则有：AO=1，BO=2，①OD=，①D （0，），设直线AC 的解析式是y=kx+b ，则有，解得：，①所求的解析式是：y=﹣x+，由直线AC 与抛物线y=2x 2﹣2相交，则有：﹣x+=2x 2﹣2，解得：x 1=﹣，x 2=1，当x=﹣时，y=﹣×（﹣）+=，①点C 的坐标是（﹣，）；（3）抛物线沿着过A 点且垂直于x 轴的直线对折后与x 轴的交点坐标为（1，0）和（3，0），此时抛物线解析式为y=2（x ﹣2）2﹣2，向上平移此时解析式为y=2（x ﹣2）2+k ，直线AB 的解析式为y=2x ﹣2，则2（x ﹣2）2+k=2x ﹣2，①=100﹣80﹣8k=0，解得k=，即2（x ﹣2）2+=2x ﹣2，解得x=，所求交点的坐标是（，3）．考点：二次函数综合题．14．（1）2y x 2x 3=-++，x=1；（2）−1＜x ＜3；（3）0＜x ＜2．【解析】【分析】（1）将（−1，0）和（0，3）两点代入二次函数2y x bx c =-++，求得b 和c ；从而得出抛物线的解析式，进而得出对称轴；（2）令y ＝0，解得1x ，2x ，得出此二次函数的图象与x 轴的另一个交点的坐标，进而求出当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围．（3）令y ＝3，解得1x ，2x ，结合图像即可分析出当函数值3y >时，自变量x 的取值范围．【详解】解：（1）由二次函数2y x bx c =-++的图象经过（−1，0）和（0，3）两点，得1+03b c c --=⎧⎨=⎩ ， 解这个方程组，得23b c =⎧⎨=⎩， 抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++， 对称轴()21221b x a =-=-=⨯- ． （2）令y ＝0，得2x -＋2x ＋3＝0．解这个方程，得1x ＝3，2x ＝−1．①此二次函数的图象与x 轴的另一个交点的坐标为（3，0）．当−1＜x ＜3时，y ＞0．（3）令y ＝3，得2x -＋2x ＋3＝3，解这个方程得：1x ＝0，2x ＝2．①由图像可知，当0＜x ＜2时，y ＞3．【点睛】本题考查了二次函数与x 轴的交点问题以及用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是正确求出抛物线的解析式，此题难度不大．15．（1）m ＝－1；（2）[]24-，-【解析】【分析】（1）根据正比例函数的一般形式y=kx （k≠0），则m+1=0，进而求出即可；（2）根据题意得出n 的值，进而得出直线AC 的解析式，进而得出图象过A 、C 两点的一次函数的特征数．【详解】解：（1）①特征数是[2，m+1]的一次函数为正比例函数，①m+1=0，解得：m ＝－1；（2）由题意得点A 的坐标为(－n ，0)，点C 的坐标为(0，－2n)．①①OAC 的面积为4， ①1242n n ⨯⨯=， ①n ＝2，① 点A 的坐标为(－2，0)，点C 的坐标为(0，－4)．设直线AC 的解析式为 y ＝kx ＋b.①204k b b -+=⎧⎨=-⎩， ①24k b =-⎧⎨=-⎩， ① 直线AC 的解析式为：y ＝－2x －4；① 图象过A 、C 两点的一次函数的特征数为[]24-，-.【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及新定义，根据题意得出直线AC 的解析式是解题关键．。
2022年中考数学复习之二次函数压轴题40个问题
中考复习之二次函数压轴40个问题主要题型：1.二次函数之面积问题2.二次函数之特殊三角形的存在性问题3.二次函数之特殊四边形的存在性问题4.二次函数之线段最值问题5.二次函数之角度问题题目：如图,抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC＝３，OA＝１，顶点为D第1问.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D.求二次函数的解析式；解:设:设二次函数解为y=a(x+1)(x-3)将(0,3)代入得a=-1,故二次函数解析式为y=-x2+2x +3第2问.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC=3,OA=1.顶点为D1.判断∆BCD的形状；解:D(1,4),B(3,0),C(0,3),方法一:BC=32,CD=2,BD=25,BC2+CD2=BD2,故∆BCD是直角三角形；方法二:KCD =1,KBC=-1,KCD∙KBC=-1,故CD⊥CB,所以∆BCD是直角三角形；yxBCAODyxBCAODyxBCAODyxBCAOD第3问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1.顶点为D, 2. 四边形ABDC 的面积解:BC:y =-x +3,铅垂法:E(1,2)DE=2,S BCD ∆=21∙2∙3=3 S ABDC 四=21∙4∙3+3=9第4问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D, 1. P 为直线BC 上方抛物线上一点,求∆PBC 面积最大值及P 点坐标；解:方法一:设P(m,-m+2m+3)S PBC ∆=21∙3∙[-m 2+2m+3-(m+3)] =23(-m 2+3m),当m=23时,S 有最大值,此时P(23,415)S m ax =827 方法二:平移BC 至抛物线相切时,面积可取最大值设切线为y =-x +n,与抛物线y =-x 2+2x+3联立得x2-3x +n -3=0,∆=0,n=23,y =415,故P(23,415)S m ax =827y xBCAODy xBCAODEy xBCAOD第5问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D5点M 为BC 上方抛物线上一点,过点M 作y 轴的平行线交BC 于点N,求MN 的最大值；解:设点M(m,-m 2+2m+3),BC:y =-x +3,则点N(m,-m+3)MN=-m 2+2m+3-(-m+3)=-m 2+3m 当m=23时,MN m ax =49第6问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OC=3,OA=1,顶点为D, 6. 在对称轴上找一点P,使∆ACP 的周长最小,并求出最小值解:点A 、B 关于对称轴对称,连接BP,则BP=AP,PA+PC=PB+PC,当点B 、P 、C 三点共线时,可取最小值,此时P(1,2),∆ACP 周长的最小值为10+32第7问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1. 在y 轴上找一点E,使∆BDE 为直角三角形,求出E 点坐标, 方法一:y xBCAOPDy xBCAODy xNBCAODMy xBCAOD P1.DE ⊥BE 时,设E(0,m)易知∆DEF~∆EBO,OE DF =BO EF ,即m 1=34m-,m=3或1,故E 1(0,1)、E 2(0,3)2. DE ⊥DB 时,设E(0,m)易知∆DEN~∆BDM,BM DN =DM EN ,即m 1=34m -,m=27故E ；(0,27)3. DB ⊥BE 时,设E(0,m),易知∆DBF~∆BEG,BG DF =EG BF ,即m -2=34,m=-23,故E 4(0,-23)第8问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1. 在y 轴上找一点F,使∆BDF 为等腰三角形,求出F 点坐标；2. BD=DF,设F(0,m),22)4()01(m -+-=25,m=4+9 或4-19,F 1(0,4+19);F 2(0,4-19)yxFBCAODExyN MBCAODExy GFEBCAODxy BCAODF2.BD=BF,设F(0,m),22)0()03(m -+-=25,m=±11,F 1(0,11),F 2(0,-11)3.DF=BF,设F(0,m),22)0()03(m -+-=22)4()01(m -+-,m=1,F 4(0,1)第9问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1. 求抛物线上一点N,使S ABN ∆=S ABC ∆；解:设N 点的坐标(m,n),则∆ABC 与∆ABN 底相同,故n=±3,-m 2+2m+3=3或者-m 2+2m+3=3得m 1=0,m 2=2,m 3=1-7,m 4=1+7,N(0,3),(2,3),(1-7,-3),(1+7,-3)第10问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D, 1. 在抛物线上找一点Q,使S BDQ ∆=S AOC ∆解:设Q(m,-m 2+2m+3),S AOC ∆=23,BD ：y =-2x +6,铅垂高QS=|-m 2+2m+3-(-2m+6)| S BDQ ∆=|-m 2+2m+3-(-2m+6)|∙21∙1=23得m=0或4Q(0,3),(4,-5),xBCAODFBCAOD FBCAODFBCAODN第11问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.在抛物线上找一点E,使BE 平分∆ABC 的面积； 解:BE 平分∆ABC 的面积,故BE 经过AC 的中点,AC 中点(-21,23),BE:y =-73x +79; 与抛物线联立得-x 2+2x +3=-73+79x =-74或722,E(-74;4919)或(722；491849)第12问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA =1,顶点为D 1.在对称轴上找一点M,使|MB -MC|取最大值,并求出最大值；解:点B 关于对称轴对称的点A,连接MA,则MB=MA,MA -MC<AC, 当点A 、C 、M 共线时,|MB -MA|m ax =AC=10, AC:y =3x x +3,M(1,6)第13问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.M 、N 为对称轴上的两点(M 在N 点上方),且MN=1,求四边形ACNM 周长的最小值； 解:A 关于对称轴对称的点B,连接BN,则BN=AN,将点向下平移1个单位得C’、N,则C’N=CM, 故CM+BN=C’N+BN,当C’、N 、B 共线时,取最小值(CM+BN)m in =13,故ACNM 周长得最小值为1+10+13BCAODQABCODEABCODM第14问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.E 在抛物线对称轴上,在抛物线上找一点F,使得点四边形ACFE 为平行四边形； 解:设E(1,m)F(n,-n 2+2n+3),A(-1,0),C(0,3),A 平行至点C 与E 平移至点F, n=1+1=2,m+3=-n 2+2n+3,m=0,故E(1,0)F(2,3)第15问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.M 为y 轴上一点,在坐标平面内找一点N,使A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为菱形； 解:当 ACM 为等腰三角形时,问题转化为等腰三角形问题 1.ACNM 为菱形时,M(0,3),N(1,0),2.AMCN 为菱形时,M(0,34),N(-1,35),3.ACMN 为菱形时,M(0,3+10),N(-1,10)ABCODMNABCODM NC'ABCODEFABCODMN ABCONDM4.ACMN 为菱形时,M(0,3-10),N(-1,-10)第16问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.E 为x 轴上一点,以BE 为边的正方形BEFG ； 另一点G 在抛物线上,求点F 坐标；设E(m,0)则EF=|-m 2+2m+3|由EF=EB 得3-m=|-m 2+2m+3|,m=0或m=-2故F(0,3)或F(-2,-5)第17问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.P 是抛物线上任意一点,过点P 作PE ⊥y 轴于点E,交直线BC 于点G ；过点G 作GF ⊥x 轴,连接EF,求EF 的最小值；连接OG,则OG=EF,当OG ⊥BC 时,OG 最小,即EF 最小,故EF m in =233x C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.M 在抛物线上CB 上方一点过点M 作y 轴的平行线,交BC 于点E,则ME 的最大值是多少? 解:设M(m,-m 2+2m+3),BC :y =-x +3,E(m,3-m),ME=-m 2+2m+3-(3-m)=-m 2+3m,当m=23ABCONDMABCNODMGCABO EFF CABOE GFEGCABOPFEGCABOP时,ME m ax =49第19问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.求一点P,使∠POC=∠PCO ； 解:点P 在OC 得垂直平分线上,-x2+2x +3=23,x =1±210P 1(1-210,23)P 2(1+210,23)第20问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.E(2,-2),M 为x 轴上一点,且∠EMO=∠CMO ； 1.M 在右侧时,易知∆CMO~∆EMG,设M(m,0)则有2-m m =23,m=6 2.M 在左侧时,同理易知∆CMO~∆EMG ,m m --2=23,m=6(舍) 第21问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.P 是直线y =x 上的动点,当直接y =x 平分∠APB 时,求点P 的坐标； 如图,∆PAO ≅∆PEO,此时OE=OA=1,故E(0,-1),EB ：y =31x -1,与y =x 得x =-23,P(-23,-23) ECABOMPPCABOCABOEMG第22问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.点P 在抛物线上,且∠ABP=∠CBD,求P 坐标；解:C(0,3)D(1,4)B(3,0)tan ∠CBD=31,故tan ∠PBO=31,OE=1或者OF=1,PB ：y =-31x +1或y 且=31x -1,联立可得P 1(-32,911)P 2(-23,-23)第23问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.在抛物线上找一点P,使∠ACP=450；方法1:∠OCB=∠ACP=450,得∠ACO=∠ECB,故tan ∠ECB=31,作EH ⊥BC,设BH=m,则EH=m;CH=3m,故4m=32,m=423,E(23,0)故CE:y =-2x +3,联立得P(4,-5) 方法2:由12345模型得tan ∠ECO=21得E(23,0)第24问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.P 在抛物线上,∠DBP=450； 由tan ∠CBD=31,∠CBD+∠CBP=450,而∠PBO+∠CBP=450,故tan ∠PBO=31,BP:y =-31x +1,P(-32,911) ECABOPPEFCABODPPHECABOPDP第25问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.点P 在抛物线上,∠PCB=150,求点P 的坐标；解:由∠BCO=450得∠PCO=30或∠PCO=600,故PC:y =-3x +3或y =-33x +3联立得P(2+3,-23)P(2+33,3328-)第26问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.直线y =31x -1与y 轴交于点E,求∠EBC -∠CBD ； 由tan ∠DBC=tan ∠EBO=31,故∠EBC -∠CBD=450第27问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.过点P(3,0)作直线与抛物线交于F 、G 、FM 、GN 分别垂直于x 轴,求PM,PN ；设F(1x ,1y )G(2x ,2y ),直线y =k (x +3)与抛物线y =-2x +2x +3联立得2x +(k -2)x +3k -3=0;1x +2x =2-k ,1x •2x =3k -3,PM •PN=(1x +3)(2x +3)=1x •2x +3(1x +2x )+9=12CABOPDPPF CABODPEECABODENMGFCABOPD第28问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为DP 是第一象限抛物线上,PE ⊥AB,求BEAE的值,若PE 2=AE •BE,求P 点坐标 设P(m,-m 2+2m+3),AE=m+1,BE=3-m,BE AE =mm -+31,(m+1)(3-m)=(-m 2+2m+3)2得m=1+3,P(1+3,1)第29问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D M 为直线y =33x 3上的点,N(0,-1),求23BM+MN 的最小值, 过点B 作I ⊥x 轴,MH ⊥I,∠MBH=600,MH=23BM,23BM+MN=MH+MN,当N 、M 、H 共线且垂直于I 时取最值(23BM+MN)min=3第30问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D M 为直线y =33x 3上的点,求21BM+OM 的最小值 过点B 作I:y =3x -33,MH ⊥I,∠MBH=300,MH=21BH,21BH+OM=MH+OM,当Q 、M 、H共线且垂直于I 时取最值(21BM+MN )min=233xy EBCAOPxy BCA O MN H第31问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D M 为直线y =33x 3上的点,求22BM+OM 的最小值 过点B 作I,I 与直线MN 夹角450,MH ⊥I,∠MBH=450,MH=22BM,22BM+OM=MH+OM,当Q 、M 、H 共线且垂直于I 时取最值两着色三角形相似,得cos150=426,(21BM +MN)min=423-63第32问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D在AB 上是否存在点M,使CM+21BM 取最小值. 过点B 作I,I 与x 轴夹角为300,MH=21BM,21BM+CM=MH+CM,当C 、M 、H 共线且垂直于I 时取最值(21BM+CM)min=2333+第33问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为Dxy BCAMO Hxy BCAMOHxy BCAO M EHM 是抛物线上一点,作MH ⊥x 轴,交BC 于点E,当ME:EH=3:2时,求M 点的横坐标, 设M(m,-m 2+2m+3),则E(m,3-m),ME=-m 2+2m+3-(3-m),EH=3-m,ME:EH=3：2 即有-m 2+2m+3-(3-m)=23(3-m) m=23第34问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于顶点为D P 是抛物线上一点,且∠PAB=2CBD,求P 点坐标. tan ∠CBD=31,tan ∠PAB=tan2∠CBD=43(12345模型) 设P(m,-m 2+2m+3)(1)tan ∠PAB=1322+++-m m m =43,m=49,P(49,1639)(2)tan ∠PAB=1322+--m m m =43,m=415,P(415,1657)第35问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为DF(1,415)直线y =417,(1)证明:M 上任意一点到直线y =417距离等于到F 点的距离, M(m,-m 2+2m+3),MH=417-(-m 2+2m+3)=m 2-2m+45MF=222)41532()1(-++-+-m m m =m 2-2m+45,故MH=MF xyEBCAOMHxy BCAODPP第36问:如图,抛物线与x 轴交于、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为DF(1,415)直线y =417,(2)证明:N(2,-1)M 为抛物线上一点,求NM+MF 的最小值 由(1)可知MF=MH,故NM+MF=MN+MH,(NM+MF)min=421第37问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D ∠BAC 的角平分线交y 轴于点M,绕点M 作直线I,与x 轴交于点E,与A 交于点F,求证:AE 1+AF 1为定值 过点M 、F 、C 作x 轴的平行线,交AC 于点G,交AM 于点H 、I ，易知:∆AEM~∆HFM,∆AFH~∆ACI,AO GM =AC CG ,CI GM =AC AG ,相加得AO GM +CI GM =AC CG +ACAG=1 即有AO 1+AC 1=GM 1,同理可得AE 1+AF 1=GM1=1+1010第38问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D P 为第四象限抛物线上一点,且tan ∠APC=21,求出点P 的坐标； 过点C 作CE ⊥AC,取一点E 使CE=2AC,过点C 作MN||x 轴,作A M ⊥MN 、EN ⊥MN,易知∆ACM~∆CEN,CN=6,EN=2,E(6,1),P 为以AE 为直径的圆与抛物线的交点AE 的中点F,F(25,21) xy BCOFMHxy BCNOFMHA过点易知AE HF AFACGM AO =CG AC ，GM CI =AGAC，GM AO +GM CI =CG AC +AGAC =1即有1AO +1AC =1GM，同1AE +1AF =1GM =11010xy H G FEMBCOIPF=225,设P(m,-m 2+2m+3),PF 2=(m -25)2+(-m 2+2m+325)2=225m=255,y =2531--,P(255,2531--)第39问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 直线y =x -3与抛物线交于点P,在x 轴正半轴上找一点E,使tan(∠PBO+∠PEO)=25 在x 轴上找一点F,使tan ∠HPF=25,∠HPF=450+∠BPH=∠PBO+∠PEO=450+∠PEO, 故∠BPF=∠PEO,故∆BEP~∆BPF,BP BE =BF BP ,即253-m =21525,m -3=320,m=329故E(329,0)第40问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 对称轴与BC 交于点E,在直线BC 上找一点P,使∆ABP 与∆DEB 相似,∠BED=1350=∠ABP,故P 在CB 的延长线上,DE=2,BE=22,AB=3,1.当∆EDB~∆BAP,AB DE =BP EB ,即42=BP22,BP=42,P(7,-4) 2.∆EDB~∆BPA 时,BP=22,P(5,-2)AxyN MPFEBCOAH PE FAxyIHEBCODP 1P 2。
河南省2022年中考数学一轮复习课件：专题11 二次函数性质综合题
解答题突破
(2)当m≤x≤m＋1时，该抛物线的最大值为－2m，求m的值． 解：由抛物线的解析式知，抛物线的对称轴为直线x＝－23． ①当m＋1≤－32，即m≤－25时， 令x＝m＋1，则y＝－21(m＋1)2－32(m＋1)＋2＝－2m， 解得m＝0或m＝－1(两个均舍去)．
解答题突破
②当m≥－23时， 令x＝m，则y＝－12m2－23m＋2＝－2m， 解得m＝1－2 17(舍去)或m＝1＋2 17．
解答题突破
训练 1．抛物线y＝－21x2＋bx＋c经过A(－4,0)，B(0,2)两点． (1)求抛物线的解析式； 解：∵抛物线y＝－ 21x2＋bx＋c经过A(－4,0)，B(0,2)两点，
∴－ c＝82－，4b＋c＝0，解得bc＝＝2－. 23， ∴抛物线的解析式为y＝－21x2－32x＋2．
解答题突破
(4)点M，N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离 分别为3个单位长度和2个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间(含点 M，N)的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围；
解：∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，对称轴为直线x＝1，点M，N为 抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位长 度和2个单位长度，
答图2
解答题突破
③当－m＞3，即m＜－3时，如答图3． 当x＝3时，y＝6，即6＝9＋6m＋2m2－m． 整理，得2m2＋5m＋3＝0． 解得m1＝－1，m2＝－32(两个都舍去)． 综上，m＝－2或 414－1．
答图3
解答题突破
类型 交点问题 例2 已知抛物线L：y＝－x2＋2nx－n2＋3和点A(0，－1)，B(5，
2
2
2
时，线段 PQ 与抛物线只有一个交点.
2022年中考数学复习：二次函数综合题(面积问题)
2022年中考数学复习:二次函数综合题（面积问题）1．如图1，抛物线24y ax bx =++交x 轴于(40)A -，，(30)B ，两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第二象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为t ，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，PM 交AC 于点Q ．(1)求此抛物线的表达式；(2)过点P 作PN AC ⊥，垂足为N ，请用含t 的代数式表示线段PN 的长，并求出当t 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？(3)如图2，连接OP ，PC ，PA ，将线段OP 绕点O 顺势针旋转90︒，P 的对应点为P '，连接CP '和BP '，若CP B '∆面积与PAC ∆面积比为3：2，求点P '坐标．2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线()220y ax bx a =+-≠与x 轴交于点A（1，0），B （5，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式和点D 的坐标； (2)求△BCD 的面积；(3)点M 为抛物线上一动点，点N 为平面内一点，以A ，M ，I ，N 为顶点作正方形，是否存在点M ，使点I 恰好落在对称轴上？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，已知抛物线()20y ax bx c a =++≠过点()0A 1，，()30B ，，()03C ，，顶点为D ．(1)求抛物线的解析式；(2)在BC 下方的抛物线上是否存在点P ，使△PBC 面积最大？若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的最大面积；若不存在，请说明理由；(3)在x 轴下方抛物线上有一点Q ，若QAB BCD ∠=∠，求点Q 的坐标．4．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax x c =++(0a ≠)与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，OA =1，对称轴为2x =，点D 为此抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上C ，D 两点之间的距离是_________；(3)点E 是第一象限内抛物线上的动点，连接BE 和CE ，求△BCE 面积的最大值； (4)点P 在抛物线对称轴上，平面内存在点Q ，使以点B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P 的坐标．5．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，顶点为D （1，4），点E 是抛物线BD 段上一点． (1)求抛物线的表达式；(2)如图1，连接ED ，EA ，过点A 作AF △DE 交y 轴于点F ，连接DF 交AE 于G ，若△EDG 与△AFG 的面积相等，求点E 的坐标；(3)如图2，点P 是线段CD 上一点，连接PE ，始终满足PE △x 轴，过点E 作EQ △y 轴交线段BC 于点Q ，连接PQ ，若△CPQ 和△EPQ 的面积相等，求证：△CQP ＝△EQP .6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()220y ax bx a =++≠与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点 B 的左侧），与y 轴交于点 C ，抛物线经过点()2,3D --和点()3,2E ，点P 是第一象限抛物线上的一个动点．(1)求直线DE 和抛物线的表达式；(2)在y 轴上取点()0,1F ，连接PF ，PB ，当四边形OBPF 的面积是132时，求点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，当点P 在抛物线对称轴的左侧时，直线DE 上存在两点M ，N（点M 在点N 的上方），且MN =Q 从点P 出发，沿P M N A →→→的路线运动到终点A ，当点Q 的运动路程最短时，请直接写出点N 的坐标．7．如图1，在平面直角坐标中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点(1,0)A -、(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ，直线:2BM y x m =+交y 轴于点M .P 为直线BC 上方抛物线上一动点，过点P 作x 轴的垂线，分别交直线BC 、BM 于点E 、F ．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P 落在抛物线的对称轴上时，求△PBC 的面积；(3)△若点N 为y 轴上一动点，当四边形BENF 为矩形时，求点N 的坐标；△在△的条件下，第四象限内有一点Q ，满足QN QM =，当△QNB 的周长最小时，求点Q 的坐标．8．如图1，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于(10)A -，、(30)B ，两点，与y 轴交于点C ，顶点为点D ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点F 为第一象限内抛物线上一点，连接AF 交y 轴于点M ，设点F 的横坐标为t ，线段CM 的长为d ，求d 与t 之间的函数关系式．(3)点E 是点D 关于x 轴的对称点，经过点A 的直线1y mx =+与该抛物线交于点F ，点P 是直线AF 上的一个动点，连接AE 、PE 、PB ，记PAE ∆的面积为1S ，PAB ∆的面积为2S ，求12S S 的值．9．如图，已知二次函数23y ax bx =++的图象与x 轴交于点(1,0)A 、(3,0)B -，与y 轴的正半轴交于点C(1)求二次函数23=++的表达式y ax bx(2)点D是线段OB上一动点，过点D作y轴的平行线，与BC交于点E，与抛物线交于点F，连接CF，BF，探究是否存在点D使得四边形ACFB的面积最大？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由(3)若点P在二次函数图象上，是否存在以P BC相切，若存在，直接写点P的坐标；若不存在，说明理由10．如图△，二次函数2(0)=++≠经过菱形ABCD的顶点A，B，D，且y ax bx c aAB=，点D的坐标为(0，4)，延长CD交抛物线于另一点E，连接BE，交AD于点5F．(1)求二次函数的表达式；(2)求BDF的面积；(3)如图△，直线l是二次函数图象的对称轴，若P为l上一点，且P，D，B三点构成以BD为底的等腰三角形，求点P的坐标．11．如图，抛物线24y ax bx =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为（－1，0），抛物线的对称轴是直线32x =．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 是直线BC 上方的抛物线上一个动点，是否存在点P 使四边形ABPC 的面积为16，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在（2）的条件下，当四边形ABPC 的面积最大时，求出点P 的坐标．12．已知抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线2x =，且与x 轴交于A 、B 两点．与y 轴交于点C ．其中A （1，0），(03)C -，．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 在抛物线上运动（点P 异于点A ）．△如图1．当PBC ∆面积与ABC ∆面积相等时．求点P 的坐标； △如图2．当PCB BCA ∠=∠时，求直线CP 的解析式．13．如图，抛物线()224y x m x =-++的顶点C 在x 轴的正半轴上，直线2y x =+与抛物线交于A ，B 两点，且点A 在点B 的左侧．(1)求m 的值；(2)点P 是抛物线()224y x m x =-++上一点，当PAB △的面积是ABC 面积的2倍时，求点P 的坐标；(3)将直线AB 向下平移(0)k k >个单位长度，平移后的直线与抛物线交于D ，E 两点(点D 在点E 的左侧)，当DEC 为直角三角形时，求k 的值．14．如图所示，抛物线223y x x =--与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点M 为抛物线的顶点．(1)求点C 及顶点M 的坐标．(2)若点N 是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN 、CN ，求BCN △面积的最大值．(3)直线CM 交x 轴于点E ，若点P 是线段EM 上的一个动点，是否存在以点P 、E 、O为顶点的三角形与ABC 相似．若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，已知抛物线与x 轴交于(1,0)A -，B 两点，顶点为(1,1)C -，E 为对称轴上一点，D ，F 为抛物线上的点（点D 位于对称轴左侧），且四边形CDEF 为正方形．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图1，求正方形CDEF 的面积；(3)如图2，连接DF ，与CE 交于点M ，与y 轴交于点N ，若P 为抛物线上一点，Q 为直线BN 上一点，且P ，Q 两点均位于直线DF 下方，当MPQ 是以点M 为直角顶点的等腰直角三角形时，求点P 的坐标．16．抛物线y =43x 2+bx +c 经过点C （0，－4），且OB =34OC ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，点D 、E 是抛物线对称轴上的两个动点，且DE =1，点D 在点E 的下方，求四边形ACDE 的周长的最小值；(3)如图2，点N 为抛物线上一点，连接CN ，直线CN 把四边形CBNA 的面积分为3:1两部分，直接写出点N 的坐标．17．已知：抛物线2y x bx c =-++与x 轴交点(1,0)A -和点(3,0)B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)P 为直线BC 上方抛物线上一点，过点P 作PH x ⊥轴于点H ，交BC 于点D ，连接PC 、PB ，设PBC 的面积为S ，点P 的横坐标为t ，求S 与t 的函数关系式，并直接写出自变量t 的取值范围；(3)如图在（2）的条件下，在线段OC 上取点M ，使2CM DH =，在第一象限的抛物线上取点N ，连接DM 、DN ，过点M 作MG DN ⊥交直线PD 于点G ，连接NG ，MDC NDG ∠=∠，CMG NGM ∠=∠，求线段NG 的长．18．在平面直角坐标系xOy 中，如图（1）抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C ，点B （3，0），C （0，3）．(1)求抛物线的解析式；(2)如图（2），点P 在抛物线上，且在线段BC 的上方，△BCP 的面积为3，求点P 坐标；(3)如图（3），点D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，在抛物线上是否存在一点Q ，使△BQC ＝△ACO +△ADE ，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．19．已知，在平面直角坐标系中，点O 为原点，抛物线23y x ax =-++与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，tan 3CAO ∠=．(1)如图1，求抛物线解析式；(2)如图2，点M 为抛物线顶点，点P 为第四象限抛物线上一动点，连接PM ，P A ，P A 交y 轴于点D ，设点P 的横坐标为t ，PAM △的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系（不需要写出自变量取值范围）；(3)在（2）的条件下，点E 为PD 上一点，连接CE ，过点P 作PL x ⊥轴于点L ，将射线PL 沿PM 翻折交CE 于点F ，若DE PE =，:4:5PF PL =，求P 的坐标．20．直线：3:34l y x =-与抛物线2:4L y ax ax =-相交于点A ，B ，与y 轴相交于点C ，点(,)P m n 在L 上且位于点A ，B 之间，PQ x ⊥轴交l 于点Q ．(1)小静得出结论：l 与L 有一个公共点在x 轴上，请判断小静的结论是否正确，并说明理由．(2)若1a =-，如图1．△当3n =时，求点Q 的坐标；△当m 为何值时，PBC 的面积最大？并求出这个最大值．(3)若n 随m 的增大而增大，直接写出a 的取值范围．。
2023年中考数学总复习专题14二次函数与线段数量关系最值定值问题(学生版)
（全国通用）专题14二次函数与线段数量关系最值定值问题图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题．产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系．还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和．由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用．一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例．一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域．关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错．【例1】（2022•武汉模拟）抛物线y＝x2﹣2x+m的顶点A在x轴上，与y轴交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线CD∥AB交抛物线于C，D两点，若，求△COD的面积；（3）如图2，P为抛物线对称轴上顶点下方的一点，过点P作直线交抛物线于点E，F，交x轴于点M，求的值．【例2】（2022•黄石）如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．（1）A，B，C三点的坐标为，，．（2）连接AP，交线段BC于点D，①当CP与x轴平行时，求的值；②当CP与x轴不平行时，求的最大值；（3）连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．【例3】（2022•河南三模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A，B两点，交y轴于点C，OB＝2OC＝4OA，连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是抛物线y＝ax2+bx﹣4的图象上在第四象限内的一动点，DE⊥x轴于点E，交BC于点F．设点D的横坐标为m．①请用含m的代数式表示线段DF的长；②已知DG∥AC，交BC于点G，请直接写出当时点D的坐标．【例4】（2021•大庆）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等．①证明上述结论并求出点F的坐标；②过点F的直线l与抛物线y＝ax2+bx+c交于M，N两点．证明：当直线l绕点F旋转时，+是定值，并求出该定值；（3）点C（3，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P，Q的坐标．1．（2020•道里区二模）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝﹣+bx+3交x轴于A、B两点（点B在点A的右边）交y轴于点C，OB＝3OC．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点E是第一象限抛物线上的点，连接BE，过点E作ED⊥OB于点D，tan∠EBD＝，求△BDE的面积；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BC交DE于点Q，点K是第四象限抛物线上的点，连接EK交BC于点M，交x轴于点N，∠EMC＝45°，过点K作直线KT⊥x轴于点T，过点E作EL∥x轴，交直线KT于点L，点F是抛物线对称轴右侧第一象限抛物线上的点，连接ET、LF，LF的延长线交ET于点P，连接DP并延长交EL于点S，SE＝2SL，求点F的坐标．2．（2020•三明二模）如图，抛物线y＝x2+mx（m＜0）交x轴于O，A两点，顶点为点B．（Ⅰ）求△AOB的面积（用含m的代数式表示）；（Ⅱ）直线y＝kx+b（k＞0）过点B，且与抛物线交于另一点D（点D与点A不重合），交y轴于点C．过点C作CE∥AB交x轴于点E．（ⅰ）若∠OBA＝90°，2＜＜3，求k的取值范围；（ⅱ）求证：DE∥y轴．3．（2022•杜尔伯特县一模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E在x轴上，且∠ECB＝∠CBD，求点E的坐标．（3）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．①求线段PM长度的最大值．②在①的条件下，若F为y轴上一动点，求PH+HF+CF的最小值．4．（2020•江岸区校级一模）已知：抛物线y＝x2+x+m交x轴于A，B两点，交y轴于点C，其中点B在点A的右侧，且AB＝7．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点D在第一象限内抛物线上，连接CD，AD，AD交y轴于点E．设点D的横坐标为d，△CDE的面积为S，求S与d之间的函数关系式（不要求写出自变量d的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DH⊥CE于点H，点P在DH上，连接CP，若∠OCP＝2∠DAB，且HE：CP＝3：5，求点D的坐标及相应S的值．5．（2020•涡阳县一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．（1）求抛物线的解析式．（2）点P是直线上方的抛物线上的一个动点，求△ABP的面积最大时的P点坐标．（3）若点P是抛物线上的一个动点（不与点A点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB 于点E．当PE＝2ED时，求P点坐标；（4）设抛物线与y轴交于点F，在抛物线的第一象限内，是否存在一点M，使得AM被FC平分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，说明理由．6．（2021•桂林）如图，已知抛物线y＝a（x﹣3）（x+6）过点A（﹣1，5）和点B（﹣5，m），与x轴的正半轴交于点C．（1）求a，m的值和点C的坐标；（2）若点P是x轴上的点，连接PB，P A，当＝时，求点P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点M，使A，B两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足条件的点M的横坐标；若不存在，请说明理由．7．（2021•甘肃）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，直线BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C．点D为直线AB下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G，DG分别交直线BC，AB于点E，F．（1）求抛物线y＝x2+bx+c的表达式；（2）当GF＝时，连接BD，求△BDF的面积；（3）①H是y轴上一点，当四边形BEHF是矩形时，求点H的坐标；②在①的条件下，第一象限有一动点P，满足PH＝PC+2，求△PHB周长的最小值．8．（2021•丽水）如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣5），B（5，0）．（1）求b，c的值；（2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．①求点M的坐标；②将抛物线L向左平移m（m＞0）个单位得到抛物线L1．过点M作MN∥y轴，交抛物线L1于点N．P是抛物线L1上一点，横坐标为﹣1，过点P作PE∥x轴，交抛物线L于点E，点E在抛物线L对称轴的右侧．若PE+MN＝10，求m的值．9．（2020•陕西）已知抛物线L：y＝﹣x2+bx+c过点（﹣3，3）和（1，﹣5），与x轴的交点为A，B（点A 在点B的左侧）．（1）求抛物线L的表达式；（2）若点P在抛物线L上，点E、F在抛物线L的对称轴上，D是抛物线L的顶点，要使△PEF∽△DAB （P的对应点是D），且PE：DA＝1：4，求满足条件的点P的坐标．10．（2020•盘锦）如图1，直线y＝x﹣4与x轴交于点B，与y轴交于点A，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B和点C（0，4），△ABO沿射线AB方向以每秒个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为△DEF （点A，B，O的对应点分别为点D，E，F），平移时间为t（0＜t＜4）秒，射线DF交x轴于点G，交抛物线于点M，连接ME．（1）求抛物线的解析式；（2）当tan∠EMF＝时，请直接写出t的值；（3）如图2，点N在抛物线上，点N的横坐标是点M的横坐标的，连接OM，NF，OM与NF相交于点P，当NP＝FP时，求t的值．11．（2022•深圳三模）如图1，抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣5，0），点B（﹣1，﹣2）．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，点P为抛物线上第三象限内一动点，过点Q（﹣4，0）作y轴的平行线，交直线AP于点M，交直线OP于点N，当点P运动时，4QM+QN的值是否变化？若变化，说明变化规律，若不变，求（3）如图3，长度为的线段CD（点C在点D的左边）在射线AB上移动（点C在线段AB上），连接OD，过点C作CE∥OD交抛物线于点E，线段CD在移动的过程中，直线CE经过一定点F，直接写出定点F的坐标与的最小值．12．（2022•阿克苏地区一模）如图1．抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，已知点B（4，0）．（1）若C（0，3），求抛物线的解析式．（2）在（1）的条件下，P（﹣2，m）为该抛物线上一点，Q是x轴上一点求的最小值，并求此时点Q的坐标．（3）如图2．过点A作BC的平行线，交y轴与点D，交抛物线于另一点E．若DE＝7AD，求c的值．13．（2022•松江区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝2x+8与x轴交于点A、与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．（1）求抛物线的表达式；（2）P是抛物线上一点，且位于直线AB上方，过点P作PM∥y轴、PN∥x轴，分别交直线AB于点M、①当MN＝AB时，求点P的坐标；②联结OP交AB于点C，当点C是MN的中点时，求的值．14．（2022•游仙区模拟）如图，抛物线与坐标轴分别交于A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P，使得∠CBP＝∠ACO，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，Q是△ABC内任意一点，求++的值．15．（2022•龙岩模拟）抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，4）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式（用含a的式子表示）；（2）当a＞0时，连接AB，BC，若tan∠ABC＝，求a的值；（3）直线y＝﹣x+m与线段AB交于点P，与抛物线交于M，N两点（点M在点N的左侧），若PM•PN ＝6，求m的值．16．（2022•雷州市模拟）如图（1），抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣6，0）、B（2，0），与y轴交于点C，抛物线对称轴交抛物线于点M，交x轴于点N．点P是抛物线上的动点，且位于x轴上方．（1）求抛物线的解析式．（2）如图（2），点D与点C关于直线MN对称，若∠CAD＝∠CAP，求点P的坐标．（3）直线BP交y轴于点E，交直线MN于点F，猜想线段OE、FM、MN三者之间存在的数量关系，并证明．17．（2022•马鞍山二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于C点，直线y＝kx（k＜0）交线段BC下方抛物线于D点，交BC于E点（1）分别求出a、b的值；（2）求出线段BC的函数关系式，并写出自变量取值范围；（3）探究是否有最大值，若存在，请求出此时k值，若不存在，请说明理由．18．（2022•南岗区校级二模）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣ax2+6ax+6与y 轴交于点B，交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴于点C，且S△ABC＝30．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P为第一象限抛物线上一点，其横坐标为t，PD⊥x轴于点D，设tan∠P AD等于m，求m与t之间的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，当m＝时，过点B作BN⊥AB交∠P AC的平分线于点N，点K在线段AB上，点M在线段AN上，连接KM、KN，∠MKN＝2∠BNK，作MT⊥KN于点T，延长MT交BN 于点H，若NH＝4BH，求直线KN的解析式．19．（2022•江汉区校级模拟）如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）若C（0，﹣3），求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，E是线段BC上一动点，AE交抛物线于F点，求的最大值；（3）如图2，点N为y轴上一点，AN、BN交抛物线于E、F两点，求•的值．20．（2022•成都模拟）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标及抛物线的对称轴；（2）如图1，点P（1，m），Q（1，m﹣2）是两动点，分别连接PC，QB，请求出|PC﹣QB|的最大值，并求出m的值；（3）如图2，∠BAC的角平分线交y轴于点D，过D点的直线l与射线AB，AC分别于E，F，当直线l 绕点D旋转时，是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．21．（2022•沈阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点（点A 在点B左侧），与y轴交于点C，直线l：y＝kx+b经过点B，点C，点P是抛物线上一动点，连接OP交直线BC于点D．（1）求直线l的解析式；（2）当＝时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点N是直线BC上一动点，连接ON，过点D作DF⊥ON于点F，点F在线段ON上，当OD＝DF时，请直接写出点N的坐标．22．（2022•沈阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣过点A（3，2）和点B （，0），与x轴的另一个交点为点C．（1）求抛物线的函数表达式．（2）判断△ABC的形状，并说明理由．（3）点D在线段BC上，连接AD，作DE⊥AD，且DE＝AD，连接AE交x轴于点F．点F不与点C 重合，射线DP⊥AE，交AE于点P，交AC于点Q．①当AD＝AF时，请直接写出∠CAE的度数；②当＝时，请直接写出CQ的长．。
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2022年河南省新乡市中考数学总复习：二次函数
1．如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（）
A．16B．17C．24D．25
【解答】解：∵在▱ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，
∴∠BAF＝∠F，
∴∠DAF＝∠F，
∴DF＝AD＝15，
同理BE＝AB＝10，
∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5；
∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8，
在Rt△ABG中，AG=√AB2−BG2=√102−82=6，
∴AE＝2AG＝12，
∴△ABE的周长等于10+10+12＝32，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CF，
∴△CEF∽△BEA，相似比为5：10＝1：2，
∴△CEF的周长为16．
故选：A．
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E、F在AD边上，BF和CE交于点G，
若EF=1
2AD，则图中阴影部分的面积为（）
A．25B．30C．35D．40【解答】解：过点G作GN⊥AD于N，延长NG交BC于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵EF=1
2AD，
∴EF=1
2BC，
∵AD∥BC，NG⊥AD，
∴△EFG∽△CBG，GM⊥BC，∴GN：GM＝EF：BC＝1：2，又∵MN＝AB＝6，
∴GN＝2，GM＝4，
∴S△BCG=1
2
×10×4＝20，
∴S△EFG=1
2
×5×2＝5，S矩形ABCD＝6×10＝60，
∴S阴影＝60﹣20﹣5＝35．
故选：C．
3．中国的陆地面积约为9600000平方公里，9600000用科学记数法表示为（）
A ．0.96×107
B ．9.6×107
C ．9.6×106
D ．96.0×105
【解答】解：将9600000用科学记数法表示为：9.6×106．
故选：C ．
4．下列各图是由5个大小相同的小立方体搭成的几何体，其中主视图和左视图相同的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：依次画出题设选项的主视图和左视图如下：
故选：D ．
5．下列图形中是中心对称图形的是（ ）
A ．平行四边形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．正五边形
【解答】解：A 、是中心对称图形，故此选项符合题意；
B 、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C 、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D 、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：A ．
6．已知a b =25，则a+b b 的值为（ ）
A ．25
B ．35
C ．75
D ．23 【解答】解：∵a b =25，
∴设a ＝2x ，b ＝5x ，
∴a+b b =2x+5x 5x =75． 故选：C ．
7．已知a ≠0，下列运算中正确的是（ ）
A ．3a +2a 2＝5a 3
B ．6a 3÷2a 2＝3a
C ．（3a 3）2＝6a 6
D ．3a 3÷2a 2＝5a 5 【解答】解：由于a 和a 2不是同类项，不能合并，故选项A 错误；
6a 3÷2a 2＝3a ，计算正确，故选项B 正确；
（3a 3）2＝9a 6≠6a 6，故选项C 错误；
3a 3÷2a 2＝1.5a ≠5a 5，故选项D 错误．
故选：B ．
8．将一副直角三角板（∠A ＝∠FDE ＝90°，∠F ＝45°，∠C ＝60°，点D 在边AB 上）按图中所示位置摆放，两条斜边为EF ，BC ，且EF ∥BC ，则∠ADF 等于
（ ）
A ．70°
B ．75°
C ．80°
D ．85°
【解答】解：如图所示，CB 与FD 交点为G ，
∵EF ∥BC ，
∴∠F ＝∠BGD ＝45°，
又∵∠ADG 是△BDG 的外角，∠B ＝30°，
∴∠ADG ＝∠B +∠BGD ＝30°+45°＝75°，
故选：B ．
9．某校男子篮球队10名队员进行定点投篮练习，每人投篮10次，将他们投中的次数进行统计，制成下表：
投中次数
3 5 6 7 8 9 人数 1 3 2 2 1 1
则这10名队员投中次数组成的一组数据中，众数和中位数分别为（ ）
A ．5，6
B ．2，6
C ．5，5
D ．6，5
【解答】解：由表可知，这10个数据中数据5出现次数最多，所以众数为5，
∵上从小到大排序后中位数为第5、6个数据的平均数，且第5、6个数据均为6， ∴这组数据的中位数为
6+62=6，
故选：A ．
10．已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（ ）
A ．13
B ．17
C ．13或17
D ．13或10 【解答】解：①当腰是3，底边是7时，不满足三角形的三边关系，因此舍去． ②当底边是3，腰长是7时，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17．
故选：B ．
11．在平面直角坐标系中，第二象限内有一点M ，点M 到x 轴的距离为5，到y 轴的距离为4，则点M 的坐标是
（ ）
A ．（5，4）
B ．（4，5）
C ．（﹣4，5）
D ．（﹣5，4）
【解答】解：设点M 的坐标是（x ，y ）．
∵点M 到x 轴的距离为5，到y 轴的距离为4，
∴|y |＝5，|x |＝4．
又∵点M在第二象限内，
∴x＝﹣4，y＝5，
∴点M的坐标为（﹣4，5），
故选：C．
12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6cm，BC＝8cm．则EF的长是（）
A．2.2cm B．2.3cm C．2.4cm D．2.5cm
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，BD＝AC，BO＝OD，
∵AB＝6cm，BC＝8cm，
∴由勾股定理得：AC=√AB2+BC2=√62+82=10（cm），
∴BD＝10cm，DO＝5cm，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴EF=1
2OD＝2.5cm，
故选：D．
13．由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的原售价为（）
A．230元B．250 元C．270元D．300 元
【解答】解：设该商品的原售价为x元，
根据题意得：75%x+25＝90%x﹣20，
解得：x＝300，
则该商品的原售价为300元．
故选：D．。