高中数学必修二 8 3 2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 导学案

8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

1.通过对圆柱、圆锥、圆台的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积的求法；

2．会求与圆柱、圆锥、圆台、球有关的组合体的表面积与体积；

3.会用球的体积与表面积公式解决实际问题；

4．会解决球的切、接问题．

1.教学重点：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积；

2.教学难点：与圆柱、圆锥、圆台、球有关的组合体的表面积与体积会解决球的切、接问题。

1．圆柱、圆锥、圆台的表面积

2.圆柱、圆锥、圆台的体积公式

V圆柱＝(r是底面半径，h是高)，

V圆锥＝(r是底面半径，h是高)，

V圆台＝(r′、r分别是上、下底面半径，h是高)．

3．球的表面积

设球的半径为R，则球的表面积S＝，即球的表面积等于它的大圆面积的

倍．

4．球的体积

设球的半径为R ，则球的体积V ＝ 3.

一、探索新知

思考1：圆柱的展开图是什么？怎么求它的表面积？

思考2：圆锥的展开图是什么？怎么求它的表面积？

思考3：参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么 ，它的表面积是什么？

思考4：圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？

思考5：根据圆台的特征，如何求圆台的体积？

思考6：圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式，你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、椎体、台体的体积公式之间又有什么关系？

1.球的表面积公式：24S R π=球（R 为球的半径）

例1.如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m ，圆柱高0.6m ，如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg 涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？

思考7：在小学，我们学习了圆的面积公式，你记得是如何求得的吗？类比这种方法，你能由球的表面积公式推导出球的体积吗？

例2.如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比。

1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为()

A．1∶2B．1∶3

C．1∶ 5 D.3∶2

2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的

半径为( )

A ．7

B ．6

C ．5

D ．3

3．已知圆台上、下底面半径分别为1,2，高为3，则圆台体积为 ．

4．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为 ．

5．一个正方体的八个顶点都在体积为43

π的球面上，则正方体的表面积为 ． 6．已知圆锥的底面半径为2，高为5，求这个圆锥的体积．

7．(1)已知球的直径为2，求它的表面积和体积；

(2)已知球的体积为108π3

，求它的表面积．

这节课你的收获是什么？

参考答案：

思考1.圆柱的侧面展开图为矩形

)(2222l r r rl r S +=+=πππ圆柱表面积

思考2圆锥的侧面展开图是扇形

)(2l r r rl r S +=+=πππ圆锥表面积

思考3.圆台的侧面展开图是扇环

)(22rl l r r r S +'++'=π圆台表面积

思考4.

思考5.由于圆台是由圆锥截成的，因此可以利用两个锥体的体积差．得到圆台的体积公式(过程略)．

h S S S S V )(31+'+'=

其中S ，S '分别为上、下底面面积，h 为圆台（棱台）的高．

思考6.

例1.解：一个浮标的表面积为

)(8478.015.046.015.0222m =⨯+⨯⨯ππ

所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料

)(9.42310005.08478.0kg =⨯⨯

思考7 第一步，分割

球面被分割成n 个网格，连接球心O 和每个

小网格的顶点。

设“小锥体”的体积为：i V ∆

则球的体积为：n V V V V V ∆++∆+∆+∆= (321)

第二步，求近似和

i i i h S V ∆∆≈∆3

1 所以

n V V V V V ∆++∆+∆+∆= (321)

n n h S h S h S h S V ∆∆++∆∆+∆∆+∆∆≈3

1...313131332211 如果网格分的越细,则:“小锥体”就越接近小棱锥。i h ∆的值就趋向于球的半径R ，

R S V i i ∆=∆∴3

1 R S R S R S R S V n i ∆++∆+∆+∆=3

1...31313132 RS S S S S R n i 3

1)...(3132=∆++∆+∆+∆= 因为24S R π=，所以球的体积为33

4R V π= 例2.解：设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R 。

.22R 3

4323R R R V V πππ=⋅==圆柱球， .3

22R 3433==∴R V V ππ：：圆柱球

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1.【答案】C

【解析】设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝5r .∴S 侧＝πrl ＝5πr 2，S 底＝πr 2.则S 底∶S 侧＝1∶5.

2.【答案】A

【解析】设圆台较小底面半径为r ，则另一底面半径为3r .由S ＝π(r ＋3r )·3＝84π，解得r ＝7.

3.【答案】7π

【解析】由已知圆台上、下底面积分别为

S 上＝π，S 下＝4π.

则V 圆台＝13

·(π＋π·4π＋4π)·3＝7π. 4.【答案】6π

【解析】由底面周长为2π可得底面半径为1.S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝4π，所以S 表＝S 底＋S 侧＝6π.

5.【答案】8

【解析】设球的半径为R ，正方体的棱长为a ，

则43πR 3＝43π，故R ＝1，由3a ＝2R ＝2，所以a ＝23

，所以正方体的表面积为S ＝6a 2＝6×⎝⎛⎭⎫232＝8. 6.【解析】由题意V 锥体＝13Sh ＝13πr 2·h ＝20π3

. 7.【解析】 (1)由R ＝1，所以S 球＝4πR 2＝4π，V ＝43πR 3＝43π. (2)由V ＝43πR 3＝1083

π， 所以R ＝3，所以S ＝4πR 2＝36π.