数的整除特征
数的整除特征
1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
（4）若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
（7）Ⅰ. 若这个数的个位、十位、百位三个位上的数组成的三位数，与余下数位上的数组成的数的差能被7整除，这个数就能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「拆分、求差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，例如判断6139是否7的倍数的过程如下：139－6＝133，11|133，所以6139是7的倍数。
又如判断12966586是否7的倍数的过程如下：12966－586=12380，380－12=368，由于11|368不成立，所以12966586不是7的倍数，余类推。
Ⅱ. 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
（10）若一个整数的末位是0（能同时被2与5整除），则这个数能被10整除。
（11）Ⅰ. 若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
Ⅱ. 11的倍数检验法也可用上述检查7的第Ⅰ种方法处理。
数的整除特征
如：22，33
22÷11=2(整除）
33÷11=3(整除）
如：23，34
23÷11=2.090909(不能整除）
34÷11=3.090909(不能整除）
13的整除特征
若一个整数的个位数字截去，再从余下 的数中，加上个位数的4倍，如果差是13 的倍数，则原数能被13整除。
如：665 665÷13=15(整除） 如：14 14÷13=1.07692308(不能整除）
除）
7的整除特征
被7整除若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中， 减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7 整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需 要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直 到能清楚判断为止。
如：133 13－3×2＝7 ， 7÷7=1(整除） 如：12 12÷7=1.741857(不能整除）
数的整除特征
研究内容： 2、3、5、7、9、11、13等数的整除特征 同学们，你们有没有在做题时遇到除数是2、
3、5、7、9、11、13的情况呢？如果有， 是不是很难算呢？那么今天就让我们来 揭开他们的秘密吧！
2的整除特征
被2整除的数是偶数。 如：2，4，6，8 2÷2=1(整除） 4÷2=2(整除） 6÷2=3(整除） 8÷2=4(整除） 如：3，5 3÷2=1.5(不能整除） 5÷2=2.5(不能整
小测试
200÷2 21÷3 55÷5 147÷7 46÷9 67÷11 123÷13
答案是前四个可以，后三个不行。
你都算对了吗？
除）
3的整除特征
被3整除的数必须各个位数上的数加起来 为3的倍数。
如：147＝1+4＋7＝12 147÷3=49(整除） 如：136＝1＋3＋6＝10 136÷3=45.33333333.......(不能整除）
小学五年级奥数--数的整除特征(1)
今日作业
1.只修改970405的某一个数字，就可使修改后的六位数能 被225整除，修改后的六位数是_____。
（安徽省1997年小学数学竞赛题）
2.在3□2□的方框里填入合适的数字，使组成的四位数是能 被15整除的数中最大的一个，这个数是多少？
（山东省1997年小学生数学竞赛初赛试题）
3.一位采购员买了72只桶，在记账本上记下这笔账。由于他 不小心，墨汁落在账本上把这笔账的总数污掉了两个数字。 账本是这样写的：72只桶，共用去□67.9□元（□为被污掉 的数字），请你帮忙把这笔账补上。应是____元。
征可知x＝ 5 ；
当y＝5时，根据 9︱x1993 y 及数的整除特
征可知x＝9
答：满足条件的六位数是 519930或
。
919935
• （2）李老师为学校一共买了28支价格相同 的钢笔，共付人民币9□.2□元，已知□处 数字相同，请问：每支钢笔多少元？
• 分析：由28支钢笔的价格相同可知，总钱 数9□.2□是28 的倍数，同上面的解题思路 类似，可以用数的整除性质和数的整除特 征结合起来解答。
和或差也能被c整除。
•
• 你能再举出一个例子吗？
数的整除性质2
• 2、我们再来看一组例子： • ① 15能整除45，3×5＝15，3和5都能整除
45吗？ • ② 3×7＝21，21能整除84，3和7都能整除
84吗？ • ③ 5×9＝45，45能整除135，5和9都能整除
135吗？ • 上面的3个例子有什么共同点？ • 如果一个数能被两个数的积整除，它能被这两个
• 例如 8整除324685008 ， 9整除 324685008 且8，9，互质
• 那么 72︱324685008。
能被99整除数的特征
能被99整除数的特征
99是一个特殊的整数，任何能被99整除的数都有一些独特的特征，这些特征
使它们成为一组特殊的数字。
首先，99可以被11整除，这意味着它的所有因数都是11的倍数。这样的数
字可以通过减少等于11的次方，即 11^2、11^3、11^4 等等来计算出。例如，99
= 11^2，故99可以被11整除。
其次，99可以被3整除，它也有自己的特征。99= 3^2 * 11，所以99可以被
3整除。因此，99可以分解成3的平方乘以11，即3^2、3^3、3^4等等。
另外，99可以被9整除。99 = 9 * 11，所以99可以被9整除，得到的结果
是9的倍数。即9、18、27、36、45、54、63、72、81、90等等。
最后，99可以被99整除。因为99 = 99，所以可以说99是一个完美的数字。
这意味着任何可以被99整除的数字，它们的因数都可以被99整除。一般来说，所
有可以被99整除的数字都可以分解为99的倍数，包括1、2、3、4、5、6、7、8、
9、10、11、12等。
总之，99是一个特殊的整数，能被99整除的数字都有自己独特的特征。它们
的因数可以被11、3、9和99整除，而且它们也可以被等于11的次方和3的次方
所分解。
数的整除特征(下)
千里之行，始于足下。
数的整除特征（下）99的整除特征能否被99整除是把多位数从个位开始两位一段，看所有的数段和能否被99整除一、特征应用⑴(★★)(希翼杯试题)六位数20□□08能被99整除，□□是________。
⑵(★★)(迎春杯试题)已知九位数2007□12□2既是9的倍数，又是11的倍数；那么，这个九位数是多少？⑶(★★★)111213…9899除以99的余数是多少？(★★★)请从1、2、3、4、5、6、7这7个数字中选出5个组成一个五位数，使它是99的倍数。
这个五位数最大是多少？二、综合考察第1 页/共 3 页朽木易折，金石可镂。
倘若六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？【拓展】(★★★)有一个六位数，前四位是2857，即2857□□，这六位数能被11和13整除。
求出后两位数。
在六位数1111□□中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除。
方框中的两位数是多少？(★★★★)有15位学生，每位学生都有编号，他们是1号到15号。
1号学生写了一个天然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”，…，依次下去，每位学生都说，这个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，惟独编号相邻的两位学生说得不对，其余学生都对，问：说得不对的两位学生，他们的编号是哪两个延续天然数？(★★★★)(★★★)(★★★★★)千里之行，始于足下。
用1、2、3、4、5、6这6个数字能组成多少个被11除余5的六位数？一、数的整除特征1．末位系：2，5；4，25；8，125能否被2和5整除是看末一位能否被4和25整除是看末两位能否被8和125整除是看末三位2．和系：3，9，99能否被3，9整除是看数字之和是否，3，9的倍数这个数除以9的余数和这个数数字之和除以9的余数相同能否被99整除是把多位数从个位开始两位一段，看所有的数段和能否被99整除3．差系：7，11，13能否被7，11，13整除逻辑是把数从末三位断开，用末三位与末三位之前的数做差，看这个差是否为7，11，13的倍数能否被11整除逻辑是从右开始数奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是否为11的倍数这个差除以11余几就代表这个数除以11余几4．拆分系：72＝8×9，12＝3×4，1001＝7×11×13…二、经典例题数的整除特征(上)：例2，例3，例5数的整除特征(下)：例1，例3，例6第3 页/共 3 页。
数的整除特征总结(精选)
最小三位数：120
最大三位数：990
120+990=1110
2.在0,1,2,3，…，100这101个整数中，能被2或3整除的数一 共有（ 67 ）个。
100÷2=50
100÷3=33……1
100÷6=16……4
50+33-16=67
例1、在下面的数中，那些能被4整除？哪些能被8整除？哪些 能被9整除？ 234,789,7756,8865,3728,8064。
解： 被4整除：7756,3728,8064
被8整除：3728,8064
被9在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四 位数分别能被9,8,4整除？
你学会了吗？
分析：被9整除：数字之和能被9整除，则这个数能被9整除。 被8整除：未三位数能被8整除，则这个数能被8整除。 被4整除：末两位能被4整除，则这个数能被4整除。
3.解：能被2整除：360,362,364，366,368 能被3整除：360,363,366,369 既能被2整除又能被3整除：360,366 所以，最大的和最小的分别是360和366。
你做对了么？
例4.五位数A329B能被72整除，问：A与B各代表什么数字？
分析：将72拆分成8和9。根据能被8整除的数字规律，可得出B=6。再根 据能被9整除的数字规律，可以得出A=7。
从小到大排序：270,570,720,750
性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除， 那么甲数一定能被丙数整除。
性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的 和与差也一定能被这个自然数整除。
性质3 如果一个数能分别被两个互 质的自然数整除，那么这个数一定 能被这两个互质的自然数的乘积整 除。
能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征
能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c 整除。
性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
能被2整除的数，个位上的数是0、2、4、6、8、的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被4整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么，这个数就一定能被4或25整除．例如：4675＝46×100＋75由于100能被25整除，100的倍数也一定能被25整除，4600与75均能被25整除，它们的和也必然能被25整除．因此，一个数只要末两位数能被25整除，这个数就一定能被25整除．又如： 832＝8×100＋32由于100能被4整除，100的倍数也一定能被4整除，800与32均能被4整除，它们的和也必然能被4整除．因此，因此，一个数只要末两位数字能被4整除，这个数就一定能被4整除．能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除能被6整除的数，个数位上的数字和能被3整除的偶数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
能被8整除的数，百位、个位和十位所组成的三位数能被8整除，那么这个数能被8整除能被9整除的数，各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数能被9整除能被10整除的数，如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能被10整除（即个位数为零）能被11整除的数，奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除，则该数就能被11整除。
数的整除特征
数的整除月日姓名【教学重点】熟练掌握能被2、5、3、9、6整除的数的特征。
【教学难点】掌握能被6整除的数的特征。
【知识要点】1．整除概念：一个整数除以另一个整数，得到的商也是一个整数，叫做整除。
2．较常见数的整除特征：（一）能被2、5、4、25、8、125整除的数的特征：①末一位能被2或5整除；②末两位能被4或25整除；③末三位能被8或125整除。
（二）能被3、9整除的数的特征：各位数字之和能被3或9整除。
（三）能被6整除数的特征：既能被2整除又能被3整除。
【典型例题】例1 谁能又快又好的写出下面的答案（千万不要落下一个噢）26□4能被2整除259□能被5整除2□93能被3整除6□93能被9整除51□4能被4整除63□□能被25整除61□6能被8整除98□□□能被125整除例2 5□4□（1）能同时被5和9整除。
（2）能被45整除呢？例3 7□11□（1）能被12整除。
（2）能被36整除。
例4 六位数A22能被4整除，且它的末两位数字组成的两位数3A是6的倍数，那么A A33为多少？45这个四位数，同时能被2，3，4，5，9整除，求此四位数。
例5 AB随堂小测姓 名 成 绩1．能被2整除的所有符合条件的数。
2．能被5整除的所有符合条件的数。
762□ 847□ 870□ 963□2．能被3整除的所有符合条件的数。
4．能被9整除的所有符合条件的数。
93□76 876□3 9□391 80□13．能被4整除的所有符合条件的数。
6．能被25整除的所有符合条件的数。
87□4 832□ 81□□ 987□54．能被8整除的所有符合条件的数。
7312□ 79□525．能被125整除的所有符合条件的数。
73□25 79□5□6．四位数B A 18能同时被5，6整除，这个四位数是 。
课后作业姓名成绩1．能被6整除的所有符合条件的数。
392□ 768□2．六位数1803※6能被12整除，其中※位数字是。
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WORD格式-专业学习资料-可编辑 学习资料分享 数的整除特征 1、一个整数的末尾一位数能被2或5整除，那么这个数就能被2或5整除。 2、一个整数的末尾两位数能被4或25整除，那么这个数就能被4或25整除。 3、一个整数的末尾三位数能被8或125整除，那么这个数就能被8或125整除。 4、能被9和3整除的数的特征，如果各位上的数字和能被9或3整除，那么这个数能被9 或3整除。 5、一个整数的末尾三位数与末尾三位数以前的数字组成的数的差（大数减小数）能被 7、11、13整除，那么这个数就能被7、11、13整除。 6、一个整数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字之和的差（大减小）能被11整除，这个数就能被11整除。
【例1】七位数 23A45AB 一一一一一一一 能被15整除，A与B 可以是哪些数字？
【例2】从0， 4， 9， 5这四个数中任选三个排列成能同时被2， 5， 5 整除的三位 数。问：这样的三位数有几个？ WORD格式-专业学习资料-可编辑
学习资料分享 【例3】五年级（1）班有36名同学，每人买了一本英语词典，共花了6 2. 元， 问：每本词典多少钱？
【例4】在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3,4,5整除，而且使这个数尽可能小。
【例5】要使27A3B一一一一一一这个五位数能被44整除，那么个位，百位各应该是几？ 【例6】能被11整除，首位数字是6，其余各位数字均不相同的最大与最小六位数分别是几？ WORD格式-专业学习资料-可编辑
学习资料分享 数的整除专项练习： 1、五位数6A25B一一一一一一一一的A，B各是什么数字时，这个五位数能被75整除？问：这样的五位数共有几个？
2、在 内填上合适的数使七位数167 20 能被72整除。 3、在1978后面补上三个数字，组成一个七位数，使它能同时被3,4,5整除，并且使这个数尽可能小。
4、若一个六位数 7419 能被11整除，求这个六位数。 WORD格式-专业学习资料-可编辑
学习资料分享 5、能被11整除，首位数字是6，其余各位数字均不相同的最大和最小六位数分别是几？
6、一个六位数37A46B一一一一一一一一是99的倍数，求这个数除以33的商。 7、在97538 的 内填上什么数字，就能被15整除？填上什么数字就能被45整除？填上什么数字就能被21整除？
8、四年级有72名学生，共交5月份课间营养加餐费 04.3 元（ 内的数字模糊不清）。平均每人交多少钱？ WORD格式-专业学习资料-可编辑
学习资料分享 9、四位数841 能被2和3整除， 中应填（ ）。 10、在下列各数中，能被3整除，又能被11整除的是（ ）。 1001 2375 1155 3772 1515 8415 11、在 里填上适当的数字，使 674 这个数能同时被2、5、9整除。 12、一个数能被11整除，首位数字是7，其余各位数字各不相同的最小六位数是什么？
13、如果六位数 8919 能被33整除，那么这个六位数是多少？ 14、能同时被9、25、8整除的7位数是 1992 ，这个七位数是多少？ 15、五位数2A89B一一一一一一一能同时被4和9整除，求这样的五位数。 WORD格式-专业学习资料-可编辑
学习资料分享 16、自然数1—100中，共有多少个不能被3或11整除的数？
17、判断306741， 3287690 能否被7整除，能否被13整除？
18、五（1）班数学测验平均分90分，总分A86B一一一一一一。问这个班多少名同学？ 19、七位数72AAABB是6的倍数，问，这样的七位数有几个？ 20、在1—100这100个自然数中，不能被2整除，或者不能被3整除，不能被5整除的数有几个？ WORD格式-专业学习资料-可编辑
学习资料分享 质数与合数，分解质因数 1、质数:只能被1或它本身整除的自然数。 合数：除了能被1和它本身整除外还能被其他一些自然数整除的数。 2、质数除了2以外，其余的全都是奇数。 3、100以内质数顺口溜： 二、三、五、七、一十一， 一三、一九、一十七， 二三、二九、三十七， 三一、四一、四十七， 四三、五三、五十九， 六一、七一，六十七， 七三、八三，八十九， 还有七九，九十七。
【例1】A是一个质数，而且A+6，A+8，A+12，A+14都是质数，求A。
【例2】有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是143，如果它的长、宽、高都是质数。那么这个长方体的体积是多少？ WORD格式-专业学习资料-可编辑
学习资料分享 【例3】有4名同学参加数学夏令营，他们的年龄恰好一个比一个大1岁，而他们年龄的乘积是17160.他们分别是多少岁？
【例4】写出从小到大的五个质数，要求后面的质数都比它前面一个质数大12。 【例5】（1）如果两个质数的和是1999，那么这两个质数的积是多少？ （2） 如果三个质数和是130，那么这三个质数的积最大是多少？
【例6】小瑜同学参加高年级数学竞赛，她的成绩、名次及年龄的乘积是3492。问：小瑜的年龄、名次、成绩各是多少？ WORD格式-专业学习资料-可编辑
学习资料分享 分解质因数专项练习： 1、写出50以内5个连续自然数，要求每个数都是合数。
2、把一个一位数的质数A，写在另一个两位数质数B的后面，得到一个新的三位数，这个三位数是A的119倍，求A和B。
3、一个整数a 与720相乘是一个完全平方数，求a的最小值。 4、有五位同学的年龄恰好一个比一个大一岁，五个人的年龄乘积是95040。问：这五个同学的年龄各是多少？
5、一个质数的3倍与另一个质数的2倍之和为100，求这两个质数的积是多少？ WORD格式-专业学习资料-可编辑
学习资料分享 6、岸上有867名学生，准备乘船到对岸，来了一批小船，每船载人数相等，3次往返把学生全部运到对岸。有多少只船？每船每次载多少人？
7、用2,3,4,5中的3个数码能组成的三位质数是（ ）。 8、已知M×N+5=ᵡ，其中M,N,为质数，而且都小于1000，ᵡ 为奇数，问ᵡ 最大是多少？
9、3个质数的和是能被2、3整除的最小三位数，这3个质数的积最小是多少？最大是多少？
10、长方体的体积是2100立方厘米，它的高是10厘米，长和宽都大于高。求长方体的长和宽各是多少？
11、一个长方体，它的正面和上面面积之和是299平方厘米，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？ WORD格式-专业学习资料-可编辑 学习资料分享 奇偶数分析： 1、 能被2整除的自然数叫偶数，不能被2整除的自然数叫奇数。依据因数、被除数、除数的奇偶性可判断积、商的奇偶性；依据加数、被减数、减数的奇偶性可判断和、差的奇偶性。 2、奇、偶数的运算性质：奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数;奇数±偶数=奇数；奇数×奇数=奇数；偶数×偶数=偶数，偶数×奇数=偶数；奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶数个奇数的和（或差）是偶数；任意个偶数和是偶数；奇数的连乘积是奇数；因数中有一个偶数，积是偶数。
【例1】 1+2+3+…+1997的和是奇数还是偶数
【例2】 有一本180页的故事书，从中任意撕下40张纸，这40张纸的所有页码之和能否等于2009？请说明理由。
【例3】某次数学竞赛，试卷共有30道题，评分方法是：答对一题得5分，不答得1分，答错倒扣1分。问：某班参加数学竞赛同学的总分是奇数还是偶数？ WORD格式-专业学习资料-可编辑
学习资料分享 【例4】有11只杯口向上的杯子放在桌上，每次将其中8只杯同时翻转，使其杯口向下，能否经过若干次翻动后，11只杯口全部向下？
【例5】幼儿园有25名小朋友，坐成5行5列。每个座位的前后左右的位置叫做这个位置的邻座。如果想让每一个小朋友都换到邻座上去，能成功吗？为什么？
【例6】某展览馆共有36个陈列室，相邻两室之间都有门通行，有人希望每个展览馆只去一次，你能帮他设计参观路线吗？ WORD格式-专业学习资料-可编辑
学习资料分享 奇偶数分析专项练习： 1、25人参加羽毛球比赛，能不能让每个队员都恰好与另5个球员各赛一场，为什么？
2、电影院小放映厅有50个观众，坐成10行5列。每个座位的前后左右的位置叫做这个位置的邻座。如果想让每一个观众都换到邻座上去，能成功吗？为什么？
3、从1—1995中，共有多少个奇数？多少个偶数？ 4、（1+2+3+4+5+...+99+100）×（1+2+2+3+3+3+4+4+4+4+...+11）的积是奇数还是偶数？ WORD格式-专业学习资料-可编辑
学习资料分享 5、49个学生做游戏，每一次都有8个学生向后转。能不能经过若干次的向后转，使每个学生全部都转过身去？
6、五年级二班参加数学竞赛，试题共有50道。评分标准是：答对一题得3分，不答得1分，答错倒扣1分。问：请你说明这个班参加数学竞赛同学的总分一定是偶数。
7、能不能用8张1×3的长方形纸片完全盖住下面的图。
8、正方形的展厅如下图，共分16个展室，每个展室之间互通，你能不能设计一条路线，使参观的人不重复地走完全部展室？