数的整除特征及应用
5.1 数的整除特征及其应用
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例1
有一个四位数 3AA1 ，它能被9整除，那么A 是几？
能被9整除的数的特征：这个四位数各个数位上 的数字之和是9的倍数。
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例1
有一个四位数 3AA1 ，它能被9整除，那么A 是几？
（1）若和为9
A=(9－3－1)÷2=2.5 ×
（2）若和为18
A=(18－3－1)÷2=7 √
（3）若和为27
可以先计算出买铅笔和圆珠笔用去多少钱。 为了避免出现小数，我们把单位统一化为 分计算。
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例5
小红买了7支铅笔、5支圆珠笔、8本笔记本和 12块橡皮，总共用去4元5角。已知铅笔8分一 支，圆珠笔3角6分一支。问售货员的账有没有 算错？
4元5角=450分 3角6分=36分
7支铅笔和5支圆珠笔的总价钱为： 8×7+36×5=236（分）
943÷7=134……5 ○≠0
963－424=539 539÷7=77
是7的倍数 ○=4
963－828=135 不是7的倍数 135÷7=19……2 ○≠8
精品课件
综上所述，可知 ○=4
9634.24÷28=344.08（元）
答：每盒办公文具盒344.08元。
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例5
小红买了7支铅笔、5支圆珠笔、8本笔记本和 12块橡皮，总共用去4元5角。已知铅笔8分一 支，圆珠笔3角6分一支。问售货员的账有没有 算错？
A=(27－3－1)÷2=11.5 ×
答：A是精7品。课件
例2
五位数 94○3○ 中的○内填什么数字，才能被3
和5同时整除，请把这些数写出来。
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例2
五位数 94○3○ 中的○内填什么数字，才能被3
数的整除特征(一)教案
数的整除特征（一）新课引入：数的整除问题是整数的内容中最基本的问题。
常见数的整除特征如下：（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
（4）若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
（10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。
（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！如121，1375。
（12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
（13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
如312。
新课讲授：例1．在能被2,3,5整除。
能被2,3,5和5整除的数的特征是个位上的数字必须是0，里填能被3+9+0的和能被3整除，那有几种呢？填1,4,7.符合条件的有2190,2490,2790。
六年级上册第18讲 数的整除特征 1讲义
【知识与方法】
【经典例题】
【例1】在下面的□里填上一个适当的数字，使得：
（1）
3的倍数，又是5
的倍数； （2）2的倍数，又是3的倍数。
【例2】从0、3、5、7四个数字中任选3个，排成能同时被2、3、5整除的三位
数。
这样的三位数共有哪几个？
练一练：既能被2整除，又是3的倍数，还有约数5的最小两位数是（ ），
最大两位数是（ ）
【例3】首位数字是9，各位上的数字互不相同，并且能同时被2、3整除的七位数
中，最小是几？
【例4】在□里填上适当的数字，使既能被9整除，又能被2整除。
【例5】六位数865abc 能被3、4、5整除，要使865abc 尽可能小，a 、b 、c 之和
是多少？
【例6】四位数2□□□是45的倍数，符合这一要求的四位数共有多少个？
练一练：五位数5A69B 能同时被4和9整除，求符合要求的五位数。
【例7】有一个四位数是45ab ，同时能被2、3、4、5、9整除，求出这个四位数。
【例8】已知a 、b 、c 、d 是各不相同的数字，a ＋b ＋c ＝18，b ＋c ＋d ＝23，四位
数badc 被5除余3，四位数abcd abcd 是多少？
练一练：在8264的左右各添一个数码，使新得到的六位数能被45整除。
5.1数的整除特征及其应用
01 数的整除特征及其应用学习目标:1、理解整除的意义，能判断一个数能否被另一个数整除。
2、理解整除的两种说法，a能被b整除与b能整除a，知道除尽与整除的区别。
3、理解一些特殊数的倍数特征，熟练掌握能被它们整除的数的特征。
4、会灵活的运用数的整除整除特征解决相关的数学问题。
教学重点:1、理解整除的两种说法，a能被b整除与b能整除a，知道除尽与整除的区别2、理解一些特殊数的倍数特征，熟练掌握能被它们整除的数的特征。
教学难点：会灵活的运用数的整除整除特征解决相关的数学问题。
教学过程：一、情景体验师：昨天，老师去到文具店购买了8本笔记本和12支钢笔，售货员告诉老师8本笔记本和12支钢笔共需要支付74元，老师当即判断说：“你肯定算错了”，同学们你们知道老师是如何快速的判断售货员算错了吗？同学们想不想学习老师的这个本事呢？（想）今天这堂课我们就一起来学习一下数的整除特征，通过今天这节课程的学习，老师相信同学们也能和老师一样快速的进行判断。
师：首先，我们一起来回顾一下数的倍数特征，考查一下大家对于一些特殊的数的倍数特征掌握的如何？快问快答哦！2的倍数特征是什么？生：个位上是0、2、4、6、8的数。
师：5的倍数特征是什么呢？生：个位上是0或5的数。
师：3（或9）的倍数特征是什么呢？生：各个数位上的数字之和能被3（或9）整除。
师：以上是大家比较熟悉的数的倍数特征，也是在解决数学问题时用的比较多的，接下来我们再一起来回顾一下像4、25、8、125的倍数又有什么特征呢？生：4（或25）的倍数特征是末两位能被4（或25）整除。
生：8（或125）的倍数特征是末三位能被8（或125）整除。
师：大家说的都非常正确，那么同学们还记得7、11、13这三个数的倍数特征是什么吗？生：11的倍数特征是奇数位与偶数位上数字之和的差（以大减小）是11的倍数。
生：7和13的倍数特征是这个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数的差（以大减小）能被7、13整除。
数的整除性质
数的整除性质及应用 （湖北麻城实验高中：阮晓锋） 定义：如果a=b q(a,b,q 分别为整数，b ≠0),则称a 能被b 整除或b 能被a 整除，记作b|a, 这时称a 是b 的倍数或b 是a 的倍数。
性质：（1)若m a a a a n n 011- |a 且m|b,则m|(a+b);(2)若c|b 且b|a 则c|a ；(3)若m|a 则m|ka(k 为整数）推论：若c|a 且c|b,则c|(ma+n b)(m,n 为整数)(4)若a|m,b|m 且(a,b)=1,则ab|m(5)若c|ab 且(b,c)=1，则c|a ；(6)若p 是质数且p|ab,则p|a 或p|b.数的整除特征：设A=a a a a n n 011- ，则有（1）2|A ⇔2|a 0，5|A ⇔a 0=0或5（2）（4或25）|A ⇔（4或25）|a a 01 （3）（8或125）|A ⇔(8或125)|a a a 012 （4）（3或9)|A ⇔（3或9)|∑=n i ia 0（5）11|A ⇔11|(M-N)(M,N 分别为表示A 的偶数位与奇数位上的数字之和)例一;x,y,z 均为整数，且11|（7x+2y-5z)，求证11| (3x-2y+11z) 证明：设⎩⎨⎧=+=+)2(117-3)1(5-27b z y x a z y x 将（1）×5+（2）得11（2x+3y+5z ）=a+5b 11 |11（2x+3y+5z ）,11|（7x+2y-5z),∴11|5b 又（11,5）=1∴11|b 即11| (3x-2y+11z)成立。
例二：求无重复数字且能被75整除的所有五位数563b a 解： 75=3×25且（3,25）=1∴25 |5b ∴b=2或5当b=2时由3|563b a 得3+a+6+2+5=16+a 是3的倍数∴a=2,5,8,此时五位数分别为32625,35625.38625.当b=7时由3|563b a 得3+a+6+7+5=21+a 是3的倍数∴a=0,3,6,9,此时五位数分别为30675,33675,36675,39675但由于要求五位数无重复数字，此题仅有3解：38625,30675,39675.例三：在1994右边补上三个数字，组成七位数M,若M 能被3,4,5整除，求M 的最大值. 解：设M=abc 1994M 能被4.5整除∴c=0由M 能被4整除知应该bc 是4的倍数∴b 为偶数又由M 能被3整除知1+9+9+4+a+b+0=23+a+b 为3的倍数∴a+b=1,4,7,10,13,16为使M 最大，先将a 定为9，从而得b=4∴最大的七位数为1994940.。
数的整除的特征
一、数的整除的特征1．前面我们已学过奇数与偶数，我们正是以能否被2整除来区分偶数与奇数的。
因此，有下面的结论：末位数字为0、2、4、6、8的整数都能被2整除。
偶数总可表为2k，奇数总可表为2k＋1（其中k为整数）。
2．末位数字为零的整数必被10整除。
这种数总可表为10k （其中k为整数）。
3．末位数字为0或5的整数必被5整除，可表为5k（k为整数）。
4．末两位数字组成的两位数能被4（25）整除的整数必被4（25）整除。
如1996＝1900＋96，因为100是4和25的倍数，所以1900是4和25的倍数，只要考察96是否4或25的倍数即可。
由于4｜96能被25整除的整数，末两位数只可能是00、25、50、75。
能被4整除的整数，末两位数只可能是00，04，08，12，16，20，2 4，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，84，88，92，96，不可能是其它的数。
5．末三位数字组成的三位数能被8（125）整除的整数必能被8（125）整除。
由于1000＝8×125，因此，1000的倍数当然也是8和125的倍数。
如判断765432是否能被8整除。
因为765432＝765000＋432显然8|765000，故只要考察8是否整除432即可。
由于432＝8×54，即8|432，所以8|765432。
能被8整除的整数，末三位只能是000，008，016，024， (9)84，992。
由于125×1＝125，125×2＝250，125×3＝375；125×4＝500，125×5＝625；125×6＝750；125×7＝875；125×8＝10000故能被125整除的整数，末三位数只能是000，125，250，3 75，500，625，750，875。
6．各个数位上数字之和能被3（9）整除的整数必能被3（9）整除。
数的整除特征以及应用
2014年12月28日数的整除特征以及应用第一部分：课前检测一、巧算1. 6×127+71×2×3+122. 8×（25+125）×32二、应用题1.一本百科全书中数字0出现了180次。
问：这本百科全书至少有多少页？2.鸡兔同笼共有200个头，鸡的腿数比兔的腿数少56只。
问：鸡兔各几只？3.小军在计算两位数乘两位数时,把一个因数十位上的6错写成9,结果得2772,这道题的正确积应是1932。
问：这两个两位数各是多少？4.某厂生产一批零件，如果每天生产1800个，将比原计划多用2天；如果每天多生产600个，将比原计划提前一天完成。
现在要求按计划生产完，那么每天应完成多少个？5.今年阿姨的年龄是侄女的4倍，再过10年，阿姨的年龄就是侄女的2倍。
问：明年阿姨多少岁？6.幼儿园买来的苹果的个数是菠萝的5倍，吃掉10个菠萝和10个苹果后，剩下苹果个数正好是菠萝的10倍。
问：原来买来苹果和菠萝各多少个？第二部分：数的整除特征以及应用数的整除性质技巧一、整除的基本法则（一）能被2、4、8、5、25、125 整除的数的数字特性能被2 （或5）整除的数，末位数字能被2（或5）整除；能被4 （或25）整除的数，末两位数字能被4（或25）整除；能被8 （或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除；（二）能被3、9 整除的数的数字特性能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。
（三）能被7 整除的数的数字特性能被7 整除的数，其末一位的两倍与剩下的数之差为7的倍数。
能被7 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被7 整除。
（四）能被11 整除的数的数字特性能被11 整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11 整除。
能被11 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被11 整除。
（五）能被13 整除的数的数字特性能被13 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被13 整除。
整除的性质和特征
整除的性质和特征整除问题是整数内容最基本的问题;理解掌握整除的概念、性质及某些特殊数的整除特征,可以简单快捷地解决许多整除问题,增强孩子的数感;一、整除的概念：如果整数a除以非0整数b,除得的商正好是整数而且余数是零,我们就说a能被b 整除或b能整除a,记作b/a,读作“b整除a”或“a能被b整除”;a叫做b的倍数,b叫做a 的约数或因数;整除属于除尽的一种特殊情况;二、整除的五条基本性质：1如果a与b都能被c整除,则a+b与a-b也能被c整除；2如果a能被b整除,c是任意整数,则积ac也能被b整除；3如果a能被b整除,b能被c整除,则积a也能被c整除；4如果a能同时被b、c整除,且b与c互质,那么a一定能被积bc整除,反之也成立；5任意整数都能被1整除,即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除,即0是任意非0整数的倍数;三、一些特殊数的整除特征：根据整除的基本性质,可以推导出某些特殊数的整除特征,为解决整除问题带来方便;1如果一个数是整十数、整百数、整千数、……的因数,可以通过被除数末尾几位数字确定这个数的整除特征;①若一个整数的个位数字是2的倍数0、2、4、6或8或5的倍数0、5,则这个数能被2或5整除；②若一个整数的十位和个位数字组成的两位数是4或25的倍数,则这个数能被4或25整除；③若一个整数的百位、十位和个位数字组成的三位数是8或125的倍数,则这个数能被8或125整除;推理过程：2、5都是10的因数,根据整除的基本性质2,可知所有整十数都能被10、2、5整除;任意一个整数都可以看作一个整十数和它的个位数的和,如果一个数的个位数字也能被2或5整除,根据整除的基本性质1,则这个数能被2或5整除;又因为4、25都是100的因数,8、125都是1000的因数,根据整除的基本性质2,可知任意整百数都能被4、25整除,任意整千数都能被8、125整除;同时,任意一个多位数都可以看作一个整百数和它末两位数的和或一个整千数和它的末三位数的和,根据整除的基本性质1,可以推导出上面第②条、第③条整除特征;同理可证,若一个数的末四位数能被16或625整除,则这个数能被16或625整除,依此类推;2若一个整数各位上数字和能被3或9整除,则这个数能被3或9整除;推理过程：因为10、100、1000……除以9都余1,所以几十、几百、几千……除以9就余几;因此,对于任意整数ABCDE…_______________都可以写成下面的形式n为任意整数：9n＋A＋B＋C＋D＋E＋……9n一定能被3或9整除,根据整除的基本性质1,只要这个数各位上的数字和A＋B ＋C＋D＋E＋……能被3或9整除,这个数就能被3或9整除;3用“截尾法”判断整除性;①截尾减2法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,减去个位数字的2倍,差是7的倍数,则原数能被7整除；②截尾减1法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,减去个位数字的1倍,差是11的倍数,则原数能被11整除；③截尾加4法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,加上个位数字的4倍,差是13的倍数,则原数能被13整除；④截尾减5法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,减去个位数字的5倍,差是17的倍数,则原数能被17整除；⑤截尾加2法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,加上个位数字的2倍,差是19的倍数,则原数能被19整除;根据整除的基本性质3,以上5条整除特征中,如果差太大,可以继续前面的“截尾翻倍相加”或“截尾翻倍相减”的过程,直到能直接判断为止;推理过程：设任意一个整数的个位数字为y,这个数可以表示成10x＋y的形式,其中x为任意整数;一个数截尾减2后,所得数为x－2y;因为截去这个数的个位数字后,所得数x减去个位数字y的2倍,实际上是在原数的十位数字上减去2个y,即减去了20个y,截尾一个y,总共减去了21个y,剩下了x－2y个10;如下式：10x－20y＋y－y﹦x－2y×10﹦10x ＋y－21y;根据整除的基本性质,如果x－2y能被7整除,则x－2y×10就能被7整除,即10x＋y－21y能被7整除,21y是7的倍数,可以推出原数10x＋y一定能被7整除;“截尾加4”就是原数截去1个y、加上40个y,总共加了39y13的倍数,得到x＋4y 个10,“截尾加4”所得x＋4y如果能被13整除,原数必能被13整除;同理,“截尾减1”就是原数减去了11个y11的倍数,原数剩下x－y个10,“截尾减1”所得x－y能被11整除,原数必能被11整除；“截尾减5”就是原数减去了51个y17的倍数,原数剩下x－5y个10,“截尾减5”所得x－5y能被17整除,原数必能被17整除；“截尾加2”就是原数加了19y19的倍数,得到x＋2y个10,“截尾加2” 所得x＋2y如果能被19整除,原数必能被19整除;依此类推,可以用“截尾加3”判断一个数能否被29整除,用“截尾减4”判断一个数能否被41整除等等;4 “截尾法”的推广使用;①若一个数的末三位数与末三位之前的数字组成的数相减之差大数减小数能被7、11或13整除,则这个数一定能被7、11或13整除；②若一个整数的末四位与之前数字组成数的5倍相减之差能被23或29整除,则这个数能被23或29整除;比较适合对五位数进行判断推理过程：①设任意一个整数的末三位数为y,则这个数可以表示成1000x＋y的形式,其中x 为任意整数;当x大于y时,这个数末三位之前的数字组成的数减去末三位数得到x－y;这里x 减y实际上是在原数的千位上减去y,即减去了1000y,加上截去末三位数y,总共减去了1001y,原数剩下x－y个1000;如下式：1000x－1000y＋y－y﹦1000x－y﹦1000x＋y－1001y7×11×13﹦1001,7、11和13都是1001的因数;综上所述,如果这个数末三位之前的数字组成的数减去末三位数得到x－y能被7、11或13整除,即1000x＋y－1001y能被7、11或13整除,则原数必能被7、11或13整除;当y大于x时,可得1000y－x﹦1001y－1000x＋y,如果y－x能被7、11或13整除,则原数必能被7、11或13整除;②设任意一个整数的末四位数为y,则这个数可以表示成10000x＋y的形式,其中x 为任意整数;末四位与之前数字组成数的5倍相减之差即y－5x;10000y－5x﹦1005y－510000x＋y因为1005是23和29的公倍数,如果一个数末四位与之前数字组成数的5倍相减之差即y－5x能被23或29整除,即10000y－5x能被23或29整除,则原数必能被23或29整除;依此类推,如果一个数末两位数与之前数字相减之差能被101整除,则这个数必能被101整除等等;5若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除;推理过程：一个整数偶数位上每个计数单位除以11都余1,如1、100、10000……等,除以11都余1,因此每个偶数位上数字是几,它所表示的数值除以11就余几,所有偶数位上数字之和除以11余几,所有偶数位数字所表示的数值除以11就余几;一个整数奇数位上每个计数单位除以11都“缺1”余数为10,如10、1000、100000……等,除以11都“缺1”, 因此每个奇数位上数字是几,它所表示的数值要整除11就缺几,所有奇数位上数字之和除以11缺几,所有奇数位数字所表示的数值除以11就缺几;“移多补少”,只有一个整数所有奇位数字之和与偶位数字之和相减之差能被11整除,原数才能被11整除;。
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数的整除特征及应用
数的整除特征及应用(一)
姓名：
一、知识要点：
1．能被2、5、3、9整除的数的特征：
2．能被4或25整除的特征：如果一个数的末两位能被4或25整除，那么这个数一定能被4或25整除。
如：4/3512 25/3725 3．能被8或125整除的数的特征：如果一个数的末三位数能被8或125整除，那么这个数就一定能被8或125整除。
如：8/5816 125/83750
4．能被11整除的数的特征：如果一个数的奇位数字之和与偶位数字之和相减所得的差（大数减小数）能被11整除，那么这个数就一定能被11整除。
如：11/3861 11/90970022
5．能被7、11、13整除的数的特征：如果一个数的末三位与末三位以前的数字组成的数的差（大数减小数）能被7、11、13整除，那么这个数就可以被7、11、13整除。
如：123123能分别被7、11、13整除，123149能被13整除，167123能被11整除
二、整除的性质
1．若则b/a, c/b,则：c/a, 如： 9/54,3/9,3/54
2．若则b/a, c/b,则c/(a+b),如：4/24,4/12,4/(24+12)
3．若则b/a,则b/(a×b),如：7/14,7/(14×3)
三、例题：
3AA它能被9整除，这个A代表多少？
1．有一个四位数1
2．能同时被2、3、5整除的三位数中最小的是多少？
3．四位数44整除，这个四位数是多少？
4．36整除，求满足条件的所有六位数。
5．已知4、5、9整除，如果要使这个七位数尽可能小，那么这568，分别能被3、4、5整除，这个六位数最小、最大分别是多少？
a679能被72整除，求符合条件的最小数是几？
7．已知b
8．求各位数字都是7，并且能被63整除的最小自然数是多少？
9．个位数是6，且能被3整除的五位数共有多少个？
10．用1、2、3、4能组成多少个没有重复数字的四位数，它们分别能被11整除？
11．如果六位数33整除，那么这个数是多少？
12．把144分成三个数，使这三个数能分别被2、3、7整除，并且所得的商相等，那么这三个数是，，。
13．用1—6这六个数字组成一个六位数abcdef，是6的倍数，这个六位数的前两位是2的倍数，前三位是3的倍数，前四位是4的倍数，前五位数是5的倍数，这个六位数是多少？
14．将数字1、2、3、……、8、9以任意的顺序填入下面一排数字的空位上，
8 396 9 55 383 23 28 0 7 36，这个多位数能被哪些两位数整除？（12，18，36）
四、练习题
1．能同时被2、3、5、7整除的四位数最小是多少？
2．1803X6是一个六位数，当X是数字或时，这个数能被12整除。
3．能被3、4、5整除的最小三位数是。
4．有五张卡片，上面分别写着数字0、、1、5、7、8，从中间任意取出3张卡片组成三位数，其中能被3整除的共有多少个？
5．有一个六位数能被11整除，这个六位数的首位数字是7，其余的各位数字都不相同，这个六位数最小是多少？
130861是12的倍数，那么A是几？
6．如果自然数A
7．六位数72整除，这个六位数是。
81919能被66整除，这个六位数是多少？
9．33整除，这样的六位数最大是。
10．期末考试中，五年级（2）班的数学平均分是90分，这个班有学生？
11．写出由0、1、2、3、4、6六个不同数字组成的能被22整除的最大六位数。
12．若M23456N能被165整除，则M等于多少？
13．已知A是一个自然数，它是15的倍数，并且的的各个数位上的数字只有0和8两种。
问：A最小是多少？
14．在451的后面补上三个数字，组成一个六位数，使得这个六位数能被783整除。