安培环路定理解读
§9.4 磁场的安培环路定理概述
思考：如图，平行的无限长直截流导线 A 和 B，电流强度均为 I， 垂直纸面向外，两根截流导线之间相距为 a，则 （1） AB 中点（p点）的磁感应强度 Bp 0 （2）磁感应强度B 沿图中环路L的线积分 l B dl 0I
2、求解具有某些对称性的磁场分布 求解条件：电流分布（磁场分布）具有某些对称性， 以便可以找到恰当的安培环路 L ，使积分
2018/10/30 重庆邮电大学理学院 7
L
B dl B 2r 0 I内
r R:
I
内
I
B内
P
B外
0 I 1 B外 2r r
r R:
2 I Ir 2 I r 2 内 R2 R
L
L
o
r
I
R
P
B
B内
0 Ir r 2 2R
(穿过L )
I I
i
1
2I2
(穿过L )
I 2I
i
1
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重庆邮电大学理学院
成立条件：稳恒电流的磁场
L : 场中任一闭合曲线 — 安培环路（规定绕向）
S2
S0
Ii
(穿 过L )
I
B:
i
: 穿过以 L 为边界的任意曲
面的电流的代数和. 与空间所有电流有关
S1
L
r
o
R
1 r
r
B 方向与 I 指向满足右旋关系
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8
练习：无限长均匀载流圆柱体（R , I ）如图，求通过 截面 S（ 2 R , h ）的磁通量.
安培环路定理
安培环路定理
安培环路定理，又称为安培定理或安培第二定理，是电磁学中的一条重要定理，描述了由电流所产生的磁场的性质。
它是由法国物理学家安德烈-玛丽·安培在19世纪初提出的。
安培环路定理是基于麦克斯韦方程组中的一个方程，可以用来计算磁场的强度。
根据该定理，通过电流所形成的磁场的磁感应强度H，沿着任意封闭曲线所围成的面积S的总磁通量Φ，与该封闭曲线所围成的电流之间的关系为：
∮H·dl = ∫∫S B·dS = Φ
其中，H是磁场的强度，dl是沿着闭合曲线的微元路径元素，B是磁感应强度，dS是平面面元素，Φ是通过该曲线所围成的面积的磁通量。
安培环路定理本质上是一个积分方程，可以通过对曲线的路径和曲面的选择来灵活地应用。
根据闭合曲线的选择不同，可以得到更方便的计算磁场的方法。
通常情况下，选择封闭曲线为简单的几何形状，例如圆形、矩形或直线，可以大大简化计算的过程。
安培环路定理的应用广泛，可以用于解决与电流所产生的磁场相关的问题。
例如，在电磁铁中，可以利用安培环路定理计算铁芯的磁场分布；在电感器中，可以通过该定理计算电感量。
此外，还可以利用安培环路定理推导出其他电磁学中的重要定理，如磁场的叠加定理和比奥-萨伐尔定律等。
综上所述，安培环路定理是电磁学中的一条基本定理，描述了电流所产生的磁场的性质。
通过应用安培环路定理，可以方便地计算出磁场的强度和分布，解决各种与电流和磁场相关的问题，为电磁学的研究和应用提供了重要的理论基础。
12磁场的高斯定理和安培环路定理解读
穿过一面元的磁通量：
d m BdS BdS cos B dS 式中：dS dSn ˆ 称为面元矢量。 ˆ 为法线方向单位矢量。 n
4
2.穿过某一曲面的磁通量
m d m B dS
d m
B
BdS cos
dS
ˆ n
S
3.穿过闭合曲面的磁通量
m d m B dS
规定：取闭合面外法线方向为正向。 磁力线穿出闭合面为正通量， 磁力线穿入闭合面为负通量。
2
B
磁通量单位：韦伯，Wb
2
ˆ n
Байду номын сангаас
B
5
3.磁场中的高斯定理 定理表述：穿过任意闭合面的磁通量等于 0。
dB
dB ' dB' '
dl '
p
d
dl ' '
l
c
B
结果
o j
2
o
方向如图所示。
a
b
在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都为 均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
15
例5 一矩形截面的空心环形螺线管，尺寸如图所示， 其上均匀绕有N匝线圈，线圈中通有电流I。试求： （1）环内距轴线为r 远处的磁感应强度；（2）通过 螺线管截面的磁通量。 I
解：在管内作环路半径为 r的圆环 ，
环路内电流代数和为： I NI
rR
o R1
2
当 r >> ( R2 – R1) 时N n 为沿轴向线圈密度；
0 NI B 2r 0 NI B 2r
安培环路定理的表达式
安培环路定理的表达式
安培环路定理：
1. 定义：安培环路定理是一种复杂的物理电路原理，它可以用来求出
一个电路中的特定电场和电势差之间的关系。
它表明，任意一个无逆
反元件的环路中，环路中的电势差与环路中的电流的乘积之和等于零。
2. 公式：安培环路定理表示为:ΣV=0，其中V表示环路中有电势差的元件/器件，负号表示电势差方向与电流方向相反，Σ符号表示环路中所
有器件的电势差求和。
3. 对它的解释：安培环路定理告诉我们，只要通过一个无逆反电路，
将环路中每个电子器件的电势差之和求出，就能够找出环路中的电流
是多少。
即在一个无逆反电路中，任意一连接线或分支的电势差与环
路中的电流的乘积之和等于零。
4. 安培环路定理的应用：安培环路定理涉及多个电路分析技术，广泛
应用于工程领域，如汽车电子、发电机、电源系统、电子设备等。
具
体来说，它可以用于计算电压和电流变化之间的关系。
同时，电路分
析问题的研究也是在安培环路定理的指导下进行的。
而安培环路定理
也利于我们更好地了解短路，而短路提供了进一步了解电路的方式。
安培环路定理
安培环路定理静电场中的环路定理为，它说明静电场是保守场。
在稳恒磁场中，磁感应强度B 沿任意闭合环路的线积分（又称B 的环流）等于什么？磁场是否为保守场？安培环路定律回答了上述问题。
设在真空中有一无限长载流直导线，其电流为I 。
取一平面与电流垂直，平面与电流相交与O 点，在平面内取以O 为圆心、r 为半径的闭合回路L ，在圆周上各点磁感强度B 的大小为若B 的方向与积分的绕行路径L 上各处dl 的方向相同，即B 与dl 的夹角θ= 0，则B 的环流为若积分的绕行方向反向，即B 与dl 方向相反,,则B 的环流为0=∙⎰dl E Ldl B L∙⎰r I B πμ20=⎰⎰==∙L L Idl r Idl B 002μπμπθ=⎰⎰-=-=∙LLI dl r Idl B )(200μπμ可把上述结果推广到闭合回路为任意形状，而且回路中包围有任意电流（包括回路中不包围电流）的情况，因而，可得B 的环流为（9-9）上式为安培环路定理的表述式。
它表明，在稳恒磁场中，磁感强度B 沿任何闭合回路L 的线积分，等于穿过这个回路所围曲面的所有电流的代数和的μ0倍。
电流的正负规定如下：取右手螺旋的旋转方向（四指弯曲方向）为积分回路L 的绕行方向，与右螺旋前进方向（拇指指向）一致的电流为正，反之为负。
如图9-9所示，则式（9-9）右侧不计入I 3 。
在图9-9所示的情况下，安培环路定理表示为当闭合回路不包围电流，或虽包围电流，但所围电流的代数和为零时，B 的环路等于零。
安培环路定理表明稳恒磁场不是保守场。
一般称环流不等于零的场为蜗旋场。
稳恒磁场是蜗旋场，这时它不同于静电场的又一特征。
⎰∑=∙LL Idl B 内）(0μ()210I I dl B L-=∙⎰μ为了更好地理解安培环路定理，作如下说明：（1）式（9-9）右方的∑I 中只包括穿过闭合回路L 的电流；（2）回路L 的绕行方向与穿过回路L 的电流的正、负符号，遵从右手螺旋法则，而∑I 为所有正、负电流的代数和；（3）式（9-9）左端的B 是环路上的磁感强度，它是空间所有电流（包括穿过L 和不穿过L 的电流）共同产生的；（4）如果，他只说明B 沿L 的环流为零（此时，L 所围电流代数和等于零或不围电流）而不能理解为回路L 上各点的B 一定等于零。
安培环路定理和毕奥萨伐尔定律
安培环路定理和毕奥萨伐尔定律是电磁学中重要的定理和法则，它们在描述电路中电流和磁场的关系上起着关键作用。
下面将分别对这两个定理进行介绍和解析。
一、安培环路定理安培环路定理又称安培定律，是电磁学中重要的定理之一，它描述了磁场中闭合曲线上的磁场强度与该曲线所围成的电流的关系。
安培环路定理可以总结为以下几点：1. 磁场环路定理的表述在闭合曲线上的磁场强度的矢量和等于该曲线所围成的电流的矢量和乘以一个常数μ0，即ΣH·dl=μ0ΣI。
2. 安培环路定理的数学表达式安培环路定理的数学表达式为∮H·dl=μ0∑I，其中∮H·dl表示磁场强度矢量沿着曲线的积分，μ0为真空磁导率，∑I表示曲线所围成电流的代数和。
3. 安培环路定理的应用安培环路定理可以用于计算闭合曲线中的磁场强度，是电磁学中重要的工具之一。
通过安培环路定理，可以求解复杂电路中的磁场分布，为电磁学的研究和应用提供了重要的方法。
二、毕奥萨伐尔定律毕奥萨伐尔定律是电磁学中描述通过导体中电流产生的磁场的定律，它对于电路和电磁场的分析具有重要意义。
以下是毕奥萨伐尔定律的主要内容：1. 毕奥萨伐尔定律的表述毕奥萨伐尔定律指出，通过导体中电流产生的磁场的强度与导体上任意点到电流元素的距离成正比，在大小和方向上满足右手定则。
2. 毕奥萨伐尔定律的数学表达式毕奥萨伐尔定律的数学表达式为B=μ0/4π∫(Idl×r)/r^3，其中B表示磁场强度，μ0为真空磁导率，Idl表示电流元素，r为导体上任意点到电流元素的距离。
3. 毕奥萨伐尔定律的应用毕奥萨伐尔定律可用于计算导体中的磁场分布，也可以应用于分析电路中的电流产生的磁场对周围环境的影响。
在电磁学的理论研究和工程实践中，毕奥萨伐尔定律都具有重要的应用价值。
总结安培环路定理和毕奥萨伐尔定律是描述电流和磁场之间关系的重要定理，在电磁学的理论研究和工程应用中起着关键作用。
通过学习和理解这两个定律，可以更好地理解电磁学的基本原理，为电路和电磁场的分析提供重要的方法和工具。
磁介质中的安培环路定理
磁介质中的安培环路定理
安培环路定理是描述电流在一个闭合环路内的磁场强度的定量关系的定理。
在磁介质中，安培环路定理可以表述为：闭合环路内的磁通量等于环路内电流所产生的磁场强度与环路中磁化强度的代数和。
换句话说，如果我们将一个磁介质的闭合环路划分成若干小段，对每一小段进行磁场分析，然后将它们按照一定的方向按顺序排列，就形成了一个完整的安培环路。
在磁介质中，该安培环路的总磁通量等于环路内任意一个小段上的磁场强度与该小段上的磁化强度的代数和。
这个定理主要用于计算磁介质中的磁场分布及其对电路的影响。
对于任意一个闭合环路，我们都可以通过安培环路定理求得环路内的磁通量，再根据法拉第电磁感应定律计算出环路内的感应电动势，从而分析电路中的电磁现象。
总之，安培环路定理是一种描述磁介质中电流与磁场强度之间关系的基本定理，是电磁学研究中不可或缺的重要工具。
安培环路定理的原理及应用
安培环路定理的原理及应用1. 安培环路定理的原理安培环路定理是电磁学中的基本定理之一，它描述了电流通过一个封闭路径的总和等于该路径上环绕的总磁场的空间积分。
安培环路定理是麦克斯韦方程组中的一部分，对于理解和分析电路中的电磁现象非常重要。
根据安培环路定理，一个封闭路径上的环绕磁场的空间积分等于该路径上的电流的总和乘以真空中的磁导率常数，即：$$\\oint \\vec{B} \\cdot \\vec{dl} = \\mu_0 \\cdot I_{\\text{enc}}$$其中， - $\\vec{B}$ 表示磁场的矢量 - $\\vec{dl}$ 表示路径上的无穷小位移矢量 - $\\mu_0$ 是真空中的磁导率常数 - $I_{\\text{enc}}$ 表示通过封闭路径所包围的电流的总和2. 安培环路定理的应用2.1 电磁铁电磁铁是利用安培环路定理工作的重要装置之一。
在电磁铁中，通电线圈产生的磁场可以吸引或排斥物体，从而实现各种实际应用。
根据安培环路定理，我们可以通过改变通电线圈中的电流大小来控制磁场的强度，进而达到对物体的吸引或排斥。
2.2 变压器变压器也是应用安培环路定理的重要设备。
变压器是一种用于改变交流电压的装置，它由两个共用一个磁路的线圈构成。
输入线圈（原线圈）中的交流电流通过变压器的磁场感应出感应电动势，进而产生在输出线圈上的输出电压。
安培环路定理被用于分析和计算变压器中的磁场和电流之间的关系。
2.3 电感与电感耦合安培环路定理在电感和电感耦合的研究和应用中也起到了重要作用。
电感是一种储存电能的元件，当电流通过电感时，会在其周围产生磁场。
根据安培环路定理，我们可以得到电感中的磁场与电流的关系，从而进一步分析和设计电感相关的电路。
而电感耦合是指通过电感的互相感应，将两个或多个电路联系起来。
在电感耦合的应用中，安培环路定理可用于计算和描述各个电路之间的电磁相互作用，以及电感耦合的性能与参数之间的关系。
安培环路定理的三个公式
安培环路定理的三个公式安培环路定理是电磁学中的一个重要定理，它描述了磁场的环流与电流之间的关系。
在这个定理中，有三个常用的公式，下面咱们就来好好唠唠这三个公式。
咱们先来说说第一个公式，这个公式表述为：在真空中，磁感应强度 B 沿任何闭合回路的线积分，等于穿过该回路所包围面积的电流的代数和乘以真空磁导率μ₀。
这听起来可能有点绕，咱举个例子啊。
就比如说，你想象有一个环形的电线，电流在里面流动。
咱们把这个环形电线想象成一个跑道，而磁场呢，就像是在跑道上奔跑的运动员。
这个运动员沿着跑道跑一圈，他跑的路程就是磁感应强度 B 的线积分。
而跑道里面的电流，就决定了这个运动员跑得有多快、跑的路程有多长。
再来讲讲第二个公式。
这个公式在有介质存在的情况下适用。
啥是介质呢？简单说，就是除了真空以外的其他物质。
这时候，磁感应强度 B 沿闭合回路的线积分，等于穿过回路所包围面积的传导电流和磁化电流的代数和乘以真空磁导率μ₀。
咱还是举个例子。
假设你有一块磁铁，周围有一些铁粉。
这些铁粉会被磁铁吸引，形成特定的分布。
这个分布就相当于一种介质。
在这种情况下，磁场的环流就不仅仅取决于传导电流，还和磁化电流有关。
最后说说第三个公式。
这个公式是在时变电磁场中的情况。
它可就更复杂一点啦，磁感应强度 B 沿闭合回路的线积分，等于穿过回路所包围面积的全电流的代数和乘以真空磁导率μ₀。
这里的全电流包括传导电流、位移电流。
那啥是位移电流呢？想象一下，有一个电容器正在充电，虽然没有电荷在电容器极板之间流动，但是电场在变化，就好像有电流在流动一样，这就是位移电流。
我记得之前给学生们讲这部分内容的时候，有个小家伙瞪着大眼睛一脸懵地问我：“老师，这也太抽象了，到底有啥用啊？”我笑着跟他说：“孩子，你想想咱们家里用的电器，比如电灯泡能亮、风扇能转，这里面可都离不开这些知识呢。
”那孩子似懂非懂地点点头。
其实啊，安培环路定理的这三个公式虽然看起来复杂，但在实际的电磁学应用中可是非常重要的。
6.磁场的安培环路定理
《大学物理》作业 No.6 磁场的安培环路定理班级 ___________ 学号 __________ 姓名 ____________ 成绩 __________说明：字母为黑体者表示矢量内容提要：安培环路定理 ∑⎰=⋅I l d B L0μ1. 安培环路定理的理解：①B是环路上各点的磁感应强度，是环路内外所有电流共同激发的磁场。
②∑I 只是被环路包围的电流的代数和。
③不被环路包围的电流在环路上激发的磁场在环路的线积分中抵消掉了。
④环路上各点0=B 时，必有0=∑I ；但0=∑I 时，未必环路上各点的B 一定都为零。
⑤对于电流的正负的规定：当电流的方向与环路积分的方向符合右手螺旋关系时，电流为正，否则为负。
⑥安培环路定理中的电流应该是闭合（或无限长）恒定电流，对于一段恒定电流的磁场，安培环路定理不成立。
2. 安培环路定理的应用：①只有在磁场具有较好的对称性时才能用安培环路定理求解B ，但安培环路定理是普遍成立的，不具有较好对称性的磁场不能用安培环路定理求解B ，但定理依然成立。
②利用安培环路定理求磁场分布一般包含两步：首先依据电流的对称性分析磁场分布的对称性，然后再利用安培环路定理计算磁感应强度的数值和方向。
此过程中决定性的技巧是选取合适的闭合路径L （环路），以便⎰⋅Ll d B 中的B 能以标量形式从积分号内提出来。
基本要求：1.掌握安培环路定理：2.掌握安培环路定理分析计算磁感应强度的条件和方法，并能熟练运用。
一、选择题1.如图6.1所示,有两根无限长直载流导线平行放置,电流分别为I 1和I 2, LI 1在L 内,I 2在L 外,P 是L 上的一点,今将I 2 在L 外向I 1移近时,则有 [ ] (A)l B d ⋅⎰L与B P同时改变. (B) l B d ⋅⎰L与B P都不改变. (C) l B d ⋅⎰L不变,B P改变.(D)l B d ⋅⎰L改变,BP不变.2.对于某一回路l ，积分l B d ⋅⎰l等于零，则可以断定I 图6.1[ ] (A) 回路l 内一定有电流. (B) 回路l 内可能有电流.(C) 回路l 内一定无电流. (D) 回路l 内可能有电流，但代数和为零.3. 如图6.2所示，两根直导线ab 和cd 沿半径方向被接到一个截面处处相等的铁环上，稳恒电流I 从a 端流入而从d 端流出，则磁感应强度B 沿图中闭合路径L 的积分l B d ⋅⎰l等于[ ] (A) I u 0(B) I u 031(C)I u 041(D) I u 0324. 用相同细导线分别均匀密绕成两个单位长度匝数相等的半径为R 和r 的长直螺线管(R =2r )，螺线管长度远大于半径.今让两螺线管载有电流均为I ，则两螺线管中的磁感强度大小B R 和B r 应满足：[ ] (A) B R = 2B r . (B) B R = B r . (C) 2B R = B r . (D) B R = 4B r .二、填空题1.在安培环路定理中iLI∑=⋅⎰0d μl B , 其中∑I i 是指 ;B 是由 的电流产生的.2. 两根长直导线通有电流I ,图6.3所示有三种环路,对于环路a ,=⋅⎰a L l B d ;对于环路b , =⋅⎰b L l B d 。
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安培定律
F
由几何关系得： dl cos
rd
0 I
长直电流的磁场
B dl B (d l d l// )
L L
L L
如果闭合曲线不在垂直 于导线的平面内：
B
L
I
d
r
P
dl
B cos 90 dl B cos dl//
0 Br d
B d l I 0
L
定理
电流 I 的正负规定： 积分路径的绕行方向与 电流成右手螺旋关系时， 电流 I 为正值；反之 I 为 负值。
I
绕行方向
I为负值
安培环路定理
B dl 0 I
L
B 空间所有电流共同产生的磁场 L 在场中任取的一闭合线，任 意规定一个绕行方向 dl L上的任一线元
安培环路定理的应用 应用安培环路定理的解题步骤：
(1)分析磁场的对称性； (2)过场点选择适当的路径，使得 B 沿此环路的积
等；
分易于计算： B 的量值恒定，B与dl 的夹角处处相
(3)求出环路积分； (4)用右手螺旋定则确定所选定的回路包围电流的
正负，最后由磁场的安培环路定理求出磁感应强
L
2
0
0 I
0 I r d 2 r
结果一样！
长直电流的磁场
B dl B cos( ) d l
L
如果沿同一路径但改变 绕行方向积分：
L
B
L
I
d
rቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dl
P
B cos dl L 2 I 0 d 0 2
0 I
CD DA
I
A B P
N B 0 nI 0 I l
0 ABnI
D
C
设环上线圈的总匝数为 N， 电流为I。 B //d l r1 O P Bdl B dl r 2 L L B2r NI
§9-3 安培环路定理 1. 长直电流的磁场
1.1 环路包围电流
I
安培
L
I
长直电流的磁场
在垂直于导线的平面内 任作的环路上取一点，到电 流的距离为 r ，磁感应强度 的大小： 0 I
B
L
I
d
r
P
B
dl
2r
LB dl LB cosdl LBr d 2 0 I 2 0 I d r d 0 2 0 2 r
3.载流螺绕环内的磁场
0 NI B 2r
0
r2 r1 r
B 0 nI
§9-4 磁场对载流导线的作用 1. 安培定律
F
F
H
v
I
F
FL
设导线中每个自由电子以平均速度向右作定向 运动，则每个自由电子在洛伦兹力的作用下以圆周 运动的方式作侧向漂移，结果在导线的下侧堆积负 电荷，上侧堆积正电荷，在上下两侧间形成一横向
结果为负值！
表明：磁感应强度矢量的环流与闭合曲线的形 状无关，它只和闭合曲线内所包围的电流有关。
长直电流的磁场
1.2 环路不包围电流
O
Q
I
L2
P
L1
B dl B d l B d l
L L1 L2
1 2
结果为零！
0 I ( d d ) 0 L 2 L
安培定律
F
I
F
F
H
v
FL
霍耳电场,这电场阻碍自由电子的侧向漂移，当电 场力与洛伦兹力平衡时
电子便不再作侧向漂移，仍以平均速度 v 向右作定
向运动，而晶格中的正离子只受到霍耳电场力的作 用。
E H v B
物理意义：
I3
I1
I2
I
空间中的电流
L
dl
I
环路所包围的所有电流的代数和
安培环路定理
几点注意：
任意形状稳恒电流，安培环路定理都成立。
环流虽然仅与所围电流有关，但磁场却是所 有电流在空间产生磁场的叠加。
安培环路定理仅仅适用于恒定电流产生的恒 定磁场，恒定电流本身总是闭合的，因此安 培环路定理仅仅适用于闭合的载流导线。 静电场的高斯定理说明静电场为有源场，环 路定理又说明静电场无旋；稳恒磁场的环路 定理反映稳恒磁场有旋，高斯定理又反映稳 恒磁场无源。
表明：闭合曲线不包围电流时，磁感应强度矢 量的环流为零。
在磁场中，沿任一闭合曲线 B 矢量的线积 分（也称 B 矢量的环流），等于真空中的磁导 率 0 乘以穿过以这闭合曲线为边界所张任意曲 面的各恒定电流的代数和。 I I为正值 安培环路
2. 安培环路定理 (Ampere circulation theorem)
B
R
r
B
P
o
R
r
B d l B2r
当 r R ，且电流均匀 分布在圆柱形导线表面层时
I
当 r R ，且电流均匀 分布在圆柱形导线截面上时 在圆柱形载流导
线内部，磁感应 强度和离开轴线 B 2 r 的距离r成正比！ 0
B2r 0
R
r
B0
Q B
I 2 r 2 R 0 Ir B 2 2 R
B
R
r
B
P
o
R
r
2.载流长直螺线管内的磁场
B0
设螺线管长度为l,共有N匝。 B dl B d l B d l B d l B dl AB BC
B d l B AB
AB
Bdl Bdl
度 B 的大小。
1.长直圆柱形载流导线内外的磁场
设圆柱电流呈轴对称分 布，导线可看作是无限长的， 磁场对圆柱形轴线具有对称 性。
I
B d l B 2 r
R
r
Q B
当 rR
B2r 0 I 0 I B 2 r
长圆柱形载流导 线外的磁场与长 直载流导线激发 的磁场相同！