人教A版高中数学高二选修2-2 2.3数学归纳法证明的几种常用方法

数学归纳法证明的几种常用方法

用数学归纳法证明一个与自然数n 有关的命题()p n 时，第二步是十分关键的步骤．怎样才能从()p k 顺利地过渡到(1)p k +呢？下面介绍几种常用方法． 一、恰当放缩

例１ 已知n 是大于1的自然数，11112111135721n S n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛

⎫=⨯+⨯+⨯+⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，求证：21n S n >+．

分析：由已知可看到n S 的形式很繁锁，并且要证结论为不等式，则可联想不等式的性质对其适当放缩，从而证得原命题． 证明：（1）当2n =时，286445

221399

S =

=>=⨯+，所以不等式成立． （2）假设当n k =（k *

∈N ，且2k ≥）时，21k S k >+成立，则当1n k =+时，

有1122121

2121k k k S S k k k ++⎛

⎫=+>+ ⎪++⎝⎭224844832121k k k k k k ++++=>++ (21)(23)

2(1)121

k k k k ++=

=+++。

所以当1n k =+时原不等式也成立．

由（1）和（2），可知原不等式对任何大于1的自然数n 都成立． 二、起点后移

例2 已知n *

∈N ，求证：2111(123)123n n n ⎛⎫

+++

++++

+ ⎪⎝⎭

≥． 分析：可结合不等式关系：1111

11(1)23

2

n n +

++++>≥来证明，但注意要将奠基的起点后移，即在第一步证明中，不仅要证明1n =时原不等式成立，还要证明当2n =时，

原不等式也成立．

证明：（1）当1n =时，原不等式显然成立， 当2n =时，不等式左边191(12)14222

⎛⎫=+⨯+== ⎪⎝⎭， 右边2

24==，则左边＞右边， ∴当2n =时，原不等式成立．

（2）假设当()n k k *

=∈N 时，2111(123)123k k k ⎛⎫

+++

++++

+ ⎪⎝⎭

≥成立， 则1n k =+时， 11

11[123(1)]123

1k k k k ⎡⎤⎛⎫+++

++++++

+

+ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦

111123111(123)11(1)123

123

k k k k k k ++++⎛⎫⎛⎫

=+++

++++

+++++++++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭

2(1)11(1)12(1)2k k k k k +⎛⎫

+

++++ ⎪+⎝⎭

≥

223

1(1)22

k k k k >+

++=+． 所以当1n k =+时原不等式也成立．

由（1）和（2），可知原不等式对任何n *

∈N 都成立．

三、增加跨度

例3 试证：任何一个正方形都可以分割成5个以上的任意多个正方形．

分析：一个正方形分割成4个正方形是很容易的．由此猜想：若能把一个正方形分割成

k 个正方形，则必能分割成(4)13k k +-=+个正方形．故第一步应对678n =，，的情形加以

验证．第二步，则只需从k 递推到k +3． 证明：（1）当678n =，，时，由以下各图所示的分割方法知，命题成立．

（2）假设当(6)n k k k *

=∈N ，且≥时命题成立，即一个正方形必能分割成k 个正方

形．那么，只要把其中任意一个正方形两组对边的中点分别连结起来，即把该正方形再分割成4个小正方形，则正方形的个数就增加了3个．因而原正方形就分割成了3k +个正方形，即当3n k =+时命题也成立．

因为任何一个大于5的自然数n 都可以表示成637383()p p p p +++∈N ，

，中的一种形式，所以根据（1）和（2），可知命题对任何大于5的自然数n 都成立．

四、强化命题

例4 已知01p <<，定义11a p =+，且11

n n

a p a +=+．试证明：对一切n *∈N ，都有1n a >．

分析：显然有11a >，但若假设1k a >，则很难由递推公式11

k k

a p a +=+推得11k a +>．为此，必须知道k a 小于什么数值才行． 其实，要使111k k a p a +=

+>，即11k p a >-，只须11k a p

<-．所以本题可转化为证明如下更强的不等式： 1

11n a p

<<

-．① 证明：（1）当1n =时，显然有11a >．

又因为2111

11p a p p

-=<--， 所以11

11a p

<<

-． （2）假设当()n k k *

=∈N 时，1

11k a p

<<

-成立，则有 11

(1)1k k

a p p p a +=

+>-+=， 21111

111k k p a p p a p p

+-=+<+=<

--， 所以11

11k a p

+<<

-，即当1n k =+时不等式①也成立． 由（1）和（2），可知对任何n *

∈N ，不等式①都成立，从而原命题获证． 注意：除了上述四种常用方法外，还有拆项添项、作差（作商）等方法．同学们在证明过程中，要结合题目特点，灵活运用．