动能和势能物理力学答案

第四章动能和势能

思考题

4.1起重机起升重物。问在加速上升，匀速上升，减速上升，以及加速下降，匀速下降，减速下降六种情况下合力之功的正负。 又：在加速上升和匀速上升了距离h 这两种情况中，起重机吊钩对重物的拉力所作的功是否一样多？

答：1）加速上升：合力做正功，合力与速度方向相同；

2）匀速上升：合力为零，做功也为零；

3）减速上升：合力做负功，合力与速度方向相反； 4）加速下降：合力做正功，合力与速度方向相同； 5）匀速下降：合力为零，做功也为零；

6）减速下降：合力做负功，合力与速度方向相反； 又：不一样多，因为两种情况的拉力不一样。 4.2弹簧A 和B ，劲度系数B A k k > ，（1）将弹簧拉长同样的距离;(2)拉长两个弹簧到某个长度时，所用的力相同。在这两种情况下拉伸弹簧的过程中，对那个弹簧作的功更多？ 答：1）对弹簧A 做功更多。由于位移相同, A k 大,则用力大;

2）力相同，劲度系数越大，位移越小，对弹簧B 做功更多。 4.3 “弹簧拉伸或压缩时，弹性势能总是正的。”这一论断是否正确？如果不正确，在什么情况下，弹性势能会是负的。

答：不正确。如果选弹簧伸长量或压缩量最大时弹性势能为0，则会使弹性势能为负。 4.4一同学问：“二质点相距很远，引力很小，但引力势能大；反之，相距很近，引力势能反而小。想不通”。你能否给他解决这个疑难？

答：两质点由相距很远到相距很近,引力作正功,引力势能减少。

4.5人从静止开始步行，如鞋底不再地面上打滑，作用于鞋底的摩擦力是否作了功？人体的动能是从哪里来的？分析这个问题用质点系动能定理还是用能量守恒定律分析较为方便？

答：做功。摩擦力做功等于动能的增量。能量守恒定律。

4.6一对静摩擦力所做功的代数和是否总是负的？正的？为零？ 答：不是。

4.7力的功是否与参考系有关？一对作用力和反作用力所做功的代数和是否和参考系有关？答：力的功与参考系有关，一对作用力和反作用力所做功的代数和参考系无关。

4.8取弹簧自由伸展时为弹性势能零点，画出势能曲线。再以弹簧拉伸（或压缩）到某一程度时为势能零点，画出势能曲线。根据不同势能零点可画出若干条势能曲线。对重力势能和万有引力势能也可如此作。研究一下.

习题

4.2.2本题图表示测定运动体能的装置,绳拴在腰间沿水平展开跨过理想滑轮,下悬重物50kg,人用力向后蹬传送带而人的质心相对于地面不动,设传送带上侧以2m/s 的速率向后运动,问运动员对传送带做功否?功率如何? 解：运动员对传送带做功：P = FV=50×10×2 W=1000W

4.2.3一非线性拉伸弹簧的弹力的大小为3

21l k l k f +=.l 表示弹簧的伸长量,1k 为正.(1)研究当2k ＞0, 2k ＜0和2k =0时弹簧的劲度有何不同;(2)求出弹簧由1l 拉长至2l 时弹簧对外界所作的功. 解：3

21l k l k f +=

2213l k k dl

df

+=， k 1>0

的增大而增大

随的增大而增大随l k l k dl df

k l k l k dl df

k l k k f ,06,,0,,06,

0,

32222221<=<>=>+= 12,0k dl df k == k 与l 无关

)(41)(21)(4

14222122132121

l l k l l k dl l k l k A l l -+-=+=?

4.2.4一轻细线系一小球,小球在光滑水平桌面上沿螺旋线运动,绳穿过桌中心光滑圆孔,

用力向下拉绳.证明力对线做的功等线作用于小球的拉所做的功.线不可伸长.

证明：设绳作用于小球的拉力为T ，用dr 表示小球的元位移，则线绳作用于小球的拉力对小球作的元功为：

r d T dA ???= r d ?

r d r d r d ???21+= T ? r d ?1 r ?

r d T r d T r d T dA ??????121?=?+?=

???=?=?=s

s

s

Tdr r d T r d T A ?

???1

F = T

r d T Fdl l d F dA ?????==?=

4.2.5一辆卡车能够沿着斜坡以15kg/h 的速率向上行驶,斜坡与水平面夹角的正切tg α=0.02,所受阻力等于卡车重

量的0.04,如果卡车以同样的功率匀速下坡,卡车的速率是多少?

解：以卡车为研究对象。建立OX 坐标轴，平行于斜面，方向沿斜面向上。 上坡时 0sin =--αmg f F ααsin 04.0sin mg mg f F +=+= 02.0sin ==ααtg

上坡的功率：mgv v mg mg v F p 06.0)sin 04.0(=?+=?=α?

? 下坡时，0sin '

=-+-αmg f F

，

mg mg mg mg f F 02.002.004.0sin '=-=-=α

v F p '='， s m mg

mg v /5.1202.015

06.0=?='

4.3.1 质量为m=0.5kg 的木块可在水平光滑直杆上滑动。木块与以不可伸长的轻绳相连．绳跨过一固定的光滑小环．绳端作用着大小不边的力T=50N.木块在点A 时具有向右的速率0v =6m/s.求力T 将木块自A 点拉至B 时的速度． 解：研究对象《木块》

受力分析：T N W '???,,, 只有T '?

做功

r d T dA ?

??'=（可将力向位移上投影，也可将位移向力上投影）

??'=?'=4

cos dx T r d T A B A

α??

x

o

J

dx

x x 1003

)4(4504

2

2

=+--?

=?

由动能定理：

A mv mv

B =-2

022121 s m A m v v B /9.205

.0100*26222

=+=+= 4.3.2质量为1.2kg 的木块套在光滑铅直杆上．不可伸长的轻绳跨过固定的光滑小环，

孔的直径远小于它到杆的距离．绳端作用于恒力F ，F=60N.木块在A 处有向上的速度0v =2m/s ，求木块被拉至B 时的速度．

解：以A 为原点建O-y 坐标系 y

?

?-=?+=B

A

dy mg T r d W T A 5

.00

)cos ()(θ???

kg m N T y y

2.1,60,5

.0)5.0(5.0cos 2

2

==+--=

θ

s m v A /2= O s m v A mv mv B A B /86.32

1212

2=?=- 4.3.3质量为m 的物体与轻弹簧相连，最初，m 处于使弹簧既

未压缩也为伸长的位置，并以速度0v 向右运动．弹簧的劲度系数为k ，物体与支承面之间的滑动摩擦系数为μ．求证物体能达到的最远距离l 为

??

??

??-+=

11222

0mg kv k mg l μμc

证明：由动能定理

2

0212

10mv E A A k -=?=+

弹性力做功：2

12

1)(kl dx kx A l

-=-=? 阻力做功：mgl dx mg A l μμ-=-=

?0

2)(

2022

121mv mgl kl -=--μ )11(222

0-+=

mg

kv

k mg

l μμ 4.3.4圆柱形容器内装有气体容器内壁光滑。质量为m 的活塞将气体密封。气体膨胀前后

的体积各为1v 和2v ,膨胀前的压强为1p .活塞初速度为0v .(1)求气体膨胀后活塞的末速率，已知气体膨胀是气体的体积和压强满足pv=恒量。（2)若气体的体积和压强满足γ

PV =恒量.，活塞的末速率又如何？（本题用积分）

解：1)气体膨胀后对外做功：20221212

1

mv mv E pdv A k v v -=

?==

? 代入上式，则常数V

V

p p c pv 11),(==

即 2

0212112

121ln mv mv V V V p -=

则，2012112

1ln 2v V V m V p v +=

2）若气体的体积和压强满足γ

PV =恒量

即 2

0212112

121ln

2

1

mv mv V V V p pdv A v v -===?

γγ

2012112

1

ln 2v V V m V p v +=

γγ

4.3.5 O’坐标系与O 坐标系各对应轴平行，O’相对于O 沿x 轴以0v 作匀速直线运动，对于O 系,质点动能定理为2

1222

121mv mv x F -=

?. 1v 和2v 沿x 轴,根据伽利略变换证明:相对于O’系动能定理也取这种形式.

证明：两个惯性系：o-xyz, o ˊ-x ˊy ˊz ˊ

伽利略变换：由o 系到o ˊ系的变换：

????

??

?='='='-='t

t z z y y ut x x )()(12t x t x x -=?

[][][]t

u x t t u t x t x ut t x ut t x ?+'?=-+'-'=+'-+'=)()()()()(12121122

速度变换：u v v x x -='

加速度变换：x x a a ='

作用力不因参考系而改变：F F ='

)(t u x F x F ?-?='?'t Fu x F ?-?= =t Fu mv mv ?--2

1222

121

t Fu v v mu v m v m t Fu u v m u v m ?-'-'+'-'=?-+'-+'=)(21

21)(21)(211221222122

由 t

a v v ma F x x

?'='-'=12

则：2122

2

1

21v m v m x F '-'='?' 具有形式不变性。 4.3.6带电量为e 的粒子在均匀磁场中的偏转A 表示发射带电粒子的离子源,发射出的粒

子在加速管道B 中加速,得到一定速率后于C 处在磁场洛伦兹力作用下偏转,然后进入漂移管道D,若离子质量不同或电量不同或速率不同,在一定磁场中偏转的程度也不同,在本题装置中,管道C 中心轴线偏转的半径只有一定质量的离子能自漂移管道D 中引出,这种装置能将特定的粒子引出,称为 “质量分析器”,各种正离子自离子源A 引出后,在加速管中受到电压为U

的电场加速,设偏转磁感应强度为B,偏转半径为R,求证在D 管中得到的离子的质量为

U qR B m 22

2=

解：由R mv Bqv mv qU 2

22

1=

=

则： U

qR B m 22

2=

4.3.7轻且不可伸长的线悬挂质量为500g 的圆柱体,圆柱体又套在可沿水平方向移动的框架内,框架槽沿铅直方向,框架质量为200g,自悬线静止于铅直位置开始,框架在水平力F=20.0N 作用下移至图中位置,求圆柱体的速度,线长20cm ,不计摩擦. 解： 利用质点系动能定理

研究对象《圆柱体和框架》

受力分析：T F W ?

??,,

坐标系：o-x

设圆柱体速度为v 1,框架速度为v 2

则：2121v v v ???+=

在x 轴上投影：x x v v 210+= 即 2130cos v v =ο

动能增量：0)2

121(2

22211-+

=?v m v m E k

合外力的功：A=)30cos 1(30sin ο

ο--mgl Fl 则 k E A ?= , v 1 = 2.4 m/s

4.4.1二仅可压缩的弹簧组成一可变劲度系数的弹簧组,弹簧1和2的劲度系数各为1k 和2k .它们自由伸展的长度相差l 坐标原点置于弹簧2自由伸展处,求弹簧组在0≤x ≤l 和x<0时弹性势能的表示式

解：坐标原点置于弹簧2自由伸长处， 弹簧组的势能为两个弹簧的势能和

1）l x ≤≤0时弹簧2不可伸长，故02=p E 只有弹簧1起作用：)(1l x k F x --=

dx l x k E E x

p p ?---==0

11)(

lx k x k 1212

1

-=

2）0

dx x k dx l x k E x

x p ??-----=0

20

1)(

lx k x k k 1221)(2

1

-+=

4.5.1滑雪运动员自A 自由滑下，经B 越过宽为d 的横沟到达平台C 时,其速度c v 刚

好在水平方向，

已知A,B 两点的垂直高度为25m.坡道在点B 的切线方向与水平面成30°角，不计摩擦.求(1)运动员离开B 处的速率B v ，(2)B,C 的垂直高度差h 及沟宽d,(3)运动员到达平台时的速率

c v .

解：仅内保守力做功，机械能守恒

E A = E B = E C

（1）s m gh v mv mgh AB B B AB /4.2222

12

==?=

（2） ο

ο30sin ,30cos B B c v gt v v == s g

v t B 12.130sin 0=

m t v h B 28.630sin 2

1

==ο

m COS v d B 75.2112.12

3

4.2212.1300=??=?=

（3）s m v v B c /2.1930cos 0

0==

4.5.2装置如图所示.球的质量为5kg,杆AB 长1m,AC 长0.1m,A 点距O 点0.5m,弹簧的劲度系数为800N/m,杆在水平位置时恰为弹簧自由状态,此时释放小球,小球由静止开始运动.求小球到铅直位置时的速度.不计弹簧质量及杆的质量,不计摩擦.

解：把球、杆、弹簧、地球看成一个系统

整个过程中系统只有内保守力做功，系统机械能守恒

222

1

21x k mv AB mg ?+=

Δx =0.1m,AB=1m,m=5kg,k=800N/m

得 v =4.28m/s

4.5.3物体Q 与一劲度系数为24N/m 的橡皮筋连结,并在一水平圆环轨道上运动,物体Q 在A 处的速度为1.0m/s 。已知圆环的半径为0.24m ，物体Q 的质量为5k 。由橡皮筋固定端至B 为0.16m,恰等于橡皮筋的自由长度求(1)物体Q 的最大速度;(2) 物体Q 能否达到D 点,并求出在此点的速度.

解：研究对象《质点与橡皮筋》。支持力过圆心O 不作功，在水平面运动，重力不作功

仅内保守力弹力做功，机械能守恒。B 点为弹力势能的零点

E l k mv =?+22)(2121， 22)(2l m k m E v ?-= （1） 当l ?=0时，既B 点，物体的速度最大

2max 21mv E E KA PA =

+ 2

221)(21A KA PA mv

OB OA k E E +-=+

J 58.30.1*5*2

1

)16.046.0(*24*212

2=+-= s m s m v /2.1/558

.32max =?=

（2）假设Q 能到D 点，则 KD PD KA PA E E E E +=+

2221)(21D KA PA mv OB OD k E E +-=

+ J v D

58.3*5*2

1)16.064.0(*24*2122=+-= V D = 0.58 m/s ，所以可以到达D 点。

4.6.1卢瑟夫在一篇文章中写道:可以预言,当α粒子和氢原子相碰时,可使之迅速运动起来.按正碰撞考虑很容易证明.氢原子速度可达α粒子碰撞前速度的1.6倍,即占入射α粒子能量的64%,试证明此结论(碰撞是完全弹性的,且α粒子质量接近氢原子质量的四倍) .证明：022*******%64)6.14

1

(21)6.1(4121k k E v m v m E =?=?=

4.6.2 m 为静止车厢的质量,质量为M 的机车在水平轨道上自右方以速率V 滑行并与碰撞

挂钩.挂钩后前进距离s 然后静止.求轨道作用于车的阻力.

解：以两个车厢的系统为研究对象，挂钩时系统满足动量守恒

2

1

1

)(210)(v m M fs v m M Mv +-=-+= 则 )

(22

2m M s v M f +=

4.6.3两球具有相同的质量和半径,悬挂于同一高度.静止时,两球恰好能接触且悬线平行,碰撞的恢复系数为 e,若球A 自高度h1释放,求该球弹回后能达到的高度.又问若二球发生完全弹性碰撞,会发生什么现象,试描述之. 解：恢复系数：20

101

2v v v v e --=

（

），020=v

1） 由动量守恒2211101v m v m v m +=

由机械能守恒112

1012

1gh m v m = 联立得 101)1(21

v e v -=

所以 2121)1(4

1

2e h g v h -==

2） 在完全弹性碰撞中，两球交换速度，则摆的高度相同。

4.6.4质量为2g 的子弹以500m/s 的速度射向质量为1kg 用1m 长的绳子悬挂着的摆.子

弹穿过摆后仍有100m/s 的速度.问摆沿铅直方向升起若干. 解：分两个阶段考虑

1） 子弹射入摆并穿过，水平方向动量近似守恒： 2211101v m v m v m +=

可得 s m s m m v v m v /8.0/1

)

100500(102)(3211012=-?=-=-

2） 摆的上升：由机械能守恒

gh m v m 22

222

1= 可得m m g v h 032.010

28.022

2

2=?==

4.6.5一质量为200g 的框架,用一弹簧悬挂起来,使弹簧伸长10cm.今有一质量为200g 的铅块在高30cm 处从静止开始落进框架.求此框架向下移动的最大距离.弹簧质量不计.

解：参考系《地面》

坐标系：以框架平衡位置为原点建O-X

1） 1m 自由下落阶段

研究对象《1m 与地球》

仅内保守力做功，机械能守恒

gh v v m gh m 22

102

011=?=

2）研究对象《1m 与2m 》 碰撞过程无限短，内力》外力 而v m m v m m m )(,210121+==

gh v v 22

1

210==

3) 碰后铅快与框架一起下落过程 研究对象《1m +2m ,地球，弹簧》 仅内保守力做功，机械能守恒

以o 点为重力势能零点，弹簧自由伸展状态为弹性势能零点，

202210)(2

1

)(21l k v m m E ?++=

2021)(2

1

)(m m x l k gx m m E +?++-=

m

x E E l g

m k m 3.0,0

01==?=

4.6.6质量为1m =0.790kg 和2m =0.800kg 的物体以劲度系数为10N/m 的轻弹簧相连,置

于光滑水平桌面上.最初弹簧自由伸张.质量为0.01kg 的子弹以速率v =100m/s 沿水平方向射于1m 内,问弹簧最多压缩了多少? 解：第一阶段：子弹射入1m 研究对象《1m ，m 》

碰撞时间无限短，此时弹簧压缩很小，可忽略，系统动量守恒： 110)(v m m mv +=

第二阶段：一起运动

研究对象《1m +m, 2m ，弹簧》 仅内保守力做功，系统机械能守恒

22212211)(2

1)(21)(21v m m m x k v m m +++?=+ 动量守恒：22111)()(v m m m v m m ++=+

解得 Δx = 0.25 m

4.6.7一10g 的子弹沿水平方向以速率110m/s 击中并嵌入质量为100g 小鸟体内，小鸟原来站在离地面4.9m 高的树枝上，求小鸟落地处与树枝的水平距离。 解：由动量守恒 12110)(v m m mv += s m s m m m v m v /10/11

.0110

01.0)(211011=?=+=

落地所需时间：s g

h

t 27.010

49

22=?==

水平距离 m m t v l 11.1227.0101=?==

4.6.8在一铅直平面内有一光滑的轨道,左边是一个上升的曲线,右边是足够长的水平直线,二者平滑连接,现有A,B 两个质点,B 在水平轨道上静止,A 在曲线部分高h 处静止滑下,与B 发生完全弹性碰撞.碰后A 仍可返回上升到曲线轨道某处,并再度滑下,已知A,B 二质点的质量分别为1m 和2m .求A,B 至少发生两次碰撞的条件. 解：第一阶段：A 下滑，

研究对象《A ，地球》

仅内保守力做功，系统机械能守恒

gh v v m gh m 22

102

011=?=

第二阶段：A 与B 发生完全弹性碰撞，

研究对象《A ，B 》

动量守恒：x x v m v m v m 2211101+=

动能守恒：

2222112101212121x x v m v m v m += 2211,v v v v x x =-=

解得：gh m m m m v 21

21

21+-=

gh m m m v 221

21

2+=

第三阶段：A 返回某高度又滑下，仍满足机械能守恒，返回后的速度仍为1v ，只要2

1v v >就能再碰。

gh m m m m 21

212+-gh m m m 221

21

+>

123m m >

4.6.9一刚球静止的方在铁箱的光滑底面上,如图示.CD 长L 铁箱与地面间无摩擦.铁箱被加速至0v 时开始做匀速直线运动.后来刚球与箱壁发生完全弹性碰撞.问碰后再经过多长时间刚球与BD 壁相碰 解：研究对象

动量守恒,动能守恒 22212

1

2102

1212

1

x

x x x mv Mv Mv mv Mv Mv +=+= 01v m M m

M v x +-=

022v m

M M v x

+= 车与箱的相对速度：002112||||v v m

M m

M v v v x x =++-

=-=

所以，再次相碰：t = L/v 0

4.6.10二车厢质量均为M.左边车厢与其地板上质量为M 的货箱共同向右以0v 运动.另一车厢以20v 从相反方向向左运动并与左车厢碰撞挂钩,货箱在地板上滑行的最大距离为L. 求: (1)货箱与车厢地板间的摩擦系数; (2)车厢在挂钩后走过的距离,不计

车地间摩擦.