高三数学一轮复习 专题六闯关 新人教版
2013年高三数学一轮复习 专题六知能演练轻松闯关 新人教版
1.某公司有一批专业技术人员,对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查,其结果(人数分布)学历 35岁以下 35~50岁 50岁以上 本科 80 30 20 研究生 x 20 y
(1)5的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2人,求至少有1人的学历为研究生的概率; (2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N 个人,其中35岁以下48人,50岁以上10人,再从这N 个人中随机抽取出1人,此人的年龄为50岁以上的概率为5
39,求x 、y 的值. 解:(1)用分层抽样的方法在35~50岁中抽取一个容量为5的样本,设抽取学历为本科的人数为m , ∴3050=m
5
,解得m =3. ∴抽取了研究生学历的2人,本科学历的3人,分别记作S 1、S 2;B 1、B 2、B 3.
从中任取2人的所有基本事件共有10个:(S 1,B 1),(S 1,B 2),(S 1,B 3),(S 2,B 1),(S 2,B 2),(S 2,B 3),(S 1,S 2),(B 1,B 2),(B 2,B 3),(B 1,B 3).
其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个:(S 1,B 1),(S 1,B 2),(S 1,B 3),(S 2,B 1),(S 2,B 2),(S 2,B 3),(S 1,S 2).
∴从中任取2人,至少有1人的教育程度为研究生的概率为7
10
.
(2)依题意,得10N =5
39
,解得N =78.
∴35~50岁中被抽取的人数为78-48-10=20.
∴4880+x =2050=1020+y . 解得x =40,y =5.
2.某市为了了解今年高中毕业生的体能状况,从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试,成绩在8.0米以上的为合格.把所得数据进行整理后,分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图),已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30.第6小组的频数是7.
(1)求这次铅球测试成绩合格的人数;
(2)若由直方图来估计这组数据的中位数,指出它在第几组内,并说明理由;
(3)现在要从第6小组的学生中,随机选出2人参加“毕业运动会”,已知该组a 、b 的成绩均很优秀,求两人至少有1人入选的概率.
解:(1)第6小组的频率为1-(0.04+0.10+0.14+0.28+0.30)=0.14,
∴此次测试总人数为7
0.14
=50(人).
∴第4、5、6组成绩均合格,人数为(0.28+0.30+0.14)×50=36(人).
(2)直方图中中位数两侧的面积相等,即频率相等.前三组的频率和为0.28,前四组的频率
和为0.56,
∴中位数位于第4组内.
(3)a 、b 均不入选的概率为C 2
5C 27,a 、b 至少有1人入选的概率为1-C 2
5C 27=11
21
.
3.设函数f (x )=x 2
-2a -1x +b 2
的定义域为D .
(1)a ∈{1,2,3,4},b ∈{1,2,3},求使D =R 的概率; (2)a ∈[0,4],b ∈[0,3],求使D =R 的概率. 解:(1)因为a ∈{1,2,3,4},b ∈{1,2,3}, 所以(a ,b )的所有可能为(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),共计12种.
要使D =R ,需4(a -1)2-4b 2
≤0,即|a -1|≤|b |,
那么满足D =R 的(a ,b )的所有可能为(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(4,3),共计9种.
所以其概率为P =912=3
4
.
(2)因为a ∈[0,4],b ∈[0,3],所以所有的点(a ,b )构成的区域的面积为12,而D =R ,有
4(a -1)2-4b 2
≤0,即|a -1|≤|b |,满足|a -1|≤|b |,a ∈[0,4],b ∈[0,3]的点(a ,b )构
成的区域的面积为7,故所求概率P =7
12
.
4.张先生家住H 小区,他工作在C 科技园区,从家开车到公司上班路上有L 1,L 2两条路线,
L 1路线上有A 1,A 2,A 3三个路口,各路口遇到红灯的概率均为1
2
;L 2路线上有B 1,B 2两个路口,
各路口遇到红灯的概率依次为34,3
5
.
(1)若走L 1路线,求最多遇到1次红灯的概率; (2)若走L 2路线,求遇到红灯次数X 的数学期望;
(3)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求,请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线,并说明理由.
解:(1)设走L 1路线最多遇到1次红灯为A 事件,则P (A )=C 0
3×? ??
??123+C 13×12×? ????122=12.
所以走L 1路线,最多遇到1次红灯的概率为1
2
.
(2)依题意,知X 的可能取值为0,1,2.
P (X =0)=(1-34)×(1-35)=1
10,
P (X =1)=34×(1-35)+(1-34)×35=9
20,
P (X =2)=34×35=9
20
.
随机变量X X 0 1 2
P 110 920 920
EX =110×0+920×1+920×2=20
.
(3)设选择L 1路线遇到红灯次数为Y ,随机变量Y 服从二项分布,Y ~B (3,12),所以EY =3×
1
2
=32
. 因为EX 5.A 、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2,根据市场分析,X 1和X 2的分布列分别为 (1)在A ,B 两个项目上各投资100万元,Y 1和Y 2分别表示投资项目A 和B 所获得的利润,求方差DY 1、DY 2; (2)将x (0≤x ≤100)万元投资A 项目,100-x 万元投资B 项目,f (x )表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和.求f (x )的最小值,并指出x 为何值时,f (x )取到最小值. 解:(1)由题设可知Y 1和Y 2的分布列分别为 EY 1=5×0.8+10×0.2=6, DY 1=(5-6)2×0.8+(10-6)2×0.2=4; EY 2=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8, DY 2=(2-8)2×0.2+(8-8)2×0.5+(12-8)2×0.3=1.2. (2)f (x )=D (x 100Y 1)+D (100-x 100 Y 2) =(x 100)2DY 1+(100-x 100)2 DY 2 =41002[x 2+3(100-x )2 ] =4100 2(4x 2-600x +3×1002 ), 当且仅当x =600 2×4 =75时,f (x )=3为最小值. 6.(2011·高考辽宁卷)某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成n 小块地,在总共2n 小块地中,随机选n 小块地种植品种甲,另外n 小块地种植品种乙. (1)假设n =4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为X ,求X 的分布列和数学期望; (2)试验时每大块地分成8小块,即n =8,试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的 2 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应该种植哪一品种? 附:样本数据x 1,x 2,…,x n 的样本方差s 2=1n [(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2 ],其 中x 为样本平均数. 解:(1)X 可能的取值为0,1,2,3,4,且 P (X =0)=1C 48=170,P (X =1)=C 14C 3 4C 48=8 35, P (X =2)=C 24C 24C 48=1835,P (X =3)=C 34C 14C 48=8 35, P (X =4)=1C 48=1 70 . 即X 的分布列为 X 的数学期望为 EX =0×170+1×835+2×1835+3×835+4×1 70 =2. (2)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:x 甲=1 8 (403+397+390+404+ 388+400+412+406)=400, 2S 甲=18 [32+(-3)2+(-10)2+42+(-12)2+02+122+62 ]=57.25. 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为: x 乙=1 8(419+403+412+418+408+423+400+413)=412, 2S 乙=18 [72+(-9)2+02+62+(-4)2+112+(-12)2+12 ]=56. 由以上结果可以看出,品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数,且两品种的样本方差差异不大,故应该选择种植品种乙.