数学习题课教学有效性策略初探

数学习题课教学有效性策略初探
在数学教学中，习题课是一种重要的课型，具有使学生巩固及应用所学知识、培养学生数学应用意识和能力的作用.它是教师掌握教学情况，及时反馈调节的一种重要手段.因此，加强习题课教学的实践与探索显得尤为重要.然而，在实际教学中，许多教师对习题课仍存在着极大的盲目性和随意性，“重操练，轻理解；重笔算，轻推理；重算法，轻应用”的倾向依然存在.那么，如何改进数学习题课教学，提高习题课的有效性呢？
一、追溯误区，弥补学生的思维缺陷
数学错误是数学学习过程的重要组成部分.英国数学会会长schwerzenberger曾提出这样的观点：“错误在数学学习中与正确一样重要，让我们了解学生心里可能的想法，其错误并非漫无目的地发生，而是有理由的.”台湾大学数学系黄敏晃教授认为：“能把学生为什么会犯错背后的原因找出来，则比较容易进行补救性教学，来匡正或预防学生的犯错行为.”在平时教学中，为了更好地让学生找到错误的原因，笔者将学生作业中的经典错题用照相机拍下来，并在习题课中进行展示.
【案例1】笔者在上一元一次方程解法的习题课时，设置了名为“曾经错过”的环节（如下图所示），让学生从中找出错误的地方. 由于这些错误源于学生，所以学生比较熟悉，也很感兴趣.每个学生瞪大眼睛仔细地找，没过多久他们就将这些错误一一找出.学生在认真、细致观察这些解题错误后，有的还小声地说：“我不能
再犯类似错误了.”对于教师而言，学生的这些错误是一笔丰厚的“财富”.这些“财富”能让教师追溯学生的思路，从而捕捉到学生智慧的火花；能让教师对教学进行反思，从中受益；能让教师看到学生的欠缺，帮助他们弥补思维的缺陷.
二、善于拓展，深化学生的思维品质
课堂上如果教师就题论题，就会把习题课变成简单、浅薄、贫乏的解题训练课.因此，教师应善于对习题进行拓展.对习题进行合理、有效地拓展，可以使教学内容更充实、更丰富多彩，使课堂充满活力和生命力，从而优化教学效果，提高教学质量.
【案例2】这是市学科骨干班上一位教师上的一堂《直角三角形》习题课的教学片断.
图1环节一：“会会老朋友”
教师出示一道课本习题：如图1，ab⊥bd于点b，cd⊥bd于点d，p是bd上的一点，且ap=pc，ap⊥pc，则△abp≌△pdc，请说明理由.（学生口答）
教师对原题进行修改：已知ab⊥bd于点b，cd⊥bd于点d，p是bd上的一点，那么△abp≌△pdc，这个结论成立吗？
教师趁机抛出条件串：（1）ap=pc；（2）ab=pd；（3）pb=cd；（4）ap⊥pc.问：你能在条件串中进行挑选，补充与原题不一样的条件，使结论成立吗？（学生一一展示各种可能情况）在此基础上，连结ac，问：△apc是一个什么三角形？
环节二：展示两个应用
应用一
图2如图2，是由两个全等的长方形拼出的英文字母“l”，其中b、c、d在同一条直线上，你能借助图中的顶点画出一个等腰直角三角形吗？
这是一道操作题，它是结论开放性题目，学生可根据自己的实际水平来解决.大多数学生很快得到满足要求的△bhc、△ecd，最后在教师引导下又找到△acf.
应用二问题1：如图3，ab⊥bc，cd⊥bc，垂足分别为b、c. （1）当ab=1，cd=4，bc=5时，线段bc上是否存在点p，使△apd 为等腰直角三角形？如果存在，求线段bp的长；如果不存在，请说明理由.
（2）在图3中，当ab=a，cd=b，bc=c时，那么当a、b、c之间满足什么关系时，在直线bc上存在点p，使△apd为等腰三角形？图3 图4
问题2：给你一张长方形纸，你能不借助任何工具，折出如图4所示的等腰直角三角形吗？
在这堂课中，教师从课本习题入手，以学生常见的“k”图形为基点铺开，通过改变条件、结论，把散落的相似题型融合在本题之中，再对基础图形进行拓展，把图形放置于“直角梯形”之中，变静为动，以“点动”带动图形的运动变化，探究几何图形中的存在性问题及几何定值问题，并进行逆向思维的渗透，让学生将相似的数学情境和相关知识罗列在一起，得出相关问题的思路方法，逐渐
总结归纳出同类问题的思维模式、解题方法与技巧.
三、雕琢细节，培养学生思维的严谨性
“课堂小细节，教学大文章.”教学细节犹如课堂中的精灵，充盈着灵动的智慧，洋溢着人性的光辉.教学细节看似平常，但平常中蕴含智慧；看似简单，而简单中孕育深刻.在应试教育的背景下，教师应敏锐地预见某些细节所根植的数学知识在未来的发展趋势，做到未雨绸缪.
【案例3】已知：|a-5|+b-5+（c-20）2=0，求a、b、c的值. 分析：这道题初看不难，它是初中阶段三个非负数的综合应用，但若再融进偶次幂和完全平方的变式，估计就会难倒一大片学生.这时，不妨将细节雕琢得更细一些，让学生能够后续发力.为此，笔者设计如下题组.
题目求下列各式中字母的值.
①|a-5|+b-5=0
②|a-5|+b-5+（c-20）2=0
③|a-1|+b-2+c2+6c+9=0
④|a-1|+b-2+c2+6c+d2-22d+11=0
随着题组梯度的逐步拔高，学生的思维不断得到激发，解题思路也逐渐形成.如此逐步雕琢细节，或许时间只多用了2～3分钟，但对于学生来说，知性感受将会是完全不同的.关注教学细节是提升教学智慧、提高教学实效的必由之路.只有从小处入手，大做文章，我们的课堂教学才会呈现出更多的细节之美，进而更有效地促进每
一个学生的发展.
四、优化练习设计，激发学生的求知欲
单一形式习题的反复练习，只是一种无差度的重复练习，虽然在某种程度上也能达到巩固知识的目的，但是由于这样的练习题是机械的、枯燥乏味的，所以它无法激起学生的兴趣，不利于形成学生良好的持久记忆，更不利于发展学生的数学思维能力.因此，在课堂教学中，应经常设计一题多解、一题多变等练习，开阔学生的视野，培养学生思维的灵活性、发散性和创造性，使学生在练习训练的同时，能力也得到相应的提高.
【案例4】如图5，ab∥cd，若∠c=60°，∠a=35°，求∠aec 的度数.
解法一：如图6，过e点作ef∥ab，利用平行线性质得∠aec=95°. 解法二：如图7，延长ae交cd于点f，利用平行线性质和三角形外角定理得∠aec=95°.
本题关键是化折为直，利用“三线八角”和三角形内外角知识来解决.
将此题中的图形稍加改变，可得到如下一组变式练习.
变式1：如图8，已知ab∥cd，求证：∠b+∠e+∠d=360°.
变式2：如图8，已知∠b+∠e+∠d=360°，那么ab∥cd吗？为什么？
变式3：如图9，已知ab∥cd，那么∠a，∠c，∠e满足怎样的关系？
变式4：如图10，已知ab∥cd，那么∠b，∠d，∠e满足怎样的关系？
变式5：如图11，已知ab∥cd，求∠b，∠e，∠f，∠c满足怎样的关系？
变式6：如图12，已知ab∥cd，bf平分∠abe，df平分∠cde，∠e=75°，求∠f的度数.
通过以上的一题多解和一题多变的训练，学生掌握了这个问题的实质和规律，加深了对同类问题的理解.再遇到“改头换面”的类似题目时，学生就会得心应手、游刃有余，真正做到“解一题会一片”，从而脱离“题海”，提高学习效率.
五、提炼思想方法，促进学生思维发展
数学思想是数学思维的核心，是数学知识与方法的抽象与概括，是数学的灵魂.而习题课教学是培养学生数学思想方法的最佳时机.教师在习题课教学中应注意提炼数学思想方法，强化学生对数学思想方法的应用，这有利于学生优化认知结构，活化所学知识，深化思维层次，从而提高数学解题能力.
【案例5】七年级期末习题课中，笔者给出了一道题目：化简
x-12+2-x3.并请两位学生板演.其中一位学生通过通分求出正确的结果，而另一位学生的解题过程是：原式=3（x-1）+2（2-x）
=3x-3+4-2x=x+1.当笔者点评这位学生的解法时，引来了一些嘲笑.于是笔者立即问：“这位同学错在哪儿呢？”学生回答道：“他把方程变形（去分母）搬到解计算题上了，结果丢了分母.”这个做错
的学生面红耳赤，低下了头.这时笔者顺水推舟，来了一个“将错就错”：“刚才这位同学把计算题当作方程来解，虽然解法错了，但却给我们一个启示：若能将该题去掉分母来解，其解法确实简洁明快，因此我们能否考虑利用方程思想来解决它呢？”由此得出一个新颖的解法，具体如下.
解：设x-12+2-x3=a，
去分母得：3（x-1）+2（2-x）=6a，
去括号得：3x-3+4-2x=6a，
合并同类项得：x+1=6a，
解得：a=x+16.
所以此题的结果是x+16 .（此时，那位做错的学生终于笑了.）学生都赞叹这种用方程思想解题的方法，觉得很有创意，同时明白代数式问题也可以用方程思想来解决，从而体会到方程思想在解题中的妙用，也验证了数学家笛卡尔说过的话：“一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，而一切代数问题又都可以转化为方程问题.因此，一旦解决了方程问题，一切问题将迎刃而解！”
总之，教学过程是一个不断探索与实践的过程，是一项系统工程.我们应正确认识习题课教学的重要性，运用科学的方法组织习题课教学（由题海战术向习题精选转变，由重知识向重思维过程转变，由重掌握向纠错反思转变，由就题论题向借题发挥转变），真正发挥习题功效，让习题课教学更有效，更高效，从而更好地培养学生
的解题技巧，提高学生的思维能力，达到培养学生能力、提高学生素质之目的.
（责任编辑黄春香）。