角平分线题型训练

角的平分线

知识点一、角平分线的作法

作图题（不写作法，保留痕迹，写结论）

（1）作∠AOB角平分线；

（2）作线段AB垂直平分线．

如图，已知△ABC，请你作出AB边上的高CD，AC边上的中线BE，角平分线AF（不写作法，保留痕迹）

阅读材料：如图，AB=AC，BD=CD，则可证得AD平分∠BAC，据此我们引出了“角平分线”的尺规作法．

问题：如图，AD=AE，AB=AC，也可证得AP平分∠BAC，据此我们能否引出了“角平分线”的第二种尺规作法呢？请在图中尝试着画出∠α的平分线．

知识点二、角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等

到三角形三边的距离相等的点是三角形（）

A．三条边上的高的交点B．三个内角平分线的交点

C．三边上的中线的交点D．以上结论都不对

下列说法：①角的内部任意一点到角的两边的距离相等；?②到角的两边

距离相等的点在这个角的平分线上；③角的平分线上任意一点到角的两边

的距离相等；④△ABC 中∠BAC 的平分线上任意一点到三角形的三边的距离

相等，其中正确的（）

A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个

已知AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于E，且DE=3cm，则点D 到AC 的距

离是()

A.2cm

B.3cm

C.4cm

D.6cm

如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6㎝，则△DEB的周长为（）

A、4㎝

B、6㎝

C、10㎝

D、不能确定

如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）

如图，已知点P 到AE、BC 的距离相等，则下列说法：①点P 在∠BAC 的AD、

平分线上；②点P 在∠CBE 的平分线上；③点P 在∠BCD 的平分线上；④点P

是∠BAC、∠CBE、∠BCD 的平分线的交点，其中正确的是( )

A.①②③④

B.①②③

C.④

D.②③

如图，△ABC 中，AC⊥CB，CD 平分∠ACB，点E 在AC 上，且CE=CB，?则下

列结论：①CD 平分∠BDE；②BD=DE；③∠B=∠CED；④∠A+∠CED=90°．?

其中正确的有（）

A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个

如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）

A．11 B．5.5 C．7 D．3.5

如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB．

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于D，DE⊥AB于E，若DE=1cm，∠CBD=30°，求∠A的度数和AC的长．

（1）填空：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD是△ABC的角平分线，过点D作辅助线DE⊥AB 于点E，则可以得到AC、CD、AB三条线段之间的数量关系为．

（2）如图，若将（1）中条件“Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°”改为“△ABC中，∠C=2∠B”请问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的猜想．

如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PE⊥OA交OA于E，PF⊥OB 交OB于F，Q是OC 上的另一点，连接QE，QF．求证：QE=QF．

知识点三、角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上

如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________

如图所示，AB=AD ，∠ABC=∠ADC=90°，则①AC 平分∠BAD ；②CA 平分∠BCD ；③AC 垂直平分BD ；④BD 平分∠ABC ，其中正确的结论有（）

A ．①②

B ．①②③

C ．①②③④

D ．②③

如图，在△ABC 中，AQ=PQ ，PR=PS ，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，则三个结论①AS=AR ；②QP ∥AR ；③△BPR ≌△QSP 中（）

A ．全部正确

B ．仅①和②正确

C ．仅①正确

D ．仅①和③正确

如图，P 是∠BAC 内的一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F ，AE=AF ．求证：

（1）PE=PF ；

（2）点P 在∠BAC 的角平分线上．

如图：AB=AC ，BD=CE 。求证：OA 平分∠BAC 。

知识点四、变形题

如图，AB∥CD，O为∠BAC，∠ACD平分线的交点，OE⊥AC交AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于

如图，已知CE、CF 分别是△ABC 的内角和外角平分线，则图中与∠BCE 互余的角有( ) A.4 个B.3 个C.2 个D.1 个

（翻折，求角度）如图：将一张矩形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（F在BC边上，不与B、C重合）使得C点落在矩形ABCD内部的E处，FH平分∠BFE，则∠GFH的度数α满足（）A．90°＜α＜180°

B．α=90°

C．0°＜α＜90°

D．α随着折痕位置的变化而变化

已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE垂直AB于E，DF垂直AC于F，（1）AD⊥EF,(2)当有一点G从D点向A运动时，GE垂直AB于E，GF垂直AC于F，此时（1）中结论是否成立？(3)当G从D点向其延长线运动时，GE垂直AB于E，GF垂直AC于F，此时（1）中结论是否成立？

尺规作图(二)角平分线

课题：基本作图（二）-----角平分线及其性质教学重点：角平分线的尺规作图、性质定理及它们的应用。教学难点：理解角平分线尺规作图的依据，以及角平分线性质定理的应用；教学目标： 1．知识与技能：掌握角平分线的尺规作图方法及角平分线的性质定理，并用它们解决相关问题； 2．过程与方法：学生经历动手实践、合作交流、演绎推理的过程，学会理性思考，从而提高解决简单问题的能力。 3．情感与态度：经过对角的平分线的性质的探索与形成的过程，发展应用数学知识的意识与能力，养成良好的学习态度和严谨的科学态度。教学过程：实际问题引入：若要在S区建一个瞭望塔，安排人员进行环境监测，要求瞭望塔到三条公路的距离都相等，请问瞭望塔应建于何处？预设一：学生想到作高线，找交点。预设二：学生想到作中线，找交点。预设三：学生想到作角平分线，找交点。（在此情况下，学生分组进行画图实验，之后比较，猜想哪种做法是有可能正确的，之后引出作角平分线的方法，既然作角平分线的方法有可能，那就研究标准的作角平分线的的方法，研究猜想是否正确。）

【活动一】作角平分线。（一）提出问题：你能自己想办法做出一个角的角平分线吗？（学生自己考虑解决问题的方法）预设一：学生估计角度的大小，直接画出近似的角平分线；预设二：学生用折纸的方法完成；预设三：学生用量角器度量功能完成；预设四：学生用直尺量出AO=BO,联结AB ，确定AB 中点C ，之后作射线预设五：学生用直尺量出AO=BO,分别过A,B 作OA,OB 的垂线，两条垂线相交于点C ，之后作射线OC; 预设六：学生思考到尺规作图的方法，但是不能准确叙述或者是完成；预设七：学生可以用尺规作图的方法完成。如果学生出现预设中的一、二、三、四、五情形的时候，老师适时提出：预设一不准确，预设二相对准确些，但是不便于操作，预设三、四、五，这时可以提问：如果我们没有刻度尺，没有半圆仪这些带刻度的工具，我们能不能考虑其他方法解决这个问题呢？如何做呢？如果学生考虑到了预设六、七中的尺规作图，鼓励学生继续思考，如果学生不能完成，老师可以带领学生完成，如果有的学生能够完成，可以教师带领学生写好已知、求作，由学生演示做法。（二）已知：∠BOA 求作：∠BOA 的角平分线作法： 1. 以 O 为圆心，任意长度为半径作弧，分别与角的两边交于点 D 、E; 2. 分别以 D 、E 为圆心，大于DE 一半的相同长度为半径作弧,两弧在角的内部交于 C; 3. 作射线 OC.∴射线 OC 为∠BOA 的角平分线

《角平分线的判定》同步练习题

第2课时角平分线的判定一、选择题 1．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（） A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点 C. 三条边的垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点 2．如图，AD ⊥OB ，BC ⊥OA ，垂足分别为D 、C ，AD 与BC 相交于点P ，若PA=PB ，第2题图第3题图第4题图 3. 如图，在Rt △ABC 的斜边BC 上截取CD=CA ，过点D 作DE ⊥BC ，交AB 于E ，线交于点第5题图第6题图第7题图 M F E D C B A

6．如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（） A 、1处 B 、2处 C 、3处 D 、4处 7．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，M 为AD 上任意一点，则下列结论错误的是（）（A ）DE ＝DF ．（B ）ME ＝M F ．（C ）AE ＝AF ．（D ）BD ＝DC ． 8. 如图，△ABC ，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，有下列四个结论： ①DA平分∠EDF ； ②AE=AF； ③AD 上的点到B 、C 两点的距离相等； ④到AE ，AF 距离相等的点到DE 、DF 的距离也相等．第8题图第10题图第11题图二、填空题 9. 在角的内部到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的． 10.如图，∠AOB=70°，QC⊥OA 于C ，QD⊥OB 于D ，若QC=QD ，则∠AOQ= °． °． 12.如图，已知PA ⊥ON 于A ，PB ⊥OM 于B ，且PA=PB ，∠MON=50°， ∠OPC=30°，则∠PCA= °．第12题图第13题图 13.如图，△ABC 的∠ABC 的外角平分线BD 与∠ACB 的外角平分线CE 相

尺规作图角平分线

一、尺规作图 1. 作一个角等于已知角的方法已知：∠AOB ，求作：∠A ′O ′B ′=∠AOB. 作法： 1.以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ； 2.画一条射线O ′A ′，以点O ′为圆心，OC 长为半径画弧，交O ′A ′于点C ′； 3.以点C ′为圆心，CD 长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D ′； 4.过点D ′画射线O ′B ′，则∠A ′O ′B ′=∠AOB. 2. 先任意画出一个△ABC.再画一个△A ′B ′C ′，使 A ′ B ′=AB , B ′C ′=BC ，C ′A ′ =CA. O A B C D O′ A′ B′ C′ D′

作法：画一个△A′B′C′，使A′B′=AB, A′C′=AC，B′C′=BC ：（1）画B′C′=BC；（2)分别以点B′,C′为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A′; (3)连接线段A′B′，A′C′. 二、角的平分线导入：小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P点，要从P 点建成两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连. 问题1：怎样修建管道最短？问题2: 新修建的两条管道的长有什么关系，画来看一看. 角的平分线的画法图12.3-1是一个平分角的仪器，其中AB= AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD 着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线,你能说明它的道理吗？

作已知角的平分线的方法. 已知：∠AOB. 求作：∠AOB 的平分线. 作法：（1)以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N. (2)分别以点M ，N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C. (3)画射线OC.射线OC 即为所求（如图). 理论根据：作角平分线的理论根据是三角形全等的判定方法：“SSS ”．拓展：根据角平分线的作法还可以作已知角的四等分线．注意： “大于 MN 的长为半径画弧”是因为若以小或等于 MN 的长为半径画弧时，画出的两弧不能相交．如图所示，已知∠AOB ，求作：∠AOM ＝ ∠AOB. 1 2 12 12 14

角平分线性质定理和判定(经典)

角平分线的性质定理和判定第一部分：知识点回顾 1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线； 2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离； 3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上第二部分：例题剖析例1.已知：在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB 于点E，AB=15cm，（1）求证：BD+DE=AC．（2）求△DBE的周长．例2.如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB．例3. 如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是多少

第三部分：典型例题例1、已知：如图所示，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．【变式练习】如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC，求证：∠PCB+∠BAP=180o 例2、已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD请你证明你的结论；（2）线段DM与AM有怎样的位置关系请说明理由． 2 1 N P F C B A

（3）CD、AB、AD间直接写出结果【变式练习】如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求证：点P在∠C的平分线上．例3.如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm，求△ABC的面积．【变式练习】如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．

角平分线的判定定理

一、学习目标 1、能用三角形全等的知识，解释角平分线的原理； 2、会用尺规作已知角的平分线．二、温故知新如图1，在∠AOB 的两边OA 和OB 上分别取OM=ON ，MC ⊥OA ，NC ⊥OB ．MC 与NC 交于C 点．求证：（1） Rt △MOC ≌Rt △NOC （2） ∠MOC=∠NOC ．三、自主探究合作展示探究（一） 1、依据上题我们应怎样平分一个角呢？ 2、思考:把上面的方法改为“在已知∠AOB 的两边上分别截取OM=ON ，使MC=NC ，连接 OC ，则OC 即为∠AOB 的平分线。”结论是否仍然成立呢？ 3、受上题的启示，我们可以制作一个如图2所示的平分角的仪器：其中AB=AD ，BC=DC ．将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线．你能说明它的道理吗？探究（二）思考：如何作出一个角的平分线呢？已知：∠AOB ．求作：∠AOB 的平分线．作法：（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA 、OB 于M 、N ．（2）分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径作弧．两弧在∠AOB 内部交于点C ．（3）作射线OC ，射线OC 即为所求．请同学们依据以上作法画出图形。议一议： 1、在上面作法的第二步中，去掉“大于12 MN 的长”这个条件行吗？ 2、第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB 的内部吗？探究（三）如图3，OA 是∠BAC 的平分线，点O 是射线AM 上的任意一点. 操作测量：取点O 的三个不同的位置，分别过点O 作OE ⊥AB ，OD ⊥AC,点D 、E 为垂足，测量OD 、OE 的长.将三次数据填入下表：观察测量结果，猜想线段OD 与OE 的大小关系，写出结论：下面用我们学过的知识证明发现：已知：如图4，AO 平分∠BAC ，OE ⊥AB ，OD ⊥AC 。图2 图1 OD OE 第一次第二次第三次 B O A

角平分线的判定教案

角平分线的判定教案【篇一：角平分线的性质与判定教学设计】角平分线的性质与判定教学设计教材：人教版教材八年级（上）11.3. 执教：【教学目标】 1．使学生掌握角平分线的性质定理和判定定理，并会用两个定理解决有关简单问题． 2．通过引导学生参与实验、观察、比较、猜想、论证的过程，使学生体验定理的发现及证明的过程，提高思维能力．【教学重点】角平分线的性质定理和判定定理的探索与应用．【教学难点】角平分线判定定理的证明与应用【教学方法】启发探究式．【教学过程】一、复习引入： 1．角平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫这个角的平分线．数学语言：如图1，∵ oc是∠aob的平分线， 1 ∴∠1=∠2（或∠aob=2∠1=2∠2或∠1=∠2= ∠aob）．图1 2 2．角平分线的画法：你能用什么方法作出∠aob的平分线oc？（可由学生任选方法画出oc）．可以用量角器量或用折纸的方法 3．如果手头只有圆规和直尺，纸又不能折该怎么办呢？如图2，是一个角平分仪，其中om=on,md=nd。将点o放在角的顶点,om和on沿着角的两边放下,沿od画一条射线oe,oe就是角平分线，你能说明它的道理吗? 4．学生通过角平分仪的演示，小组合作想出尺规作角平分线的方法。 5. 平分平角∠aob 1）通过上面的步骤，得到射线oc以后，把它反向延长得到直线cd，直线cd与直线ab是什么关系？ 2）结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。 6. 创设探究角平分线性质的情境：（拼法1）（拼法2）（拼法3）选择第一种拼法提出问题：（1） p是∠doe平分线上一点，pd、pe与∠doe的边有怎样的位置关系？（2）点p到∠doe两边的距离可以用哪些线段来表示？（3）pd、pe有怎样的数量关系？二、探究新知：

[关键词]角平分线和尺规作图教案

[文件] sxcbk0024.doc [科目] 数学 [关键词] 初二几何/教学结构/尺规作图/角平分线 [标题] 角平分线和尺规作图 [内容] 角平分线和尺规作图【教学结构】一角平分线 1.定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。这个定理说明了角平分线上的点的性质，是角平分线的性质定理。 2.定理2：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。这个定理是制定某一个点是否在角的平分线上，是角平分线的判定定理。它是定理1的逆定理。 3.角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。这里包含两层意思，在一个角内，到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上；反过来，角的平分线上的点到角的两边距离都相等。 4.利用定理1和定理2可以证明两条线段相等或两个角相等。因此，在证题时，应注意直接应用这两个定理解决问题，避免绕远路，仍去找全等三角形，结果相当于重新证一次定理。 5.互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 6.互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理。 7.定理作为一个命题一定有逆命题，由于逆命题不一定都是真命题，因此并不是所有的定理都有逆定理。例如：“对顶角相等”的逆命题是假命题，所以，“对顶角相等”这个定理没有逆定理。二基本作图 1.尺规作图：在几何里，把限定用直尺和圆规来画图，叫做尺规作图。（直尺应设有刻度） 2.基本作图：最基本、最常用的尺规作图，通常称基本作图。 3.五种常用的基本作图： (1)作一条线段等于已知线段； (2)作一个角等于已知角； (3)平分已知角； (4)经过一点作已知直线的垂线； (5)作线段的垂直平分线。 4.掌握以下几何作图语句： (1)过点×、点×作直线××；或作直线××，或作射线××； (2)连接两点×、×；或连结××； (3)在××上截取××=××； (4)以点×为圆心，××为半径作圆（或弧）； (5)以点×为圆心，××为半径作弧，交××于点×； (6)分别以点×、点×为圆心，以××、××为半径作弧，两弧相交于点××；

角的平分线(基础)知识讲解

角的平分线（基础）【学习目标】 1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质． 2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法． 3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．【要点梳理】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 要点二、角的平分线的逆定理角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. （2）分别以D、E为圆心，大于1 2 DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. （3）画射线OC. 射线OC即为所求. 要点四、轨迹把符合某些条件的所有点的集合叫做点的轨迹. 和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线.

在一个角的内部（包括顶点）且到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线. 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心，定长为半径的圆. 【典型例题】类型一、角的平分线的性质【高清课堂：角平分线的性质，例2】 1．如图，∠ACB ＝90°,BD 平分∠ABC 交AC 于D ，DE ⊥AB 于E ，ED 的延长线交BC 的延长线于F. 求证：AE ＝ CF 【答案与解析】证明：∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB,DC ⊥BF ∴DE ＝DC （角的平分线上的点到角两边的距离相等）在△ADE 和△FDC 中 DEA DCF DE DC ADE FDC ∠=∠??=??∠=∠? ∴△ADE ≌△FDC(ASA) ∴AE ＝CF 【总结升华】利用角平分线的性质可得DE ＝DC ，为证明三角形全等提供了条件 . 2、如图, △ABC 中, ∠C ＝ 90?, AC ＝ BC, AD 平分∠CAB, 交BC 于D, DE ⊥AB 于 E, 且AB ＝6cm , 则△DEB 的周长为( ) A. 4cm B. 6cm C.10cm D. 以上都不对【答案】B ；【解析】由角平分线的性质，DC ＝DE ，△DEB 的周长＝BD ＋DE ＋BE ＝BD ＋DC ＋BE ＝AC ＋BE ＝AE ＋BE ＝AB ＝6. 【总结升华】将△DEB 的周长用相等的线段代换是关键.

尺规作图方法大全

a M 七年级数学期末复习资料（七）尺规作图【知识回顾】 1、尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。 2、五种基本作图： 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线； 5、过一点作已知直线的垂线；（1）题目一：作一条线段等于已知线段。已知：如图，线段a . 求作：线段AB ，使AB = a . 作法：（1）作射线AP ；（2）在射线AP 上截取AB=a . 则线段AB 就是所求作的图形。（2）题目二：作已知线段的中点。已知：如图，线段MN. 求作：点O ，使MO=NO （即O 是MN 的中点）. 作法：（１）分别以M 、N 为圆心，大于的相同线段为半径画弧，两弧相交于P ，Q ；（２）连接PQ 交MN 于O ．则点O 就是所求作的ＭＮ的中点。（3）题目三：作已知角的角平分线。已知：如图，∠AOB ，求作：射线OP, 使∠AOP ＝∠BOP （即OP 平分∠AOB ）。作法：（1）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA ，OB 于M ，N ；（2）分别以M 、Ｎ为圆心，大于的线段长为半径画弧，两弧交∠AOB 内于Ｐ；（3）作射线OP 。则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。

③ ② ① P B A P （4）题目四：作一个角等于已知角。已知：如图，∠AOB 。求作：∠A ’O ’B ’，使A ’O ’B ’=∠AOB 作法：（1）作射线O ’A ’；（2）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，交OA 于M ，交OB 于N ；（3）以O ’为圆心，以OM 的长为半径画弧，交O ’A ’于M ’；（4）以M ’为圆心，以MN 的长为半径画弧，交前弧于N ’；（5）连接O ’N ’并延长到B ’。则∠A ’O ’B ’就是所求作的角。（5）题目五：经过直线上一点做已知直线的垂线。已知：如图，P 是直线AB 上一点。求作：直线CD ，是CD 经过点P ，且CD ⊥AB 。作法：（1）以P 为圆心，任意长为半径画弧，交AB 于M 、N ；（2）分别以M 、N 为圆心，大于 MN 2 1 的长为半径画弧，两弧交于点Q ；（3）过D 、Q 作直线CD 。则直线CD 是求作的直线。（6）题目六：经过直线外一点作已知直线的垂线已知：如图，直线AB 及外一点P 。求作：直线CD ，使CD 经过点P ，且CD ⊥AB 。

角平分线的判定

角平分线的判定 □自学导读【学习目标】 1掌握角的平分线的判定定理。 2、能熟练运用角平分线的性质和判定定理解决一类问题。【重、难点】能区分角平分线的性质和判定两个定理，合理选用。【读书思考】（3分钟）阅读课本，思考 P21的思考题：如图，要在P 区建一个加工厂，使它到 AB BC 两条公路的距离相等，且工厂到两路的交叉点 B 实际距离为5千米，（比例尺为1 : 200000）则工厂应建在何处，在右图中标出位置。该点与 B 的图上距离是 2.5cm （利用角平分线的性质和比例尺进行计算）【归纳小结】（5分钟） 1、角平分线性质：（角的平分线上的点到角的两边距离相等）联想：我们知道角平分线上的点到角两边的距离相等，那么到角两边距离相等的点是不是在角的平分线上呢？探索：从实际的生活经验入手，让学生感性得岀结论，然后写岀已知、求证并加以证明。 2、角平分线判定：（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）补充3、三角形三条角的平分线相交于一点，这点到三边的距离相等吗？（先小组交流，再得岀结论） □典题解析（3+4+6分钟）例1、证明：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。（提示；先构画好图形，然后写好已知、求证、证明。可由小组同学合作完成）追问①此命题的题设和结论分别是什么？②如何用几何语言写出已知和求证？③④ 已知：如图，PE± OA 于 E,PF 丄OB 于 F,且PE=DF 求证例2、在数学活动课上，小明提出这样一个问题：/ 分 / ADC ， AE 是/ DAB 的平分线吗？证明你的结论。证明：连接OP 在 RT A OPE 与 RT A OPF 中, ?/ PE=PF OP=OP /? RT A OPE^ RT A OPF(HL) /? / AOP 2 BOP ???点P 在/ AOB 勺平分线上 B = Z C = 90° E 是 BC 的中点，DE B 厂

【教案】角的平分线的判定

在线分享文档的世界变简单让每个人平等地提升自己角的平分线的判定一、教学目标（一）知识与技能 1.了解角的平分线的判定定理； 2.会利用角的平分线的判定进行证明与计算. （二）过程与方法在探究角的平分线的判定定理的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力. （三）情感、态度与价值观在探究作角的平分线的判定定理的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验. 二、教学重点、难点重点：角的平分线的判定定理的证明及应用；难点：角的平分线的判定. 三、教法学法自主探索,合作交流的学习方式. 四、教学过程（一）引入新课问题1 如图，要在S 区建一个广告牌P ，使它到两条高速公路的距离相等，离两条公路交叉处500 m ，请你帮忙设计一下，这个广告牌P 应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？（1）．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？（2）．比例尺为1：20000是什么意思？（二）合作探究问题2：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）如图，∵OP 平分∠MON （∠1＝∠2），PA ⊥OM ，PB ⊥ON ， ∴PA ＝PB ． S

在线分享文档用科技让复杂的世界变简单让每个人平等地提升自己角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． ①推导已知：点P 是∠MON 内一点，PA ⊥OM 于A ，PB ⊥ON 于B ，且PA ＝PB ．求证：点P 在∠MON 的平分线上．证明：连结OP 在Rt △PAO 和Rt △PBO 中， ∴Rt △PAO ≌Rt △PBO （HL ） ∴∠1＝∠2 ∴OP 平分∠MON 即点P 在∠MON 的平分线上． ②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）如图所示，∵PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，PA ＝PB ∴∠1＝∠2（OP 平分∠MON ）【典型例题】例如图所示，已知△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P ，那么AP 能否平分∠BAC ？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？

八年级数学(角的平分线的判定)

12.3角的平分线的性质第2课时角的平分线的判定一、新课导入 1.导入课题：我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，反过来，到角的两边的距离相等的点是否在这个角的平分线上呢？这节课我们对这个问题进行探究. 2.学习目标：（1）能说出角平分线的性质的逆定理，并能给予证明. （2）能够熟练地运用角平分线的性质的逆定理解决一些相关的数学问题. 3.学习重、难点：重点：正确地区分角平分线的性质定理及逆定理的条件与结论. 难点：角平分线定理和逆定理的互用. 二、分层学习 1.自学指导：（1）自学内容：教材第49页下面的“思考”至例题之间的内容. （2）自学时间：5分钟. （3）自学方法：通过动手作图、观察、思考、论证、归纳得出结论. （4）自学参考提纲： ①知识回顾：角平分线的性质定理是：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 这个定理的题设是一个点在一个角的平分线上，结论是这个点到这个角两边的距离相等，用几何语言表示：如右图， ∵OP平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE ②把角平分线的性质定理的题设与结论互换，就可以得到它的逆命题，试写出这个逆命题：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上用几何语言表示：如右图， ∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE, ∴点P在∠AOB的平分线上（OP平分∠AOB）, ③小组合作完成教材第49页的思考： a.所建的集贸市场要符合哪些条件？到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m. b.集贸市场应该建在什么位置？画一画，并说明理由.

如图所示:P点即为所求，理由：P点在交叉口的角平分线上，所以P点到公路与铁路的距离相等. c.实际距离500米能否转换成图上距离？写出计算过程. 能,∵图上距离/500m= 1 20000，∴图上距离=0.025m=2.5cm. ④结合上图自己写出角平分线性质定理的逆定理的证明过程. 2.自学：学生可结合自学指导进行自学. 3.助学：（1）师助生： ①明了学情：学生已经具备了一些几何概念定理学习方法，对于性质定理的逆命题，学生能很快得出来，但在语言表达上还存在一定问题；教材第49页的“思考”对于八年级的学生来说还存在一定的难度. ②差异指导：引导学生比较角平分线的性质定理和它的逆命题的题设与结论，认识它们的区别与联系，学会文字语言和几何语言的转换. (2)生助生：生生间互助交流. 4.强化：（1）进一步明确角平分线的性质定理和它的逆定理的题设与结论的互换关系，以及文字语言向几何语言的转换方法. （2）角平分线的性质定理和它的逆定理，揭示了“角相等”和“线段相等”之间的一种特殊关系. 这为今后我们证明角相等，线段相等提供了一种解题思路. 1.自学指导：（1）自学内容：教材第50页例题. （2）自学时间：5分钟. （3）自学要求：思考辅助线的作用和为什么要这样作辅助线的道理. （4）自学参考提纲：研究例题，我知道了： ①推出PD=PE的依据是角的平分线上的点到角的两边的距离相等； ②“同理”这里省略的过程是∵CN是△ABC的角平分线，点P在CN上； ③推出PE=PF的依据是角的平分线上的点到角的两边的距离相等； ④推出PD=PE=PF的依据是等量代换； ⑤由点P在∠A的内部，且PD=PF可知，点P在∠A的平分线上，其依据是角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上； ⑥归纳：三角形的三条角平分线交于一点，而且这一点到三角形三边的距离相等. 2.自学：学生可结合自学指导进行自学. 3.助学：

《角平分线的性质和判定》教学设计

12.3角平分线的性质及判定重难点创新教学重难点创新教学（教学流程、知识呈现、问题设置、学习方式、练习检测等）一、复习回顾： 1、角的平分线的性质：如图：用几何语言表示是： ∵ ∴ 2、逆定理：如上图所示：用几何语言可表示为： ∵ ∴ 二．热身训练 1、如图，已知AB ∥CD ，PE ⊥AB ，PF ⊥BD ，PG ⊥CD ，垂足分别为E 、F 、G ，且PF=PG=PE ，则∠BPD= ． 2．如图，已知AB ∥CD ，0为∠CAB 、∠ACD 的平分线的交点．OE ⊥AC ，且OE=2，则两平行线AB 、CD 间的距离等于．三、合作探究例1、如图所示，CD ⊥AB 于D 点，BE ⊥AC 于E 点，BE 、CD 交于O 点， (1)、若AO 平分∠BAC ，求证：OB=OC 。（2）、若OB=OC ，求证：AO 平分∠BAC 例2、如图，AD ⊥DC ，BC ⊥DC ：，E 是DC 上一点，AE 平分∠DAB ． 1、四人小组阅读课本，单独作题，老师投影到白板上，请一个代表上台板书，教师巡堂检查。 2、小老师上台纠错，发动全班火眼金睛，一起纠错。 3、师生一起归纳角平分线的性质及逆定理，并且会用几何表达。对角平分线性质的归纳，是学生对角平分线特征的更深入认识，也是知识的一次升华，突出了教学重点. 学以致用的体验，使学生感受到数学学习是有趣的、丰富的、有价值的.并训练学生能清晰有条理的表达自己的思考过程，做到“言之有理，落笔有据通过对例题的学习，加深对角平分线性质的理解，培养学生的应用意识.通过一题多变，使学生能多角度、多层次、灵活的运用所学知识解决问题，培养学生思维的深刻性与灵活性. 练习是学生心智技能和动 O E D B C A P M N C B A O

八(下)垂直平分线和角平分线尺规作图训练

垂直平分线和角平分线尺规作图训练 1. 已知线段AB 。（1）用尺规作图的方法作出线段AB 的垂直平分线（保留作图痕迹，不要求写出作法）（2）在（1）中所作的直线上任意取两点M ，N （线段AB 的上方），连接AM ，AN ，BM ，BN 。求证：∠MAN=∠MBN 2. 已知：等腰三角形的底边a 及底边上的高b ，求作：等腰三角形ABC 。 b a 3. 已知∠β为等腰三角形的一个内角，a 为腰长，求作等腰三角形ABC 。 β a 4. 已知：如图，直线AB 与直线BC 相交于点B ，点D 是直线BC 上一点。求作：点E ，使直线DE ∥AB ，且点E 到B 、D 两点的距离相等。（在题目的原图中完成作图）结论： BE=DE 。

5. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB=BC ，∠B=36°。（1）用尺规作BC 边的垂直平分线，交AB 于点D ，连接CD 。（不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：△ACD 为等腰三角形。 6. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°。（1）尺规作图：作线段AB 的垂直平分线a （不写作法，保留作图痕迹）（2）在已作图形中，若a 分别交AB ，AC 及BC 的延长线于点D ，E ，F ，连接BE 。求证：EF=2DE 。 C B A 7. 为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在北张镇新建一个医疗点P ，使我镇所属A 村、B 村、C 村的村委会所在地的距离都相等（A ，B ，C 不在同一直线上，地理位置如图所示），请你用尺规作图的方法确定点P 的位置。要求：写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹。村 B 村 A 8. 作图题（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（1）在图1∠AOB 内部求作一点P ，使PC=PD ，并且点P 到∠AOB 两边的距离相等。（2）如图2，进过平移，△ABC 的顶点A 移到了点D 。做出平移后的△DEF 。图2 图1 A C B

角平分线性质及判定

第02讲角平分线的性质与判定考点·方法·破译 1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 2．角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 3．有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形. 经典·考题·赏析【例１】如图，已知OD平分∠AOB，在OA、OB边上截取OA＝OB，PM⊥BD，PN ⊥AD.求证：PM＝PN 【变式题组】 01．如图，CP、BP分别平分△ABC的外角∠BCM、∠CBN.求证：点P在∠BAC的平分线上. 02．如图，BD平分∠ABC，AB＝BC，点P是BD延长线上的一点，PM⊥AD，PN⊥CD. 求证：PM＝PN

【例２】如图，已知四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，且AE ＝12 (AB ＋AD )，如果∠D ＝120°，求∠B 的度数【变式题组】 01．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，AC ＝5，BC ＝3.求 ACD CBD S S ?? 02．在四边形ABCD 中，已知AB ＝a ，AD ＝b .且BC ＝DC ，对角线AC 平分∠BAD ，问a 与b 的大小符合什么条件时，有∠B ＋∠D ＝180°，请画图并证明你的结论. 【例３】如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°,AB ＝AC ，BE 平分∠ABC ，CE ⊥BE .求证： CE ＝ 12 BD 【变式题组】 01．如图，已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 、∠DBA ，CD 过点E ，求证：AB ＝AC ＋BD . 02．如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F . ⑴请你判断FE 和FD 之间的数量关系，并说明理由； ⑵求证：AE ＋CD ＝AC .

角平分线性质和判定专题试

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角平分线性质和判定综合练习知识点 1.角平分线的性质：。 2.角平分线的判定：。基础练习 1、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于D ，若CD=3cm ，则点D 到AB 的距离是（） A ．5cm B. 4cm C. 3cm D. 2cm 2、如图，点P 到∠AOB 两边的距离相等，若∠POB=30°，则∠AOB= 3、如图，为了促进当地旅游业发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村。要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建？ 4、如图，△ABC 中，AD 是它的平分线，P 是AD 上一点，PE ∥AB 交BC 于E ，PF ∥AC 交BC 于F 。求证：D 到PE 的距离与D 到PF 的距离相等。 E F D B C A P 5、如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，BE=CF 。求证：AD 是△ABC 的角平分线。 C A B D A O B P

F E D B C A 6、如图，AD 是△ABC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，连接EF 。EF 与AD 交于G 。AD 与EF 垂直吗？证明你的结论。 G F E D B C A 7、在△ABC 中，BD=DC ，∠1=∠2，求证：AD 平分∠BAC 。 8、如图，ο 90=∠=∠C B ，M 是BC 中点，DM 平分ADC ∠。求证：AM 平分DAB ∠ D 2 1 A B C

八年级数学上册第2课时角的平分线的判定

八年级数学上册第2课时角的平分线的判定一﹨选择题 1．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（） A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点 C. 三条边的垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点 2．如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D﹨C，AD与BC相交于点P，若PA=PB，则∠1与∠2的大小是（） A．∠1=∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．无法确定第2题图第3题图第4题图 3. 如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA，过点D作DE⊥BC，交AB于E，则下列结论一定正确的是（） A．A E=BE B．D B=DE C．A E=BD D．∠BCE=∠ACE 4. 如图，△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等； ∠A=40°，则∠BOC=（） A．110°B．120°C．130°D．140° 5．如图，,△ABC的两个外角平分线交于点P，则下列结论正确的是（） ①PA=PC ②BP平分∠ABC ③P到AB，BC的距离相等④BP平分∠APC．A．①②B．①④C．②③D．③④ A M E F B C

第5题图第6题图第7题图 6．如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（） A﹨1处B﹨2处 C﹨3处D﹨4处 7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，M为AD上任意一点，则下列结论错误的是（）（A）DE＝DF．（B）ME＝MF．（C）AE＝AF．（D）BD＝DC． 8. 如图，△ABC，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E﹨F，有下列四个结论： ①DA平分∠EDF；②AE=AF；③AD上的点到B﹨C两点的距离相等； ④到AE，AF距离相等的点到DE﹨DF的距离也相等．其中正确的结论有（） A．1个B．2个C．3个D．4个第8题图第10题图第11题图二﹨填空题 9. 在角的内部到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的． 10.如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ=°． 11.如图，AB∥CD，点P到AB﹨BC﹨CD距离都相等，则∠P= °． 12.如图，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA=PB，∠MON=50°， ∠OPC=30°，则∠PCA= °．第12题图第13题图

《利用尺规作图作角平分线》试题

《尺规作图角平分线》试题 1. 如图，根据尺规作图所留痕迹，可以求出∠ADC=( ) A . 60° B.70° C. 110°D. 120° 答案：B 解析：：∵∠B=50°，∠C=90°， ∴∠CAB=40°，观察作图痕迹知：AD平分∠CAB， ∴∠DAB=20°， ∴∠ADC=50°+20°=70°. 故答案为：B 难度：中等知识点：尺规作图作角平分线 2. 一个角的平分线的尺规作图的理论依据是（） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 答案：B 解析：连接NC，MC，在△ONC和△OMC中， MC=NC PM=ON OC=OC ∴△ONC≌△OMC（SSS）， ∴∠AOC=∠BOC，

故选B. 难度：中等知识点：尺规作图作角平分线 3.如图，下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（）作法： ①以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E； ②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于一点C； ③画射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线 A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS 答案：C 解析;由作图过程可得：OE=OD，EC=DC，OC=OC，所以可以利用SSS来判定△OEC≌△ODC，得到∠BOC=∠AOC，所以OC为∠AOB的平分线，故选：C 难度：中等知识点：尺规作图角平分线的做法 4. 观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（） A．PQ为∠APB的平分线 B．PA=PB

C ．点A 、B 到PQ 的距离不相等 D ．∠APQ=∠BPQ 答案：C 解析：∵由图可知，PQ 是∠APB 的平分线， ∴A ，B ，D 正确； ∵PQ 是∠APB 的平分线，PA=PB ， ∴点A 、B 到PQ 的距离相等，故C 错误．故选C 难度：较易知识点：尺规作图作角平分线 5. 如图，尺规作图作∠AOB 的平分线的方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于点C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，大于0.5CD 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ．由作法得△OCP ≌△ODP 从而得两角相等的根据是（） A ．SAS B ．SSS C ．AAS D ．ASA 答案：C 解析：∵以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA ，OB 于C ，D ，即OC=OD ；以点C ，D 为圆心，以大于 12 CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，即CP=DP ； ∴在△OCP 和△ODP 中， OC OD OP OP CP DP =??=??=? ∴△OCP ≌△ODP （SSS ）．故选B ．难度：容易知识点：尺规作图作角平分线 6. 如图是用尺规作一个角的角平分线的示意图，其根据是构造两个三角形全等．由作法知，