高考解析几何压轴题
高考解析几何压轴题
圆锥曲线解答题考纲解读：
●每年必考，1年1题．特点：载体以直线和椭圆为主，其次是抛物线，双曲线考的较少，由于圆有丰富的几何性质，因此近年来用上圆作为载体的高考题越来越多！
●圆锥曲线一定过方法关、运算关．其实近几年的圆锥曲线题目更侧重于运算．方法还是比较常规的．为什么这样呢？这与命题人的苦衷有关系，因为圆锥曲线是压轴题，压轴题不能简单，简单了肯定不行．但太难、或是思维量太大又怕把很多人拒之门外，所以又不敢出思维量太大的题目，最后就只剩下运算了，谁有能耐谁就能算出来，没有能耐就算不出来，但不能说题目难．十几年来，笔者认真解析了若干圆锥曲线题，精选了一些典型题，从中分析出方法和运算策略，总结如下：
一．一个定值问题：
“一定二动斜率定值”问题的高等背景与初等解法
二．一个定点问题：
圆锥曲线内接直角三角形性质初探
三、一个最值问题：
直线与圆、椭圆同时相切问题的初等解法与高等解法
四、定值最值综合题：
一个面积公式巧解两个高考题
五、优化解题方法，探求命题过程
六、浅谈抛物线对称轴上五个重要点
七、2012年江苏卷解析几何题的轨迹解法
八、例谈解析几何题的计算策略
一．一个定值问题：
“一定二动斜率定值”问题的高等背景与初等解法
以下四个例题，都有类似条件：A 是圆锥曲线C 上的定点，,E F 是圆锥曲线C 上的两个动点，求证直线EF 的斜率为定值.我们把这类问题简称“一定二动斜率定值”问题，笔者经过仔细分析发现，这类问题的命题者利用了导数法研究曲线的切线斜率，也就是利用了导数产生的几何背景，本文利用极限与导数这一高等数学的方法先探求这个定值，然后利用初等方法给出证明.
例1、如图1，已知,E F 是椭圆22143x y +
=上的两个动点，3
(1,)2
A 是椭圆上的定点，如果直线AE 与AF 关于直线1x =对称，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值.
高等背景：当AE 与AF 的倾斜角都趋近于90
时，直线EF 的斜率就趋向于过13
(1,)2
A -的切线斜
率. 在22
143
x y +=中，两边对x 求导有，220,43x yy '+=把13(1,)2
A -代入有：
3
2()2120,43
y '?-?+=解得12y '=.因此，可以确定所
求的定值为1
2
.
初等解法：因为直线AE 与AF 关于直线1x =对称，所以直线AE 的斜率与AF 的斜率互
为相反数.设直线AE 的方程为3(1)2y k x =-+，则直线AF 的方程为3
(1)2
y k x =--+.
把3
(1)2y k x =-+代入22143x y +
=得： 2223
(34)4(32)4()120
(1)2
k x k k x k ++-+--=，
设1122(,),(,)E x y F x y ，注意到1x =是方程(1)的一个根，由根与系数关系得，
212
3
4()12
234k x k
--=+， 图1
同理可求222
3
4()12
234k x k
+-=+， 121212121212
33
(1)[(1)]
()222EF
k x k x y y k x x k k x x x x x x -+-----+-===---， 把1x ，2x 代入上式得1.2
EF k =
例2、如图2，已知,E F 是椭圆22
1124
x y +
=
上的两个动点，A 是椭圆上的定点，如果直线AE 与AF
关于直线y =EF 的斜率为定值，并求出这个定值.
高等背景：当AE 与AF 的倾斜角一个趋近于
180时，另一个趋近于0时，直线EF 的斜率就趋
向于过1(A 的切线斜率. 在22
1124
x y +
=中，两边对x 求导有，0,62
x yy '+=
把1(A 代入
0,=解得1
3
y '=.因此，可以确定所求的定值为13
.
初等解法：设直线AE
的方程为(y k x =+
代入22
1124
x y +
=
得：222(13)(1)91830(1)k x k x k k ++-+--=，
设1122(,),(,)E x y F x y
，注意到x =(1)
的一个根，所以21x =，
同理可求22x =，
12121212
()EF y y k x x k x x x x -+-=
=
--，把1x ，2x 代入得1.3EF k = 例3、如图3，已知,E F 是抛物线2y x =上的两个动点，(1,1)A 是抛物线上的定点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个
图2
定值.
高等背景：当AE 与AF 的倾斜角一个趋近于0时，另一个趋近于180时，直线EF 的斜率就趋向于过1(1,1)A -的切线斜率. 而2y x '=，所以
1|2x y =-'=-，因此，可以确定所求的定值为2-.
初等解法：设直线AE 的方程为(1)1y k x =-+， 代入2
y x =得：2
10
(1)x kx k -+-=，
设1122(,),(,)E x y F x y ，注意到1x =是方程(1)的一个根，所以11x k =-，同理可求21x k =--， 所以22
1212121212
EF
y y x x k x x x x x x --===+--，把1x ，2x 代入上式得 2.EF k =- 例4、如图4，已知,E F 是抛物线2y x =上的两个动点，(1,1)A 是抛物线上的定点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值.
高等背景：当AE 与AF 的倾斜角都趋近于90时，直线EF 的斜率就趋向于过1(1,1)A -的切线斜率. 由2y x =
解得y =而在1(1,1)A -附近
导数y '=，所以11
|2x y ='=-，因此，可以确定所
求的定值为1
2
-.
初等解法：设直线AE 的方程为(1)1y k x =-+，
显然0k ≠，1
1y x k
-=+，
代入2y x =得：21
10
(1)y y k k
-+-=，
设1122(,),(,)E x y F x y ，注意到1y =是方程(1)的一个根，所以11
10(1)y k
=
-=，
同理可求21 1.y k =--而1222
1212
1EF y y k y y y y -==-+，把1y ，2y 代入得1
.2EF k =- 解题规律总结：
1、注意利用导数法探求定值，作为选择题或者填空题时要利用导数法，作为解答题
图3
图4
时注意利用导数法进行检验；
2、题目条件的变化：“直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数”，等价于“直线AE 与AF 的倾斜角互补”，或者“直线AE 与AF 关于直线A x x =对称”，或者“直线AE 与AF 关于直线A y y =对称”.
3、直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的一个解为 (,)A A x y ，消元后所得方程有一个根为A x 或A y ，此时一定要利用根与系数的关系求另一个根.
4、注意以k -替换k 由E 点坐标直接求得F 点坐标.
5、对于直线与椭圆或者双曲线，12
12
EF y y k x x -=
-的进一步化简要利用直线方程，对于直线与抛物线，12
12
EF y y k x x -=
-的进一步化简利用抛物线方程比利用直线方程更加简单. 把握住以上几点，你也可以轻松地自己改编一些类似的题目，你当然更能准确快速的解答一下练习题：
1、已知,E F 是抛物线24y x =上的两个动点，(1,2)A -是抛物线上的定点，直线AE 与AF 关于直线1x =对称，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值. （答案：1）
2、如图5，已知11,,,E F E F 是椭圆22
143x y +
= 上的两个动点，3
(1,)2
A 是椭圆上的定点，如直
线 AE 与AF 关于直线1x =对称，且直线1AE 与1AF 也关于直线1x =对称， 求证：11EF E F ∥.
（提示：由例1知，11,EF E F 的斜率相等）.
二．一个定点问题：
圆锥曲线内接直角三角形性质初探
一、问题的提出:
以圆锥曲线的一个顶点为端点作两条互相垂直的射线交圆锥曲线于两点（不是顶点），那么由这两点确定的直线有怎样的性质呢？
图5
二、问题的探究: （一）、抛物线
例1：已知抛物线2:C y x =，O 是坐标原点，作射线OA OB 、交抛物线C 于A B 、，OA OB ⊥.求证：直线AB 过定点.
证明：如图1,显然直线AB 斜率不是0，设直线AB 的方程为x y m λ=+，联立2y x =得：
20y y m λ--=，显然0m ≠，240m λ?=+≠，
设1122((A x B x ,y )、,y )，则12λ+=y y ，12m =-y y ，又O A O B
⊥，∴0OA OB ?=， 即12120x x =+y y ，又211y x =，2
2
2y x =， ∴21212)0+=(y y y y ，∴20m m -=， 解得0m =，或1m =.
当0m =时, 直线AB 的方程为x y λ=,直线AB 过定点(0,0),不符合题意. 当1m =时,直线AB 的方程为1x y λ=+，显然直线AB 过定点(1,0). 综上, 直线AB 过定点(1,0). （二）、椭圆：
例2：已知椭圆2
2:12
x C y +=，(0,1)M 是C 的一个顶点，作射线MA MB 、交椭圆C 于A B 、，
MA MB ⊥.求证：直线AB 过定点.
证明：如图2,显然直线AB 有斜率，设直线AB 的方程为y kx m =+，
联立2
212
x y +=得：222(21)4220k x kmx m +++-=，
当0?>时，设1122((A x B x ,y )、,y )，
则2121222
422
,,2121
km m x x x x k k -+=-=++ 又MA MB ⊥，∴0MA MB ?=， 即12120x x =+(y -1)(y -1)，
121212()10x x y y y y +-++=，
又1y kx m =+，2y kx m =+，
图1
图2
∴221212(1)(1)()210k x x k m x x m m ++-++-+=，
把2121222422
,2121km m x x x x k k -+=-=++代入上式得：
22
222224(1)(1)2102121
m km k k m m m k k -+?--?+-+=++，注意到1m =显然不合题意，于是上式化为：
2222(1)4(1)(1)02121
m km
k k m k k ++?-?+-=++，整理得310m +=，∴13m =-.即直线AB 的方程为
13y kx =-，显然直线AB 过定点1
(0,)3
-.
（三）、双曲线：
例3：已知等轴双曲线22:1C x y -=，(1,0)M 是等轴双曲线C 的一个顶点，作射线
MA MB 、交椭圆C 于A B 、，MA MB ⊥.试探求直线AB 是否过定点.
解：如图3,当直线AB 没有斜率时，容易计算90AMB ∠≠?，当直线AB 有斜率时，设直
线AB 的方程为y kx m =+，
联立221x y -=得：222(1)210k x kmx m ----=， 当210k -≠，0?>时，设1122((A x B x ,y )、,y )，
则212122221
,,11
km m x x x x k k ++=-=--
又MA MB ⊥，∴0MA MB ?=，
即1212(1)(1)0x x --=+y y ， 又1y kx m =+，2y kx m =+，
∴221212(1)(1)()10k x x km x x m ++-+++=，
把212122221
,,11
km m x x x x k k ++=-=--代入上式化简得20k km +=，
解得：0k =，或k m =-.
当0k =时, 直线AB 的方程为(0)y m m =≠,直线AB 平行于x 轴，不过定点. 当k m =-时,直线AB 的方程为y mx m =-+，显然直线AB 过定点(1,0)，不合题意. 综上, 直线AB 不过定点.
例4：已知双曲线2
2
:12
y C x -=，(1,0)M 是双曲线C 的一个顶点，作射线MA MB 、交椭圆
C 于A B 、，MA MB ⊥.试探求直线AB 是否过定点.
解：如图4, 当直线AB 没有斜率时，容易计算90AMB ∠≠?，当直线AB 有斜率时，设
直线AB 的方程为y kx m =+，
图3
联立2
2
12
y x -=得：222(2)220k x kmx m ----=，
当220k -≠，0?>时，设1122((A x B x ,y )、,y )，
则212122
222
,,22
km m x x x x k k ++=-=-- 又MA MB ⊥，∴0MA MB ?=， 即1212(1)(1)0x x --=+y y ， 又1y kx m =+，2y kx m =+，
∴221212(1)(1)()10k x x km x x m ++-+++=，
把212122
222
,,22
km m x x x x k k ++=-=--代入上式化简得22230m km k --=， 解得：m k =-，或3m k =.
当m k =-时, 直线AB 的方程为y kx k =-,直线AB 过定点(1,0),不合题意. 当3m k =时,直线AB 的方程为3y kx k =+，显然直线AB 过定点(3,0)-. 综上, 直线AB 过定点(3,0)-.
例5：已知双曲线22:21C x y -=，(1,0)M 是双曲线C 的一个顶点，作射线MA MB 、交椭圆C 于A B 、，MA MB ⊥.试探求直线AB 是否过定点.
解：如图5, 当直线AB 没有斜率时，容易计算90AMB ∠≠?，当直线AB 有斜率时，设直线AB 的方程为y kx m =+，联立2221x y -=得：
222
(12)4210k x kmx m ----=，
当2120k -≠，0?>时，设1122((A x B x ,y )、,y )，
则2121222421
,,2121
km m x x x x k k ++=-=--
又MA MB ⊥，∴0MA MB ?=， 即1212(1)(1)0x x --=+y y ， 又1y kx m =+，2y kx m =+，
∴221212(1)(1)()10k x x km x x m ++-+++=，
图5
把2121222421
,,2121
km m x x x x k k ++=-=--代入上式化简得22430m km k ++=，
解得：m k =-，或3m k =-.
当m k =-时, 直线AB 的方程为y kx k =-,直线AB 过定点(1,0),不合题意. 当3m k =-时,直线AB 的方程为3y kx k =-，显然直线AB 过定点(3,0). 综上, 直线AB 过定点(3,0). 三、问题的总结:
通过上面的例题可以得到如下的结论：
圆锥曲线内接直角三角形,当直角顶点是圆锥曲线的顶点时，斜边有如下性质： 1、当圆锥曲线为等轴双曲线时，斜边所在的直线互相平行；
2、当圆锥曲线为抛物线、椭圆、非等轴双曲线时，斜边所在的直线过定点. 四、问题的再探究:
1、圆是特殊的圆锥曲线，类似的性质显然是90?的圆周角所对的弦是直径（过圆心）.
2、在解题方法上，以上解法都是先设两个动点A B 、所在直线方程 ，然后寻求所设直线方程中两个参数的关系；我们也可以先设MA MB 、的方程，设方程时要利用MA MB ⊥，
即MA MB 、的斜率都存在且不为0时，其乘积为1-，即若,MA k k = 则 1
MB k k
=- ，然后可以
用k 表示A B 、的坐标，进一步可以用k 表示AB 所在直线方程，这种方法的计算量对于有些情形可能大一些.
3、上面的研究仅仅利用了特殊的圆锥曲线，至于一般的含参数的圆锥曲线，斜边所过的定点如何求解，留给有兴趣的读者探究，例如,对于抛物线2:2C y px =，O 是坐标原点，作射线OA OB 、交抛物线C 于A B 、，若OA OB ⊥，则直线AB 过定点(2,0)p .
4、当圆锥曲线内接直角三角形的直角顶点不是圆锥曲线的顶点时，是否也有类似的性质，这个问题供有兴趣的读者进一步探究.
三、最值问题
直线与圆、椭圆同时相切问题的初等解法与高等解法
题目： 如图，设直线l 与圆222C x y R +=∶(12R <<)
相切于A ，与椭圆2
214
x E y +=∶相切于点B ，当R 为何值时,||AB 取得最大值？并求最大值．
初等解法：
设直线l 的方程为y kx m =+，因为直线l 与圆C ：222x y R +=(12R <<)相切于A ， 所以
R =
即222(1)m R k =+ ①，
因为l 与椭圆2
214x E y +=∶相切于点B ，
由22
14
y kx m x y ++==?????得224()4x kx m ++=， 即222(14)8440k x kmx m +++-=有两个相等的实数解， 则2222226416(14)(1)16(41)0k m k m k m =-+-=-+=⊿， 即22410k m -+=, ②
由①、②可得222
2
223414R m R R k R ?=??-?-?=?-?
， 设11(,)B x y ，由求根公式得122
8442(14)km km k
x k m m
=-
=-=-+， ∴2211441
()k k m y kx m k m m m m -+=+=-+=
=， ∴22
222
1211614||5k OB m R x y +==
=-+=， ∴在直角三角形OAB 中，22222
22
44||||||55()AB OB OA R R R R =-=-
-=-+， 因为
224
4R R
+≥
，当且仅当(1,2)R =时取等号，所以2||541AB -=≤，
即当(1,2)R =时，||AB 取得最大值，最大值为1． 高等解法：
上述解法用的是初等数学的解题方法，即解决二次曲线问题常利用的判别式及根与系数的关系(韦达定理)，包括求根公式；特别地，对于直线与圆的相切，可利用直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径．现在提供高等数学方法，即导数的方法．
首先利用导数证明下面的常用结论：
定理：在曲线221mx ny +=上的任意一点00(,)x y 的切线方程为001mx x ny y +=． 证明：在221mx ny +=的两边对x 求导， 得220mx nyy '+=，即0mx nyy '+=， 所以过00(,)x y 的切线当有斜率时，斜率为0
mx k y ny '==-
， 切线方程为0000
()mx y y x x ny -=-
-，即22
0000ny y ny mx x mx -=-+，
又220
01mx ny +=，∴001mx x ny y +=，此切线方程对斜率不存在时也适合． 注意，若从221mx ny +=先求出()y f x =±，再求导，则比较麻烦． 利用上面的定理，有下面的高等解法： 设11(,)B x y ，22(,)A x y ，
则圆222C x y R +=∶在22(,)A x y 的切线为222x x y y R +=，
轨迹2
214x E y +=∶在11(,)B x y 的切线为1114
x x y y +=即1144x x y y +=，
由题意222x x y y R +=与1144x x y y +=应表示同一条直线，
所以2
22`1144
x y R x y ==，所以2242222111616x y R x y ==，2242222111616x y R x y +=+，
又2
22
2
2
x y R +=，所以2422111616R R x y =+，22
112
1616x y R
+=， 又221144x y +=，所以21216124y R =-，即212
4133
y R =-，所以2
124144()33x R =--， ∴2212
214
||5x y O R B +=-
=+， ∴在直角三角形OAB 中，2222
22244||||||55()AB OB OA R R R R
=-=-
-=-+， 因为
224
4R R
+≥
，当且仅当(1,2)R =时取等号，所以2||541AB -=≤，
即当(1,2)R =时，||AB 取得最大值，最大值为1．
比两种解法，显然初等方法比较麻烦，而高等方法比较简单．但是对于文科学生，没有学习复合函数求导法则，更没有学习隐函数求导方法，因此考生是很难想到的，除非平时已经对圆锥曲线上任意一点的切线方程作为一个结论已经记住(这个结论很好记
忆)． 巩固练习：
１、已知焦点在x 轴上，中心在坐标原点的椭圆C 的离心率为45
，且过点(
3
。 （I ）求椭圆C 的方程；
（II ）直线l 分别切圆222:R M x y +=（其中35R <<）与椭圆C 于A 、B 两点，求||AB
的最大值．
解：（I ）设椭圆的方程为22
2210x y a b a b
+=>>（）
，则 ∵45c a = ，∴4
5
c a =， ∴22229
25
b a
c a =-=，
椭圆过点????? ∴22200
191925
a a
+=，解得225a =，29b = 故椭圆C 的方程为22
1259
x y +=．
（II ）解：设直线l 的方程为y kx m =+，因为直线l 与圆C ：
222x y R +=(35R <<) 相切于A ，所以
R =
即222(1)m R k =+ ①，
因为l 与椭圆C 相切，所以
由221259
x y kx m
y +
+==??
???得
222(259)5025(9)0k x kmx m +++-=，
则222(50)4(259)25(9)0km k m =-+?-=⊿， 即22259m k =+ ②
由①②可得222
22
2R 9251625R R m R k ?=??--?-?=??
， 设11(,)B x y ，由求根公式得1225025252(925)km km k
x k m m
=-
=-=-+，
∴221125259
()k k m y kx m k m m m m -+=+=-+==， ∴2222
22
1162581225||34k OB m x R y +-==+=
= ∴在直角三角形OAB 中，22222
22
225225||||||3434()AB OB OA R R R R =-=-
-=-+， 因为
22225
R R
+≥30
，当且仅当(3,5)R =时取等号，所以2||304AB -=≤34，
即当(3,5)R =时，||AB 取得最大值，最大值为2． 高等解法留给读者完成．
四、定值最值综合题： 一个面积公式巧解两个高考题
一、一个三角形面积公式（下称引理）：
在ABC ?中，若11(,)AB x y =uu u r ，22(,)AC x y =uu u r ，则ABC ?的面积12211
||2
S x y x y =-．
证明：1||||sin 2S AB AC A =uu u r uuu r
g =
=
=
12211
||2
x y x y =
=-．
（还可以利用割补法证明） 二、2011年山东理科高考解析几何题（五万考生0分）
已知直线l 与椭圆22
:132+
=x y C 交于11(,)P x y ，22(,)Q x y 两不同点，且?OPQ
的面积2
?=
OPQ S ，其中O 为坐标原点． （Ⅰ）证明：2212+x x 和22
12+y y 均为定值．
（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||·OM PQ 的最大值．
（Ⅲ）椭圆C 上是否存在三点D ，E ，G
，使得2
???===
ODE ODG OEG S S S ？若存在，判断?DEG 的形状；若不存在，说明理由．
本文主要研究这个题目的第（Ⅰ）问．这个题目第（Ⅰ）问，起点比前几年第（Ⅰ）问高了许多（整个大题50000考生零分，平均分不足3分），前几年第（Ⅰ）问多数为求
曲线方程，比较简单．为了便于比较，我们先展示命题组提供的第（Ⅰ）问标准答案：
①当l 斜率不存在时，P 、Q 关于x 轴对称，21=x x ，21=-y y ，因为 11(,)P x y 在椭圆上，
所以2211132
+=x y ，又11||||2?==OPQ S x y ，所以1||2=x ，1||1=y ，此时22
12
3+=x x ，22
122+=y y ．
②当l 斜率存在时，设:(0)=+≠l y kx m m ，
代入22
132
+
=x y 得222(23)63(2)0+++-=k x kmx m ， 其中2222223612(23)(2)24(32)0?=-+-=-+>k m k m k m ，
122
623-+=
+km
x x k ，21223(2)23-=+m x x k ，
12||||=-=PQ x x ， 又O 到直线l 的距离
=
d
所以
1||22?===OPQ
S PQ d ， 所以22322+=k m ，满足0?>，
此时22
221
2
22
63(2)()232323--+=-?=++km m x x k k
，22
22
12122(1)2(1)233+=-+-=x x y y ． 下面给出巧用三角形面积公式的解法：
由引理OPQ S ?=
12211||22
x y x y -=，所以21221()6x y x y -=， 即222212
21121262+=+x y x y x x y y ，又2211236+=x y ，22
22236+=x y ， 所
以
22
2
112
23)(
x y x ++
=(2
2
121
2
1
43
61
2
=++
+=
x x x x y ， 所以212123)0x x y y +=(2，所以121230x x y y +=2，所以2222121249x x y y =，
所以222212
124(26)(26)x x x x =--，整理即得，22123+=x x ， 又2222
12
122()3()12+++=x x y y ，所以22122y y +=． 两种解法的比较：
前一种解法，是大多数学生熟悉的解法，特别是从特殊情况讨论的办法，值得同学们重视．一般地，定值问题都可以利用特殊情况确定这个定值，使对一般情况的研究有了方向．
后一种解法，大多数学生不熟悉，但是这个解法避开了分类讨论，减少了运算量，其中的配方、整体代换等变形技巧高，值得细细品味． 三、2013年山东文科高考解析几何题
在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离
心率为
2
． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）,A B 为椭圆C 上满足△AOB 的面积为
4
E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P ．设uu u r OP ＝uu u r
tOE ，求实数t 的值．
显然这个题目恰好是在2011年山东理科高考解析几何题的基础上改编的，只是吸取了2011年的教训，把第一问设计的比较简单，但是第（Ⅱ）问的解答计算量仍然是很大的．
我们仍然先展示命题组提供的第（2）问的标准答案：
解：（Ⅰ）椭圆C 的方程为2
212
+=x y ．
（Ⅱ）（ⅰ）当,A B 两点关于x 轴对称时， 设直线AB 的方程为=x m ，
由题意0< 将=x m 代入椭圆方程22 12+=x y ，得||=y 所以||4 ?== AOB S m ． 解得232=m 或21 2 =m ．① 又uu u r OP tOE =uu u r 1()2t OA OB =+uu r uu u r 1 (2,0)(,0)2 t m mt ==， 因为P 为椭圆C 上一点，所以2 12 ()=mt ．② 由①②得24=t 或24 3 =t ．又因为0>t ，所以2=t 或3=t ． （ⅱ）当,A B 两点关于x 轴不对称时， 设直线AB 的方程为=+y kx h ． 将其代入椭圆的方程2 212 +=x y ， 得222(12)4220+++-=k x khx h ， 设11(,)A x y ，12(,)B x y ， 由判别式Δ＞0可得2212+>k h ， 此时122412+=-+kh x x k ，21222212-=+h x x k ，12 2 2 +=h y y ， 所以|| =AB 因为点O 到直线AB 的距离=d 所以11|| 22?==?AOB S AB d |h ． 又4 ?=AOB S ，所以||=h ．③ 令212=+n k ，代入③整理得224316160n h n h -+=， 解得24n h =或243 n h =，即22124k h +=或224 123k h +=．④ 又121211()(,)22OP tOE t OA OB t x x y y ==+=++uu u r uu u r uu r uu u r 22 2(,)1212kht ht k k =-++， 因为P 为椭圆C 上一点， 所以22 22212121212??????-+=?? ? ?++??????? ?kh h t k k ，即222112=+h t k ．⑤ 将④代入⑤得24t =或24 3t =， 又知0t >，故2t =或t =，经检验，适合题意． 综上可知，2t =或3 t =． 下面给出巧用三角形面积公式的解法： 根据引理及已知有：12211||24S x y x y = -=，即212213()2 x y x y -=，即22122112213 ()()22 x y x y x y x y += -， 又因为222212121,122x x y y +=+=，所以22 22 1212 ()()122 x x y y ++=， 即222222*********[()()]142x x y y x y x y +++=，即22 22 1212122113(2)1422 x x y y x y x y ++-=， 即2121211()24x x y y +=，所以121211 22x x y y +=±，所以121221x x y y +=±． 又121211()(,)22OP tOE t OA OB t x x y y ==+=++uu u r uu u r uu r uu u r 121211 ((),())22 t x x t y y =++， 把121211((),())22P t x x t y y ++代入椭圆方程2212+=x y 得，222121211 [()()]142 t x x y y +++=， 所以22 2 22 1212 1212(2)422 x x t y y x x y y +++++=，即21212(22)4t x x y y ++=， 当121221x x y y +=时，24 3 t = ，又知0t >，故t =； 当121221x x y y +=-时，24t =，又知0t >，故2t =． 综上可知，2t =或3 t = ． 通过上面的解法比较，我们再次看到，利用三角形面积公式12211 ||2 S x y x y = -，不仅可以避开讨论，而且大大减少了计算量，但是其中变形技巧的确很高，值得仔细推敲．至 于公式12211 ||2 S x y x y =-的记忆，我们可以联想向量11(,)AB x y =uu u r 与22(,)AC x y =uu u r 平行的充 要条件12210x y x y -=，这个等式的左边恰好是面积公式绝对值号内的代数式． 五、优化解题方法,探求命题过程 ——谈解析几何复杂计算题的求解策略 在一次考试中,我发现一个较复杂的解析几何计算题困住了不少考生,是什么原因使得考生对解析几何虽有解题思路却计算进行的半途而废呢？带着这个疑问,在考试结束后,我仔细分析了考生的试卷,发现多数考生用了下面提供的前两种解法,由于计算复杂,导致求不出结果,于是我就想这个题目的其他一些解法,从中选择最优解法,并探求命题者的命题过程,现将笔者的思考过程写出来与同学们一起交流. 原题(第一问是求椭圆C 的方程,这里只研究第二问):已知椭圆2 2:14 x C y +=，过(0,1) A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于A B 、，M 在椭圆上，且满足13 22 OM OA OB =+.求k 的值. 一、优化解题方法： 第一种解题思路： 把直线AB 的方程联立椭圆C ,可以求得B 点坐标(用k 表示),进一步可以求得M 点坐标(用k 表示),利用M 在椭圆上可以建立关于k 方程. 解法1: 过(0,1)A 且斜率为k 的直线为1y kx =+,代入椭圆方程中,消去y 并整理得: 22(14)80k x k ++=,解得10x =,22 814k x k =- +,注意到(0,1)A , 可得22288(,1)1414k k B k k --+++,即2 22 814(,)1414k k B k k --++. 设(,M x y ),则2 22 1814(,(0,1),)221414k k x y k k -+-++)=, ∴214x k =-+,y , 又∵22 14 x y +=,∴22222114(1()()14142(14)k k k +-- +=++, 去分母得: 2222248[14(1]4(14)k k k ++=+, 展开整理得: 4116k = ,∴12 k =±. 点评:顺水推舟，直接求解——计算复杂，注意利用乘法公式化简高次方程. 第二种解题思路： 把直线AB 的方程联立椭圆C ,根据一元二次方程根与系数关系可以求得12x x +和 12x x 与k 的关系,把1122(,(,(,)A x y B x y M x y ),),坐标代入椭圆C 可以求得1212x x y y 、、、之间的 关系,这个关系式可以转化到只含有12x x +与12x x ,于是建立关于k 方程. 解法2: 过(0,1)A 且斜率为k 的直线为1y kx =+,代入椭圆方程中,消去y 并整理得: 22(14)80k x k ++=, 设1122(,(,(,)A x y B x y M x y ),),,则11221(,)(,,22x y x y x y =+)), ∴1212x x x =,1212y y y =,又∵2 214x y +=, ∴22 1212111()()1422x x y y ++=, 整理得: 2222 112212121131()()14444x y x y x x y y ++++=, 注意到2222 112 211144 x y x y +=+=,12120x y y +=,即121240x x y y +=. 又120x x =,122 814k x x k +=- +, ∴21212121212(1)(1)()1()1y y kx kx k x x k x x k x x =++=+++=++, ∴28()1014k k k - +=+,∴2 14 k =,∴12k =±. 点评: 借用关于x 的方程的根与系数关系——计算简单了一些, 注意利用整体代入. 第三种解题思路： 把1122(,(,(,)A x y B x y M x y ),),坐标代入椭圆C 可以求得1212x x y y 、、、之间的关系,若能及时注意120x x =,可得120y y =,于是考虑直线AB 的方程联立椭圆C 时,直接建立关于y 的方程,可以直接得到12y y 与k 的关系,于是建立关于k 方程. 解法3: 设1122(,(,(,)A x y B x y M x y ),),,则11221(,)(,,2x y x y x y =+)), ∴1212x x x =,1212y y y =+,又∵2 214x y +=, ∴22 1212111()()142222 x x y y + ++=, 整理得: 2222 112212121131()()1444482 x y x y x x y y +++++=, 注意到2222 112 211144 x y x y +=+=, 于是上式化为 1212082 x x y y +=,即121240x x y y +=. 注意到(0,1)A ，即120x x =，所以120y y =. 过(0,1)A 且斜率为k 的直线为1y kx =+,显然0k ≠，于是1 y x k -= , 代入椭圆方程中,消去x 得: 211()14y y k -+=,即2222111 (1)10424y y k k k +-+-=， 又120y y =,∴21104k -=,∴214k =,∴1 2 k =±. 点评:借用关于y 的方程的根与系数关系——及时转化,不要思维定势,利用y 的方程更加简 单. 第四种解题思路： 把结论转化为求B 点坐标(,)x y ,考虑建立关于,x y 的二元二次方程组. 解法4:设(,B x y ),又(0,1)A ,于是132OM OA OB =+ ,即1(0,1,2OM x y = +)), ∴1(,222M x +,又(, B x y ) ,1(,222M x +在椭圆2 2:14 x C y +=上, 于是 22 221,411()(1,4222x y x ?+=??? ?++=?? 即2222333(1),4444 1333(2),44 424x y x y ??+=?????++=??y (1)(2)-消去22x y 、得: 0y =,∴2x =±.即(2,0B ±),又(0,1)A ,∴12 k =±. 点评:转化结论,间接求解——充分利用,毫无重复地利用A B M 、、在椭圆上,是最简单的解法,是建立在命题者最初的构思上求解的. 二、探求命题过程 1、猜想命题者命题过程： 第一步：在已知椭圆2 2:14x C y +=上找到三个点，(0,1) A ，(2,0) B ，1)2 M ； 第二步：对于三个向量(0,1)OA =，(2,0)OB =，1 3,)2 OM =(，考虑如何用OA ，OB 表示 OM ，设OM OA OB λμ=+，由待定系数法求得1 2 λ= ，μ=,于是132OM OA OB =+. 第三步：把13 2OM OA OB =+作为条件, 保留A B M 、、椭圆上这个条件,但是只提供 (0,1)A ,可以求出B M 、的坐标,但是我们求出的B M 、的坐标有两种情况,进一步可以求 出AB 的斜率.这就是原题的构造过程. 2、类题改编过程举例及其求解： 已知椭圆22 :12516x y C +=，取其上三点12(4,)5A ，16(3,)5 B ，,0)M (5，设OM OA OB λμ=+， 可得207λ=，15 7 μ=-.所以201577OM OA OB =-. 于是我们得到下面的题目: 已知椭圆22 :12516x y C +=，过12(4,)5 A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于A B 、，M 在椭圆上，且 7.3 解析几何(压轴题) 命题角度1曲线与轨迹问题 高考真题体验·对方向 1.(2017全国Ⅱ·20)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足 为N,点P满足. (1)求点P的轨迹方程; (2)设点Q在直线x=-3上,且=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. (1)解设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0). 由得x0=x,y0=y. 因为M(x0,y0)在C上,所以=1. 因此点P的轨迹方程为x2+y2=2. (2)证明由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n), 则 =(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t -n). 由=1得-3m-m2+tn-n2=1. 又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0. 所以=0,即. 又过点P存在唯一直线垂直于OQ, 所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. 2.(2016全国Ⅲ·20)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C 于A,B两点,交C的准线于P,Q两点. (1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明:AR∥FQ; (2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程. (1)证明由题知F. 设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0, 且A,B,P,Q,R. 记过A,B两点的直线为l, 则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0. 由于F在线段AB上,故1+ab=0. 记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2, 则k1==-b=k2. 所以AR∥FQ. (2)解设l与x轴的交点为D(x1,0), 则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|,S△PQF=. 由题设可得|b-a|, 所以x1=0(舍去),x1=1. 设满足条件的AB的中点为E(x,y). 当AB与x轴不垂直时,由k AB=k DE可得(x≠1). 而=y,所以y2=x-1(x≠1). 当AB与x轴垂直时,E与D重合. 所以所求轨迹方程为y2=x-1. 新题演练提能·刷高分 1.(2018山西太原二模)已知以点C(0,1)为圆心的动圆C与y轴负半轴交于点A,其弦AB的中点D恰好落在x轴上. (1)求点B的轨迹E的方程; (2)过直线y=-1上一点P作曲线E的两条切线,切点分别为M,N.求证:直线MN过定点. (1)解设B(x,y),则AB的中点D,y>0. ∵C(0,1),则, 在☉C中,∵DC⊥DB, ∴=0,∴-+y=0, 即x2=4y(y>0). ∴点B的轨迹E的方程为x2=4y(y>0). (2)证明由已知条件可得曲线E的方程为x2=4y, 设点P(t,-1),M(x1,y1),N(x2,y2). 1、 设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,点(0,2)A 、若线段FA 的中点B 在抛物线上, 则B 到该抛物线准线的距离为_____________。(3分) 2 、已知m ＞1,直线2:02 m l x my -- =,椭圆2 22:1x C y m +=,1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点、 (Ⅰ)当直线l 过右焦点2F 时,求直线l 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点,12AF F V ,12BF F V 的重心分别为,G H 、若原点O 在以线段GH 为直径的圆内,求实数m 的取值范围、(6分) 3已知以原点O 为中心,) 5,0F 为右焦点的双曲线C 的离心率 5 e = （I ） 求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程; （II ） 如题(20)图,已知过点()11,M x y 的直线111:44l x x y y +=与过点 ()22,N x y (其中2x x ≠)的直线 222:44l x x y y +=的交点E 在双 曲线C 上,直线MN 与两条渐近线分别交与G 、H 两点,求OGH ?的面积。(8分) 4、如图,已知椭圆 22 22 1(0)x y a b a b +=＞＞2,以该椭圆上的点与椭圆的左、右 焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为4(21)、一等轴双曲线的顶点就是该椭圆的焦点,设P 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线1PF 与2PF 与椭圆的交点分别为B A 、与 C D 、、 (Ⅰ)求椭圆与双曲线的标准方程;(Ⅱ)设直线1PF 、2 PF 的斜率分别为1k 、2k ,证明12· 1k k =;(Ⅲ)就是否存在常数λ,使得 ·AB CD AB CD λ+=恒成立？若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由、(7分) 5、在平面直角坐标系xoy 中,如图,已知椭圆15 92 2=+y x 的左、右顶点为A 、B,右焦点为F 。设过点T(m t ,)的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ,其中m>0,0,021<>y y 。 (1)设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹; (2)设3 1 ,221= =x x ,求点T 的坐标; (3)设9=t ,求证:直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)。(6分) 6.如图,设抛物线2 :x y C =的焦点为F,动点P 在直线02:=--y x l 上运动,过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB,且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点、 (1)求△APB 的重心G 的轨迹方程、 (2)证明∠PFA=∠PFB 、(6分) 7.设A 、B 就是椭圆λ=+2 2 3y x 上的两点,点N(1,3)就是线段AB 的中点,线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点、 (Ⅰ)确定λ的取值范围,并求直线AB 的方程; (Ⅱ)试判断就是否存在这样的λ,使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由、 (此题不要求在答题卡上画图)(6分) 8.如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点F 1,F 2在x 轴上,长轴A 1A 2的长为4,左准线l 与x 高考中解析几何的常考题型分析 一、高考定位 回顾2008,2012年的江苏高考题，解析几何是重要内容之一，所占分值在25 分左右，在高考中一般有2,3条填空题，一条解答题.填空题有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大;解答题主要是以圆或椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系，除了本身知识的综合，还会与其它知识如向量、函数、不等式等知识构成综合题，多年高考压轴题是解析几何题. 二、应对策略 复习中，一要熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的基础知识、基本方法，在抓住通性通法的同时，要训练利用代数方法解决几何问题的运算技巧. 二要熟悉圆锥曲线的几何性质，重点掌握直线与圆锥曲线相关问题的基本求解方法与策略，提高运用函数与方程思想、向量与导数的方法来解决问题的能力. 三在第二轮复习中要熟练掌握圆锥曲线的通性通法和基本知识. 预测在2013年的高考题中: 1.填空题依然是直线和圆的方程问题以及考查圆锥曲线的几何性质为主，三种圆锥曲线都有可能涉及. 2.在解答题中可能会出现圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还 有可能涉及简单的轨迹方程和解析几何中的开放题、探索题、证明题，重点关注定值问题. 三、常见题型 1.直线与圆的位置关系问题 直线与圆的位置关系是高考考查的热点，常常将直线与圆和函数、三角、向量、数列、圆锥曲线等相互交汇，求解参数、函数最值、圆的方程等，主要考查直线与圆的相交、相切、相离的判定与应用，以及弦长、面积的求法等，并常与圆的几何性质交汇，要求学生有较强的运算求解能力. 求解策略:首先，要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系;其次，要对问题的条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘;再次，要掌握解决问题常常使用的思想方法，如数形结合、化归转化、待定系数、分类讨论等思想方法;最后，要对求解问题的过程清晰书写，准确到位. 点评:(1)直线和圆的位置关系常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d及半弦长l2构成直角三角形关系来处理. (2)要注意分类讨论，即对直线l分为斜率存在和斜率不存在两种情况分别研究，以防漏解或推理不严谨. 2.圆锥曲线中的证明问题 圆锥曲线中的证明问题，主要有两类:一类是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如:某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等;另一类是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等). 求解策略:主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明. 常用的一些证明方法: 点评:本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲 2019高考全国各地数学卷文科解答题分类汇编-解析几何 1.〔天津文〕18、〔本小题总分值13分〕 设椭圆2 2 22 1(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2。点(,)P a b 满足212||||.PF F F = 〔Ⅰ〕求椭圆的离心率e ； 〔Ⅱ〕设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，假设直线PF 2 与圆 22(1)(16x y ++-=相 交于M ，N 两点，且 5 |||| 8 MN AB =，求椭圆的方程。 【解析】〔18〕本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公 式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力，总分值13分。 〔Ⅰ〕解：设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，因为212||||PF F F =， 2c =，整理得 2 210,1 c c c a a a ?? +-==- ???得〔舍〕 或11,.22 c e a ==所以 〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕知 2,a c b ==，可得椭圆方程为2223412x y c +=，直线FF 2的方 程为).y x c =- A ，B 两点的坐标满足方程组 222 3412,). x y c y x c ?+=??=-??消去y 并整理，得2580x cx -=。解 得 1280,5x x c == ，得方程组的解21128,0,5,.5x c x y y ?=?=??? ??=??? =?? 不妨设 85A c ?? ? ??? ， (0,)B ， 所以 16||.5AB c == 1. 设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(0,2)A .若线段FA 的中点B 在抛物线上， 则B 到该抛物线准线的距离为_____________。（3分） 2 .已知m ＞1，直线2:02m l x my --=，椭圆2 22:1x C y m +=，1,2F F 分别为椭圆C 的左、 右焦点. （Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，12AF F V ，12BF F V 的重心分别为 ,G H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范 围.（6分） 3已知以原点O 为中心，) F 为右焦点的双曲线C 的离心率2 e = 。 （I ） 求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程； （II ） 如题（20）图，已知过点()11,M x y 的直线111:44l x x y y +=与过点 ()22,N x y （其中2x x ≠）的直 线222:44l x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与两条渐近线分别交与G 、H 两点，求OGH ?的面积。（8分） 4.如图，已知椭圆 22 22 1(0)x y a b a b +=＞＞的离心率为2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右 焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、 2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =；（Ⅲ）是否存在常数λ，使得 ·A B C D A B C D λ +=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.（7分） 5.在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15 922=+y x 2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编10：平面解析几何 一、选择题 1 ．（2013年高考重庆卷（文））设P 是圆2 2 (3)(1)4x y -++=上的动点,Q 是直线3 x =-上的动点,则PQ 的最小值为（ ） A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】B 2 ．（2013年高考江西卷（文））如图.已知l 1⊥l 2,圆心在l 1上、半径为1m 的圆O 在t=0 时与l 2相切于点A,圆O 沿l 1以1m/s 的速度匀速向上移动,圆被直线l 2所截上方圆弧 长记为x,令y=cosx,则y 与时间t(0≤x≤1,单位:s)的函数y=f(t)的图像大致为 【答案】B 3 ．（2013年高考天津卷（文））已知过点P (2,2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与 直线10ax y -+=垂直, 则a =（ ） A ．1 2 - B ．1 C ．2 D ． 12 【答案】C 4 ．（2013年高考陕西卷（文））已知点M (a ,b )在圆221:O x y +=外, 则直线ax + by = 1 与圆O 的位置关系是（ ） A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．不确定 【答案】B 5 ．（2013年高考广东卷（文））垂直于直线1y x =+且与圆2 2 1x y +=相切于第一象限的 直线方程是（ ） A ．0x y += B ．10x y ++= C ．10x y +-= D ．0x y ++= 【答案】A 二、填空题 6 ．（2013年高考湖北卷（文））已知圆O :225x y +=,直线l :cos sin 1x y θθ+=(π 02 θ<< ).设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ,则k =________.【答案】4 7 ．（2013年高考四川卷（文））在平面直角坐标系内,到点 (1,2A ,(1,5)B ,(3,6)C ,(7,1)D -的距离之和最小的点的坐标是__________ 【答案】(2,4) 8 ．（2013年高考江西卷（文））若圆C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆 C 的方程是_________. 【答案】2 2325 (2) ()24 x y -++= 9 ．（2013年高考湖北卷（文））在平面直角坐标系中,若点(,)P x y 的坐标x ,y 均为整数, 则称点P 为格点. 若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为S ,其内部的格点数记为N ,边界上的格点数记为L . 例如图中△ABC 是格点三角形,对应的1S =,0N =,4L =. (Ⅰ)图中格点四边形DEFG 对应的,,S N L 分别是__________; (Ⅱ)已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c =++,其中a ,b ,c 为常数. 若某格点多边 形对应的71N =,18L =, 则S =__________(用数值作答). 高考大题之解析几何 1.如图，椭圆C ：22221x y a b +=(a >b >0)的离心率e =3 5 ，左焦点为F ，A ，B ，C 为其三个顶 点，直线CF 与AB 交于点D ，若△ADC 的面积为15． (Ⅰ)求椭圆C 的方程； (Ⅱ)是否存在分别以AD ，AC 为弦的两个相外切的等圆？ 若存在，求出这两个圆的圆心坐标；若不存在，请说明理由． 解：(Ⅰ)设左焦点F 的坐标为(-c ，0)，其中c =22a b -， ∵e = 35c a =，∴a =5 3 c ，b =43c ． ∴A (0，43c )，B (-5 3c ，0)，C (0，-43c )， ∴AB ：33154x y c c -+=，CF ：314x y c c --=， 联立解得D 点的坐标为(-54c ，1 3c )． ∵△ADC 的面积为15，∴12|x D |·|AC |=15，即12·54c ·2·4 3 c =15， 解得c =3，∴a =5，b =4，∴椭圆C 的方程为22 12516 x y +=． (Ⅱ)由(Ⅰ)知，A 点的坐标为(0，4)，D 点的坐标为(-15 4 ，1)． 假设存在这样的两个圆M 与圆N ，其中AD 是圆M 的弦，AC 是圆N 的弦， 则点M 在线段AD 的垂直平分线上，点N 在线段AC 的垂直平分线y =0上． 当圆M 和圆N 是两个相外切的等圆时，一定有A ，M ，N 在一条直线上，且AM =AN ． ∴M 、N 关于点A 对称，设M (x 1，y 1)，则N (-x 1，8-y 1)， 根据点N 在直线y =0上，∴y 1=8．∴M (x 1，8)，N (-x 1，0)， 而点M 在线段AD 的垂直平分线y -52=-54(x +158)上，可求得x 1=-251 40 . 故存在这样的两个圆，且这两个圆的圆心坐标分别为 M (-25140，8)，N (25140 ，0)． 2.如图，椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于B A ,两点， AF 的最大值为M ，BF 的最小值为m ，满足2 34 M m a ?= 。 （Ⅰ）若线段AB 垂直于x 轴时，3 2 AB = ，求椭圆的方程； （Ⅱ） 设线段AB 的中点为G ，AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴分别交于E D ,两 解析几何大题二 1．椭圆M 的中心在坐标原点O ，左、右焦点F 1，F 2在x 轴上，抛物线N 的顶点也在原点O ，焦点为F 2，椭圆M 与抛物线N 的一个交点为A （3，2）． （Ⅰ）求椭圆M 与抛物线N 的方程； （Ⅱ）在抛物线M 位于椭圆内（不含边界）的一段曲线上，是否存在点B ，使得△AF 1B 的外接圆圆心在x 轴上？若存在，求出B 点坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点F 到直线30x y -+=的距离为22，231,P ?? ? ? ?? 在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程； （2）若过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，,A B 是1l 与椭圆C 的两个交点，,C D 是2l 与椭圆C 的两个交点，,M N 分别是线段,AB CD 的中点试，判断直线MN 是否过定点？若过定点求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 3．已知抛物线C:y 2 =2px(p>0)的焦点F 和椭圆22 143 x y +=的右焦点重合,直线过点F 交抛物线于A 、 B 两点. (1)求抛物线C 的方程； (2)若直线交y 轴于点M,且,MA mAF MB nBF ==u u u r u u u r u u u r u u u r ,m 、n 是实数,对于直线,m+n 是否为定值? 若是,求出m+n 的值；否则,说明理由. 4．已知椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>的上顶点为B ，点(0,2)D b -，P 是E 上且不在y 轴上的点， 直线DP 与E 交于另一点Q .若E 的离心率为2 2，PBD ?的最大面积等于 322 . （1）求E 的方程； （2）若直线,BP BQ 分别与x 轴交于点,M N ，判断OM ON ?是否为定值. 解析几何单元易错题练习 (附参考答案) 一．考试内容： 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质. 二．考试要求： 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程. 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. 了解圆锥曲线的初步应用. 【注意】圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题. 三．基础知识: 椭圆及其标准方程 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F 、2F 的距离的和大于|1F 2F |这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F . 2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0），122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）. 3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2 x 项的分母大于2 y 项的分母， 则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上. 4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 椭圆的简单几何性质 椭圆的几何性质：设椭圆方程为122 2 2=+b y a x （a ＞b ＞0）. ⑴ 范围： -a ≤x ≤a ，-b ≤x ≤b ，所以椭圆位于直线x=a ±和y=b ±所围成的矩形里. ⑵ 对称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. ⑶ 顶点：有四个1A （-a ，0）、2A （a ，0）1B （0，-b ）、2B （0，b ）. 线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点. ⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 a c e = 叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接 近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义 201５解析几何填空选择压轴题（含答案） 一.选择题(共1５小题) 1.(2015?潍坊模拟)椭圆的左右焦点分别为F1，F2,若椭圆C上 恰好有6个不同的点P,使得△F1F2P为等腰三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是() A. Ｂ．C．D． 2.（201５?绥化一模)已知椭圆,F1,F２为其左、右焦点,P为椭圆C上除长轴端点外的任一点,△F１PＦ2的重心为G,内心Ｉ，且有（其中λ为实 数)，椭圆C的离心率ｅ=（) Ａ．Ｂ．Ｃ. Ｄ. ３.（2015?鹰潭二模)已知点Ａ（﹣１,０),Ｂ（1,０）及抛物线ｙ２=2ｘ，若抛物线上点P满足|PＡ|=m|PＢ|,则m的最大值为（) A. 3 B. 2 C. D． 4.（2０15?大庆校级模拟)已知双曲线的标准方程为,Ｆ为其右焦点，A1,A２是实轴的两端点,设P为双曲线上不同于Ａ1,A２的任意一点,直线A1P，A2Ｐ与直线x＝a分别交于两点M，N，若，则a的值为( ） A． B. Ｃ. D. 5.（2０1４?瓦房店市校级二模)已知抛物线y2=２px（p＞0）与椭圆 有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点,且AF⊥ｘ轴,则椭 圆的离心率为（） A．Ｂ. C. D. 6.(201４?江北区校级模拟)如图，已知半圆的直径|AB|=2０，l为半圆外一直线，且与BA的延长线交于点T，|AT|=4，半圆上相异两点Ｍ、N与直线l的距离|MP｜、｜NQ｜满足条件 ,则｜ＡM|＋|ＡＮ｜的值为（) A. ２2 Ｂ．20 C．１８Ｄ. 16 7．(2013?东城区模拟)设F为抛物线y2=4x的焦点，A，Ｂ,C为该抛物线上三点，若++ ＝,则的值为(） A． 3 Ｂ．4C． 6 D． 9 ８．（20１３?重庆）设双曲线Ｃ的中心为点Ｏ，若有且只有一对相交于点Ｏ,所成的角为60°的直线Ａ１B1和A2B2,使｜A1B1｜=|A2Ｂ2｜，其中A１、B１和A２、B2分别是这对直线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是( ） A. B．C．D． ９．（2011?江西)如图,一个“凸轮”放置于直角坐标系X轴上方，其“底端”落在远点O处，一顶点及中心M在Y轴的正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心,以正三角形的边长为半径的三段等弧组成 今使“凸轮”沿X轴正向滚动过程中,“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”,其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中,将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为（） A . Ｂ . C ． D . １0．(2０10?陕西)已知抛物线y2=2ｐx（p＞0）的准线与圆(ｘ﹣3）2+y2=１６相切，则p 的值为( ） 专业资料 1. 设抛物线y2 2 px( p 0) 的焦点为F，点 A(0, 2) .若线段FA的中点B在抛物线上， 则 B 到该抛物线准线的距离为_____________ 。（3 分） 2 . 已知m＞1，直线l : x my m20 ，椭圆 C : x 2 y21， F1,F2分别为椭圆C的左、 2m2 右焦点 . （Ⅰ）当直线l过右焦点 F2时，求直线l的方程；（Ⅱ）设直线 l 与椭圆 C 交于A, B两点，V AF1F2，V BF1F2的重心分别为G, H .若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m 的取值范围. （6 分） 3 已知以原点 O为中心，F5,0 为右焦点的双曲线 C 的离心率e 5 。2 （I）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（I I ）如题（20）图，已知过点M x1, y1 的直线 l1 : x1 x 4 y1 y 4 与过点 N x2 , y2（其中 x2x ）的直 线 l2 : x2 x 4 y2 y 4 的交点E在 双曲线 C 上，直线MN与两条渐近 线分别交与G、H两点，求OGH 的面积。（8 分） 4. 如图，已知椭圆x2y21(a＞ b＞0) 的离心率为2 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右 a2b22 焦点 F1 , F2为顶点的三角形的周长为4( 2 1) .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和 PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线PF1、 PF2的斜率分别为 k1、 k2，证明 k1·k2 1 ；（Ⅲ）是否存在常数，使得 A B C D A·B C恒D成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. （ 7 分） 5. 在平面直角坐标系 x2y2 xoy 中，如图，已知椭圆1 《2018年高考文科数学分类汇编》 第九篇：解析几何 一、选择题 1.【2018全国一卷4】已知椭圆C ：22 214 x y a +=的一个焦点为(20)， ，则C 的离心率为 A ．1 3 B ．12 C D 2.【2018全国二卷6】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>> A ．y = B ．y = C ．y = D ．y = 3.【2018全国二11】已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥， 且2160PF F ∠=?，则C 的离心率为 A ．1 B ．2 C D 1 4.【2018全国三卷8】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆 () 2 222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是 A ．[]26， B ．[]48， C ． D ．?? 5.【2018全国三卷10】已知双曲线22 221(00)x y C a b a b -=>>：，，则点(4,0) 到C 的渐近线的距离为 A B ．2 C ． 2 D ． 6.【2018天津卷7】已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，过右焦点且垂直 于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1 d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为 A 22 1412 x y -= B 22 1124 x y -= C 22 139 x y -= D 22 193 x y -= 7.【2018浙江卷2】双曲线2 21 3=x y -的焦点坐标是 A ．(?2，0)，(2，0) B ．(?2，0)，(2，0) C ．(0，?2)，(0，2) D ．(0，?2)，(0，2) 8.【2018上海卷13】设P 是椭圆 25x + 23 y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） A.2 B.2 C.2 D.4 二、填空题 1.【2018全国一卷15】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则 AB =________． 2.【2018北京卷10】已知直线l 过点（1,0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线 段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________. 3.【2018北京卷12】若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为 5 2 ，则a =_________. 4.【2018天津卷12】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________． 5.【2018江苏卷8】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点 全国中考数学压轴题精选-解析几何 71.（中考江苏镇江28题）（本小题满分8分）探索研究 如图，在直角坐标系xOy 中，点P 为函数2 14 y x = 在第一象限内的图象上的任一点，点A 的坐标为(01)，，直线l 过(01)B -，且与x 轴平行，过P 作y 轴的平行线分别交x 轴，l 于 C Q ，，连结AQ 交x 轴于H ，直线PH 交y 轴于R ． （1）求证：H 点为线段AQ 的中点； （2）求证：①四边形APQR 为平行四边形； ②平行四边形APQR 为菱形； （3）除P 点外，直线PH 与抛物线2 14 y x = 有无其它公共点？并说明理由． （中考江苏镇江28题解析）（1）法一：由题可知1AO CQ ==． 90AOH QCH ∠=∠=o Q ，AHO QHC ∠=∠， AOH QCH ∴△≌△． ············································································· （1分） OH CH ∴=，即H 为AQ 的中点． · ··························································· （2分） 法二：(01)A Q ，，(01)B -，，OA OB ∴=． ·················································· （1分） 又BQ x ∥轴，HA HQ ∴=． ···································································· （2分） （2）①由（1）可知AH QH =，AHR QHP ∠=∠， AR PQ Q ∥，RAH PQH ∴∠=∠， RAH PQH ∴△≌△． · ············································································ （3分） AR PQ ∴=， 又AR PQ ∥，∴四边形APQR 为平行四边形． ············································· （4分） ②设2 14 P m m ? ? ?? ? ，，PQ y Q ∥轴，则(1)Q m -， ，则2 114 PQ m =+． 过P 作PG y ⊥轴，垂足为G ，在Rt APG △中， x 见微知著，闻弦歌而知雅意 2019-2020届备考 青霄有路终须到，金榜无名誓不还！ 2019-2020年备考 2018试题分类汇编---------解析几何 一、填空题 (1)直线与圆 1.（天津文12）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________． 1.2220x y x +-= 2.（全国卷I 文15）直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则 AB =________． 2.22 3.（全国卷III 理6改）．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上， 则ABP △面积的取值范围是__________． 3.[]26， 4.(天津理12)已知圆2220x y x +-=的圆心为 C ，直线2 1, 2232 x t y t ? =-+ ??? ?=-?? (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 . 4.1 2 5.（北京理7改）在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变 化时，d 的最大值为__________． 5.3 6.（北京文7改）在平面坐标系中，,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如 图），点P 在其中一 段上，角α以OA 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是__________． 6.EF 7.（江苏12）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点， (5,0)B ，以AB 为直径的 圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ?=，则点A 的横坐标为__________． 7.3 8.（上海12）已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212 x x y y +=，则 11221 1 2 2 x y x y +-+-+ 的最大值为_________. 8.32+ （2）椭圆抛物线双曲线基本量 9.（浙江2 改）双曲线2 21 3 =x y -的焦点坐标是__________． 9.(?2，0)，(2，0) 10.（上海2）双曲线2 214 x y -=的渐近线方程为_________. 10.12 y x =± 11.（上海13）设P 是椭圆22 153 x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离 之和为__________． 11.25 12.（北京文12）若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为5 2 ，则a =_________. 12．4 13.（北京文10）已知直线l 过点（1,0）且垂直于ε，若l 被抛物线24y ax =截 得的线段长为4，则抛物线 的焦点坐标为_________. 13．(1,0) 14.(全国卷II 理5 改)双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为3，则其渐近线方程 为_________. 14．2y x =± （3）圆锥曲线离心率 2019年高考数学理科全国1卷19题说题 已知抛物线2:3C y x =的焦点为F ，斜率为3 2 的直线l 与C 的交点分别为,A B ，与x 轴 的交点为P 。 （1）若||||4AF BF +=，求l 的方程. （2）若3AP PB =u u u r u u u r ，求||AB 【背景】本题是2019年高考数学理科全国1卷19题。对比往年的圆锥曲线大题，可见今年理科的圆锥曲线大题有降低难度、减少运算量的趋势。 【分析】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用。解题的第一个关键是能通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系；第二个关键是要善用转化与化归思想：用抛物线的定义转 化||||4AF BF +=，用相似三角形或线性运算破译3AP PB =uuu r uu u r 。本题的第一问来自于教材， 稍高于教材，是2018年全国二卷圆锥曲线大题的改编题，第二问是个常规题型，在椭圆、双曲线及抛物线都出过很多类型题： 题源1：【2018年全国I 理8】设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且 斜率为2 3的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?u u u u r u u u r = （ ） A 。5 B 。6 C 。7 D 。8 题源2：【2018年全国Ⅱ卷理】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为 (0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =。 （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程。 【解法分析】 （1）设直线l ：3,2y x t = +1122(,),(,),A x y B x y 由抛物线定义得1252 x x +=； 新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编 解 析 几 何 一、选择题 【2017，5】已知F 是双曲线2 2 :13 y C x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则APF ?的面积为（ ） A ． 13 B ．12 C ．23 D ．32 【解法】选D ．由2 2 2 4c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2 2 13 y x -=，得3y =±，所以3PF =，又A 的坐标是(1,3)，故APF 的面积为13 3(21)22 ??-=，选D ． 【2017，12】设A 、B 是椭圆C ：22 13x y m +=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120° ，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1][9,)+∞U B ．(0,3][9,)+∞U C ．(0,1][4,)+∞U D ．(0,3][4,)+∞U 【解法】选A ． 图 1 图 2 解法一：设E F 、是椭圆C 短轴的两个端点，易知当点M 是椭圆C 短轴的端点时AMB ∠最大，依题意只 需使0120AEB ∠≥． 1．当03m <<时，如图1，03 tan tan 6032AEB a b m ∠=≥=，解得1m ≤，故01m <≤； 2． 当3m >时，如图2，0tan tan 60323 AEB a m b ∠==≥9m ≥． 综上可知，m 的取值范围是(0,1][9,)+∞U ，故选A ． 解法二：设E F 、是椭圆C 短轴的两个端点，易知当点M 是椭圆C 短轴的端点时AMB ∠最大，依题意只 需使0120AEB ∠≥． 1．当03m <<时，如图1，01 cos ,cos1202EA EB ≤=-u u u r u u u r ，即12EA EB EA EB ?≤-u u u r u u u r u u u r u u u r ， 带入向量坐标，解得1m ≤，故01m <≤； 2． 当3m >时，如图2，01 cos ,cos1202EA EB ≤=-u u u r u u u r ，即12EA EB EA EB ?≤-u u u r u u u r u u u r u u u r ， 带入向量坐标，解得9m ≥． 综上可知，m 的取值范围是(0,1][9,)+∞U ，故选A ． 【2016，5】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1 4 ，则该椭圆的离心率为（ ） A ．13 B ． 12 C ．23 D ． 3 4 解析：选B ． 由等面积法可得 1112224bc a b ?=???，故1 2 c a =，从而12c e a ==．故选B ． 【2015，5】已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为 1 2 ，E 的右焦点与抛物线C : y 2=8x ，的焦点重合，A ,B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |=( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 解：选B ．抛物线的焦点为(2,0)，准线为x =-2，所以c=2，从而a=4，所以b 2=12，所以椭圆方程为 22 11612 x y +=，将x =-2代入解得y=±3，所以|AB |=6，故选B 【2014，10】10．已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，A (x 0,y 0)是C 上一点，|AF |= 05 4 x ，则x 0=( )A A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 解：根据抛物线的定义可知|AF |=0015 44 x x + =，解之得x 0=1． 故选A 【2014，4】4．已知双曲线)0(13 2 22>=- a y a x 的离心率为2，则a=( ) D A ．2 B ． 26 C ．2 5 D ．1 解：2c e a ====，解得a=1，故选D 【2013，4】已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则C 的渐近线方程为( )． 新青蓝教育高考数学压轴100题1二次函数 2复合函数 3创新性函数 4抽象函数 5导函数（极值，单调区间）--不等式 6函数在实际中的应用 7函数与数列综合 8数列的概念和性质 9 Sn与an的关系 10创新型数列 11数列与不等式 12数列与解析几何 13椭圆 14双曲线 15抛物线 16解析几何中的参数范围问题 17解析几何中的最值问题 18解析几何中的定值问题 19解析几何与向量 20探究性问题 y x l O F P 3 P 2 P 1 A Q y x l O F P 3 P 2 P 1 18 解析几何中的定值问题 1如右图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为)0,3(F ，右准线l 的方程为：12=x . （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点321、P 、P P ，使133221FP P FP P FP P ∠=∠=∠，证明： ||1 ||1||132 1FP FP FP ++为定值，并求此定值. 分析：本题主要考查椭圆的定义、方程及几何性质、余弦三角函数等基础知识、基本方法和分析问题、灵活解决问题的能力。 数形结合思想方法 解：（Ⅰ）设椭圆方程为122 2 2=+b y a x . 因焦点为)0,3(F ，故半焦距3=c .又右 准线l 的方程为 c a x 2 = ，从而由已知 36,1222 ==a c a ， 因此 3327,62 2==-==c a b a . 故所求椭圆方程为1 27362 2=+y x . （Ⅱ）记椭圆的右顶点为A ，并设)3,2,1(==∠i AFP i i α，不失一般性，假设 3201πα< ≤，且34,321312π ααπαα+ =+=. 又设i P 在l 上的射影为i Q ，因椭圆的离心率 21 = = a c e ，高考数学总复习 专题七 解析几何 7.3 解析几何(压轴题)精选刷题练 理
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