【大学数学】重新理解系列之三：抽象代数
抽象代数高等数学教材
抽象代数高等数学教材抽象代数，作为数学的一个重要分支，研究的是代数结构的抽象概念及其性质。
它是现代数学的基石之一，也是高等数学中的一门重要课程。
本教材旨在全面而系统地介绍抽象代数的基本概念、理论和方法，帮助读者建立起对抽象代数的深入理解和应用能力。
第一章：群论1.1 群的定义与性质1.2 群的子群与商群1.3 幺半群与半群1.4 群同态与同构1.5 群的作用与置换群第二章：环论2.1 环的定义与性质2.2 整环与域2.3 环的同态与同构2.4 素理想与极大理想2.5 多项式环与唯一因子分解整环第三章：域论3.1 域的定义与性质3.2 代数扩域与超越扩域3.3 有限域与伽罗华理论3.4 不可约多项式与域的扩张第四章：线性代数4.1 线性空间的定义与性质4.2 线性变换与矩阵4.3 特征值与特征向量4.4 正交矩阵与对角化4.5 线性空间的直和与内积空间第五章：模论5.1 模的定义与性质5.2 子模与商模5.3 生成元与基本定理5.4 非交换环上的模5.5 自由模与有限生成模第六章：域扩张与代数闭包6.1 域扩张的概念与性质6.2 代数元与超越元6.3 代数闭包与代数簇6.4 代数闭域与代数不变量6.5 有理函数与分式域的构造第七章：范畴论与同调代数7.1 范畴的基本概念与性质7.2 范畴的构造与自然变换7.3 函子与函子范畴7.4 外代数与同调代数基础7.5 奇异同调与同调算子第八章：群表示论8.1 群表示的基本概念与性质8.2 单群与群同态8.3 群表示与欣格尔引理8.4 卷积公式与算术引理8.5 特殊群的表示与表示的构造结语：本教材通过系统而严谨的讲解，涵盖了抽象代数的核心内容，旨在培养读者对抽象代数的兴趣和学习动力，提升读者对数学的抽象思维能力和证明能力。
在学习的过程中，读者还可结合习题和实例进行巩固和应用，从而更好地掌握抽象代数的理论与方法。
希望本教材能成为读者学习抽象代数的重要参考资料，为他们在数学领域的探索和研究奠定坚实基础。
数学中的抽象代数学原理
数学中的抽象代数学原理在数学领域中，抽象代数学原理是一门涉及代数结构的分支学科，它研究的对象不再是具体的数或几何图形，而是一种抽象的代数结构。
通过引入符号和定义，抽象代数学原理帮助我们研究和解决各种问题，从而深化了我们对数学的理解。
本文将介绍抽象代数学原理的基本概念、重要定理以及其在数学中的应用。
一、基本概念1.1 集合与运算抽象代数学原理的基础是集合论。
集合是一种包含元素的集合体，而运算则是对集合中元素的操作。
常见的运算有加法、乘法等。
在抽象代数中，我们引入了符号和定义，将运算进行了抽象化，从而可以更深入地研究和推广。
1.2 代数结构代数结构是指由集合和定义在其上的运算构成的一种数学结构。
常见的代数结构包括群、环、域等。
群是指在运算下封闭、满足结合率、存在单位元和逆元等性质的代数结构。
环则在此基础上加入了乘法运算，域则满足更多的性质，如存在乘法逆元等。
二、重要定理2.1 哈代(Hada)定理哈代定理是抽象代数学中的一个重要定理，它指出：在代数封闭的域上，任意一个整数次数的多项式方程都有根。
这一定理对于解决方程问题具有重要意义。
2.2 同态与同构定理同态和同构是抽象代数学中的两个重要概念。
同态是指保持运算结构的映射，同构则是既单射又满射的同态映射。
同态与同构定理告诉我们，如果两个代数结构之间存在同态或同构映射，那么它们之间的性质将是相似的。
三、在数学中的应用抽象代数学原理在数学中有广泛的应用。
以下是其中几个重要的应用领域：3.1 密码学密码学是应用数学的一个重要领域，它研究如何保证信息的安全性。
抽象代数学原理在密码学中扮演着重要的角色，通过利用代数结构的性质，可以设计出安全可靠的加密算法。
3.2 编码理论编码理论是研究如何将信息进行编码和解码的学科。
抽象代数学原理在编码理论中的应用广泛，例如纠错码的设计和解码算法的研究。
3.3 图论图论是研究图及其性质的学科，抽象代数学原理在图论中的应用也非常重要。
数学中的抽象代数及其应用
数学中的抽象代数及其应用在现代数学领域中，抽象代数是一门研究代数结构的学科。
它以代数系统的广义概念为基础，通过研究各种代数结构及其性质，来揭示数学本质的一门学科。
本文将探讨抽象代数的基本概念、理论及其在实际应用中的重要性。
一、群论群论是抽象代数的基础，它研究的是集合上的一种代数运算——群运算。
群是一个集合和一个运算的组合，满足封闭性、结合律、单位元和逆元四个条件。
通过研究群的性质及其变换规律，群论为其他分支提供了坚实的基础。
群论的应用非常广泛，尤其在密码学领域中起着重要的作用。
群论的概念和性质为密码学提供了理论基础，通过利用群论中的数论运算，可以设计出安全性较高的密码算法，保护信息的传输和存储安全。
二、环论环论是抽象代数中的另一个重要分支，它研究的是环这种代数结构及其性质。
环是一个集合，配以两个二元运算——加法和乘法，并且满足一定的条件。
环论的研究主要集中在环的性质、理论和相关结构上。
环论在数论、代数几何、图论等领域有广泛的应用。
例如，在数论中，环论可以用来研究数的整除性、同余关系等性质；在代数几何中，环论可以用来研究代数簇的结构和性质；在图论中，环论可以用来研究图的生成树、哈密顿路径等问题。
三、域论域论是抽象代数的又一个重要分支，它研究的是域这种代数结构及其性质。
域是一个包含加法和乘法两个运算的集合，并且满足一系列条件，如交换律、结合律、存在加法和乘法的单位元及其逆元等。
域论在代数几何、密码学、编码理论等领域中有广泛应用。
在代数几何中，域论为研究代数簇和其上的函数提供了基础；在密码学中，利用域论中的有限域概念可以设计出高效且安全的密码算法；在编码理论中，域论可以用来研究纠错码和解码算法。
四、线性代数线性代数是抽象代数的一个重要应用领域，它研究的是向量空间及其上的线性变换。
线性代数的主要内容包括线性方程组、矩阵理论、特征值与特征向量等。
线性代数在计算机图形学、量子力学、信号处理等领域中有广泛的应用。
再回顾抽象代数的基本内容
再回顾抽象代数的基本内容，其实无非是在研究特定集合在特定运算下的特定性质。
同余、群、环、域、理想、同态、同构都是如此，这是抽象代数的本质内容。
环是有两种代数运算的代数系统群是只有一种代数运算的代数系统帮我介绍一下抽象代数，特别是群。
首先，群是一个集合，它的定义是这样的：如果一个同时集合满足下列条件，那么就成为一个群：1 该集合中的元素在定义的运算下是封闭的，比如说，我现在定义一个运算法则，用%来表示，那么，对于任意两个该集合中的元素a和b，有a%b=c，并且c也是该集合中的元素。
这就叫运算法则的封闭性。
2 该集合中存在一个元素e,使得对于集合中任意的元素a，都有：a%e(或者e%a)=a。
注意，这里说的是存在，也就是说，不一定只有一个。
3 该集合中存在一个元素d,使得对于集合中的一个元素a，都有：a%d=e,这里的e就是第三条中的e4 刚才定义的运算法则满足结合律：对于任意的几个中的元素a,b和c,都有如下等式成立：a%(b%c)=(a%b)%c如果一个集合满足上述四个条件的话，就成一个群。
举个例子：全体整数集，在加法这个定义的法则下，它是成一个群的。
所以，说一个集合是不是群，它实现定义的运算法则是前提条件。
比如整数集在除法这个运算法则下就不成群，因为最起码的条件：封闭型它都不满足，比如3除以6所得的结果就不属于这个集合了。
抽象代数中什么是环我尽量说的直白一点吧：环是这样一个集合：在这个集合里定义了两种运算，一种叫做“加法+”，一种叫做“乘法*”。
（和你熟悉的四则运算不一定一样，只是借用这两个名字而已）注意这两种运算必须封闭，也就是说A+B或者A*B的结果必须依然是这个集合里的元素。
其中“加法”运算满足交换律和结合律，并且存在一个“0”元素，即这个元素和任何元素A“加”都等于A而“乘法”运算满足结合律和对“加法”的分配律，并且存在一个“1”元素，即这个元素和任何不是“0”的元素B“相乘”都等于B举例来说，整数集合Z就是一个环一个个字打的...不知道说明白没有...域是环的一种特例：域是1)关于乘法交换;2)存在乘法单位元1(1≠加法单位元0);3)所有非零元有乘法逆元的环.或者这样解释，环(R,+,*)如果是一个域，那么(R\{0},*)构成一个交换群,(R,*)构成一个含幺半群；或者这样解释，环(R,+,*)如果是一个域，(R,*)构成一个含幺半群(可推出1≠0，所以幺元1∈R\{0})，且R\{0}中每个元素关于*在R\{0}中存在逆元或者一言蔽之：域是交换性除环.具体为什么不妨比照环与域的定义~模：一个代数系，向量空间的推广。
抽象代数如何归纳总结
抽象代数如何归纳总结抽象代数（Abstract Algebra）是数学中重要的一个分支，研究代数结构和其上的运算。
它将代数学中的不同概念和方法进行抽象化，从而形成一种统一的理论框架。
本文将介绍抽象代数的基本概念和主要内容，并分享如何归纳总结这门学科。
一、抽象代数的基本概念抽象代数的基本概念主要包括集合、运算、代数结构和运算性质等。
其中，集合是抽象代数的基石，运算是集合上的一种二元操作，代数结构是指包含了一组集合和定义在集合上的运算的数学对象。
在抽象代数中，常见的代数结构有群、环、域等。
1.1 集合在抽象代数中，集合是由一些元素组成的，可以是有限个或无限个。
代数学中的集合通常用大写字母表示，如A、B、C等。
集合之间可以进行加、减、交、并等操作。
1.2 运算运算是指将集合中的元素进行操作得到新的元素的过程。
常见的运算包括加法、乘法、减法、除法等。
在抽象代数中，运算符号一般用"+"、"×"表示。
1.3 代数结构代数结构是指一个集合及其上的一组运算所构成的数学对象。
常见的代数结构有群、环、域等。
群是指一个集合以及在该集合上定义的一个满足一定性质的二元运算所组成的代数结构。
环是指一个集合及其上的两个运算（加法和乘法）所构成的代数结构。
域是指一个集合及其上的两个运算（加法和乘法），并满足一定性质的代数结构。
1.4 运算性质在抽象代数中，运算有一些特殊的性质，如交换律、结合律、单位元素、逆元素等。
交换律指运算顺序不影响结果，结合律指运算可以按任意顺序进行结合，单位元素是指某种运算下存在一个特定元素使得与其他元素进行运算后结果不变，逆元素是指对于某种运算下的元素，存在一个元素与之相乘（或相加）后得到单位元素。
二、抽象代数的主要内容抽象代数的主要内容包括群论、环论和域论。
这三个学科分别研究了代数结构中的群、环和域。
2.1 群论群论是抽象代数中最基础的一个分支，研究了代数结构中的群及其性质。
高等学校教材：抽象代数
高等学校教材：抽象代数
抽象代数是数学中一个重要的分支，它广泛应用于科学、工程、计算机科学等领域。
因此，抽象代数是一个非常重要的学科，被纳入高等教育的必修学科之一。
抽象代数具有对对象的抽象性、逻辑性和构造特征。
它探讨的是一个特定的运算系统的性质，即一个或多个变量的数学运算，包括一元操作、二元操作、多元操作以及更多的称为结构的性质，比如群结构和环结构。
抽象代数是抽象思维的重要工具，运用它可以提取出许多抽象性质。
它对解决一些基本的数学问题及其逆问题也是非常有用的，例如具有特定性质的表达式的构造、破解密码的解算、几何形状的建模等。
此外，它还可以用来研究抽象代数中各类数量结构的有关性质，比如多项式代数结构，以及传统代数问题。
抽象代数有许多经典的理论，比如Galois理论、群论、环论，它们为学习抽象代数和理解抽象代数提供了经典的框架。
学习抽象代数也可以从有关代数概念的角度出发，如应用抽象代数表示一元多项式关系、理解群结构和环结构以及了解多项式的相关概念等。
抽象代数的入门学习也需要具备一定的先修知识，如微积分、线性代数以及计算机科学等。
此外，还需要有良好的抽象思维能力和模型构造能力，以及足够的练习经验。
抽象代数是数学经典理论的一大分支，它具有理论和实践性的价值，在不同的学科和领域中都有着重要的应用。
作为一门经典学科，
抽象代数的学习有着宽广的前景，值得我们认真研究和思考。
抽象代数知识点总结
抽象代数知识点总结一、群的基本概念与性质1、集合及其基本概念集合是研究对象的所有对象的总体，且每个对象都是它的一个成员。
集合的基本概念有空集、全集等。
2、二元运算及其基本性质设M是一个非空的集合，如果对于M中的每一对元素（a，b），都有一个元素：c与之对应，那么就称c在二元运算下，是a和b的像，记作：c=a*b or c=ab 或c=a×b。
3、群的基本概念设G是一个非空集合，*是G上的一个二元运算，如果满足下列4条性质：1）封闭性：对于G中的任意两个元素a、b，有a*b＝c，则c也是G中的一个元素。
2）结合律：对于G中的任意三个元素a、b、c，有(a*b)*c＝a*(b*c)。
3）存在单位元：存在G中的一个元素e，对于G中的任意一个元素a，都有e*a＝a*e＝a。
4）存在逆元：对于G中的任意一个元素a，存在G中的一个元素b，使得a*b＝b*a＝e。
则称（G,*）为一个群，*e*为群的单位元，b为a的逆元。
4、群的基本性质群具有唯一性、反号的相等性、等式的一般性质以及二次方向等性质。
5、群的记号与群的表示法群记号一般由两部分组成，它们的含义可以简单分别叫做群名和运算名，前者表示群的所有元素的种类，后者表示群的元素相互之间的运算。
这是群的基本概念与性质的介绍，群是代数结构中的一种基本结构，具有很强的普适性，因此在很多数学分支中都有广泛的应用。
二、群的子群与陪集1、子群的定义设（G，*）是一个群，对于G的一个非空子集H来说，如果在G的运算*下，H构成一个群，则称H是G的一个子群。
2、子群的判定定理判定定理是指定群的一个非空子集是否为子群的方法，使得许多确定子群是否存在的问题可以迅速得到解决。
3、陪集的基本概念给定群G，a是G的一个元素，在G中a的左陪集和右陪集分别定义。
4、陪集的划分与陪集的等价关系陪集的划分是一个重要概念，若H是G的一个子群，a是G的一个元素，G可被H分成无穷个不相交的子集（陪集）：aH={(ah|h∈H)}及Ha={(ha|h∈H)}三、同态与同态定理1、同态的定义设（G，*）和（G’，*’）是两个群，如果G、G’之间的映射f满足一定条件，即对于任意的a.b∈G，有f(a*b)=f(a)*’f(b)，则称映射f为从（G，*）到（G’，*’）的同态映射。
数学中的抽象代数
数学中的抽象代数数学是一门可以追溯到古代的学科，在数千年的演变过程中，出现了各种各样的分支。
其中，抽象代数是一门比较新的学科，与我们平时学习的数学知识有所不同。
本文将从基本概念、代数结构、进一步谈到群、环和域这几个重要的概念，以及抽象代数在现代科技中的应用等方面，逐步展开对抽象代数的探讨。
一、基本概念抽象代数是一门从代数结构本身出发，研究代数结构的一般性质和模式的学科。
它将代数结构本身作为研究对象，不再局限于具体数学中出现的代数结构。
这就导致了一种独特的数学语言和思维方式，在抽象代数中，我们不再关注代数对象之间的计算方法，而是关注这些对象所具有的共性。
在抽象代数中，我们研究的不是数，而是符号之间的关系。
二、代数结构代数结构是指由一组元素和一些定义在这些元素上的代数运算所组成的。
这里“元素”可以是任意事物的抽象量，如数、向量、函数、矩阵等；“代数运算”指的是可以在这些元素之间进行的运算，如加、减、乘、除等。
常见的代数结构有群、环、域、向量空间等。
三、群群是最基本的代数结构之一，它是一种带有一种二元运算的集合，这个运算满足四个公理：封闭性、结合律、存在单位元和存在逆元。
封闭性指的是群中任意两个元素的运算结果仍是群中的元素；结合律指的是运算不受元素之间的顺序影响；单位元指的是可以使该群中的元素和该元素自身运算得到该元素；逆元指的是存在唯一的逆元，可以使该元素和该逆元运算得到单位元。
举个例子，全体二阶可逆方阵构成的集合就是一个群，加法是二阶矩阵之间的加法，单位元是零矩阵，逆元就是该矩阵的相反数。
四、环环是一种带有两种二元运算的集合，分别叫做加法和乘法，这个运算满足一些公理：环是加法群，乘法具有结合律和分配律，乘法具有单位元，零乘任何数等于零。
简单来说，环就是一个满足加、乘运算规律的数学结构。
例如，典型的整数环就是一个环，这里的加法是普通的整数加法，乘法是普通的整数乘法。
五、域域是一种特殊的环，它满足乘法可逆性，即每个非零元素都有逆元。
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【大学数学】重新理解系列之三：抽象代数我学过一学期的抽象代数，但感觉啥都没学到，对那些定义、定理没啥理解，完全就是考验记忆能力，但是下面的几篇文章居然勾起了哥学习抽象代数的欲望，对现代数学三大支柱一直的抽象代数感兴趣的同学可以慢慢看看，其实学习一门数学课时先读读这方面的科普文章，对整体把握和学习效果有非常大的提升。
文章列表：1. 初学者应该如何学习抽象代数2. 漫谈抽象代数（非常好）3. 抽象代数不抽象4. 抽象代数的人间烟火5. 抽象代数学习方法6. 近世代数概论前言7. 近世代数学习方法（之后的几篇文章还没来得及看）8. 群论问题与物理问题（和众多牛人的讨论总结）9. 近世代数基础课件（感觉很不错）10. 近世代数发展简史11. 近世代数的应用12. 抽象代数学习报告初学者应该如何学习抽象代数曾经看到一些抽象代数（近世代数）的初学者有这样的疑问：我们为什么要研究像群这样的抽象结构呢？有人解释说这是刻画对称性，也有人解释说是现代数学的一种语言，有点道理却又语焉不详。
【为什么学抽象代数？多么实际而迫切的问题，但学了也没能回答这个问题。
既然抽象代数研究的是结构，那么就对应数学物理工程医学中的实际的结构，如化学中物质结构、网络结构等等，我觉得都是可以用上去的，这都是一下想到的，没有详细去考证。
】为什么要研究群呢？提出这类问题的人困惑的并不是群的本质，而是需要一个合理的过渡，我觉得从具体的代数到抽象代数之间的过渡可以类比于从算术到普通代数的过渡。
记得我第一次遇到代数时感到很奇怪，为什么一眼就能看出答案的问题，非要设个未知量x来解方程。
直到后来发现几个x可以抵消，我才算领会了方程的方便，再后来遇到二次的情形就非要列方程不可了。
如果说方程中字母x代表某个数的话，那么群中的字母g又代表什么呢？它不仅代表处在某个地位上的数，更是代表一个特殊的位置，这样的位置是与整个群的结构相互联系的。
比如在三阶循环群中，两个生成元尽管作为数是不同的，但它们在群的地位却是一致的。
正如普通代数中忽略了数的已知与未知那样，抽象代数中忽略的则是具体数的差异，而集中考虑相应的位置与结构。
【普通代数中忽略了数的已知与未知那样，抽象代数中忽略的则是具体数的差异，而集中考虑相应的位置与结构？不太懂。
】有的人总是想借助直观来理解抽象，但这对抽象代数的入门却是一个妨碍。
还有回忆学习普通代数的情形，如果在学习普通代数的时候固执于用数值检验未知数x，并不能让你真正领会x的精神，只有直接用x来进行运算，才能在此基础上领会高级的直观。
抽象代数的学习也需要领会相应的高级直观，这里的直观重在代数的结构，因此初学者就应该特别注意那些关于结构的定理。
第一个结构定理大概就是同态基本定理，由此可以更加深刻的理解商群。
此后，一个非常自然的结构定理就是有限Abel结构定理，如果你能够依据此定理确定任意Abel群的结构，那么可以说你基本上已经算是入门了。
此后，就可以考虑对付非Abel群的武器，最初级的武器共轭类，由此衍生出正规子群的概念，而更加深刻的武器则是Sylow定理。
仅仅作为入门的话，能理解Sylow定理也应该算是足够了。
【结构定理是抽象代数的核心。
需要用高级的直观来理解抽象的东西，不过借助低级直观能帮助我们理解抽象的东西，从而建立高级直观。
】群的上面还有环、域、模等代数结构，这里只是简单提一下它们之间的关系。
如果说群是青少年的话（半群就是儿童了）；那么环与域就是中年人，除了加法之外还增加了一个乘法；而模与向量空间则是老年人，它把环或域作为系数，自身还保留有类似群的加法。
这里我要提醒一下，Abei群其实有着双重身份，它作为群的同时又是一个整数环Z上的模，不妨就管他叫老顽童吧。
如果像群变环那样，在模上面再引入一个乘法会怎么样呢？也不知为什么，得到的东西就干脆的称为代数。
其实，只要能把注意把握结构，抽象代数的入门应该不是太困难，我甚至提议数学专业课是不是可以一开始就群论讲起，这可以促使学生尽早完成代数思维的转变。
只要走过了这道门槛，后面还有更加丰富多彩的内容等着你们呢！【抽象代数的入门就是抓住本门课的核心思想：结构思想和抽象思维】漫谈抽象代数你若是没有认真看过代数，你就不能准确地估计数学到底有多么深刻；你若是没有认真看过代数，你也不能明白为什么抽象的理论也能为人类思维所把握——代数中最不可理解的就是，代数竟然是可以理解的。
【好一个排比！突出了抽象代数的抽象性（能抓住本质和深刻）】代数的深刻来自数学思想，而不是运算——论运算，微分和积分都比它复杂得多，这就是物理大师Feynman选择矩阵而不是偏微分方程来给低年级本科生讲述量子力学的原因（参阅Feynman物理学讲义卷III，赵凯华的新概念量子物理也用的是这种讲法：因为矩阵和代数运算更接近高中数学，几乎每个读过物理奥赛书的同学都会用行列式求解电路的基尔霍夫方程组——奥赛总是尽量回避微积分，必要的时候就用“小量分析”代替，并且取名为“微元法”、“近似法”，但就是不说这是微积分）。
其实，运算的艰深算不得深刻，至多只能算繁琐（譬如电力系统和集成电路，分析和运算极其复杂，但用到的不过是普通物理和固体物理之类的低级知识，根本用不上相对论、量子力学、量子场论这类思想深刻的东西）。
它没有几何那么直观（因此许多人不喜欢它，嫌它太抽象），确实（对于物理学家来说），但换个角度来看，这反倒是它的优点：一方面，在它的世界里，你不必担心自己的空间想象能力（和你的同行相比，你的逻辑推理能力恰好可以弥补空间想象能力的不足）；另一方面，就数学本身而言，人类总是不可避免要面对一些高维（甚至无限维）的客体，这时，不仅你想象不出来，其他人也想象不出来，这正是代数大显身手的地方。
有人说，抽象有什么好，我想象不出来。
其实你那是先给自己灌输了一个错误观念，即一个事物只有当它可以想象出来才是真实的，才能接受。
为什么非要想象出来呢？只要依循着逻辑一步步严密地推理就足够了，因而这种担心完全是不必要的。
所以，你可以把数学看得很神圣，但不要把它看得很神秘——望而生畏会阻碍你的进步。
【代数不研究具体运算，几何中看不中用，代数中用不中看，只需逻辑推演，无需太强的空间几何想象能力】代数的魅力就在于，深刻又易于思考，哪怕你对研究对象一无所知，也能依循着逻辑去思考——它那么简单，简单到只需要逻辑（除此之外再也不需要别的了）就能把握真理（你必须相信，纯理论可以主宰世界）；但它的思想又那么深刻，深刻到所有几何都能统一用变换群来描述。
现在觉得，几何与代数的特点很像普通物理与理论物理：前者注重说明现象，后者注重说明本质。
譬如折射：前者注重折射现象（筷子放入水中后变弯了），后者注重折射定律（不管你变成什么形状了，反正都是nsinθ=n'sinθ'）。
曾经我很迷恋几何（各种奇妙曲线和曲面），就像当初迷恋普通物理（各种奇妙现象）；现在我转向理论物理，更愿意从纯理性的角度去思考一些本质（透过现象看本质），对数学也因而更偏重代数。
代数和理论物理的美是内敛的，就像那种内敛的人，长得很抽象，你不去接近她而只是从外部看看，就不会发现她的魅力所在。
【代数的好处深刻又易于思考，抽象的好处是能抓住本质，透过现象看本质。
】抽象有什么好？抽象可以使理论更加普适。
什么欧式几何、仿射几何、射影几何、微分几何林林总总，眼花缭乱。
它们之间就没有联系吗？有！不识几何真面目，只缘身在几何中——必须从几何中跳出来，才能旁观者清。
这个旁观者就是代数。
1872年，德国数学家Klein在Erlangen大学的报告中指出，一种几何学可以用公理化方法来构建，也可以把变换群和几何学联系起来，给几何学以新的定义：给出集合S和它的一个变换群G，对于S中的两个集合A和B，如果在G中存在一个变换f使f(A)=B，则称A和B等价。
可以根据等价关系给集合分类，凡是等价的子集属于同一类，不等价的子集属于不同的类。
将这一代数理论翻译到几何中，相应的版本便是：集合S叫做空间，S的元素叫做点，S的子集A和B叫做图形，凡是等价的图形都属于同一类（图形等价类）。
于是同一类里的一切图形所具有的几何性质必是变换群G下的不变量，因而可用变换群来研究几何学——这就是著名的Erlangen纲领，它支配了自它以来半个世纪的所有几何学的研究。
例如，在正交变换群下保持几何性质不变的便是欧式几何，在仿射变换群下保持不变的便是仿射几何，在射影变换群下保持不变的便是射影几何，在微分同胚群下保持不变的便是微分几何。
【终于了解了点Erlangen纲领的思想，即变换群下的不变量，同一类中图形的共同几何性质，就可以根据不变量对图形进行分类，图形等价】上面说的是图形等价关系。
代数的普遍性在于，它将各种各样的相关的、不相关的事物放在一起比较，然后从这些个性的事物中提炼出共性的东西来，比如等价关系。
除了上面提到的图形等价关系，还有各种各样的等价关系（如同“群公理：只要满足能封闭、可结合、有恒元和逆元的集合就是群”一样，只要满足反身、对偶、传递这三条的关系就是等价关系——这样简单的条件当然很容易满足，‘曲不高则和不寡’，所以类似的例子不胜枚举），例如，同余等价关系。
我们可以按余数给整数分类，余数相同的归为一类，即同余类。
代数对于普遍性的追求在于，发现同余类后并不就此止步，而是精益求精，进一步去提炼更具普遍性的概念。
既然等价的图形和等价的余数都可以归为等价类，何不将等价类做成一个集合呢？由此，又发现了商集（即在一个集合中给定了一个等价关系之后相对于这个等价关系而言的等价类所构成的集合，通俗地说就是将每一个等价类中所有点“粘合”为一个点而得到的集合，如Mbius带和Klein瓶）、商空间（以同余类为元素构成的集合）、商群（以陪集为元素构成的集合）等概念。
【等价类的思想贯穿于整个代数，由此引出各种概念】刚才说了等价关系。
类似的例子还有很多，再比如说基矢。
只要同类的一组元素互不相关，就能充当空间的一组基（将一个量展开为其他量的线性组合，此即泛函分析中的谱定理），哪怕它不是向量（因而生成的不是几何空间）也无所谓，比如它可以是一组函数（由此生成无限维空间，如量子力学中的Hilbert空间）。
甚至，它可以是一个不确定（如无穷小量，要多小有多小但又不是零，到底多大只有上帝清楚）的微分元（比如dx、dy、dz，微分几何中用到的外微分形式就是用这些微分元为基矢张成的空间——微分几何运算很复杂，但构成它的理论基础之一Grassmann代数并不是特别复杂）。
可见，代数的理论是相当普适的。