一种改进的多目标优化算法

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MOEA-D算法的改进及其在多目标测试用例排序中的应用

MOEA-D算法的改进及其在多目标测试用例排序中的应用摘要多目标测试用例排序（MOTS）作为软件测试中的重要问题之一，旨在将测试用例按照覆盖率、故障检测能力等多维度指标进行排序，以达到自动化选择测试用例的目的。

MOEA/D（Multi-objective Evolutionary Algorithm based on Decomposition）算法是一种较为有效的解决MOTS问题的算法，然而，MOEA/D算法中存在一些问题，如权重分配策略、解集过度重叠等，需要进行改进。

本文通过研究MOEA/D算法中的问题，提出改进算法，即MOEA/D-IT，该算法采用非均匀分配策略以解决权重分配问题，并结合均匀分配策略进行解集划分，从而解决解集过度重叠的问题。

最后，将MOEA/D-IT算法应用于实际问题中的MOTS问题，结果表明改进算法在解决MOTS问题方面具有明显优势。

关键词：多目标测试用例排序；MOEA/D算法；权重分配策略；解集过度重叠；MOEA/D-IT算法1. 引言随着软件规模和复杂度的不断提高，软件测试变得越来越重要。

测试用例是评估软件质量和性能的关键因素，测试用例的质量和数量对软件测试的效率和效果有很大的影响。

因此，如何自动化生成高质量的测试用例并选择测试用例来实现全面测试是软件测试研究的重点之一。

多目标测试用例排序（MOTS）作为软件测试中的重要问题之一，旨在将测试用例按照指定的多维度指标进行排序，以达到自动化选择测试用例的目的。

目前，MOTS问题通常被认为是一个多目标优化问题，需要使用多目标优化算法来解决。

MOEA/D（Multi-objective Evolutionary Algorithm based on Decomposition）算法是一种基于分解思想的多目标优化算法，该算法将多目标问题转化为多个单目标子问题，并使用进化算法求解。

MOEA/D算法具有许多优点，如快速收敛，较好的解集质量等。

一种改进快速稳定的多目标优化算法

ＩｐｏｅａｔｏｕｔＳｌ—ｂｅｔｅＡｇｒｈｍｒｖｄＦｓＲｂｓＰＯＭｕｔｏｊｃｉｌｏｉｍｉｖｔ
ＦＡＮｉｈｎ，ＬＵＧｕｎｒｎ，ＷＡＪ— ａＩａ —ｏｇｓＮＧｕ，Ｓｈｎ — ｉＬＨＩＺｏｇｗｅ
Ｋｙｗｒｓｕｔｏｊｃｉｐｉｉｔｎｐｒｃａｍｏｔｉｔｎａｏｔｍ；一ｏｎｎｅｍｕｉｂｅｔｅｏｔｉｔｎｅｏｄ：ｍｌ・ｂｅｔｅｏｔｚｉ；ａｔｌｓｒｐｉｚｉｌｒｈ８ｄｍｉｃｌ・ｊｃｖｐｉｚｉｉｖｍａｏｉｅｗｍａｏｇｉａｔｏｉｍａｏ
取得了良好的效果。其运算速度快，而且最终优化的点数可以得到控制。关键词：多目标优化；粒子群算法；￡支配多目标优化中图分类号：Ｔ３１６Ｐ０．文献标志码：Ａ文章编号：１０ —６５２０）４０５ —２０１３９（０７０．０２０
维普资讯
第２４卷第４期
２０年４月０７
计算机应用研究
ＡｐｌａｉｎＲｅｅｒｈｏｍｐｔｒｐｉｔｓａｃｆＣｏ１２Ｎｏ４
Ａｐｉ０７ｒｌ２０
ａｇｒｈａｓｄｈｌｏｔｍｕｅ一ｏｎｎｅｍｅｈｄｌｏｔｍｗｓｕｅ．Ｔｅａｇｒｈｓｄ８ｄｍｉａｃｔｏ．Ｄｕｎｘｅｉｎ，ｉｈｓｂｔｒｒｓｌｈｎＣｉｉｉｒｇｅｐｒｍｅｔｔａｅｔｅｕｔｔａＭＯＰＯ，ａｈｅｓＳｔｅｔｓｍｅｔ，ｉｉｎａｔｎｈｐｉｌｏｕｉｎａｅｃｎｒｌｄａｉｍｅｔｕｓｆｓ，ａｄｔｅｏｔｍａｌｔｓｃｎｂｏｔｌ．ｓｏｏｅ

一种改进的小生境遗传算法在多目标优化中的应用

一
法所获得的非劣解； ②根据个体间的Ｐｒｏａｔ支配关系，出个体ｅ给
的适应度函数；利用局部竞争来进行选择。该算法对种群的 ③ 繁衍规模控制比较生硬，只是当超过一定数量时，才利用聚类的方式移出部分解。但是，该方式由于要计算各簇间的距离，因而也非常耗时。在保证解集的分布性和质量前提下，如何加快解集的收敛速度是当前遗传算法发展的一大瓶颈。近十年来，人们又提出一系列人工生命算法ＡＡ（ｒｆｉＬＡｔｃａｉｌｉ
ｒｈｏｅｓｉｂｅｔｓｌｅｍｌ・ｂｅｔｅｏｔｚｔｎｐｏｌＴｅｃｍｕａｏｎｔｎｅｓｏｓｔｔｏｐｒｄｗｔｅＳＥｌ－ｉｍｉｍｒｔｌｏｏｅｔｕｔｏｊｃｖｐｉａｉｒｂｍ．ｈｏｐｔｉｉｓｃｈｗａｃｍａｅｉｔＰＡａｏｔｓｕａｖｈｉｉｍｉｏｅｔｎａｈｈｈｓ
ＳＥＰＡ算法。该算法具有以下特性：构造外部种群保留算 ①
时，常会遇到多目标优化问题。常而传统的数学分析方法无法得到多目标条件下的Ｐｒｔａｅｏ最优解，目标优化问题是指优化过程中所考虑的优化目标不是单多
得改进的算法更适合于多目标优化求解。计算实例表明，ＳＥ与ＰＡ算法相比，所提出的算法更优越。
关键词多目标优化遗传算法捕猎者Ｐｒｔａｅｏ最优解
ＡＰＹＩＰＬＮＧ］ＰＲＯＶＥＤＣＨＥ１、ＮＩＧＥＮＥＲＩＡＬＧｏＲＩＣＴＨＭＴｏＨＥＴ
ｒｈ，ｅａｇｒｈｐｏｏｅｎｔｉａｅｓｓｐｒｏｏｓｍｅｅｔｎｓｉｍｔｏｉｍｒｐｓｄｉｈｓｐｐｒｉｕｅｒｔｏｘｅｔ．ｔｈｌｔｉ

一种改进的基于pareto解的多目标粒子群算法

第２卷第５７期
文章编号：０６— ３８２１）５— ０６— ４１０９４（００００９０
计
算
机
仿
真
２０月０年５１
一
种改进的基于ｐｒｔ的多目标粒子群算法ａｅｏ解
李纬，张兴华
（南京工业大学自动化学院，江苏南京２００）１０９
摘要：研究一种改进的多目标粒子群优化算法，算法采用精英归档策略，利用粒子的个体最优定位，通过Ｐｒｏａｔ支配关系更ｅ新全体粒子最优位置，由档案库中动态提供。根据Ｐｒｏａｔ支配关系来更新粒子的个体最优位置。使用非劣解目标的密度距ｅ离度量非劣解前端的均匀性，通过删除密度距离小的非劣解提高非劣解前端的均匀性。从归档中根据粒子的密度距离大小依照概率选取作为粒子的全局最优位置，以保持解的多样性。标准函数的仿真实验结果表明，所提算法能够获得大量且较
ｆｏｔｒｎ．
ＫＥＷＯＲＹＤＳ：ａｉｅｓａｍ；ｌ —ｏｊｃｖｖｌｉａｙａｏｉｍ；ｐｉａ；ｙａｉｃｗｉｇＰｒｃｗｒＭｕｉｂｅｔｅｅｏｔｎｒｌｒｈＯｔｌＤｎｃｒｄｎｔｌｔｉｕｏｇｔｍｍｏ
Байду номын сангаас
１引言
粒子群优化算法是由Ｋｎｅｙ和Ｅｅｈｒ提出的一种进ｅｎｄｂｒａｔ
ｃｉｅｔｔｇｓｕｅｈｖｄｓａｅｙｉｓｄ，ｇｏａｅｔｐｓｔｎｉｒｖｄｄｂｏ —ｄｍｉａｅｏｕｉｎｎｔｅａｃｉｅａｄｉｄｖｄａｒｌｂｌｂｓｏｉｏｓｐｏｉｅｙｎｎｉｏｎｔｄｓｌｔｓｉｈｒｈｖｎｎｉｉｕｏｌ

一种改进的多目标粒子群优化算法及其应用

ｍｅｃｈａｎｉｓｍ，ｎｏｔｏｎｌｙｉｎｈｅｉｒｔｅｄｔｈｅａｄｖａｎｔａｇｅｓｏｆＭＯＰＳＯａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ｂｕｔｈａｄａｓｔｒｏｎｇｌｏｃｌａｓｅａｒｃｈｉｎｇａｂｉｌｉｔｙ，ｇｏｏｄｒｏｂｕｓｔ
ｐｅｆｒｏｒｍａｎｃｅａｎｄｕｎｉ￣ｒｍｎｏｎ — ｉｎｆｅｒｉｏｒｓｏｌｕｔｉｏｎｓｅｔ，ａｓｆａｒａｓｐｏｓｓｉｂｌｅａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｒｅａｌｎｏｎ — ｉｎｆｅｒｉｏｒｆｒｏｎｔ．Ｔｈｅｐｒａｃｔ！ｃａｂｉｌｉｔｙａｎｄ
ＩｍｐｒｏｖｅｄＭＯＰＳＯａｌｇｏｒｉｔｈｍａｎｄｉｔｓａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ
ＦＥＮＧＪｉｎ－ｚｈｉＣＨＥＮＸｉｎｇＺＨＥＮＧＳｏｎｇ — ｌｉｎ，
性，提出了一种改进的多目标粒子群优化算法。通过运用比例分布及跳数改进机制策略的方法，使该算法不仅继
承了ＭＯＰＳＯ算法的优点，而且具有很强的局部搜索能力和较好的鲁棒性能，使非劣解集均匀分布，尽可能逼近真实的非劣前沿。通过对多连杆悬架空间结构硬点的多目标优化，进一步验证了该算法的实用性及其优越性。

一种改进的小生境多目标粒子群优化算法

工
程
２１年９月２０１０日
行变异操作。本文根据ＮＳＡＩ的特点提出了基于拥挤度的Ｇ— Ｉ
（）１
（）２
＜Ｘ（ｉ［，０（ｆｉ＋Ｒ２，】（一Ｊ）－ｖ＋Ｒ１仍】ｐ —Ｘ）－－０［圆ｐ０Ｃ）ｉ
÷ 十一
的收敛度与多样性方面具有明显的优势。关砖诃：多目优化；子群优化算法；小生境技术；非支配排序；拥挤度；动态加权方法标粒
ＩｒｖｄＮｉｉｇＭｕｔ０ｊｃｉｅｍｐｏｅｃｎｌ－ｂｅｔｈｉｖ
ＰｒｉｌｗａｍｔｍｉａｉｎＡｌｏｉｈａｔｃｅＳｒＯｐｉｚｔｏｇｒｔｍ
是整个种群找到的全局最优位置。种群中第ｉ个粒子的ｖ和
基金项目：国家 “７”计划基金资助项目（０９０２；国家自然科９３２０１７）
学基金资助项目（０１８）１７０１１
目函数产生，不考虑其他目函数，各种群间通过最优粒标标子相互通信。文献［在引入￡配概念的同时，采用变异操５】支作和小生境技术，从而提高了算法的收敛性能。文献【】６提出了自适应进化粒子群算法，采用动态加权法选择最优粒子，
粒子拥挤度小于精度（）时对粒子速度进行变异操作：
ｉｎｆ（ａ＜
＝２，一ｍ觚
取值为０７９８．，通过式子：２
２
— — — — — — 一
一４ｌ一 √ 一２计算得到，其中，妒＝仍＋＝４１仍．。在进化算法的文献中出现了许多小生境技术，文献［】８对其进行了详细的叙述，并指出了传统的小生境技术主要有下

nsga2算法通俗讲解

nsga2算法通俗讲解NSGA-II（Nondominated Sorting Genetic Algorithm II）是一种经典的多目标优化算法，是对遗传算法的一种改进和扩展。

它使用遗传算法的思想来解决求解多目标优化问题，可以同时优化多个目标函数。

NSGA-II通过遗传算子的选择、交叉、变异等操作对候选解进行搜索，然后使用非支配排序和拥挤度距离计算来选择较好的个体，最终得到Pareto最优解集。

NSGA-II的核心思想是模拟进化过程来搜索多目标优化问题的解空间。

它通过构建和维护一个种群来搜索解空间，每个个体都代表一个候选解。

首先，随机生成一组个体作为初始种群，然后通过迭代的方式进行优化。

在每一代演化中，NSGA-II从当前种群中选择父代个体，并使用交叉和变异操作来产生子代个体。

然后，将父代和子代合并为一组候选解，通过非支配排序和拥挤度距离计算筛选出优秀的个体，构成下一代种群。

重复迭代直到满足停止准则。

非支配排序（Non-dominated Sorting）是NSGA-II中的一个重要操作，用于根据个体的优劣程度进行排序。

首先，对种群中的所有个体进行两两比较，如果某个个体在所有目标函数上都优于另一个个体，则认为前者不被后者支配。

根据支配关系，将个体分为不同的等级，形成层次结构。

然后，在每个等级中按照拥挤度距离进行排序。

拥挤度距离用于衡量个体周围的密度，较大的值表示个体所在区域较为稀疏，较小的值表示个体所在区域较为密集。

通过综合考虑支配关系和拥挤度距离，可以选择出较优的个体。

NSGA-II采用了精英策略（Elitism）来保留种群中的优秀个体，避免遗忘最优解。

在选择下一代个体时，将精英个体直接复制到下一代，以保持种群的多样性和收敛性。

通过重复进行选择、交叉和变异操作，不断更新种群，使得算法能够逐渐搜索到Pareto最优解集。

NSGA-II是一种高效的多目标优化算法，它充分利用了种群中个体之间的关系，通过非支配排序和拥挤度距离计算来选择出Pareto最优解集。

多目标最优化算法

多目标最优化算法
多目标最优化算法是一种用于解决具有多个目标的优化问题的方法。

在多目标优化中，需要同时优化多个相互冲突的目标，而不是仅仅关注单个目标的最大化或最小化。

常见的多目标最优化算法包括：
1. 权重法：通过给每个目标分配权重，将多目标问题转化为单目标问题进行求解。

2. 帕累托最优解：寻找一组非支配解，这些解在不牺牲其他目标的情况下无法进一步改进。

3. 基于进化算法的方法：如遗传算法、粒子群算法等，通过模拟自然进化过程来搜索多目标最优解。

4. 妥协方法：通过找到一组权衡各个目标的解，以获得一个可接受的折衷方案。

5. 多目标优化算法的评估通常使用帕累托前沿来比较不同算法的性能。

在实际应用中，选择合适的多目标最优化算法需要考虑问题的特点、算法的复杂度、计算资源等因素。

同时，还需要根据具体情况进行算法的改进和调整，以获得更好的优化效果。

多目标最优化算法在许多领域都有广泛的应用，如工程设计、经济决策、环境管理等。

它们帮助决策者在多个相互冲突的目标之间找到最优的权衡方案，以实现综合的最优决策。

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ｗｈｅｒｅ：ｘ＝（ｘ，ｘ， …，ｘ） ∈Ｘ１２ｎｙ＝（ｙ，ｙ， …，ｙ） ∈Ｙ１２ｋ
（３）（４）
ｘ是自变量向量，ｙ是目标向量；Ｘ是自变量空间；Ｙ是目其中：（ｘ）≤ ０确定可行解。多目标优化问题标空间，约束ｇｍａｘ（ｆ（Ｘ））中的相关定义如下：定义１Ｐａｒｅｔｏ支配。对于任意的自变量向量Ｘ，Ｘ： ∈Ｘ１２（Ｘ）＜ｆ（Ｘ），称Ｘａｒｅｔｏ支配Ｘ，记为Ｘ；当且仅当ｆＸｉ１ｉ２２Ｐ１２１当且仅当ｆ（Ｘ）（Ｘ），称Ｘａｒｅｔｏ弱支配Ｘ，记为Ｘ ≤ｆｉ１ｉ２２Ｐ１２Ｘ（ｉ＝１，２， …，ｍ）。１定义２Ｐａｒｅｔｏ最优解。对于一个自变量向量Ｘ ∈ Ｘ，若
·４４６ｇ（ｘ）＝（ｇ（ｘ），ｇ（ｘ）， …，ｇｘ）） ≤０１２ｍ（
计算机应用研究
（２）
第２９卷
参数 λ １和 λ ２分别代表参与产生新个体的父代个体。λ １和 λ ２分别为
（（ｐｐ）－（ｐｐ））／２ λ Δ １＝１＋２２－１（（ｐｐ）－（ｐｐ））／２ λ Δ ２＝１＋２１－２（９）（１０）
［６］后来又出现了处理约束问题的优化算法（ＭＯＣＰＳＯ）可以将
ｐｓｉｌｏｎ支配概念的ｅｐ约束问题转换为多目标优化问题，基于ｅ
７］ｓｉｌｏｎＭＯＥＡ算法［可以防止解丢失的问题，在这些优化算法
中多数都有额外参数的设置问题，需要人工参与运算，自适应性不太理想。基于此，提出了一种中心均值重组自适应多目标优化算法（ＩＭＯＯＡ），在算法中改进模拟交叉算子，沿用ＮＳＧＡ Ⅱ算法所采用的拥挤距离对个体进行排序。通过实例测试和ＮＳＧＡ该算法能有效解决了实参多目标 Ⅱ算法进行比较表明，优化问题，且在解的收敛性、分布性以及算法的自适应程度均表现较好。
的ＳＰＥＡ２算法。这两种算法是目前比较常见的多目标算法，它们的优点较多，但缺点也较明显。ＮＳＧＡ Ⅱ 的优点是全局搜索性能良好，解集具有良好的分布性，在算法中使用拥挤距离排序不会使算法陷入到局部最优；缺点是在高维问题中，解集的多样性不理想，而且在算法后期选择解的保留时很容易造成
第２９卷第１２期２０１２年１２月
计算机应用研究ＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎＲｅｓｅａｒｃｈｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒｓ
Ｖｏｌ．２９Ｎｏ．１２Ｄｅｃ．２０１２
一种改进的多目标优化算法
樊纪山１，王经卓１，熊盛武２
（１．ＳｈｏｏｌｏｆＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＨｕａｉｈａｉＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ＬｉａｎｙｕｎｇａｎｇＪｉａｎｇｓｕ２２２００５，Ｃｈｉｎａ；２．ＳｃｈｏｏｌｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒ，ＷｕｈａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｗｕｈａｎ４３００７０，Ｃｈｉｎａ）
收稿日期：２０１２０６０６；修回日期：２０１２０７１９基金项目：国家自然科学基金资助项目（６１１７４０１３，６０５７２０１５）作者简介：樊纪山（１９７５），男，山东临沂人，讲师，硕士，主要研究方向为机器学习、演化计算（ｆｊｓｓｚｗ２００５＠１２６．ｃｏｍ）；王经卓（１９７３），男，教授，博士，主要研究方向为检测与控制；熊盛武（１９６６），男，教授，博士，主要研究方向为机器学习、智能计算．
（１．淮海工学院电子工程学院，江苏连云港２２２００５；２．武汉理工大学计算机学院，武汉４３００７０）摘要：为了提高非劣解向Ｐａｒｅｔｏ最优面收敛的速度以及解的多样性，设计了一种新的杂交算子并改进了ＮＳＧＡ采用中心均值重组算子策略增强算法全局快速搜索能力，以获得最佳的Ｐａｒｅｔｏ近似 Ⅱ算法。在此算法中，ＳＧＡ解，同时，改进Ｎ Ⅱ快速非支配排序和拥挤机制将父代与子代的双种群进行截短，确保最优解不会丢失并保证解的多样性。数据实验表明，该算法能在解的收敛性、分布性以及自适应程度上均表现较好。关键词：多目标优化；中心均值重组；自适应交叉；Ｐａｒｅｔｏ最优中图分类号：ＴＰ１８３文献标志码：Ａ文章编号：１００１３６９５（２０１２）１２４４６３０３：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１３６９５．２０１２．１２．０１４ｄｏｉ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＴｈｉｓｐａｐｅｒｐｒｏｐｏｓｅｄａｎｏｖｅｌｍｕｌｔｉｏｂｊｅｃｔｉｖｅｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙａｌｇｏｒｉｔｈｍｂａｓｅｄｏｎａｎｏｖｅｌｃｒｏｓｓｏｖｅｒｏｐｅｒａｔｉｏｎａｎｄｉｍｉｎｏｒｄｅｒｔｏｈｅｉｇｈｔｅｎｆｕｒｔｈｅｒｒａｔｅｏｆｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎｓｔｏＰａｒｅｔｏｏｐｔｉｍａｌｆｒｏｎｔａｎｄｅｎｓｕｒｅｔｈｅｄｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆｐｒｏｖｅｓＮＳＧＡ Ⅱ，ｏｐｔｉｍａｌｓｏｌｕｔｉｏｎ．Ｉｎｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ｔｈｅｃｒｏｓｓｏｖｅｒｏｐｅｒａｔｏｒｐａｒａｍｅｔｅｒｗａｓａｄａｐｔｉｖｅｆｏｒｅｎｈａｎｃｉｎｇｔｈｅａｂｉｌｉｔｙｏｆｇｌｏｂａｌｆａｓｔｓｅａｒｃｈｔｏａｃｈｉｅｖｅｂｅｔｔｅｒＰａｒｅｔｏａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓ．Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，ｉｔｉｍｐｒｏｖｅｄｆａｓｔｒａｎｋｉｎｇｍｅｃｈａｎｉｓｍｓａｎｄｃｒｏｗｉｎｇｄｉｓｔａｎｃｅｓｏｒｔｉｎｇｏｆＮＳＧＡｒｕｎｃａｔｅｓｔｈｅｐｏｐｕｌａｔｉｏｎｓｅｔｆｏｒｍｅｄｂｙｔｈｅｐａｒｅｎｔｓａｎｄｔｈｅｎｅｗｐｏｉｎｔｓ，ｉｎｏｒｄｅｒｔｏｅｎｓｕｒｅｔｈｅｏｐｔｉｍａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｎｏｔｂｅ Ⅱｔｌｏｓｔａｎｄｔｏｅｎｓｕｒｅｔｈｅｄｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆｏｐｔｉｍａｌｓｏｌｕｔｉｏｎ．Ｔｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄａｐｐｒｏａｃｈｉｓａｂｌｅｔｏｅｆｆｅｃ，ｄｉｖｅｒｓｉｔｙａｎｄｔｈｅｄｅｇｒｅｅｏｆｔｉｖｅｌｙｓｏｌｖｅｔｈｅｒｅａｌｐａｒａｍｅｔｅｒｍｕｌｔｉｏｂｊｅｃｔｉｖｅｐｒｏｂｌｅｍｓａｎｄｈａｓｂｅｔｔｅｒｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｏｎｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｃｏｎｔｒｏｌｌｉｎｇｓｅｌｆａｄａｐｔｉｖｅ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｍｕｌｔｉｏｂｊｅｃｔｉｖｅｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ；ｍｅａｎｃｅｎｔｒｉｃｒｅｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ；ｓｅｌｆａｄａｐｔｉｖｅｃｒｏｓｓｏｖｅｒ；Ｐａｒｅｔｏｏｐｔｉｍａｌ
３］精英解的丢失［。ＳＰＥＡ２的优点在于可以取得一个分布度较
多目标优化问题
一个通常的多目标优化问题（ＭＯＰ）包含ｎ个自变量的集合、ｋ个目标函数的集合、ｍ个约束限制的集合和目标函数及约束都是自变量的函数。以最大化问题为例，ＭＯＰ表示为
ｍａｘｉｍｉｚｅ：ｙ＝ｆ（ｘ）＝（ｆ（ｘ），ｆ（ｘ）， …，ｆ（ｘ））１２ｋ（１）